8-Funções trigonométricas Laura Goulart UESB 25 de Março de 2019 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 1 / 45
Vale mais ter um bom nome do que muitas riquezas; e o ser estimado é melhor do que a riqueza e o ouro.- Provérbios 22:1 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 2 / 45
8.1 - O número π Dado uma circunferência de raio r, o número π é denido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 3 / 45
8.1 - O número π Dado uma circunferência de raio r, o número π é denido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r. Logo, π = C d Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 3 / 45
8.1 - O número π Dado uma circunferência de raio r, o número π é denido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r. Logo, π = C d π = C 2r Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 3 / 45
8.1 - O número π Dado uma circunferência de raio r, o número π é denido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r. Logo, π = C d π = C 2r C = 2πr Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 3 / 45
8.2 - Medidas de ângulo Graus: 1 o é um ângulo que corresponde a completa da circunferência. 1 360 de uma volta Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 4 / 45
Radiano: 1 rad é um ângulo que corresponde a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferência. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 5 / 45
Radiano: 1 rad é um ângulo que corresponde a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferência. Observação Qualquer número real pode ser interpretado como um ângulo medido em radianos. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 5 / 45
8.2.1 - Comprimento de um arco O ângulo central α em radiano representa a razão entre o comprimento do arco AB ˆ e a medida do raio r. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 6 / 45
8.2.1 - Comprimento de um arco O ângulo central α em radiano representa a razão entre o comprimento do arco AB ˆ e a medida do raio r. Como consequência, teremos a seguinte relação: " π equivale a 180 o. " Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 6 / 45
Exemplos 1 Exprimir 210 o em radianos. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 7 / 45
Exemplos 1 Exprimir 210 o em radianos. 3π 2 Exprimir em graus. 5 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 7 / 45
Exercícios de Fixação 1 Exprimir em radianos os seguintes graus: 1 75 o 2 120 o 3 270 o 4 300 o 2 Exprimir em graus os seguintes radianos: 7π 1 2 3 4 4 π 9 5π 18 π 7 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 8 / 45
8.3 - Triângulo Retângulo Dena-se como triângulo retângulo a qualquer triângulo que possua um dos ângulos internos reto. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 9 / 45
8.3.1 - Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 10 / 45
8.3.1 - Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. O enunciado desse teorema é: "a soma dos quadrados dos catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa." Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 10 / 45
8.3.1 - Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. O enunciado desse teorema é: "a soma dos quadrados dos catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa." Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 10 / 45
Exemplo Calcule o valor de x no triângulo abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 11 / 45
Não sejas companheiro do homem briguento nem andes com o colérico, para que não aprendas as suas veredas, e tomes um laço para a tua alma.- Provérbios 22:24,25 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 12 / 45
8.4. - Relações trigonométricas 8.4.1 - Seno de um ângulo: Dena-se o seno do ângulo α como sendo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 13 / 45
8.4. - Relações trigonométricas 8.4.1 - Seno de um ângulo: Dena-se o seno do ângulo α como sendo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Logo, sen α = a c Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 13 / 45
Exemplo Ache o seno dos ângulos α e β do triângulo abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 14 / 45
8.4.2 - Cosseno de um ângulo: Dena-se o cosseno do ângulo α como sendo a razão entre o cateto adjacente do ângulo e a hipotenusa. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 15 / 45
8.4.2 - Cosseno de um ângulo: Dena-se o cosseno do ângulo α como sendo a razão entre o cateto adjacente do ângulo e a hipotenusa. Logo, cos α = b c Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 15 / 45
Exemplo Ache o cosseno dos ângulos α e β do triângulo abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 16 / 45
8.4.3 - Tangente de um ângulo: Dena-se a tangente do ângulo α como sendo a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 17 / 45
8.4.3 - Tangente de um ângulo: Dena-se a tangente do ângulo α como sendo a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo. Logo, tg α = a b Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 17 / 45
Exemplo Ache a tangente dos ângulos α e β do triângulo abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 18 / 45
Observação É fácil ver que tg α = sen α cos α. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 19 / 45
8.4.5 - Demais relações: cotg α = cos α sen α = 1 tg α Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 20 / 45
8.4.5 - Demais relações: cotg α = cos α sen α = 1 tg α sec α = 1 cos α Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 20 / 45
8.4.5 - Demais relações: cotg α = cos α sen α = 1 tg α sec α = 1 cos α cossec α = 1 sen α Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 20 / 45
8.5 - Ângulos Notáveis Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 21 / 45
Exercícios de Fixação 1) Calcule o valor de x na gura abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 22 / 45
2) Qual é a altura h do poste representado pela gura abaixo? Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 23 / 45
3) A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho abaixo: Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 24 / 45
3) Uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como mostra a gura abaixo. Determine a altura h da torre se: a) α = 20 o b) α = 40 o Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 25 / 45
A língua falsa odeia aos que ela fere, e a boca lisonjeira provoca a ruína. - Provérbios 26:28 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 26 / 45
O ciclo trigonométrico O ciclo trigonométrico é uma circunferência centrada na origem e de raio r = 1. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 27 / 45
Lembremos que α = l e no caso do ciclo trigonométrico, teremos que o r ângulo central é equivalente ao comprimento de arco. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 28 / 45
Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 29 / 45
Seno no ciclo trigonométrico No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir um triângulo interior ao círculo trigonométrico, como foi feito na imagem a seguir. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 30 / 45
O seno de um ângulo x é a projeção do arco ˆ PQ sobre o eixo Oy. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 31 / 45
1o. Quadrante crescente 2o. Quadrante decrescente 3o. Quadrante decrescente 4o. Quadrante crescente Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 32 / 45
Gráco do seno Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 33 / 45
Cosseno no ciclo trigonométrico O cosseno de um ângulo x é a projeção do arco ˆ PQ sobre o eixo Ox. Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 34 / 45
1o. Quadrante decrescente 2o. Quadrante decrescente 3o. Quadrante crescente 4o. Quadrante crescente Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 35 / 45
Gráco do cosseno Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 36 / 45
Identidade Trigonométrica Fundamental cos 2 x + sen 2 x = 1 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 37 / 45
Exercício de Fixação Sabendo que sen x = 2 5 trigonométricas. para 0 x π, calcule as demais funções 2 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 38 / 45
Leais são as feridas feitas pelo amigo, mas os beijos do inimigo são enganosos. - Provérbios 27:6 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 39 / 45
Adição e Subtração de arcos sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a sen (a b) = sen a cos b sen b cos a cos (a + b) = cos a cos b sen a sen b cos (a b) = cos a cos b + sen a sen b Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 40 / 45
Multiplicação de arcos sen 2a = 2sen a cos a cos 2a = cos 2 a sen 2 a Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 41 / 45
Divisão de arcos sen 2 x 2 = 1 cos x 2 cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 42 / 45
Transformação em produto sen (a + b) + sen (a b) = 2sen a cos b sen (a + b) sen (a b) = 2sen b cos a cos (a + b) + cos (a b) = 2cos a cos b cos (a + b) cos (a b) = 2sen a sen b Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 43 / 45