determinantes Capítulo 16 Matrizes e ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 Animação: Matrizes Multimídia

Capítulo 16 Matrizes e determinantes Multimídia Animação: Matrizes Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5

Definição de matriz Define-se matriz do tipo m n (lemos m por n ) uma tabela com m n números dispostos em m linhas e n colunas. Os números que compõem uma matriz são chamados elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ). Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.1

Definição de matriz Exemplos a) é uma matriz do tipo 3 2 (lemos: três por dois ). b) é uma matriz do tipo 3 3 (lemos: três por três ). c) é uma matriz do tipo 2 1 (lemos: dois por um ), que, por ter uma só coluna, recebe o nome especial de matriz coluna. d) é uma matriz do tipo 1 4 (lemos: um por quatro ), que, por ter uma só linha, é chamada matriz linha. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.1

Definição de matriz O tipo da matriz também pode ser indicado ao lado dela, na extremidade inferior direita. a) 2 4 b) 3 5 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.1

Representação genérica de uma matriz Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem. Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo símbolo a ij, em que i indica a linha que o elemento ocupa e j indica a coluna. Genericamente, uma matriz A é representada por A = (a ij ) m n, em que 1 i m e 1 j n, com i e j N. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.2

Representação genérica de uma matriz Uma matriz A, do tipo m n, pode ser representada por: A = m n Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.2

Exercício resolvido R1. Escrever a matriz A = (a ij ) 2 3 na qual a ij = i + 2j. R2. Escrever a matriz A = (a ij ) 3 2 em que a ij = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.3

Igualdade de matrizes Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes. Exemplo A = B = Nessas matrizes, os elementos correspondentes são: a 11 e b 11 a 12 e b 12 a 13 e b 13 a 21 e b 21 a 22 e b 22 a 23 e b 23 a 31 e b 31 a 32 e b 32 a 33 e b 33 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.5

Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são matrizes iguais quando são do mesmo tipo e têm os elementos correspondentes iguais. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.6

Exercício resolvido R3. Determinar os valores de x, y e z que tornam as matrizes A e B iguais. A = B = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.7

Exercício resolvido R4. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes A e B iguais. A = B = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.8

Matriz nula Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é denominada matriz nula. Indica-se uma matriz nula do tipo m n por: 0 m n Exemplos a) 0 3 2 = b) 0 2 4 = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.9

Matriz quadrada Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é chamada matriz quadrada. Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e m colunas é do tipo m m, ou que a matriz é de ordem m. Exemplos a) A = é uma matriz quadrada 2 2 ou, simplesmente, matriz de ordem 2. b) B = é uma matriz quadrada 3 3 ou matriz de ordem 3. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.10

Diagonais de uma matriz quadrada Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais. Os elementos a ij com i = j formam a diagonal principal da matriz; os elementos a ij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária da matriz. Exemplo A = diagonal secundária diagonal principal Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.11

Matriz identidade Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero. Assim, em qualquer matriz identidade, temos: a ij = Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: I n Exemplos a) i 3 = b) i 5 = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.12

Matriz diagonal Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada e todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Exemplos a) c) 0 4 4 = b) I 2 = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.13

Matriz transposta Dada uma matriz A do tipo m n, denominamos matriz transposta de A a matriz do tipo n m cujas linhas são, ordenadamente, iguais às colunas de A. Assim, se (a ij ) n m é transposta de (a ij ) m n, temos: a ij = a ji Indicamos a matriz transposta de A por A t. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.14

Matriz transposta Exemplos a) A = então A t = b) B = então B t = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.14

Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua transposta, isto é, se A = A t. a) A = é simétrica, pois A = A t = b) B = é simétrica, pois B = B t = Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais. diagonal principal diagonal principal Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.15

Exercício resolvido R5. Determinar a matriz transposta A t da matriz A = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.16

Adição de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n, a matriz soma A + B é a matriz C = (c ij ) m n, na qual c ij = a ij + b ij para todo i e todo j. Exemplo Considere as matrizes A e B: A = e B = Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos correspondentes de A e B: C = + = = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.17

Matriz oposta Dada uma matriz A do tipo m n, chama-se matriz oposta de A, e indica-se por A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + ( A) = 0 m n Exemplo Se A =, então A =, pois: + = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.18

Propriedades da adição de matrizes Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0 m n, todas de mesmo tipo, valem as seguintes propriedades: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Existência do elemento neutro: A + 0 m n = 0 m n + A = A Existência do elemento oposto: A + ( A) = ( A) + A = 0 m n Cancelamento: A + C = B + C A = B Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.19

Subtração de matrizes A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo, é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é: A B = A + ( B). Exemplo Sejam: A = e B = A B = A + ( B) = = = + = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.20

Exercício resolvido R6. Dadas as matrizes A = e B =, obter uma matriz X 2 2 tal que A + X = B. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.21

Multiplicação de um número real por uma matriz Sejam a matriz A = (a ij ) m n e k um número real, então k A é uma matriz do tipo m n obtida pela multiplicação de k por todos os elementos de A, ou seja, ka = (ka ij ). Exemplo Se A = e k = 3, então: k A = 3 = = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.22

Exercício resolvido R7. Determinar a matriz X na equação: R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B sabendo que: A = e B =. R9. Determinar as matrizes X e Y tais que em que A = e B =. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.23

Multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A = (a ij ) m n e B = (b ij ) n p, o produto de A por B é a matriz C = (c ij ) m p, na qual cada elemento c ij é a soma dos produtos obtidos multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.26

Multiplicação de matrizes O produto das matrizes A e B, indicado por A B, só é definido se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B. A m n B n p = C m p iguais Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.26

Multiplicação de matrizes Exemplo Dadas as matrizes A = e B =, vamos determinar A B. Como a matriz A é do tipo 2 3 e a matriz B é do tipo 3 2, existe o produto A B (pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B). Então: A B = C, sendo C = (c ij ) 2 2 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.26

Multiplicação de matrizes Exemplo Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo: c 11 : multiplicamos, ordenadamente, a 1 a linha de A pela 1 a coluna de B; c 12 : multiplicamos, ordenadamente, a 1 a linha de A pela 2 a coluna de B; c 21 : multiplicamos, ordenadamente, a 2 a linha de A pela 1 a coluna de B; c 22 : multiplicamos, ordenadamente, a 2 a linha de A pela 2 a coluna de B. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.26

Multiplicação de matrizes Exemplo Assim, temos: A B = = C = Logo: C = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.26

Propriedades da multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades: Associativa: (A B) C = A (B C) Distributiva à direita: (A + B) C = A C + B C Distributiva à esquerda: C (A + B) = C A + C Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.27

Propriedades da multiplicação de matrizes Observe a seguir que nem sempre temos A B = B A. Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes. Dadas as matrizes A = e B =, obtemos os seguintes produtos: A B = e B A = Observe que A B B A. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.27

Propriedades da multiplicação de matrizes Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos concluir, com base em A B = A C, que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo. Dadas as matrizes A =, B = e C =, obtemos: A B = e A C = Observe que A B = A C, mas B C. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.27

Propriedades da multiplicação de matrizes Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode ser uma matriz nula. Veja: Dadas as matrizes A = e B =, obtemos o produto: A B =, que é a matriz nula. Observe que A 0 e B 0. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.27

Exercício resolvido R10. Resolver a equação matricial: X = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.28

Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que A B = B A = I n, então B será a matriz inversa de A, indicada por A 1. Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível ou não singular. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.29

Matriz inversa Exemplo A inversa da matriz A = é matriz A 1 =, pois: A A 1 = = e A 1 A= = Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se A B = I, então B A = I. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.29

Exercício resolvido R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes: a) b) Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.30

Determinante de uma matriz A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples: A = e det A = A = [4] e det A = 4 A = e det A = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.31

Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, A = (a 11 ), é o próprio elemento de A. det A = a 11 = a 11 Exemplos a) A = (4) det A = 4 = 4 b) B = det B = = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.32

Determinante de uma matriz de ordem 2 O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, A =, é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = = Exemplos a) A = det A = b) B = det B = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.33

Determinante de uma matriz de ordem 3 Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o procedimento explicado a seguir. Considere a matriz: A = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.34

Determinante de uma matriz de ordem 3 Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 1 o ) Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas. 2 o ) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção dessa diagonal, multiplicam-se os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.34

Determinante de uma matriz de ordem 3 Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 3 o ) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção dessa diagonal, os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. 4 o ) O determinante da matriz é obtido pela diferença entre as somas dos produtos do 2 o e do 3 o passo, nessa ordem. det A = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.34

Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo a) Considerando a matriz A =, temos: Assim: 6 12 0 10 8 0 det A = (10 8 + 0) ( 6 + 12 + 0) = 4 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.35

Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo b) Considerando a matriz B =, temos: Assim: 12 72 54 108 18 24 det B = ( 108 18 + 24) ( 12 72 + 54) = 72 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.35

Exercício resolvido R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira. = 0 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.36

Exercício resolvido R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula: A RST =, em que D = Nessa fórmula, D é o módulo do determinante de ordem 3 tal que: a 1 a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, a 2 a, pelas ordenadas e a 3 a por 1. Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos R( 2, 2), S(4, 3) e T(5, 3). Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.37

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Chama-se cofator de um elemento a ij de A o número real A ij = ( 1) i + j D ij, em que D ij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento a ij. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.38

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz Exemplos a) Seja A = Eliminando a 1 a linha e a 2 a coluna de A, obtemos A 12 = ( 1) 1+2 Logo, A 12 = 7 é cofator do elemento a 12. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.38

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz Exemplos b) Seja B = Eliminando a 3 a linha e a 4 a coluna de B, obtemos B 34 = ( 1) 3+4 Logo, B 34 = 108 é cofator do elemento b 34. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.38

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.39

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Exemplo A = Escolhendo a 1 a linha, temos: det A = 1 A 11 + 2 A 12 + ( 3) A 13 + 0 A 14 det A = 1 ( 1) 2 + 2 ( 1) 2 + + ( 3) ( 1) 4 + 0 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.39

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Exemplo Não é necessário calcular A 14, pois: 0 A 14 = 0 Portanto: det A = 1 37 + 2 48 3 30 = 43 Observação Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver mais zeros. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.39

Exercício resolvido R14. Calcular o determinante da matriz A = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.40

Simplificação do cálculo de determinantes 1 a propriedade: Fila nula Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.41

Simplificação do cálculo de determinantes 1 a propriedade: Fila nula Exemplo A = det A = det A = 0 ( 1) 2+1 + 0 ( 1) 2+2 + 0 ( 1) 2+3 + 0 ( 1) 2+4 det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.41

Simplificação do cálculo de determinantes 2 a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.42

Simplificação do cálculo de determinantes 2 a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais Exemplo a) Seja A = det A = 28 + 252 + 240 (252 + 240 28) = 0 b) Considerando a matriz B =, temos: det B = 18 + 24 + 16 (18 + 16 + 24) = 0 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.42

Simplificação do cálculo de determinantes 3 a propriedade: Combinação linear Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação linear de outras filas paralelas, então det A = 0. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.43

Simplificação do cálculo de determinantes 3 a propriedade: Combinação linear Exemplo Seja a matriz A = Temos: det A = 10 2 + 0 (0 0 + 8) = 0. Observe que nessa matriz a 3 a coluna é uma combinação linear das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a 2 vezes os elementos da 1 a coluna somados aos opostos dos elementos da 2 a coluna). Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.43

Simplificação do cálculo de determinantes 4 a propriedade: Determinante da matriz transposta O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.44

Simplificação do cálculo de determinantes 4 a propriedade: Determinante da matriz transposta Exemplo Seja A = Então: det A = 16 + 0 20 ( 3 + 0 + 0) = 1 A t = det A t = 16 20 + 0 ( 3 + 0 + 0) = 1 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.44

Simplificação do cálculo de determinantes 5 a propriedade: Produto de uma fila por uma constante Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida fica multiplicado por k. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.45

Simplificação do cálculo de determinantes 5 a propriedade: Produto de uma fila por uma constante Exemplo Se A =, então: det A = 15 36 0 ( 6 4 + 0) = 11 Multiplicando a 2 a coluna de A por 3, temos: B = Assim: det B = 45 + 108 + 0 (18 + 12 0) = 33. Logo: det B = ( 3) det A Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.45

Simplificação do cálculo de determinantes 6 a propriedade: Troca de filas paralelas Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.46

Simplificação do cálculo de determinantes 6 a propriedade: Troca de filas paralelas Exemplo Se A =, então: det A = 21 + 40 0 (12 5 + 0) = 54 Trocando a 1 a e a 3 a linhas de posição, temos: B = Assim: det B = 12 5 + 0 (21 + 40 0) = 54 Logo: det B = det A Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.46

Simplificação do cálculo de determinantes 7 a propriedade Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos, o determinante de A é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.47

Simplificação do cálculo de determinantes 7 a propriedade Exemplo Considerando a matriz A =, temos: det A = 1 2 4 + 0 + 0 0 0 0 = 1 2 4 = 8 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.47

Simplificação do cálculo de determinantes Teorema de Jacobi Em uma matriz quadrada A de ordem n, se multiplicarmos os elementos de uma fila por uma constante qualquer e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.48

Simplificação do cálculo de determinantes Teorema de Jacobi Exemplo Dada a matriz M =, temos: det M = 0 + 10 + 6 ( 10 2 + 0) = 28 Triplicando os elementos da 3 a coluna de M e somando aos da 1 a coluna de M, obtemos: N = det N = 0 + 10 + 12 ( 10 + 4 + 0) = 28 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.48

Simplificação do cálculo de determinantes Teorema de Jacobi Exemplo Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1 a coluna de M e somando aos da 3 a coluna de M, obtemos: P = det P = 20 50 + 18 ( 30 + 10 60) = 28 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.48

Simplificação do cálculo de determinantes Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (A B) = det(a) det(b) Exemplo Sendo A = e B =, temos: det A = 10, det B = 6 e det A det B = 10 6 = 60 A B = =, logo det (A B) = 13 6 2 9 = 60 Assim: det A det B = det (A B) Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.49

Simplificação do cálculo de determinantes Determinante da matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A 1 a sua inversa: A A 1 = I n e det (A A 1 ) = det I n Pela 7 a propriedade, sabemos que: det I n = 1 n = 1 Aplicando o teorema de Binet, temos: det A det A 1 = 1 Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.50

Simplificação do cálculo de determinantes Determinante da matriz inversa Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é não nulo, isto é, det A 0; assim: det A 1 = Verificamos também que, se det A 0, então A é uma matriz invertível. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.50

Simplificação do cálculo de determinantes Determinante da matriz inversa Exemplo Sendo A =, então: det A = 0 + 20 + 0 (8 + 15 + 0) = 3 Portanto: det A 1 = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.50

Exercício resolvido R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 A, calcular seu determinante. Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.51

Exercício resolvido R16. Calcular o determinante da matriz A = Capítulo 16 Matrizes e determinantes 1.5 16.52

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 Belenzinho São Paulo SP Brasil CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0 11) 2602-5510 Fax (0 11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012

Capítulo 17 Sistemas lineares Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 1.5

Sistemas lineares Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é dada pela tabela a seguir. Tipo de recipiente I II A 4 3 B 5 2 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.1 1.5

Sistemas lineares Para determinar o número de recipientes x 1 e x 2 de cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar 42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos montar um sistema: As equações desse sistema são do 1 o grau e são chamadas de equações lineares. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.1 1.5

Equações lineares Equação linear é toda equação que pode ser escrita a 1 x 1 + + a 2 x 2 +... + a n x n = b, em que x 1, x 2,..., x n são incógnitas; os números reais a 1, a 2,..., a n são os coeficientes das incógnitas; e o número real b é o termo independente. Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é chamada de homogênea. Exemplos de equações lineares x 1 + 3x 2 x 3 = 7 x w = 3 x 1 + 1,5x 2 = 0 (homogênea) 2x + 3y z = 0 (homogênea) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.2 1.5

Equações lineares Exemplos de equações não lineares x 2 + 3y z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1) x 1 y = 3 (apresenta uma incógnita no denominador) 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.2 1.5

Solução de uma equação linear Exemplos O par ordenado (3, 5) é solução da equação 3x + 2y = 1 3 3 + 2 5 = 1 S = {(3, 5)} (1, 3, 5) não é solução da equação 3x 2y 3z = 14 3 1 2 3 3 5 14 (1, 3, 5) não é solução. (0, 0, 0) é solução da equação x + 2y 3z = 0 0 + 2 0 3 0 = 0 S = {(0, 0, 0)} Equação homogênea Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.3 1.5

Solução de uma equação linear Solução de uma equação é toda ênupla de números reais ( 1, 2,..., n ) que torna a igualdade a 1 x 1 + a 2 x 2 + +... + a n x n = b verdadeira, isto é, tal que a 1 1 + a 2 2 + +... + a n n = b seja verdadeira. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.3 1.5

Exercício resolvido R1. Sabendo que o par ordenado (2a, a) é a solução da equação 4x + 3y = 10, determinar o valor de a. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.4 1.5

Sistemas de equações lineares Por exemplo, observe a reação de combustão do gás metano, representada pela equação: CH 4 + O 2 CO 2 + H 2 O reagentes Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 4 oxigênio (O): 2 produtos Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 2 oxigênio (O): 3 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.5 1.5

Sistemas de equações lineares Em Química, uma equação está balanceada quando o número de átomos dos reagentes é igual ao número de átomos dos produtos. Então, para balancear essa equação, podemos multiplicar cada substância por uma incógnita e formar um sistema de equações lineares. ach 4 + bo 2 cco 2 + dh 2 O a = c 4a = 2d 2b = 2c + d números de átomos de carbono números de átomos de hidrogênio números de átomos de oxigênio Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.5 1.5

Sistemas de equações lineares Um sistema de equações lineares de m equações com n incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser escritas na forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + + a 3n x n = b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m em que x 1, x 2,..., x n são as incógnitas; a 11, a 12, a m1,..., a mn são os coeficientes reais; os números reais b 1, b 2,..., b m são os termos independentes. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.6 1.5

Sistemas de equações lineares Exemplos (sistema de 2 equações com 2 incógnitas) (sistema de 2 equações com 3 incógnitas) = (sistema de 3 equações com 4 incógnitas) (sistema de 4 equações com 3 incógnitas) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.6 1.5

Sistemas de equações lineares A ênupla ( 1, 2,..., n ) é solução de um sistema linear de m equações com n incógnitas quando é solução de cada uma das equações do sistema. Exemplo Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções: 2x + y = 4 ( 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0),... x + 2y = 5 ( 1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0),... Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como solução comum. Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.7 1.5

Solução de um sistema linear Exemplos a) Os ternos ordenados (2, 5, 2), (3, 2, 0) e ( 1, 14, 8) são algumas das soluções do sistema abaixo. Podemos verificar isso substituindo os valores de cada termo no sistema. Observe: (2, 5, 2) é solução, pois: 2 5 + 2 2 = 1 (verdadeira) 2 2 + 2 5 4 2 = 2 (verdadeira) 1232 + 5 2 = 5 (verdadeira) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.8 1.5

Solução de um sistema linear Exemplos a) (3, 2, 0) é solução, pois: 123 3 2 + 2 0 = 1 (verdadeira) 2 3 + 2 2 4 0 = 2 (verdadeira) 3 + 2 0 = 5 (verdadeira) ( 1, 14, 8) é solução, pois: 123 1 14 + 2 8 = 1 (verdadeira) 2 ( 1) + 2 14 4 8 = 2 (verdadeira) 1 + 14 8 = 5 (verdadeira) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.8 1.5

Solução de um sistema linear Exemplos b) O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do sistema pois, substituindo esses valores nas equações, temos: (verdadeira) (falsa) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.8 1.5

Solução de um sistema linear Exemplos c) Vamos encontrar a solução do sistema pelo método da adição. Para isso, devemos multiplicar os membros de uma ou mais equações por números convenientes e, depois, adicioná-las membro a membro, de modo a eliminar uma incógnita. Assim: Multiplicando a 1 a equação por 2 7x = 14 x = 2 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.8 1.5

Solução de um sistema linear Exemplos c) Substituindo x = 2 na equação 2x + y = 5, temos: 2 2 + y = 5 y = 5 4 y = 1 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(2, 1)} Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.8 1.5

Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas 1 o caso 2x + y = 4 pontos de uma reta r x + 2y = 5 pontos de uma reta s O ponto P, intersecção das retas r e s, representa o par ordenado (1, 2); portanto, o ponto P é a solução gráfica desse sistema. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.9 1.5

Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas 2 o caso (reta r) (reta s) Interpretando graficamente as equações, temos: Como as equações são representadas por retas paralelas e distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par ordenado que seja solução do sistema. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.10 1.5

Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas 3 o caso Interpretando graficamente as equações do sistema (reta r) (reta s), temos: Como as equações são representadas por retas coincidentes, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.10 1.5

Exercício resolvido R2. Resolva o sistema de equações: (I) (II) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.11 1.5

Classificação de um sistema linear De acordo com o número de soluções, um sistema linear é classificado em: a) sistema possível e determinado (SPD) uma só solução; b) sistema possível e indeterminado (SPI) infinitas soluções; c) sistema impossível (SI) nenhuma solução. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.12 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos Produção. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura tinta látex e corante conforme a cor escolhida pelo consumidor. O preço de uma lata de tinta é calculado de acordo com as quantidades de cada uma dessas substâncias. Vamos calcular a quantidade de litros de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de 20 litros, obtenha: a) latas que custem R$ 100,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos a) Representando a quantidade, em litro, de látex e de corante por x e y, respectivamente, construímos o sistema: Resolvendo esse sistema, obtemos: x = 15 e y = 5 Logo, o conjunto solução é S = {(15, 5)}, isto é, o sistema tem apenas uma solução e é um sistema possível e determinado (SPD). Representando graficamente o sistema, temos: r s = {P} SPD Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 4,00. Nesse caso, construímos o sistema: A 2 a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1 a equação, representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7). Observe que essas soluções são do tipo (20 k, k), com 0 < k < 20 e k R. Logo, a solução S = {(20 k, k) k R e 0 < k < 20} e o sistema é um sistema possível e indeterminado (SPI). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos b) Representando graficamente o sistema, temos: r s = r = s SPI Note que os gráficos que representam as duas equações são retas coincidentes, ou seja, as retas têm infinitos pontos em comum. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for R$ 8,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. Para essa situação, vamos considerar o sistema: x + y = 20 8y + 8y = 120 Resolvendo o sistema, temos: 8x 8y = 160 8y + 8y = 120 0x + 0y = 40 0 = 40 (falsa) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplos c) Ou seja, não há valores para x e y que tornem a sentença verdadeira. Portanto, S = e o sistema é um sistema impossível (SI). Observe que os gráficos que representam as duas equações são retas paralelas e distintas, ou seja, as retas não possuem pontos em comum. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.13 1.5

Classificação de um sistema linear Lazer. Um jogo de computador tem início com a distribuição de fichas coloridas aos participantes. Veja na tabela abaixo a quantidade de fichas que cada jogador recebeu: Azul Branca Cinza Ari 3 2 1 Laís 1 2 3 João 5 6 7 O programa atribui valores às fichas conforme sua cor. Para calcular o valor de cada ficha, sabendo que, para cada jogador, a soma da quantidade de fichas multiplicada por seus valores é zero, montamos o seguinte sistema: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.14 1.5

Classificação de um sistema linear Exemplo Neste caso, também há outras soluções. Pela substituição de a, b e c, verificamos que, para R, o terno ordenado (, 2, ) é solução do sistema: Assim, para cada valor de que substituímos no terno (, 2, ), obtemos uma solução. Por exemplo, para = 1, temos a solução (1, 2, 1). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.14 1.5

Sistemas lineares homogêneos Quando um sistema é formado apenas por equações homogêneas, ou seja, quando todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado homogêneo. Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite a ênupla (0, 0, 0,..., 0) como solução. Essa solução é chamada solução nula, trivial ou imprópria. Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.15 1.5

Sistemas lineares homogêneos Exemplos Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.15 1.5

Exercício resolvido R3. Determine a, b e c para que o sistema a seguir seja homogêneo: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.16 1.5

Matriz associada a um sistema Todo sistema linear pode ser associado a matrizes. Exemplo a) Chamamos de matriz associada incompleta a matriz, formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Chamamos de matriz associada completa a matriz, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.17 1.5

Matriz associada a um sistema Exemplo b) matriz associada incompleta matriz associada completa Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.17 1.5

Representação matricial de um sistema Exemplo a) A representação matricial associada a esse sistema é dada por: Podemos verificar se essa representação matricial está correta efetuando a multiplicação de matrizes: 1 3 x 1x + 3y = 7 y 7 4 x 7x 4y = 1 y Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.18 1.5

Representação matricial de um sistema Exemplo b) Representação matricial: Podemos verificar essa representação matricial efetuando a multiplicação de matrizes: 1 2 1 x 1x 2y + 1z = 3 y z 1 0 2 x 1x + 0y + 2z = 1 y z Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.18 1.5

Exercício resolvido R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.19 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3 3 Considere o sistema de equações: Descrição do procedimento 1 o ) Montamos a matriz associada incompleta e calculamos seu determinante D. É importante observar que a regra de Cramer só pode ser aplicada a sistemas n n (com n equações e n incógnitas) com D 0; portanto, se D = 0, não podemos aplicá-la. Aplicação do procedimento D = 2 o ) Calculamos o determinante D x, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes. D x = Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.20 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3 3 Descrição do procedimento 3 o ) Calculamos o determinante D y, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes. Aplicação do procedimento D y = 4 o ) Calculamos o determinante D z, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes. D z = x = 5 o ) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer: y = z = Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.20 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2 2 Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 1 o ) Resolvendo o sistema pelo método da adição, temos: x =, se ad bc 0 2 o ) Substituindo x em qualquer das equações, encontramos: y =, se ad bc 0 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.21 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2 2 Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 3 o ) Observe agora os determinantes de algumas matrizes obtidas do sistema: D = D x = = ad bc = k 1 d k 2 b 4 o ) Observando as equações dos dois primeiros passos e os determinantes, concluímos que, se D 0, a solução do sistema é dada por: D y = x = y = = k 2 a k 1 b Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.21 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2 2 Exemplo a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer. Primeiro, reescrevemos o sistema: Depois, calculamos: D = = 2, D x = = 2 e D y = = 6 Agora, usando a regra de Cramer, temos: x = = 1 e y = = 3 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)} Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.22 1.5

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2 2 Exemplo b) Vamos encontrar a solução do sistema, usando a regra de Cramer: D = = 62, D x = = 62, D y = = 62 e D z = = 0 Logo: coluna dos termos independentes x = = 1, y = = 1 e z = = 0 Portanto, a solução do sistema é S = {(1, 1, 0)} Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.22 1.5

Exercício resolvido R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão, arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo, mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a composição de cada cesta: cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão; cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão; cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão. Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00, R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada produto citado? Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.23 1.5

Exercício resolvido R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso, Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão, quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar uma balança que estava no local da inscrição. No entanto, a balança indicava apenas valores acima de 80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam, juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla, 106 kg. Determine quanto cada uma pesava no ato da inscrição. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.24 1.5

Sistemas lineares equivalentes Dois sistemas lineares, S 1 e S 2, são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Indicamos por S 1 ~ S 2. Exemplo a) S 1 = e S 2 = 2 2 + 3 = 7 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S 1 2 + 3 = 5 (sentença verdadeira) 3 2 + 3 = 9 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S 2 7 2 3 3 = 5 (sentença verdadeira) Como S = {(2,3)} é conjunto solução dos dois sistemas, S 1 e S 2 são chamados de sistemas equivalentes: (S 1 ~ S 2 ) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.25 1.5

Sistemas lineares equivalentes Exemplo b) S 1 = e S 2 = Para todo número real, (2, 2, ) é solução de S 1 2 + ( 2 ) + 2 = 2 (sentença verdadeira) 2 2 + ( 2 ) + 2 = 4 (sentença verdadeira) 3 2 + 2 ( 2 ) + 4 = 6 (sentença verdadeira) (2, 2, ) também é solução de S 2 2 ( 2 ) 2 = 2 (sentença verdadeira) 2 2 3 ( 2 ) 6 = 4 (sentença verdadeira) 2 + 2 ( 2 ) + 4 = 2 (sentença verdadeira) Assim, se = 1, o terno (2, 2, 1) é uma das infinitas soluções de S 1 e S 2. Como S = {(2, 2, ) R} é o conjunto solução dos dois sistemas, temos S 1 ~ S 2. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.25 1.5

Exercício resolvido R7. Verificar se os sistemas e são equivalentes. R8. Sabendo que os sistemas são equivalentes, determine p e q. S 1 = e S 2 = Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.26 1.5

Sistema escalonado Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo. Exemplos Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.28 1.5

Resolução e classificação de um sistema escalonado a) Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5 Substituindo z por 5 na 2 a equação: 2y 5 = 3 y = 4 Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1 a equação, obtemos: 2x 4 + 5 = 2 x = Logo, há uma só solução: (, 4, 5) Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.29 1.5

Resolução e classificação de um sistema escalonado b) O sistema tem duas equações e três incógnitas. Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é equivalente ao sistema: Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 5k. Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por exemplo, fazendo k = 6, obtemos o terno (34, 18, 6), que satisfaz o sistema. Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é um sistema possível e indeterminado (SPI). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.29 1.5

Resolução e classificação de um sistema escalonado Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 5k, 3k, k), em que k é real. É importante observar que, quando um sistema admite infinitas soluções (SPI), chamamos a variável que assume o valor k, real, de variável livre. Há sistemas com mais de uma variável livre. Nesse exemplo, z é a única variável livre. c) Na última equação do sistema, não há valores para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o sistema é impossível (SI). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.29 1.5

O processo do escalonamento Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o procedimento usado nos exemplos a seguir. a) Vamos escalonar o sistema, adotando os seguintes passos: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

O processo do escalonamento Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 1 o ) Escolhemos como 1 ª equação aquela cujo coeficiente da 1 a incógnita seja não nulo e, se possível, igual a 1 ou a 1, o que simplifica o processo. Então, invertendo a posição da 1 a e da 2 a equação, temos: x + y 2z = 3 (2 a equação do sistema original) 3x y + z = 5 (1 a equação do sistema original) 2x + 3y z = 7 (3 a equação) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

O processo do escalonamento Descrição do procedimento 2 o ) Anulamos os coeficientes de x da 2 a e da 3 a equação. Para isso vamos: Multiplicar a 1 a equação por 3 e somar a equação obtida com a 2 a ; Multiplicar a 1 a equação por 2 e somar a equação obtida com a 3 a. Depois substituímos as novas equações no sistema anterior. Aplicação do procedimento 123 123 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

O processo do escalonamento Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 3 o ) Para facilitar a resolução, vamos inverter a 2 a e a 3 a equação do sistema anterior. Assim, o coeficiente de y na 2 a equação será 1. (3 a equação do sistema anterior) (2 a equação do sistema anterior) 4 o ) Anulamos o coeficiente de y na 3 a equação. Para isso, vamos multiplicar a nova 2 a equação por 4 e somar o produto obtido com a nova 3 a equação: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

O processo do escalonamento Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 5 o ) Após substituir a 3 a equação pela soma obtida, temos o sistema escalonado: x + y 2z = 3 y + 3z = 1 19z = 0 Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

O processo do escalonamento Com o sistema original escalonado, a resolução fica facilitada: da 3 a equação, temos z = 0; substituindo z por 0 na 2 a equação, obtemos y = 1; substituindo z por 0 e y por 1 na 1 a equação, obtemos x = 2. Portanto, a solução do sistema é: (2, 1, 0) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.30 1.5

Exercício resolvido R9. Escalonar e resolver o sistema: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.31 1.5

Discussão de um sistema linear Discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o sistema é: possível e determinado (SPD); possível e indeterminado (SPI); impossível (SI). Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.32 1.5

Aplicação do determinante Sendo D o determinante da matriz associada incompleta de um sistema linear de n equações e n incógnitas: D 0 sistema possível e determinado (SPD); D = 0 sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é uma matriz quadrada (n n), não é possível calcular seu determinante, por isso aplicamos o método do escalonamento para discutir esse sistema. Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.33 1.5

Aplicação do determinante Exemplo a) Para discutir o sistema em função de k, calculamos: D = = k 3 D 0 k 3 0 k 3 SPD D = 0 k 3 = 0 k = 3 SPI ou SI Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema original e prosseguimos a análise: Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.34 1.5

Aplicação do determinante Exemplo a) Dividindo todos os termos da 2 a equação por 3, obtemos: Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo! Logo, o sistema é impossível (SI). Conclusão: (I) (II) Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.34 1.5

Aplicação do determinante Exemplo b) Para discutir o sistema em função de m, calculamos: D = = 1 m 2 D 0 1 m 2 0 m ±1 SPD D = 0 m = ±1 m = 1 m = 1 SPI SI Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.34 1.5

Exercício resolvido R10. Discutir o sistema em função de k. R11. Discutir o sistema Capítulo 171 Conjuntos Sistemas lineares 17.35 1.5

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 Belenzinho São Paulo SP Brasil CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0 11) 2602-5510 Fax (0 11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012

Capítulo 18 Análise combinatória Capítulo 18 Análise combinatória

Situações envolvendo contagem Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3 tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíche Raul pode montar? Capítulo 18 Análise combinatória 18.1

Situações envolvendo contagem Raul pode fazer três tipos de escolha: E1: pão francês (f) ou integral (i); E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou hambúrguer (h); E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq). Capítulo 18 Análise combinatória 18.1

Situações envolvendo contagem Organizando as opções em um esquema, temos: E 1 E 2 E 3 Sanduíche calabresa com queijo sem queijo f c cq f c sq pão francês presunto com queijo sem queijo f p cq f p sq pão integral hambúrguer calabresa presunto com queijo sem queijo com queijo sem queijo com queijo sem queijo f h cq f h sq i c cq i c sq i p cq i p sq Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial. hambúrguer com queijo sem queijo i h cq i h sq 2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades Capítulo 18 Análise combinatória 18.1

Situações envolvendo contagem Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12 tipos de sanduíche. Capítulo 18 Análise combinatória 18.1

Situações envolvendo contagem Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa (k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos obter cara (c) ou coroa (k). Capítulo 18 Análise combinatória 18.2

Situações envolvendo contagem Vamos representar esses lançamentos em uma árvore de possibilidades: 1 o lançamento 2 o lançamento Resultado cara cc cara coroa ck coroa cara coroa kc kk 2 possibilidades 4 possibilidades Capítulo 18 Análise combinatória 18.2

Situações envolvendo contagem Outro recurso para representar todas as possibilidades é a tabela de dupla entrada: Cara (c) Coroa (k) Cara (c) cc ck Coroa (k) kc kk Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk. Capítulo 18 Análise combinatória 18.2

Princípio multiplicativo Para calcular o número de resultados possíveis de um acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades, usamos o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem: Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m n. O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou mais etapas. Capítulo 18 Análise combinatória 18.3

Exercício resolvido R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras? Capítulo 18 Análise combinatória 18.4

Exercício resolvido R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema? (Considere o alfabeto com 26 letras.) O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa de automóvel: 3 letras 4 algarismos Capítulo 18 Análise combinatória 18.5

Exercício resolvido R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Capítulo 18 Análise combinatória 18.6

Exercício resolvido R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8. Capítulo 18 Análise combinatória 18.7

Exercício resolvido R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e divisíveis por 5? Capítulo 18 Análise combinatória 18.8

Exercício resolvido R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos distintos é possível preencher o gabarito de respostas? Capítulo 18 Análise combinatória 18.9

Fatorial de um número natural O fatorial de um número natural n é representado por n! (lemos: n fatorial ) e é definido por: n! = n (n 1) (n 2)... 2 1, para n 2 1! = 1 0! = 1 Exemplos a) 4! = 4 3 2 1 = 24 b) 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3.628.800 Capítulo 18 Análise combinatória 18.10

Simplificação de expressões com fatorial Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições. Observe: 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 10 9! 9! n! = n (n 1)! n! = n (n 1) (n 2)! e assim por diante. Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações de expressões. Capítulo 18 Análise combinatória 18.11

Simplificação de expressões com fatorial Exemplos a) b) c) Capítulo 18 Análise combinatória 18.11

Exercício resolvido R7. Calcule n sabendo que Capítulo 18 Análise combinatória 18.12

Anagramas Quando trocamos a ordem das letras que formam uma palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR. Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R). Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos: 4 3 2 1 = 24, ou seja, 24 anagramas. Capítulo 18 Análise combinatória 18.13

Anagramas Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma árvore de possibilidades: 1 a letra 2 a letra 3 a letra 4 a letra Anagrama A M O R M O R A O R A M R A M O O R AMOR R O AMRO M R AOMR R M AORM M O ARMO O M AROM O R MAOR R O MARO A R MOAR R A MORA A O MRAO O A MROA M R OAMR R M OARM A R OMAR R A OMRA A M ORAM M A ORMA M O RAMO O M RAOM A O RMAO O A RMOA A M ROAM M A ROMA Capítulo 18 Análise combinatória 18.13

Anagramas Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação simples das letras da palavra AMOR. De uma permutação para outra, os elementos são sempre os mesmos; eles apenas mudam de posição. Capítulo 18 Análise combinatória 18.13

Permutação simples Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com a finalidade de obter uma nova configuração. Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos. Indica-se por P n o número de permutações simples de n elementos. Capítulo 18 Análise combinatória 18.14

Número de permutações Simples O número de permutações simples de n elementos é dado por: P n = n (n 1) (n 2) (n 3)... 4 3 2 1, ou P n = n! Capítulo 18 Análise combinatória 18.15

Permutação com elementos repetidos O número de permutações de n elementos, dos quais n 1 é de um tipo, n 2 de um segundo tipo,..., n k de um k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por: Capítulo 18 Análise combinatória 18.16

Exercício resolvido R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos apresentam: a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem? b) as letras T, A e R juntas? R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER começam por: a) consoante; b) vogal. Capítulo 18 Análise combinatória 18.17

Exercício resolvido R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza. Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as possíveis trajetórias que Pedro pode fazer? Capítulo 18 Análise combinatória 18.20

Arranjo simples Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento ordenado (sequência) de p elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por A n,p, ou elementos tomados p a p. o número de arranjos simples de n Capítulo 18 Análise combinatória 18.21

Número de arranjos simples Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p n, indicado por. Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do agrupamento, n 1 possíveis escolhas para o segundo elemento, n 2 para o terceiro elemento,..., n (p 1) possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento. Capítulo 18 Análise combinatória 18.22

Número de arranjos simples Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de arranjos simples de n elementos p a p é: A n,p = n (n 1) (n 2)... [n (p 1)], 0 < p < menor ou igual > n. p fatores Capítulo 18 Análise combinatória 18.22

Número de arranjos simples Desenvolvendo a expressão do 2 o membro e multiplicando-o por, temos: A n,p = Então: Capítulo 18 Análise combinatória 18.22

Exercício resolvido R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7? R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas? Capítulo 18 Análise combinatória 18.23

Combinação simples Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de p elementos escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por C n,p ou o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com p n. Capítulo 18 Análise combinatória 18.25

Número de combinações simples O número total de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao quociente entre o número de arranjos (A n,p ) e o número de permutações (p!): Portanto: Capítulo 18 Análise combinatória 18.26

Exercício resolvido R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3 o ano, três serão escolhidos para formar a comissão de formatura. De quantos modos distintos é possível formar essa comissão? Capítulo 18 Análise combinatória 18.27

REPRODUÇÃO Exercício resolvido R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se marcar 15 números entre os 25 que constam no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão da Lotofácil? Capítulo 18 Análise combinatória 18.28

Exercício resolvido R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3 pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses pontos como vértices. Capítulo 18 Análise combinatória 18.29

Exercício resolvido R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes podem ser formadas: a) se não houver restrições quanto ao sexo? b) com 2 garotas e 2 garotos? Capítulo 18 Análise combinatória 18.30

Coeficiente binomial Dados dois números naturais n e k, com n k, chamamos de coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre k, e indicamos por, o número: Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do coeficiente binomial. Capítulo 18 Análise combinatória 18.31

Coeficiente binomial Exemplos a) O coeficiente binomial 7 sobre 4 é: b) O coeficiente binomial 11 sobre 2 é: Capítulo 18 Análise combinatória 18.31

Coeficiente binomial Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns valores de k: Para k = 0: Para k = n: Para k = 1: Capítulo 18 Análise combinatória 18.31

Coeficientes binomiais complementares Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é igual a esse numerador, isto é: são complementares se p + q = n Capítulo 18 Análise combinatória 18.32

Igualdade de coeficientes binomiais Considerando dois coeficientes binomiais complementares, temos: Assim: Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo numerador e o mesmo denominador, ou se eles são complementares. Capítulo 18 Análise combinatória 18.33

Igualdade de coeficientes binomiais Exemplos a) b) c) d) Capítulo 18 Análise combinatória 18.33

Triângulo de Pascal Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados numa mesma coluna. Capítulo 18 Análise combinatória 18.34

Triângulo de Pascal coluna 0 Linha 0 Linha 1 Linha 2 coluna 1 coluna 2 coluna 3 Linha 3 coluna 4 Linha 4 coluna 5 Linha 5 coluna n Linha n Capítulo 18 Análise combinatória 18.34

Triângulo de Pascal Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos outra representação para o triângulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Capítulo 18 Análise combinatória 18.34

Propriedades do triângulo de Pascal 1 a propriedade Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1 Exemplos a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. Capítulo 18 Análise combinatória 18.35

Propriedades do triângulo de Pascal 2 a propriedade Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes equidistantes dos extremos serem representados por coeficientes binomiais complementares. Capítulo 18 Análise combinatória 18.35

Propriedades do triângulo de Pascal Exemplos a) Na linha 5 do triângulo, temos: b) Na linha 8 do triângulo, temos: Capítulo 18 Análise combinatória 18.36

Propriedades do triângulo de Pascal 3 a propriedade Relação de Stifel Cada elemento, da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual à soma dos elementos que estão na linha n 1, nas colunas k 1 e k. Ou seja: Essa é a chamada relação de Stifel. Capítulo 18 Análise combinatória 18.37

Propriedades do triângulo de Pascal 3 a propriedade Relação de Stifel Exemplo Capítulo 18 Análise combinatória 18.37

Propriedades do triângulo de Pascal 4 a propriedade A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é igual a 2 n. Capítulo 18 Análise combinatória 18.38

Propriedades do triângulo de Pascal Exemplo Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do triângulo de Pascal: Linha 0 1 soma = 2 0 = 1 Linha 1 1 1 soma = 2 1 = 2 Linha 2 1 2 1 soma = 2 2 = 4 Linha 3 1 3 3 1 soma = 2 3 = 8 Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 2 4 = 16 Capítulo 18 Análise combinatória 18.38

Propriedades do triângulo de Pascal 5 a propriedade A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento até o elemento da linha n, é igual a. Exemplo 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 1 + 2 + 3 = 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Capítulo 18 Análise combinatória 18.39

Propriedades do triângulo de Pascal 6 a propriedade A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro elemento até o elemento da coluna k, é igual a. Exemplo Diagonal 0 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Diagonal 1 Diagonal 2 Diagonal 3 Diagonal 4 Diagonal 5 1 + 3 + 6 = 10 Capítulo 18 Análise combinatória 18.40

Somatório Na sequência (a m, a m+1, a m+2,..., a n 1, a n ), a soma dos termos a m + a m+1 + a m+2 +... + a n 1 + a n pode ser representada por com m e n naturais e m < n. (lemos: somatório de a i com i variando de m a n ). Exemplos a) 1 + 2 + 3 +... + 100 = b) 1 + + +...+ = Capítulo 18 Análise combinatória 18.41

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal: b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo de Pascal: Capítulo 18 Análise combinatória 18.42

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais c) Soma dos coeficientes binomiais da coluna 3 do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha 7: d) Soma dos coeficientes binomiais da coluna k do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha n: Capítulo 18 Análise combinatória 18.42

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais e) Soma dos coeficientes binomiais da diagonal n do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da coluna k: Capítulo 18 Análise combinatória 18.42

Exercício resolvido R18. Resolva a seguinte equação: R19. Calcule o valor de. Capítulo 18 Análise combinatória 18.43

Binômio de Newton Observe o desenvolvimento de (x + y) n para alguns valores de n: (x + y) 0 = 1 (x + y) 1 = (x + y) = 1x + 1y (x + y) 2 = (x + y) (x + y) = 1x 2 + 2xy + 1y 2 (x + y) 3 = (x + y) (x + y) 2 = (x + y) (x 2 + 2xy + y 2 ) = = 1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3 (x + y) 4 = (x + y) 2 (x + y) 2 = (x 2 + 2xy + y 2 ) (x 2 + + 2xy + y 2 ) = 1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4 Capítulo 18 Análise combinatória 18.45

Binômio de Newton Note que os coeficientes do desenvolvimento de cada potência (x + y) n são iguais aos elementos da linha n do triângulo de Pascal: Linha 0 1 (x + y) 0 =1 Linha 1 1 1 (x + y) 1 =1x + 1y Linha 2 1 2 1 (x + y) 2 =1x 2 + 2xy + 1y 2 Linha 3 1 3 3 1 (x + y) 3 =1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3 Linha 4 1 4 6 4 1 (x + y) 4 =1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4 Capítulo 18 Análise combinatória 18.45

Binômio de Newton Assim, podemos escrever: Capítulo 18 Análise combinatória 18.45

Binômio de Newton De maneira geral, sendo n um número natural, temos a seguinte igualdade, conhecida como fórmula do binômio de Newton: Capítulo 18 Análise combinatória 18.45

Termo geral do binômio de Newton Um termo geral, que ocupa a posição k + 1 no desenvolvimento de (x + y) n, é dado por: Capítulo 18 Análise combinatória 18.46

Exercício resolvido R20. Desenvolva a potência (x 3) 5 usando a fórmula do binômio de Newton. R21. Calcule o valor de m sabendo que: R22. Determinar o décimo sexto termo do desenvolvimento do binômio (3p + q 3 ) 16, com os termos ordenados por expoentes decrescentes de p. R23. Verifique se há termo independente de x no desenvolvimento de. Capítulo 18 Análise combinatória 18.47

Exercício resolvido R24. Determinar o coeficiente que multiplica o termo em que aparece x 2 no desenvolvimento da expressão: (x + 1) 2 + (x + 1) 3 + (x + 1) 4 + (x + 1) 5 Capítulo 18 Análise combinatória 18.51

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 Belenzinho São Paulo SP Brasil CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0 11) 2602-5510 Fax (0 11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012

Capítulo 19 Probabilidade Capítulo 19 Probabilidade

Experimento aleatório, espaço amostral e evento Experimento aleatório é todo experimento que, quando repetido várias vezes e sob as mesmas condições, apresenta, entre as possibilidades, resultados imprevisíveis. Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Evento (E) é todo subconjunto do espaço amostral do experimento aleatório. Capítulo 19 Probabilidade 19.1

Experimento aleatório, espaço amostral e evento Exemplo a) Quando se retira uma bola de uma urna que contém 50 bolas numeradas de 1 a 50, um evento possível é: a bola retirada conter um número primo menor que 20. O espaço amostral desse experimento é S = {1, 2,..., 50} e o evento é E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. O número de elementos do conjunto S é n(s) = 50 e o do conjunto E é n(e) = 8. Capítulo 19 Probabilidade 19.1

Experimento aleatório, espaço amostral e evento Exemplo b) No sorteio de uma carta de um baralho honesto de 52 cartas, um possível evento é: a carta sorteada ser de copas e com figura. O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = {ás de copas, 2 de copas,..., rei de copas, ás de ouros, 2 de ouros,..., rei de ouros, ás de espadas,..., rei de espadas, ás de paus,..., rei de paus}. O evento é o conjunto E = {valete de copas, dama de copas, rei de copas}. Nesse experimento, n(s) = 52 e n(e) = 3. Capítulo 19 Probabilidade 19.1

Eventos Vamos considerar o experimento aleatório lançar um dado cúbico e registrar o número representado na face voltada para cima. Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(s) = 6 Alguns exemplos de eventos: E 1 : o número é 5 E 1 = {5} e n(e 1 ) = 1 Quando o evento é um subconjunto unitário do espaço amostral, é denominado evento simples ou evento elementar. Capítulo 19 Probabilidade 19.2

Eventos E 2 : o número é menor ou igual a 6 E 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(e 2 ) = 6 Se coincidir com o espaço amostral, o evento é chamado evento certo. E 2 é um evento certo. E 3 : o número é maior que 6 E 3 = e n(e 3 ) = 0 Nesse caso, se for o conjunto vazio, o evento será chamado evento impossível. Capítulo 19 Probabilidade 19.2

Eventos E 4 : o número é par E 4 = {2, 4, 6} e n(e 4 ) = 3 E 5 : o número é ímpar E 5 = {1, 3, 5} e n(e 5 ) = 3 Note que E 4 E 5 =. Quando dois eventos não têm elementos comuns, ou seja, quando a intersecção desses eventos é o conjunto vazio, eles são denominados eventos mutuamente exclusivos. Capítulo 19 Probabilidade 19.2

Eventos No caso desses eventos, temos ainda que E 4 E 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S. Dois eventos que não têm elementos comuns e cuja união é igual ao espaço amostral são denominados eventos complementares. Indicamos o complementar de um evento E por E. Capítulo 19 Probabilidade 19.2

Exercício resolvido R1. Lançando dois dados, um vermelho e um azul, e considerando as faces voltadas para cima: a) quantos elementos há no espaço amostral? b) em quantos casos a soma dos números das faces superiores é maior que 8? c) em quantos casos o produto dos números das faces superiores é igual a 28? Capítulo 19 Probabilidade 19.3

ADILSON SECCO Exercício resolvido R2. Cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é escrito em um pequeno cartão, que é depositado em uma caixa. Sabendo que dois cartões são sorteados aleatoriamente, um após o outro, determinar o espaço amostral quando esse experimento é realizado: a) com reposição dos cartões; b) sem reposição. Capítulo 19 Probabilidade 19.4

Espaço amostral equiprovável Acompanhe a situação a seguir. Genética. Suponha que um casal queira ter dois filhos. Cada um dos filhos poderá ser do sexo masculino (M) ou do sexo feminino (F). Sabendo que a chance de nascer um filho do sexo masculino é igual à de nascer um filho do sexo feminino, independentemente do sexo dos filhos anteriores, qual é a chance de esse casal gerar dois filhos do sexo masculino (M, M)? Capítulo 19 Probabilidade 19.5

Espaço amostral equiprovável Para responder a essa questão, determinamos o espaço amostral S e o evento E (dois filhos do sexo masculino): S = {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F)} E = {(M, M)} Observe que: n(e) = 1 e n(s) = 4 Assim, a chance de o casal gerar dois filhos do sexo masculino é de 1 para 4, ou. Capítulo 19 Probabilidade 19.5

Espaço amostral equiprovável Nessa situação, consideramos que, para cada evento simples, existe a mesma chance de ocorrência. Quando adotamos esse critério em um espaço amostral finito, esse espaço é denominado espaço amostral equiprovável. Capítulo 19 Probabilidade 19.5

Definição de probabilidade Em um espaço amostral S equiprovável, finito e não vazio, a probabilidade de ocorrência de um evento E, indicada por P(E), é a razão entre o número de elementos do evento, n(e), e o número de elementos do espaço amostral, n(s): Capítulo 19 Probabilidade 19.6

Definição de probabilidade Podemos representar a probabilidade de um evento nas formas fracionária, decimal ou percentual. No caso do nosso exemplo, a probabilidade de o casal ter dois filhos do sexo masculino é: Capítulo 19 Probabilidade 19.6

Consequências da definição Seja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio, de um experimento aleatório, temos: Se E é um evento impossível, então: P(E) = 0 Se E é um evento certo, então: P(E) = 1 Capítulo 19 Probabilidade 19.7

Exercício resolvido R3. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a face superior apresentar: a) o número 3 (evento E 1 )? b) um número menor que 7 (evento E 2 )? c) um número menor que 1 (evento E 3 )? d) um divisor da soma dos pontos de todas as faces do dado (evento E 4 )? Capítulo 19 Probabilidade 19.8

Exercício resolvido R4. No lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado, determinar: a) o espaço amostral; b) o número de elementos do evento E 1 : coroa na moeda e face par no dado; e a probabilidade de ocorrência de E 1 ; c) a probabilidade de ocorrência do evento E 2 : face 3 no dado; d) a probabilidade de ocorrência do evento E 3 : coroa na moeda. Capítulo 19 Probabilidade 19.9

Exercício resolvido R5. Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a comissão ser formada por: a) duas mulheres? b) dois homens? c) um homem e uma mulher? Capítulo 19 Probabilidade 19.10

Intersecção de dois eventos Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral S, a probabilidade da intersecção de A e B, representada por P(A B), é dada por: Capítulo 19 Probabilidade 19.11

União de dois eventos Vamos considerar dois eventos E 1 e E 2 de um espaço amostral S, finito e não vazio, para os quais temos: n(e 1 E 2 ) = n(e 1 ) + n(e 2 ) n(e 1 E 2 ) Capítulo 19 Probabilidade 19.12

União de dois eventos Dividindo os membros da igualdade por n(s): Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento união de E 1 e E 2 é dada por: Capítulo 19 Probabilidade 19.12

Eventos mutuamente exclusivos Quando dois eventos, E 1 e E 2, são mutuamente exclusivos, eles não têm elementos comuns, ou seja, E 1 E 2 =, e n(e 1 E 2 ) = 0. Capítulo 19 Probabilidade 19.13

Eventos mutuamente exclusivos Então: Logo, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é: P (E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Capítulo 19 Probabilidade 19.13

Eventos complementares Se dois eventos, E 1 e E 2, de um espaço amostral S são complementares, ou seja, se E 1 E 2 = e E 1 E 2 = S, então: Portanto, se E 1 e E 2 são eventos complementares: P (E 1 ) + P(E 2 ) = 1 Capítulo 19 Probabilidade 19.14

Exercício resolvido R6. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres. Metade dos homens e metade das mulheres usam óculos. Ao escolher uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser homem ou usar óculos? Capítulo 19 Probabilidade 19.15

Exercício resolvido R7. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular: a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par ou múltiplo de 5; b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par e maior que 10 ou o menor número primo. Capítulo 19 Probabilidade 19.16

Exercício resolvido R8. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas, os resultados indicaram que 25 pessoas ouvem FM, 20 pessoas ouvem AM e 20 pessoas não costumam ouvir rádio. Calcular a probabilidade de, ao selecionar uma dessas pessoas, ela ouvir ambas as frequências. Capítulo 19 Probabilidade 19.17

Definição de probabilidade condicional Acompanhe a situação a seguir. Genética. Um casal deseja ter mais dois filhos além do primogênito. Qual é a probabilidade de o casal formar uma família com dois meninos e uma menina se o primeiro filho é do sexo masculino? Vamos representar o espaço amostral S adotando M para masculino e F para feminino: S = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M), (F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)} Capítulo 19 Probabilidade 19.18

Definição de probabilidade condicional Então: n(s) = 8 Evento A: nascimento de dois meninos e uma menina A = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M)}; n(a) = 3 e P(A) = Evento B: primogênito do sexo masculino B = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F)}; n(b) = 4 e P(B) = = Capítulo 19 Probabilidade 19.18

Definição de probabilidade condicional Indicamos o evento A, condicionado ao fato de o evento B já ter ocorrido, por A / B, e a probabilidade condicional de ocorrer A, já tendo ocorrido B, por P(A / B). Na situação anterior, P(A / B) é a probabilidade de o casal ter dois meninos e uma menina dado que o primogênito é menino. Note que o evento B modifica a condição e a probabilidade do evento A, pois, a partir da ocorrência de B, o espaço amostral passa a ser o conjunto B, não mais o conjunto S. Capítulo 19 Probabilidade 19.18

Definição de probabilidade condicional Portanto: P(A / B) = Como: A B = {(M, M, F), (M, F, M)}, n(a B) = 2 e P(A B) = Temos: Capítulo 19 Probabilidade 19.18

Definição de probabilidade condicional Assim, a probabilidade de o casal ter dois meninos e uma menina, se o primeiro filho é menino, é de 50%. Definimos, então: P(A / B) =, com P(B) > 0, ou P(A B) = P(B) P(A / B) Capítulo 19 Probabilidade 19.18

Exercício resolvido R9. De um baralho comum, são retiradas 2 cartas, uma a uma e sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas cartas sejam de copas? Capítulo 19 Probabilidade 19.19

Eventos independentes Dois eventos, A e B, são eventos independentes se a ocorrência de um deles não afeta a ocorrência do outro, isto é, se: P(A / B) = P(A) e P(B / A) = P(B). Para a ocorrência simultânea dos dois eventos independentes, substituímos P(A / B) por P(A) em P(A B) = P(B) P(A / B) e temos: P(A B) = P(A) P(B) Capítulo 19 Probabilidade 19.20

Eventos independentes Assim, dois eventos são eventos dependentes quando a probabilidade de ocorrência de um deles é afetada pela ocorrência do outro. Nesse caso: P(A B) P(A) P(B) Observação A probabilidade de ocorrência de mais de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades de cada um dos eventos. Capítulo 19 Probabilidade 19.20

Exercício resolvido R10. Em uma turma de 30 alunos, cada aluno estuda uma língua estrangeira e outra disciplina, de acordo com a tabela: Química (Q) História (H) Biologia (B) Total Francês (F) 10 3 5 18 Espanhol (E) 5 6 1 12 Total 15 9 6 30 a) Calcular a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, estudar Química, sabendo que ele estuda Francês. b) Verificar se os eventos aluno estuda Química e aluno estuda Francês são eventos independentes. Capítulo 19 Probabilidade 19.21

Análise do método binomial por árvore de possibilidades Acompanhe a situação a seguir. Torneio. Jaime vai participar de um torneio de tênis de mesa composto de 3 jogos. Em cada jogo, Jaime só pode ganhar ou não ganhar. Vamos representar por p a probabilidade de Jaime ganhar um jogo e por q a de não ganhar. Vamos ainda supor que p seja constante para os três jogos. Como não há empate, ganhar e não ganhar são eventos complementares, logo: p + q = 1 Capítulo 19 Probabilidade 19.22

Análise do método binomial por árvore de possibilidades Podemos representar todas as possibilidades desse torneio em uma árvore de possibilidades. Veja: Jaime 1º jogo 2º jogo 3º jogo Probabilidade ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ganha (p) não ganha (q) ppp = p 3 ppq = p 2 q pqp = p 2 q pqq = pq 2 qpp = p 2 q qpq = pq 2 qqp = pq 2 qqq = q 3 Capítulo 19 Probabilidade 19.22

Análise do método binomial por árvore de possibilidades Na representação por árvore de possibilidades, temos, considerando os 3 jogos, a probabilidade de Jaime: ganhar 3 jogos, representada por p 3 ; ganhar 2 jogos, representada por 3 p 2 q; ganhar 1 jogo, representada por 3 pq 2 ; não ganhar jogo algum, representada por q 3. Esses resultados são os termos do desenvolvimento do binômio (p + q) 3. Observe: (p + q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3pq 2 + q 3 Capítulo 19 Probabilidade 19.22

Formalização do método binomial Retomando a situação anterior, vamos calcular a probabilidade de Jaime vencer 3 de 5 partidas disputadas. Antes de calcular a probabilidade de ocorrer o evento E ( Jaime vencer 3 partidas em 5 disputadas ), vamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ( Jaime vencer as 3 primeiras partidas e perder as 2 seguintes ). Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Para cada jogo, suponha que a probabilidade de Jaime vencer é p =, e a probabilidade de Jaime não vencer é q =. Assim: P(E) = Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Como Jaime pode vencer quaisquer 3 das 5 partidas disputadas, devemos contar o total de permutações das 5 partidas, sendo 3 com vitória e 2 com derrota. Recorrendo a uma ferramenta da Análise combinatória (permutação com repetição), determinamos de quantas maneiras podem ocorrer 3 vitórias e 2 derrotas em 5 partidas disputadas: Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Portanto, a probabilidade de Jaime vencer 3 das 5 partidas disputadas é: P(E) = = 31,25% Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Essa situação é um exemplo de aplicação do método binomial para o cálculo de probabilidades. Nela, há somente duas possibilidades com suas respectivas probabilidades: vencer (p) ou não vencer (q). Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Se, para determinado evento, há somente duas possibilidades, sucesso ou insucesso, cujas probabilidades são, respectivamente, p e q, temos, para a probabilidade de ocorrer m vezes o resultado procurado, em um total de n repetições do experimento, a expressão: Capítulo 19 Probabilidade 19.23

Formalização do método binomial Exemplo Jogando um dado cinco vezes, qual é a probabilidade de sair a face de número 3 em dois dos cinco lançamentos? Vamos considerar o evento E: sair a face de número 3 em dois dos cinco lançamentos. A probabilidade de sair a face de número 3 em um lançamento é de, e a probabilidade de não sair a face de número 3 é de. Capítulo 19 Probabilidade 19.24

Formalização do método binomial Exemplo Assim, para sair face 3 em dois dos cinco lançamentos, temos: P(E) = 16,08% Portanto, a probabilidade é, aproximadamente, 16,08%. Capítulo 19 Probabilidade 19.24