Aula 03 Erros epermentas Incerteza Aula 03 Prof. Valner Brusamarello
Incerteza Combnada Efeto da Incerteza sobre = f ± u, ± u, L, ± u, L ( ) 1 1 Epansão em Sére de Talor: k k L f = f 1,, 3, + ± uk + L,,, k k 1 3 f( 1,,...) ( ) ( ) L u c k u c Varação em ncerteza u k
Análse de Incertezas Eemplo: Suponha que medmos a corrente (I) e a resstênca (R) de um resstor. Pela le de Ohm: V = IR Se nós conhecemos as ncertezas (ou desvos padrões) em I e R,qual a ncerteza em V? Mas formalmente, dada uma relação funconal entre algumas varáves (,, z), Q=f(,, z) Qual é a ncerteza em conhecendo as ncertezas em,, e z? Geralmente consderamos a ncerteza padrão em, e escrevemos: ±s. Na maora dos casos assummos a ncerteza Gaussana e como vsto anterormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de esteja no ntervalo [-s, +s]. Nem todas as meddas podem ser representadas por dstrbuções Gaussanas! Para calcular a a varânca de Q como função das varâncas em e, então usamos: Q Q σ Q = σ + σ + σ Q Q
Análse de Incertezas Se as varáves e não são correlaconadas, então σ = 0 e o últmo termo na equação anteror é zero. Podemos deduzr essa equação da sequnte manera: Assumndo que temos algumas quantdades meddas (1,...N) e (1,,...N). As médas de e : N 1 1 = e = N = 1 N = 1 Q f (, ) defna: Q f (, ) avalada nos valores médos epandndo Q sobre estes valores médos: N Q Q Q = Q(, ) + ( ) ( ) + termos de ordens altas +,, assumndo que os valores meddos encontram-se prómos das médas, e desprezando termos de ordens mas elevadas:
á Análse de Incertezas + = N Q Q Q Q Q Q,, ) ( 1 ) ( ) ( = + + = = N N N Q Q Q N Q N Q N Q Q N 1 ) )( ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( σ = = = = + + = N N Q Q Q Q N N N 1 1, 1,, 1, ) )( ( σ σ Se as meddas não são correlaconadas o últmo termo na equação acma é zero:,,,, Q Q Uma vez que as dervadas são avaladas nas médas (, ), podemos trá-las da soma,, Q Q Q σ σ σ + = Meddas não correlaconados
Análse de Incertezas Se e são correlaconados, defnmos σ como: N σ ) )( 1 ( Q Q Q Q Q N σ σ σ σ σ 1 ) )( ( + + = = = Eemplo: Potênca em um crcuto elétrco. Q,,,, P = I R Faça I = 1.0 ± 0.1 A e R = 10. ± 1.0 Ω P = 10 W Calcule a varânca na potênca usando a propagação de ncertezas d I R ã ã l d assumndoquei e R não sãocorrelaconados σ P = σ I P I +σ R P R = σ I (IR) +σ R (I ) = (0.1) ( 1 10) + (1) (1 ) = 5 watts P I I I=1 R R R=10 I ( ) R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Análse de Incertezas P = 10± watts Se o valor verdadero da potêca for de 10 W e nós medrmos a mesma com Se o valor verdadero da potêca for de 10 W e nós medrmos a mesma com uma ncerteza padrão (s) de ± W, consderando uma dstrbução Gaussana, então 68% das meddas fcará dentro do ntervalo [8,1] W Podemos anda, fazer o cálculo anteror com erros relatvos: 1) (4 1) (0 1 0.1 4 4 + + + + P P R I R I P σ σ σ σ σ Observe que se a corrente for medda com mas precsão, a ncerteza na potênca ca mas rapdamente 1) (4 (0.1) 10 1 4 + = + = + = + = R I R P I P P R I R I P ncerteza na potênca ca mas rapdamente. Pode-se mostrar que em uma função do tpo: f(,,z)= a b z c, a varânca relatva de f(,,z) é: f(,, ) c b a σ σ σ σ + + = z c b a f z f σ σ σ σ
Análse de Incertezas O desvo na méda A méda de algumas meddas com a mesma ncerteza (σ) é dada por: = 1 ( 1 + +... n ) n σ = σ 1 1 1 +σ +...σ = σ 1 n n n +σ 1 n +...σ 1 n = nσ 1 n σ = σ n desvo padrão na méda ou ncerteza padrão A precsão aumenta com a raz quadrada do número de epermentos. Não confunda σ com σ! σ está relaconado com a largura da função densdade probabldade ( e.: Gaussana) da qual as meddas são orgnadas. σ não dmnu quando se aumenta o número de elementos.
Incertezas combnadas Depos do procedmento matemátco, das smplfcações e consderações, pode-se obter a epressão para a ncerteza padrão na grandeza G : σ G G G G = σ + σ + σ z z +... Esta equação permte calcular a ncerteza mas provável da grandeza G em função das ncertezas de cada uma das varáves, das quas a mesma é dependente.
Combnação das Incertezas Relatvas z w = ) ( u u u u w z c ) ( + + = w z u w z c
Propagação de Incertezas Todas as grandezas físcas,,quando meddas devem ser representadas por um valor numérco, uma ncerteza e uma undade (se a grandeza não for admensonal). Eemplo: temperatura ndcada no panel de um forno : 700 C C. A epressão grandeza físca mplca na determnação de um número que representa a grandeza e tem pouco valor caso não seja conhecda a ncerteza correspondente. Assm, no caso da temperatura do forno, consderando a precsão do sensor de temperatura, do nstrumento de ndcação e dos cabos poder-se-a chegar a uma nformação do tpo: ( 700 ± 5) o C Onde o valor 700 ndca a grandeza nomnal medda ou estmada e o valor 5 a ncerteza (em ºC) relaconada a esta medda.
Propagação de Incertezas Um ar condconado d de 10000 BTU tem uma tensão elétrca medda de E = ( 0 ± 10) V e corrente I = ( 6± 1) A.Pretende-se determnar a potênca real dsspada neste aparelho de ar condconado: P = ( )( ) = W Pma = ( 0 + 10)( 6 + 1) = 1610 W mn 0 10 6 1 1050 P= VI = 00.6 = 130 W Entretanto, apesar de possível, é bastante mprovável que a ncerteza da potênca seja dada por essas quantdades, uma vez que dos maores ou menores valores de medda d smultâneos devem ocorrer. Segundo o método apresentado anterormente, o resultado do cálculo da ncerteza fnal é uma função das varáves ndependentes,, z,... para: σ = G,, z,... ( ) G
Incerteza Epandda Especfcando a Incerteza da Medda (Precsão) Medda Ideal = Medda Real ± U U é a Incerteza Epandda k = Fator de Cobertura Determna o Nível de Confdênca U = ±kuk Grau de crença de que o valor deal da medda se encontra no ntervalo Se a quantdade z apresentar uma dstrbução normal, com Fator de Cobertura espectânca z e desvo p(z) padão σ, o ntervalo z ±kσ abarca 68,7%; 90%; 95,45%; 99% Área = e 99,73% P( z kσ <z< (nível z + kσ de ) confdênca) dos possíves valores de z, para k=1; k=1,645; k=; k=,576 e k=3 respectvamente (consderando nível graus de confdênca de lberdade ) Área Para outras dstrbuções os valores z são dferentes z kσ z z + kσ c
Propagação de Incertezas Consdere, nos prómos eemplos, erros com dstrbução gaussana. Se nada for nformado sobre o nível de confdênca, o mesmo corresponde a 68,3% (±σ). No eemplo da potênca, calcule a ncerteza resultante mas provável. A superfíce juntamente t com a ncerteza total t de um paralelepípedo l deve ser calculada. Os resultados das meddas das dmensões são: = ( 100 ± 1% ) mm = ( 300 ± 3% ) z = ( 5 ± ) mm mm
eercícos Aplca-se uma Tensão de = 100. V ± 1%. a um resstor de R = 10. Ω ±, sendo a corrente medda gual a I = 10. A ± 1%. Deseja-se calcular a potênca dsspada de três modos dferentes: V P = R V 10 ± 1 % P = RI P = V. I Qual dos modos você consdera mas adequado?
eercícos ( )Ω ( )Ω Dados dos resstores, R = 300 ±., R 1 = 0 ± 4., determne o valor da resstênca equvalente, quando: (a) Os resstores estverem em sére; (b) Os resstores estverem em paralelo.
eercícos A resstênca elétrca de um fo de cobre, em função da temperatura, é dada por: R = R0 1+ α ( T T0) onde, Ro = 6,00 Ω ± % ( na temperatura To) α = 0,0004 C -1 ± 5% T = 40 C C ± C To = 0 C ± C Calcule R com a sua ncerteza relatva
Análse de ncerteza - Eemplo Incerteza Combnada Eemplo: 600 Condconador de Snal 1 1 Condconador d de Snal 500 + 1=. + =10. 1-3 400 = m ± dstrbução normal nível de confdênca 300 =99,73% graus de lberdade d u =/3=0,66 00 e 1 = 5 ± 1 100 dstrbução normal nível de confdênca =95,45% graus de lberdade 0 u e1 =1/=0,5 u e 1 Varável espúra e 1 c u c U =10. (+e1)-3 =, + 1 0,0 u u e m e 1 m = [ ( 0 ) 0,66 ] + [ ( 10 ) 0,5 ] = 0 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 =(0 m +47) ± 4 k=3 Grau de confdênca 99,73%
Análse de ncerteza - Eemplo Incerteza Combnada Eemplo: 600 Condconador 500 de Snal =.e. 400 e 300 Fonte de Almentação =m±0,4 e=10 ± 3, dstrbução 100normal nível de confdênca =95,45% graus de lberdade u =0,4/=0, u e =3,/=1,6 u c, 10 u +,10 u e m = e m c [(.10) 0,] [( ) 1,6 ] u = + 00 U(1) m u = + c 16 10,4m = 0 m ± 3. (16+10,4 m ) 0 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 k=3 Grau de confdênca 99,73%
Propagação de Incerteza A ncerteza se propaga p de um estágo para outro do Sstema de Medção A função de transferênca de cada estágo afeta a ncerteza Condconador de Snal 1 1 Condconador de Snal + 1=. + =10. 1-3 e 1 Varável espúra e 1 u 1=. u 1 = u 1= 1 +e 1 = + e u u u 1 1 1 =10. 1-3 u =10 u 1 u e 1
Propagação de ncerteza - Eercíco Eercíco Determne a ncerteza epandda em cada estágo. 3 + e + 1 ^ ex + e 3 + 3.ln ^3 0,5 =m±0,05 (99,73%) e 1 = ± 0,1 (95,45%) e =0 ± 0,4 (99%) e 3 =1 ± 0,1 (99,73%) Qual das fontes de ncerteza é predomnante?
Incertezas combnadas Como vsto anterormente, é mportante saber se as varáves de entrada são correlaconadas, pos sso muda a forma da abordagem!
Covarânca A covarânca mede a relação entre duas varáves: COV X Y E X Y E XY (, ) =σ ( ) ( ) ( ) XY = Y = X Y Se X e Y são ndependentes então COV(X,Y)=0 porque E(X.Y)=E(X).E(Y)= ( ) ( ) A covarânca estmada de duas estmatvas de entrada, and j, são denotadas por u(, j ). A correlação é um parâmetro que mede a relação entre duas varáves geralmente mas fácl de nterpretar: COV ( X, Y ) ρ = XY V X V Y ( ) ( )
Incerteza combnada não correlaconada - resumo Se f é a função que descreve um modelo da medda. Cada u() é uma ncerteza padrão avalada. A ncerteza padrão combnada u() é um desvo padrão estmado dos valores que poderam, razoavelmente,ser atrbuídos ao mensurando Y;
As dervadas parcas df /d são guas a df /d X avaladas para X = ; Estas dervadassão denomnadas coefcentes de sensbldade e descrevem como a estmatva de saída vara com alterações nos valores das estmatvas de entrada,,,..., N. Se esta alteração é gerada pela ncerteza padrão da estmatva, a varação correspondente em, a varânca combnada pode ser vsta como a soma de termos,onde cada um deles representa a varânca estmada assocada com a estmatva de saída gerada pela varânca estmada, assocada com cada estmatva de entrada, ou onde
Eemplo Se uma dferença de potencal V é aplcada aos temnas de um resstor dependente da temperatura que tem uma resstênca Ro, à uma temperatura t defnda dfd to e um coefcente f de temperatura t lnear da resstênca α, a potênca P (o mensurando) dsspada pelo resstor, à temperatura t, depende de V, Ro, α e t, de acordo com:
Eemplo
GUM A sensbldade pode ser avalada numercamente, nesse caso consulte o GUM! A sensbldade também pode ser avalada epermentalmente varando uma das entradas, mantendo as demas constantes e verfcando a saída; Num eemplo anteror, a estmatva do valor do mensurando V = V + V, onde v = 0,98 571 V, u(v) = 1 pv, a correção adtva V =0, e u( V)=8,7 pv. Uma vez que dv/dv = 1 e dv/d( V) = 1, a varânca combnada assocada com V é dada por: Este é um eemplo do caso em que o mensurando é uma função lnear Este é um eemplo do caso em que o mensurando é uma função lnear das grandezas das quas depende, com coefcentes c= +l. se Y = c1x1 + c1x1 +... + CNXN e se as constantes c =+1 ou -1,
Correlações A covarânca assocada com as estmatvas de duas grandezas de entrada X e Xj podem ser tomadas como nulas ou tratadas como nsgnfcantes, se: a) X e Xj forem não-correlaconadas b) qualquer das grandezas X ou Xj puder ser tratada como constante c) não estrem nformações sufcentes para avalar a covarânca assocada às estmatvas de X e Xj. Pode-se avalar se duas grandezas de entrada observadas smultânea e repetdamente são ou não correlaconadas por meo da equação:
Correlações Na prátca, as grandezas de entrada são, freqüentemente, correlaconadas, porque o mesmo padrão de medção físco, nstrumento de medção, dado de referênca, ou até mesmo o método de medção, tendo uma ncerteza sgnfcatva, são usados na estmatva de seus valores. Consderando duas varáves X1 e X A varânca de X1: A covarânca para as varáves de entrada 1 e :
Grandezas de entrada correlaconadas Quando as grandezas de entrada são correlaconadas, a epressão aproprada para a varânca combnada uj (), assocada com o resultado de uma medção é: Onde e j são as estmatvas de X e Xj u(, j )=u(j, ) a covarânca estmada, assocada com e j. O grau de correlação entre e j é caracterzado pelo coefcente de correlação estmado:
Grandezas correlaconadas A equação anteror pode ser reescrta em termos da correlação: Para o caso muto especal em que todas as estmatvas de entrada são correlaconadas, com coefcentes de correlação r ( ), j = + 1 a equação se reduz a:
Eemplo Dez resstores, cada um com uma resstênca nomnal de R=1000 Ω,, são calbrados com uma ncerteza de comparação desprezível, em termos de um mesmo resstor padrão Rs de 1000 Ω, caracterzada por uma ncerteza padrão u(rs) = 100 m Ω, tal como apresentado em seu certfcado de calbração. Os resstores são conectados em sére com fos de resstênca desprezível, de forma a se obter uma resstênca de referênca Rref de valor nomnal de 10 kω 10 Assm, Assm, ( ) = = = 1 ( j ) ( j ) R f R R ref r, = r R, R = 1 Já que para cada par de resstores, a equação do eemplo anteror se aplca. f Como para cada resstor = Rref = 1 e u ( ) =u ( R ) =u ( R S ) R 10 esta equação produz: ( ) ( ) ( ) u R = u R = 10 100 m Ω = 1 Ω c ref S = 1 10 1/ c ref S ( ) ( ) u R = u R = 0, 3 O resultado =11 é ncorreto, pos não leva em conta que todos os valores calbrados dos dez resstores são correlaconados.
Covarânca e correlação Consdere duas médas artmétcas qm e rm que estmam as esperanças q e r de duas grandezas q e r, varando aleatoramente, e calcule qm e rm a partr de n pares ndependentes e de observações smultâneas de q e r, fetas sob as mesmas condções de medção. Então a covarânca de qm e rm é estmada por: Onde qk e rk são as observações ndvduas das grandezas q e r; Se as observações não são correlaconadas, espera-se se que a covarânca calculada fque próma de 0. coefcente de correlação:
Grandezas correlaconadas Correlações entre grandezas de entrada não podem ser gnoradas, se estão presentes e são sgnfcatvas. As covarâncas assocadas devem ser avaladas epermentalmente,se possível, varando-se as grandezas de entrada correlaconadas ou usando-se o conjunto de nformações dsponíves sobre a varabldade correlaconada das grandezas em questão. A ntução, baseada em eperênca anteror e no conhecmento geral é especalmente requerda quando se estma o grau de correlação entre grandezas de entrada decorrentes do efeto de nfluêncas comuns, tas como temperatura ambente, pressão barométrca e umdade. Felzmente, em mutos casos, os efetos de tas nfluêncas têm nterdependênca desprezível, e as grandezas de entrada afetadas podem ser supostas como não-correlaconadas.
Tamanho da amostra Uma das grandes preocupações do ponto de vsta epermental é como determnar o tamanho da amostra, ou seja, como responder a segunte pergunta: Quantas amostras ou ensaos devem ser realzados para garantr um bom sgnfcado estatístcos dos meus dados? A resposta a esta pergunta não é smples, pos depende do tpo de epermento, do planejamento estatístco do epermento, dos parâmetros ou efetos que serão estmados e da ncerteza padrão desses efetos que depende da varabldade ntrínseca do epermento, da eatdão do epermento e do tamanho da amostra. Repetções não reduzem o desvo padrão, mas reduz a ncerteza padrão do epermento. Portanto, o erro padrão pode ser pequeno aumentando-se o número de repetções.
Tamanho da amostra O ntervalo de confança para a méda é dado por ± ε sendo σ ε = zα n O tamanho da amostra n é dado por : n z α σ = ε sendo z a varável aleatóra normal, α o nível de sgnfcânca, σ o desvo padrão e ε o erro mámo usando para estmar a méda. n é arredondado d d para o prómo número ntero. Esta epressão consdera que a amostragem é aleatóra e que é grande n>30, tal que, a dstrbução normal pode ser usada para defnr o ntervalo de confança
Tamanho da amostra Para tamanho de amostras pequeno (n<30), a dstrbução t é usada. A dstrbução t de Student é uma dstrbução de probabldade teórca. É smétrca, campanforme, e semelhante à curva normal padrão, porém com caudas mas largas, ou seja, uma smulação da t de Student pode gerar valores mas etremos que uma smulação da normal. O únco parâmetro v que a defne e caracterza a sua forma é o número de graus de lberdade. Quanto maor for esse parâmetro, mas próma da normal ela será. A dstrbução t de Student aparece naturalmente no problema de se determnar a méda de uma população (que segue a dstrbução normal) a partr de uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a méda ou o desvo padrão da população, mas ela deve ser normal.
A dstrbução-t e os graus de lberdade Para obter uma melhor apromação do que smplesmente usar um valor kp da dstrbução normal, para defnr um ntervalo de confança requer, não a dstrbução da varável [Y - E(Y)]/σ(), mas a dstrbução da varável ( -Y)/u(). Isto se dá porque, na prátca, tudo que está geralmente dsponível é, a estmatva de Y e a estmatva do desvo padrão; Se z é uma varável aleatóra normalmente dstrbuída com esperança z, e desvo padrão σ e z é a méda artmétca de n observações ndependentes zk de z e s( z ) o desvo padrão epermental de z, então a dstrbução da varável É a dstrbução-t ou dstrbução de Student com v = n-1 graus de lberdade.
DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT n1>n>n3>>n4 n1, σ1 σ1<σ<σ3<σ4< < < n, σ n3, σ3 n4, σ4
DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT -t 0 +t t t = s / n
Tamanho da amostra A varável aleatóra t segue uma dstrbução t de student com v=n-1 graus de lberdade Eemplo: determnar o tamanho da amostra consderando d um epermento onde estmamos a méda de um processo com erro mámo de 8. Assumr que o ntervalo de confança é de 95% e que é necessáro uma amostra grande. z α σ n = α = z = 1, 96 ε ε 1 95% = 8
Tamanho da amostra Porém normalmente o desvo padrão é desconhecdo, pos o ensao não fo realzado em função de não termos determnado o número ou tamanho a da amostra. a. Uma boa solução é realzar algumas medções aleatóras, ou seja, alguns ensaos aleatóros e determnar o desvo padrão estmado ndcado por s, ou seja, para esse eemplo, dez medções aleatóras foram realzadas para estmar o desvo padrão: 450, 458, 437, 45, 399, 405, 407, 409, 469, 461. A méda artmétca obtda é 43 e o desvo padrão: s n z σ ( X) α 1,96 6,4 n = = = 41, 83 = 1 6, 4 ε 8 = n 1
Tamanho da amostra Para uma quantdade pequena de amostras n e assumndo que a méda das amostras segue uma dstrbução apromadamente normal se utlza a dstrbução t para determnar o ntervalo de confança. Nesse caso, a equação é s ε = t Cabe observar, que o valor da dstrbução t dmnu com o aumento de n α n
Graus de lberdade Nt Note que o d dvsor da varânca da amostra é é o tamanho da amostra menos 1 (n-1), enquanto para a varânca da população, é o tamanho da população p n. Se soubéssemos o valor verdadero da méda populaconal, então poderíamos encontrar a varânca da amostra como a méda dos quadrados dos desvos das observações da amostra em torno de. Na prátca, o valor de quase nunca é conhecdo, e dessa forma, a soma dos quadrados dos desvos em torno da méda X tem que ser usada. No entanto as observações X tendem a estar mas prómas do seu valor médo X, do que a méda populaconal. Para compensar sso, usamos n-1 como dvsor ao nvés de n. Se usássemos n como dvsor na varânca da amostra, obteríamos uma medda de varabldade que sera, em méda, consstentemente menor que σ da população.
Graus de lberdade Outra manera de pensar acerca dsso é consderar a varânca s, da amostra como estando baseada emn-1 graus de lberdade. O termo graus de lberdade d resulta do fato de quen desvos X 1 -X, X X,...,X n X sempre somam zero e assm, especfcar os valores de quasquer n-1 dessas quantdades determna automatcamente aquele restante. Dessa forma, somente n-1 nos n desvos X X, estão lvremente determnados.
df t.60 t.70 t.80 t.90 t.95 t.975 t.99 t.995 1.35.77 1.376 3.078 6.314 1.706 31.81 63.657.89.617 1.061 1.886.90 4.303 6.965 9.95 3.77.584.978 1.638.353 3.18 4.541 5.841 4.71.569.941 1.533.13.776 3.747 4.604 5.67.559.90 1.476.015.571 3.365 4.03 6.65.553.906 1.440 1.943.447 3.143 3.707 7.63.549.896 1.415 1.895.365.998 3.499 8.6.546.889 1.397 1.860.306.896 3.355355 9.61.543.883 1.383 1.833.6.81 3.50 10.60.54.879 1.37 1.81.8.764 3.169 11.60.540.876 1.363 1.796.01.718 3.106 1.59.539.873 1.356 1.78.179.681 3.055 13.59.538.870 1.350 1.771.160.650 3.01 14.58.537.868 1.345 1.761.145.64.977 15.58.536.866 1.341 1.753.131.60.947 16.58.535.865 1.337 1.746.10.583.91 17.57.534.863 1.333 1.740.110.567.898 18.57.534.86 1.330 1.734.101.55.878 19.57.533.861 1.38 1.79.093.539.861 0.57.533.860 1.35 1.75.086.58.845 1.57.53.859 1.33 1.71.080.518.831.56.53.858 1.31 1.717.074.508.819 3.56.53.858 1.319 1.714.069.500.807
Dstrbução t Alguns valores apromados da dstrbução versus valores de com ntervalo de confança de 95% -α = 0,05 = 0, 05 1 1,7 1,00 1,7 4,30 1,41 3,05 3 3,18 1,73 1,84 4,78,00 1,39 5,57,4 1,15 6,45,45 1,00 7,36,65 0,890 8,31,83 0,816 9,31 3,00 0,770 10,3 3,16 0,706 15,13 3,87 0,550 0,09 4,48 0,466 5,06 5,00 0,41
Dstrbução t Eemplo: suponha outro epermento com 15 amostras prelmnares de méda artmétca 91,3 e desvo padrão s=63. Determnar o ntervalo de confança de 95%. Como a amostra é pequena, o ntervalo de confança será obtdo usando a dstrbução t t 15 amostras e 15 ; α ntervalo de confança de 95% 1 α = 0,95 α = 0, 05 ( ) s 63 ε = t α = t0,05 = t n 15 0,05 63 15,13 16,8 34,67
EXEMPLO 0 0 1 = 0 C = 0, 1 C σ = 01 0,1 C 0 Coordenada Z 0,1 0 z = = = 1 σ 0,1 z =1 p = 84,13%( 0,1) p = 15,87%( 0,1)
EXEMPLO 0 0 = 0 C = 01 0, C s = 01 0, C n = 10 Coordenada t 0,1 0 t = = = 3,16 s 0,1 n 10 0 t p p (?) = 99,4%( 0,1),81 99 3,16? 3,50 99,5 p 0,6%( 0,1) =
DISTRIBUÍÇÕES NORMAL PADRONIZADA E t DE SUDENT Coordenada Z z = σ Coordenada t t = s n
Graus de lberdade efetvos Consdere que Y=f(X1,X,X3)=bX1XX3 X X3)=bX1XX3 e que as estmatvas de X1, X e X3 são as médas artmétcas de n1=10, n=5 e n3=15 repetções de observações ndependentes com ncertezas relatvas padrão u1/1=0,5%,u/=0,57% e u3/3=0,8%. Nesse caso a resposta da ncerteza da varável Y de saída é [u()/]=(1,03%); assm procedemos... ν eff u 4 ( ) u = c = c u 4 ( ) N N = 1 = 1 4 ( ) ( c u( ) 1 ν ν 4
Graus de lberdade efetvos u ( ) 4 4 c uc ( ) 4 1, 03 N 4 4 4 4 4 u ( ) ( u ( ) 0, 5 0, 57 0,8 + + 3 = 1 ν = = = = 19, 0 eff ν ν = 1 10 1 5 1 15 1 O valor de tp para p=95% e v=19 é t95(19)=,09 A ncerteza relatva epandda d é U95=,09(1,03%)=,% Y=±U95=(1±0,0)
CRITÉRIOS DE REJEIÇÃO
CRITÉRIO DE REJEIÇÃO NÃO EXISTE CRITÉRIO QUE SEJA SUPERIOR AO JULGAMENTO DE UM TÉCNICO EXPERIENTE, QUE ESTEJA FAMILIARIZADO COM SEU PROCESSO DE MEDIÇÃO. AS REGRAS ESTATÍSTICAS SÃO PRINCIPALMENTE PARA AUXÍLIO AOS TÉCNICOS INEXPERIENTES, QUE ESTEJAM TRABALHANDO COM UM NOVO PROCESSO DE MEDIÇÃO OU PARA AQUELES QUE SIMPLESMENTE DESEJAM JUSTIFICAR PORQUE ELES TOMARAM AQUELA DECISÃO Natrella M.G Epermental Statstcs ; Natonal Bureau of Standards Handbook 91,1963
CRITÉRIO DE CHAUVENET Condção para Rejeção de qualquer q valor de um conjunto: > k( n) s n k (n) 1,15 3 135 1,35 4 1,54 5 1,65 6 1,73 7 1,80 8 1,86 9 1,9 10 1,96
CRITÉRIO DE CHAUVENET Y(mm),547,549 Será rejetado =,597,553 n,555,597 557,557,559,561,565,567 1 =, 547,597 s = 0,014 =,561,561 > 1,96 0,014,547,561 < 1,96 0,014
CRITÉRIO DE DIXON quantdade de repetções n 3 n 7 r10 8 n 10 r11 r j r 11 n 13 1 14 n 5 r r j n suspeto 1 suspeto r 10 ( n - n1 n-1 )/( n - 1 ) ( - 1 )/( n - 1 ) r 11 ( n - n-1 )/ ( n - ) ( - 1 )/ ( n-1-1 ) r 1 ( n - n n- )/( n - ) ( 3-1 )/( n1 n-1-1 ) r ( n - n- )/ ( n - 3 ) ( 3-1 )/ ( n- - 1 ) r > j(calculado) r j(tabelado) Rejeta-se o respectvo valor
CRITERIA FOR REJECTION OF OUTLYING OBSERVATIONS Statstc Number of Observatons, Upper Percentles n.70.80.90.95.98.99.995 3.684.781.886.941.976.988.994 4.471.560.679.765.846.889.96 r 10 5.373.451.557.64.79.780.81 6.318.386.48.560.644.698.740 7.81.344.434.507.586.637.680 8.318.385.479.554.631.683.75 r 11 9.88.35.441.51.587.635.677 10.65.35.409.477.551.597.639 11.391.44.517.576.638.679.713 r 1 1.370.419.490.546.605.64.675 13.351.399.467.51.578.615.649 14.370.41.49.546.60.641.674 15.353.40.47.55.579.616.647 16.338.386.454.507.559.595.64 17.35.373.438.490.54.577.605 18.314.361.44.475.57.561.589 r 19.304.350.41.46.514.547.575 0.95.340.401.450.50.535.56 1.87.331.391.440.491.54.551.80.33.38.430.481.514.541 3.74.316.374.41.47.505.53 4.68.310.367.413.464.497.54 5.6.304.360.406.457.489.516
CRITÉRIO DE DIXON n =10 r j = r 11 Y(mm) n,547 549,549,597 r = n n 1 =,553 n 11,597,555 n,557,549,559 r = 1,561 1 11,567,565 n 1 1 567,567,597 r = 0, 477 j ( tabelado) = Rejetado,597 j 547 1 =,,567 = 0, 65,, n,549,547 = = 0,, 547 100 0,65> 0,477 0,100< 0,477
Para um valor CRITÉRIO DE GRUBBS UM VALOR ou n G = = = s = Valor suspeto Méda Amostral Desvo padrão s Um Valor Dos Valores 1-p n 0,05 0,01 0,05 0,01 3 1155 1,155 1155 1,155 - - 4 1,481 1,496 0,000 0 5 1,715 1,764 0,009 0,0018 6 1,887 1,973 0,0349 0,0116 7,0,139 0,07080708 0,03080308 8,16,74 0,1101 0,0563 9,15,387 0,149 0,0851 10,9,8 0,1864 0,115 Condção de Rejeção para um valor G calculado> G tabelado
s Y(mm) CRITÉRIO DE GRUBBS UM VALOR Será rejetado n =,597,547,549,553,597,555 G = 0,014 557,557,559,561 =, 1 547,565,567,547 =,597 = 0,014 =,561,561 =,571,571 >,90,561 G = 1000 1,000 1,000 <, 90 0,014
Esquema de um arranjo ordenado das quantdades d estmadas, ncertezas padrão, coefcentes de sensbldade e contrbução de ncertezas usadas na análse de ncertezas de uma medda. Quantdade d Estmatva Incerteza Coefcente de Contrbução da padrão sensbldade ncerteza padrão
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC Como parte de uma calbração geral, um multímetro dgtal (DMM) de mão é calbrado para uma entrada de 100 V utlzando um calbrador multfunconal como um padrão de trabalho. O segunte procedmento de medda é utlzado: os termnas de saída do calbrador são conectados aos termnas de entrada do DMM utlzando cabos de meddas adequados. O calbrador é ajustado em 100 V e depos de um período adequado de establzação o valor ndcado no DMM é regstrado. O erro de ndcação do DMM é calculado utlzando as leturas do DMM e os ajustes do calbrador. Deve ser percebdo que o erro de ndcação do DMM que é obtdo utlzando este procedmento de medção nclu o efeto de offset e também os desvos de lneardade. O erro de ndcação do DMM a ser calbrado é obtdo de
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC V X E = V V + δv δv X X S IX S é a tensão elétrca ndcada pelo DMM (o índce sgnfca ndcação); V S é a tensão elétrca gerada pelo calbrador; δv X é a correção da tensão ndcada devdo a resolução fnta do DMM; δv S é a correção do calbrador de tensão devdo a: derva desde a últma calbração; desvos resultantes de efetos combnados de offset, não lneardade e dferenças no ganho; desvos na temperatura ambente; desvos na tensão de almentação; efetos de carga resultantes da entrada de resstênca fnta do DMM a ser calbrado.
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC Devdo à lmtação na resolução de ndcação do DMM, não fo observado dspersão nos valores observados. Leturas do DMM ( V X ): o DMM ndca a tensão de 100,1 V quando o ajuste do calbrador é de 100 V. A letura do DMM é consderada eata. Padrão de Trabalho ( V S ): o certfcado de calbração para o calbrador multfunconal dz que a tensão gerada é o valor ndcado pelo ajuste do calbrador e a ncerteza relatva epandda assocada de medda é de W=0,0000 (com um fator de cobertura k= ), resultando uma ncerteza epandda de medda assocada com o ajuste de 100 V de U=0,00 V (fator de cobertura k=). Resolução do DMM a ser calbrado ( δv X ): o dígto menos sgnfcatvo do dspla do DMM corresponde a 0,1 V. Cada letura do DMM possu uma correção devdo à resolução fnta do dspla, a qual é estmada em 0,0 V com lmtes de ± 0,05 (sto é, metade da magntude do dígto menos sgnfcatvo).
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC Outras correções ( δv S ): a ncerteza de medda assocada com as dferentes fontes é coletada das especfcações nformadas pelo fabrcante do calbrador. Estas especfcações dzem que a tensão gerada pelo calbrador concde com o ajuste do calbrador dentro de ± ( 0, 0001 V 1 sob as seguntes condções de + mv S ) medda: a temperatura ambente está entre a faa de 18 C a 3 C; a tensão de almentação do calbrador está dentro da faa de 10 V a 50 V; a carga resstva dos termnas do calbrador é maor que 100 kω. o calbrador fo calbrado no últmo ano. Uma vez que estas condções de medda são atenddas, e a hstóra de calbração do calbrador mostra que as especfcações do fabrcante são confáves, faz-se então, a correção a ser aplcada na tensão gerada pelo calbrador de 0,00 V com ± 0,011011 V. Correlação: As quantdades de entrada não são consderadas correlaconadas com algum grau de etensão sgnfcatvo.
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC Quantda Estmat Incerte Dstrbuçã Coefcent Contrbuç de va za o de e de ão da X padrão probablda sensbld ncerteza u( ) des ade u ( ) c V X 100,1 V - - - - V S 100,0 V 0,001 V normal -1,0-0,001 V δ V X 0,0 V 0,09 V Retangular 1,0 0,09 V δ V S 0,0 V 0,0064 Retangular -1,0-0,0064 V V EX 0,1 V 0,030030 V
Calbração de um Multímetro Dgtal de mão em 100 V DC Incerteza epandda: a ncerteza de medda padrão assocada com o resultado é claramente domnada pelo efeto da resolução fnta do DMM. A dstrbução fnal não é normal, mas essencalmente retangular. Portanto, o método de graus de lberdade efetvos não é aplcável. O fator de cobertura aproprado para uma dstrbução retangular é calculado da relação: ( ) 1,65 0,030 0,05 U = k u E = V V X Resultado: O erro de ndcação meddo do voltímetro dgtal em 100 V é de (0,10 ± 0,05) V. O resultado da ncerteza epandda de medda é a ncerteza padrão de medda multplcada pelo fator de cobertura deduzdo de uma dstrbução de probabldades consderada retangular para uma cobertura de probabldade de 95%.
INTERVALO DE CONFIANÇA n,, s A A A n,, s D D D n,, s, σ B B B n, s C, C, C n,, s E E E IC = ± tν p ν s n
Graus de Fração p em porcentagem lberdade v 68,7 (a) 90 95 95,45 (a) 99 99,73 (a) 1 1,84 6,31 1,71 13,97 63,66 35,80 13 1,3 9,9 430 4,30 453 4,53 99 9,9 19,1 3 1,,35 3,18 3,31 5,84 9, 4 1,14,13,78,87 4,6 6,6 5 1,11,0,57,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94,45,5 3,71 4,90 7 1,08 1,89,36,43 3,5 4,53 8 1,07 1,86,31,37 3,36 4,8 9 1,06 1,83,6,3 3,5 4,09 10 105 1,05 181 1,81 3,3 8,8 317 3,17 396 3,96 11 1,05 1,80,0,5 3,11 3,85 1 1,04 1,78,18,3 3,05 3,76 13 1,04 1,77,16,1 3,01 3,69 14 1,04 1,76,14,,98 3,64 15 1,03 1,75,13,18,95 3,59 16 1,03 1,75,1,17,9 3,54 17 103 1,03 174 1,74 11,11 16,16 9,9 351 3,51 18 1,03 1,73,10,15,88 3,48 19 1,03 1,73,09,14,86 3,45 0 1,03 1,7,09,13,85 3,4 5 1,0 1,71,06,11,79 3,33 30 1,0 1,70,04,09,75 3,7 35 1,01 1,70,03,07,7 3,3 40 1,01 1,68,0,06,7 3,0
COMPARAÇÃO ENTRE E MÉDIAS Comparação de uma méda atual com um valor consderado como referênca ts < < + ref n ts n Onde: = méda ref = valorde referênca
n Massa Esp(g/cm³) 1 0,746 0,746 ref = 0,745 3 0,747 4 0747 0,747,78 0,000055 LI = 0,747 = 0,746 5 0,747 5 Méda 0,747 s 0,000055000055,78 0,000055 t (95%;ν=4),78 LI = 0,747+ = 0, 747 0,745 < 0,746 A méda amostra 0,747 g/cm³ não é compatível com o valor de referênca 0,745 g/cm³, para uma probabldade de 95% 5