Matemática. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data:
DERNO I (5 minutos com calculadora). Na figura está representado o triângulo [ ]. 5º 0 5º Sabe-se que: = 0 = 5º = 5º é a medida da altura do triângulo [ ], relativa ao lado [ ]. Qual é o valor de, arredondado às centésimas? (),68 (),59 (),66 (D),70. O triângulo [ PQR ] da figura representa o esquema de um terreno em que PQ = 50 m e PR = 0 m. R 70º 0 m Q P 50 m Sabe-se ainda que o ângulo PRQ tem 70º de amplitude... Qual é, em graus com arredondamento às centésimas, a amplitude do ângulo RQP? (),º () 75,68º (),00º (D),06º.. Determine a área do terreno. presente o resultado em metros quadrados arredondado às unidades.
. onsidere a função f definida em ] 0, [ por f sin =. + cos 5.. Determine o valor eato de f 6. presente o resultado na forma a + b c, com a, b, c Z... Seja α 0,. Mostre que f α f + α =.. Eistem dois pontos e pertencentes ao gráfico da função f, de abcissas e +, respetivamente, cujas ordenadas também diferem de uma unidade. f f ( ) + f O + Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto. Na sua resposta: equacione o problema; reproduza num referencial o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que le permitem resolver a equação; apresente o valor pedido arredondado às centésimas.
aderno II (5 min sem calculadora). onsidere o triângulo [ ] em que: = 8 = 7 = M é o ponto do lado [ ] tal que [ M ] é uma mediana do triângulo. M.. Mostre que a amplitude do ângulo é igual a 60º... O comprimento de [ M ] é igual a: () 7 () () 55 (D) 7 5. Qual é o valor de () arctan arcsin sin? () () (D) 0 5
6. onsidere a função f definida em 0, sin =. cos por f Na figura está representada, num referencial o.n. Oy, a circunferência de centro na origem e raio bem como a reta r de equação =. Sabe-se que: o ponto se desloca ao longo da circunferência, no y r primeiro quadrante; D a semirreta O interseta a reta r no ponto D ; o ponto tem coordenadas (, 0 ) ; o ponto pertence ao eio O e tem abcissa igual O α à do ponto. Para cada posição do ponto, seja α a amplitude, em radianos, do ângulo O. 6.. Mostre que, para cada α 0,, a área do trapézio [ D ] é dada por f α. 6.. Seja β 0, tal que tan β =. Determine f ( β ). 6.. Se D =, a área do trapézio [ D ] é igual a: () () () (D) 6.. Determine D sabendo que O =. FIM otações: aderno aderno........... Total.... 5. 6.. 6.. 6.. 6. Total 0 0 0 0 0 0 00 5 0 0 0 0 0 5 00 5
Proposta de resolução aderno I. D = 80º = 80º 5º = 5º Seja = D e D =. = tan 5º = = = tan5º = tan5º + 0 + 0 = 5º 5º 5º 0 D = tan5º + 0 tan5º tan5º = 0 tan5º tan5º = 0 tan5º 0 tan5º = tan5º,66 Resposta: ().. Pela Lei dos Senos, temos: sin 70º sin 0sin 70º = Q sin Q = 50 0 50 omo sin Q 0, 568, vem Q,º, ou seja, RQP,º. Resposta: ().. QPR 80º 70º, º 75, 68 Seja a altura do triângulo [ PQR ] relativa ao vértice R. sin 75, 68º 0 0sin ( 75, 68º ) [ PQR] PQ 50 0sin 75, 68º = 77 área do terreno é, aproimadamente, igual a 77 m. R 0 m,º 75,68º P 50 m Q sin cos. f =, ] 0,[ + 5 sin 5.. f 6 = = = = = 6 5 + cos ( ) 6 + + + = = = = + ( )( + ) álculo auiliar 5 sin = sin = sin = 6 6 6 5 cos = cos = cos = 6 6 6 6
.. sin sin α + α cosα cosα f α f α + = = =. + sinα sinα + cos α + cos + α cos α cos α cos α = = = = + sin sin sin cos α α α α.. abcissa do ponto é a solução da equação f ( ) f Introduziram-se na calculadora as funções y f ( ) + = + ( + ) ( ) sin = + = e + cos + y y y sin y = f + = + e determinou-se a abcissa do ponto de + cos interseção dos respetivos gráficos, obtendo-se o resultado que se apresenta ao lado. ssim, 0, 99. O 0,989 aderno II.. Pelo Teorema de arnot, a = b + c bc cos 7 = + 8 8 cos 9 = 9 + 6 8 cos b = a = 7 8 cos = 9 + 6 9 cos = cos = 8 c = 8 Logo, como é um ângulo agudo, = 60º... Se [ M ] é uma mediana do triângulo então M = = 8 =. plicando novamente o Teorema de arnot, com M =. = + cos 60º = 9 + 6 > 0 = 5 = = Resposta: () 60º M arctan arcsin sin = y 5. arctan = tan =, arcsin sin = y arcsin = y sin y = y, y = = arctan arcsin sin = y = = + = 0 Resposta: (D) sin sin = + = sin = 7
6.. O = cosα, = sinα e D = tanα O D O [ D] = [ OD] [ O] = = tanα cosα sinα sinα = = sinα cosα = cosα ( α ) sinα sinα cos α sin α cos = = = cosα cosα α α α sin sin sin = = cosα cosα Portanto, a área do trapézio [ D ] é dada por f ( α ). sinα tanα = cosα cos α = sin α 6.. tan β = omo + tan β =, vem 5 cos cos β + = β cos β = cos β = 5 Sendo β 0,, cos β > 0 pelo que cos β = = 5 5 Dado que sin β + cos β =, temos sin β + = sin β = sin β = 5 5 5 f omo β 0,, sin β > 0 pelo que sin β = = 5 5 ( β ) β 5 5 5 = = = = cos β = 5 5 5 5 sin 6.. D = tanα =. Logo, como α 0,, temos α =. sin Portanto, se D =, [ D] = f = = = = cos Resposta: () 6.. ( cos α, sinα ) e D(, tanα ) O = cosα =. omo 0, α, temos α = pelo que sinα = e tanα =. Então,, e D (, ) pelo que D = + = + = + = = Em alternativa, pelo Teorema de Tales, OD O + D = = + D = D =. O O 8