GEOMETRIA ANALÍTICA
Equação fundamental da reta
(Xo, Yo) (X, Y)
(Xo, Yo) (X, Y)
PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao seguimento de reta BC. (X, Y) (Xo, Yo)
PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao seguimento de reta BC. (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto M (2, 1) e é perpendicular à reta r, de equação (y 2) = 3* (x 1) 2. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A (2, -1) e é paralela à reta determinada pelos pontos P (3, 1) e Q (5, 3).
Equação geral da reta
(Xo, Yo) (X, Y)
PARA PRATICAR: 1. Escreva a equação geral da mediatriz do seguimento AB, sendo A (3, 4) e B (1, 1). (X, Y) (Xo, Yo)
PARA PRATICAR: 1. Escreva a equação geral da mediatriz do seguimento AB, sendo A (3, 4) e B (1, 1). (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Dados os pontos P (3, 2) e Q (1, 2), determine a equação geral da reta que eles definem. 2. Determine a equação geral que a intersecção da reta r: 2x + 3y 1 = 0 com o eixo x e a intersecção da reta s: 2x + 4y +5 = 0 com o eixo y formam.
Equação reduzida da reta
(0, n) (X, Y)
PARA PRATICAR: 1. Ache a equação reduzida da reta determinada pelo ponto P (3, -1) que tem coeficiente angular m = 4. (X, Y) (0, n)
PARA PRATICAR: 1. Ache a equação reduzida da reta determinada pelo ponto P (3, -1) que tem coeficiente angular m = 4. (X, Y) (0, n) PARA CASA: 1. Verifique se a reta r: y = 2x 8 é paralela à reta s: x + 2y 4 = 0. 2. Verifique se as retas r: y = 3x 5 e s: 4x 2y 20 = 0 possuem intersecção.
Equação segmentária da reta
(p, 0) (q, 0)
PARA PRATICAR: 1. Determine a equação segmentária da reta formada pelo ponto P (2, 3) e de coeficiente angular m = 2. 2. Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto P (3, 1) e é paralela à reta s: x 4 + y 2 = 1. (q, 0) (p, 0)
PARA PRATICAR: 1. Determine a equação segmentária da reta formada pelo ponto P (2, 3) e de coeficiente angular m = 2. 2. Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto P (3, 1) e é paralela à reta s: x 4 + y 2 = 1. (0, q) (p, 0) PARA CASA: 1. Determine a forma segmentária da reta com equação geral 5x + 3y 7 = 0.
Equação paramétrica da reta
(Xo, Yo) (X, Y)
PARA PRATICAR: 1. Determine a equação paramétrica da reta determinada pelo ponto P (2, -3) e pelo vetor V(1, 2). 2. Dadas as equações paramétricas da reta r: x = 3 + t e y = -2-2t, determine o ponto cuja abscissa vale 4 e o ponto cuja abscissa é igual à ordenada. (X, Y) (Xo, Yo)
PARA PRATICAR: 1. Determine a equação paramétrica da reta determinada pelo ponto P (2, -3) e pelo vetor V(1, 2). 2. Dadas as equações paramétricas da reta r: x = 3 + t e y = -2-2t, determine o ponto cuja abscissa vale 4 e o ponto cuja abscissa é igual à ordenada. (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Sabendo que tem com equações paramétricas x = 2 e y = -1 + t, e que A (-2, 3) é um ponto de uma reta paralela, escreva as equações paramétricas desta reta.
Posição relativa entre duas retas
Quando é que duas retas são paralelas? Quando é que duas retas são concorrentes? α1 α2 α1 α2 α1= α2 m1 = m2 Mesma inclinação m1 m2 PARA PRATICAR: 1. Qual é a posição da reta r, de equação 15x+10y-3=0, em relação à reta s, de equação 9x+6y-1=0?
Quando é que duas retas são paralelas? Quando é que duas retas são concorrentes? α1 α2 α1 α2 α1= α2 m1 = m2 Mesma inclinação m1 m2 PARA PRATICAR: 1. Qual é a posição da reta r, de equação 15x+10y-3=0, em relação à reta s, de equação 9x+6y-1=0? R.: retas paralelas
PARA PRATICAR: 1. Determine as coordenadas do ponto de interseção de r com s: r: x+3y+4=0 s: 2x-5y-2=0 2. Se as retas (a+3)x+4y-5=0 e x+ay+1=0 são paralelas, calcule o valor de a. 3. Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto M (2, 1) e é perpendicular à reta r, de equação (y 2) = 3* (x 1) PARA CASA: 3. Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta da equação dada: a) P(1,2) e 8x+2y-1=0 b) P(2,5) e x 2 + y 3 = 1 c) P(4,-4) e x+y-5=0 d) P(-1,3) e 2x-5y+7=0 e) P(-4,2) e y-2=0 f) P(2,-5) e x=2
Intersecção de duas retas r P(a,b) s P pertence às duas retas: coordenadas devem satisfazer simultaneamente às equações das duas retas. Mas... E se não tivermos solução? Sistema possível e determinado (um único ponto em comum): r. concorrentes Sistema possível e indeterminado: retas coincidentes Sistema impossíveis: retas paralelas distintas
Distância entre ponto e reta
Distância entre ponto e reta s 5 A(3,5) Ordem cálculo: 1. Coeficientes angulares 2. Equações das retas 3. Interseção 4. Distância entre dois pontos A Fórmula para qualquer ponto P(x p, y p ) 3 r d = ax p, +by p + c a 2 + b² Exemplo Vamos determinar a distância entre o ponto A(3,5) e a reta r, de equação x+2y-8=0
Distância entre ponto e reta s 5 A(3,5) Ordem cálculo: 1. Coeficientes angulares 2. Equações das retas 3. Interseção 4. Distância entre dois pontos A Fórmula para qualquer ponto P(x p, y p ) 3 r d = ax p, +by p + c a 2 + b² Exemplo Vamos determinar a distância entre o ponto A(3,5) e a reta r, de equação x+2y-8=0 R.: A (2,3). Distância= 5
Vamos praticar? 1....está na Avenida Fernandes Lima e o semáforo de pedestres é rápido demais para se atravessar. Por isso, sabendo do tempo curto, quis saber a distância exata que teria que percorrer para atravessar. Qual é a distância, em decâmetros, que a pessoa faria para atravessar o mais rápido possível? R.: 4 13 13 1,1094 dam=11,094m
Vamos praticar? 1....está na Avenida Fernandes Lima e o semáforo de pedestres é rápido demais para se atravessar. Por isso, sabendo do tempo curto, quis saber a distância exata que teria que percorrer para atravessar. Qual é a distância, em decâmetros, que a pessoa faria para atravessar o mais rápido possível?
Ângulos entre duas retas
β = α + θ α = β θ tg α = tg β θ tg α = tg β θ tg β tg(θ) tg α = 1 + tg β tg θ mr ms tg α = 1 + mr ms CASOS ESPECIAIS: 1. Se as retas r e s são paralelas mr = ms 2. Se as retas r e s são perpendiculares mr*ms = -1 3. Se a reta s for vertical e a reta r for obliqua:
PARA PRATICAR: 1. Determine a equação da reta r que intercepta a reta s no ponto (3, 4), sabendo que o ângulo entre elas vale 60 e que s passa também pelo ponto (4, 2). PARA CASA: 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: 2x + 3y 1 = 0 e s: 2x + 4y + 5 = 0. 2. Ache a equação da reta que intercepta 4x 2y 10 = 0 no ponto (3, -1), formando um ângulo de 45.