Roberto César Faria e Silva MATEMÁTICA FINANCEIRA Aluno:
SUMÁRIO 1. CONCEITOS 2 2. JUROS SIMPLES 3 Taxa Efetiva e Proporcional 10 Desconto Simples 12 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 13 Desconto Racional ou Por Dentro 16 3. Juros Compostos 19 Taxa Equivalente, Nominal, Aparente e Real 25 Taxa Bruta e Líquida 26 Série de Pagamentos Pagamentos Iguais Postecipados 29 Pagamentos Iguais Antecipados 32 Pagamento Diferido 35 Série de Depósitos Renda Postecipada 38 Renda Antecipada 39 4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 42 5. HP 12-C 46 6. EXCEL (WINDOWS) 48 7. CALC (LINUX) 50 REFERÊNCIAS 53
1. Conceitos Antes de adentrarmos aos estudos da matemática financeira é importante entender o que ela representa e seus conceitos. Matemática Financeira A matemática financeira estuda a variação do capital (dinheiro) no decorrer do tempo, mediante a uma taxa de juros. Tempo O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é sempre ajustado em função deste. O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida. Exemplo: 1 ano 4 trimestres 12 meses Juros É uma remuneração sobre o capital. Um reajuste que acontece em função do tempo. Os juros tem como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do tempo seu poder de compra. Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu consigo comprar este produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não pois o valor das coisas muda com o decorrer do tempo, e para o dinheiro não perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a forma de reajuste são os juros. As taxas de juros normalmente são dadas em percentuais acompanhados do período. Exemplo: 5 % a.m. = cinco por cento ao mês. 60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 2
Dica: 1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de medida da taxa de juros. 2) Para se fazer os cálculos devemos usar as taxas de juros em linguagem decimal e nunca em percentual. 5% = 5 = 0,05 100 A matemática financeira estuda a capitalização dos juros sob duas formas, que são: Juros Simples Juros Compostos 2. JUROS SIMPLES É um regime de capitalização onde os juros só incidem sobre o capital. Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, durante 5 meses. 10% = 10 = 0,10 100 Tabela 1: Capitalização usando juros simples Mês Saldo no início do Mês Juros mensais Saldo no final do Mês 1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 110,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 120,00 3 R$ 120,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 4 R$ 130,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 140,00 5 R$ 140,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 150,00 Saldo no início do mês no primeiro mês corresponde ao capital aplicado nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 3
Juros mensais No caso de juros simples os juros são aplicados sempre sobre o capital. Saldo no final do mês corresponde ao saldo no início do mês mais os juros mensais. Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5 meses foram pagos R$ 50,00 de juros ( R$ 10,00 por mês vezes os 5 meses) e o saldo final (montante) foi de R$ 150,00 (R$ 100,00 do capital mais R$ 50,00 de juros. Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital multiplicado pela taxa e multiplicado pelo numero de meses, ou seja: J = C.i.t E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os juros. M = C + J Como J = C.i.t M = C + C.i.t M = 1.C + C.i.t M = C. (1) + C. (i.t) M = C. (1+ i.t) Professor: Roberto César Faria e Silva Página 4
Gráfico 1: Capitalização usando juros simples O Gráfico 1 foi montado a partir dos dados da Tabela 1, podemos perceber um gráfico linear, o que significa que no regime de juros simples o capital cresce de forma linear ou em progressão aritmética. Convenção: C = Capital M = Montante J = Juros i = Taxa t = Tempo Exercícios 1) Um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Calcule os juros e o montante desta aplicação. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 5
2) Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 800,00 durante 2 anos a uma taxa de juros simples de 6% ao mês. 3) Qual o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir de uma aplicação de um principal de R$ 1.000,00, com uma taxa de 2% ao semestre (juros simples). 4) Determinar que valor deve ser aplicado a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano para produzir R$ 100.000,00 em 15 meses. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 6
5) determine qual o tempo que um capital de R$ 800,00 deve ser aplicado para resultar em um montante de R$ 1.520,00, a uma taxa de juros simples de 9% ao mês. 6) Qual o tempo que devo aplicar um capital para ele triplicar de valor, com uma capitalização simples de 2% ao mês. 7) Uma pessoa aplicou em um banco o capital de R$ 1.200,00 por um ano e resgatou R$ 1.776,00, qual a taxa mensal da aplicação (juros simples). Professor: Roberto César Faria e Silva Página 7
8) (Técnico em contabilidade CRC 2001) uma pessoa aplica R$ 4.000,00 por sete meses e R$ 6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se n é o numero de meses que esta pessoa deve aplicar R$ 10.000,00 à mesma taxa de juros anterior para que o montante obtido seja igual ao da soma das duas aplicações iniciais, então calcule o valor de n. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 8
9) (Técnico em contabilidade CRC 200) em uma aplicação financeira, recebeuse de juros o correspondente a 1/5 do valor aplicado, num período de quatro meses. Sabendo-se que o regime é de capitalização simples, calcule a taxa de juros quadrimestral desta aplicação. 10) (CREA/Assistente Administrativo/2004) Sabendo-se que 60% de um capital foi aplicado durante três meses, a uma taxa de 12% a.m. O restante foi aplicado a uma taxa de 15% a.m. durante 6 meses. Sendo o montante total recebido de R$ 945,60, calcule o valor do capital aplicado (juros simples). Professor: Roberto César Faria e Silva Página 9
Taxa Efetiva É a taxa onde a sua unidade de medida coincide com a unidade de medida do tempo (período de capitalização). São exemplos de taxa efetiva: 3% ao mês, com capitalização mensal. 20 % ao ano, com capitalização anual. Normalmente costuma-se dizer apenas, 3% a.m. ou 20% a.a., ou seja, a taxa efetiva é a que se usa na calculadora, no momento de se fazer as contas. Taxas Proporcionais Pode-se dizer que duas taxas são proporcionais se a razão entre elas for igual a razão entre seus períodos. ( i 1 / i 2 ) = ( n 1 / n 2 ) Exemplo: 24% ao semestre = 4% ao mês 24 = 6 6 = 6 4 1 Exercícios 1) Determine a taxa mensal proporcional a 20% ao ano. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 10
2) Determine a taxa anual proporcional a 3% ao mês. 3) Quais as taxas bimestrais e semestrais proporcionais a taxa de 5% ao trimestre? 4) João aplicou R$ 1.000,00 durante seis meses a uma taxa de 8% ao ano; qual o valor que João irá resgatar. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 11
Desconto Simples Desconto, normalmente, é o que se deixa de pagar quando antecipamos um pagamento. A Figura 1 mostra como funciona o dinheiro no tempo, se eu tiverum capital de R$ 100,00 (hoje Tempo 0) e aplicar por um mês (Tempo 1) receberei um montante de R$ 110,00, ou seja R$ 10,00 de juros. No entanto se tiver que pagar uma duplicata que vai vencer no mês que vem (Tempo 1) no valor de R$ 110,00 e quiser antecipar este pagamento em um mês, pagando hoje (Tempo 0), irei pagar o valor de R$ 100,00, ou seja, irei obter um desconto de R$ 10,00. Figura 1: Dinheiro no Tempo Capitalização (Juros) (Montante) Valor Futuro R$ 100,00 R$ 110,00 0 1 Tempo (Capital) Valor Presente Desconto Para o estudo da matemática financeira iremos estudar o desconto simples de duas maneiras: Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora Desconto Racional ou por dentro Convenção: D = Desconto Professor: Roberto César Faria e Silva Página 12
Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora Desconto comercial é o desconto que é dado diretamente sobre o valor do título (Montante = Valor futuro). No regime de juros simples este desconto é feito aplicando diretamente o desconto sobre o montante e multiplicando pelo período (tempo) D = M.i.t Para exemplificar imagine a seguinte situação: João tem um boleto para pagar com vencimento para daqui a 2 meses, o valor do boleto é de R$ 100,00, no boleto tem a seguinte informação: conceder 10% de desconto para cada mês de antecipação. Caso João queira pagar o boleto hoje qual seria o desconto. Concluímos então que: M = 100 i = 0,10 t = 2 D = M.i.t D = 100 x 0,10 x 2 D = 20 O desconto que João obteve é de R$ 20,00 Também podemos concluir que o valor que deverá ser pago (Capital = Valor presente) é igual ao valor do título (Montante = Valor futuro) menos o desconto. C = M - D Ou seja: C = M - D C = 100 20 C = 80 O valor que João irá pagar é de R$ 80,00 Professor: Roberto César Faria e Silva Página 13
E se fosse perguntado qual a taxa que João teve de desconto. Podemos analisar da seguinte forma: Se pegarmos o valor pago e dividirmos pelo valor do título (Capital/Montante) chegaríamos a uma relação percentual. C 80 0,8 M 100 Se pegarmos o valor total que iriamos pagar (100% = 1) e subtrairmos o valor que foi pago (0,8) chegaremos ao desconto (0,2 = 20%) 1-0,8 = 0,2 = 20% Mas os 20% foi o desconto obtido em 2 meses, então se dividirmos os 20% (0,2) pelos 2 meses, chegaremos a taxa de desconto que é de 0,1 (10%). i 1-80 1-80 x 1 0,1 100 100 2 2 Se substituir os números por suas letras pode-se chegar a seguinte fórmula para se calcular a taxa: i 1-80 x 1 100 2 i = 1 C x 1 M t 2 Exercícios 1) Uma loja descontou uma Nota Promissória no valor de R$ 10.000,00, com 90 dias antes do seu vencimento á uma taxa de 7% ao mês. Qual o desconto e o valor resgatado? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 14
2) Um título de R$ 7.500,00 foi pago por R$ 5.000,00. Calcule o prazo de antecipação, sabendo que a taxa foi de 5% a.m. 3) Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi resgatada por R$ 4.100,00, faltando seis meses para o seu vencimento. Calcule a taxa de desconto anual. 4) Um título foi resgatado por R$ 500,00, 10 meses antes do vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 5% a.m. Qual o valor do título e do desconto. 5) Um título de R$ 850,00 teve um desconto de R$ 60,50 para ser pago 2 meses antes do vencimento, qual foi a taxa do desconto? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 15
Desconto Racional ou Por Dentro Imagine a seguinte situação: Uma loja compra um produto por R$ 100,00 e vende com um lucro de 50%, ou seja: por R$ 150,00. O dono da loja resolve pegar este produto para ele e sabe que o preço de venda é de R$ 150,00 e que o lucro é de 50%, então ele pega o Preço de R$ 150,00 e desconta os 50% (do lucro) e paga R$ 75,00 pelo produto. R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 75,00 + 50% - 50% Esta conta está certa? Apesar de aplicar a mesma taxa (50%) nos deparamos na seguinte situação: R$ 75,00(Valor pago) - R$ 100,00(Preço de compra) = - R$ 25,00, ou seja, a loja teve prejuízo. O desconto é o mesmo, mas o valor não. Em um está aplicando o desconto sobre R$ 100,00 e no outro está aplicando sobre R$ 150,00. No desconto racional a taxa de desconto que é dada, é sobre o capital e não sobre o montante. Então o desconto seria igual aos juros, aplicado sobre o capital. J = C.i.t então D = C.i.t Se analisarmos o problema anterior podemos constatar que o preço de custo é de R$ 100,00, e que o preço de venda é de R$ 150,00, ou seja, o desconto máximo que se pode dar para não ter prejuízo é de R$ 50,00. R$ 150,00 (preço de venda) R$100,00 (Preço de compra) = R$ 50,00 O preço de venda neste caso equivale ao montante, o custo seria o capital e o lucro seria o desconto. Sendo assim podemos concluir que: Professor: Roberto César Faria e Silva Página 16
C = M - D Podemos também dizer que: D = C.i.t e C = M - D D = (M - D).i.t D = M.i.t D.i.t D + D.i.t = M.i.t D.(1) + D.(i.t) = M.i.t D.(1+i.t) = M.i.t D = M.i.t (1+i.t) Exercícios 1) O portador de um boleto no valor de R$ 1.500,00, referente a um empréstimo adquirido a uma taxa de 6% ao mês, resolveu pagar este boleto 60 dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor pago. 2) Um lojista recebeu uma duplicata de R$ 8.000,00 um mês antes do vencimento. Considerando a taxa de desconto racional de 3% a.m. qual foi o valor recebido? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 17
3) Um título de R$ 4.000 recebe um desconto por dentro de R$ 1.142,86 à taxa de 8% a.m. Calcule o tempo de antecipação. 4) Um título teve R$ 3.600,00 de desconto pelo pagamento antecipado de um semestre, sabendo que foi descontado por dentro à 15% a.m. Calcule o valor pago. 5) Um título foi pago por 1/3 de seu valor, sabendo que a taxa de desconto por dentro é de 5% ao mês, calcule o tempo de antecipação. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 18
3. Juros Compostos É um regime de capitalização onde os juros incidem sobre o capital e sobre os juros gerados pelo capital. Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, durante 5 meses. 10% =10 = 0,10 100 Tabela 2: Capitalização usando juros compostos Mês Saldo no início do Mês Juros mensais Saldo no final do Mês 1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 110,00 R$ 110,00 x 0,10 = R$ 11,00 R$ 121,00 3 R$ 121,00 R$ 121,00 x 0,10 = R$ 12,10 R$ 133,10 4 R$ 133,10 R$ 133,10 x 0,10 = R$ 13,31 R$ 146,41 5 R$ 146,41 R$ 146,41 x 0,10 = R$ 14,64 R$ 161,05 Saldo no início do mês no primeiro mês corresponde ao capital aplicado nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior. Juros mensais No caso de juros compostos os juros são aplicados sempre sobre o saldo do final do mês anterior, ou seja, o capital acrescido dos juros. Saldo no final do mês corresponde ao saldo no início do mês mais os juros mensais. Pela Tabela 2 podemos perceber que os juros incidem sobre o capital e também sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5 meses foram pagos R$ 61,05 de juros contra R$ 50,00 reais dos juros simples, isto acontece porque no sistema de juros compostos os juros incidem também sobre os juros do mês anterior. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 19
Gráfico 2: Capitalização usando juros compostos Se continuarmos a tabela 2 podemos construir o Gráfico 2, podemos perceber um gráfico exponencial, o que significa que no regime de juros compostos o capital cresce de forma exponencial ou em progressão geométrica. Convenção: VP = Valor Presente VF = Valor Futuro J = Juros i = Taxa n = Tempo Fórmulas: Valor Futuro VF = VP x (1+i) n Taxa i = - 1 Valor Presente VP = VF. (1+i) n Tempo n = Log (VF/VP) Log (1+i) Professor: Roberto César Faria e Silva Página 20
Exercícios 1) Determine o valor futuro de um capital de R$ 3.000,00 aplicados a juros compostos durante dez meses a uma taxa de 3% ao mês. 2) Uma quantia de R$ 800, aplicada a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m., durante 30 meses, resulta em qual montante? 3) Determine o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 2% ao mês, a partir de um investimento inicial de R$ 3.500,00 (Principal). Professor: Roberto César Faria e Silva Página 21
4) Determine os juros resultantes de uma aplicação de R$ 1.300,00 durante 3 meses a uma taxa de 2% ao mês. 5) João aplicou R$ 2.000,00 na caderneta de poupança por um ano e meio, sabendo que a taxa de juros desta aplicação é de 0,5% a.m., quanto João ganhou de juros. 6) Calcule o capital que aplicado a uma taxa de 8% ao mês, durante 15 meses, resulta em um montante de R$ 15.860,85. 7) Uma pessoa resgatou após um ano R$ 743,17 da caderneta de poupança; sabendo que a taxa de juros é de 0,5% a.m. Determine o valor aplicado. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 22
8) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resultar um montante de R$ 3.202,06? 9) Por quantos meses (aproximadamente) se deve aplicar um capital a uma taxa de juros compostos de 0,06 a.m. para que este capital triplique de valor? 10) Um capital de R$ 750,00 foi aplicado por seis meses e resultou em R$ 1.257,83. Qual era a taxa da aplicação? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 23
11) R$ 1.103,61 foi resgatado de quinze meses de aplicação. Sabendo-se que o valor inicial era R$ 400,00 calcule a taxa desta aplicação. 12) Um capital foi aplicado durante 30 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.m. e rendeu um montante X. Qual deveria ser a taxa de juros compostos desta aplicação para render o mesmo montante no mesmo período. 13) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Explique? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 24
Taxas Equivalentes Pode-se dizer que duas taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais. ( 1 + i 1 ) n = ( 1 + i 2 ) n Exemplo: 24% ao semestre = 3,65% ao mês (1+0,24) 1 = ( 1+ i 2 ) 6 1,24 = ( 1+ i 2 ) 6 = 1 + i 2 1,0365 = 1+ i 2 i 2 = 1,0365-1 i 2 = 0,0365 i 2 = 3,65% Taxa Nominal É a taxa em que sua unidade de medida não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. São exemplos de taxa nominal: 12% ao semestre, com capitalização mensal. 24% ao ano, com capitalização bimestral. Obs.: A taxa nominal apesar de ser bastante utilizada não representa uma taxa efetiva, por isto não deve ser utilizada nos cálculos financeiros com juros compostos. Taxa Aparente É a taxa que vigora nas operações financeiras, sem levar em consideração a inflação do período. Taxa Real É a taxa que leva em consideração a inflação do período. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 25
Taxa Bruta É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o imposto de renda descontado. Taxa Líquida É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o imposto de renda descontado. Exercícios 1) Determine a taxa anual equivalente a 4% a.m. 2) Determine a taxa mensal equivalente a 12% a.a. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 26
3) Uma pessoa recebeu em um ano dois aumentos salariais consecutivos, sabendo que o primeiro foi de 5% e o segundo de 6%, sabendo-se que a inflação no período foi de 10% determine: a) A taxa aparente de aumento que esta pessoa teve. b) A taxa real de aumento que esta pessoa teve. 4) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante um ano e resgatou R$ 1.500,00, sabendo-se que o imposto de renda é de 27% calcule: a) A taxa bruta. b) a taxa líquida. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 27
Exercícios Complementares 1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? 2) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? 3) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante? 4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital? 5) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal? 6) (CONCURSO BANCO DO BRASIL) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? 9) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. 10) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752. 11) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.? 12) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação. Respostas: 1) J= R$ 3.362,96 2) C= R$ 20.801,91 3) i = 2,25% a.m. 4) n = 41,18 meses 5) i = 2,79698% a.m. 6) R$ 101,00 7) 44,22 a.t. 8) 7,18 a.m. 9) R$ 12.100,72 10) R$ 15.000,00 11) 13 meses 12) 2,5% a.m. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 28
Série de Pagamentos Na maioria das vezes quando fazemos um financiamento, o pagamento não ocorre de uma única vez no final do período; ele ocorre gradativamente (em parcelas) durante o período financiado. Isto também acontece quando tentamos juntar dinheiro para comprar algo, o dinheiro não surge de uma única vez, fazemos depósitos várias vezes no decorrer do período. Pagamentos Iguais Postecipados Chamamos de pagamentos quando fazemos qualquer financiamento ou empréstimo e temos que pagar as parcelas (prestações). O termo postecipado significa que esta parcela será paga no final do período. Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais Data da compra da moto Pagamento da 1ª parcela Pagamento da 2ª parcela Pagamento da 3ª parcela 01 de Janeiro 01 de Fevereiro 01 de Março 01 de Abril De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: VP PMT Jan Fev Mar Abr PMT = Prestação Fórmula: PMT = VP. 1 - (1+i) -n i Professor: Roberto César Faria e Silva Página 29
Exercício Resolvido José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais iguais á uma taxa de 2% a.m. Calcule o valor da prestação? PMT = VP. 1 - (1+i) -n i PMT = 2.000,00. 1 - (1+0,02) -5 0,02 PMT = 2.000,00. 1-0,905731 0,02 PMT = 2.000,00. 1 - (1,02) -5 0,02 PMT = 2.000,00. 0,094269 0,02 PMT = 2.000,00. 4,71345 PMT = 424,32 Exercícios 1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações. Determine o valor de cada prestação? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 30
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos. Calcule o valor da prestação mensal. 3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% ao mês para pagar de 12 vezes. Calcule o valor das prestações? 4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de R$ 922,99, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto. 5) Determine o valor que uma pessoa deverá pegar emprestado para pagar prestações mensais de R$ 298,94, durante três anos com uma taxa de 1,7% a.m. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 31
Pagamentos Iguais Antecipados O termo antecipado significa que esta parcela será paga no início do período, ou seja, a primeira parcela será paga no ato do financiamento. Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais Data da compra da moto Pagamento da 1ª parcela Pagamento da 2ª parcela Pagamento da 3ª parcela 01 de Janeiro 01 de Janeiro 01 de Fevereiro 01 de Março De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: VP PMT Jan Fev Mar Fórmula: PMT = VP.(1+i) -1. 1 - (1+i) -n i Professor: Roberto César Faria e Silva Página 32
Exercício Resolvido José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira prestação paga no ato do financiamento, a taxa cobrada foi de 2% a.m. Calcule o valor da prestação? PMT = VP. (1+i) -1. 1 - (1+i) -n i PMT = 2.000 x (1+0,02) -1. 1 - (1+0,02) -5 0,02 PMT = 2.000 x 0,980392. 1-0,905731 0,02 PMT = 2.000,00 x (1,02) -1. 1 - (1,02) -5 0,02 PMT = 1.960,78. 0,094269 0,02 PMT = 1.970,78. 4,71345 PMT = 416,00 Exercícios 1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira no ato da compra. Determine o valor de cada prestação. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 33
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo a primeira prestação paga no momento de assinatura do contrato. Calcule o valor da prestação mensal. 3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela á vista. Calcule o valor das prestações. 4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de R$ 896,10, sendo a primeira á vista, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto. 5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar prestações mensais de R$ 293,94, durante três anos com uma taxa de 1,7% a.m. (pagamento antecipado). Professor: Roberto César Faria e Silva Página 34
Pagamento Diferido O termo diferido significa que a primeira parcela só será paga após um período (carência). Ex.: Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais, com a primeira prestação para 90 dias. Data da compra da moto Pagamento da 1ª parcela Pagamento da 2ª parcela Pagamento da 3ª parcela 01 de Janeiro 01 de Abril 01 de Maio 01 de Junho De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: VP k PMT Jan Fev Mar Abr Mai Jun PMT = Prestação Fórmula: PMT =VP. (1+i) k-1. 1 - (1+i) -n i Professor: Roberto César Faria e Silva Página 35
Exercício Resolvido José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira prestação paga após 3 meses, a taxa cobrada foi de 2% a.m. Calcule o valor da prestação. PMT =VP. (1+i) k-1. 1 - (1+i) -n i PMT =2.000 x (1+0,02) 3-1. 1 - (1+0,02) -5 0,02 PMT =2.000 x 1,0404. 1-0,905731 0,02 PMT =2.000,00 x (1,02) 2. 1 - (1,02) -5 0,02 PMT = 2.080,80 0,094269 0,02 PMT = 2.080,80. 4,71345 PMT =441,46 Exercícios 1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira com 120 dias. Determine o valor de cada prestação. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 36
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00, a taxa contratada foi de 0,8% a.m., o período de pagamento foi de 3 anos, sendo 1 ano de carência. Calcule o valor da prestação mensal. 3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela com 6 meses. Calcule o valor das prestações? 4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou em seis parcelas de R$ 979,20, sendo a primeira com 90 dias, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto. 5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar prestações mensais de R$ 325,23, durante três anos com uma taxa de 1,7% a.m. (carência de 6 meses). Professor: Roberto César Faria e Silva Página 37
Série de Depósitos É quando se poupa dinheiro por um período pensando em um gasto futuro. Renda Postecipada Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um período e no ato do último depósito faço o saque. Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o valor total. Data da programação 01 de Janeiro 1ª Economia 01 de Fevereiro 2ª Economia 01 de Março 3ª Economia 01 de Abril Retirada 01 de Abril De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: VF PMT Jan Fev Mar Abr Fórmula: VF = PMT x (1 + i) n - 1 i Professor: Roberto César Faria e Silva Página 38
Renda Antecipada Chamamos de renda antecipada quando fazemos depósitos durante um período sendo o primeiro depósito imediato e a retirada acontece um período após o ultimo depósito. Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer uma economia a partir da presente data (01/01), para que no dia 01/04 possa retirar o valor total. Data da programação 01 de Janeiro 1ª Economia 01 de Janeiro 2ª Economia 01 de Fevereiro 3ª Economia 01 de Março Retirada 01 de Abril De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: VF PMT Jan Fev Mar Abr Fórmula: VF = PMT x ((1 + i) n - 1) x (1 + i) i Professor: Roberto César Faria e Silva Página 39
Exercícios 1) João e Maria pretendem juntar dinheiro para comprar um apartamento, para isto abrem uma caderneta de poupança e fazem depósitos de R$ 1.000,00 todo mês, sabendo-se que a taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,7% a.m., e que eles fizeram 50 depósitos. a) Calcule o valor arrecadado considerando a renda postecipada? b) Calcule o valor arrecadado considerando a renda antecipada? 2) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no final de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto Beatriz deverá juntar? 3) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no inicio de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto Beatriz deverá juntar? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 40
4) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no final de cada mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.? 5) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no inicio de cada mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.? 6) Pensando em comprar um violão novo Artur depositou dia 01/01 R$ 200,00; dia 01/02 depositou R$ 180,00 e dia 01/03 R$ 140,00, sabendo que a taxa de juros que o banco pagou para Artur foi de 2% a.m. Quanto ele resgatou no banco dia 01/05? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 41
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor Sistema de Pagamento Único O devedor paga o montante = capital + juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n períodos. O montante pode ser calculado pela fórmula: VF = VP x (1+i) n Uso comum: letras de câmbio, títulos descontados em bancos, certificados a prazo fixo com renda final. Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a uma taxa de 10% a.m. Mês Juros Sistema de Pagamento Único Amort. Capital Prestação Sd. Devedor 0 Financiamento 50.000,00 1 5.000,00 0,00 0,00 55.000,00 2 5.500,00 0,00 0,00 60.500,00 3 6.050,00 50.000,00 66.550,00 0,00 Professor: Roberto César Faria e Silva Página 42
Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema de pagamento único. Sistema de Pagamento Único Mês Juros Amort. Capital Prestação Sd. Devedor Sistema de Pagamentos Variáveis O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a uma taxa de 10% a.m. No primeiro mês ela pode pagar R$ 15.000,00, no segundo mês ela paga R$ 20.000,00 e o restante no terceiro mês. Mês Juros Sistema de Pagamentos Variáveis Amort. Capital Prestação Sd. Devedor 0 Financiamento 50.000,00 1 5.000,00 10.000,00 15.000,00 40.000,00 2 4.000,00 16.000,00 20.000,00 24.000,00 3 2.400,00 24.000,00 26.400,00 0,00 Professor: Roberto César Faria e Silva Página 43
Sistema Americano O devedor paga o principal em um único pagamento no final do período e realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do período no final de cada período. Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a uma taxa de 10% a.m. Sistema Americano Mês Juros Amort. Capital Prestação Sd. Devedor 0 Financiamento 50.000,00 1 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00 2 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00 3 5.000,00 50.000,00 55.000,00 0,00 Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema Americano. Sistema Americano Mês Juros Amort. Capital Prestação Sd. Devedor Sistema de Amortização Constante (SAC) O devedor paga o Principal em n pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação Professor: Roberto César Faria e Silva Página 44
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a uma taxa de 10% a.m. Mês Sistema de Amortização Constante (SAC) Juros Amort. Capital Prestação Sd. Devedor 0 Financiamento 50.000,00 1 5.000,00 16.666,67 21.666,67 33.333,33 2 3.333,33 16.666,67 20.000,00 16.666,67 3 1.666,67 16.666,67 18.333,33 0,00 5. HP 12-C A calculadora HP 12-C é desenvolvida para cálculos financeiros, e facilita muito o dia a dia de quem trabalha nesta área. Dica: 1) Na HP 12-C existem as teclas f e g estas teclas servem para ativar outras funções na calculadora, a tecla f ativa as funções amarelas e a tercla g ativa as funções azuis. 2) A HP 12-C guarda tudo na memória. Portanto antes de fazer qualquer operação é ideal limpara a memória usando: Professor: Roberto César Faria e Silva Página 45
JUROS SIMPLES Os cálculos com juros simples na HP 12-C são mais complexos do os cálculos com juros compostos. Portanto o uso da HP 12-C será demonstrado através de problemas resolvidos. Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? Qual o montante a ser pago? Ou podemos calcular da seguinte forma: Professor: Roberto César Faria e Silva Página 46
JUROS COMPOSTOS Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? Cálculos com juros compostos são mais fáceis, pois basta inserir os dados do problema e em seguida clicar na tecla correspondente, após inserir todos os dados basta clicar na tecla que deseja saber. Dica: 1) A HP 12-C trabalha com fluxo de caixa, ou seja se o VP for positivo o VF será negativo, caso se esqueça de usar estes sinais na operação a calculadora apresentará uma mensagem de erro. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 47
6. EXCEL (WINDOWS) Excel é uma planilha eletrônica da Microsoft que ajuda nos cálculos financeiros. JUROS SIMPLES Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? JUROS COMPOSTOS Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? Professor: Roberto César Faria e Silva Página 48
Após encontrado o valor futuro basta diminui-lo do valor presente e se encontrará os juros pagos. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 49
7. CALC (LINUX) O Calc é uma planilha eletrônica Linux, semelhante ao Excel, porem pelo fato do Linux ser um software free este tem ganhado muitos adeptos sobretudo no mundo empresarial. JUROS SIMPLES Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? JUROS COMPOSTOS Quanto devo pagar de juros para uma compra no valor de R$ 1.869,99 a vista com taxa de 2% por um prazo de 90 dias? Selecione a célula B4 em seguida: Professor: Roberto César Faria e Silva Página 50
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REFERÊNCIAS BARBOSA, Ricardo Luiz. Gestão Financeira. 2 Ed. Belo Horizonte: SENAC/MG/SEMD, 2011. MÜLER, Aderbal Nicolas. Matemática Financeira: Instrumentos financeiros para a tomada de decisão em marketing, finanças e comércio. São Paulo: Saraiva, 2012. NASCIMENTO, Marco Aurélio P. Introdução a Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011. PUCCINI, Aberlado de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 7Ed. São Paulo: Saraiva, 2004. Professor: Roberto César Faria e Silva Página 53