ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UFRN PROVA 2 DE CÁLCULO 1 ECT 1113 Turma 2 10/11/2014 Prof. Ronaldo Batista Nome Legível: Assinatura: Instruções: 1. Leia todas as instruções antes de qualquer outra coisa. 2. A resolução das questões pode ser feita com grate. 3. Faça uma prova organizada e detalhada, apresentando as respostas de forma coerente, de modo que todas as justicativas relevantes no contexto da disciplina devem estar presentes na solução. Indique bem o que você está fazendo pois resultados sem explicação e/ou desorganizados não serão considerados. Uso do professor Q1 Q2 Q3 4. Resolva cada questão na frente e/ou verso da folha onde ela se encontra. 5. A última folha é de rascunho e não será corrigida. Questão 1. (1,0 ponto por item) Determine as derivadas abaixo: ln x 3 + a d2 ( 2 cos x 2) (c) y com y denido implicitamente por e y = arctg (e x ) + y 2 onde u = x 3 + a, então Finalmente temos (c) ln x 3 + a = du = d x 3 + a ln x 3 + a = dln (u) du du = 1 du u, = 1 3x 2 2 x 3 + a. 1 1 3x 2 x 3 + a 2 x 3 + a = 3 x 2 2 x 3 + a. d 2 ( 2 cos x 2) = d [ ( (2x) sen x 2)] ( = 2sen x 2) 4x 2 cos (x 2) Derivando toda a equação que dene y d ey = d [arctg (e x ) + y 2] 1
y e y = darctg (ex ) + 2yy. A derivada de arctg é dada por: darctg (e x ) = darctg (u) du du, onde u = ex, então darctg (e x ) = 1 1 + u 2 ex = ex 1 + e 2x. Finalmente temos: y (e y 2y) = ex 1 + e 2x, e y e x = (e y 2y) (1 + e 2x ). 2
Questão 2. (3,0 pontos ) Projete uma lata de alumínio com volume de 1L em forma de cilíndro com uma tampa, tal que a quantidade de alumínio utilizada seja a menor possível. O volume do cilíndro, de raio r e altura h, deve ser de 1L, então temos: V = πr 2 h = 1L. A quantidade de alumínio usada pode ser estimada pela área da superfície deste cilíndro, com uma tampa, que é dada por: S = πr 2 + 2πrh. Esta é quantidade que queremos minimizar. Substituindo h, dado pela expressão do volume, temos: S (r) = πr 2 + 2 r. Nos extremos desta função devemos ter ds/dr = 0, o que indica ds dr = 2πr 2 r 2 = 0 r = (π) 1/3. Para que S tenha um mínimo em r = (π) 1/3, devemos ter: d 2 S dr 2 [2π + 4 r 3 ] > 0 r=(π) 1/3 r=(π) 1/3 > 0 2π + 4π = 6π > 0. Então em r = (π) 1/3 realmente há um mínimo da função. Desta forma, utilizando o expressão do volume, temos a seguinte relação entre o raio e a altura do cilíndro que minimiza a quantidade de alumínio utilizada para uma lata de 1L: πr 2 h = 1 π (π) 2/3 h = 1 h = (π) 1/3. Ou seja, o projeto da lata deve ser tal que o raio do cilíndro seja igual a sua altura r = h = (π) 1/3 10 cm. 3
Questão 3. (4,0 pontos) Para a função f (x) = x 3 /3 + x 2 + 1 faça o que se pede: Usando o critério da derivada primeira, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é descrescente.(1,0 ponto) Utilizando o critério da derivada segunda, determine seus máximos e mínimos relativos. (1,0 ponto) (c) Usando o critério da derivada segunda, determine os intervalos onde a função é concava e onde é convexa. (1,0 ponto) (d) Faça um esboço de seu gráco, identicandos os extremos relativos. (1,0 ponto) A função é crescente num intervalo [a, b] se f (x) > 0 em (a, b). Temos então f (x) = x 2 + 2x > 0 x ( x + 2) > 0, cuja solução é 0 < x < 2. Portanto a função é crescente no intervalo [0, 2]. Anologamente, a função é decrescente num intervalo [a, b] se f (x) < 0 em (a, b). Então devemos ter x ( x + 2) < 0, cuja solução é x < 0 e x > 2. Então a função é decrescente no intevalo (, 0] [2, + ). Vamos primeiro determinar os pontos críticos da função, isto é, onde f (x) = 0. Temos x 2 + 2x = 0, x ( x + 2) = 0. As soluções são x 1 = 0 e x 2 = 2. Agora precisamos determinar o sinal da derivada segunda nesses pontos. Temos f (x) = 2x + 2, então f (x 1 ) = 2 > 0, portanto em x 1 = 0 temos um mínimo relativo e a função vale f (0) = 1. Já em x 2 temos: f (x 2 ) = 2 < 0, então em x 2 = 2 temos um máximo relativo e a função vale f (2) = 7/3. (c) 4
A função é côncava no intervalo onde f (x) > 0: 2x + 2 > 0 x < 1. Então a função é côncava no intervalo (, 1). E é convexa no intervalo onde f (x) < 0: 2x + 2 < 0 x > 1. Portanto a função é convexa no intervalo (1, + ). 5