Programa PIBID/CAPES Departamento de Matemática Universidade de Brasília Objetivos Introduzir o conceito de probabilidade. Conteúdos abordados Raciocínio combinatório; Probabilidade; Inequações. Metodologia Por meio da análise de um jogo de tabuleiro antigo, o aluno é levado a elaborar condições para que seja possível ganhar ou perder, dadas algumas disposições. Ao realizar um experimento em grupo, o aluno deve decidir se é mais vantajoso jogar com um ou dois dados no término do jogo. Materiais Dois dados; Cartas de baralho do ás ao nove. Aluno: Thafarel Rodrigues da Costa Orientador: Prof. Guy Grebot
1 Orientações para a aplicação das atividades 1.1 Atividades 2.3 a 2.5 Nessas atividades, o mediador deve prestar atenção para que as respostas dos alunos sejam completas e bem justificadas. 1.2 Atividade 2.6 Mesmo que a turma seja grande, é importante que cada aluno efetue os 10 lançamentos a que se referem os itens 1 e 3. O mediador deverá fazer a socialização dos resultados para que os alunos tirem suas conclusões. Mesmo que o resultado não seja o esperado, é importante levantar a discussão: até que ponto podemos confiar no resultado do experimento para tirarmos nossas conclusões. O que seria a probabilidade? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 2
2 Caderno: 2.1 Introdução O jogo Feche a Caixa é um jogo de estratégia e sorte. Não se sabe ao certo qual é sua origem, mas acredita-se que foi inventado por marinheiros da Normandia (França), há mais de 200 anos. Em sua forma original, o jogo consiste de um tabuleiro de madeira com peças numeradas de 1 a 9 e dois dados, semelhante à figura 1. Figura 1: Tabuleiro do Feche a caixa O jogo é iniciado quando o jogador rola os dois dados. A soma das faces voltadas para cima é o valor que o jogador deve levar em consideração para fechar as peças. 2.1.1 Exemplo Se as faces foram 3 e 5, o jogador pode fechar as peças do tabuleiro ilustrado na figura 1: 8 7 + 1 6 + 2 5 + 3 5 + 2 + 1 4 + 3 + 1 Esse processo é repetido até que seja impossível fechar peças com o resultado obtido, como no exemplo a seguir. 2.1.2 Exemplo Resultado dos dados: 2 e 2. 2 3 5 6 8 Tabela 1: Exemplo Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 3
Ganha o jogo quem fechar a caixa (virar todas as peças) ou deixar a menor quantidade de pontos. No caso acima, o jogador deixou 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 21 pontos. No momento em que a soma das peças for menor ou igual a 6, o jogador decide se joga com um ou dois dados. 2.2 Atividade 1. Jogue com um colega duas partidas e anote suas pontuações. 2.3 Atividade 1. Qual é o mínimo de jogadas para fechar a caixa? 2. Para o mínimo de jogadas, liste uma sequência de resultados, obtidos ao jogar os dados, necessários para fechar a caixa. Essa sequência é única? Justifique. 3. Qual é o máximo de jogadas para fechar a caixa? 4. Qual é a maior pontuação possível? Ela ocorre para quais resultados dos lançamentos dos dados? 2.4 Atividade 1. Escolha uma disposição das peças que contenha 3 números. Tabela 2: Disposição 2. Quais jogadas são necessárias para fechar a caixa na disposição que você escolheu? 3. Para a disposição escolhida, quais são as condições para que o jogo termine, ou seja, que impossibilitam o fechamento da caixa? 2.5 Atividade 1. É possível chegar à seguinte disposição (tabela 3) com duas jogadas? Justifique. 1 2 3 4 5 6 Tabela 3: Disposição do Tabuleiro 2. Qual é o mínimo de jogadas para obter a disposição acima? 3. Você precisa decidir se é melhor jogar com um ou dois dados para a disposição anterior. Quais são as variáveis que você deve considerar para tomar essa decisão? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 4
2.6 Atividade Observe a seguinte disposição (tabela 4) e suponha que seja realizada uma única jogada. 1 2 3 Tabela 4: Disposição do Tabuleiro Vamos decidir se é melhor jogar com um ou dois dados para esse caso. 1. Cada aluno deve realizar 10 lançamentos de um dado e preencher a tabela 5 no quadro da sala de aula. Resultado Lançamento Total 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 Tabela 5: Tabela a ser preenchida da atividade 2.6 item 1 2. Considerando os resultados da turma toda, quantos resultados 6 ocorreram? Precisaremos desse valor mais tarde. 3. Cada aluno deve realizar 10 lançamentos de dois dados e preencher a tabela 6 como feito anteriormente. Resultado Lançamento Total 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tabela 6: Tabela a ser preenchida da atividade 2.6 item 3 Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 5
4. De acordo com o resultado da turma a respeito do experimento realizado, é melhor jogar com um ou dois dados? Justifique. 2.7 Atividade Na mesma configuração da atividade anterior, se forem realizadas exatamente duas jogadas, o resultado da atividade anterior será o mesmo? Vamos investigar isso! 1. Qual sequência de valores deve sair no lançamento de um dado para que a caixa seja fechada? 2. Preencha a tabela 7 para dois lançamentos de um dado. Resultado do lançamento 1 Resultado do lançamento 2 Soma Tabela 7: Tabela da atividade 2.7 item 2 3. Preencha a tabela 8 considerando os resultados obtidos pela turma no item anterior. Soma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Frequência Tabela 8: Tabela da atividade 2.7 item 3 4. Qual a frequência do valor necessário para fechar a caixa no caso acima? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 6
5. Preencha a tabela 9 para 10 pares de lançamentos de dois dados. Resultado do lançamento 1 Resultado do lançamento 2 Soma Tabela 9: Tabela da atividade 2.7 item 5 6. Preencha a tabela 10 considerando os resultados obtidos pela turma no item anterior. Soma 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Frequência Tabela 10: Tabela da atividade 2.7 item 6 7. Qual é a frequência do valor necessário para fechar a caixa no caso acima? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7
8. Em função dos resultados obtidos decida se é melhor fazer as duas jogada com um dado ou dois dados. 2.8 Atividade Nesta atividade, dada a configuração da tabela 11, as jogadas serão sempre feitas com dois dados. X Y Tabela 11: Tabela da atividade 2.8 item 1 1. Quais as condições sobre X e Y para que seja possível fechar a caixa com uma e duas jogadas, respectivamente? 2. É possível fechar a caixa acima com três jogadas? Justifique. 3. Suponha que X + Y = 9 e que seja realizado um único lançamento dos dados. Quantas jogadas distintas permitem o fechamento da caixa? 4. Para o caso anterior, suponha que sejam realizados, no máximo, dois lançamentos. De quantas formas distintas é possível fechar a caixa? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 8
Bibliografia [1] http://www.durangobill.com/shutthebox.html [2] http://www.angelfire.com/games2/shutbox/sbindex.html [3] http://www.traditional-games.co.uk/shut the box.shtml [4] http://www.jogos.antigos.nom.br/feche.asp Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 9