Introdução. Variações Sobre um Mesmo Tema: Zigue-Zague e as Expressões Numéricas. Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP

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1 Resumo: Variações Sobre um Mesmo Tema: Zigue-Zague e as Expressões Numéricas Com o objetivo de permitir ao aluno o desenvolvimento de competências como disciplina, concentração, perseverança e flexibilidade, correção de suas ações, por meio da análise e comparação de diferentes pontos de vista, especificamente em relação à exploração de expressões numéricas e princípios de contagem apresentamos, neste trabalho, algumas atividades com o jogo Zigue-Zague. No texto, além de explorarmos o jogo como proposto em [1], sugerimos alguns questionamentos que permitem ao professor avaliar o aluno quanto ao seu comportamento e se ele exercita suas habilidades de cálculo mental na busca de melhores resultados para vencer. Propomos também, algumas variações do zigue-zague, como pretexto para o desenvolvimento de habilidades numéricas e a fixação de regras básicas das operações com números naturais, números inteiros e números racionais, inclusive os conceitos de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum no conjunto dos números Naturais. Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague Palavras-chave: jogo no ensino da matemática, zigue-zague, expressões numéricas, combinatória. Introdução O trabalho com jogos no ensino da matemática apresenta interesse crescente por parte de professores e pesquisadores, pois tem mostrado um terreno fértil para a formulação de problemas. Estes, se bem elaborados, se constituem numa abordagem de conteúdos matemáticos que permite, ao mesmo tempo, uma compreensão significativa dos conceitos e o desenvolvimento de habilidades como raciocínio lógico e intuitivo. Na primeira parte do texto, apresentamos o jogo Zigue-Zague, sugestões de perguntas além de reflexões sobre possíveis respostas. Destacamos que muitas outras questões poderão ser levantadas e as reflexões, embora indiquem soluções, não pretendem esgotar totalmente o assunto. 1 Departamento de Matemática IBILCE/SJRP 2 Departamento de Matemática IBILCE/SJRP

2 Educação Matemática A segunda parte é dedicada às variações sobre o mesmo tema, com alterações nas regras e assuntos que poderiam ser abordados, bem como sugestões de outras tabelas. O Jogo Material: Tabuleiro, como no modelo a seguir; Três dados comuns; Um marcador para cada jogador; Lápis, papel e borracha. 748 Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha de partida; 2. Os jogadores se revezam jogando os três dados; 3. Com os três números obtidos, o jogador efetua adições e/ou subtrações, anota e comunica as operações efetuadas e o resultado aos demais competidores; 4. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos resultados obtidos, desde

3 que a casa esteja desocupada. Nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marcador para o resultado, desde que esteja em uma casa desocupada, vizinha à sua, na diagonal, horizontal ou vertical; 5. Caso não seja possível movimentar seu marcador ou haja erro de cálculo, detectado pelo adversário, o jogador passa a vez; 6. Vence o jogo, o primeiro que alcançar a linha de chegada. Considerando-se a importância da assimilação das regras e o estabelecimento de estratégias vencedoras, sugerimos, ao professor, explorar o material e observar o comportamento dos alunos. Neste aspecto, sugerimos que os alunos sejam especialmente indagados sobre o objetivo do jogo e se há uma perfeita compreensão das regras. Especificamente, quanto ao comportamento dos alunos, podem ser respondidas, por exemplo, as seguintes perguntas: - Como o aluno realiza as operações? - Como é feito o registro das operações? - Tem facilidade em perceber as relações entre as operações envolvidas, ou fica tentando usar apenas uma delas? Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague O aluno explica aos companheiros de equipe a estratégia que está utilizando, ou apenas faz as contas e apresenta o resultado? - Qual é o tipo de torcida que faz? Torce para que apareçam apenas números que facilitam a obtenção de um resultado esperado e percebe a vantagem e a necessidade do trabalho com alguns números? - O aluno consegue efetuar os cálculos mentalmente, ou precisa de algum tipo de ajuda? - O aluno percorre caminhos com mudança de coluna, ou pelo menos avalia esta possibilidade? - O aluno é capaz de perceber os erros cometidos e acertá-los em uma próxima jogada? - O aluno acompanha o desenvolvimento dos cálculos pelo(s) adversário(s) corrigindo- -os e impedindo uma jogada não adequada? - O aluno é capaz de prever suas jogadas, antecipando-se aos problemas futuros? - O aluno analisa, com os resultados obtidos, qual é o melhor caminho a seguir? Destacamos que a observação destes aspectos permite ao professor verificar se o aluno exercita suas habilidades de cálculo mental e busca melhores resultados para vencer, além

4 Educação Matemática de permitir ao aluno o desenvolvimento de competências como disciplina, concentração, perseverança e flexibilidade, levando-o a corrigir suas ações, por meio da análise e comparação de diferentes pontos de vista. Com isso os alunos ganham autoconfiança e descobrem a importância de refletir antes de agir. Se o aluno apenas apresenta o resultado e não sabe explicar como chegou a ele, é importante elaborar outras perguntas que permitam a formulação matemática do raciocínio utilizado, e que o fator sorte, ou outros fatores sejam eliminados. É comum o aluno dizer que adivinhou o resultado, sem perceber que estabeleceu um tipo de estratégia. O professor deve estar atento interferir com perguntas que desfaçam esta crença. Para o trabalho com os conceitos específicos, e para facilitar a percepção das relações que queremos estabelecer por todos os alunos, após a primeira rodada, podemos completar o questionamento anterior, com outras indagações (que sugeriremos após a apresentação de cada jogo) e por meio de registro das jogadas efetuadas, socializadas para a classe toda. Além disso, podemos trabalhar os princípios de contagem estudando todas as possibilidades de resultados, a partir das seguintes perguntas: Quais resultados podemos obter a partir dos números obtidos com o lançamento dos dados? 2. De quantas maneiras podemos obter cada um dos resultados de 1 até 10? Neste momento, podemos trabalhar a questão da organização na apresentação dos dados, de modo a não se perder nos argumentos. Para tanto, podemos montar uma tabela (TABELA 1), indicando em colunas os possíveis resultados no lançamento dos três dados, as possíveis respostas com o uso de duas adições, de uma adição e uma subtração e de duas subtrações. Uma segunda tabela, pode ser montada, indicando o total de formas diferentes de se obter um dado resultado. Vide TABELA 2. TABELA 1 TABELA 2 Resultado dos dados Adição Ad. e Sub. 6, 6, 6 6 6, 6, 5 7, 5 6, 6, 4 8, 4 6, 6, 3 9, 3 6, 6, 2 10, 2 6, 6, 1 1 6, 5, 5 6, 4 6, 5, 4 7, 5, 3 6, 5, 3 8, 4, 2 Sub. e Sub. Resultado Total de maneiras de se obter

5 6, 5, 2 9, 3, 1 6, 5, 1 10, 2 6, 4, 4 6, 2 6, 4, 3 7, 5, 1 6, 4, 2 8, 4 6, 4, 1 9, 3 1 6, 3, 3 6 6, 3, 2 7, 5 1 6, 3, , 4 2 6, 2, , 2, 1 9 7, 5 3 6, 1, , 5, 5 5 5, 5, 4 6, 4 5, 5, 3 7, 3 5, 5, 2 8, 2 5, 5, 1 9, 1 5, 4, 4 5, 3 5, 4, 3 6, 4, 2 5, 4, 2 7, 3, 1 5, 4, , 2 5, 3, 3 5, 1 5,3,2 10 6, 4 5,3,1 9 7, 3 1 5,2, ,2,1 8 6, 4 2 5,1, ,4,4 4 4,4,3 5, 3 4,4,2 10 6, 2 4,4,1 9 7, 1 4,3,3 10 4, 2 4,3,2 9 5, 3, 1 4,3,1 8 6, 2 4,2, ,2,1 7 5, 3 1 4,1, ,3, ,3,2 8 4, 2 3,3,1 7 5, 1 3,2,2 7 3, 1 3,2,1 6 4, 2 3,1, ,2, ,2,1 5 3, 1 2,1, ,1,1 3 1 Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague

6 Educação Matemática Analisando as tabelas, ficará mais fácil responder as perguntas: Quais casas são mais difíceis de serem alcançadas? Você sabe explicar por quê? Quais casas são mais fáceis de serem alcançadas? Por quê? Existe possibilidade de, numa mesma jogada, obter resultados pares e ímpares? É fácil obter o 8? E o 2? E o 3? Se nos dois primeiros dados lançados aparecem 6, qual é o número necessário para se avançar para a casa 10? E se fossem 6 e 5 os dois primeiros números obtidos? Qual resultado, nos dados, nos permite usar somente a subtração? Qual o número mínimo de jogadas para finalizar uma partida? Se no início da partida, os números obtidos nos dados forem 6, 5 e 3, obtemos os resultados 8, 4 e 2, qual é a melhor opção para prosseguir no jogo? 752 Para responder essa última questão, estudamos a probabilidade de cada um dos elementos envolvidos. Pelo PFC (Princípio Fundamental de Contagem) o número de resultados (de 1 a 10) é 144, ou seja, o espaço amostral W tem 144 elementos. Na tabela, temos a seguinte situação: Considerando A = {8}, B = {10}, C = {7}, D = {9} e E = {4} os eventos, temos: Isso significa que se escolhermos o 8, temos uma probabilidade maior de prosseguir no jogo. Das respostas às perguntas, além de um estudo detalhado das possibilidades de chegada a partir de cada saída, podemos propor tabuleiros com o mesmo tipo de equilíbrio e que permitem trabalhar outros conteúdos, tais como operações com números relativos, frações, etc o que estamos chamando de variações sobre o mesmo tema. Variações Sobre o Mesmo Tema Uma outra forma de criar situações-problema é propor, aos alunos, algumas variações, sejam sobre as regras, sejam alterações no tabuleiro ou mesmo inventar um novo jogo.

7 Apresentamos, a seguir, algumas variações sugeridas pelos grupos de professores participantes no curso Teia do Saber, realizado no IBILCE/UNESP, em 2005, e que utilizamos, posteriormente, em sala de aula. Destacamos, todavia, que embora tenhamos validado as propostas, pois houve aceitação de professores e alunos, não apresentamos, neste artigo, detalhes de como podem ser propostos novos tabuleiros, apenas ressaltamos que é interessante utilizar o estudo de probabilidade de obtenção dos resultados propostos, seguindo as regras, para que haja equilíbrio no jogo. Com relação às regras, foram sugeridas a utilização do mesmo tabuleiro e permitir o uso de outras operações, como multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, ou parte delas, dando, assim, mais diversidade na formulação de expressões numéricas curtas. Por exemplo, se os números obtidos nos dados forem 3, 6 e 2, além do 7 e 5 que se encontram na tabela 1, podemos obter 6 = e 9 = No caso de 4, 5 e 1, além de 10, 8 e2 (tabela 1), podemos obter = 6 e = 2. Em relação ao tabuleiro, as variações sugeridas, a seguir, envolvem os conceitos de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, no conjunto dos números Naturais, os Números Inteiros e Frações, que permitem a formulação de outros questionamentos e problemas (não apresentadas no momento). Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague Variação N 1 - Zigue-zague com números inteiros Material: Tabuleiro (como o apresentado na figura 1); Três dados; Um marcador para cada jogador. Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha de partida; 2. Os jogadores se revezam lançando três dados, sempre estabelecendo, antes do lançamento, qual dos dados representará o número negativo; 3. Com os três números obtidos, o jogador efetua operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão, anotando e comunicando as operações efetuadas e o resultado aos demais competidores; 4. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos resultados obtidos, desde que a casa esteja desocupada. Nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marca-

8 Educação Matemática dor para o resultado, desde que esteja em uma casa desocupada, vizinha à sua, na diagonal, horizontal ou vertical; 5. Caso não seja possível movimentar seu marcador ou haja erro de cálculo, detectado pelo adversário, o jogador passa a vez; 6. Vence o jogo o primeiro que alcançar a linha de chegada. 754 Figura 1 Variação N 2 Zigue-zague das frações Material: Tabuleiro numerado (como o apresentado na figura 2); Dois dados de cores diferentes (Ex: azul e branco); Um marcador para cada jogador. Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha de partida; 2. Os jogadores se revezam lançando por duas vezes os dois dados, estabelecendo que a fração obtida em cada lançamento terá como numerador o número do dado azul

9 e denominador o número obtido no dado branco; 3. Com as duas frações obtidas, o jogador efetua qualquer uma das operações: adição, subtração, multiplicação ou divisão, anotando e comunicando as operações efetuadas e o resultado aos demais competidores; 4. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos resultados obtidos, desde que a casa esteja desocupada. Nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marcador para o resultado, desde que esteja em uma casa desocupada, vizinha à sua, na diagonal, horizontal ou vertical; 5. Caso não seja possível movimentar seu marcador ou haja erro de cálculo, detectado pelo adversário, o jogador passa a vez; 6. Vence o jogo o primeiro que alcançar a linha de chegada. Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague Figura 2 Variação N 3. Ziguezagueando com o mdc e o mmc Material: Tabuleiro (Figura 3); Dois dados; Um marcador para cada jogador.

10 Educação Matemática Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha de partida; 2. Os jogadores se revezam lançando dois dados; 3. O jogador calcula o m.d.c. ou o m.m..c. dos números obtidos anotando e comunicando as operações efetuadas e o resultado aos demais competidores; 4. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos resultados obtidos, desde que a casa esteja desocupada. Nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marcador para o resultado, desde que esteja em uma casa desocupada, vizinha à sua, na diagonal, horizontal ou vertical; 5. Caso não seja possível movimentar seu marcador ou haja erro de cálculo, detectado pelo adversário, o jogador passa a vez; 6. Vence o jogo o primeiro que alcançar a linha de chegada. 756 Figura 3 Variação N 4. Zigue-zague dos divisores Material: Tabuleiro (Figura 4); Três dados; Um marcador para cada jogador.

11 Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha de partida; 2. Os jogadores se revezam lançando os três dados, efetua a adição dos resultados obtidos, anotando e comunicando a soma e um dos seus divisores; 3. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos divisores, desde que a casa esteja desocupada. Nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marcador para um divisor, desde que esteja em uma casa desocupada, vizinha à sua, na diagonal, horizontal ou vertical; 4. Caso não seja possível movimentar seu marcador ou haja erro de cálculo, detectado pelo adversário, o jogador passa a vez; 5. Vence o jogo o primeiro que alcançar a linha de chegada. Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague Figura 4

12 Educação Matemática Além disso, inspirado no Zigue-zague podemos propor outros jogos como o apresentado a seguir, Variação N 5 - Dama das operações Material: Tabuleiro (Figura 5); Três dados; Nove marcadores para cada jogador. (Dois jogadores) Regras: 1. Os marcadores são colocados na linha indicada para cada jogador; 2. Os jogadores se revezam lançando três dados; O jogador pode efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão com os números obtidos, anotando e comunicando o resultado aos demais competidores; 4. Na primeira rodada, coloca o seu marcador sobre um dos resultados obtidos, desde que a casa esteja desocupada. Até que complete a primeira linha, deve repetir o processo; 5. Depois de completada a primeira linha, nas rodadas seguintes, o jogador desloca seu marcador para o resultado, desde que esteja em uma casa vizinha à sua, na diagonal ou vertical, caso contrário, passa a vez; 6. O jogador pode ocupar a casa em que se encontra um marcador do adversário, nesse caso o marcador do adversário é retirado do jogo; 7. Vence o jogo aquele que eliminar todos os marcadores do adversário ou alcançar o lado oposto com o maior número de marcadores.

13 BIBLIOGRAFIA Figura 5 Variações sobre um mesmo tema: Zigue-Zague [1] Kamii, C. Aritmética: Novas Perspectivas. Implicações da Teoria de Piaget. Papirus Editora, [2] Macedo, L. e outros. - Aprender com Jogos e Situações-Problemas. Artmed, [3] Borin, J. Jogos e Resolução de Problemas: uma estratégia para as aulas de matemática IME/USP