Semáforo Autor: Alan Parr. Avanço Autor: Dan Troyka, Material Um tabuleiro quadrado 7 por peças brancas e 14 peças negras.

Transcrição

1 Avanço Autor: Dan Troyka, 2000 Material Um tabuleiro quadrado 7 por peças brancas e 14 peças negras. Objectivo posição inicial Um jogador ganha se chegar com uma das suas peças à primeira linha do adversário, ou seja, as Brancas devem chegar à 7ª linha e as Negras à 1ª linha do tabuleiro. Regras Cada jogador, alternadamente, move uma peça sua. Começam as Brancas. As peças movem-se sempre em frente, para uma casa vazia, seja na sua coluna ou numa das suas diagonais. No diagrama esquerdo mostram-se para onde cada uma das peças se poderia movimentar se fosse a sua vez de jogar. As peças podem capturar peças adversárias que se situem na sua diagonal em frente movendo-se para a casa onde elas se encontram (como os peões do Xadrez). As peças capturadas são removidas do tabuleiro. As capturas são opcionais e apenas se pode capturar uma peça por turno (ou seja, não há capturas múltiplas). No diagrama direito observa-se quais as peças negras que poderiam ser capturadas pela peça branca (a peça branca não se pode mover para d5 porque a casa está ocupada, nem pode capturar essa peça negra, porque as capturas apenas se efectuam na diagonal). De notar que as partidas deste jogo terminam rapidamente porque as peças são obrigadas a mover-se sempre para a frente. Em cada turno, cada jogador tem pelo menos uma jogada possível (o adversário não consegue bloquear peças, assim, a peça mais avançada pode sempre deslocar-se). Deste modo, as partidas nunca terminam em empate. Semáforo Autor: Alan Parr Material 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores. Objectivo Ser o primeiro a conseguir uma linha de três peças da mesma cor na horizontal, vertical ou diagonal. Regras O jogo realiza-se no seguinte tabuleiro, inicialmente vazio: Em cada jogada, cada jogador realiza uma das seguintes acções: Coloca uma peça verde num quadrado vazio; Substitui uma peça verde por uma peça amarela; Substitui uma peça amarela por uma peça vermelha. De notar que as peças vermelhas não podem ser substituídas. Isto significa que o jogo tem de terminar sempre: à medida que o tabuleiro fica com peças vermelhas, é inevitável que surja uma linha de três peças. Nos diagramas seguintes usam-se as cores branca, cinzenta e preta para representar respectivamente o verde, o amarelo e o vermelho. O seguinte diagrama mostra uma posição com três possibilidades de vitória imediata: 1. substituir a peça verde em a3 (cria um três em linha vertical de amarelos); 2. substituir a peça amarela em d1 (cria um três em linha diagonal de vermelhos); 3. largar uma peça verde em c1 (cria um três em linha diagonal de verdes). O exemplo ao lado é de um fim de partida. Se analisarmos o tabuleiro, verificamos que já só restam duas opções de jogada que não levam à derrota: (a) largar uma peça verde em b1; (b) substituir a peça verde em d2 ou a peça amarela em d1. Ao jogar numa dessas opções, o adversário joga na outra. Isto significa que o jogador seguinte já perdeu.

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3 ANÁLISE DE UM PROBLEMA DE SEMÁFORO O jogo usualmente designado por Traffic Lights (em português, Semáforo) foi inventado por Alan Parr em Engane-se o leitor que pense que é apenas uma versão ligeiramente mais complexa do que o conhecido jogo do galo. De facto, é um jogo que exige uma certa precisão de cálculo mesmo em tabuleiros pequenos. As regras do jogo são bastante fáceis: O jogo envolve dois jogadores que vão fazendo uma jogada de cada vez. O jogo é jogado num tabuleiro do seguinte tipo (o tamanho pode variar): Cada jogada pode ser feita de três maneiras: ou se larga uma peça verde num quadrado vazio, ou se transforma uma peça verde que esteja no tabuleiro numa peça amarela, ou se transforma uma peça amarela que esteja no tabuleiro numa peça vermelha. Ganha o primeiro jogador que conseguir fazer um três em linha da mesma cor na vertical, horizontal ou diagonal. Se o tabuleiro for de três por três, o primeiro jogador ganha colocando uma peça verde no meio. O adversário tem de a transformar em amarela para não perder. O primeiro jogador transforma a peça amarela em vermelha e depois basta jogar de forma simétrica em relação ao adversário até ter uma jogada ganhante. Vejamos, a partir do seguinte exemplo, típicos raciocínios relativos a este jogo (o leitor pode tentar resolver o problema antes de ler a solução). Como jogar e ganhar?

4 Solução: Mais do que apresentar meramente a solução, vamos apresentar a forma de raciocínio que nos leva até ela para depois tirar algumas conclusões. Primeiro Passo: Comecemos por identificar as casas totalmente interditas, isto é, as casas em que não podemos de maneira nenhuma jogar, nem nunca vamos poder. Segundo Passo: Identifiquemos agora as casas temporariamente interditas, isto é, as casas em que não podemos jogar, mas com potencial de ainda poderem vir a estar disponíveis. Repare-se que jogando na casa marcada o adversário faz uma linha amarela. No entanto, esta situação pode vir a ser alterada mudando as peças que estão amarelas para vermelhas. Terceiro Passo: Já estão identificadas as hipóteses possíveis para se efectuar uma jogada.

5 Podemos pensar o que aconteceria se as peças do meio fossem todas vermelhas e fossemos nós a jogar. Este tipo de hipótese maximal facilita imenso o cálculo de variantes. É fácil ver que nesse caso haveria 3 jogadas ganhantes, colocando o adversário numa posição de não poder jogar: Jogada Ganhante Jogada Ganhante Jogada Ganhante Sendo assim, a maneira mais fácil de ganhar o jogo (mas não única) é mudar uma amarela para vermelha (como se mostra no próximo diagrama). Repare-se que agora o segundo jogador tem dois tipos de jogadas igualmente perdentes: 1) Mudar a amarela para vermelha e estamos no caso já visto; 2) Colocar noutra casa que não perca imediatamente e nós mudamos a outra peça amarela para vermelha (reduzindo novamente ao caso já visto). Conclusões: Apesar deste jogo ser muito mais de cálculo do que estratégico, a identificação de casas totalmente interditas, temporariamente interditas e a colocação de hipóteses maximais facilita muito o dito cálculo.

6 Exercício: Como jogar e ganhar? Solução: Comecemos por marcar as casas totalmente interditas e temporariamente interditas: totalmente temporariamente Podemos seguir dois caminhos: ou levantamos a interdição da casa que está temporariamente interdita (isso pode ser conseguido transformando a amarela da linha superior) ou mantemos a interdição. O leitor vai poder verificar que esta decisão é, neste momento, absolutamente decisiva: Uma jogada que conduz à vitória é a seguinte (que mantém a interdição temporária):

7 O segundo jogador tem duas opções: 1) levantar a interdição, perdendo imediatamente na jogada seguinte: 2) Trocar a verde colocada em amarela, jogada à qual se responde com a sequência forçada: Imaginemos que a primeira jogada tinha sido o levantamento da interdição: Deixamos ao cuidado do leitor verificar que com a jogada seguinte o segundo jogador ganha:

8 Aliás, deixamos ao cuidado do leitor verificar que a primeira jogada indicada é a única que ganha! Conclusão: O momento em que se permite que uma casa interdita passe a estar disponível é vital. Alguns Links Interessantes: obj_id=1181&part=index&refpage=monthindex.php

9 9 28 de Outubro de 2005 Jogos Matemáticos - Semáforo Tabuleiro e peças do jogo - Para jogar basta recortar, colar numa cartolina e depois seguires as regras do jogo (página 10)

10 10 28 de Outubro de 2005 O Semáforo - Regras do Jogo Já todos ouvimos falar do campeonato de jogos matemáticos. Ao contrário do que possas pensar, estes jogos são mais do que a matemática que conhecemos. Agora já podes construir e jogar alguns dos jogos deste campeonato. Semáforo Autor: Alan Parr Material Oito peças verdes, oito amarelas e oito vermelhas partilhadas pelos jogadores. Objectivo Ser o primeiro a conseguir uma linha de três peças da mesma cor na horizontal, vertical ou diagonal. Regras O jogo realiza-se no tabuleiro, inicialmente vazio: O exemplo seguinte é de um fim de partida. Se analisarmos o tabuleiro, verificamos que já só restam duas jogadas que não levam à derrota: (a) largar uma peça verde em b1; (b) substituir a peça verde em d2. Isto significa que o jogador seguinte já perdeu. Ao jogar numa dessas opções, o adversário joga na outra. Como jogar e ganhar? Solução: Mais do que apresentar meramente a solução, vamos apresentar a forma de raciocínio que nos leva até ela para depois tirar algumas conclusões. Primeiro Passo: Comecemos por identificar as casas totalmente interditas, isto é, as casas em que não podemos de maneira nenhuma jogar, nem nunca vamos poder. Podemos pensar o que aconteceria se as peças do meio fossem todas vermelhas e fossemos nós a jogar. Este tipo de hipótese maximal facilita imenso o cálculo de variantes. É fácil ver que nesse caso haveria 3 jogadas ganhantes, colocando o adversário numa posição de não poder jogar: Em cada jogada, cada jogador realiza uma das seguintes acções: Coloca uma peça verde num quadrado vazio; Substitui uma peça verde por uma peça amarela; Substitui uma peça amarela por uma peça vermelha. De notar que as peças vermelhas não podem ser substituídas. Isto significa que o jogo tem de terminar sempre: à medida que o tabuleiro fica com peças vermelhas, é inevitável que surja uma linha de três peças. Nos diagramas seguintes usam-se as cores branca, cinzenta e preta para representar respectivamente o verde, o amarelo e o vermelho O seguinte diagrama mostra uma posição com três possibilidades de vitória imediata: 1. substituir a peça verde em a3 (cria um três em linha vertical de amarelos); 2. substituir a peça amarela em d1 (cria um três em linha diagonal de vermelhos); 3. largar uma peça verde em c1 (cria um três em linha diagonal de verdes). Análise de um problema O jogo usualmente designado por Traffic Lights (em português, Semáforo) foi inventado por Alan Parr em Engane-se o leitor que pense que é apenas uma versão ligeiramente mais complexa do que o conhecido jogo do galo. De facto, é um jogo que exige uma certa precisão de cálculo mesmo em tabuleiros pequenos. Vejamos, a partir do seguinte exemplo, típicos raciocínios relativos a este jogo (o leitor pode tentar resolver o problema antes de ler a solução). Segundo Passo: Identifiquemos agora as casas temporariamente interditas, isto é, as casas em que não podemos jogar, mas com potencial de ainda poderem vir a estar disponíveis. Repare-se que jogando na casa marcada o adversário faz uma linha amarela. No entanto, esta situação pode vir a ser alterada mudando as peças que estão amarelas para vermelhas. Terceiro Passo: Já estão identificadas as hipóteses possíveis para se efectuar uma jogada. Sendo assim, a maneira mais fácil de ganhar o jogo (mas não única) é mudar uma amarela para vermelha (como se mostra no próximo diagrama). Repare-se que agora o segundo jogador tem dois tipos de jogadas igualmente perdentes: 1) Mudar a amarela para vermelha e estamos no caso já visto; 2) Colocar noutra casa que não perca imediatamente e nós mudamos a outra peça amarela para vermelha (reduzindo novamente ao caso já visto). Conclusões: Apesar deste jogo ser muito mais de cálculo do que estratégico, a identificação de casas totalmente interditas, temporariamente interditas e a colocação de hipóteses maximais facilita muito o dito cálculo.