Séries de Laurent e Teoremas de Cauchy Roberto Imbuzeiro Oliveira 3 de Abril de 20 A maior parte destas notas tem como refererência o livro de David Ullrich, Complex Made Simple. Preliminares sobre séries de potência generalizadas Dada uma sequência {b n } n Z, estudaremos o problema de determinar quando uma série de potência generalizada: f(z) = n Z b n z n determina uma função num anel: A(0, r, R) {z C : r < z < R} (0 r < R + ). O seguinte teorema segue do que já sabemos sobre séries de Taylor. Teorema Defina: R = r = lim sup b n /n, n + lim sup n + b n /n. Suponha que 0 r < R +. Então:F (z) n 0 b nz n define uma função analítica em B(0, R) e G(z) n b n z n define uma função analítica em B(0, /r).por conseguinte, f(z) = F (z) + G(/z) IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040.
define uma função holomorfa em A(0, r, R) e a série de potência generalizada pode ser diferenciada e integrada termo-a-termo neste mesmo anel. Além disso, a série de potênccia generalizada: n b n z n n + converge no mesmo anel e tem como derivada a função f(z) b /z. Exercício Ponha os pingos nos i s. O termo b é chamado de resíduo de f no ponto 0. De forma geral, dada f : U C, dizemos que b é o resíduo de f no ponto z 0 C se existe um anel A(z 0, r, R) contido em U com: f(z) = n N b n (z z 0 ) n para z A(z 0, r, R). 2 Representação por séries de Laurent Nesta seção suporemos que f : U C é holomorfa e que existe um anel A(z 0, r, R) {z C : r < z z 0 < R} (0 r < R + ). Assim provaremos que f tem uma expansão em série de potências generalizada (ou série de Laurent) ao redor de z 0. Teorema 2 Podemos escrever: f(z) = n Z b n (z z 0 ) n, onde para qualquer ρ (r, R): b n w z 0 =ρ ( 0 ) n+ (n Z). Prova: A prova é baseada na que já vimos para séries de Taylor. Dado z A(z 0, r, R), tome r < r 0 < z z 0 < R 0 < R. Considere os círculos: c z0,ξ : t [0, ] z 0 + ξ e t (ξ (r 0, R 0 )). O principal ponto da prova é uma fórmula integral para f(z). 2
Afirmação Temos: f(z) = c z0,r 0 c z0,r 0. Prova: [da Afirmação] Escreva z = z e θ com θ R. Dados θ 0 < θ < θ, defina: [r 0 + (r r 0 ) t] e iθ 0, 0 t ; r η θ,θ 2 (t) = e iθ 0+i(t ) θ, t 2; () A 2 t 3; r 0 e iθ i(t 3) (θ θ 0 ), 3 t 4. Exercício 2 Mostre que se θ 0 θ + θ θ é pequeno o suficiente, η θ0,θ é homotópica a c z,h no aberto A(z 0, r, R)\{z} para algum h > 0 com B(z, r) A(z 0, r, R). Deduza da Fórmula Integral de Cauchy e do fato que o integrando é homeomorfo em A(z 0, r, R)\{z} que: f(z) c z,h = η θ0,θ. Agora vamos mostrar que η θ0,θ é homotópica a η θ0,2π+θ 0 em A(z 0, r, R)\{z}, o que implicará (pelo mesmo raciocínio) que: A homotopia é dada por: f(z) = η θ0,θ 0 +2π. γ s ( ) η θ0,θ +(2π+θ 0 θ )s( ). Exercício 3 Prove que isto dá uma homotopia como precisamos ter. Por fim, observamos que: Exercício 4 Prove que η θ0,θ 0 +2π [Fim da prova da afirmação.] = c z0,r. c z0,r 3
Agora usamos a fórmula integral da afirmação para terminar a prova do Teorema. Primeiro mostraremos que: = b n z n (2) c z0,r 0 n 0 onde os b n são como no enunciado do Teorema. De fato, observe que se 0 = R > z z 0, logo temos: = ( 0 ) (z z 0 ) = ( ) z n z0 0 0. Portanto temos: c z0,r 0 = c z0,r 0 n 0 n 0 ( 0 ) n+ (z z 0) n dw. Exercício 5 Justifique a troca da soma da série com a integrale e deduza: = ( ) dw (z z c z0,r 0 n 0 c z0 (,R 0 0 ) n+ 0 ) n. A prova de (2) termina quando observamos que: n 0, dw = ( 0 ) n+ c z0,r 0 c z0,ρ dw, ( 0 ) n+ já que para cada n o integrando é holomorfo em A(z 0, r, R) e as curvas c z0,r 0 e c z0,ρ são homotópicas neste anel. O restante da expansão em série é dado pela outra integral na fórmula para f(z) dada pela afirmação. Isto é, esboçaremos a prova de: c z0,r 0 = n<0 b n z n (3) A prova usa outra expansão em série. De fato, se 0 = r 0 < z z 0 = ( ) w j z0. z z 0 z z 0 Aplicando o mesmo raciocínio de antes, deduzimos que: = ( ) ( 0 ) (n+) (z z 0 ) n. c z0,r 0 n<0 c z0,r 0 Finalmente, podemos trocar c z0,r 0 por c z0,ρ para cada termo do lado direito para deduzir (3). 4 j 0
Exercício 6 Prove a unicidade da expansão em séries de Laurent num dado anel. 3 Ciclos e índices Sejam U C aberto e γ,..., γ m curvas fechadas retificáveis em U. Definimos um ciclo como sendo uma soma formal da forma = γ + γ 2 + γ 3 + + γ m. Não queremos dar uma definição formal desta soma. Apenas queremos dizer que para qualquer h contínua sobre as imagens das γ i, f m j= γ j f. Se escrevermos γ j, é porque estamos olhando a curva γ j na direção invertida. Isto inverte o sinal do termo correspondente na soma acima. Também definimos o índice Ind(, z) pela soma de integrais adequada. Exercício 7 Defina d(z, ) min d(z, Im(γ j)). j m Mostre que se z, w C não estão sobre qualquer curva γ j e z w < d(z, ), então Ind(, z) = Ind(, w). Deduza que para qualquer k N o seguinte conjunto é aberto. A k {z C\ j Im(γ j ) : Ind(, z) = k}. Exercício 8 Mostre que A 0 B[0, R] c para algum R > 0. [Dica: basta que cada γ j esteja contida na bola.] Usaremos abaixo o seguinte resultado. 4 Trivialidade Para facilitar, vamos enunciar uma definição e uma proposição úteis. Definição Um par (U, ) é dito trivial se U C é um aberto e é um ciclo em Utal que Ind(, a) = 0 para todo a C\U. 5
Proposição Suponha que γ : [0, ] U é fechada, retificável e satisfaz Ind(γ, a) = 0 para todo a C\U. Seja A 0 o conjunto de todos os u C com Ind(, u) = 0 Então (usando a notação do Exercício acima) A 0 U é não-vazio. Prova: Se U é ilimitado, isto segue do exercício imediatamente anterior. Se U é limitado, U é compacto, portanto existe z U de módulo máximo. Claramente, z U: de outro modo, ( + ε)z pertenceria a U (que é aberto) para algum ε > 0, contradizendo a maximalidade de z. Este mesmo argumento mostra que d(z, ) > 0 (pois U) e que para qualquer r > 0 B(z, r) contem pontos de C\U. Agora tome r < d(z, )/2 e a B(z, r)\u. Por hipótese, Ind(, a) = 0. Usando o exercício imediatamente anterior e a desigualdade: d(a, ) > d(z, ) r > r > z a, concluímos que Ind(, z) = 0. Por outro lado, isto implica que o índice é 0 em alguma vizinhança aberta de z, e qualquer vizinhança deste tipo contem pontos de U. Logo existe w U com índice 0. Exercício 9 Um aberto U C é dito simplesmente conexo se toda curva fechada em U é homotópica a um ponto. Prove que, neste caso, (U, ) é trivial para qualquer ciclo. 5 Fórmula integral de Cauchy Teorema 3 (FIC) Seja (U, ) trivial e f : U C holomorfa. Então para todo z C, = Ind(, z) f(z). Prova: Suporemos na prova qiue é composta de curvas suaves. O caso geral segue deste (exercício). Note que o enunciado é equivalente a (exercício): z U\, F (z) f(z) dw = 0. Isto seguirá do seguinte fato: existe uma função inteira G cuja restrição a U é igual a F e tal que: lim G(z) = 0. z + 6
Exercício 0 Use o teorema de Liouville para mostrar que tal G é necessariamente constante e deduza que G 0 Em primeiro lugar, definimos (para w, z U): g(w, z) = ( f(z))/() se w z ou f (z) se w = z. Observamos que g é contínua e que para cada w fixo g(w, ) é holomorfa em U. Defina agora: F (z) g(w, z) dw (z U). Veja que esta definição coincide com a dada acima se z U\. Afirmação 2 F é holomorfa em U. Prova: Basta mostrar que F = 0 para todo triângulo U (via teorema de Morera). Para provar isto, usamos: Exercício ( ) g(w, z) dw dz = ( ) g(w, z) dz dw. Como g(w, ) é holomorfa, g(w, z) dz = 0 para todo w e deduzimos F = 0 Agora definimos uma segunda função holomorfa. Seja A 0 o conjunto de todos os a C com Ind(, a) = 0. Note que A 0 é aberto e A 0 C\U porque (U, ) é trivial. A função que definimos é: F (z). Afirmação 3 F é holomorfa e coincide com F em A 0 U. Prova: Para todo z A 0 U temos que z e portanto. g(w, z) dw = dw f(z) dw. Como z A 0, o segundo termo é 0, o que implica F (z) = F (z). 7
Falta provar que F é holomorfa. Isto pode ser provado como fizemos para séries de Taylor. Notamos que z 0 A 0 implica d(, z 0 ) = r > 0, logo 0 r para todo w na imagem de. Se z z 0 < r, temos: = n 0 (z z 0 ) n ( 0 ) n+ onde a série converge geometricamente. Por um argumento já visto, temos que: F (z) = ( ) n 0 dw (z z ( 0 ) n+ 0 ) n, z z 0 < r. Portanto F é analítica numa vizinhança de cada z 0 A 0. Agora defina G(z) = F (z) se z U ou G(z) = F (z) se z A 0. Vemos que G está bem-definida para todo z C, visto que F (z) = F (z) para todo z U A 0 e além disso U A 0 = C (isto decorre da trivialidade de (U Gamma)). Além disso, como A 0 e U são abertos, vemos que para todo z C há uma vizinhança de z inteiramente contida em A 0 ou inteiramente contida em U; segue que G é diferenciável em qualquer ponto z. Deduzimos que G é inteira e coincide com F em U. Agora tome z +. Se z é grande o suficiente, Ind(, z) = 0 e portanto: G(z) = F (z) L() 2π sup w Exercício 2 Justifique esta afirmação. (Isto envolve definir L()!). Veja que o supremo na integral é: sup w d(z, ) 0 quando z +. Portanto G(z) 0 quando z +, como queríamos demonstrar. 6 Consequências de Fórmula Integral de Cauchy Exercício 3 (Teorema de Cauchy) Prove que se (U, ) é trivial e f : U C é holomorfa, f = 0. 8
Teorema 4 (Teorema de Resíduos) Seja (U, ) trivial. Suponha que S U é finito e f : U\S C é holomorfa. Então: f(z) dz = Res(f, u) Ind(, u). u S Prova: Para cada u S tome r u > 0 com B[s, r u ]\{s U\S. Defina: η u (t) = u + r u e Ind(,u)t. Defina: Θ = + u S η u. Exercício 4 Prove que Ind(Θ, u) = 0 para todo u S. Mostre ainda que (U\S, Θ) é trivial. Deduzimos do Teorema de Cauchy que: f + f = u S η u Θ f = 0. A prova termina com: Exercício 5 Prove que: f = Res(f,.u) Ind(, u). η u 9