Prova Gabarito Questão (4 pontos) Um pulso é descrito por: g t = t e t / u t u t, a) Esboce o pulso. Este é um sinal de energia ou de potência? Qual sua energia/potência? (,7 ponto) b) Dado um trem periódico de pulsos (,7 ponto) g p t= g p t nt T =4 n= obtenha os três primeiros termos não nulos da série de Fourier trigonométrica compacta de g p (t), se t =ms. c) Qual a porcentagem da potência contida nestes primeiros termos. (,7 ponto) d) O sinal g p (t) passa por um filtro com a resposta espectral abaixo. Escreva a expressão para o sinal na saída, no domínio do tempo? (,7 ponto) H(f) p 5 e) Este filtro é realizável? Justifique. (,6 ponto) f) O sinal filtrado é multiplicado por um cosseno de frequência khz. Esboce os espectros de fase e amplitude do sinal resultante. (,6 ponto) -p a) é um sinal limitado no tempo, portanto, de energia E g = g t dt= t e t / dt= = 4 5 e =,8839 e t / 8/ 4 t 3 4 t b) C = T T g t dt= 4 = 4 e =,6663 t e t / dt= 4 e t / t
Para achar os termos da série compacta é mais fácil partir da série exponencial D = t 4 e t / e j t / 4 dt= t e j / 4t / dt 4 = 4 e j / t / j / / [ j / t ] = [ e e j / j /]= je j / 4 j / 4 /4 j = e / j e 4 /4 j e / 4e exp j e tan e / = 4 /4 exp j =,6594 e tan /4 j,837 D =,6594 e j,837 C = D D = D =,38 =,837 D = 4 t e t / e j4 t / 4 dt= = e j t / 4 j / [ t e j t / dt 4 j t ] = [ e e j j ]= e j 4 j 4 j = e j e 4 j e e exp j e tan e = 4 4 exp j =,7973e j,74588 tan D =,7973e j,74588 C = D D = D =,345946 =,74588 A série fica g p t=,6663,38cos t,837,345946 cos t,74588 c) A potência do sinal é P g = E g T =,8839 =,77 4 A potência do 3 primeiros termos é dada por P g C C C 3 =,6663,38 /,345946 /=.44=,656 E g
d) g p t C C cos f t C cos4 f t C 3 cos6 f t 3 f = T = 4 3 =5 Hz H f = f 5, f = f f 5 O filtro vai eliminar todos os componentes de frequência >= 5Hz, ou seja, só teremos os primeiros termos da série de Fourier na saída, multiplicados pelo ganho do filtro em cada frequência. O sinal filtrado é dado por y p (t)=c + H ( f ) C cos( π f t +θ +θ( f )) =C + C cos(5 πt +θ 5π /) e) não o filtro não é realizável, pois contém faixas de frequência com ganho H(f) =, o que inviabiliza as condições de Paley-Wiener. Alternativamente, podemos ver que h(t)=k sinc (at - T), que é a transformada inversa de Fourier de H(f), e consequentemente não é causal. f) o espectro na saída do filtro é Y(f ) C C / 5 q y (f ) 5 q -5p/ sabemos que o efeito de multiplicarmos um sinal por uma senóide de frequência f é deslocá-lo para f e -f. Sendo assim, temos
Z(f ) C / C /4 q z (f )
Questão ( pontos) a)é dado um sinal g t =t /ut, onde t é um pulso triangular de amplitude e largura unitárias. Ache a sua transformada de Fourier G(f) (,4 ponto) b)usando apenas as propriedades da transformada de Fourier em relação a G(f), sem calcular a integral de Fourier ou utilizar a transformada de alguma outra função conhecida, ache também a transformada das seguintes funções (,4 ponto cada) - g (t ) g (t) g 3 (t ) g 4 (t) = t-t /,<t < - / / a) g t= t, b) G f = t e j f t dt e j f t t e j f t dt= j f e j f t = j f e j f j f e j f 4 f e j f j f 4 f = 4 f e j f j f g t=g t g t xt=g t X f =G f e j 4 f yt =x t=g t Y f = X f =G f e j 4 f G f =G f G f e j 4 f 4 f j f t = 4 f e j f j f e j 4 f 4 f e j f j f = 4 f e j f j f e j 4 f e j f j f e j 4 f = 4 f j f e j 4 f j f e j 4 f
c) g t= gt / d) G f = G f =4G f = e j 4 f j 4 f / 4 f g 3 t=g tg t gt g t G 3 f =G f G f G f / e j f j f G f / e = e j f e j f e j f e j f j f e j f e j f e j f j f e j f 4 f f = 4 f cos f cos f e j f f sin f f também poderia ser g 3 t = [ g tg tg t g t ] e) t g 4 t= G 4 f =G g t f j f G f = j 8 3 f 3 e j f j f f e j f j f lim f 4 f e j f j f lim =lim f 4 f f j e j f j =lim 8 f f 4 e j f 8 = G 4 f = j 8 3 f 3 e j f j f f 4
Questão 3 ( pontos) Dado um pulso cuja transformada de Fourier é f / G f = j f /4. a) Qual sua densidade espectral de energia? (,5 ponto) b) Qual sua largura de banda essencial, considerando que ela contém 99% da energia (,5 ponto) c) Qual a densidade espectral de energia da saída y(t) do sistema abaixo? (,5 ponto) d) Esboce a densidade espectral de energia de x(t) = g(t)cos(p t)? (,5 ponto) g(t) T + _ d d t y(t) a) g f = G f = f f 4 6. b) primeiro temos que calcular a energia total g f df = g f df E g = f = f df =3. 4 6. Agora podemos achar a banda essencial c) B g f df =,99 E g =98 4tan f yt =d f 6. f df =4 4 tan f = 4 B=98 tan B 4 4 = 99 B =63,656 B=59,57 4 gt gt T dt Y f = j f G f G f e j f T H f = Y f G f = j f e j f T = j f cos f T j sin f T = f sin f T j f cos f T y f = H f x f =4 f sin f T cos f T =4 f cos f T f f 4 6. f f 4 6.
d) houve erro no enunciado, deveria ser x(t) = g(t)cos(p t). Neste caso, como a frequência do cosseno f c = é bem maior que a banda essencial, temos que x f = 4 [ g f g f ], ou seja A S g (f) S x (f) A/4 quem considerou x(t) = g(t)cos(p t) deveria obter x f = 4 G f f G f f = 4 [ g f g f Re {G f f G * f f }]
Questão 4 ( pontos) O sinal g t = t é amostrado a uma taxa 5 Hz. Antes da amostragem é realizada a filtragem por um filtro anti-aliasing passa-baixa ideal. Qual a frequência de corte máxima deste filtro? (,5) Calcule a transformada de Fourier discreta (DFT) deste sinal, considerando que foram obtidas 4 amostras (e que não foi aplicado o filtro anti-aliasing). (,5) Calcule sua transformada de Fourier e a compare com as amostras da DFT nas frequências correspondentes. (,5) Este sinal passa por uma convolução circular com um filtro digital com resposta ao impulso h n = n.5 n, onde n ={,n=, n N Qual é o sinal na saída do filtro? (,5) a) A frequência de corte do filtro anti-aliasing independe da banda do sinal. O importante é que sejam eliminados do sinal todos os componentes com frequência acima de f a /. Sendo assim, devemos ter f c =,5Hz. b) O intervalo de amostragem é T a =/ f a =/5=,s As amostras foram obtidas como g n =T a g nt a g =, g =, g =, g,=,,4 =,93 g =, g,4=,,6 =,74 g 3 =, g,6=,,36 =,47 Aplicando a fórmula da DFT, temos G =g g g g 3 =,778 G =g g e j / g e j g e j 3 / =, j,93,74 j,47=,76,45 j G =g g e j g e j g e j 3 =,,93,74,47=,33 G 3 =g g e j 3 / g e j 3 g e j 9 / =G =G * =, j,93,74 j,47=,76,45 j
c) A transformada de Fourier da Função pode ser achada usando as propriedades: e a t F a a 4 f G t F g f sendo assim a a 4 t F e a f =e a f a F e a f a 4 t Fazendo a = a=, temos 4 t = a F e a f = e f a 4 t A DFT corresponde à transformada de Fourier amostrada nas frequências k f =k =,5 k HZ N T a Sendo assim deveríamos ter G = G = e,5 =, G = e 3,75 =,4 G 3 =G * =G (o sinal é real) podemos ver que o resultado é bem diferente da DFT, o que ocorre porque selecionamos apenas poucas amostras. d) A ideia é realizar a convolução circular entre h e g h=[ ;,5 ;, ] Temos: g =[, ;,93 ;,74 ;,47]; A convolução circular é dada por N y n = m= g m h n m, g n =g N n Portanto y = g h g h g h g 3 h 3 =g h g 3 h =,,47/=,7355 y =g h g h g h g 3 h =g h g h =,93,/=,93 y =g h g h g h g 3 h =g h g h =,74,93/=,6855 y 3 = g 3 h g h =,47,74/=,333