Superfícies Quádricas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017
1
Superfícies de Revolução São superfícies criadas pela rotação de uma curva (geratriz) em torno de uma reta (o eixo). A região delimitada pela superfície de revolução é denominada sólido de revolução.
Equação de uma superfície de revolução Seja P(x, y, z) um ponto da superfície. Então P pertence a uma circunferência gerada por um ponto Q ao girar a curva C contida no plano yz em torno do eixo de rotação (na figura, C : F (y, z) = 0). R(0, 0, z): centro da circunferência Q(0, y 1, z) ; ponto da curva C PR = QR y 2 1 = x 2 + y 2 F (y 1, z) = 0: equação da superfície
Elipsoide de revolução Rotação da elipse y 2 b 2 + z2 = 1, x = 0 em torno do eixo z. c2 R(0, 0, z): centro da circunferência Q(0, y 1, z) ; ponto da elipse no plano yz PR = QR y 2 1 = x 2 + y 2 y 2 1 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 b 2 + y 2 b 2 + z2 = 1: equação do elipsoide. c2
Observações Se a rotação for em torno do eixo y a equação do elipsoide seria. x 2 c 2 + y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 Se b = c a elipse reduz-se a uma circunferência e a superfície a uma esfera y 2 b 2 + z2 b 2 = 1, x = 0. x 2 b 2 + y 2 b 2 + z2 b 2 = 1
Exemplo 1: Rotação da elipse x 2 9 + y 2 4 = 1, z = 0 em torno do eixo x.
Hiperboloides de revolução Rotação da hipérbole y 2 eixo y. b 2 z2 = 1, x = 0 em torno do eixo z e do c2
Hiperbolóides de revolução: equações Rotação de F (y, z) = y 2 b 2 z2 1 = 0 em torno do eixo-z: c2 F (y 1, z) = 0 sendo y 1 = y 2 + x 2 Hiperboloide de uma folha: x 2 b 2 + y 2 b 2 z2 c 2 = 1 Rotação de F (y, z) = y 2 b 2 z2 1 = 0 em torno do eixo-y: c2 F (y, z 1 ) = 0 sendo z 1 = z 2 + x 2 Hiperboloide de duas folhas: x 2 b 2 + y 2 b 2 z2 c 2 = 1
Exemplo 2: Rotação da hipérbole x 2 4 y 2 5 = 1, z = 0 em torno do eixo y :
Exemplo 2: equação do hiperboloide F (x, y) = x 2 4 y 2 5 1 = 0 P(x, y, z): ponto na superfície R(0, y, 0): centro da circunferência gerada pela rotação de P Q(x 1, y, 0): ponto na curva (hipérbole) PR = QR: x 2 + z 2 = x 2 1 F (x 1, y) = 0 pois Q pertence à hipérbole x 2 1 4 y 2 5 = 1 x 2 4 y 2 5 + z2 4 = 1
Exemplo 3: Rotação da parábola x = y 2, z = 0 em torno do eixo x :
Exemplo 3: equação do paraboloide F (x, y) = x y 2 = 0 P(x, y, z): ponto na superfície R(x, 0, 0): centro da circunferência gerada pela rotação de P Q(x, y 1, 0): ponto na curva (parábola) PR = QR: y 2 + z 2 = y 2 1 F (x, y 1 ) = 0 pois Q pertence à parábola x y 2 1 = 0 x y 2 z 2 = 0 ou x = y 2 + z 2
Exemplo 4: cone de revolução Rotação da reta y = mz, x = 0 em torno do eixo z (eixo do cone): F (y, z) = y mz = 0. Como a rotação se dá em torno do eixo z tem-se F (y 1, z) = y 1 mz = 0, sendo y 2 1 = x 2 + y 2. Portanto, x 2 + y 2 = m 2 z 2
Exemplo 5: cilindro de revolução Rotação de uma reta r em torno de uma reta s, sendo r e s paralelas: Seja s o eixo z e Q(0, 0, z). Então dado P(x, y, z) pertencente ao cilindro temse: d(p, Q) = a x 2 + y 2 = a x 2 + y 2 = a 2
Exemplo 6: cilindro eĺıptico
Exemplo 7: cilindro parabólico
Exemplo 8: paraboloide hiperbólico
Exercícios 1) Determine as coordenadas de um ponto genérico da circunferência descrita pelo ponto Q(2, 3, 5) ao girar em torno do eixo y. 2) Determine a interseção do plano x = 2 com a circunferência descrita pela rotação do ponto Q( 2, 1, 4) ao girar em torno do eixo z 3) Escrever uma equação da superfície gerada pela rotação da parábola x = y 2, z = 0, em torno de seu eixo. Sugestão: Q(x, ± x, 0) são pontos da parábola. 4) Obter a equação da superfície gerada pela rotação da curva z = seny, 0 y 2π em torno do eixo y. Sugestão: observe que se P(x, y, z) é um ponto da superfície, então Q(0, y, seny) é um ponto sobre a curva.
Exercícios 5) Mostre que a equação x 2 +y 2 +z 2 2x 4y +2z +6 = 0 reduz-se a um único ponto. Determine tal ponto. 6) Encontre uma superficie tal que sua interseção com planos da forma x = k dá a elipse z2 4 + y 2 9 = k2, com planos da forma y = k dá a hipérbole 9x 2 9z2 4 = k2 e com planos da forma z = k dá a hipérbole 4x 2 4y 2 9 = k2. 7) Encontre a equação da curva cuja rotação em torno do eixo x resulta em uma esfera de centro em C(1, 0, 1) e raio 2. 8) Determinar a parametrização do arco de circunferência definido pela interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x + y = 3 situado acima do plano xy.