Aula de eercícios (21/05/2016) 1) (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. A medida do ângulo é: A primeira informação que devemos tirar da figura é que os bastões formam ângulos retos com a linha horizontal que se encontra logo abaio dos quadrados. Dessa forma, os bastões formam retas paralelas. Se desenharmos retas entre os bastões, que sejam paralelas a estes, as arestas dos quadrados se tornarão retas transversais e poderemos resolver o problema com o conteúdo da aula 6. O esquema descrito acima é mostrado na figura a seguir, na qual as retas vermelhas são paralelas e as azuis transversais: Outra informação muito importante é que todos os ângulos internos em um quadrado são retos (iguais a 90 graus). Sendo assim, a resolução do eercício se resume a achar relações de congruência entre os ângulos e a relação destes com os ângulos informados na figura. Começando pelo lado esquerdo, vamos construindo essas relações até conseguir achar uma que inclua o ângulo que queremos descobrir.
90 = 60 126 60 = 66 90 66 = 24 75 24 = 51 90 = 51 X = 39 2) (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próimo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede:
Através da leitura do problema, podemos identificar a necessidade do Teorema de Tales na resolução. Isso porque nos é informada a relação de paralelismo entre as retas r, s e t; e podemos ver na figura retas transversais. Assim, os segmentos formados são proporcionais e podemos utilizar as relações entre os segmentos como, por eemplo, a proporção entre a parte e o todo. Chamando o tamanho da barreira de, teremos que: + 2 + = 24 56 Lembrando ~dessa vez~ de simplificar e logo após multiplicando em cruz: + 32 = 3 7.7 = 3. ( + 32) 210 = 3 + 96 3 = 210 96 = 114 3 = 38 Pode-se afirmar, então, que a barreira mede 38 m. Note que também poderíamos chamar o segmento +2 (barreira + 2) de y, por eemplo, e fazer os cálculos analisando a relação entre o segmento de m e y e os correspondentes do outro lado: Simplificando: y = 24 56 24 y = 24 32 y = 3 4.4 = 3. y y = 120 3 y = 40 Mas y não representa a medida da barreira, mas sim essa medida com adição de 2 metros (segmento +2). Portanto, o tamanho da barreira vale:
y = + 2 = 40 2 = 38m 3) (FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Assinale o valor de α. a) º b) 50º c) 40º d) 70º e) 60º Primeiramente, é possível utilizar o conceito de ângulos alternos para descobrir parte do ângulo α. Para isso, deve-se desenhar uma reta paralela à reta s (e consequentemente à r) que passe pelo vértice que define o ângulo que desejamos descobrir. Assim, parte do ângulo α será congruente ao ângulo de 60 devido a presença das retas paralelas e da transversal. A figura abaio ilustra o que foi eplicado: 60 Desde modo, conclui-se que α é o ângulo formado pela adição de 60 mais alguma coisa (que chamaremos de ). Então, α = 60 +.
Para encontrar, devemos notar que ele é uma parte do ângulo de 40 : 60 y Na figura acima, os ângulos com mesma cor são congruentes (correspondentes). Desenhando uma reta (paralela às demais) que passe pelo vértice que define o ângulo de 40 nota-se, além de ser uma parte de 40, que eiste uma correspondência entre o ângulo de e a outra parte do ângulo de 40, que na figura foi chamada de y. Ou seja, y e são congruentes e, por isso, y vale. Mas 40 = y +! Então: 40 = + = 40 = 10 E como antes descobrimos que α = 60 +, concluímos que α = 60 + 10 = 70 (alternativa d).