Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Out/5 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3 DE OUTUBRO DE 5 5:-6H RESOLUÇÃO (As soluções aqui propostas não são únicas!) Duração: 5 minutos Instruções Não abra este caderno de teste antes de ser anunciado o início da prova. Preencha os seus dados na parte de baixo desta folha. Cada um dos quatro problemas vale 5 pontos, sendo a cotação das aĺıneas em cada problema igualmente repartida. Não é permitida a utilização de quaisquer elementos de consulta nem de máquinas calculadoras. É permitida a utilização de papel de rascunho. Utilize papel de rascunho para esboços e cálculos preliminares, de modo a guardar o espaço de resposta para uma apresentação clara e bem justificada de todos os cálculos ou argumentos. A revisão de provas é na a feira, 7 de Novembro, 8h3-9h3, na antiga sala de dúvidas, localizada na cave - do Edifício de Pós-Graduação. Boa sorte! Para a correcção pergunta classificação () () (3)(a) (3)(b) (4)(a) (4)(b) N o : total Curso: Nome:
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 () Calcule a área de uma superfície do primeiro quadrante limitada pelo eixo dos yy, pelas rectas de equações y = e x y = e pela parábola y = x, com um contorno como o esboçado na figura. PSfrag replacements y A B x Resolução: A área é dada pelo integral da função constante igual a nessa superfície. Pelo teorema de Fubini, esse integral pode ser expresso em integrais iterados. A parábola y = x intersecta o semi-eixo positivo dos xx em x =. A região de integração pode ser decomposta em duas zonas, A e B, para x e para x respectivamente, em cada uma das quais os limites para y em função de x têm expressões simples: Área = x dy dx + x dy dx = = ( + x ) dx + ] [x + x3 + [ 4x x ] 3 (4 x) dx = + 3 + 8 4 4 + = 7 3.
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 3 () Usando a mudança de coordenadas x = u uv e y = uv, calcule onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas rectas x+y = R x+y, x + y = 5, y = e x =. Resolução: Como x+y = u, a restrição x+y 5 escrevese u 5 nas novas coordenadas. Nesta faixa, o limite y = uv = é dado por v = e o limite x = u( v) = é dado por v =. Portanto, a região de integração nas coordenadas (u, v) é o rectângulo {(u, v) R : u 5 e v }. O jacobiano desta mudança de coordenadas é [ x ] [ ] x det u v v u = det = u uv + uv = u v u y u y v que é sempre positivo no rectângulo de integração. Logo, pelo teorema de mudança de coordenadas para o integral e pelo teorema de Fubini, obtém-se R dx dy = x + y 5 u u dv du = (5 ) ( ) = 3.
4 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 (3) (a) Exprima o seguinte integral (escrito em coordenadas cartesianas) como um integral iterado em coordenadas esféricas: x 5 x y f(x, y, z) dz dy dx. Resolução: Os dois integrais exteriores indicam que a projecção da região de integração no plano xy é o quarto de disco x + y, x e y. O integral interior indica que, para cada (x, y), a variável z varia desde o plano z = até à esfera x + y + z = 5. No primeiro octante, esta esfera intersecta o cilindro x + y = em z =, correspondendo a 5 cos ϕ =, ou seja, ϕ = arccos 5. Como o jacobiano desta mudança de coordenadas tem módulo r sin ϕ, o integral escreve-se π arccos 5 5 PSfrag replacements cos ϕ f(r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ)r sin ϕ dr dϕ dθ. y x
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 5 (a) Exprima o seguinte integral (escrito em coordenadas ciĺındricas) como um integral iterado em coordenadas cartesianas: π π 4 sin θ ρ cos θ f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) dz dρ dθ. Resolução: Os dois integrais exteriores (em θ e em ρ) indicam que a projecção da região de integração no plano xy é a porção π 4 θ π do primeiro quadrante acima da recta bissectriz, fora do disco de raio centrado na origem e abaixo de y =. No primeiro quadrante, a circunferência x + y = intersecta y = x no ponto (, ). O integral interior indica que, para cada (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ), a variável z varia desde z = x até z =. Como o jacobiano da mudança de coordenadas inversa é ρ, o jacobiano desta mudança é e o integral escreve-se x +y y y x f(x, y, z) dz dx dy. x + y PSfrag replacements y y = x y = x + y = x
6 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 (4) (a) Seja X um compacto de R n simétrico relativamente à origem, i.e., x X = x X. Seja f : X R uma função integrável e ímpar, i.e., f( x) = f(x), x X. Mostre que X f =. Resolução: Aplique-se ao integral X f a mudança de coordenadas g : R n R n, g(x) = x, para a qual det g (x) = det( Id) = ( ) n. A simetria do conjunto X implica que g(x) = X. A função f ser ímpar implica que f g = f. Usando estes dois factos (na a e 3 a igualdades abaixo) e o teorema de mudança de coordenadas (na a igualdade), obtém-se f = f = (f g) det g = ( f) = f. X g(x) X X X Como o único número real que é igual ao seu simétrico é o zero, conclui-se que X f =.
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 7 (b) Dê um exemplo de um aberto em [, ] com fronteira de medida não-nula. Resolução: Escolha-se uma sucessão {x n } n N que enumere todos os números racionais do intervalo ], [ (por exemplo, utilizando o argumento em ziguezague discutido numa aula teórica). Para cada x n dessa sucessão, seja X n o conjunto aberto obtido por intersecção de ], [ com o intervalo aberto centrado em x n de comprimento, n =,,.... O conjunto n+ união X = + n= X n é aberto por ser a união de abertos e tem comprimento Vol (X) + n= Vol (X n ) + n= n+ =. Qualquer ponto de [, ] \ X pertence à fronteira de X pois qualquer intervalo aberto em [, ] contém algum racional x n (e todos os x n pertencem a X). Como Vol ( X) Vol ([, ] \ X) = Vol (X), conclui-se que a fronteira de X não tem medida nula.
8 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3/OUTUBRO/5 PARA RASCUNHO