SMA330 - Complementos de Geometria e Vetores Notas ICMC n.o 84. Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nunes

SMA330 - Complementos de Geometria e Vetores Notas ICMC n.o 84 Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nunes Fevereiro de 01

Sumário 1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 5 Introdução 9 3 Matrizes e Sistemas Lineares 11 4 Vetores no Plano e no Espaço 35 5 Sistemas de Coordenadas no Plano e no Espaço 153 6 A Reta no Plano e no Espaço 161 7 O Plano no Espaço 171 8 Mudança de Coordenadas 199 9 Coordenadas polares no plano, esféricas e cilíndricas no espaço 3 10 As Curvas Cônicas 59 11 Superfícies Quádricas 93 1 Distâncias 355 13 Espaços Vetoriais sobre R e sobre C 375 14 Transformações Lineares entre Espaços Vetoriais 475 3

4 SUM ARIO

Capítulo 1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 6.03.01-1.a 1.1 Página do curso na web A pagina da disciplina que sera ministrada por mim tem o seguinte endereco: www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/sma330.html 1. Endereço de eamil Meu endereco de email e o seguinte: wvlnunes@icmc.usp.br 1.3 Sala no ICMC A minha sala no ICMC e a: sala 3-18 1.4 Telefone / Ramal O telefone/ramal da minha sala no ICMC e: (33)73 9745 1.5 Horário das aulas Os horarios das aulas ser~ao: 3.as-feiras, das 10:10 as 11:50 e 5.as-feiras, das 16:0 as 18:00 no Anteatro Verde do IFSC Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/sma330.html 5

6 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA 1.6 Ementa da disciplina 1. Matrizes e sistemas lineares;. Vetores no plano e no espaco; 3. Retas e planos no espaco; 4. Mudanca de sistemas de coordenadas no plano e no espaco; 5. Coordenadas polares no plano; 6. C^onicas; 7. Quadricas; 8. Espacos vetoriais; 9. Transformac~oes Lineares entre espacos vetoriais. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/ementa330.html 1.7 Bilbiografia da disciplina Os livros sugeridos para consulta ser~ao os: P. Boulos, I. Camargo - Geometria Analtica - Um tratamento Vetorial, McGraw Hill do Brasil, Rio de Janeiro, 1987. A. Caroli, C.A. Callioli, M.O. Feitosa - Matrizes, Vetores e Geometria Analtica, 9.a Edic~ao, Nobel, S~ao Paulo, 1978. Murdoch, D.C. - Geometria Analtica com uma introduc~ao sobre calculo vetorial e matrizes, Livros tecnicos e Cientcos, Rio de Janeiro, 1969. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/bibliograa330.html 1.8 Horários de monitoria da disciplina Os horarios e locais das monitorias ser~ao denidos posteriormente. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/monitores330.html 1.9 Horário de atendimento do docente da disciplina O horario de atendimento do professor sera 4.as-feiras das 10:00 as 1:00 na minha sala. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/atendimento330.html

1.10. LISTAS DE EXERCICIOS DA DISCIPLINA 7 1.10 Listas de exercícios da disciplina As dez listas de exerccios da disciplina podem ser encontradas na seguinte pagina da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/exercicios330.html 1.11 Freqüência na disciplina Uma condic~ao necesssaria (mas n~ao suciente) para o aluno ser aprovado na disciplina e que sua frequência na disciplina, que denotaremos por F, seja maior ou igual a 70%. A lista de presenca sera controlada. So ser~ao aceitas ASSINATURAS ou NOME COMPLETO POR EXTENSO. Qualquer outro modo NÃO sera aceito e sera colocado falta. 1.1 Critério de avaliação e aprovação da disciplina A avaliac~ao constara de duas provas, a primeira, que sera denotada P 1, valendo 5 da nota nal e a segunda, que sera denotada P, valendo 3 5 MF, sera dada pela seguinte formula: da nota nal, ou seja, a media nal, que denotaremos por MF. = P1 + 3 P. 5 Para ser considerado aprovado na disciplina a media do aluno na disciplina devera ser maior ou igual a 5, 0 e sua frequência ser maior ou igual a 70%, ou seja: 5, 0 MF e 70% F. 1.13 Prova substitutiva da disciplina O aluno que perder uma, e somente uma, das duas provas do item (1.1) podera se submeter a assim denominada prova substitutiva, cujo valor denotaremos por PS. A nota desta prova entrara na lugar da nota da prova que o aluno perdeu e a media sera calculada como no item (1.1), substituindo-se a nota prova perdida pela nota da prova substitutiva, ou seja, MF. = PS + 3 P 5 ou MF =. P 1 + 3 PS, 5 no caso o valor a esquerda sera para o aluno que perdeu a primeira prova e o valor a direita sera para o aluno que perdeu a segunda prova. Somente podera fazer a prova substitutiva o aluno que perdeu uma das duas provas do item (1.1). Neste caso para ser considerado aprovado na disciplina a media do aluno na disciplina, apos a prova substitutiva, devera ser maior ou igual a 5, 0 e sua frequência ser maior ou igual a 70%, ou seja: 5, 0 MF e 70% F. Observação 1.13.1 O conteudo da prova substitutiva sera todo o conteudo desenvolvido durante a disciplina.

8 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA 1.14 Prova de recuperação da disciplina Os alunos que obtiverem media maior ou igual a 3, 0 e menor que 5, 0 e frequ^encia maior ou igual a 70% poder~ao se submeter a uma ultima avaliac~ao, denominada prova de recuperação, cujo valor sera indicado por PR. O aluno, na situac~ao acima, que obtiver nota na prova de recuperac~ao maior ou igual a 5, 0 sera considerado aprovado na disciplina. No caso acima, a media do aluno, apos a prova de recuperac~ao, que indicaremos por MR, sera obtida da seguinte forma: MF + PR 5, 0 se 5, 0 MR =. MF + PR, se MF + PR > 5, 0 Observação 1.14.1 O conteudo da prova de recuperac~ao sera todo o conteudo desenvolvido durante a disciplina. Outras informac~oes sobre os quatro itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco da web: http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/criterio330/criterio330.html 1.15 Datas das avaliações, prova substitutiva e de recuperação da disciplina As datas das provas da disciplina ser~ao: 1.a Prova:.a Prova: Prova Substitutiva: Prova Recuperação: 3 de maio - 5.a-feira. 6 de junho - 3.a-feira. 3 de julho - 3.a-feira. Sera marcada apos a nalizac~ao das aulas da disciplina. 1.16 Gabaritos das provas da disciplina Os gabaritos das provas que ser~ao aplicadas durante o desenvolvimento da disciplina estar~ao a disposic~ao dos alunos apos as mesmas no seguinte endereco da web: 1.17 Observações finais http://www.icmc.usp.br/~ wvlnunes/sma330/gabaritos330.html.

Capítulo Introdução Estas notas ser~ao utlizadas no curso de SMA330 - Complementos de Geometria e Vetores. Elas possuem todos os elementos que ser~ao desenvolvidos na disciplina. Ao nal destas notas encontram-se a bibliograa utilizada na criac~ao destas notas e tambem um livros auxiliares que podem servir para completamentar os itens aqui desenvolvidos. Notação.0.1 Utilizaremos a seguinte notac~ao ao longo desta notas: N. = {1,, 3, }, ou seja, o conjunto dos numeros naturais; Z =. {, 3,, 1, 0, 1,, 3 }, ou seja, o conjunto dos numeros inteiros; Q =. { } p ; p, q Z, q 0, ou seja, o conjunto dos numeros racionais; q I. = {numeros que podem ser representados por dzimas com innitos dgitos e n~ao periodicas}, ou seja, o conjunto dos numeros irracionais; R. = Q I; C. = {a + b i ; a, b R}, onde i = 1,, ou seja, o conjunto dos numeros complexos. 9

10 CAPITULO. INTRODUC ~AO

Capítulo 3 Matrizes e Sistemas Lineares 3.1 Definições Básicas Definição 3.1.1 Uma matriz e uma tabela retangular de numeros reais ou complexos. Tais numeros s~ao denominados entradas da matriz. Uma matriz sera sempre indicada por uma letra maiuscula: A, B, C... Uma matriz horizontal sera denominada matriz linha. Uma matriz vertical sera dita matriz coluna. Daremos o nome de tamanho de uma matriz ao seu numero de linhas pelo seu numero de colunas. Em geral uma matriz, de tamanho n m (isto e, que tem n linhas e m colunas), com entradas a ij R ou C, 1 i n e 1 j m tem a seguinte forma:. A = (a ij = a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m.... a n1 a n... a nm onde n, m N. Quando n = m a matriz A sera dita quadrada de ordem n. Neste caso, as entradas a ii, i = 1,..., n formar~ao o que denominaremos de diagonal principal da matriz A., Exemplo 3.1.1 A matriz complexa A =. 1 i 3 e uma matriz coluna de tamanho 3 1. 8.03.01 -.a Exemplo 3.1. A matriz real B. = ( 10 50 π e ) e uma matriz linha de tamanho 1 4. 11

1 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Exemplo 3.1.3 A matriz real C =. 1 3 4 5 6 7 8 9 e uma matriz de tamanho 3 3, logo quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal e formada pelos seguintes elementos: 1, 5 e 9. Notação 3.1.1 Denotaremos por M nm (R) seguinte conjunto M nm (R). = {matrizes com entradas reais de tamanho n m} De modo semelhante podemos denir M nm (C) (quando as entradas forem complexas). Para simplicar a notac~ao denotaremos o conjunto acima por M nm quando n~ao for importante o tipo de entradas da matriz, isto e, se s~ao numeros reais ou complexos. Exemplo 3.1.4 Nos Exemplos (3.1.1), (3.1.) e (3.1.3) temos que A M 31 (C), B M 14 (R) e C M 33 (R). Definição 3.1. Sejam A M nm e B M pq. Diremos que as duas matrizes A e B s~ao iguais, escrevendo A = B, se e somente se n = p, m = q e a ij = b ij, para i = 1,..., n e j = 1,..., m, onde A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, se as matrizes t^eem o mesmo tamanho e as correspondentes entradas s~ao iguais. 3. Operações com Matrizes Definição 3..1 Sejam A M nm, B M pq. Suponhamos que n = p e m = q. Denimos a soma da matriz A com a matriz B, indicada por A + B, como sendo a matriz C M nm dada por C. = (c ij ), onde Exemplo 3..1 Se A. = c ij. = aij + b ij, para i = 1,..., n e j = 1,..., m. ( 3 1 3 1 ) e B. = A + B = ( 1 1 i 1 0 ) ( 3 4 1 + i 4 1 0 ent~ao Com isso temos as seguintes propriedades relacionadas com a soma de matrizes: Proposição 3..1 1. M nm e fechado pela soma denida acima, isto e, a soma de duas matrizes n m e uma matriz n m; ).

3.. OPERAC ~OES COM MATRIZES 13. A soma em M nm e comutativa, isto e, para todo A,B M nm ; 3. A soma em M nm e associativa, isto e, para todo A, B, C M nm ; A + B = B + A, (A + B) + C = A + B + C, 4. Existe uma unica matriz n m, denominada matriz nula, indicada por O (cujas entradas s~ao todas nulas) tal que A + O = A, para todo A M nm. A matriz O sera dada por O = O nm. = (0)nm ; 5. Se A M nm, existe uma unica matriz n m, denominada oposta de A, denotada por A, tal que A + ( A) = O. Se A = (a ij ) ent~ao A. = ( a ij ). Demonstração: As respectivas demonstrac~oes dos itens acima s~ao simples e ser~ao deixados como exerccios para o leitor. Definição 3.. Se A M nm e α R (ou C) ent~ao a matriz B. = (b ij ) M nm cujas entradas s~ao dadas por: b ij = α a ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, sera denominado produto do número real (ou complexo) α pela matriz A e indicado por α A. Exemplo 3.. Notemos que se A = ( 3 1 3 1 α A = ) ( 4 6 6 4 e α = ent~ao Com isto temos as seguintes propriedades para a multiplicac~ao de um numero real (ou complexo) por uma matriz: ). Proposição 3.. Para α, β R (ou C) e A, B M nm temos: 1. Vale a distributiva do produto de numero real pela soma de matrizes, isto e: α (A + B) = α A + α B;

14 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Vale a distributiva da soma de numeros reais pelo produto de matrizes, isto e: (α + β) A = α A + β A; 3. Vale a associativa do produto de numeros reais pelo produto de matrizes, isto e: 4. 1 A = A; 5. 0 A = O. (αβ) A = α (β A); Demonstração: As respectivas demonstrac~oes dos itens acima s~ao simples e ser~ao deixados como exerccios para o leitor. Definição 3..3 Sejam A = (a ik ) M nm, B = (b kj ) M mp. Denimos o produto da matriz A pela matriz B, indicada por A B, como sendo a matriz C = (c ik ) M np,, cujas entradas ser~ao dadas por Observação 3..1 c ij. m = a ik b kj, para i = 1,..., n e j = 1,..., p k=1 1. Notemos que, segundo a denic~ao acima, so podemos fazer o produto da matriz A pela matriz B, se o numero de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B.. Notemos que o produto de matrizes não e comutativo, isto e, em geral, AB BA, como mostra o exemplo: ( ) ( ) 0 0 1 0 Se A = e B = ent~ao 1 1 1 0 ( ) 0 0 AB = 1 0 e BA = ( 0 0 0 0 ), ou seja, neste caso AB BA. 3. Este modo de fazer o produto de duas matrizes e util em diversas situac~oes. Entre outras, para transformarmos sistemas lineares de equac~oes algebricas em equac~oes matriciais, como mostra o exemplo: z 1 = a 11 y 1 + a 1 y z = a 1 y 1 + a y z = A y, z 3 = a 31 y 1 + a 3 y onde z =. z 1 z z 3, A. = (aij ) 3 e y. = ( y1 y ).

3.. OPERAC ~OES COM MATRIZES 15 E facil vericar que a equival^encia acima ocorre e por isso a vericac~ao da mesma sera deixada como exerccio para o leitor. Temos as seguintes propriedades para o produto de matrizes: Proposição 3..3 1. O produto de matrizes e associativo, isto e: A (B C) = (A B) C, para A M nm, B M mp, C M pq ;. Vale a distributiva do protudo de matrizes pela soma de matrizes, isto e: A (B + C) = A B + A C, para A M nm, B, C M mp ; 3. Vale a distributiva da soma de matrizes pelo produto de matrizes, isto e: (A + B) C = A C + B C, para A, B M nm, C M mp ; 4. Vale a associativa do produto de numeros reais por matrizes, isto e: α (A B) = (α A) B = A (α B), para α R( ou C), A M nm, B M mp. Demonstração: As respectivas demonstrac~oes dos itens acima s~ao simples e ser~ao deixados como exerccios para o leitor. Com isto podemos resolver o: Exercício 3..1 Mostre que A =. 3 1 1 0 1 1 1 e soluc~ao da equac~ao z 3 5z + 8z 4 = 0, onde, para cada n N, denimos: A n. = A } A {{ A }. n vezes Definição 3..4 Denotaremos por I n M nn a matriz quadrada de ordem n cujas entradas s~ao dadas por: {. 0 se i j a ij = δij = 1 se i = j. A matriz I n sera denominada matriz identidade de ordem n. Observação 3.. A matriz I n e a matriz quadrada de ordem n que tem zeros em todas as entradas excetuando-se a diagonal principal que contem o numero 1 em todas as suas entradas. Proposição 3..4 Seja A M nm. Ent~ao I n A = A I m = A.

16 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Demonstração: A demonstrac~ao deste resultado e simples e sera deixado como exerccio para o leitor. Observação 3..3 1. Se α R ou C e α 0 ent~ao existe α 1, isto e, teremos α.α 1 = 1.. Para matrizes a propriedade acima pode, em geral, não ocorrer, como mostra o exemplo: ( ) 1 0 Sejam A =. 0 0 Armamos que não existe uma matriz B tal que A B = I. ( ) b11 b De fato, pois se B = 1 teramos b 1 b ( ) ( b 11 b 1 A B = 0 0 1 0 0 1 ), para qualquer b 11, b 1 R ou C. Em vista disso temos a seguinte denic~ao: Definição 3..5 Seja A M nn. Se existir uma matriz X M nn tal que A X = X A = I n, diremos que a matriz A e uma matriz inversível. A matriz X sera dita uma matriz inversa associada à matriz A. Com isto temos o: Exercício 3.. Verique que uma matriz X = ( ) 3 4 A =. 3 Com isto temos o seguinte resultado: ( 3 4 3 ) e uma inversa associada a matriz Proposição 3..5 Se as matrizes X e ~X M nn s~ao matrizes inversas associadas a matriz A M nn ent~ao ~X = X. Demonstração: Observemos que as matrizes X e ~X s~ao matrizes inversas associadas a matriz A, logo X A = I n e I n = A ~ X.

3.. OPERAC ~OES COM MATRIZES 17 Assim ou seja, X = X I n = I n=a ~X = X (A ~X) = (X A) ~X X A=I n = I n ~X = ~X, X = ~ X, como armamos, completando a demonstrac~ao do resultado. Podemos agora introduzir a: Definição 3..6 Uma matriz A M nn que adminte uma matriz inversa sera dita matriz não singular e a matriz inversa associada a matriz A sera denotada por A 1. Uma matriz A M nn que não admite uma matriz inversa sera denominada matriz singular. Com isto temos a: Proposição 3..6 Sejam A, B M nn matrizes n~ao singulares. tambem sera uma matriz n~ao singular. Alem disso (A B) 1 = B 1 A 1. Ent~ao a matriz A B M nn Demonstração: Como a matriz A e uma matriz n~ao singular segue que A A 1 = A 1 A = I n. (3.1) De modo semelhante, como a matriz B e uma matriz n~ao singular segue que Assim, B B 1 = B 1 B = I n. (3.) (3.1) = I n {}}{ (B 1 A 1 ) (A B) = B 1 ( A 1 A) B = (B 1 I n ) B = B 1 B = I n, (A B) (B 1 A 1 ) = A (B} {{ B 1 }) A 1 = (A I n ) A 1 = A A 1 = I n, (3.) = I n ou seja, a matriz A B e uma matriz n~ao singular e (A B) 1 = B 1 A 1, completando a demonstrac~ao do resultado. Como consequ^encia temos o: Corolário 3..1 Sejam A 1,..., A k M nn matrizes n~ao singulares. Ent~ao a matriz A 1 A k M nn e uma matriz n~ao singular. Alem disso (A 1 A k ) 1 = A 1 k A 1 1.

18 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Demonstração: Basta usar a proposic~ao anterior e induc~ao matematica. Deixaremos os detalhes como exerccio para o leitor. Observação 3..4 1. A Proposic~ao (3..6) nos diz que o subconjunto das matrizes n~ao singulares que pertencem a M nn e fechado em relac~ao ao produto de matrizes, ou seja, se as matrizes A, B M nn s~ao matrizes inversveis ent~ao a matriz A B tambem sera uma matriz inversvel. ( ) ( ) 0 0 1 0. Notemos que se A = 0 e B = 0 ent~ao (verique!) 1 1 1 0 A B = O. Em particular, matriz A B sera uma matriz singular (por que?). Observemos que as matrizes A e B s~ao matrizes singulares (verique!). Deixaremos a vericac~ao destes fatos como exerccio para o leitor. 3. Se no item acima uma das duas matrizes fosse um matriz n~ao singular isso n~ao ocorrera, como mostra o resultado a seguir: Proposição 3..7 Sejam A M nn uma matriz n~ao singular e B M np uma matriz tal que A B = O M np. Ent~ao B = O. Demonstração: Como a matriz A e uma matriz n~ao singular segue que A A 1 = A 1 A = I n. (3.3) Mas, B = I n B I (3.3) n = A = 1 A (A 1 A) B = A 1 ( ou seja, B = O, completando a demonstrac~ao do resultado. Hipotese = O {}}{ A B ) = A 1 O = O, 3.3 Algumas Matrizes Importantes Definição 3.3.1 Uma matriz quadrada A. = (a ij ) M nn sera dita ser matriz diagonal se, e somente se, a ij = 0 para i j, i, j = 1,..., n, ou seja, devera ser uma matriz do seguinte tipo: a 11 0... 0 0 a... 0 A =....... 0 0... a nn

3.3. ALGUMAS MATRIZES IMPORTANTES 19 se Uma matriz quadrada A. = (a ij ) M nn sera dita matriz triangular superior se, e somente, a ij = 0, para i > j, com i, j = 1,..., n, ou seja, devera ser uma matriz do seguinte tipo: a 11 a 1... a 1n 0 a... a n A =...... 0 0... a nn. se Uma matriz quadrada B = (b ij ) M nn sera dita matriz triangular inferior se, e somente, b ij = 0, para i < j, com i, j = 1,..., n, ou seja, devera ser uma matriz do seguinte tipo: b 11 0... 0 b 1 b... 0 A =...... b n1 b n... b nn. Com isto temos as seguintes propriedades relacionadas com as matrizes introduzidas acima: Proposição 3.3.1 1. Se as matrizes A, B M nn s~ao matrizes diagonais ent~ao a matriz A + B, A B e a matriz α A ser~ao matrizes diagonais, onde α R (ou C).. Se a matriz A = (a ij ) e uma matriz diagonal, cuja diagonal principal n~ao contem zeros (isto e, a ii 0, i = 1,, n), ent~ao a matriz A e uma matriz n~ao singular e A 1 = 1 a 11... 0 0. 0 0... 1 3. Se as matrizes A, B M nn s~ao matrizes tringulares superiores (respectivamente, matrizes triangulares inferiores) ent~ao as matrizes A + B, A B e α A ser~ao matrizes triangulares superior (respectivamente, matrizes triangulares inferiores). 4. Se a matriz A = (a ij ) M nn e uma matriz triangular superior (respectivamente, matriz triangular inferior) cuja diagonal principal tem entradas n~ao nulas (isto e, a ii 0, i = 1,, n) ent~ao a matriz A e uma matriz n~ao singular. Demonstração: As respectivas demonstrac~oes dos itens acima s~ao simples e ser~ao deixados como exerccios para o leitor. a nn.

0 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 3.4 Determinante de uma Matriz Quadrada Definição 3.4.1 Consideremos a matriz quadrada A = (a ij ) M nn. Se n = 1, deniremos o determinante da matriz A, que sera denotado por det(a), como sendo det(a). = a 11. Se n > 1, para cada i, j {1,, n}, denotando por A ij a matriz pertencente a M n 1,n 1 obtida da matriz A retirando-se a i-esima linha e j-esima coluna da matriz A, isto e, a 11... a 1(j 1) a 1(j+1)... a 1n.... a A ij = (i 1)1... a (i 1)(j 1) a (i 1)(j+1)... a (i 1)n, a (i+1)1... a (i+1)(j 1) a (i+1)(j+1)... a (i+1)n... a n1... a n(j 1) a n(j+1)... a nn e assumindo que o determinante de uma matriz de ordem (n 1) (n 1) pod ser encontrado, deniremos: det(a) =. n a 1j A 1j, onde A 1j j=1. = ( 1) 1+j det(a ij ) j = 1,..., n. Para cada i, j {1,, n}, o numero A ij sera denominado cofator do elemento a ij da matriz A e a matriz B. = ( A ij ) sera denominada matriz cofatora associada a matriz A e denotada por cof(a). Com isto temos a Proposição 3.4.1 1. Se A =. ( ) a11 a 1 ent~ao a 1 a. Se B =. 3. det [(0) n ] = 0; 4. det(i n ) = 1. b 11 b 1 b 13 b 1 b b 3 b 31 b 3 b 33 ent~ao det(a) = a 11 a a 1 a 1. det(b) = b 11 b b 33 b 11 b 3 b 3 b 1 b 1 b 33 + b 1 b 3 b 31 + b 13 b 1 b 3 b 13 b b 31. 5. Se a matriz A = (a ij ) M nn e uma matriz diagonal ent~ao det(a) = a 11... a nn, ou seja, o determinante de uma matriz diagonal e o produto dos elementos de sua diagonal principal.

3.4. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 1 6. Se amatriz A = (a ij ) M nn e uma matriz triangular superior (respectivamente, matriz triangular inferior) ent~ao det(a) = a 11... a nn, ou seja, o determinante de uma matriz triangular superior (respectivamente, matriz triangular inferior) e o produto dos elementos de sua diagonal principal. Demonstração: As respectivas demonstrac~oes dos itens acima s~ao simples e ser~ao deixados como exerccios para o leitor. Observação 3.4.1 Poderamos denir o determinante de uma matriz A = (a ij ) M nn utilizando os cofatores de qualquer coluna ou linha prexada que obteramos o mesmo valor, ou seja, para cada i {1,, n} xado, temos que det(a) = n a ij A ij, j=1 ou ainda, para cada j {1,, n} xado, temos que onde det(a) = n a ij A ij, i=1 A ij = ( 1) i+j det(a ij ), i, j = 1,..., n. A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor. A seguir dexibiremos algumas propriedades importantes do determinante associado a matrizes quadrada. Para isto, introduziremos a: Definição 3.4. Dada uma matriz quadrada A M nn podemos realizar as seguintes operac~oes com suas colunas (respectivamente, linhas) da mesma: i) trocar duas colunas (respectivamente, linhas) da matriz A; ii) trocar uma coluna (respectivamente, linha) da matriz A por essa coluna (respectivamente, linha) multiplicada por um numero α R (ou C); iii) trocar uma coluna (respectivamente, linha) da matriz A por essa coluna (respectivamente, linha) somada com outra coluna (respectivamente, linha) da matriz A. Tais operac~oes ser~ao denominadas operações elementares sobre as colunas (respectivamente, linhas) da matriz A. Com isto temos a: Proposição 3.4. Sejam A = (a ij ) M nn e k{1,, n} xado. Consideremos as matrizes B. = (a 1... a (k 1) b k a (k+1)... a n ) e C. = (a 1... a (k 1) c k a (k+1)... a n )

CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES onde a k, b k e c k denotam as k-esimas colunas da matriz A, B e C, respectivamente. Suponhamos que a k = β b k + γ c k, para β, γ R (ou C). Ent~ao det(a) = β det(b) + γ det(c). Demonstração: A demonstrac~ao sera deste resultado sera deixada como exerccio para o leitor. 13.03.01-3.a Observação 3.4. 1. Podemos enunciar e demonstrar um resultado analogo a Proposic~ao acima utilizando-se as linhas em vez de colunas, ou seja, dada a matriz quadrada A = (a ij ) M nn e k {1,, n} xado, consideremos as matrizes B. = (a 1... a (k 1) b k a (k+1)... a n ) e C. = (a 1... a (k 1 ) c k a (k+1)... a n ) onde a k, b k e c k denotam as k-esimas linhas da matriz A, B e C, respectivamente. Suponhamos que a k = β b k + γ c k, para β, γ R (ou C). Ent~ao det(a) = β det(b) + γ det(c).. Como consequ^encia da Proposic~ao (3.4.) temos que se a matriz A = (a ij ) M nn teremos ] ] det [a 1... a (k 1) β a k a (k+1)... a n = β det [a 1... a (k 1) a k a (k+1)... a n. Para ver isto tome γ = 0 na Proposic~ao (3.4.). 3. Seja A = (a ij ) M nn. Ent~ao ] ] det [a 1... a (k 1) (b k + c k ) a (k+1)... a n = det [a 1... a (k 1) b k a (k+1)... a n ] + det [a k... a (k 1) c k a (k+1)... a n. Para ver isso basta tomar β = γ = 1 na Proposic~ao acima. 4. Valem os respectivos resultados associados aos dois itens acima trocando-se as propriedades relativas as colunas pelas correspondentes sobre as linhas da matriz A. Como consequ^encia da Proposic~ao (3.4.) temos o:

3.4. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 3 Corolário 3.4.1 Se a matriz A M nn e a k = 0, para algum k {1,, n}, ent~ao det(a) = 0. Demonstração: Basta tomar β = γ = 0 na Proposic~ao (3.4.). Observação 3.4.3 1. O resultado acima nos diz se uma coluna da matriz A M nn e nula ent~ao seu determinante sera zero.. Vale um resultado analogo ao acima se a k = 0 para algum k {1,, n}, ou seja, se alguma linha da matriz A for nula seu determinante sera zero. Temos tambem a: Proposição 3.4.3 Consideremos a matriz A = (a ij ) M nn. Ent~ao ] ] det(a) = det [a 1... a k... a j... a n = det [a 1... a j... a k... a n, ou ] ] det(a) = det [a 1... a k... a j... a n = det [a 1... a j... a k... a n, Ou seja, se trocarmos duas colunas, respectivamente duas linhas, de uma matriz quadrada, seu determinate muda de sinal. Demonstração: A demonstrac~ao sera deste resultado sera deixada como exerccio para o leitor. Como consequ^encia temos o: Corolário 3.4. Suponhamos A M nn e a k = a j, para algum k {1,, n} e para algum j {1,, n}, isto e, a matriz quadrada A tem duas colunas iguais. Ent~ao det(a) = 0. Demonstração: Da Proposic~ao (3.4.3) temos que [ ] [ ] a 1... a det(a) = det }{{} k... a j... a n a 1... a j... a j... a n = det }{{} =a j k-esima coluna isto e, o que implicara que trocando-se a coluna k com a j, que s~ao iguais = det(a), completando a demonstrac~ao do resultado. det(a) = 0, det(a) = 0,

4 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Observação 3.4.4 Vale um resultado semelhante para as linhas da matriz A, isto e, se a k = a j, para algum k {1,, n} e para algum j {1,, n}, isto e, a matriz quadrada A tem duas linhas iguais, ent~ao Outro resultado interessante e o: det(a) = 0. Corolário 3.4.3 Se A M nn e γ R (ou C) e j k ent~ao ] det [a 1... a j... a (k 1) (a k + γ a j ) a (k+1)..., a n = det(a). Demonstração: De fato, das Proposic~oes (3.4.) e (3.4.3) teremos: [ ] Prop. (3.4.) det a 1... a j... a (k 1) (a k + γ a j ) a (k+1)... a n = det(a) ] = det [a 1... a j... a (k 1) a k a (k+1)..., a n }{{} ] + γ det [a 1... a j... a (k 1) a j a (k+1)... a n }{{} = det(a), Prop. (3.4.3) = 0 completando a demonstrac~ao. Observação 3.4.5 Vale um resultado semelhante para as linhas da matriz A, isto e, se γ R (ou C) e j k ent~ao ] det [a 1... a j... a (k 1) (a k + γ a j ) a (k+1)... a n = det(a). Resumindo: se A M nn e λ R (ou C) teremos: (i) se trocarmos duas colunas (respectivamente, duas linhas) da matriz A, o determinate da matriz obtida sera menos o determinante da matriz A; (ii) se trocarmos uma coluna (respectivamente, linha) da matriz A pela mesma adicionada de numero multiplicado por uma outra coluna (repectivamente, linha) da matriz A, o determinante da matriz obtida sera igual ao determinante da matriz A; (iii) se trocarmos uma coluna (respectivamente, linha) da matriz A pela mesma multiplicada por um numero, o determinante da matriz obtida sera igual ao determinante da matriz A multiplicado por aquele numero; Para nalizar temos a: Proposição 3.4.4 Se A, B M nn ent~ao det(a B) = det(a) det(b).

3.5. TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ 5 Demonstração: A demonstrac~ao sera deste resultado e bastante trabalhosa e sera omitida. Temos tambem o seguinte importante resultado Proposição 3.4.5 Seja A M nn. A matriz A e uma matriz inversvel (ou seja, n~ao singular) se, e somente se, det(a) 0. Demonstração: Da Proposic~ao acima segue que det(a) det(a 1 ) Prop. (3.4.4) = det(a A 1 ) = det(i n ) = 1. Logo deveremos ter det(a) 0, completando a demonstrac~ao do resultado. 3.5 Transposta de uma Matriz Uma outra operac~ao que podemos fazer com uma matriz e a transposição, a saber: Definição 3.5.1 Dada a matriz A = (a ij ) M nm, deniremos a matriz transposta da matriz A, que sera denotada por A t, como sendo a matriz B = (b ij ) M mn,dada por b ij. = aji, 1 j n e 1 i m. Observação 3.5.1 1. A operac~ao de transposic~ao de uma matriz tem o seguinte efeito: transforma as linhas da matriz dada, em colunas da sua transposta.. Notemos que se m = n ent~ao as matrizes A e A t ser~ao quadradas de mesma ordem n, a saber, A, A t M nn. A seguir temos alguns exemplos: Exemplo 3.5.1 1. Se A =. ( ) 1 4 0 M 3 ent~ao 4 3 A t = 1 4 4 0 3 M 3.

6 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Se A =. ou seja, 1 1 1 3 3 5 ent~ao A t = 1 1 1 3 3 5 A t = A., Temos as seguintes propriedades para a operac~ao de transposic~ao: Proposição 3.5.1 Sejam A, B M mn. Ent~ao 1. ( A t) t = A;. Se m = n segue que det(a t ) = det(a); 3. (A + B) t = A t + B t ; 4. (A B) t = B t A t ; 5. (α A) t = α A t ; 6. Se a matriz A e uma matriz diagonal ent~ao A t = A. Em particular, I t m = I m e O t m = O m. Demonstração: A demonstrac~oes dos itens deste resultado s~ao simples e ser~ao deixadas como exerccio para o leitor. Com isto podemos introduzir a seguinte noc~ao: Definição 3.5. Uma matriz quadrada A M nn (R) sera dita matriz simétrica se A t = A. Uma matriz quadrada B M nn (R) sera dita matriz anti-simétrica se Temos os seguintes exemplos: Exemplo 3.5. 1. Se B t = B. A =. 1 4 5 4 6 5 6 3 ent~ao a matriz A e uma matriz simetrica (verique!).

3.5. TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ 7. Se B =. 0 1 1 0 3 3 0 ent~ao a matriz B e uma matriz anti-simetrica (verique!). 3. A matriz quadrada nula, O n M nn, e uma matriz simetrica e anti-simetrica (verique!). Temos as seguintes propriedades para matrizes simetricas ou anti-simetricas: Proposição 3.5. Consideremos as matrizes quardadas A, B M nn (R). Ent~ao: 1. Se as matrizes A e B s~ao matrizes simetricas teremos que a matriz A + B sera uma matriz simetrica, ou seja, (A + B) t = A + B.. Se as matrizes A e B s~ao matrizes anti-simetricas ent~ao a matriz A + B sera uma matriz anti-simetrica, ou seja, (A + B) t = (A + B). 3. Se a matriz A e uma matriz simetrica e α R ent~ao a matriz α A sera uma matriz simetrica, ou seja, (α A) t = α A. 4. Se a matriz A e uma matriz anti-simetrica e α R ent~ao a matriz α A sera uma matriz anti-simetrica, ou seja, (α A) t = (α A). 5. Se as matrizes A e B s~ao matrizes simetricas ent~ao a matriz A B sera uma matriz simetrica se, e somente se, A B = B A, ou seja, se as matrizes A e B comutam, relativamente ao produto de matrizes, ou ainda, (A B) t = A B, se, e somente se, A B = B A. Demonstração: Do item 1.: Se as matrizes A e B s~ao matrizes simetricas ent~ao A t = A e B t = B. (3.4) Logo t Prop. (3.5.1) item 3. (A + B) = A t + B t (3.4) = A + B, ou seja, a matriz (A + B) e uma matriz simetrica. Do item.: Se as matrizes A e B s~ao matrizes anti-simetricas ent~ao A t = A e B t = B. (3.5)

8 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Logo t Prop. (3.5.1) item 3. (A + B) = A t + B t (3.5) = A B = (A + B), ou seja, a matriz (A + B) e uma matriz anti-simetrica. Do item 3.: Se a matriz A e uma matriz simetrica ent~ao Logo A t = A. (3.6) t Prop. (3.5.1) item 5. (α A) = α A t (3.6) = α A, ou seja, a matriz (αa) e uma matriz simetrica. Do item 4.: Se a matriz A e uma matrizs anti-simetrica ent~ao Logo A t = A. (3.7) t Prop. (3.5.1) item 5. (α A) = α A t (3.7) = α ( A) = (α A), ou seja, a matriz (αa) e uma matriz anti-simetrica. Do item 5.: Se as matrizes A e B s~ao matrizes simetricas ent~ao Logo A t = A e B t = B. (3.8) t Prop. (3.5.1) item 4. (A B) = B t A t (3.8) = B A. Portanto a matriz (A B) sera uma matriz simetrica se, e somente se, B A = A B, completando a demonstrac~ao do resultado. 3.6 Inversão de Matrizes E como uma aplicac~ao da teoria de determinantes e de transposic~ao de matrizes temos o seguinte resultado: Proposição 3.6.1 Consideremos uma matriz quadrada A M nn. A matriz A e uma matriz n~ao singular se, e somente se, Neste caso teremos: A 1 = det(a) 0. onde cof(a) e a matriz cofatora associada a matriz A, ou seja, 1 [ ] t cof(a), (3.9) det(a) cof(a). = ( A ij ),

3.6. INVERS ~AO DE MATRIZES 9 Demonstração: A primeira parte e consequ^encia da Proposic~ao (3.4.5). A identidade (3.9) e bastante trabalhosa e sera omitida. Exemplo 3.6.1 Verique se a matriz A = 3 1 1 3 3 1 3 e uma matriz n~ao-singular. Caso armativo encontre sua matriz inversa. Resolução: Observemos que: A 11 = ( 1) 1+1 3 1 3 = ( 1) (6 3) = 3, A 1 = ( 1) 1+ 1 3 3 1 = ( 1)3 ( 3 + 9) = 6, A 13 = ( 1) 1+3 1 3 1 = ( 1)4 ( 1 + 6) = 5. Logo det(a) = a 11. A 11 + a 1. A 1 + a 13. A 13 = 3.3 +.( 6) + ( 1).5 = 9 1 5 = 8 0. Logo, da Proposic~ao acima segue que a matriz A e uma matriz n~ao singular, ou seja, admite matriz inversa. Para encontrar a matriz A 1 utilizaremos (3.9). Para isto precisamos determinar os cofatores associados a cada entrada da matriz A, ou seja: A 1 = ( 1) +1 1 1 3 = ( 1)+1 (6 + 1) = 7, A = ( 1) + 3 1 3 3 = ( 1)+ (9 3) = 6, A 3 = ( 1) +3 3 3 1 = ( 1)+3 (3 + 6) = 9, A 31 = ( 1) 3+1 1 3 = ( 1)3+1 (6 + ) = 8, A 3 = ( 1) 3+ 3 1 1 3 = ( 1)3+ (9 1) = 8, A 33 = ( 1) 3+3 3 1 = ( 1)3+3 (6 + ) = 8. Portanto cof(a) = 3 6 5 7 6 9 8 8 8.

30 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Assim, de (3.9), segue que A 1 = = 1 det(a) [ cof(a)]t = 1 8 3 8 3 4 7 8 3 4 1 1. 3 6 5 7 6 9 5 9 8 t = 1 8 3 7 8 6 6 8 5 9 8 5 9 1 8 8 Outra aplicac~ao de determinantes e um metodo para encontrar soluc~ao de sistemas lineares de equac~oes, como veremos na proxima secc~ao. 3.7 Sistemas Lineares e Equações Matriciais Consideremos o sistema linear formado por n equac~oes e m incognitas a 11 x 1 + a 1 x + + a 1m x m = b 1 a 1 x 1 + a x + + a m x m = b. a n1 x 1 + a n x + + a nm x m = b n (3.10) onde a ij, b j R (ou C) s~ao numeros dados, para 1 i n, 1 j m e x j R (ou C) s~ao numeros a serem determinados, para 1 j m. Observação 3.7.1 1. Lembremos que uma solução do sistema linear (3.10) e uma colec~ao formada por n numeros reais (ou complexos), que denotaremos por x o 1, xo,, xo m, que satisfazem todas as equac~oes do sistema linear, ou seja, a 11 x o 1 + a 1x o + + a 1mx o m = b 1 a 1 x o 1 + a x o + + a mx o m = b. a n1 x o 1 + a nx o + + a nmx o m = b n. Vale observar que podemos escrever o sistema linear (3.10) como uma equac~ao matricial e reciprocamente. Para isto vejamos que: 11 1 1 + a 1m x m = b 1 a 11 x 1 + a 1 x + + a 1m x m a 1 x 1 + a x + + a m x m = b a 1 x 1 + a x + + a m x m. = a n1 x 1 + a n x + + a nm x m = b n a n1 x 1 + a n x + + a nm x m a x + a x + a 11 a 1 a 1m x 1 b 1 a 1 a a m x b.... a n1 a n a nm. x m =. b n A x = B, b 1 b. b n

3.7. SISTEMAS LINEARES E EQUAC ~OES MATRICIAIS 31 onde A =. a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m...., x =. x 1 x. e b =. b 1 b.. (3.11) a n1 a n... a nm x m b n Conclusão: resolver o sistema linear (3.10) (isto e, encontrar, se existirem, as soluc~oes do mesmo) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1m x m = b 1 a 1 x 1 + a x + + a m x m = b. a n1 x 1 + a n x + + a nm x m = b n e equivalente a resolver a equac~ao matricial (isto e, encontrar, se existirem, as soluc~oes da mesma) A x = b, (3.1) onde as matrizes A, x e b s~ao dadas por (3.11). 3. Notemos que se m = n (ou seja, o numero de equac~oes no sistema linear (3.10) e igual ao numero de incogintas) e a matriz A e uma matriz n~ao singular ent~ao a única solução da equac~ao matricial (3.1) sera dada por x = x o 1. x o n = A 1 b e portanto o sistema linear (3.10) tera uma unica soluc~ao dada por x o 1,, xo n. Exemplo 3.7.1 Coloque na forma de uma equac~ao matricial o seguinte sistema linear x 1 +3x x 3 = 0 x 1 +x +x 3 = 0 x 1 x 3 = 1. Resolução: Notemos que: onde x 1 + 3x x 3 = 0 x 1 + x + x 3 = 0 x 1 x 3 = 1 A =. 1 3 1 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 1 1 1 0 1 x 1 x x 3 x 1 + 3x x 3 x 1 + x + x 3 x 1 x 3 =, x =. x 1 x x 3 0 0 1 = 0 0 1 A x = B, e b =. 0 0 1.

3 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 3.8 Regra de Crammer Para nalizar exibiremos um metodo para encontrar (quando existir) a soluc~ao de um sistema linear de n equac~oes a n incognitas que pode sera muito util no que vem adiante, a saber: Teorema 3.8.1 (Regra de Cramer) Consideremos as matrizes A M nn e b M n1. Suponhamos que det(a) 0. Ent~ao a equac~ao matricial A x = b tem uma unica soluc~ao dada por pela matriz coluna u = (u i ) M n1, cujas entradas s~ao dadas por u i = det(a i), i = 1,..., n, det(a) onde, para cada i {1,, n}, temos que A i denotara o determinante obtido da matriz A, trocando-se a i-esima coluna a i da matriz A pela matriz coluna b. Demonstração: A demonstrac~ao deste resultado e bastante trabalhosa e sera omitida. Observação 3.8.1 1. Nas hipotese do resultado acima, segue da Proposic~ao (3.6.1), que a matriz A e n~ao singular. Logo da Observac~ao (3.7.1) item 3. teremos que a unica soluc~ao da equac~ao matricial A x = b sera dada por u = A 1 b. Portanto, o resultado acima nos diz que A 1 b = 1 deta det(a 1 ). det(a n ). (3.13). Vale a recproca do resultado acima, isto e, se um sistema linear de n equac~oes a n incognitas (isto e, o mesmo numero de equac~oes e incognitas) admite uma unica soluc~ao, ent~ao a matriz dos coecientes do sistema linear devera ser uma matriz n~ao singular, ou seja, seu determinante sera diferente de zero. A demonstrac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor. Exemplo 3.8.1 Resolva o sistema linear x 1 + 3x x 3 = 0 x 1 + x + x 3 = 0 x 1 x 3 = 1.

3.8. REGRA DE CRAMMER 33 Resolução: Neste caso temos que o sistema linear acima e equivalente a equac~ao matricial onde Observemos que A = 1 3 1 1 1 1 1 0 1 A x = b,, e b = 0 0 1 det(a) Exerccio = 1 + 6 + 1 = 8 0. Portanto, da Proposic~ao (3.6.1), segue que a matriz A e uma matriz n~ao singular. Logo, pela regra de Cramer, teremos que a soluc~ao da equac~ao matricial sera dada por: u = 1 det(a 1 ) det(a ). deta det(a 3 ). Mas A 1 = A 3 = 0 3 1 0 1 1-1 0 1 b 1 3 0 1 1 0 1 0-1 b Exerccio = 3 + 1 = 4, A = Exerccio = 1 + 3 =. 1 0 1 1 0 1 1-1 1 b Exerccio = 1 + 1 =, Portanto u = sera a soluc~ao da equac~ao matricial u 1 u u 3 = A 1 A A A A 3 A = A x = b. 4 8 8 8 = 1 1 4 1 4 Portanto x o 1 = 1, xo = 1 4 e x o 3 = 1 4 e a soluc~ao do sistema linear dado inicialmente. Observação 3.8. As demonstrac~oes deixadas como exerccio ou omitidas podem ser encontradas na bibliograa no nal desta notas.

34 CAPITULO 3. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

Capítulo 4 Vetores no Plano e no Espaço 4.1 Introdução Neste captulo apresentaremos um elemento muito importane no espaco da Geometria Analtica, a saber, o vetor. Os conjuntos onde faremos nossos estudos ser~ao o plano e o espaco. Os pontos do planoou do espaco ser~ao indicados pelas letras latinas: A, B,. As retas do plano ou espaco ser~ao indicadas pelas letras latinas minusculas: a, b,. Os planos do espaco ser~ao denotados pelas letras gregas minusculas: α, β,. Quase sempre estaremos nos referindo ao espaco porem, vale notar que, com raras excess~oes, tudo que for considerado no espaco podera ser adaptado para o plano. 4. Vetor no Espaço Comecaremos introduzindo a seguinte noc~ao: Definição 4..1 Sejam A, B dois pontos do espaco (ou no plano ). Ao par ordenado (A, B) daremos o nome de segmento orientado. O ponto A sera dito origem e o ponto B sera dito extremidade do segmento orientado (A, B). Com isto podemos introduzir a Definição 4.. 1. Um segmento orientado da forma (A, A) sera dito segmento orientado nulo (ou simplesmente, segmento nulo).. Dois segmentos orientados (A, B) e (C, D) ser~ao ditos iguais se suas origens coincidem e suas extremidades tambem coincidem, isto e, se C = A e D = B. Neste caso escreveremos (A, B) = (C, D). Observação 4..1 35

36 CAPITULO 4. VETORES NO PLANO E NO ESPAC O 1. Usualmente, representamos, geometricamente, o segmento orientado (A, B) da seguinte forma: B (Extremidade) A (Origem). O segmento orientado da forma (A, A) podera ser representado, geometricamente, por uma ponto (ver gura abaixo) (A, A) 3. Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) representados, geometricamente, na gura abaixo s~ao iguais. B = D A = C (A, B) = (C, D) A = C, B = D 4. Se os pontos A e B s~ao diferentes (isto e, A B) ent~ao (A, B) (B, A), isto e, os segmentos orientados n~ao ser~ao iguais (ver gura abaixo). (A, B) B (B, A) A Notação 4..1 Um segmento geométrico de extremos nos pontos A e B sera indicado AB (ou seja, n~ao interessa a orientac~ao do mesmo - ver gura abaixo). B A O comprimento de um segmento geométrico AB sera a dist^ancia do ponto A ao ponto B e sera indicado por AB.

4.. VETOR NO ESPAC O 37 Com isto temos as seguintes denic~oes: 15.03.01-4.a Definição 4..3 Denimos o comprimento do segmento orientado (A, B), que sera indicado por AB, como sendo o comprimento do segmento de reta que une os pontos A e B, isto e AB, ou ainda, a distância do ponto A ao ponto B. Observação 4.. O comprimento do segmento orientado (A, B) e igual ao comprimento do segmento geometrico AB. Definição 4..4 Sejam A, B, C, D pontos do espaco (ou do plano). 1. Diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm mesmo comprimento, se os segmentos geometricos AB e CD têm o mesmo comprimento (ou ainda, se a distância do ponto A ao ponto B for igual a distância do ponto C ao ponto D), isto e, AB = CD. D AB = AD C B A. Suponhamos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) n~ao s~ao o segmento orientado nulo. Diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm a mesma direção, se a reta que contem o segmento geometricos AB e a reta que contem o segmento geometrico CD s~ao paralelas (incluindo o caso em que as retas coincidem - ver gura abaixo). Neste caso diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) s~ao paralelos e escreveremos (A, B) (C, D).

38 CAPITULO 4. VETORES NO PLANO E NO ESPAC O AB e CD s~ao paralelas e n~ao coincidentes C As retas s~ao coincidentes D C D B A B A Caso contrario diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm direções diferentes (ou n~ao têm a mesma direc~ao). 3. Suponhamos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm a mesma direção (logo s~ao diferentes do segmento orientado nulo). Neste caso poderemos ter as seguintes situac~oes: (a) as retas que contem os segmentos geometricos AB e CD s~ao distintas (ver gura abaixo). Neste caso, se os segmentos geometricos AC e BD n~ao se interceptam, diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido (ou seja, unindo-se as origens e as extremidades dos segmentos orientados em quest~ao estes n~ao se interceptam - ver gura abaixo a direita). Caso contrario (isto e, e os segmentos geometricos AC e BD se interceptam, isto e, unindo-se as origens e as extremidades dos segmentos orientados em quest~ao estes se interceptam - ver gura abaixo a esquerda) diremos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm sentidos contrários ou opostos. As retas que contem os segmentos geometricos s~ao paralelas e distintas C B D B D A A C Os segmentos AC e BD se interceptam Os segmentos AC e BD n~ao se interceptam (b) Suponhamos que as retas que contem os segmentos geometricos AB e CD coincidem.

4.. VETOR NO ESPAC O 39 Neste caso, consideremos os pontos A e B do espaco (ou do plano) tais que o ponto A n~ao esteja na reta que contem os segmentos geometricos em quest~ao (a saber, a reta que contem os segmentos geometricos AB e CD) e o ponto B seja tomado de modo que o segmento orientado (A, B ) tenha mesma direc~ao e sentido do segmento orientado (A, B) (como no item (a) - ver gura abaixo). AB e CD est~ao sobre uma mesma reta D C B (A, B ) e (C, D) têm mesmo sentido B A A (A, B) e (A, B ) têm mesmo sentido Para fazer isto basta tomar uma reta paralela a reta que contem os pontos A e B que passa pelo ponto A e sobre esta escolher o ponto B de modo conveniente, utilizando o item (a). Se os segmentos orientados (A, B ), (C, D) têm mesmo sentido (utilizando o item (a)) diremos que os segmentos orientados (A, B), (C, D) têm mesmo sentido. Caso contrario (isto e, utilizando o item (a), se os segmentos orientados (A, B ), (C, D) têm sentidos opostos) diremos que os segmentos orientados (A, B), (C, D) têm sentidos contrários ou opostos. Na gura acima os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm mesma direc~ao e sentido. Na gura abaixo os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm mesma direc~ao e sentidos opostos.

40 CAPITULO 4. VETORES NO PLANO E NO ESPAC O AB e CD est~ao sobre uma mesma reta C D B A C e B D se interceptam B A A (A, B) e (A, B ) têm mesmo sentido Observação 4..3 1. So podemos estudar o sentido de segmentos orientados que têm a mesma direc~ao.. Suponhamos que os pontos A e B s~ao distintos (isto e, A B). Ent~ao: (a) os segmentos orientados (A, B) e (B, A) têm mesmo comprimento, pois os segmentos geometricos AB e BA têm mesmo comprimento; (b) têm mesma direc~ao, pois os segmentos geometricos AB e BA est~ao sobre uma mesma reta, a saber, a reta que contem os pontos A e B; (c) e têm sentidos opostos (veja gura abaixo). B B A Os segmentos geometricos A B e B A se interceptam A (A, B) e (A, B ) têm mesmo sentido

4.. VETOR NO ESPAC O 41 Definição 4..5 Sejam A, B, C, D pontos do espaco (ou do plano). Diremos que o segmento orientado (A, B) e equipolente ao segmento orientado (C, D), indicando por (A, B) (C, D), se, e somente se: 1. ou ambos s~ao o segmento nulo;. ou nenhum e o segmento nulo e t^em mesmo comprimento, a mesma direc~ao e o mesmo sentido. B D A C AB = CD, (A, B) (C, D) e t^em o mesmo sentido Com isto temos a: Proposição 4..1 A relac~ao, no conjunto formado por todos os segmentos orientados, tem as seguintes propriedades: 1. a relac~ao e reexiva, isto e, para A, B pontos do espaco (ou do plao) temos (A, B) (A, B);. a relac~ao e simetrica, isto e, se A, B, C, D s~ao pontos do espaco (ou do plano) s~ao tais que (A, B) (C, D) ent~ao (C, D) (A, B); 3. a relac~ao e transitiva, isto e, se A, B, C, D s~ao pontos do espaco (ou do plano) s~ao tais que (A, B) (C, D) e (C, D) (E, F), ent~ao (A, B) (E, F). Resumindo, e uma relação de equivalência no conjunto formado por todos os segmentos orientados do espaco (ou do plano).

4 CAPITULO 4. VETORES NO PLANO E NO ESPAC O Demonstração: De 1.: Como os segmentos orientados (A, B) e (A, B) têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido segue que (A, B) (A, B).. De.: Como o segmento orientado (A, B) e equipolente ao segmento orientado (C, D) temos que eles têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido, ou seja, os segmentos orientados (C, D) e (A, B) têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido. Portanto (C, D) (A, B). De 3.: Como o segmento orientado (A, B) e equipolente ao segmento orientado (C, D) temos que eles têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido. Por outro lado o segmentos orientado (C, D) e equipolente ao segmento orientado (E, F), logo eles têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido. Portanto os segmentos orientados (A, B) e (E, F) têm mesmo comprimento, direc~ao e sentido, isto e, (A, B) (E, F), completando a demonstrac~ao do resultado. Com isto temos a: Definição 4..6 Dado o segmento orientado (A, B), diferente do segmento orientado nulo, denimos a classe de equipolência associada ao segmento orientado (A, B), como sendo o conjunto formado por todos os segmentos orientados que s~ao equipolentes ao segmento orientado (A, B). Neste caso diremos que o segmento orientado (A, B) e um representante da classe de equipolência associada ao segmento orientado (A, B). Na gura abaixo, todos os segmentos orientados abaixo pertencem a mesma classe de equipolência do segmento orientado (A, B). B A A classe de equipolência do segmento orientado (A, A) (isto e, do segmento nulo) e, por denic~ao, a colec~ao formada por todos os segmentos orientados nulos.

4.. VETOR NO ESPAC O 43 Observação 4..4 1. Seja (A, B) um segmento orientado n~ao-nulo. Dois quaisquer elementos da classe de equipolência do segmento orientado (A, B) s~ao equipolentes entre si. De fato, se os segmentos orientados (C, D) e (E, F) est~ao na classe de equipolência do segmento orientado (A, B) ent~ao (C, D) (A, B) e (E, F) (A, B). Logo, da Proposic~ao (4..1) item 3., segue que (C, D) (E, F).. Se o segmento orientado (C, D) esta na classe de equipolência do segmento orientado (A, B) ent~ao o segmento orientado (A, B) estara na classe de equipolência do segmento orientado (C, D). De fato, se o segmentos orientado (C, D) esta na classe de equipolência de (A, B) ent~ao (C, D) (A, B). Logo, da Proposic~ao (4..1) item., segue que (A, B) (C, D), isto e, o segmento orientado (A, B) estara na classe de equipolência do segmento orientado (C, D). Em particular, qualquer elemento da classe de equipolência pode ser tomado como um representante da classe a que ele pertence. Alem disso, cada segmento orientado e representante de um unica classe. De fato, se ele fosse representante de duas classes, do item 1. acima, essas duas classe teriam que ser iguais (pela Proposic~ao (4..1) item 3. - verique!). 3. Conclusões: (a) Todo segmento orientado n~ao-nulo pertence a uma unica classe de equipolência (a saber, a classe de equipolência denida por ele); (b) Se duas classes tiverem um segmento orientado em comum elas dever~ao ser iguais, ou seja, duas classes de equipolência ou s~ao iguais ou s~ao disjuntas (isto e, n~ao têm elementos em comum). (c) Todos segmentos nulos pertencem a uma mesma classe de equipolência. Deste modo o conjunto formado por todos os segmentos orientados n~ao-nulos ca dividido, por meio da relac~ao de equipolência, em subconjuntos n~ao-vazios e disjuntos dois a dois, que s~ao as classe de equipolência, isto e, os conjuntos formados pelos segmentos orientados equipolentes entre si. Agora estamos preparados para introduzir o conceito mais importante deste captulo, a saber:

44 CAPITULO 4. VETORES NO PLANO E NO ESPAC O Definição 4..7 Um vetor do espaco (ou do plano) e uma classe de equipolência de segmentos orientados. Dado um segmento orientado (A, B) n~ao nulo, o vetor correspondente a classe de equipolência do segmento orientado (A, B) sera indicado por AB. Denotaremos o vetor associado a classe de equipolência formada pelos segmentos orientados nulos por O, que sera denominado de vetor nulo. Em geral denotaremos um vetor por: a, b, (isto e, letra latina minuscula com uma seta em cima). No caso acima n~ao estaremos interessados quem e um segmento orientado que representa o mesmo. O conjunto formado por todos os vetores do espaco (ou do plano, respectivamente) sera indicado por V 3 (ou por V, respectivamente). Observação 4..5 Segundo a denic~ao acima, um vetor e um conjunto formado por segmentos orientados que s~ao equipolentes entre si. Se o vetor for o vetor nulo, o conjunto acima sera formado pela colec~ao dos segmentos orientados (A, A), onde A e um ponto do espaco (ou do plano). Se ele n~ao for o vetor nulo, o conjunto acima sera o conjunto formado por todos os segmentos orientados que s~ao, dois a dois, equipolentes. Logo NÃO podemos representar geometricamente um vetor, pois ele e a colec~ao de todos os segmentos orientados que s~ao equipolentes entre si, mas SIM um segmento orientado que o representa, isto e, um representante da classse equipolência denida pelo vetor em quest~ao. Vetor AB Vetor O (A, A) B A Assim como zemos com segmentos orientados, podemos comparar vetores, como veremos a seguir: Definição 4..8 Sejam a e b dois vetores n~ao nulos. Diremos que os vetores a e b s~ao paralelos ou determinam uma mesma direção, indicando por a b, se um segmento orientado representante do vetor a for paralelo a um segmento orientado representante do vetor b, isto e, se o segmento orientado (A, B) e um representante do vetor a e o segmento orientado (C, D) e um representante do vetor b, deveremos ter (A, B) (C, D).