27 Estimação da Resposta em Frequência jω Ge ( ) = jω Ye ( ) jω Ue ( ) Objectivo: Calcular a magnitude e fase da função de transferência do sistema, para um conjunto grande de frequências. A representação gráfica deste conjunto de dados (diagrama de bode) permitirá ter uma primeira ideia de algumas características do sistema, tais como ganho estático, largura de banda, polos na origem, etc.
28 Métodos 1 Uma Frequência de Cada Vez : Aplicar uma sinusoide à entrada. Medir o ganho e a desfasagem da saída. Repetir para múltiplas frequências de entrada, de modo a cobrir a gama de frequências pretendida. 2 Função de Tansferência Empírica : Aplicar um sinal arbitrário à entrada e observar a resposta. Calcular a transformada discreta de Fourier das sequências de entrada e saída. Estimar a resposta em frequência do sistema por divisão das transformadas. 3 Análise Espectral : Aplicar um sinal gerado por um processo estacionário de média nula e observar a saída. Aplicar as relações entre espectros de processos estacionários. Este método considera explicitamente a existência de perturbações e estima o espectro da perturbação na experiência efectuada.
29 Análise Espectral Recorde-se a função de covariância cruzada R yu ( τ ) entre y(t) e u(t). Define-se o espectro cruzado Φ yu ( ω ) como a sua transformada de Fourier: jωτ Φ yu ( ω ) = R yu ( τ ) e τ =
30 Relações entre os espectros Independentes ν(t) u(t) G(q) + + y(t) ( j ω ) ( ) ( ) u ν Φ ( ω ) = G e Φ ω + Φ ω y yu 2 ( ) ( j ω G e ω ) ( ω) Φ = Φ u
31 Estimando os vários espectros podem obter-se a função de resposta em frequência e o espectro da perturbação. R y τ : 1 - Formar estimativas das funções de covariância Rˆ yu ( τ ), Rˆu ( τ ) e ( ) e analogamente para as outras. R yu 1 ( τ ) = y( t + τ ) u( t) N N τ = 1 2 - Calcular os espectros correspondentes através de Janela de largura M M ( ω ) = ( τ ) ( τ ) Φ y y M τ = M e analogamente para os outros espectros. R W e jωτ
32 Finalmente, pode-se obter a resposta em frequência do sistema através de: G N jω ( e ) = Φ Φ yu u ( ω) ( ω) e o espectro da perturbação por: ( ) Φ ( ) Φ ν ω = y ω Φ Φ yu u ( ω ) ( ω) 2
33 Análise espectral com o MATLAB 5.3 e o Sist. Ident. Toolbox Seja z=[y u] uma matriz de dados. As matrizes G e PHIV contendo a função de resposta em frequência estimada, ĜN, e o espectro da perturbação estimado, Φ ν, podem-se obter através de: [G PHIV] =spa(z) A visualização em escala logarítmica pode ser feita com bodeplot(g) bodeplot(phiv)
34 Omitindo o argumento PHIV, obtém-se apenas a estimativa da função G: G=spa(z) Se z=y (série temporal), spa retorna a estimativa do espectro desse sinal: PHIY=spa(y) ffplot(phiy) Estas estimativas admitem um intervalo de amostragem de 1 segundo. Para ajustar o intervalo de amostragem, usar a função sett. Por exemplo Gnov=sett(G,0.5); declara o intervalo de amostragem como sendo 0.5 segundo.
Função de transferência empírica 35 Pode estimar-se uma função de transferência empírica como a razão das transformadas de Fourier da entrada e da saída. Isto pode ser feito através da função etfe. 10 2 10 0 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 G=etfe(z); 10-2 10-4 10-2 10-1 10 0 10 1 Esta estimativa apresenta grandes variações 0 frequency (rad/sec) PHASE PLOT, input # 1 output # 1 de frequência para frequência mas pode ser útil para sistemas com picos de ressonância apertados. -200 phase -400-600 10-2 10-1 10 0 10 1 frequency (rad/sec)
36 Exemplo Estimação das curvas de resposta em frequência de 1/(s 2 +s+1) com intervalo de amostragem de 0.5 s. O sinal de entrada é ruído branco de variância unitária. Diagrama de bode verdadeiro
37 Estimação com etfe (F.T. empírica) Estimação com spa (Análise espectral)
38 Influência de Perturbações Para o mesmo sistema adicionou-se ruído branco gaussiano de desvio padrão 0.1. Estimação com etfe (F.T. Empírica) Estimação com spa (Análise espectral)
39 Janelas A estimativa da função de correlação depende dos dados e é ela própria uma amostra de uma variável aleatória. Apresenta assim flutuações de carácter estatístico para um número finito de dados. Para reduzir estas flutuações na estimativa do espectro usam-se pesos no cálculo da transforma de Fourier da correlação denominadas janelas. M ( ω ) = ( τ ) ( τ ) Φ y y M τ = M R W e jωτ
40 De um modo geral, quando o comprimento da janela aumenta, a resposta em frequência mostra mais detalhes mas é mais afectada por variações estatísticas. Uma sequência típica de comandos para testar janelas de diferentes larguras é a seguinte: G10=spa(z,10); G50=spa(z,50); bodeplot([g10 G50])
41 10 2 10 0 10-2 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 M=50 M=10 Neste caso, a sobreelevação na frequência é visível com M=50 mas 10-4 10-2 10-1 10 0 10 1 PHASE frequency PLOT, input (rad/sec) # 1 output # 1 0 não com M=10-100 phase -200-300 -400 10-2 10-1 10 0 10 1 frequency (rad/sec)
42 Remoção de tendências Não se deve esquecer que os métodos anteriores se referem a sinais estocásticos estacionários (ou seja, em que as características estatísticas são constantes no tempo) e de média nula. Antes de aplicar estes métodos é necessário remover dos dados quaisquer tendências que possam apresentar e ainda o seu valor médio. A remoção de uma tendência linear pode ser feita com a função detrend. Esta, subtrai aos dados a recta mais bem ajustada. Outras tendências (por exemplo, crescimento exponencial ou sazonalidade) requerem tratamento especial.
43 Exemplo: Identificação não paramétrica de um secador Ventilador A B Tomada de ar u SCR y O ar, forçado pelo ventilador, é aquecido por uma resistência eléctrica no ponto A. O grau de aquecimento desta resistência pode ser manipulado pelo sinal u. A saída do processo é a temperatura y do ar medida por um termopar no ponto B.
44 Representação dos dados 2 OUTPUT #1 1 0-1 -2 0 50 100 150 200 250 300 INPUT #1 % z contém dados idplot(z) 1 0-1 0 50 100 150 200 250 300 A entrada é um sinal binário em que a probabilidade de transição é p=0.2. O intervalo de amostragem é h=0.08 s.
45 Determinação da resposta impulsiva por correlação 0.14 Impulse response estimate 0.12 0.1 0.08 0.06 ir=cra(z); 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 lags Repare-se que as três primeiras amostras da resposta impulsiva são nulas. O sistema apresenta um atraso puro de 2xh=0.16 s, o que corresponde ao tempo de percurso do ar entre os pontos A e B.
46 Resposta ao escalão 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 ir=cumsum(is); plot(ir) 0.2 0.1 0-0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O eixo do tempo está graduado em número de amostras. A resposta ao escalão obtém-se da resposta impulsiva por soma cumulativa, com a instrução cumsum.
47 Função de transferência 10 0 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 10-1 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 PHASE frequency PLOT, input (rad/sec) # 1 output # 1 0 G=sett(spa(z),0.08); bodeplot(g) -200 phase -400-600 10-1 10 0 10 1 10 2 frequency (rad/sec) Note-se o decaimento rápido da fase devido ao atraso puro.