0.5 setgray0 0.5 setgray1. Mecânica dos Fluidos Computacional. Aula 7. Leandro Franco de Souza. Leandro Franco de Souza p.

Documentos relacionados
Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma

Capítulo 2. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHAS UNIFORMES

PROBLEMA DE DIFUSÃO DE CALOR RESOLVIDO POR MEIO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS PARABÓLICAS

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO ESCALAR DE LEIS DE CONSERVAÇÃO

4 Discretização e Linearização

u t = ν A primeira coisa que você deve perceber é que essa equação apresenta um derivada de 2 ordem. Vamos aprender a lidar com isso.

INTRODUÇÃO À MECÂNICA COMPUTACIONAL. Carlos Henrique Marchi & Fábio Alencar Schneider. Curitiba, dezembro de 2002.

2 Análise de Campos Modais em Guias de Onda Arbitrários

3 Método Numérico. 3.1 Discretização da Equação Diferencial

Diferenças finitas compactas para a equação de Poisson utilizando métodos iterativos

D- MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS

3 A técnica de computação intensiva Bootstrap

3 Animação de fluidos com SPH

5 Formulação para Problemas de Potencial

2 Incerteza de medição

3 Metodologia de Avaliação da Relação entre o Custo Operacional e o Preço do Óleo

Eletrotécnica AULA Nº 1 Introdução

Covariância na Propagação de Erros

Representação e Descrição de Regiões

5 Validação dos Elementos

c) No modelo EBM de Budyko (1969)*, aproxima-se Ro por:

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Modelagem do Transistor Bipolar

3. CIRCUITOS COM AMPOP S UTILIZADOS NOS SAPS

Análise de Regressão Linear Múltipla VII

CURSO A DISTÂNCIA DE GEOESTATÍSTICA

(1) A uma parede totalmente catalítica quanto para uma parede com equilíbrio catalítico. No caso de uma parede com equilíbrio catalítico, tem-se:

Análise Numérica (4) Equações não lineares V1.0, Victor Lobo, 2004

Análise Dinâmica de uma Viga de Euler-Bernoulli Submetida a Impacto no Centro após Queda Livre Através do Método de Diferenças Finitas

PME 2556 Dinâmica dos Fluidos Computacional. Aula 2 Equação da Energia, Equação Geral de Transporte e Principais Métodos de Solução

ANÁLISE DAS TENSÕES TÉRMICAS EM MATERIAIS CERÂMICOS. Palavras-chave: Tensões térmicas, Propriedades variáveis, Condução de calor, GITT

Flambagem. Cálculo da carga crítica via MDF

7 - Distribuição de Freqüências

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Aerodinâmica I. Verificação de Códigos. Objectivo: verificar que o programa não tem erros

( x) Método Implícito. No método implícito as diferenças são tomadas no tempo n+1 ao invés de tomá-las no tempo n, como no método explícito.

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS CONTÍNUOS

Parênteses termodinâmico

Problema Real (avião, carro,...) Validação

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

TURBULÊNCIA COQ-744 Aula 1. Profa. Tânia Suaiden Klein

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012

13. Oscilações Eletromagnéticas (baseado no Halliday, 4 a edição)

Procedimento Recursivo do Método dos Elementos de Contorno Aplicado em Problemas de Poisson

Introdução aos Problemas de Roteirização e Programação de Veículos

6 Análises de probabilidade de ruptura de um talude

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI)

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA ELETRÔNICA 1 - ET74C Prof.ª Elisabete Nakoneczny Moraes

DIFERENCIANDO SÉRIES TEMPORAIS CAÓTICAS DE ALEATÓRIAS ATRAVÉS DAS TREND STRIPS

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

TEA784 Fundamentos de Engenharia Ambiental

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear

Associação entre duas variáveis quantitativas

5.10 Redes malhadas (Hardy-Cross) Zona de uma cidade, com 8x8= 64 quarteirões, na qual devemos implantar rede malhada.

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE CROSS

Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

Radiação Térmica Processos, Propriedades e Troca de Radiação entre Superfícies (Parte 2)

Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática de um processo real (Seborg et al.,1989) ou

Eletromagnetismo Aplicado

Prof. Lorí Viali, Dr.

Termodinâmica dos Sistemas Abertos Sistemas heterogêneos: Potencial Químico. Grandezas Molares.

9. Diferenças Finitas. Métodos para problemas de valor de fronteira

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

Resumo. Palavras-chave. Método energético; ação térmica; concreto armado. Introdução

Experiência V (aulas 08 e 09) Curvas características

Eventos coletivamente exaustivos: A união dos eventos é o espaço amostral.

EXERCÍCIO: VIA EXPRESSA CONTROLADA

Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016

LEI DE OHM A R. SOLUÇÃO. Usando a lei de Ohm

Elaboração de um Código Computacional para Resolução de Sistemas Lineares de Grande Porte

MODELAGEM COMPUTACIONAL DA DIFUSÃO DE NÊUTRONS EM GEOMETRIA UNIDIMENSIONAL CARTESIANA

PROVA 2 Cálculo Numérico. Q1. (2.0) (20 min)

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Classificadores Lineares. Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D.

Interpolação Segmentada

3 Algoritmos propostos

Psicologia Conexionista Antonio Roque Aula 8 Modelos Conexionistas com tempo contínuo

Aerodinâmica I. Asas Finitas Teoria da Linha Sustentadora Método de Glauert

Termodinâmica dos Sistemas Abertos Sistemas heterogêneos: Potencial Químico. Grandezas Molares.

Análise de Regressão

CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA MÓDULO 2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA - ELEMENTOS Prof. Rogério Rodrigues

Gabarito para a prova de 1º Ano e 8ª serie (atual 9º Ano)

Asas Finitas Escoamento permamente e incompressível

Uma avaliação comparativa da convergência do método de volumes finitos baseado em elementos para a condução de calor

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)

APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON PARA LINHAS DE MICROFITAS ACOPLADAS

Classificação e Pesquisa de Dados

Índices de Concentração 1

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenharia. 3º ano

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E

As leis de Kirchhoff. Capítulo

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

Dados ajustáveis a uma linha recta

Ângulo de Inclinação (rad) [α min α max ] 1 a Camada [360,0 520,0] 2000 X:[-0,2065 0,2065] Velocidade da Onda P (m/s)

Módulo I Ondas Planas. Reflexão e Transmissão com incidência normal Reflexão e Transmissão com incidência oblíqua

Transcrição:

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 1/1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 Mecânca dos Fludos Computaconal Aula 7 Leandro Franco de Souza

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 2/1 Equações Dferencas Parcas EDP s A mecânca dos fludos computaconal trata da obtenção numérca para EDP; As EDP s que descrevem fenômenos de nteresse em mecânca dos fludos podem ser classfcadas em três categoras: Elíptcas Parabólcas Hperbólcas Cada classe de equações está assocada a uma categora de fenômeno físco; o método numérco que funcona para uma classe pode não funconar para outra.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 3/1 Equações Dferencas Parcas Consstênca: é a propredade que dz que à medda que a dstânca entre pontos espacas e temporas são reduzdos, a aproxmação utlzada converge para a Equação Dferencal Parcal (EDP). Establdade: é a tendênca que quasquer perturbações (e.: erro de arredondamento) que forem ntroduzdas na solução das equações algébrcas tem de decar. Convergênca: Se um processo é consstente e estável ele convergrá para solução das EDP s.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 4/1 Equações Parabólcas Equação parabólca mas smples: T t = α 2 T x 2, que é a equação transente de dfusão de calor, onde α é um número postvo. Esta equação surge do estudo de transferênca de calor no qual a função T (t, x) mostra a temperatura no tempo t na posção x, a partr de uma dstrbução de temperatura ncal T (0, x) = T 0 (x). Outras equações smlares a esta surgem do estudo de escoamentos vscosos e processos de dfusão.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 5/1 Equações Parabólcas Para a equação T t = α 2 T x 2, necessta-se de: Condção ncal T (0, x) = T 0 (x), Condções de frontera T (t, x 0 ) e T (t, x max )

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 6/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Análse de Consstênca da equação: T t = α 2 T x 2, que pode ser escrta, utlzando o operador P, como: P T = T t α 2 T x 2. Utlzando aproxmações de prmera ordem no tempo e segunda ordem centrada no espaço, pode-se escrever a equação na forma dscretzada (FTCS): P, x T = T n+1 T n α T 1 n 2T n + T+1 n ( x) 2.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 7/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Utlzando a sére de Taylor temos: T n 1 = T n T n +1 = T n ( x) dt n dx + ( x)2 2! + ( x) dt n dx + ( x)2 2! d 2 T n dx 2 ( x)3 3! d 2 T n dx 2 + ( x)3 3! d 3 T n dx 3 + ( x)4 4! d 3 T n dx 3 + ( x)4 4! d 4 T dx 4 n +HOT d 4 T dx 4 n +HOT T n+1 = T n + () dt dt n + ()2 2! d 2 T n dt 2 + ()3 3! substtundo os termos na equação: d 3 T n dt 3 + ()4 4! d 4 T dt 4 n +HOT P, x T = T n+1 T n α T n 1 2T n + T n +1 ( x) 2. obtemos: P, x T = dt dt n α d2 T n dx 2 + 2 d 2 T n dt 2 + ( x)2 12 d 4 T dx 4 n +O()2 + O( x) 3.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 8/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Realzando a dferença entre a equação dferencal parcal e a equação dcretzada temos: P T P, x T = 2 d 2 T n dt 2 +( x)2 12 d 4 T dx 4 n +O()2 + O( x) 3. Este dferença tende a zero à medda que, x 0. Portanto o esquema FTCS para esta equação é Consstente.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 9/1 Análse de Establdade Equações Parabólcas Verfcação de establdade de um esquema através do Método de Von Neumann: É o método mas usado para determnar o crtéro de establdade, sendo o mas dreto para se obter este crtéro; Infelzmente só pode ser utlzado para estabelecer condções necessáras e sufcentes para análse de establdade lnear de problemas de valor ncal com coefcentes constantes; Neste método os erros dstrbuídos nos pontos da malha em um dado tempo t são expanddos em séres fntas de Fourer. Em seguda a establdade ou nstabldade é determnada verfcando se cada componente de Fourer do erro deca ou amplfca no processo para o próxmo tempo t +.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 10/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 1 o passo -> substtur os termos na equação por uma soma da solução exata com os erros (arredondamento, truncamento, etc...): T (t, x) = T (t, x) + ɛ(t, x), que pode ser escrto na forma dscretzada como: T n = T n + ɛ n, onde o termo T n é a solução exata da equação dferencal e ɛ n ndca o erro no nstante de tempo n no ponto da malha. 2 o passo -> expandr em sére de Fourer a equação dscretzada:

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 11/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Substtundo T n por T n + ɛ n na equação dscretzada: fca da forma: T n+1 T n = α T 1 n 2T n + T+1 n ( x) 2. T n+1 T n + ɛn+1 ɛ n = α T 1 n 2 T n + T +1 n ( x) 2 +α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2. Como os termos com sobrelnha satzfazem a equação ncal, pode-se obter a equação dscretzada para o erro: ɛ n+1 ɛ n = α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 12/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 2 o passo -> Consdera-se as condções de contorno peródcas e pode-se expandr o erro dstrbudo no espaço em um certo nstante de tempo t em uma sére de Fourer: ɛ n = N l= N E n l eik l. x, onde I = 1 e El n é a ampltude do harmônco l. O harmônco com l = 0 representa uma função constante no espaço. O produto k l x é mutas vezes substtuído pelo ângulo de fase: φ = k l x = lπ N ɛ n = N E n l eiφ. l= N

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 13/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 3 o passo -> subttur a expansão em sére de Fourer nas equações dscretzadas para o erro: que fca da forma: ɛ n+1 ɛ n = α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2, N l= N En+1 l e Iφ N l= N En l eiφ = (1) = α N l= N En l ei( 1)φ 2 N l= N En l eiφ + N l= N En l ei(+1)φ ( x) 2,

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 14/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Para cada valor de l, obtém-se a equação: E n+1 l e Iφ El neiφ = α En l ei( 1)φ 2E n l eiφ + E n l ei(+1)φ ( x) 2, manpulando os termos, pode-se obter: E n+1 l e Iφ = E n l e Iφ +α ( x) 2 [ E n l e I( 1)φ 2E n l e Iφ + E n l e I(+1)φ], ou anda: E n+1 l e Iφ = E n l eiφ +α ( x) 2 [ E n l eiφ e Iφ 2E n l eiφ + E n l eiφ e +Iφ],

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 15/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade que pode ser smplfcado por: E n+1 l = E n l + α ( x) 2 [ E n l e Iφ 2E n l + E n l e+iφ], e escrto na forma: E n+1 l = E n l [ 1 + α ( x) 2 ( e Iφ 2 + e +Iφ)], que fnalmente pode ser escrto como: E n+1 l E n l = 1 + α [2cos(φ) 2] = G, ( x) 2 onde G é conhecdo como fator de amplfcação, pos é ele que controla a amplfcação ou atenuação de E.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 16/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Note que G depende de α/( x) 2, sendo, portanto, função dos parâmetros de dscretzação. Para que a ampltude dos erros (E) não amplfque a cada passo no tempo t, temos a condção: ou seja: G = En+1 l El n = 1 + α [2cos(φ) 2] 1, ( x) 2 1 + 2α [cos(φ) 1] 1, (2) ( x) 2 1 + 2α [cos(φ) 1] 1, (3) ( x) 2

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 17/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade onde a Eq. (2) é sempre satsfeta. Da Eq. (3) temos: que é verdade desde que: 1 4α ( x) 2 1, α ( x) 2 1 2. Este últmo é o crtéro de establdade do método que utlza o método de Euler para dscretzação temporal e uma aproxmação por dferenças fntas de 2 a ordem no espaço para dscretzação espacal.

Leandro Franco de Souza lefraso@cmc.usp.br p. 18/1 Convergênca do método O método acma analsado, que utlza método de Euler para dscretzação temporal e uma aproxmação por dferenças fntas de 2 a ordem no espaço para dscretzação espacal, é convergente desde que seja obedecdo o crtéro de establdade: pos ele é consstente e estável. α ( x) 2 1 2.