Eame Fial Nacioal de Matemática A Prova 65 Época Especial Esio Secdário 018 1.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 19/01, de 5 de jlho Dração da Prova (Cadero 1 Cadero ): 150 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. Cadero 1 6 Págias Cadero 1: 75 mitos. Tolerâcia: 15 mitos. É permitido o so de calcladora. Utilize apeas caeta o esferográfica de tita azl o preta. É permitido o so de réga, compasso, esqadro e trasferidor. Só é permitido o so de calcladora o Cadero 1. Apresete as sas respostas de forma legível. Apresete apeas ma resposta para cada item. A prova icli m formlário. As cotações dos ites de cada cadero ecotram-se o fial do respetivo cadero. Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação etera são obras protegidas pelo Código do Direito de Ator e dos Direitos Coeos. A sa divlgação ão sprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a tilização destas provas, além do determiado a lei o do permitido pelo IAVE, I.P., sedo epressamete vedada a sa eploração comercial. Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia 1/ 6
Formlário Geometria Comprimeto de m arco de circferêcia: ar^a- amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r- raioh Área de m polígoo reglar: Semiperímetro# Apótema Área de m sector circlar: ar ^a- amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r- raioh Probabilidades p 1 1 f p v p] - g f p^ -h 1 1 SeXéN] v, g, etão: P] - v1x1 vg. 0687, P] - v1x1 vg. 09545, P] - v1x1 vg. 0997, Área lateral de m coe: rrg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de ma sperfície esférica: Volme de ma pirâmide: Volme de m coe: Volme de ma esfera: Progressões 4rr ^r-raioh 1 # Áreadabase # Altra 1 # Áreadabase # Altra 4 rr ^r-raioh Soma dos primeiros termos de ma progressão _ i: Progressão aritmética: 1 # Progressão geométrica: -r 1# 1 - r 1 ^ vhl l vl ^vhl v l vl l v l -vl ` j v v ^ 1 hl - l ^! Rh ^sehl lcos ^coshl-lse ^tghl l cos ^ ehl le ^ ahl la la ^a! R ^lhl l log a l l ^ h la ^a! R " 1, h " 1, h Trigoometria se] a bg seacosb sebcosa cos] a bg cosacosb-seaseb sea seb sec a b c a b c -bccosa Compleos ^tcisih t cis^ih o ^ i te h t e tcisi tcisc i r m i ii k i i i k r i ^k!! 0, f, -1 e! Nh o te te Limites otáveis limb1 1 l e ^! Nh lim se 1 " 0 lim " 0 lim l 0 " lim " e - 1 1 e p ^p! Rh Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia / 6
1. Os dois ites qe se apresetam a segir são ites em alterativa. O item 1.1. itegra-se os Programas de Matemática A, de 10.º, 11.º e 1.º aos, homologados em 001 e 00 (P001/00). O item 1.. itegra-se o Programa e Metas Crriclares de Matemática A, homologado em 015 (PMC015). Respoda apeas a m dos dois ites. P001/00 1.1. Seja X o espaço amostral (espaço de resltados) associado a ma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos ^A1X e B1Xh. Sabe-se qe: A e B são acotecimetos idepedetes e eqiprováveis; P^AjBh 064, Qal é o valor de P^Ah? (A) 0,4 (B) 0,40 (C) 0,8 (D) 0,6 PMC015 1.. Um poto P desloca-se ma reta mérica, o itervalo de tempo I 6 04,@ (medido em segdos), de tal forma qe a respetiva abcissa é dada por ^th se^rth cos^rth, com tdi Qal é a amplitde deste oscilador harmóico? (A) 1 (B) (C) (D) Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia / 6
. Cosidere, m referecial o.. Oyz, a sperfície esférica de eqação y z e o poto P de coordeadas ^111,, h, pertecete a essa sperfície esférica..1. Seja OP e seja Q P Determie as coordeadas do poto Q 6 PQ@.. Seja R o poto de itersecção da sperfície esférica com o semieio egativo das ordeadas. Determie a amplitde do âglo ROP Apresete o resltado em gras, arredodado às idades.. Com cico pessoas, qatos cojtos com, pelo meos, três pessoas é possível formar? (A) 60 (B) 81 (C) 10 (D) 16 4. A soma dos dois últimos elemetos de ma certa liha do triâglo de Pascal é 5 Escolhem-se, ao acaso, dois elemetos dessa liha. Determie a probabilidade de esses dois elemetos serem igais. Apresete o resltado a forma decimal, arredodado às cetésimas. 5. Na cidade de Sait Lois, os Estados Uidos, eiste m mometo em forma de arco cohecido como Portal do Oeste. No poto mais elevado desse arco, ecotra-se m miradoro ao qal se acede por m ascesor. C t() P A O B Figra Figra 1 Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia 4/ 6
Relativamete à Figra, sabe-se qe: os potos A e B represetam a itersecção do arco com o solo; o poto O é o poto médio de 6 AB@ o poto C represeta o miradoro, e a reta OC é m eio de simetria do arco. Cosidere a reta AB como m eio orietado da esqerda para a direita, com origem o poto O e em qe ma idade correspode a m metro. Admita qe o ascesor se está a deslocar o arco CB, do miradoro C para o poto B Para cada poto P, de abcissa, sitado o arco CB, o tempo qe o ascesor demora a percorrer o arco CP é dado, em mitos, por t^h 04, ^e 0057, e 0057, h, com d6 096, @ Nm certo istate, o ascesor ecotra-se m poto F (ão coicidete com o poto C), a ma certa distâcia da reta OC. Passado algm tempo, o ascesor ecotra-se m poto G A Figra ilstra a sitação. Sabe-se qe: a distâcia do poto G à reta OC é igal ao triplo da distâcia do poto F à mesma reta; o tempo qe o ascesor demora a percorrer o arco qe vai de F até G é igal ao triplo do tempo qe demora a percorrer o arco qe vai de C até F, em metros, do poto F à reta OC C F O Figra G B Na sa resposta: eqacioe o problema; reprodza, m referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fção(ões) visalizado(s) a calcladora qe lhe permite(m) resolver a eqação; apresete o valor da distâcia pedida arredodado às décimas. 6. Em C, cojto dos úmeros compleos, a epressão i0 i i... i018 é igal a (A) i (B) i (C) 1 i (D) 1 i 7. Cosidere a scessão ^ h de termo geral Estde a scessão ^ h qato à mootoia. 5 Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia 5/ 6
8. Seja X o espaço amostral (espaço de resltados) associado a ma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos ^A1X e B1Xh. Sabe-se qe: P^Ah 06, P^Bh 07, Mostre qe P^BAh$ 1 9. Para m certo úmero real a, diferete de zero, são paralelas as retas r e s, defiidas, m referecial o.. Oy, pelas codições r a y 1 0 e s ^, yh ^11, h k^a, ah, kdr Qal é o valor de a? (A) 4 (B) (C) (D) 4 FIM DO CADERNO 1 COTAÇÕES (Cadero 1) Item Cotação (em potos) 1.1. 1...1.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 8 1 1 8 1 1 8 1 1 8 105 Prova 65/E. Especial/Cad. 1 Págia 6/ 6