Aula-9 Mais Ondas de Matéria I

Aula-9 Mais Ondas de Matéria I

Estados ligados Vimos, até agora, 3 postulados da Mecânica Quântica: a) Toda partícula possui uma função de onda associada a ela. b) A forma e a evolução temporal desta é determinada pela equação de Schrödinger. c) Dada a função (x,t), a densidade de probabilidade da partícula ser encontrada em um ponto x, num dado instante t, é dada por: P x,t x,t

A Equação de Schrödinger e a Quantização de Energia Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço, pois senão a energia cinética excederia a energia total fora da região, a teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é quantizada. Quando a partícula não estiver confinada em uma região limitada, então a teoria prevê que a sua energia total pode apresentar qualquer valor.

Elétron confinado O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos, com energias discretas. Analogia: Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários Exemplos: Armadilhas em 1, e 3 dimensões; Átomos

Poço quadrado Exemplos de potenciais diversos: U0 U(x) 0 Átomo de hidrogênio L x

Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo ( r ) V ( r ) ( r ) E ( r ) m Sempre que E V( r ) 0 teremos estados ligados; que são quantizados.

Partícula confinada em 1-D Na região em que E - U(x) < 0 a função de onda (x) deve tender a zero, já que a probabilidade de encontrarmos a partículas nesta região é muito pequena. Esta imposição faz com que tenhamos um conjunto discreto n(x), de soluções para equação de Schrödinger, cada uma delas associadas a uma energia En: d x E V x x 0 m dx (para uma partícula classicamente confinada) Similar aos modos normais em uma corda

Partícula em uma Caixa Vamos resolver a eq. de Schrödinger para uma partícula confinada a uma caixa de paredes impenetráveis. Isto é, partícula sujeita a um potencial de forma: U(x) = 0, para 0 < x < L U(x) =, para x < 0 ou x > L U(x) 0 L Como o potencial é infinito, a partícula deve encontrar-se rigorosamente no interior da caixa, portanto a devemos ter (x) = 0, para x = 0 e x = L (condição de contorno). x

No interior da caixa, temos: ou d x E x m dx d x me x k x dx me k A solução geral desta eq. pode ser escrita como: x Asenkx B cos kx A condição de contorno (0) = 0 leva à: x Asenkx A condição de contorno (L) = 0 leva à: L AsenkL 0 kl n n kn L

Escrita em termos dos comprimentos de onda, a última eq. leva a: n n L n L n que corresponde justamente a condição de formação de ondas estacionárias. As funções de onda serão então dadas por: n x n x An sen k n x An sen L Para cada n temos uma ψn(x), n é chamado de um número quântico. Como temos um sistema unidimensional, ψ(x) é completamente determinada por apenas um número quântico.

Funções de onda n x n x An sen k n x An sen L n 1 n n 3 n 5 n 6 n 7 n 1,, 3,... n 4

As energias associadas a estas funções são dadas por: ( k ) E m k n h n En m 8mL O sistema pode passar de um estado n para um n, de energia menor, emitindo um fóton de freqüência: h E En En' 5 5E1 4 16E1 3 9E1 4E1 E1 1

O sistema pode passar de um estado n para um n, de energia menor, emitindo um fóton de frequência: h E En En' E E 4 E4 3 E3 E E1 1 Pode também transicionar para um estado de energia maior absorvendo um fóton. O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental. 4 E4 3 E3 E E1 1

Normalização da Função de Onda A probabilidade de encontrarmos uma partícula, descrita por (x), em um ponto qualquer do espaço (com x entre - e + ) deve ser igual a um. Portanto, devemos ter: dx x 1 Esta é a condição de normalização da função de onda. No caso de uma partícula no interior de uma caixa, por exemplo, obtivemos: n x n x An sen k n x An sen L A condição de normalização é o que nos permite determinar An.

Devemos ter: dx x n x A sen dx 1 0 L n L Portanto, temos: An L n x n x sen L L

Densidade de Probabilidade para o Potencial Infinito Poço quadrado

Princípio da Correspondência de Bohr: No limite dos números quânticos muito elevados, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.

Prob. 1: k n h n En m 8 ml n x n x sen L L 34 4,39 10 67 [ 6, 63 10 Js ] E1 31 10 50 8 [ 9, 11 10 kg ] [ 10 m ] 7, 9 10 E1 6,0 10 18 J 37,63 ev

Prob. 1: h n n ' 1 n n ' k n h n En m 8mL E En ' ( En En ' ) n n ' n h En En ' hc n n ' hc ( En E n ' ) Como: hc 10 5 J m 1,4 ev μm 3 1 1,4/(300,8) µm 4,1 nm 3 1,4/(188,0) µm 6,60 nm 1 1,4/(11,8) µm 11,0 nm n n'

Energia de ponto zero A energia do estado fundamental acontece para n =1 h E1 8mL Estados confinados não podem ter n = 0 pois isto daria n(x) = 0, ausência de elétrons no poço todo. Sistemas confinados não podem ter energia zero, existe sempre uma energia mínima, chamada energia de ponto zero

Partícula sujeita a um potencial harmônico: Oscilador harmônico e estados coerentes

Partícula em um Poço Finito Considere agora uma partícula classicamente aprisionada em um poço de potencial, com profundidade finita U0: U0 U(x) 0 L d x E V x x 0 m dx As funções de onda não se anulam mais em x = 0 ou x = L. x

Partícula em um Poço Finito As funções de onda apresentarão a forma ao lado. Terão energias um pouco menores que para U0 infinito. Várias formas de poços são construídas em laboratório, para se estudar propriedades quânticas da matéria.

Partícula em um Poço Finito E 450 não quantizada E3=80 ev 1 E= 109 ev E1= 4 ev Energias em um poço com L = 100 pm e U0 =450 ev. (linhas tracejadas: Poço Infinito )

Existem aplicações de poços finitos?

Poços Quânticos (QW) Poços quânticos foram primeiro apresentados pelos físicos L. Esaki e R. Tsu. Usando técnicas como MBE ou MOCVD podemos produzir heteroestruturas de cristais AlxGa(1-x)As-GaAs que se comportam como poços quânticos (QW) MBE (Molecular Beam Epitaxy) ou MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition) produzem nanoestruturas, depositando camadas de espessura em escala atômica (controle de monocamada).

AlxGa(1-x)As-GaAs Aplicações QW laser para leitores de CD e DVD GaAs AlxGa(1-x)As AlxGa(1-x)As QW duplo U0 U(x) 0 L x

Equação de Schrödinger em 3D A generalização da eq. de Schrödinger de uma para três dimensões é direta: E V x, y, z 0 m x y z Caixa Retangular Se tivermos uma caixa retangular com potenciais infinitos, a solução da eq. de Schrödinger, no interior da caixa, pode ser escrita como: n x, y, z Asen k1 x sen k y sen k 3 z

z As condições de contorno : k1 n1 Lx Lz k n Ly k3 n3 Lz Lx x Ly Assim, temos como solução: y x z sen n3 sen n n1n n3 x, y, z A sen n1 L L L x y z Observe que agora temos um sistema tridimensional e portanto são necessários três números quânticos para definir cada estado: y

O níveis de energia serão então dados por: hk h E k1 k k3 m 8m E n1,n,n3 Se: h n1 n n3 8m Lx L y Lz Lx L y Lz L E n1,n,n3 h n n n 1 3 8mL

O níveis de energia são então dados por: Quebra da Degenerescência Estados Degenerados h E1 8mL

Prob. Um elétron de massa m está confinado em uma caixa cúbica de dimensões Lx L y Lz L. a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir, ou absorver, ao sofrer uma transição entre dois níveis que estejam entre os tres de menor energia? Que múltiplo de h / 8mL corresponde (b) à menor, e (c) à maior frequência? En1, n, n3 E1 n1 n n3 En1, n, n 3 E1 h ( n1 n n3 ) E1 8mL E f Ei i f h i f E f Ei ; ( n n n ' ' 1 1 3 3 ' ( h / 8mL ) ( h / 8mL ) E a) 3 frequências: Ver Figura E1,, E,1, E,,1 min 6 E1 3E1 9 E1 6 E1 9E1 b) 3 ( h / 8mL ) E1 E1 E1,1, E1,,1 E,1,1 6E1 max 9 E1 3E1 c) 6 E1,1,1 ( h / 8mL ) E1 3E1

Outras Armadilhas Pontos Quânticos (0-D) Fios Quânticos (1-D) Gás de elétrons em -D Currais

Pontos Quânticos

Microscópio de Tunelamento (STM) Como tudo começou (1985)...

Manipulação de átomos 35 átomos de Xenônio em superfície de Ni (D. Eigler et al, IBM)

Manipulando átomos Esquema do STM Imagem STM de Ag(001)

Microscopia de Tunelamento G. Medeiros-Ribeiro

Manipulando átomos com STM 1- STM identifica átomo - com a ponta próxima seleciona o átomo 3- com a ponta próxima movimenta o átomo 4-5 libera o átomo na posição desejada

Currais Quânticos Superfície de Cu(111) Átomos de Fe são depositados (physisorbed) A ponta do STM é aproximada de um Fe a TC aumentada Átomo de Fe é levado até posição Atomo liberado abaixando a TC.

Curral de 48 átomos de Fe

Miragem quântica Imagem de STM com Co no foco Resposta magnética com Co no foco Imagem de STM com Co fora foco Resposta magnética com Co no foco