Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos: A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 100, 100) E(0, 0) F (711, 0) G(0, 517) H( 31, 0) I(0, 8198) J(π, π 3) K(, ) L( 9, 18 4 ) quais são pertencentes: (a) ao primeiro quadrante? (b) ao segundo quadrante? (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante? (e) ao eixo das abscissas? (f) ao eixo das ordenadas? Respostas: (a) A, E, F, I, J, L; (b) D, E, H, I; (c) B, E, G, H; (d) C, E, F, G, K; (e) E, F, H; (f) E, G, I. Calcule a distância entre os pontos A(1, 3) e B( 1, 4). Resposta: d = 5 3. Calcule a distância do ponto P ( 6, 8) à origem do sistema cartesiano. Resposta: d = 10 4. Calcule a distância entre os pontos A(a 3, b + 4) e B(a +, b 8). Resposta: d = 13 5. Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(, 1), B( 1, 3) e C(4, ). Resposta: 13 + 5 6. Dados A(x, 5), B(, 3) e C(4, 1), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C. Resposta: x = 6 7. Dados A(8, 7) e C(, 3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que x B > x D. Resposta: B(8, 3) e D(, 7) 8. Calcule a razão (ABC) sendo dados os pontos A(, 3), B(1, ) e C( 4 3, 1 3 ). Resposta: (ABC) = 9. Dados A(4, 3) e B(, 1), seja C a interseção da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razão (ABC). Resposta: r = 3 10. Determine os pontos que dividem AB em quatro partes iguais, quando A( 1, 3) e B(3, 33). Resposta: (5, 6), (11, 15), (17, 4) 11. Se M(, 1), N(3, 3) e P (6, ) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C. Resposta: A(5, 0), B( 1, ), C(7, 4) 1. Os pontos A(1, 3), B(, 5) e C(49, 100) são colineares? Resposta: Não 13. Mostre que A(d, d 1), B(d + 1, d + 1) e C(d +, d + 3) são colineares para todo valor real dado a d. 14. Dados A(1, 1) e B(10, ), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das abscissas. Resposta: (4, 0)
15. Dados A(3, 1) e B(5, 5), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. Resposta: (0, 5) 16. Determine P (x 0, y 0 ) colinear simultaneamente com A( 1, ) e B(, 1) e com C(, 1) e D(1, 4). Resposta: ( 1, 3 ) 17. Determine a equação da reta definida pelos pontos A( 7, 5 ) e B( 5, 7 ). Resposta: x y 1 = 0 18. A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(3, 4). Qual é a relação entre a e b? Resposta: 4a + 3b ab = 0 19. A reta determinada por A(p, q) e B(3, ) passa pela origem. Qual é a relação entre p e q? Resposta: p + 3q = 0 0. Desenhe no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas abaixo: (a) y = x. (b) x + y = 5. (c) x y + 5 = 0. (d) x + y + 3 = 0. (e) y + x = 0. (f) x y 4 = 0. Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) 1. Determine a interseção das retas x + y = 3 e x + 3y = 5. Resposta: (1, 1). Determine a para que as retas de equações x + y a = 0, ax y 3 = 0 e x y a = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto. Resposta: a = ou a = 3 3. Mostre que as retas de equações x + 3y = 0, (k + 1)x + (3k )y + 5 = 0 e x y + 5 = 0 são concorrentes no mesmo ponto, qualquer que seja k. 4. Determine m de modo que as retas de equações 3x + y m = 0, 3x y + 1 = 0 e 5x y 1 = 0 definam um triângulo. Resposta: m 7 e m R 5. Dado o ponto A(1, ), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento P Q. Resposta: P ( 4 3, 4 3 ) e Q( 3, 8 3 ) 6. Determine o ponto B da reta s de tal forma que o segmento AB intercepte a reta r no ponto C que o divide na razão 1. São dados: A( 3, 1), (r) x + y = 0 e (s) y 3x + 1 = 0. Resposta B( 9 5, 11 5 ) 7. Determine a posição relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
(r) x y + 3 = 0 (s) x y + 3 = 0 (t) x y + 5 = 0 (u) 4x y = 6 Resposta: concorrentes: r e s, s e t, s e u; paralelas: r e t, t e u; coincidentes: r e u 8. Discuta a posição relativa das retas (r) 3mx my 4 = 0 e (s) 1x 4my m = 0 em função de m. Resposta: m = 0 r; m = 1 r s = ; m R, m 1, m 0 r s 9. Discuta em função de m a posição relativa das retas (r) x y + = 0 e (s) 3x my + m = 0. Resposta: m = 3 r = s; m R, m 3 r s 30. Para que valores de k as retas (k 1)x + 6y + 1 = 0 e 4x + (k + 1)y 1 = 0 são paralelas? Resposta: k = 5 ou k = 5 31. Discuta em função de a e b a posição relativa das retas (r) ax + 3y b = 0 e (s) x + 9y 1 = 0. Resposta: a R, a 3 r s; a = 3, b 1 3, b R r s = ; a = 3, b = 1 3 r = s 3. O que representa a equação x + y + 1 + t(x y 7) = 0, sendo t uma variável real? Resposta: Um feixe de retas concorrentes no ponto (1, 3) 33. Determine o centro do feixe de retas concorrentes cuja equação é: k 1 (7x 11y + 1) + k (3x + 11y + 9) = 0. Resposta: ( 1, 6 11 ) 34. Determine a equação da reta que pertence ao feixe definido pela equação 7x + 3y 15 + k(3x 3y 5) = 0 e que passa pela origem do sistema cartesiano. Resposta: x 6y = 0 35. Mostre que as retas de equações (m + 1)x + (1 3m)y 1 = 0 onde m é uma variável real, passam por um mesmo ponto. 36. Dadas as retas r m : (m + 1)x (3m 1)y + 3m 1 = 0, onde m é um número real qualquer, pergunta-se: (a) As retas passam por um ponto fixo? (b) Existe m para o qual r m coincide com um dos eixos? Justifique as respostas. Respostas: (a) Sim (0, 1); (b) Sim, m = 1 3 37. Determine a equação do feixe de paralelas à reta 3x 5y + 1 = 0. Resposta: 3x 5y + c = 0, c R 38. Determine a reta do feixe k 1 (x + 3y 8) + k (5x 7y + 4) = 0 que é paralela à reta (r) 11x 5y + 7 = 0. Resposta: 11x 5y 1 = 0 39. Determine a equação reduzida da reta AB quando A( 1, 1) e B(7, 5). Resposta: y = 3x + 4 40. Dados A(3, 10) e B( 6, 5), determine a equação segmentária da reta AB. x Resposta: 3 + y 5 = 1 41. Determine a equação geral das retas abaixo: (a) (b) (c) Respostas: (a) 3x y + 6 = 0; (b) x y = 0; (c) 3x + y + 4 = 0 3
4. Dadas as equações paramétricas de uma reta (r) x = 5t 3 e y = t + 4, obtenha sua equação segmentária. x Resposta: 13 + y 6 = 1 5 43. Ache as coordenadas do ponto de intersecção das retas x = 3t r, t R e s y = t x = 3 u y = + u, u R. Resposta: (3, ) 44. Qual é a posição relativa das retas (r) x + y 4 Resposta: Paralelas = 1 e (s) x = 8t, y = 1 16t? 45. Calcule o coeficiente angular das retas: (a) x 3y + 4 = 0. (b) 5x + 1 = 3y. (c) y = 3x + 4. (d) x 5 + y = 1. (e) (f) x = 11. (g) y = 3. x = 4t y = 1 7t. (h) x + 3y = 0. (i) µ(x + 3y 1) + λ(x y + 1) = 0. (j) x cos(π/6) + y sen(π/6) = 7. A(a, b) (k) contém B(b, a). Respostas: (a) 1 3 ; (b) 5 3 ; (c) 3; (d) 5 ; (e) 7 4 ; (f) ; (g) 0; (h) 3 ; (i) λ + µ λ µ ; (j) 3; (k) 1 46. Determine a equação da reta que passa por P e tem inclinação α em relação ao eixo x nos casos seguintes: (a) P ( 1, 3) e α = π 4. (b) P (, 4) e α = π 3. (c) P ( 1, 4) e α = π. (d) P ( 1, 3) e α = arcsen 3 5. (e) P (7, ) e α = 0. (f) P ( 1, 5) e α = arctg. Resposta: (a) x y = 0; (b) 3x y ( 3 + 4) = 0; (c) x + 1 = 0; (d) 3x 4y + 15 = 0 ou 3x + 4y 9 = 0; (e) y = 0; (f) x y + 7 = 0 47. Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em P (5, )? Resposta: y = m(x 5), m R ou x 5 = 0 48. Determine a equação da reta que passa por P ( 5, ) e é paralela à reta definida por A( 1, 6 5 ) e B(3, 4 5 ). Resposta: x + y + 8 = 0 49. Determine a equação da reta u que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s, onde (r) x + y = 1, (s) x = 3t e y = + 3t e (t) 3x + 4y = 0. Resposta: (u) x y 14 = 0 50. Mostre que (r) x 7 + y 9 = 1 e (s) x 9 = y 7 são retas perpendiculares. 51. Determine p de modo que as retas (r) p x + py + = 0 e (s) 3x + (p + 1)y 7 = 0 sejam perpendiculares. Resposta: p = 1 4 5. Dentre os seguintes pares de retas, qual não é formado por retas paralelas ou perpendiculares? (a) 3x 5y + 4 = 0 e x 3 + y 5 = 1. x = 4t 1 (b) e 4x y + 7 = 0. y = 4 t (c) 3x + 4 = 0 e 5y 3 = 0. (d) x = 3 e x =. (e) (a + 1)x + (a 1)y = 0 e (a 1)x = (a + 1)y. Resposta: Nenhum 4
53. Determine a equação da reta s que contém P (3, 4) e é perpendicular à reta (r) x + 3y = 0. Resposta: (s) 3x y 1 = 0 54. Determine o ponto Q, simétrico de P ( 3, ) em relação à reta (r) x + y 1 = 0, seguindo os passos abaixo: (a) Determine a reta s que passa por P e é perpendicular a r. (b) Determine o ponto M de interseção das retas r e s. (c) Determine as coordenadas de Q, sabendo que M é ponto médio de P Q. Respostas: (a) (s) x y + 5 = 0; (b) M(, 3); (c) Q( 1, 4) 55. Em um sistema cartesiano ortogonal xoy são dados os pontos A, sobre Ox de abscissa 1, e B sobre Oy de ordenada. Calcule as coordenadas do ponto P simétrico da origem O em relação à reta AB. Resposta: P ( 8 5, 4 5 ) 56. Determine a reta s, simétrica de (r) x y + 1 = 0 em relação a (t) x + y + 4 = 0, seguindo os passos abaixo: (a) Determine o ponto R de interseção das retas r e t. (b) Escolha P r qualquer, tal que P R. (c) Determine a equação da reta u, perpendicular a t que passa por P. (d) Determine o ponto M de interseção das retas u e t. (e) Determine o ponto Q, simétrico de P em relação a t. (f) A reta s procurada é a reta RQ. Respostas: (a) ( 5 3, ); (f) (s) x 7y 3 = 0 3 57. Determine a equação da reta s simétrica da reta (r) x + y 3 = 0 em relação à bissetriz do o quadrante, isto é, à reta (t) y = x. Resposta: (s) x + y + 3 = 0 58. Escreva a equação cartesiana da reta simétrica da reta x y 4 = 0 em relação à reta 4x y + 3 = 0. Resposta: x y + 7 = 0 59. Dados os pontos A(a, 0) e B(0, b), tomemos sobre a reta AB um ponto C de modo que BC = m AB (m real positivo). Determine a equação da reta perpendicular a AB, a qual passa pelo ponto médio do segmento AC. Resposta: ax by a (1 + m) + b (1 m) = 0 60. Encontre a distância da reta r Resposta: d O,r = 17 13 x = + 3t y = 7 + t (t R) à origem. 61. Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos: (a) P ( 3, 1) e (r)3x 4y + 8 = 0. (b) P (3, ) e (r)5x 5y + = 0. (c) P (1, ) e (r) x 1 + y 5 = 1. (d) P (, 3) e (r) x = 7t 1 y = 4t + 1. (e) P ( 1, ) e (r) cos π 3 x + sen π 3 y = 5. Resposta: (a) d P,r = 3 5 ; (b) d P,r = 7 5 ; (c) d P,r = 79 13 ; (d) d P,r = 38 5 ; (e) d P,r = 11 + 3 6. Calcule a distância entre as retas cujas equações são ax + by + c = 0 e ax + by c = 0. c Resposta: d = a + b 63. Determine os pontos da reta (r) y = x que estão à distância da reta (s) 4x + 3y = 0. Resposta: ( 1, ) e (1, ) 5
64. Obtenha uma reta paralela a (r) x + y + 6 = 0 e distante do ponto C(1, 1). Resposta: x + y = 0 ou x + y 4 = 0 65. Determine a equação de uma reta que passa por P (3, 0) e dista unidades da origem. Resposta: y = (x 3) ou y = (x 3) 5 5 66. Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(a, a + 3), B(a 1, a) e C(a + 1, a + 1). 5 Resposta: 67. Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e P M, sendo M( 1, 5), N(1, 3) e P (7, 5). Resposta: S = 8 68. Dados os pontos A(1, 4), B(3, ) e C(, y), calcule y para que a área do triângulo ABC seja 10. Resposta: y = 11 ou y = 9 69. Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 6, sabendo que A = (0, ), B é a intersecção da reta (r)x y 4 = 0 com o eixo dos x e C r. Resposta: C(6, ) ou C(, ) 70. Determine a área do triângulo ABC sabendo-se que: i) A = (1, 1) e B = ( 3, ); ii) y = x 1 é a equação do lado BC; iii) o coeficiente angular da reta AC é 1. Resposta: S = 7 4 71. Obtenha uma reta que passe por P ( 4, 6) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 6, no primeiro quadrante. Resposta: 3x + 4y 1 = 0 7. Resolva graficamente as inequações: (a) x + 3y + 1 > 0. (b) 3x 4y 6 < 0. (c) x y < 0. (d) x 4y + 4 0. (e) 3x + 4y 0. (f) 5x + y 5 0. Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) 73. Determine a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: 6
(a) C(0, 0) e r = 3. (b) C(, 0) e r = 4. (c) C( 1, ) e r = 5. (d) C(, 4) e r = 1. (e) C(0, 3) e r =. ( 1 (f) C, 3 ) e r = 4. Respostas: (a) x + y = 9; (b) (x ) + y = 16; (c) (x + 1) + (y + ) = 5; (d) (x ) + (y 4) = 1; ( (e) x + (y + 3) = 4; (f) x ) 1 ( + y 3 = 16 ) 74. Qual é a equação da circunferência de centro C(1, ) que passa por P (5, 5)? Resposta: (x 1) + (y ) = 5 75. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: (a) x + y 6x + 4y 1 = 0. (b) x + y 8x + 7 = 0. (c) x + y + 8y + 6x = 0. (d) x + y 8x 6y = 0. (e) 3x + 3y 6x + 1y + 14 = 0. ( Respostas: (a) C(3, ), r = 5; (b) C(4, 0), r = 3; (c) C( 3, 4), r = 5; (d) C, 3 ), r = 5 ; (e) C(1, ), r = 1 3 76. Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência (x 3) + (y ) = 8 e é perpendicular à reta x y 16 = 0. Resposta: y = x + 5 77. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência? (a) mx + y + 4x + 6y + k = 0. (b) mx + y + x + 8y k = 0. (c) mx + y + x 4y + k = 0. Respostas: (a) m = 1, k < 13; (b) m =, k > 17 ; (c) m = 1, k < 5 78. Determine a, b, c de modo que a equação x + ay + bxy + 3x + 4y + c = 0 represente uma circunferência. Resposta: a =, b = 0, c < 5 8 79. Determine a posição de P em relação à circunferência λ nos seguintes casos: (a) P (, 1) e (λ) x + y = 9. (b) P ( 4, 5) e (λ) x + y + x + y = 0. (c) P (0, 0) e (λ) x + y 3x + πy 1 = 0. Respostas: (a) P é exterior à λ; (b) P é exterior à λ; (c) P é interior à λ 80. Determine p de modo que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência de equação x + y x y p = 0. Resposta: < p < 98 81. Calcule a distância do centro da circunferência x + y + 5x 7y 1 = 0 à reta 4x + 3y = 0. Resposta: d = 1 10 8. Dadas a reta (r) 3x + y + 17 = 0 e a circunferência (λ) x + y + 6x + 8y + 1 = 0, pede-se: (a) a posição relativa de r e λ. (b) a interseção de r com λ. Respostas: (a) secantes; (b) ( 1, 7) e ( 5, 1) 83. Determine os pontos P e Q onde a circunferência x + y 5x + 4y + 4 = 0 encontra o eixo dos x. Resposta: P (1, 0) e Q(4, 0) 84. Quais são as equações das retas paralelas ao eixo dos x e tangentes à circunferência (x 1) + (y ) = 9? Resposta: y = 1 e y = 5 7
85. Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x + y + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + y 1 = 0. Resposta: y = x + 86. Obtenha a equação da circunferência de centro C(, 1) e que tangencia a reta de equação 4x + 3y = 0. Resposta: (x + ) + (y 1) = 1 87. Escreva as equações das retas tangentes à circunferência x + y 8x 8y + 4 = 0, paralelas à reta y = x. Resposta: x y + 4 = 0 e x y 4 = 0 88. Obtenha uma circunferência, cujo centro está no eixo dos x, sabendo que é tangente às retas x + y 3 = 0 e x y 1 = 0. Resposta: (x ) + y = 1 8