UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DISCIPLINA: ECONOMIA DA ENGENHARIA I PROFESSOR JORGE JUNIOR E.MAIL: JJUNIORSAN@CEUNES.UFES.BR Apostila integralmente baseada no trabalho da Prof. Drª MÁRCIA REBELO DA SILVA (uso apenas para acompanhamento em sala de Aula, Todos os direitos autorais reservados à autora) AMORTIZAÇÃO Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos basicamente são desenvolvidos para operações de longo prazo - mais de três anos -, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. Uma característica destes sistemas de amortização que serão estudados, é a utilização do critério de juros compostos, na qual os juros incidirão exclusivamente sobre o saldo devedor - montante - apurado em período imediatamente anterior. 5.1 - Definições a) Mutuante ou credor: quem concede o empréstimo
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 2 b) Mutuário ou devedor: quem recebe o empréstimo c) Taxa de juros: é a taxa de juros contrada entre as partes. Dependendo das condições adotadas pode-se referir ao custo efetivo do empréstimo ou não. d) IOF: é o imposto sobre operações financeiras. e) Prazo de utilização: é o intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. Se o empréstimo for transferido em uma só parcela, este prazo é dito unitário. f) Prazo de Carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, somente é pago os juros. g) Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal - capital emprestado. h) Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. i) Prestação: corresponde a soma de amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um dado período. j) Planilha (ou Plano): quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao empréstimo, ou seja, cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos. k) Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com prazo de amortização. l) Saldo devedor: corresponde ao estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de tempo. m) Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações. 5.2- Classificação das Modalidades de Amortização
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 3 Qualquer um dos sistemas de amortização pode ou não ter prazo de carência. O sistema americano sempre tem carência, o principal é devolvido em uma única vez. Os juros podem ser pagos ou capitalizados durante o prazo de carência, dependendo do acordo de financiamento. Os sistemas de amortização são os seguintes: a) Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês) As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período. Neste sistema as prestações são continuamente decrescentes. b) Sistema Francês de Amortização - SF As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal; e a dívida fica completamente saldada na última prestação. Este sistema, acrescida de certas peculiaridades de cálculo, é também conhecido como Sistema Price. c) Sistema Americano - SA Após certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por "sinking fund" na literatura americana e, na brasileira por "fundo de amortização". d) Sistema de Amortização Variável - SAV
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 4 O empréstimo é pago em parcelas iguais e periódicas que incluem juros antecipados e amortizações imediatas. 5.3 - Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês) Por este sistema o credor exige devolução do principal em "n" parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização. Ex. 1: Uma indústria pega emprestado $ 200.000,00 que são entregues no ato. Sabendo-se que o empréstimo deve ser pago dentro do prazo de dois anos em prestações semestrais pelo sistema de amortização constante sem carência e que nesta operação a uma taxa de juros cobrada foi de 10% a.s., construir a planilha financeira para esta operação. Solução: Am k = A / n Am k : Amortização do período k A : Valor Emprestado n : Número de Prestações k : Período k SAC Am k = Am k = 1 = Am k = 2 = = Am k = n Am k = $ 200.000,00 Am k = $ 50.000,00 /sem 4 Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior. J k = (i) (SD k - 1 ) J : Juros do período k i : Taxa de Juros SD k -1 : Saldo Devedor do período anterior ao período k
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 5 J k = 1 = (i) (SD k = 0 ) J k = 1 = (0,10) (200.000,00) = $ 20.000,00 J k = 2 = (i) (SD k = 1 ) J k = 2 = (0,10) (150.000,00) = $ 15.000,00 J k = 3 = (i) (SD k = 2 ) J k = 3 = (0,10) (100.000,00) = $ 10.000,00 A prestação será: R k : R k = Am k + J k Pretação do período k R k = 1 = Am k = 1 + J k = 1 R k = 1 = $ 20.000,00 + $ 50.000,00 = $ 70.000,00 R k = 2 = Am k = 2 + J k = 2 R k = 2 = $ 15.000,00 + $ 50.000,00 = $ 65.000,00 R k = 3 = Am k = 3 + J k = 3 R k = 3 = $ 15.000,00 + $ 50.000,00 = $ 65.000,00 SD k = (SD k -1 ) (Am k ) SD k : Saldo Devedor do período k SD k = 1 = (SD k = 0 ) (Am k =1 ) SD k = 1 = 200.000,00 50.000,00 = $ 150.000,00 SD k = 2 = (SD k = 1 ) (Am k =2 ) SD k = 2 = 150.000,00 50.000,00 = $ 100.000,00 SD k = 3 = (SD k = 2) (Am k =3 ) SD k = 3 = 100.000,00 50.000,00 = $ 50.000,00
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 6 Plano de Amortização: Sem. Amortização. Juros. ( J k ) Prestação Saldo Devedor (k) (Am k ) (R k ) (SD k ) 0 200.000,00 1 50.000,00 20.000,00 70.000,00 150.000,00 2 50.000,00 15.000,00 65.000,00 100.000,00 3 50.000,00 10.000,00 60.000,00 50.000,00 4 50.000,00 5.000,00 55.000,00 - Total 200.000,00 6.4- Sistema Francês - SF O sistema francês de amortização é amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, onde as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Em outras palavras, se equivalem ao modelo básico de uma anuidade. Será admitido que a taxa de juros seja referida ao período de amortização (a menos que seja dito o contrário). A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i R k = Am k + J k J k = (i) SD k 1 Ex. 2: Uma firma pega emprestado em uma instituição financeira $ 300.000,00, que são entregues no ato, sem prazo de carência, Sabendo que a instituição utiliza o sistema francês de amortização; a taxa contratada foi de 15% a.a; e a
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 7 instituição quer a devolução em cinco prestações anuais, construir o plano de amortização. Solução: O principal é devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas => Modelo Básico de uma Anuidade. Valor Emprestado = A = $ 300.000,00 A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i 300.000,00 = R a 5 15% = R [1 (1 + 0,15) 5 ] 0,15 300.000,00 = R (3,35216) J k =1 = (i) SD k =0 R = $ 89.494,67/ano J k = 1 = (0,15) (300.000,00) = $ 45.000,00 R k = Am k + J k Am k = R k J k Am k = 1 = 89.494,67 45.000,00 = $ 44.494,67 SD k = 1 = SD k =0 Am k = 1 SD k = 1 = 300.000,00 44.494,67 = $ 255.505,33 J k = 2 = (0,15) (255.505,67) = $ 38.325,80,00 Am k = 2 = 89.494,67 38.325,80 = $ 51.168,87 SD k = 2 = 255.505,33 51.168,87 = $ 204.336,46 J k = 3 = (0,15) (204.336,47) = $ 30.650,47 Am k = 3 = 89.494,67 30.650,47 = $ 58.844,20 SD k = 3 = 204.336,46 58.844,20 = $ 145.492,26
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 8 Plano de Amortização: Anos Amortização Juros (15%) Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) 0 300.000,00 1 44.494,67 45.000,00 89.494,67 255.505,33 2 51.168,87 38.325,80 89.494,67 204.336,46 3 58.844,20 30.650,47 89.494,67 145.492,26 4 67.670,83 21.823,84 89.494,67 77.821,43 5 77.821,43* 11.673,21 89.494,64* Total 300.000,00 147.473,32 447.473,32 Nota: (*) Como o SD k = 5 tem que ser zero, portanto, fizemos um pequeno ajuste nos períodos com *. A diferença é devido ao arredondamento dos valores. 6.4.1- Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização - Planilha calculada com Taxa Efetiva Para a resolução da planilha nestas condições se refere ao modelo genérico de anuidade correspondente. Para se calcular as prestações admiti-se que o prazo total do financiamento seje dividido em n períodos e que a taxa de juros i seje referida a estes períodos. Tendo-se um principal P e m amortizações (m < n), para o cálculo das prestações, deve ser determinado a taxa de juros efetiva i' correspondente ao período a que se refere a amortização. A prestação então será: R = (P) / (a m i' )
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 9 A construção da planilha é o mesmo procedimento já visto para o sistema financeiro. Ex. 3: Foi emprestado a importância de $ 250.000,00 para uma empresa a qual deve fazer a amortização em 5 parcelas trimestrais pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 24% a.s. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, construir a planilha. Solução: A = $ 250.000,00 A taxa é 24% a.s., e a amortização é ao trimestre (1 + i t ) 2 = (1 + i s ) (1 + i t ) 2 = (1 + 0,24) i t = 1,24 1/2 1 A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i 5 parcelas trimestrais sem carência i t = 11,36% a.t. 250.000,00 = R k a 5 11,36%= = R [1 (1 + 0,1136) 5 ] R k = $ 68.256,22 0,1136 J k = (i) (SD k 1 ) J k = 1 = (i) (SD k = 0 ) J k = 1 = (0,1136) (250.000,00) = $ 28.400,00 Am k = R k J k Am k = 1 = R k J k = 1 Am k = 1 = 68.256,22 28.400,00 = $ 39.856,22 SD k = 1 = SD k = 0 Am k = 1 SD k = SD k - 1 Am k SD k = 1 = 250.000,00 39.856,22 = $ 210.143,78 J k = 2 = (i) (SD k = 1 ) J k = 2 = (0,1136) (210.143,78) = $ 23.872,33 Am k = 2 = R k J k = 2 Am k = 2 = 68.256,22 23.872,33 = $ 44.383,89
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 10 SD k = 2 = SD k = 1 Am k = 2 SD k = 2 = 210.143,78 44.383,89 = $ 165.759,89 Plano de Amortização: Trim. Amortização Juros:11,36% Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) 0 250.000,00 1 39.856,22 28.400,00 68.256,22 210.143,78 2 44.383,89 23.872,33 68.256,22 165.759,89 3 49.425,90 18.830,32 68.256,22 116.333,99 4 55.040,68 13.215,54 68.256,22 61.293,31 5 61.293,31* 6.962,92 68.256,23* Total 250.000,00 91.281,11 341.281,11 (*) Ajuste 6.4.2- Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização Sistema Price O Sistema Price também conhecido como "Tabela Price" (lê-se "praice") representa uma variante do Sistema Francês. Este sistema é fundamentalmente adotado quando os períodos das prestações (geralmente mensais) se forem menores que o da taxa de juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcional simples e não o da taxa equivalente composta de juros. Ex. 4: O Banco de Desenvolvimento emprestou para as Industrias Kroll $ 100.000,00 que foram entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 11 taxa de juros cobrada pelo banco é de 36% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em oito parcelas mensais, construir a plano de amortização. Solução: i = 36% a.a. Tabela Price 8 parcelas mensais Taxa proporcional mensal 36%/12 = 3% a.m. A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i 100.000,00 = R k a 8 3% R k = $ 14.245,64 J k = (i) SD k -1 J k = 1 = (i) SD k = 0 = (0,03) (100.000,00) = $ 3.000,00 Am k = R k J k Am k = 1 = R k = 1 J k = 1 Am k = 1 = 14.245,64 3.000,00 = $ 11.245,64 SD k = SD k Am k SD k = 1 = SD k = 0 Am k = 1 SD k = 1 = 100.000,00 11.245,64 = $ 88.754,36 J k = 2 = (i) SD k = 1 J k = 2 = (0,03) (88.754,36) = $ 2.662,63 Am k = 2 = R k J k = 2 Am k = 2 = 14.245,64 2.662,63 = $ 11.583,01 SD k = 2 = SD k = 1 Am k = 2 SD k = 2 = 88.754,36 11.583,01 = $ 77.171,35
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 12 Plano de Amortização: Mês (K) Amortização (Am k ) Juros: 3% (J k ) Prestação (R k ) Saldo Devedor (SD k ) 0 100.000,00 1 11.245,64 3.000,00 14.245,64 88.754,36 2 11.583,01 2.662,63 14.245,64 77.171,35 3 11.930,50 2.315,14 14.245,64 65.240,85 4 12.288,41 1.957,23 14.245,64 52.952,44 5 12.657,07 1.588,57 14.245,64 40.295,37 6 13.036,78 1.208,86 14.245,64 27.258,59 7 13.427,88 817,76 14.245,64 13.830,71 8 13.830,71* 414,92 14.245,63* Total 100.000,00 13.965,11 113.965,11 (*) Ajuste 5.5- Sistema Americano - SA Este sistema é pouco difundido no mercado brasileiro mas muito adotado internacionalmente, estipula que o mutuário deve devolver o capital emprestado em uma só parcela ao final do período contratado. De acordo com a característica básica do Sistema Americano não é previsto amortizações intermediárias durante o empréstimo. Os juros geralmente são pagos periodicamente.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 13 Ex. 5: Supondo que são tomados emprestados $ 50.000,00, que devem ser amortizados pelo Sistema Americano ao final do 3 o. ano, e que os juros são pagos semestralmente à taxa de 15% a.s, elabore a planilha financeira. Solução: P = $ 50.000,00 Carência = 3 anos = 6 sem. i = 15% a.s. J k = (i) SD k J k = 1 = (0,15) (50.000,00) = $ 7.500,00 J k = 1 = J k = 2 = = J k = 6 Am k =1 = = Am k = 5 = 0 R k = Am k + J k R k = 1 = 0 + 7.500,00 = $ 7.500,00 R k = 1 = R k = 2 = = R k = 5 SD k = SD k - 1 A k SD k = 1 = 50.000,00 0 = $ 50.000,00 SD k = 1 = SD k = 2 = = SD k = 5 Am k = 6 = 50.000,00 R k = 6 = Am k = 6 + J k = 6 = 50.000,00 + 7.500,00 = 57.500,00
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 14 Plano de Amortização: Sem. Amortização Juros Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) 0 50.000,00 1 7.500,00 7.500,00 50.000,00 2 7.500,00 7.500,00 50.000,00 3 7.500,00 7.500,00 50.000,00 4 7.500,00 7.500,00 50.000,00 5 7.500,00 7.500,00 50.000,00 6 50.000,00 7.500,00 57.500,00 Total 50.000,00 45.000,00 95.000,00 Ex. 6: Mesmo exemplo do ítem anterior, mas em que se admite a capitalização dos juros durante a carência. P = $ 50.000,00 Carência = 3 anos = 6 sem. i = 15%a.s. Solução: J k = (i) SD k - 1 SD k = P (1 + i) n = k SD k = 1 = 50.000,00 (1 + 0,15) = $ 57.500,00 SD k = 2 = 50.000,00 (1 + 0,15) 2 = $ 66.125,00 R k =1 = R k =2 = = R k =5 = 0 R k = 6 = SD k = 6 = 50.000,00 (1 + 0,15) 6 = $ 115.653,04 J k = 6 = R k = 6 Am k = 6 = 115.653,04 50.000,00 = $ 65.653,04 Ou: J k = 6 = P [(1 + i) n = k 1]
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 15 J k = 6 = 50.000,00 [(1 + 0,15) 6 1] = $ 65.653,04 Plano de Amortização: Sem. (K) Amortização (Am k ) Juros (J k ) Prestação (R k ) Saldo Devedor (SD k ) 0 50.000,00 1 57.500,00 2 66.125,00 3 76.043,75 4 87.450,31 5 100.567,86 6 50.000,00 65.653,04 115.653,04 Total 50.000,00 65.653,04 115.653,04