Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 ula 0 Trigonometria Introdução termo trigonometria significa, em uma tradução literal, medidas de um triângulo. Mais especificamente, a trigonometria estuda relações envolvendo ângulos e razões dos lados de triângulos semelhantes. Historicamente as primeiras relações trigonométricas já eram conhecidas pelos egípcios e babilônicos em 1600.C., aproimadamente. Na antiguidade, muitos avanços na trigonometria se devem principalmente as aplicações em astronomia (ver [1], [], [] e [4]): ristarco (10-0.C.), desenvolveu um consistente método para estimar o raio da lua e do sol bem como de suas distâncias relativas a terra. Eratóstenes (76-194.C.), por sua vez, calculou uma das mais famosas estimativas para o perímetro da circunferência da terra e seu raio. Para isso, comparou posições relativas de sombras eatamente ao meio dia do solstício de verão em duas cidades: Siene e leandria. ssim, obteve que o ângulo α da figura abaio era cerca de 1/50 do circulo. R α leandria α Siene Sabendo que a distância entre as duas cidades era cerca de 95 Km, estimou que o perímetro da terra seria de cerca de 95 50 = 46.50 km, sendo que o valor correto é de 40.075 km. astrônomo grego Hiparco (180-15.C.) é considerado o pai da trigonometria devido as suas importantes contribuições. ele é atribuído a construção da primeira tabela trigonométrica e também uma das primeiras referências a utilizar a medida do ângulo em graus (sistema seagesimal). 1 CEDER J
Trigonometria Cláudio Ptolomeu foi o autor do mais celebre tratado de astronomia (e trigonometria) da antiguidade: almagesto. Não há registros precisos da época em que viveu Ptolomeu, mas seus trabalhos provavelmente foram realizados no século II. almagesto apresenta o sistema geocêntrico, ou seja terra como centro do universo. Essa teoria persistiu até a idade média, sendo posteriormente substituída pela teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico (147-154). gora que já discutimos um pouco da história da trigonometria, vamos apresentar os primeiros conceitos trigonométricos. Para isso iniciaremos discutindo o conceito básico de ângulo e o sistema seagesimal (unidade de grau). Em seguida, apresentaremos as principais relações trigonométricas em um triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, etc, bem como as principais relações fundamentais entre esses elementos. Ângulos - Medidas Ângulo Vamos considerar um ângulo ÔP como originário da rotação da semireta da posição inicial (P.I.) à posição terminal P (P.T.) P.T. P P.I. P.T. P P.I. ângulo ÔP é positivo se o sentido da rotação indicado é anti-horário e negativo se o sentido da rotação é horário. CEDER J
Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 Medida de ângulo e arcos Sistema seagesimal (unidade graus) Definição: Ângulo de 1 grau denotado por 1 é o ângulo 1 90 grau admite dois submúltiplos: do ângulo reto. minuto denotado por e definido por 1 = 1 60 do grau; segundo denotado por e definido por 1 = 1 60 Sistema circular (unidade radiano) 1 do minuto = do segundo. 600 Definição: Um radiano é o ângulo central que subtende na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao raio. Notação: 1rd B B arco B 1 rd B comprimento do arco B ÔB = 1 rd se B = R Se α é um ângulo em radianos que intercepta na circunferência um arco de comprimento l, temos: B R α B= l Ângulo central Comprimento do arco 1 rd R α rd l Logo, l = αr. Conversão ângulo de uma volta em torno de uma circunferência em graus é 60. Vamos encontrar este ângulo em radianos. CEDER J
Trigonometria Sabemos que o comprimento de uma circunferência é πr. Daí, α = πr R α = π. Portanto a relação entre os sistemas é: Eercícios resolvidos 1. Eprimir 10 em radianos. 60 π. 60 π 10 = 10 π 60 = π Resposta: π rd.. Eprimir 60 15 em radianos. (Considere π =, 14) ( ) 15 60 15 = 60 + = 60, 5 60 Resposta: 1, 05rd. 60 π 60, 5 = 60, 5 π 60 = 1, 05. Eprimir 1 rd em graus. (Considere π =, 14) 60 π 1 } = 60 π = 180, 14 1800 0 14 00 57 19 9 10 60 610 980 154 60 940 960 14 Temos que 1 rd é, aproimadamente, 57 19 9. CEDER J 4
Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 4. Calcular, em graus, o ângulo conveo formado pelos ponteiros de um relógio que marca h 4min. : Note que em 1h (60 ) o ponteiro pequeno percorre um ângulo de: 60 1 = 0. Ponteiro pequeno tempo 0 60 a 4 a = 0 4 60 Este ângulo é o que determina o ponteiro das horas. = 1 9 a 8 b 4 7 6 5 Daí o ângulo conveo pedido é: b = 0 5 + 6 = 150 + 1 = 16 = b a = 16 1 = 141 5. Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 1h e 0min. : Ponteiro pequeno tempo 0 60 a 0 a = 0 0 60 = 10 1 a 1 b 4 5 6 Temos que a + b = 4 0 = 10 b = 10 10 = 110. Resposta: 110. 5 CEDER J
Trigonometria Eercícios propostos 1. Eprimir 0 15 para radianos. (Considere π =, 14). Transformar 1 em radianos.. char três ângulos, em graus, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 1, a do segundo com o terceiro é 9 e a soma do primeiro com o terceiro é π 6 rd. 4. Quantos graus mede, aproimadamente, um arco de 0, 105 rd? 5. Converter π em graus. (Considere π =, 14) 6. Mostre que o ângulo que o ponteiro das horas descreve, em graus, é a metade do número que marca os minutos. 7. Encontre o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às h 15min. 8. Encontre o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 10min. 9. ponteiro dos minutos mede 10 cm. Determine o comprimento do arco. Determine o comprimento do arco quando a sua etremidade descreve 1 minutos. 10. que horas, da noite, os ponteiros de um relógio coincidem entre os números 8 e 9 do mostrador? Gabarito 1. 0, 5 rd. 0, 09 rd. 4 ; 8 ; 1. 4. 6 5. 6 1 7. 0 8. 145 9. 1,56 cm 10. 0h 4min 7, segundos. CEDER J 6
Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 Funções trigonométricas de um ângulo agudo Seja um triângulo retângulo BC de lados a, b e c Considere as seguintes notações: C seno sen b a cosseno cos tangente tg secante sec c B cossecante csc cotangente cotg sen B = b a cos B = c a tg B = b c = = cateto oposto hipotenusa = cateto adjacente hipotenusa cateto oposto cateto adjacente cotg B = c b sec B = a c = = cateto adjacente cateto oposto hipotenusa cateto adjacente csc B = a b = hipotenusa cateto oposto partir das definições anteriores, é imediato que: sen Ĉ = c a = cos B cotg Ĉ = b c = tg B cosĉ = b a = sen B sec Ĉ = a b = csc B tg Ĉ = c b = cotg B csc Ĉ = a c = sec B Sendo B + Ĉ = 90 (ângulos complementares) e as funções associadas em cada relação chamadas de co-funções. Então co-funções de ângulos complementares são iguais Relações fundamentais Seja um ângulo agudo. De acordo com as definições das funções, podemos verificar que: I) sen + cos = 1 II) tg = sen cos III) cotg = 1 tg = cos sen IV) sec = 1 cos V) csc = 1 sen { uiliares: sec = 1 + tg csc = 1 + cotg 7 CEDER J
Trigonometria Valores notáveis sen 45, cos 45, tg 45 Considere um triângulo retângulo isósceles de catetos l C l 45 l l então l será a medida da hipotenusa pois ( BC ) = l + l BC = l. ssim, a) sen B = C BC = b) cos B = B BC = 45 B l l = 1 sen 45 =. l l = 1 cos 45 = c) tg B = C B = l l = 1 tg 45 = 1. sen 60, cos 60, tg 60. Considere um triângulo equilátero de lado l, então l da altura pois C será a medida (C) = (M) + (MC) 0 ssim: (MC) = l l 4 = l 4 MC = l l 60 60 M l l l B a) sen  = MC l BC = l sen 60 =. b) cosâ = M l C = l cos 60 = 1. c) tg  = MC l M = l tg 60 =. CEDER J 8
Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 sen 0, cos 0, tg 0 No triângulo MC do item anterior vem: a) sen 0 = M l C = l sen 0 = 1. b) cos 0 = MC l C = l c) tg 0 = M MC = l l cos 0 =. = 1 tg 0 = Logo temos o seguinte quadro de valores:. sen cos tg 0 1 45 60 1 1 Eercícios resolvidos 1. Duas rodovias e B encontram-se em, formando um ângulo de 0. Na rodovia eiste um posto de gasolina que dista 5 km de. Determine a distância do posto de gasolina à rodovia B. : rod B d 0 posto 5 sen 0 = d 5 d = 5 1 Resposta:, 5 km rod =, 5 km 9 CEDER J
Trigonometria. Nas figuras, calcular h e d. D h 0 60 40 m B d C : BCD tg 60 = h d h = d CD tg 0 = h 40 + d h = (40 + d) d = (40 + d) d = 0 m e h = 0 m. Resposta: d = 0 m e h = 0 m. Sabendo que tg = 5 1 ( agudo), calcular sen. : Sabemos que 1 + tg = sec 1 + 5 144 = sec sec = 169 144 cos = 1 1 Usando a F.F. sen + cos = 1 temos sec = 1 1 sen + 144 169 = 1 sen = 5 169 sen = 5 1 4. Simplificar a epressão y = cos a sen a 1 + sen a cosa : y = (cosa sen a)(cos a + cosa sen a + sen a) 1 + sen a cosa (cosa sen a)(1 + cos a sen a) y = = cosa sen a 1 + sen a cos a y = cos a sen a CEDER J 40
Trigonometria MÓDUL 1 - UL 0 Eercícios propostos 1. Considere o triângulo retângulo BC com as dimensões a = 7, 5 m, b = 4, 5 m e c = 6 m. Calcular o valor de tg. C b a c B. Uma pessoa de 1, 70 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo α. Conhecendo a distância a do observador até árvore, determine a altura da árvore.. Na figura, determine h, sendo dados α, β e d. h α β d 4. Sendo o centro da circunferência de raio unitário, determine o valor de. C 15 B 5. Sendo sen = a + b e csc = a b, mostre que o triângulo BC, de c c lados a, b e c é retângulo. 6. Seja a função f, definida por f() = sen + cos + cotg + csc tg sec, kπ, k Z. ( π Determine o valor de f ) 7. Para que valores de m as raízes da equação 4 + ( m) + m = 0 são a tangente e a cotangente de um mesmo ângulo. 41 CEDER J
Trigonometria 8. Simplificar a epressão sen a sen b y = cos a cosb + cosa + cosb sen a + sen b 9. Duas crianças brincam em uma gangorra cuja tábua tem m de comprimento. Quando a gangorra toca o chão forma com ele uma ângulo de 0. Determine a altura que se eleva a criança que está na outra etremidade. 10. Determine o valor de sen + sen + sen5 +... 4 Gabarito 1. 0, 75. 1, 70 + a tg α. h = 4. 0, 5 6. 7. d tg α tg β tg β tg α 8. 0 9. 10. sen 1 + cos Referências 1. Boyer, C. B., História da Matemática, o edição, Editora Edgard Blücher Ltda, 1974.. Lima, E.L.. Meu professor de matematica e outras histórias, a Edição, Publicação SBM, 1997.. Wikipedia, enciclopedia livre, http://pt.wikipedia.org 4. Lobo da Costa,N. M. História da Trigonometria. Educação Matemática em Revista - Revista da SBEM (Sociedade Brasileira de Educação Matemática) - no 10, São Paulo, p. 60-69, 01 mar. 00. CEDER J 4
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 ula 1 Funções Trigonométricas Introdução Na seção anterior estudamos as relações trigonométricas que envolvem os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Nosso objetivo é estender estas relações para definir as funções trigonométricas para qualquer número real, e não apenas ângulos de 0 a 90 graus. Para isso utilizaremos o importante conceito de radiano apresentado na seção anterior. No conteto histórico, as funções trigonométricas como definiremos a seguir surgiram como evolução de diversos resultados. Entre eles podemos destacar os trabalhos de François Viéte (1540-160) e principalmente de Leonhard Euler (1707-178) em um dos seus mais importantes tratados: Introductio in analysin infinitorum(1748). Para definirmos as funções trigonométricas, inicialmente apresentamos o ciclo trigonométrico e as determinações positivas e negativas de uma arco. idéia central é que as funções trigonométricas serão definidas a partir de uma outra função que associa a cada número real um ponto sobre o ciclo trigonométrico. Feito isso, na seção seguinte, definiremos as funções seno, co-seno, tangente, etc. Ciclo trigonométrico - determinações Ciclo Trigonométrico Chamamos de ciclo trigonométrico a uma circunferência de raio unitário na qual fiamos um ponto () como origem dos arcos e a adotamos o sentido anti-horário como positivo. + r = 1 (origem) rco Trigonométrico Chamamos de arco trigonométrico P ao conjunto dos infinitos arcos de origem e etremidade P. Esses arcos são obtidos, partindo-se da origem e girando em qualquer sentido (positivo ou negativo) até a etremidade P, seja na primeira passagem ou após várias voltas completas no ciclo trigonométrico. 4 CEDER J
Funções Trigonométricas nalogamente, chamamos de ângulo trignométrico P ao conjunto dos infinitos ângulos de lado inicial e lado terminal P. P Conjunto das determinações de um arco Seja P um ponto qualquer de um ciclo trigonométrico de origem. medida do arco P, de origem e etremidade P é, por convenção: a) Positivo se o sentido do percursso de para P for o anti-horário. b) Negativo se o sentido de percursso de para P for horário. P P(60 ) P( 00 ) 60 60 60 ponto P é etremidade de infinitos arcos de origem e a medida de cada um deles é chamada determinação. medida α 0 do arco P, tal que 0 α 0 < π é chamada primeira determinação positiva do arco. P(α 0 ) Primeira determinação positiva dicionando à primeira medida o número π, que equivale a percorrer uma volta do sentido anti-horário, obtém-se o número α 0 +π que é a segunda determinação positiva de P. P(α 0 + π) CEDER J 44 Segunda determinação positiva
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 dicionando à primeira determinação o número π = 4π, que equivale a percorrer duas voltas no sentido anti-horário, obtém-se o número α 0 + 4π que é a terceira determinação positiva do arco P, e assim por diante. P(α 0 + 4π) Terceira determinação positiva Subtraindo da primeira determinação positiva o número π, que equivale a percorrer uma volta no sentido horário, obtém-se α 0 π que é a primeira determinação negativa do arco P. (α 0 π) P Primeira determinação negativa Subtraindo da primeira determinação positiva o número π = 4π, que equivale a percorrer duas voltas no sentido horário, obtém-se α 0 4π que é a segunda determinação negativa e assim por diante. P s infinitas determinações dos arcos de origem e etremidade P são: Determinações positivas Determinações negativas primeira α 0 α 0 1 π segunda α 0 + 1 π α 0 π terceira α 0 + π α 0 π quarta α 0 + π α 0 4 π... Todas essas determinações são do tipo α o +n π, com n Z, e portanto o conjundo das determinações do arco trigonométrico P é: {α R α = α o + n π, n Z} 45 CEDER J
Funções Trigonométricas bservações a) Se a medida dos arcos for epressa em graus, devemos escrever α = α o + n 60, n Z. b) número α o, utilizado no conjunto das determinações pode ser o valor de uma qualquer das determinações. É costume, porém, escolher o valor da 1 a determinação positiva ou negativa. c) cada ponto P estão associados infinitos números reais, mas a cada número real está associado um único P. Se a e b são duas determinações quaisquer, do conjunto das determinações, determinar a relação entre a e b. : a = α 0 + n 1 π a b = π(n 1 n ), n 1 Z, n Z b = α 0 + n π a b = πn ou a b = 60, n Z Def. Dois arcos a e b são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma etremidade, isto é, diferem entre si por um número inteiro de voltas na circunferência. Se a e b são côngruos então: a b = kπ, k Z ou a b = 60k, k Z. Eercícios resolvidos 1. Determinar o conjunto das determinações dos arcos de origem e etremidade B assinalados na figura. 7π 6 { R = 7π6 + n π, n Z } P. Calcule a primeira determinação positiva (α 0 ) dos seguintes arcos: a) 160 b) 15π c) 810 d) 97π 11 7 a) 160 60 180 4 b) 15π 11 π 11 15π 11 5 α 0 = 180 α 0 = 15π 11 c) 810 60 90 d) 97π 7 1π 7 6 α 0 = 60 90 = 70 α 0 = π 1π 7 = π 7 α 0 = 70 α 0 = π 7 14π 7 CEDER J 46
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1. Calcular a a determinação positiva do arco 1910. 1910 60 1 a det. positiva α 0 = 110 110 5 Como a a det. positiva é α 0 + 60 vem 110 + 70 = 80. 4. Calcular a 4 a determinação negativa do arco 810. 810 60 1 a det. positiva α 0 = 90 90 4 a det. negativa é α 0 4 60 90 1440 = 150. Eercícios Propostos 1. Calcular a 1 a determinação positiva dos arcos. a) 160 b) 140 c) 00. Determine a 1 a determinação negativa do arco 7π.. Escrever o conjunto das determinações do arco P. P a) b) = P c) d) P P 4. Escrever em uma única epressão, o conjunto dos arcos assinalados, com etremidade P e Q, conforme o caso: a) P b) 0 π 4 P Q Q 5. Sabendo que π e +π são dois arcos côngruos. Determine o menor valor positivo de. 47 CEDER J
Funções Trigonométricas Gabarito 1) a) 190 b) 10 c) 140 ) 5π ) a) πn, n Z b) πn + π, n Z c) πn + π, n Z d) πn + π, n Z 4) a) V = { R = kπ + π } 6, k Z b) V = { R = kπ + π } 4, k Z 5) π Funções Trigonométricas Introdução Consideremos, no ciclo trigonométrico de origem, um sistema cartesiano ortogonal XY conforme mostra a figura (1). s pontos (1, 0), B(0, 1), ( 1, 0) e B (0, 1) dividem o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes. Quando dizemos que um arco P pertence ao quadrante, por eemplo, queremos dizer que a etremidade P pertence ao segundo quadrante. y B B Figura 1 B B B B primeiro quadrante segundo quadrante terceiro quadrante quarto quadrante B B CEDER J 48
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 Definição da função seno seno de um arco trigonométrico P de etremidade P é a ordenada do ponto P. Representa-se: sen P= N y sen P N P cada número real corresponde um único ponto P, etremidade do arco P de medida. cada ponto P, por sua vez, corresponde uma única ordenada chamada seno de. função de R em R que a cada número real associa a ordenada do ponto P é, por definição, a função seno. Em símbolo f : R R tal que f() = sen() = N N P sen M bservação definição acima é coerente com aquela no triângulo retângulo. De fato, se 0 < < π então P I quadrante e além disso P = 1 (raio) e MP = N. ssim no triângulo MP retângulo em M, temos: sen = cat. oposto hipotenusa sen = MP P sen = MP 1 sen = N N P M 49 CEDER J
Funções Trigonométricas Variação da função seno Enquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horário, o número real varia de 0 a π e o seno de varia de 1 a 1. bserve, na tabela a seguir, as várias situações possíveis. Posição do ponto P Medida do arco em graus Medida do arco em radianos Seno de Propriedade No ciclo trigonométrico P = 0 = 0 sen = 0 = P = N P 1 Q 0 < < 90 0 < < π 0 < sen < 1 seno é crescente no 1 quadrante N P P = N P B = 90 = π sen = 1 Valor máimo P Q 90 < < 180 π < < π 0 < sen < 1 seno é decrescente P N P = = 180 = π P sen = 0 = N P Q 180 < < 70 π < < π 1 < sen < 0 seno é decrescente P N P = B = 70 = π sen = 1 Valor mínimo P = N P 4 Q 70 < < 60 π < < π 1 < sen < 0 seno é crescente N P CEDER J 50
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 Gráfico Note que sen = sen(±π), pois e ±π são as medidas de arcos de mesma etremidade e de acordo com a tabela do item anterior, concluimos que o gráfico da função f : R R tal que f() = sen é: 1 π π π π 4π 1 e o conjunto imagem é {y R 1 y 1} Note que 1 sen 0 = sen90 sen 0 = sen(0 + 60 ) = sen 90 = 1 Propriedades seno é: Do que foi apresentado anteriormente podemos concluir que a função a) positiva no 1 e quadrantes; negativo no e 4 quadrantes 100 00 40 00 sen 40 > 0 sen 00 < 0 sen 100 > 0 sen 00 < 0 b) crescente nos 1 e 4 quadrantes e decrescente nos e quadrantes. c) Ímpar pois sen( ) = sen 60 60 d) Periódica de período π. 51 CEDER J
Funções Trigonométricas Eercícios Propostos 1. Calcule: a) sen 0 b) sen 0 c) sen 45 d) sen 60 e) sen 90 f) sen 10 g) sen 150 h) sen 180. Calcular o valor de: a) sen 40 b) sen 750 Gabarito 1. a) 0 b) 1 c) d) e) 1 f) g) 1 h) 0. a) b) 1 Função Co-seno Definição co-seno de um arco trigonométrico P de etremidade P, é a abscissa do ponto P. Representa-se cos P= M P M cada número real corresponde um único ponto P, etremidade do arco P de medida. cada ponto P, por sua vez, corresponde uma única abscissa chamada co-seno de. função de R em R que a cada número real associa a abscissa do ponto P é, por definição, a função co-seno. Em símbolo f : R R tal que f() = cos() = M P M CEDER J 5 bs. definição dada é coerente com aquela apresentada no triângulo retângulo. De fato, se 0 < < π então P pertence ao 1 quadrante e além disso P = 1 (raio).
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 ssim, no triângulo MP retângulo em M, temos: cos = cat. adjacente hipotenusa cos = M P cos = M 1 cos = M P M Variação da função co-seno Enquanto o ponto P percorre a primeira volta no sentido anti-horário, o número real varia de 0 a π e o co-seno de varia de 1 a 1. bserve, na tabela a seguir as várias situações possíveis. Posição do ponto P Medida do arco em graus Medida do arco em radianos Co-seno de Propriedade No ciclo trigonométrico P = 0 = 0 cos = 1 Valor máimo = P = M P 1 Q 0 < < 90 0 < < π 0 < cos < 1 co-seno é decrescente no 1 quadrante P M P P B = 90 = π cos = 0 = M P Q 90 < < 180 π < < π 1 < cos < 0 co-seno é decrescente no Q P M P = = 180 = π cos = 1 Valor mínimo M = P P Q 180 < < 70 π < < π 1 < cos < 0 co-seno é crescente no Q M P P = B = 70 = π cos = 0 = M P P 4 Q 70 < < 60 π < < π 0 < cos < 1 co-seno é crescente no 4 Q M P 5 CEDER J
Funções Trigonométricas Gráfico Note que cos = cos( ± π), pois e ± π são as medidas de arcos de mesma etremidade, e de acordo com a tabela anterior, concluimos que o gráfico da função f : R R tal que f() = cos() é: 1 1 π π π 5π 7π π π 4π e o conjunto imagem é {y R 1 y 1} Note que 10 60 1 1 cos 10 = cos(60 + 10 ) = cos 480 = cos 60 = 1 Propriedades Do que foi apresentado, podemos concluir que a função co-seno é: a) Positiva no primeiro e quarto quadrantes. Negativa no segundo e terceiro quadrantes. 110 50 cos 50 > 0 sen 110 < 0 cos 0 < 0 sen 10 > 0 0 10 b) Crescente no terceiro e quarto quadrantes. Decrescente no primeiro e segundo quadrantes. 40 c) Par, pois cos( ) = cos cos( 40 ) = cos 40 40 d) Periódica de período π CEDER J 54
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 Eercícios Propostos 1. Calcule a) cos 0 b) cos 0 c) cos 45 d) cos 90 e) cos 10 f) cos 150 g) cos 180. Calcule o valor de: a) cos 780 b) cos 100 Gabarito 1. a) 1 b) c) d) 0 e) 1 f) g) 1. a) 1 b) 1 Função Tangente Definição Consideremos um arco P com P B e P D e seja T a interseção da reta P com o eio das tangentes T. Por definição tg P= T B P T C D função tangente é tal que f : R {kπ + π }, k Z R y = tg = T bserve que o ponto P, numa volta completa no ciclo trigonométrico, faz o valor da tangente (T) tender a + ( ou a ) quando o ponto P se aproima de B ou D (onde a tangente não eiste). cada meia volta verificamos que todos os valores da tangente se repetem. 55 CEDER J
Funções Trigonométricas Conseqüências Da definição da função y = tg decorre que: Domínio D(f) = R {kπ + π }, k Z Imagem Im(f) = R Variação da função tangente = 0 P T 0 < < 90 T = 90 P B P tg = 0 90 < < 180 tg > 0 = 180 tg 180 < < 70 T P T tg < 0 tg = 0 P tg > 0 70 < < 60 = 60 P T P tg P tg < 0 T tg = 0 Gráfico π π π π π π π 5π Propriedades período da função tangente é π. função y = tg é ímpar tg( ) = tg. função y = tg é crescente no intervalo CEDER J 56 kπ π < < kπ + π, k Z.
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 Sinais tangente de um arco é positiva no 1 e quadrantes e negativa no e 4 quadrantes. Eercícios resolvidos 1. Completar o quadro abaio: tg 0 0 45 60 90 180 70 60 tg 0 0 0 45 1 60 90 180 0 70 60 0. Determinar o conjunto verdade da equação tg =, no intervalo 0 60 : 60 40 tg = = 60 ou = 40, 0 60 V = {60, 40 } 57 CEDERJ
Funções Trigonométricas. Se tg = 4 e π < < π, determine o valor de cos sen. Seja o triângulo retângulo temos: 5 4 tg = 4, sen = 5 e cos = 4 5 Tomando π < < π, teremos: tg = 4, sen = 5 e cos = 4 5. ( Portanto cos sen = 4 ) ( ) = 1 5 5 5. Eercícios propostos 1. Determine o conjunto verdade da equação tg 1 = 0 no intervalo 0 π.. Determine o conjunto verdade da equação sen +cos = 0, no intervalo [4, π].. Se 0 < α < π e sen α = a. Determine tg(π α). 4. Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido ( varia com o tempo conforme a epressão P(t) = 50 +50 sen t π ), t > 0. Determine o instante t que corresponde ao valor mínimo da pressão. Gabarito { π 1. V = 4, π 4, 5π 4, 7π 4 { 7π. V = 4, 11π } 4 }. a 1 a 4. π CEDER J 58
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1 Funções co-tangente, secante e co-secante estudo das funções co-tangente, secante e co-secante pode ser feito a partir das três funções já estudadas (seno, co-seno e tangente). Função co-tangente Sabemos que cotg = 1 tg. Podemos concluir que a função y = cotg = f(), tem D(f) = R {kπ, k Z} pois a função co-tangente não eiste quando a função tangente é zero (tg = 0 = kπ, k Z) Im(f) = R, pois a função tangente tem imagem igual a R. período da função co-tangente é π. função y = cotg é ímpar, cotg( ) = cotg. Sinais co-tangente de um arco é positiva no 1 e quadrantes e negativa no e 4 quadrantes. Função secante Sabemos que sec = 1 cos. Podemos concluir que a função f() = y = sec, tem D(f) = R {kπ + π }, k Z pois a função secante não eiste quando a função co-seno é zero (cos = 0 = π + kπ, k Z) Im(f) = {y R y 1 ou y 1}, pois a função co-seno tem imagem com valores 1 y 1. período da função secante é π. função y = sec é par, sec( ) = sec. Sinais secante de um arco é positiva no 1 e 4 quadrantes e negativa no e quadrantes. 59 CEDER J
Funções Trigonométricas Função co-secante Sabemos que csc = 1 sen. Podemos concluir que a função f() = y = csc, tem: D(f) = R {kπ, k Z} pois a função co-secante não eiste quando a função seno é zero (sen = 0 = kπ, k Z) Im(f) = {y R y 1 ou y 1}, pois a função seno tem imagem com valores 1 y 1. período da função co-secante é π. função y = csc é ímpar, csc( ) = csc. Sinais co-tangente de um arco é positiva no 1 e quadrantes e negativa no e 4 quadrantes. Eercícios resolvidos 1. Resolver a equação sec =, [0, π]. sec = sec = 1 cos 1 cos = cos = 1 π { π Para 0 π, temos V =, 5π 5π }.. Se = π, calcular o valor da epressão 6 E = sec + cotg + csc() E = sec π 6 + cotg π 6 + csc π 6 = sec π 6 + cotg π + csc π 1 = cos π + 1 tg π + 1 sen π = + 1 6 CEDER J 60
Funções Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 1. Se cos = 7 e π sen = 1 cos = 1 < < π. Determine o valor de cotg. ( 7 como π < < π então sen = 7 =. 7 ) = 1 7 9 = 9 sen = ±, 4. Resolver a inequação sen 0 para 0 π. sen 0 sen. π π e, daí, cotg = cos sen = Para 0 π, temos: V = { R π π }. Eercícios propostos 1. Se π < < π e sen = 6, determine o valor de sec. 5. Resolver a inequação cos + 1 < 0, para 0 π.. Para que valores de, 0 π, a função f() = campo dos números reais? 4. Resolver a inequação tg 1, para 0 π. 1 sen eiste no Gabarito 1. 5. V = { R. 0 < < π 4. π < < 4π π 4 < π ou 5π 4 < π. } 61 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL ula Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante Relações Fundamentais Introdução s identidades trigonométricas estabelecem relações de igualdade entre as funções trigonométricas. través destas identidades é possível, por eemplo, simplificar epressões. Já estudamos as relações fundamentais para triângulo retângulo. Vamos agora estudar as relações fundamentais no círculo trigonométrico. Relações Fundamentais envolvendo seno,co-seno e tangente Teorema 1 Para todo R, vale a relação sen + cos = 1 Prova y a) Se kπ, k Z temos o triângulo retângulo P 1 P, usando o teorema de Pitágoras vem: P 1 P P 1 + P1 P = P cos + sen = 1 b) Se = kπ, k Z, podemos verificar diretamente Se = 0 sen + cos = 0 + 1 = 1 Se = π sen + cos = 1 + 0 = 1 Se = π sen + cos = 0 + ( 1) = 1 Se = π sen + cos = ( 1) + 0 = 1 Logo vale a relação sen + cos = 1. 6 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante Teorema Para todo R, kπ + π, k Z, vale a relação tg = sen cos Prova a) Se kπ, k Z temos P T T = P 1P P 1 T P 1 P tg 1 = sen cos tg = sen cos P 1 Vale a relação em qualquer quadrante que estiver. b) Se = kπ, k Z, temos tg = 0 = sen cos Relações Fundamentais envolvendo cotangente, secante, cossecante 1. Dado um número real, kπ, k Z, seja M sua imagem no círculo trigonométrico. Consideremos a reta M e seja C sua interseção com o eio d da figura. B C M d ' Denominamos cotangente de e indicamos por cotg a medida algébrica do segmento BC. Denominamos cossecante de e indicamos por csc a medida algébrica do segmento C.. Dado um número real, kπ + π, k Z, seja M sua imagem no círculo trigonométrico. Consideremos a reta l que passa pelos pontos e T da figura. M T l Seja T a interseção da reta l com M. Denominamos secante de e indicamos por sec a medida algébrica de T. CEDER J 64
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Teorema Para todo R, kπ, k Z, vale a relação y Prova cotg = cos sen a) Se kπ + π, k Z temos B M 1 C d M BC M 1 M BC B = M 1M M 1 cotg 1 = cos sen Vale a relação em qualquer quadrante que estiver. b) Se = kπ + π cos, k Z, temos cotg = 0 = sen Teorema 4 Para todo R, kπ + π, k Z, vale a relação Prova sec = 1 cos a) Se kπ, k Z temos y M M 1 T M 1 M T M T = M 1 1 sec = cos 1 sec = 1 cos Vale a relação em qualquer quadrante que estiver. b) Se = kπ, k Z, temos que sec = 1 = cos (k par) ou sec = 1 = cos (k ímpar). Logo, sec = 1 cos. Teorema 5 B C Para todo R, kπ, k Z, vale a relação csc = 1 sen M 1 M 65 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante Prova a) Se kπ + π, k Z temos M 1 M BC C M = B M 1 csc 1 = 1 sen csc = 1 sen Vale a relação em qualquer quadrante que estiver. b) Se = kπ+ π 1, k Z temos csc = sen (k ímpar) = 1 (k par), csc = 1 sen = 1 Corolário Para todo R, kπ, valem as relações: Prova cotg = cos sen = 1 sen cos cotg = 1 tg tg + 1 = sec 1 + cotg = csc cos 1 = 1 + tg sen = = 1 tg tg 1 + tg tg + 1 = sen cos + 1 = sen + cos cos 1 + cotg = 1 + cos sen = sen + cos sen cos = 1 sec = 1 tg + 1 sen = cos sen cos = cos tg = = 1 cos = sec = 1 sen = csc 1 1 + tg tg = tg 1 + tg Eercícios resolvidos 1. Sabendo que sen = 5 e π < < π, calcular as demais funções circulares de. π < < π cos < 0 CEDER J 66
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Temos cos = 1 sen = 1 9 5 = 4 5 tg = sen cos = 5 4 5 cotg = cos sen = 4 sec = 1 cos = 1 4 5 csc = 1 sen = 1 5 = 4 = 5 4 = 5. Sabendo que tg = 4 e π < < π, calcular as demais funções circulares de. cotg = 1 tg = 1 = 4 4 Já que π < < π sec < 0 sec = 1 + tg = cos = 1 sec = 4 5 sen = tg cos = 4 csc = 1 sen = 5 1 + 9 16 = 5 4 ( 4 ) = 5 5. Sabendo que csc =, calcular o valor da epressão y = sen + tg csc = 1 sen sen = sen = 4 18 Então cos = 1 sen = 1 4 18 = 14 18 tg = y = 4 18 + 7 = 4 18 + 4 7 = 8 + 7 16 4 18 14 18 = 100 16 = 50 5 4. Calcular m de modo que sen = m + 1 e cos = 4m + 1. = 4 14 = 7 sen + cos = 1 (m + 1) + (4m + 1) = 1 0m + 1m + 1 = 0 m = 1 ± 144 80 40 m = 1 ou m = 1 10 67 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante 5. Dado que sen cos = k, calcular o valor de y = sen 4 + cos 4 e z = sen 6 + cos 6. Como a + b = (a + b) ab temos: y = (sen ) + (cos ) = (sen + cos ) sen cos = 1 k Como a + b = (a + b)(a ab + b ) temos z = (sen ) + (cos ) = (sen + cos )(sen 4 sen cos + cos 4 ) z = sen 4 + cos 4 sen cos = y k = 1 k k Logo z = 1 k Eercícios propostos 1. Sabendo que sen = 7 5 e π < < π tg cos y = (1 + cos )(1 cos )., calcular o valor da epressão. Sendo cos = 1 m + 1 m e sen =, determinar m. m. Sendo tg a = 1 csc a sen a, calcular y = sen a cosa. 4. Se 5 sec tg = 1, calcular cos. 5. Se sen + cos = m e sen cos = n, obter uma relação entre m e n, independente de. Gabarito 1. 5 7. m = ou m = 1. y = 4 4. cos = 1 5. m = 1 + n CEDER J 68
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Identidades Definição Sejam f e g duas funções de domínios D 1 e D, respectivamente. Dizemos que f é idêntica a g, e indicamos f g, se e somente se f() = g(), em que ambas as funções estão definidas. f g f() = g(), D 1 D. Eistem basicamente três processos para provar a identidade de f g. Conforme a dificuldade da demonstração escolhemos o método mais adequado entre os seguintes. 1 ) Partimos de um dos membros (geralmente o mais complicado) da identidade e o transformamos no outro. ) Transformamos o 1 membro (f) e, separadamente, o membro (g), chegando com ambos a mesma epressão (h). ) Construimos a função h = f g e provamos que h 0. Eercícios resolvidos 1. Provar que tg + cotg = sec csc. : Vamos aplicar o 1 método. tg +cotg = sen cos +cos sen = sen + cos sen cos = 1 1 sen cos tg + cotg = sec csc = sec csc. Provar que (1 cos )(1 + tg ) = tg. (1 cos )(1 + tg ) = sen sec = sen. Provar que (sen + cos ) = sec csc + 1 1 cos = tg (sen + cos) = sen + sen cos + cos = 1 + sen cos sec csc + 1 = 1 Logo, (sen + cos) = 1 cos sen sec csc + 1. + 1 = sen cos + 1 69 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante Eercícios propostos 1. Provar que a) (1 sen )(1 + cotg ) = cotg b) (csc cotg )(sec tg ) cos sen c) sen 4 cos 4 = sen cos = tg + cotg Redução ao 1 quadrante Introdução Dado um ângulo no círculo[ trigonométrico é sempre possível fazê-lo corresponder a outro no intervalo 0, π ]. Desse modo, funções trigonométricas são calculadas para qualquer valor, reduzindo o ângulo dado ao 1 quadrante. Ângulo no quadrante Vamos, por eemplo, calcular sen 150. Inicialmente, marcamos o ângulo de 150 no círculo trigonométrico, determinando o arco B. y B M 150 α C Pela etremidade B do arco, traçamos uma paralela ao eio, obtendo C. ângulo α é o correspondente a 150 no 1 quadrante. Como o ângulo α é o suplementar de 150, então α = 180 150 α = 0 Logo, sen 0 = sen 150 = M 1 = sen 150. Note que se o ângulo α é o correspondente ao ângulo no 1 quadrante então sen(180 α) = sen α. CEDER J 70
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Ângulo no quadrante Vamos, agora, calcular cos 40. Inicialmente, marcamos o ângulo α = 40 no círculo trigonométrico, determinando o arco B. y 40 B Prolongando o raio B, encontramos C e determinamos o correspondente de 40 no 1 quadrante. y C β 40 B Como o ângulo β é o eplementar de 40, então β = 40 180 = 60. Considere a figura Temos que MC M B pois B = C ângulo de 90 nos dois triângulos (caso especial) M ÔB = MÔC. y 40 M B C 60 M Daí cos 40 = cos 60 = 1. Note que qualquer ângulo no quadrante temos que cos(180 + β) = cos β onde β é o correspondente do ângulo dado no 1 quadrante. 71 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante Ângulo no 4 quadrante Vamos calcular tg 0. Inicialmente, marcamos o ângulo α = 0 no círculo trigonométrico, determinando o arco B. y 0 B Pela etremidade B do arco, traçamos uma paralela ao eio y, obtendo C. ângulo β é o correspondente de 0 na igualdade. y 0 β C Como β é o replementar de 0 então β = 60 0 = 0. Considere a figura y Temos que T T pois ângulo de 90 nos dois triângulos (L) 0 C T 0 TÔ = ÔT B T comum Então T = T. Logo, tg 0 = tg 0 = 1. Note que para qualquer ângulo no 4 quadrante temos que tg α = tg(60 α), onde α é o correspondente do ângulo dado no 1 quadrante. CEDER J 7
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Resumindo: Quadrante do ângulo Ângulo corresponde na 1 a volta Procedimento suplementar a 180 eplementar a 180 4 replementar a 60 Eercícios resolvidos 1. Calcular a) sen 15 b) cos 15 c) tg 15 Como 15 quadrante, vamos calcular o suplemento de 15 α = 180 15 = 45 No quadrante o cosseno e a tangente são negativos e o seno é positivo, então sen 15 = sen 45 = cos 15 = cos 45 = tg 15 = tg 45 = 1. Calcular o valor da epressão y = cos + tg 4 1 + sen, sabendo que = 7π. = 7π = 7 180 = 40 Como 40 ultrapassa a 1 a volta, vamos reduzí-lo 40 60 = 60. Substituindo o ângulo (60 ) na epressão, vem: y = cos 10 + tg 40 1 + sen 180 (1) Temos que cos 10 = cos 60, já que 10 quadrante e o cosseno é negativo. tg 40 = tg(40 180 ) = tg 60, já que 40 quadrante e a tangente é positiva. sen 180 = 0 Substituindo em (1) os valores obtidos, temos y = 1 + ( ) 1 + 0 = 5 7 CEDER J
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante ( ) π. Mostre que sen = cos. Considere um arco 1 quadrante. y B partir de, marcamos π. π y NB MC pois B C = B N NB = C M = 90 M C BÔN = CÔM ( ) π então sen = cos já que M = N. 4. Simplificar a epressão sen ( π ) cos(π ). tg( ) caso especial Vamos simplificar cada uma das funções trigonométricas da epressão, considerando 1 quadrante. sen ( π ) M y C B N C= π Temos que NB MC. ( π ) Então N = M, daí sen = cos. cos(π ) = cos, já que π quadrante tg( ) = tg(60 ) = tg, já que 60 4 quadrante. Substituindo esses valores na epressão dada vem: cos ( cos ) tg = cos sen cos = + cos sen. CEDER J 74
Relações Fundamentais e Redução ao 1 quadrante MÓDUL 1 - UL Eercícios propostos 1. Calcule: a) cos 150 c) sen 40 b) tg 10 d) csc 00. Calcule sen 190. Se cos = 5, calcular sen ( π + ). 4. Calcule = cos 0 + cos 40 + cos 60 +... + cos 180 5. Calcule o valor das epressões: a) y = sen 60 + tg 15 cotg( 45 ) + cos 10 b) y = sen 45 tg 45 cotg 45 cos 10 sec 40 csc 00 6. Simplificar a epressão: Gabarito sen(π ) cos(π ) a) y = tg(π ) cotg(π ) ( ) ( 9π b) sen cos + 15π ) sen(7π ) 1. a) b) c) d).. 5 4. = 1 5. a) 7 4 b) 4 6. a) sen cos b) cos 75 CEDER J
Transformações MÓDUL 1 - UL ula Transformações Funções Trigonométricas de arcos: soma; diferença; duplo; triplo; metade. Transformação em produto Fórmula da dição Cosseno da Soma Sejam C, D e E os pontos do ciclo associados aos números a, a + b e b, respectivamente. Em relação ao eio cartesiano XY as coordenadas desses pontos são: y D 0 B a + b C a C = (cosa, sen a) D = (cos(a + b), sen(a + b)) E = (cosb, sen b) B E b = (1, 0) s arcos D e EC têm a mesma medida, portanto, as cordas D e CE são iguais, então: d D = ( D ) + (y D y ) = [cos(a + b) 1] + [sen(a + b) 0] = cos(a + b) d EC = ( C E ) + (y C y E ) = [cosa cos b] + [sen a + sen b] = cosa cos b + sen a sen b Como d D = d EC cosacosb + sen a sen b = cos(a + b). Daí cos(a + b) = cosacosb sen a sen b. Cosseno da Diferença cos(a b) = cos(a + ( b)) = cosa cos( b) sen a sen( b) = cosacosb + sen a sen b então cos(a b) = cosacosb + sen a sen b 77 CEDER J
Transformações Seno da Soma ( π ) [( π ) ] sen(a + b) = cos (a + b) = cos a b ( π ) ( π ) = cos a cosb + sen a sen b então sen(a + b) = sen a cosb + sen b cosa Seno da Diferença sen(a b) = sen(a + ( b)) = sen a cos( b) + sen( b) cosa Como cos( b) = cosb e sen( b) = sen b então Tangente da Soma tg(a + b) = sen(a b) = sen a cosb sen b cosa. sen(a + b) cos(a + b) = sen a cosb + sen b cosa cosacosb sen a sen b Dividindo o numerador e o denominador por cosacosb 0, vem tg(a + b) = tg a + tg b 1 tg a tg b bservação: a, b e (a + b) devem ser diferentes de kπ + π, k Z. Tangente da Diferença tg(a b) = tg(a + ( b)) = Como tg( b) = tg b temos tg(a b) = tg a + tg( b) 1 tg a tg( b) tg a tg b 1 + tg a tg b bservação: a, b e (a b) devem ser diferentes de kπ + π, k Z Cálculo de cotg(a + b) cotg(a + b) = cos(a + b) sen(a + b) = cosacosb sen a sen b sen a cosb + sen b cosa Dividindo o numerador e o denominador por senasen b 0, vem: CEDER J 78 cotg(a + b) = cotg a cotg b 1 cotg a + cotg b bservação: a, b e (a + b) devem ser diferentes de kπ, k Z.
Transformações MÓDUL 1 - UL Cotangente da Diferença cotg(a b) = cotg(a + ( b)) = Como cotg( b) = cotg b temos cotg a cotg( b) 1 cotg a + cotg( b) cotg(a b) = cotg a cotg b + 1 cotg b cotg a bservação: a, b e (a b) devem ser diferentes de kπ, k Z. Eercícios Resolvidos 1. Calcular a) cos 75 b) sen 15 a) cos 75 = cos(45 + 0 ) = cos 45 cos 0 sen 45 sen 0 = = 1 6 6 = 4 4 cos 75 = 4 b) sen 15 = sen(45 0 ) = sen 45 cos 0 sen 0 cos 45 = 1 6 = 4. Calcular cos(a + b), sendo dado sen a = 5 e cosb = 1, sendo que a quadrante e b quadrante. 1 ) Cálculo de cosa ) Cálculo de sen b ) Cálculo de cos(a + b) cos a = 1 sen a = 4 5 sen b = 1 cos b = cos(a + b) = cos a cosb sen a sen b = 4 5 = + 4 15 6 15 = 4 6 15 ( 1 ) ( 5 ) ( ) 79 CEDER J
Transformações. Sabendo que tg a = e sen b = 4 5 com b 4 quadrante. Calcular tg(a + b). 1 ) cosb = + 1 sen b = + 5 ) tg b = 4 5 + 5 ) tg(a + b) = = 4 Eercícios Propostos 1. Determine o valor de: tg a + tg b 1 tg a tg b = 4 1 ( ) = 6 4 17 a) sen 75 b) cos 15 c) tg 15. Calcular y = sen 105 cos 75. Calcular sen, sabendo-se que +y = π 4 e sen y = 5, 1 quadrante. 4. Se tg( + y) = e tg =, determine tg y. 5. Sabendo que sen = 15 17, sen y = 5, 0 < < π e π < y < π. Calcular sen( + y), cos( + y) e tg( + y) 6. Se a e b são ângulos agudos e positivos, provar que: sen(a + b) < sen a + sen b. Gabarito 6 + 1. a) 4. y =. 10 4. 0, b) 6 + 4 c) 5. sen( + y) = 84 1, cos( + y) =, tg( + y) = 84 85 85 1 6. Demonstração CEDER J 80
Transformações MÓDUL 1 - UL rco Duplo Trata-se de obter as epressões das funções trigonométricas dos arcos da forma a. a = b. Cálculo de cos a É um caso particular das fórmulas de adição, é suficiente fazer cos a = cos(a + a) = cosacosa sen a sen b cos a = cos a sen a Cálculo de sen a cos a = cos a sen a sen a = sen(a + a) = sen a cosa + sen a cosa sen a = sen a cosa Cálculo tg a sen a = sen a cosa tg a + tg a tg a = tg(a + a) = 1 tg a tg a = tg a 1 tg a tg a = tg a a kπ + π 1 tg a,, k Z e a kπ + π 4, k Z rco Triplo Trata-se de obter as epressões das funções trigonométricas dos arcos da forma a. Cálculo de cos a Sabemos que: cos a sen a = cos a cos a = cos a 1 e sen a = sen a cosa Logo, cos a = cos(a + a) = cos a cosa sen a sen a = ( cos a 1) cosa sen a cosa = cos a cosa (1 cos a) cosa = 4cos a cosa Temos que cos a = 4 cos a cosa 81 CEDER J
Transformações Cálculo de sen a Sabemos que cos a = 1 sen a pois cos a = cos a sen a e cos a = 1 sen a. Logo, sen a = sen(a + a) = sen a cosa + sen a cos a = sen a cos a + (1 sen a) sen a = sen a(1 sen a) + (1 sen a) sen a = sen a 4 sen a Temos que: sen a = sen a 4 sen a Cálculo de tg a tg a = tg(a + a) = = tg a tg a 1 tg a Daí tg a = tg a tg a 1 tg a tg a tg a + tg a 1 tg a tg a = + tg a 1 tg a 1 tg a tg a 1 tg a a kπ + π, e a kπ + π 6 rco Metade Consiste em relacionar as funções de um arco b com as funções do arco b. Destacam-se os seguintes casos: Dado cosb, obter cos b, sen b e tg b. Cálculo de cos b Sendo cos a = cos a 1, fazendo a = b e daí a = b temos: cosb = cos b 1 cos b = ± 1 + cos b Cálculo de sen b Sendo cos a = 1 sen a, fazendo a = b e daí a = b temos: cos b = 1 sen b sen b = ± 1 cosb CEDER J 8
Transformações MÓDUL 1 - UL Cálculo de tg b tg ( b Daí tg ( b bservação: conhecer b. Dado tg ) = sen ( ) b cos ( ) b ) 1 cosb = ±, b kπ + π, k Z. 1 + cos b s sinais ± das epressões só tem sentido quando se conhece cosb, sem Cálculo de tg b ( ) b = t, obter sen b, cosb e tg b tg a = Logo, tg b = tg b 1 tg b tg a 1 tg a, fazendo a = b a = b. = t t tg b = 1 t 1 t ; b kπ + π e b kπ + π (k Z) Cálculo de sen b Sendo sen a = sen a cosa, fazendo a = b e portanto a = b, concluímos que sen b = sen b cos b ; sen b = sen b cos b ; (b kπ + π, k Z) cos b Portanto, sen b = sen b = tg b sec b = tg b 1 + tg b t 1 + t; (b kπ + π, k Z) Cálculo de cosb cos b = t 1+t t 1 t = 1 t 1 + t ; (b kπ, k Z ) 8 CEDER J
Transformações Eercícios Resolvidos 1. Calcular sen a e cos a, sendo dado cos a = 1 ) Cálculo de sen a 5, a 1 quadrante. sen a = + 1 cos a = ) Cálculo de sen a sen a = sen a cosa = 5 = 4 5 9 ) Cálculo de cos a cos a = 1 sen a = 1 4 9 = 1 8 9 = 1 9. Simplificar a epressão y = sen + sen cos + cos, kπ, k Z. y = sen 4 sen + sen cos (4 cos cos) = sen sen cos cos y = sen (1 sen ) cos(1 cos ) = sen cos cossen = cos sen y = cotg. Calcular cos, sabendo que tg = 1 e 4 quadrante. Temos tg = 1 tg = ± 1 cos 1 + cos então 1 1 cos = ± 1 + cos 4 quadrante. Mas cos = cos 1 = 4. Calcular cos 0 Temos que cos = ± 1 + cos Façamos = 0 = 45. ( ) 1 = 1 cos 1 + cos cos = 4, já que 5 ( ) 4 1 = 7 7 cos = 5 5 5. Então cos 0 = + 1 + cos 45 = + CEDER J 84
Transformações MÓDUL 1 - UL 5. Provar que sen cos + cos = sec tg De fato, sen cos + cos = sen 4 cos cos + cos = sen 4 cos cos sen = cos cos = sen cos( cos 1) sen = = sec tg cos cos ( 6. Calcular tg, sabendo-se que sen ) + cos = 1 Sabemos que sen + cos = 1 t 1 + t + 1 ( t ) 1 + t = 1, t = tg. Vem: t + 1 t = 1 + t t t = 0 t = 0 ou t = 1. Daí tg = 0 ou tg = 1 Eercícios Propostos 1. Se sen a = 4, calcular: a) sen a b) cos a 5. Se sen a cosa = 1, calcule sen a 5. Se y = +sen cos, 0 π. Determine o maior valor que y pode assumir. 4. Calcular y = sen π 1 cos π 1 + tg π + tg 14π. 5. Se tg = m e tg = m, m > 0. Determine o ângulo. 6. Se tg a = 1 7 e sen b = 1 10, calcular tg(a + b). 7. Sabendo que cos 6 = 1 + 5, determine cos 7. 4 8. Se sen cos = 0, 04, determine cotg. 9. Sabendo que sen θ = 5 e π < θ < π, calcule = 5 sen θ + 10 sen θ 10. Simplificar y = 6 + cos 4 1 cos 4 em função de tg = t. 85 CEDER J
Transformações Gabarito 1. a) sen a = ± 4 5. 4 5 7. 4. 5. 180 k + 0, k Z b) cos a = 7 5 6. 1 5 1 7. 4 8. 9 16 9. 15 + 10 10. y = 1 + t4 t Transformação em Produto problema consiste em transformar certas epressões, que aparecem soma de funções trigonométricas de um ou mais arcos, em epressões onde aparecem apenas produto de funções trigonométricas dos mesmos arcos de outros arcos com eles relacionados. Já sabemos que cos(a + b) = cos a cosb sen a sen b (i) cos(a b) = cosacosb + sen a sen b (ii) sen(a + b) = sen a cosb + sen b cosa (iii) sen(a b) = sen a cosb sen b cosa (iv) (i)+(ii) cos(a + b) + cos(a b) = cosacosb (v) (i) (ii) cos(a + b) cos(a b) = sen a sen b (vi) (iii)+(iv) sen(a + b) + sen(a b) = sen a cosb (vii) (iii) (iv) sen(a + b) sen(a b) = sen b cosa (viii) s epressões assim obtidas chamam-se Fórmulas de Reversão ou Fórmulas de Werner. CEDER J 86
Transformações MÓDUL 1 - UL Fazendo { a + b = p a b = q Das fórmulas de reversão vem: ( p + q cos p + cosq = cos ( p + q cos p cos q = sen ( p + q sen p + sen q = sen ( p + q sen p sen q = cos e resolvendo este sistema vem ) cos ) sen ) cos ) sen ( ) p q ( ) p q ( ) p q ( ) p q a = p + q b = p q (i) () (i) (ii) Temos que Daí tg p ± tg q = sen p cosp ± sen q cosq tg p + tg q = tg p tg q = De forma similar temos: = sen p cosq ± cospsen q cosp cosq sen(p + q) cospcosq sen(p q) cos p cosq sen(p + q) cotg p + cotg q = sen p sen q sen(p q) cotg p cotg q = sen p sen q (iii) (iv) (v) (vi) s fórmulas de (i) a (vi) chamam-se Fórmulas de Transformações em Produto ou Fórmulas de Prostaférese. Eercícios Resolvidos 1. Transformar em produto: sen p cos p ( π ) sen p cos p = sen p sen p = cos π ( p π ) 4 sen = ( p + π = cos p ) sen sen (p π 4 ( ( p π p) ) ) = sen ( p π ) 4 87 CEDER J
Transformações. Transformar em produto: 1 + tg a ( π 1+tg a = tg a = 4)+tg sen ( π + a) ( sen π 4 cos π = + a) ( 4 sen π = + a) 4 cosa 4 cos a cos a. Calcular o valor da epressão y = sen 7π 1 cos 5π 1. Como sen a sen b = sen(a + b) + sen(a b) y = sen 7π ( 5π 7π cos 1 1 = sen 1 + 5π ) ( 7π + sen 1 1 5π ) 1 = sen π + sen π 6 = 0 + 1 = 1 Logo, y = 1 4. Simplificar y = y = y = sen + sen 4 cos cos 4 sen + sen 4 cos cos 4 sen cos( ) sen sen( ) y = cotg 5. Determine a soma sen 75 cos 75 +4 sen cos 4 = sen +4 sen 4 = sen cos sen sen = cotg sen 75 cos 75 = sen 75 sen 15 = cos 75 + 15 = cos 45 sen 0 = 1 = Eercícios Propostos 1. Simplificar y = cos 6 + cos 4 sen 6 sen 4. Calcular y = cos 0 cos 40 cos 80. Simplificar cos(a b) cos(a b) sen a + sen b 4. Transformar em produto: y = sen + sen 5. Calcular y = cos π 1 cos 8π 1 sen 75 15 CEDER J 88
Transformações MÓDUL 1 - UL 6. Se a e b são ângulos complementares, 0 < a < π, 0 < b < π e sen a + sen b sen a sen b =, determine sen a 5 + cos b 7. Transformar em produto: y = sen sen 8. Calcular y = tg 9 tg 7 tg 6 + tg 81 Gabarito 1. y = cotg. y = 1 8. sen(a b) 4. y = sen cos ( ) + 6 5. 8 6. 7. y = sen sen 4 8. y = 4 89 CEDER J
Equações Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 4 ula 4 Equações Trigonométricas Equações Fundamentais Considere f e g duas funções trigonométricas. Resolver a equação trigonométrica f() = g() significa determinar o conjunto S, denominado conjunto solução dos números r para os quais f(r) = g(r) é uma sentença verdadeira. Quase todas as equações trigonométricas reduzem-se a uma das três equações seguintes: 1 a ) sen a = sen b a ) cos a = cosb a ) tg a = tg b denominadas, por este motivo, equações fundamentais. Equação do tipo sen α = sen β Se sen α = sen β = P 1, então as imagens de α e β no ciclo estão sobre a reta r que é perpendicular ao eio dos senos no ponto P 1, isto é, estão em P ou P. P P 1 P r ou P P 1 P r Há, portanto, duas possibilidades: 1 a ) α e β têm a mesma imagem, isto é, são côngruos. a ) α e β têm imagens simétricas em relação ao eio dos senos, isto é, são suplementares. Portanto α = β + kπ sen α = sen β ou α = π β + kπ, k Z 91 CEDER J
Equações Trigonométricas Eercícios Resolvidos 1. Resolver as seguintes equações em R. a) sen = sen π 10 b) csc = c) sen = 1 a) sen = sen π = π 10 10 + kπ ou = π π 10 + kπ Temos a solução { S = R = π } 9π + kπ ou = 10 10 + kπ, k Z b) csc = 1 sen = sen = 1 = sen 7π 6 = 7π 6 + kπ ou = π 7π 6 + kπ Daí a solução S = { R = 7π6 } + kπ ou = π6 + kπ, k Z c) sen = 1 = sen π = π + kπ = π 6 + kπ solução é { S = R = π 6 + kπ }, k Z. Determine os valores de R, que satisfazem a equação 4 sen 4 11 sen + 6 = 0. 4 sen 4 11 sen + 6 = 0 Considere sen = y, temos: 4y 11y + 6 = 0 y = 11 ± { 11 96 y = 8 Se y = sen = y = ± (Falso, já que 1 sen 1) y = sen = 4 sen = ± 4 CEDER J 9
Equações Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 4 Resolvendo sen = ±, vem: sen = sen = = kπ + sen = sen π π ou = kπ + π π = kπ π sen = sen 4π = kπ + 4π ou = kπ + π 4π = kπ π Podemos escrever então que a solução S é: S = { R = kπ ± π }, k Z Equação do Tipo cos a = cos b Se cosα = cosβ = P, então as imagens de α e β no ciclo estão sobre a reta r que é perpendicular ao eio dos cossenos no ponto P, isto é, estão em P ou P. r r P P P ou P P P Há portanto duas possibilidades: 1 a ) α e β têm a mesma imagem, isto é, são côngruos. a ) α e β têm imagens simétricas em relação ao eio dos cossenos, isto é, são replementares. Portanto α = β + kπ cosα = cosβ ou α = β + kπ, k Z 9 CEDER J
Equações Trigonométricas Eercícios Resolvidos 1. Resolver as seguintes equações em R a) cos = cos π 0 b) sec = sec π c) cos 4 = 1 a) cos = cos π 0 = kπ ± π 0 S = { R = kπ ± π } 0, k Z b) sec = sec π 1 cos = 1 cos π cos = cos π S = { R = kπ ± π }, k Z c) cos 4 = 1 4 = kπ + π = kπ + π 4 S = { R = kπ + π4 }, k Z. Resolver a equação cos = sen tg em R cos = sen tg cos = sen sen cos cos cos = sen cos cos = 1 cos cos cos + 1 = 0 cos = ± { 4 4 1 cos = Logo, = kπ. 1 S = { R = kπ, k Z} CEDER J 94
Equações Trigonométricas MÓDUL 1 - UL 4 Equação do tipo tg α = tg β Se tg α = tg β = T, então as imagens de α e β estão sobre a reta r determinada por e T, isto é, estão em P ou P. P T P ou r P P T r Há, portanto, duas possibilidades: 1 a ) α e β têm a mesma imagem, isto é, são côngruos. a ) α e β têm imagens simétricas em relação ao centro do ciclo, isto é, são eplementares. Portanto α = β + kπ tg α = tg β ou α = π + β + kπ α = β + kπ, k Z Eercícios Resolvidos 1. Resolver as seguintes equações: a) tg 5 = tg 4 b) tg = 1 c) tg 4 = a) tg 5 = tg 4 5 = 4 + kπ = kπ S = { R = kπ, k Z} b) tg = 1 = tg π 4 = π 4 + kπ = π 1 + kπ S = { R = kπ + π1 }, k Z c) tg 4 = tg 4 = tg π 4 = π + kπ = π 6 + kπ 4 S = { R = kπ4 + π6 }, k Z 95 CEDER J
Equações Trigonométricas. Resolver a equação sec = 1 + tg. sec = 1 + tg 1 + tg = 1 + tg tg tg = 0 tg (tg 1) = 0 tg = 0 ou tg = 1 S = { R = kπ ou = kπ + π } 4, k Z Soluções de uma equação dentro de um certo intervalo Quando tivermos resolvendo uma equação pertencente a um determinado intervalo I devemos fazer o seguinte procedimento: 1 ) Resolvemos normalmente a equação, não tomando conhecimento do intervalo I até obtermos a solução geral. ) btida a solução geral, atribuímos a k Z todos os valores inteiros que acarretem as soluções estarem em I. Eercícios Resolvidos 1. Determinar [0, π] tal que sen 4 = 1 sen 4 = 1, [0, π] sen 4 = sen π 6 4 = π 6 + kπ ou 4 = π π 6 + kπ = π 4 + kπ 4 ou = 5π 4 + kπ 4 Vamos calcular as soluções que pertencem ao intervalo [0, π] k = 0 1 = π 4, = 5π 4 k = 1 = 1π 4, 4 = 17π 4 k = 5 = 5π 4, 6 = 9π 4 k = 7 = 7π 4, 8 = 41π 4 k = 4 vamos achar 49π 4 e 5π 4 Estas soluções não pertencem ao intervalo fechado de 0 a π. S = { } π 4, 5π 4, 1π 4, 17π 4, 5π 4, 9π 4, 7π 4, 41π 4 CEDER J 96