COLEÇÃO DARLAN MOUTINHO VOL. 04 RESOLUÇÕES. com. voce

COLEÇÃO DARLAN MOUTINHO VOL. 04 RESOLUÇÕES e com voce

GEOMETRIA ESPACIAL RESOLUÇÃO e com voce

1 [C] 2 [D] As medidas das aress do prisma são, em centímetros, x, 2x e 4x. Daí, como sua área tol é 28cm 2, 2.(4x 2 + 2x 2 + 8x 2 ) = 28 x 2 = 1 x = 1 Logo, as aress do prisma tem medidas iguais a 1cm, 2cm e 4cm, logo a medida (d) de sua diagonal é: d = 1 2 + 2 2 + 4 2 d = 21cm Do enunciado e da figura, temos: 3 [C] 4 [D] 5 [C] Calculando a área tol do paralelepípedo, obtemos: A T = 2.(4.4 + 4.16 + 4.16) A T = 2.(16 + 64 + 64) A T = 288cm 2 V prisma = ((6.4)/2).3 = 3 = 36cm 2 V pirâmide = (1/3).b 2.4 = 36 b 2 = 27 = 3 3cm O volume V do bloco será dado por: V = 80.60.40 V = 192000cm 3 V = 192L 6 [D] Se a é a medida da res do cubo, então: a 3 = 8000 a = 3 8000 a = 20dm No triângulo ABC, (BC) 2 = 1 2 + 1 2 BC = 2 GF = BC = 2 A distância (d) percorrida pela partícula é: d = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 d = 5 + 2 2 Pornto, sbendo que o prisma e o cubo têm a mesma capacidade e a mesma altura, temos:

7 [C] ((3l 2 3)/2).20 = 8000 l 2 = 800/(3 3) l 2 = (800 3)/9 l = (20 4 12)/3 l = 12,4dm A respos é 6.(12,4/10) = 7,44 metros. Se o perímetro da base quadrada é 28cm, cada lado des base medirá 7cm. Pornto, as dimensões do paralelepípedo reto retângulo são a = 7cm, b = 7cm e c = 22cm. Calculando a área tol, temos: A T = 2.(a.b + a.c + b.c) A T = 2.(7.7 + 7.22 + 7.22) A T = 714cm 2 9 Em consequência, a respos é: 6.(1/2).10.5 39 = 150 39m 2 [B] Calculando: Área lateral de baixo = S lateral = 6.2.1 = 12m 2 Triângulo VMO : h 2 = ( 3) 2 + 2 2 h = 7 Área do telhado = S telhado = 6.((2. 7)/2) = 6 7 15,6m 2 Aress = 6.2 + 6.1 + 6.2 + 6.1 + 6.2 2 = 48 + 12 2 52,8m Custo = ((12 + 15,6).2 + 64,8.4).1,3 = 408,72 reais 8 [B] Sejam l, a e m, respectivamente, a medida da ares da base, a medida do apótema da base e a medida do apótema da pirâmide. Logo, sabendo que a ares da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência circunscri, temos: m 2 = h 2 + (l 3/2) 2 m 2 = 30 2 + (10 3/2) 2 m = 5 39m

10 [A] 12 [E] V 1 : volume do sólido 1 V 2 : volume do sólido 2 V 1 = πr 2.(a/2) + (1/2).πR 2.(a/2) V 1 = (3/4)πR 2 a 11 [C] Calculando: VEFGH = ABCD razão semelhança k = EF/BA = 4/12 = 1/3 Altura (15 - h)/15 = 1/3 45-3h = 15 h = 10 V peça = (1/3).12 2.15-4.4.10 = 560cm 3 Sejam r, l 3 e l 6, respectivamente, o raio do círculo circunscrito à base do prisma, a medida da ares da base da pirâmide e a medida da ares da base do prisma. Pornto, sabendo que r = l 6 = (l 3 3)/3 e os volumes são iguais, temos: V 2 = πr 2.(a/2) + (1/3)πR 2.(a/2) V 2 = (2/3)πR 2 a Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R e volume V 1 + V 2, temos: πr 2 h = (3/4)πR 2 a + (2/3)πR 2 a πr 2 h = (17/12)πR 2 a h = (17/12)a ((3l 62 3)/2).l 6 = (1/3).((l 32 3)/4).12 3l 63 /2 = (l 6 3) 2 l 6 = 2cm

13 [A] 14 [E] 15 [E] Seja r a medida do raio da base do cilindro. Desde que o comprimento da circunferência da base mede 31cm, temos: 31 = 2π.r r = 31/(2.3,1) r = 5cm Pornto, a respos é 3,1.5 2.20 = 1550cm 3 Desde que o volume da coroa é 4,25cm 3, temos: π(r 2 - r 2 ).4 = 4,25π R 2 - r 2 = 1,0625 Pornto, a respos é: 2.π(R 2 - r 2 ) + 2π.4(R + r) = 2π.1,0625 + 8π.4,25 = 36,125πcm 2 A respos é dada por: π.3 2.7 = 3,14.63 = 198cm 3 16 [B] Considerando r o raio da base do cilindro, h a altura do cilindro e que a área lateral do cilindro é 64π, temos: 2.π.r.h = 64.π π.h = 32 (Equação 1) Considerando, agora, que 2r é o raio da base do cone, h - 2 sua altura e o volume é 128cm 3, podemos escrever que: (1/3).π.(2r) 2.(h - 2) = 128.π r 2.(h - 2) = 96 (Equação 2) Das equações 1 e 2, temos: r 2.(h - 2) = 96 r.r.h - 2.r 2 = 96 32r - 2r 2 = 96 r 2-16r + 48 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos r = 12 ou r = 4. r = 12 h = 32/12 (não inteiro) r = 4 h = 32/4 = 8 (inteiro) Calculando, agora, a geratriz do cone: g 2 = (2r) 2 + (h - 2) 2 g 2 = 8 2 + 6 2 g = 10cm Logo sua área lateral será dada por: A L = π.2r.g = π.8.10 = 80πcm 2

17 [C] 18 [A] Do enunciado, temos: V: volume tol de água que cabe no nque π.2 2.(1/4) = (5/100)V V = 20πm 3 V = 63m 3 Considere a seguinte planificação da superfície lateral do cilindro: 19 [B] 20 [E] A área da faixa corresponde, aproximadamente, à área de um paralelogramo de base 3,14cm e altura 80cm. Daí, segue que a respos é dada por: ((3,14.80)/(20π.80)).100% = 5% Considerando o tubo de ensaio um cilindro e R o raio deste tubo após o aquecimento, podemos considerar que: V cil = π.r 2.h 2 = π.r 2.0,3 R 2 = 2/0,942 R 2 = 2,12 R = 1,5 Ou seja, o diâmetro mede aproximadamente 2.1,5 = 3cm. Considerando que é possível aproveir apenas 80% da água, o volume de água que será aproveido é dado por: V = 0,80.((π.1 2.2,5)/4) = 0,20.3,14.2,5 = 1,57m 3 = 1570L

21 [C] 22 [C] 23 [A] Calculando: h = 2m R = 2m S base = 2π.2 2 = 8π S lateral = 2π.2.2 = 8π S = 16πm 2 Bas calcularmos o volume do cone admitindo sua altura igual a 5 metros. Logo: (Área da base) x Altura πr A = = 2.5 = 3 3 3,14.4 2.5 3 = 83733,33l Seja r a medida do raio da esfera obtida após a fundição de três esferas idênticas maciças de diâmetro 2cm. Daí: (4/3)πr 3 = 3.(4/3)π.1 3 r 3 = 3 r = 3 3cm Observação: Tanto o enunciado quanto as alternativas não garantem que a medida do raio da nova esfera é dado em cm. 24 [D] 25 [E] O volume de solvente deslocado corresponde ao volume do cilindro de raio rcm e altura igual a 2.3 - (16/3) = (2/3)cm. Logo, temos: π.r 2.(2/3) = (4/3).π.3 3 r = 3 6cm Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo volumeé 500mm 3. Temos então: 500 = (4/3).π.r 3 r 3 = 375/π r 3 = (3.5 3 )/π r = 5. 3 3/πmm Sendo t o tempo em segundos que o balão leva para atingir o volume 500mm 3 nas condições dadas: 0,5mm/1s = (5. 3 3/πmm)/t t = 10.( 3 3/πmm)s

26 [E] 28 [B] V = a.b.c ab = 2 bc = 3 ac = 4 ab.bc.ac = a 2.b 2.c 2 = 2.3.4 (a.b.c) 2 = 24 V = 24 = 2 6cm 3 Calculando a área A do teto do reservatório, temos: A = (4.π.4 2 )/2 = 32.π 32.3,1 = 99,2m 2 Pornto, o valor pedido para a construção deste teto será: valor = 99,2.R$ 300 = R$ 29760,00 29 [B] Para que em cada face desse cubo exis pelo menos uma ares pinda de verde é preciso que no mínimo 3 aress estejam pindas de verde. Como o cubo possui 12 aress, o número máximo de aress desse cubo pindas de amarelo será igual a 9. 27 [C] Sabendo que 1m 3 = 1000L, podemos concluir que a respos é: 50.25.3.1000 = 3750000L

30 [B] 31 [D] Considere a planificação da superfície lateral do paralelepípedo, na qual está indicado o comprimento mínimo, AE, da corda. Pornto, sendo AA = 12 e A E = 5, pelo Teorema de Pitágoras, vem: AE 2 = AA 2 + A E 2 AE 2 = 12 2 + 5 2 AE = 13 Sejam a, b e c, respectivamente, a medida do lado da primeira, a medida do lado da segunda e a altura das caixas d água. Desse modo, vem a 2.c = 16000 e b 2.c = 25000 e, pornto, dividindo ordenadamente essas equações, encontramos: (a 2.c)/(b 2.c) = 16000/25000 a/b = 16/25 a/b = 0,8 32 [C] 33 [C] 34 [B] O hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de raio 2, logo seus lados serão iguais a 2. Assim, calcula-se: l = 2 h = 2l = 2.2 h = 4 V = (6.(l 2 3)/4).h = (6.(2 2 3/4).4 V =24 3 Calculando: V caixa = 7.10.6 = 420cm 3 V película = V caixa π.r 2.0,2 = 420 R 2 = 2100/π R = 10( 21/π)cm O raio da esfera será a mede da diagonal do cubo: R = (2a. 3)/2 = a. 3 A probabilidade será dada pela razão entre ovolume do cubo e o volume da esfera: (2.a) 3 8.a P = = 3 = 4.π.R 3 4.π.(a 3) 3 3 3 2a 3 π.a 3. 3 = 2 π. 3 = 2. 3 3.π

35 [D] 36 [A] O número tol de faces pindas das 8 peças éigual a 4.6 = 24. Dess, 2.3 = 6 são cúbicas. Logo, temos 12-6 = 6 faces cúbicas não pindas. Ademais, cada peça do tipo 2.2.3 apresen uma face 2.2 e duas faces 2.3 não pindas. Logo, as faces não pindas deste tipo tolizam 3.2.2 + 3.2.2.3 = 48m 2. Cada peça do tipo 3.3.2 apresen uma face 3.3 e duas faces 2.3 não pindas. Assim, as faces não pindas deste tipo tolizam 3.3.3 + 3.2.2.3 = 63m 2. As peças não cúbicas tolizam 6.6 = 36 faces. Pornto, como foram pindas 2.3.3 = 18 faces dess peças, segue que o número de faces não pindas é 36-18 = 18. Do enunciado, a3 = 24 Sendo V o volume de um cubode ares a/3, V = (a/3) 3 V = a 3 /3 3 V = a 3 /27 Como a 3 = 24 e V = a 3 /27, V = 24/27 V = 8/9 37 [B] dida da ares do cubo maior: x + 4 dida da ares do cubo menor: x Como a diferença entre os volumes é de 208cm 3, podemos escrever que: (x + 4) 3 - x 3 = 208 x 3 + 12x 2 + 48x + 64 - x 3 = 208 12x 2 + 48x - 144 = 0 x 2 + 4x - 12 = 0 Resolvendo a equação, temos: x = -6 ou x = 2 Pornto, a ares do cubo maior será 6cm. Considerando a área lateral da figura igual a área lateral do cubo, temos: A L = 4.6 2 = 144cm 2 38 [E] [ANULADA] Seja A C D E a face opos à face ACDE. Considerando o triângulo isósceles A E F, pela Lei dos Cossenos, vem: E F 2 = A E 2 + A F 2-2.A E.A F.cosEAF E F 2 = x 2 + x 2-2.x.x.cos150 O E F 2 = x 2 (2 + 3) Pornto, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo FE E, temos: FE 2 = E F 2 + E E 2 FE 2 = x 2 (2 + 3) + (2x) 2 FE 2 = x 2 (6 + 3) FE = x 6 + 3

39 [A] Devemos resolver esse problema em duas partes: A parte 1 que será o cálculo da área da base e a parte 2 que será o cálculo do volume da pirâmide. Parte 1: Área da base. Sendo que a base da pirâmide é um hexágono regular, este hexágono pode ser divido em seis triângulos equiláteros de lado e sua área (área da base) será a soma das áreas destes triângulos (ver figura abaixo). Para se obter a área da base, bas calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la por seis. Sendo a área do triângulo A t = (b.h)/2 onde b é base e h é altura do triângulo equilátero, pode-se obter a altura aplicando-se o teorema de Pitágoras em mede do triângulo: hip 2 = cat 2 + cat 2 2 2 = h 2 + 1 2 h 2 = 4-1 h = 3m Assim sendo a área do triângulo será dada por: A t = (b.h)/2 = (2. 3)/2 = 3m 2. A área da base da pirâmide será dada por: A b = 6. 3m 2. Sendo assim, analisando apenas um triângulo temos: Parte 2: Sendo que o volume dado pelo produto da área da base pela altura da pirâmide (h p ), teremos: Volume = (A b.h p )/3 = (6. 3.3)/3 = 6. 3m 3 Logo, área da base = 6. 3m 2 e volume = 6. 3m 3

40 [A] Calculando: 10 2 = R 2 + R 2 100 = 2R 2 R = l base = 5 2cm S base = 6.((5 2) 2. 3)/4 = 75 3cm 2 h = R = 5 2 V = (1/3).S base.h = (1/3).75 3.5 2 = 125 6cm 3 42 [B] O volume do tetraedro será a diferença entre o volume do paralelepípedo e os volumes dos quatro tetraedros trirretângulos, como segue: V = V paralelepípedo - V (EHFA) - V (GHFC) - V (DAHC) 41 [E] Se o tronco possui 12 vértices, pornto a pirâmide tem base hexagonal regular. Sendo l o lado da base menor (topo) e L o lado da base maior, pode-se escrever: V = 4.3.2 43 [A] - 1 3. V = 24-16 = 8 4.3.2 2-1 3. 4.3.2 2-1 3. 4.3.2 2-1 3. 4.3.2 2 { 6.(L + l) = 36 3( 3/2).(L 2 + l 2 ) = 30 3 { L + l = 6 L 2 + l 2 = 20 Do enunciado, temos: (L + l) 2 = 6 2 L 2 + 2.L.l + l 2 = 36 2.L.l = 16 L.l = 8 h V = 3 3.(B + B + B.B ) =. 3 ( ) l 30 3 + 6. 2. 3 L.6. 2. 3 4 4 = 30 3 + 3.36. (L.l)2 16 No triângulo BCD, (2a) 2 = x 2 + x 2 4a 2 = 2x 2 a 2 = (2x 2 )/4 V = 30 3 + 432 V = 42 3cm 3 No triângulo VOB, x 2 = h 2 + a 2 x 2 = h 2 + (2x 2 )/4 h 2 = x 2 - (2x 2 )/4 h 2 = (2x 2 )/4 h = (x 2)/2 Assim, sendo V o volume da pirâmide, V = (1/3).x2.h V = (1/3).x2.((x 2).2) V = ( 2.x3)/6

44 [C] 45 [B] Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo Teorema de Pitágoras, segue que: p 2 = 3 2 + 1 2 p = 10m = 320 Pornto, tem-se que o resuldo pedido é dado por: (1/2).200.320 6. = 320 20 2 Desde que a medida da altura de um triângulo retângulo isósceles corresponde à mede da medida da hipotenusa, segue que o resuldo é: 47 [A] No triângulo ACD, (AC) 2 = 40 2 + 40 2 (2AG) 2 = 2.40 2 4(AG) 2 = 2.40 2 Como AD = 40cm, GF = (1/2).40 GF = 20cm Assim, AG + GF = (20 2 + 20)cm AG + GF = 20(1 + 2)cm Como AG > 0, 4. (AG) 2 = 2. 40 2 2AG = 40 2 AG = 20 2cm (1/3).(1/2).6.3.10 = 30m 3 De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que: DB = DA = 7 e BA = BC = 5. Construindo o tetraedro, temos: 46 [D] Do enunciado e da figura, temos: G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento de R é dado por AG + GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD. Note que AG = (1/2)AC e GF = (1/2)AD. Pornto, a soma das aress será dada por: 3 + 5 + 6 + 7 + 7 + 5 = 33

48 [D] Como os cilindros possuem a mesma área lateral podemos escrever que: 2.π.6.H = 2.π.r.h 6 = (h/h).r 6 = 1,2.r r = 5cm (h/h) = 1,2 h = 1,2.H C A = 2.π.r 30 = 2.3.r r = 5cm C B = 2.π.r 20 = 2.3.r r = 10/3cm Calculando os volumes, temos: 49 [E] O volume do cilindro B é 240πcm 3, logo: π.5 2.h = 240.π h = 9,6cm e H = 8cm Pornto, a diferença entre os volumes será dada por: V A - V B = π.6 2.8-240.π = 48.π.cm 3 Para obter a relação entre VA e VB deve-se calcular ambos os volumes. Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (área do círculo) e sua altura. Logo, V A = (π.r 2 )x20 = (3.r 2 )x20 = 60.r 2 V B = (π.r 2 )x30 = (3.r 2 )x30 = 90.r 2 Porém, o valor do raio (r) é desconhecido e deve-se obtê-lo utilizando o comprimento da circunferência do cilindro, ou seja, sabendo que a possibilidade A possui 30cm de altura, logo, possuirá uma circunferência (C A ) de 30cm. Já a possibilidade B possui 30cm de altura, logo, possuirá uma circunferência (C B ) de 20cm. Des maneira: V A = 60.r 2 V A = 60.(5) 2 V A = 1600cm 3 V B = 90.r2 V B = 90.(10/3) 2 V B = 1000cm 3 50 [ANULADA] Questão anulada no gabarito oficial. Sejam r e h, respsctivamente, o raio e a altura do cilindro original. Assim, temos: π.(r + h) 2.h = π.r 2.(h + x) r 2 h = 2rhx + x 2 h = r 2 h + r 2 x x = (r(r - 2h))/h Daí, sabendo que x, r e h são reais positivos, temos r > 2h. Porém, nada mais pode se afirmar sobre x, a não ser que é um número real.

51 [C] 52 [C] 53 [E] 54 [D] O volume do tonel será dado por: V = (30/100).π.R 2.h, onde r é a medida do raio do tonel e h a medida de sua altura. V = (30/100).π.30 2.(600/π) = 162000cm 3 = 162L A base do cilindro foi dividida em 7 partes pelos planos perpendiculares a elas, dividindo assim o cilindro em sete sólidos. Considerando o plano paralelo às bases cada um destes 7 sólidos foi dividido em duas partes. Pornto o valor de N será: 2.7 = 14. Calculando o volume (produto entre área da base e altura) do cilindro, temos: V = π.r 2.10 V = 3,1.5 2.10 = 775m 3 V = 775000 litros Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área da base e sua altura, temos: V = (πr 2 ).25 V = 3,14.10 2.25 V = 7850cm 3 = 7850ml 55 [A] [A] A haste cabe neste modelo, pois sua diagonal mede: 5 2 + 6 2 + 7 2 = 110 > 100 = 10cm Ademais, seu espaço interno mede 5.6.7 = 210cm 3 [B] A haste não cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior mede: 7 2 + 7 2 = 98 < 100 = 10cm [C] A haste não cabe neste modelo, pois a medida de sua diagonal é: 4 2 + 4 2 + 8 2 = 96 < 100 = 10cm [D] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a: 6 2 + 8 2 = 100 = 10cm Porém, seu espaço interno corresponde a, aproximadamente: 3,14.4 2.6 = 301cm 3 > 210cm 3 [E] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a: 8 2 + 6 2 = 100 = 10cm Contudo, seu espaço interno corresponde a, aproimadamente: 3,14.3 2.8 = 226cm 3 > 210cm 3

56 [ANULADA] 57 [D] Questão anulada no gabarito oficial. Justificativa: A banca equivocou-se ao apresenr nos gráficos o volume como função do tempo e não altura como função do tempo. 59 [A] V e = (4/3).π.(2) 3.8 V e = 32π/3 V c - (1/3).π.(2 2) 2.8 V c = 64π/3 V e /V c = (32π/3)/(64π/3) = 32/64 = 1/2 Do enunciado e da figura, temos: Note que se o garoto juntou as partes menores, temos um retângulo com altura de 21cm e o comprimento da base de 30cm e assim, calculando o raio da base temos: C = 2πr 30 = 2.3.r r = 5 58 [C] Calculando o volume (produto entre área da base e altura) temos: A = A base.altura = πr 2.30 = 3.5 2.21 = 1575cm 3 Calculando: 60 [C] 2v/v = (H/1) 3 2 = H 3 H = 3 2 OM = OP = R e = 2cm OA = 8-2 = 6cm (OA) 2 = (OP) 2 + (AP) 2 36 = 4 + (AP) 2 AP = 4 2 R C = MC AMC = APO (AM/AP = MC/PO 8/4 2 = MC/2 MC = R C = 2 2 A diferença entre os volumes será dada por: V cubo - V cone = 8 3 - (1/3).π.4 2.8 = 512 - (1/3).3.128 = 384cm 3