DESENVOLVIMENTO DE UM NOVO ALGORITMO PARA ANÁLISE VISCOPLÁSTICA COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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Transcrição:

NICHOLAS CARBONE DESENVOLVIMENTO DE UM NOVO ALGORITMO PARA ANÁLISE VISCOPLÁSTICA COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO SÃO PAULO 007

NICHOLAS CARBONE DESENVOLVIMENTO DE UM NOVO ALGORITMO PARA ANÁLISE VISCOPLÁSTICA COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Dssrtação arstada a Escola Poltécca da Uvrsdad d São Paulo ara obtção do título d Mstr m Eghara SÃO PAULO 007

NICHOLAS CARBONE DESENVOLVIMENTO DE UM NOVO ALGORITMO PARA ANÁLISE VISCOPLÁSTICA COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Dssrtação arstada a Escola Poltécca da Uvrsdad d São Paulo ara obtção do título d Mstr m Eghara Ára d Coctração: Eghara d Estruturas Ortador: Prof. Doutor Marcos Aurélo Marqus Noroha SÃO PAULO 007

Est xmlar fo rvsado altrado m rlação à vrsão orgal, sob rsosabldad úca do autor com a auêca d su ortador. São Paulo 7 d agosto d 007. Assatura do autor Assatura do ortador FICHA CATALOGRÁFICA Carbo, Ncholas Dsvolvmto d um ovo algortmo ara aáls vscolástca com o método dos lmtos d cotoro / Ncholas Carbo. -- São Paulo, 007. 00. Dssrtação (Mstrado) - Escola Poltécca da Uvrsdad d São Paulo. Dartamto d Eghara d Estruturas Gotécca.. Método dos lmtos d cotoro. Aáls ão lar 3. Vscolastcdad I. Uvrsdad d São Paulo. Escola Poltécca. Dartamto d Eghara d Estruturas Gotécca II. t.

AGRADECIMENTOS Agradço rmramt a DEUS, mu amado comahro Pa, qu m cgu d força amo os momtos mas dfícs dst trabalho colocou m mha vda ssoas tão scas com mha sosa Na mha flha Luza. A mha qurda sosa Na la acêca, comrsão, ddcação aoo a st trabalho. A mha lda flha Luza la algra cotagat lo stímulo d smr sgur m frt. A mha Mã qu m roorcoou, o árduo comço dst trabalho, sua agradávl comaha aoo. Ao mu Pa lo ctvo samtos matmátcos assados ada o so fudamta. Ao mu ortador, Prof. Marcos Noroha la grad atção, cofaça o trabalho, acêca, ddcação, sobrtudo la grad amzad. Aos colgas Mullr Calb lo comahrsmo, amzad or toda ajuda o dsvolvmto dst trabalho. A Escola Poltécca da Uvrsdad d São Paulo ao dartamto d Estruturas Gotécca lo suort.

v Eu sou a vdra vrdadra, mu Pa é o Agrcultor. Todo ramo qu, stado m mm ão dr fruto, l o corta; todo aqul qu da fruto lma, ara qu roduza mas fruto ada. Vós já stas lmo las alavras qu vos tho falado; Prmac m mm, u rmacr m vós. Como o od o ramo roduzr fruto d s msmo, s ão rmacr a vdra, assm, m vós o ods dar, s ão rmacrds m mm. Eu sou a vdra, vós, os ramos. Qum rmac m mm, u, l, ss dá muto fruto; orqu sm mm ada ods fazr. S alguém ão rmacr m mm, srá laçado fora, à smlhaça do ramo, scará; o aaham, laçam o fogo o qumam. S rmacrds m mm, as mhas alavras rmacrm m vós, drds o qu qusrds, vos srá fto. Nsto é glorfcado mu Pa, m qu ds muto fruto; assm vos torars mus dscíulos. (João 5.-8)

RESUMO A busca or ovos modlos matmátcos téccas ovadoras ara aálss umércas tm sdo tma d mutas squsas. Em aálss d modlos qu ossum domíos ftos sm-ftos, o Método dos Elmtos d Cotoro (MEC) sobrssa-s como uma das mas fcts frramtas umércas. Por outro lado, m aálss ão-lars o MEC rqur a avalação d tgras d domío, dmudo as vatags d uma dscrtzação aas do cotoro do modlo aalsado. Nst trabalho arsta-s uma técca ovadora qu trata as tgras d domío, ão adquadas ara uma rrstação ura do cotoro, m aálss d modlos com matras vscolástcos. Na abordagm roosta, utlza-s um ovo algortmo d vsualzação roosto or Noroha & Prra ara dtctar as rgõs d lastfcação automatcamt. Est rocdmto d dtcção é ralzado d forma crmtal or mo d rdçõs (gradt como drção d busca) traçõs (Nwto-Rahso). Uma vz qu as rgõs sjam obtdas, tora-s ossívl trasformar as tgras d domío m tgras d cotoro d forma drta. Obtém-s assm uma abordagm basada aas a dscrtzação do cotoro dos modlos, matdo uma das rcas vatags da utlzação do MEC. Foram ralzados st trabalho algus xmlos umércos qu arstaram xclts rsultados m comaração com o Método dos Elmtos Ftos (MEF) com rsultados cotrados a ltratura.

ABSTRACT Th sarch for w mathmatcal modls ad ovatv tchqus for umrcal aalyss has b subjct of may rsarch studs. I aalyss of modls wth ft ad sm-ft domas, th Boudary Elmt Mthod (BEM) has b rovd to b o of th most ffct umrcal tools. O th othr had, olar aalyss th BEM rqurs th valuato of doma tgrals, dmshg th advatags of a dscrtzato oly of th boudary of th modl. Ths work rsts a ovatv tchqu that trats th doma tgrals, ot sutabl for ur boudary rrstatos, aalyss of modls wth vscolastc matrals. Th roosd aroach s basd o a w ost-rocssg algorthm dvlod by Noroha & Prra to dtct th lastc rgos automatcally. Th dtcto rocdur hr roosd s a crmtal tchqu that uss rdcto (alog th gradt drcto) ad trato (Nwto-Rahso) loos. Oc th lastc rgos ar foud, t bcoms ossbl to trasform th doma tgrals boudary tgrals a straghtforward mar. Th roosd aroach rsults a ur boudary dscrtzato, rsrvg th ma advatag of th BEM. Th umrcal xamls rstd ths work ar good agrmt wth th Ft Elmt Mthod (FEM) ad wth rsults foud th ltratur.

LISTA DE FIGURAS RESUMO...I ABSTRACT...II LISTA DE FIGURAS...III LISTA DE TABELAS... VI LISTA DE SÍMBOLOS... VII LISTA DE SÍMBOLOS... VII SUMÁRIO... XI. INTRODUÇÃO.... Vsão Gral.... Justfcatva...4.3 Objtvos...5.4 Orgazação do trabalho...6. MODELOS CONSTITUTIVOS...7. Modlos costtutvos báscos...8. Modlo Vscolástco d Klv-Vogt...9.3 Modlo Vscolástco d Boltzma...0.4 Modlo Elastolástco d Pradtl-Russ....5 Modlo Vscolástco (sm comortamto statâo)....6 Modlo Vscolástco (com comortamto statâo)....4

v 3. TEORIA DA ELASTICIDADE E PLASTICIDADE...6 3. Tora Lar da Elastcdad...6 3. Tora da Plastcdad...8 3.. Crtéro d Rak...0 3.. Crtéro d Trsca... 3..3 Crtéro d Vo Mss... 3..4 Crtéro d Mohr-Coulomb... 3.. Crtéro d Druckr-Pragr...4 4. FORMULAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR CLÁSSICA DO MEC...5 4. Formulação Elastostátca do MEC...5 4. Formulação vscolástca do MEC (rrstação o cotoro)...3 4.3 Formulação lastolástca do MEC (com tgras d domío)...34 4.4 Formulação Vscolástca do MEC (com tgras d domío - sm comortamto statâo)...38 5. NOVOS ALGORITMOS NÃO-LINEARES DO MEC...4 5. Formulação lastolástca do MEC (sm tgras d domío)...43 5..3 Trasformação d tgras ara o cotoro...47 5. Formulação vscolástca do MEC (sm tgras d domío)...49 5.. Tratamto ara o calculo das tsõs o Domío...55 5.3 Tratamto das forças d massa...57 6. EXEMPLOS NUMÉRICOS...59 6. Exmlo...59 6. Exmlo...65 6.3 Exmlo 3...70 6.4 Exmlo 4...74

v 7. CONCLUSÕES...78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...8 ANEXO A: ALGORITMO DE VISUALIZAÇÃO PARA O MEC...84

v LISTA DE TABELAS Tabla - Rsultados umércos do Exmlo...6 Tabla - Rsultados umércos do Exmlo....67 Tabla 3 - Rsultados umércos do Exmlo 3....7 Tabla 4 - Rsultados umércos do Exmlo 4....75

v LISTA DE SÍMBOLOS g φ ε Aclração da gravdad Âgulo d atrto tro Comots do tsor das tsõs Comots do tsor d dformação ε, ε, ε Comots das dformaçõs lástcas, vscosas lástcas, v v v rsctvamt ε, ε Comots d dformaçõs vscolástcas vscolástcas, v rsctvamt, Comots d tsõs lástcas vscosas, rsctvamt, Comots d tsõs lastolástcas vscolástcas, v & rsctvamt Comots da taxa d varação da tsão com o tmo θ λ µ, ν, θ γ Cofcts rrstatvos da vscosdad do matral Cofct d Posso λ, µ Cofcts d Lamé C Cosão c Camo d tsõs rsduas da célula c ξ, η Coordadas locas da célula tra b ˆ k u δ Comot k do vtor ormal o ó b Dslocamtos cohcdos Dlta d Krockr,m Drvadas do tsor das tsõs D, Drvada da solução fudamtal ara tsõs k m S, Drvada da Solução Fudamtal ara tsõs k m

v r ρ Dstâca tr o oto od a fot é alcada o oto corrsodt a abscssa d Gauss o lmto Dsdad d massa ε Erro F ( ) Fução d lastfcação b t Força d volum Força d surfíc t h Forças d surfíc cohcdas Fução qu df uma curva laa mlícta f (x) Fução scalar I, J Ivarats d tsão Icrmtos d tsõs lástcas v k 0 mk Icrmtos a solução dcorrt ao acréscmo dvdo à fluêca das tsõs d lastfcação Matrz d rsíduos d tsõs lástcas as drçõs xx ( k A), xy E ( k B ) yy ( k C ) Módulo d lastcdad logtudal E v, E Módulos d lastcdad dos trchos vscolástcos statâos, rsctvamt C Matrz costtutva lástca η Matrz vscosa E φ l C k H G A Módulo d lastcdad corrsodt ao acréscmo d rsstêca do matral aós o scoamto Matrz d fuçõs d trolação das varávs odas dos lmtos Matrz d cofcts qu dd da gomtra Matrz dsa ão-smétrca caractrístca do BEM Matrz dsa ão-smétrca caractrístca do BEM Matrz costtuída or lmtos d H G

x,, Matrzs d rsíduos d tsõs lástcas as drçõs xx, xy yy, xx xy yy N S f rsctvamt Númro rgõs sujtas a ão-lardads Númro d subdvsõs m cada rgão sujta a ão-lardad Nívl d um sgmto d socurva Orador gradt t Passo scalar d comrmto a drção tagcal (Axo A) t Passo o tmo x Poto d um sgmto d socurva x x f Potos lmtats d um sgmto d socurva x Potos da socurva D k Solução Fudamtal ara tsõs S k Solução Fudamtal ara tsõs x Potos d rdção u lk Solução Fudamtal rrstam os dslocamtos m qualqur oto a drção k, quado uma carga utára é alcada o oto a drção l lk 0 Solução Fudamtal rrstam as forças m qualqur oto a drção k, quado uma carga utára é alcada o oto a drção l Tsão d scoamto T D τ, 3 Tsor das tsõs Tsor das dformaçõs Tsão d csalhamto, Tsõs rcas 0 Tsor com as tsõs cas ε tol Tolrâca ara falzar o rocsso da aáls ão-lar. u x b Vtor ormal Vtor dslocamto Vtor d dslocamtos forças d surfícs dscohcdos Vtor d dslocamtos forças d surfícs cohcdos

x U, P Valors odas d dslocamto força d surfícs, rsctvamt, l l rfrts ao ó l Vtor utáro ormal ara um dado oto d uma socurva t Vtor utáro tagt ara um dado oto d uma socurva (Axo A) F Vtor com as arclas dvdo a fluêca das tsõs cas v v 0 Vtor com as cógtas m dslocamtos forças d cotoro Vtor com os rsultados d uma aáls lástca ou vscolástca

x SUMÁRIO RESUMO...I ABSTRACT...II LISTA DE FIGURAS...III LISTA DE TABELAS... VI LISTA DE TABELAS... VI LISTA DE SÍMBOLOS... VII LISTA DE SÍMBOLOS... VII SUMÁRIO... XI. INTRODUÇÃO.... Vsão Gral.... Justfcatva...4.3 Objtvos...5.4 Orgazação do trabalho...6. MODELOS CONSTITUTIVOS...7. Modlos costtutvos báscos...8. Modlo Vscolástco d Klv-Vogt...9.3 Modlo Vscolástco d Boltzma...0.4 Modlo Elastolástco d Pradtl-Russ....5 Modlo Vscolástco (sm comortamto statâo)....6 Modlo Vscolástco (com comortamto statâo)....4

x 3. TEORIA DA ELASTICIDADE E PLASTICIDADE...6 3. Tora Lar da Elastcdad...6 3. Tora da Plastcdad...8 3.. Crtéro d Rak...0 3.. Crtéro d Trsca... 3..3 Crtéro d Vo Mss... 3..4 Crtéro d Mohr-Coulomb... 3.. Crtéro d Druckr-Pragr...4 4. FORMULAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR CLÁSSICA DO MEC...5 4. Formulação Elastostátca do MEC...5 4. Formulação vscolástca do MEC (rrstação o cotoro)...3 4.3 Formulação lastolástca do MEC (com tgras d domío)...34 4.4 Formulação Vscolástca do MEC (com tgras d domío - sm comortamto statâo)...38 5. NOVOS ALGORITMOS NÃO-LINEARES DO MEC...4 5. Formulação lastolástca do MEC (sm tgras d domío)...43 5.. Algortmo d rtoro...45 5..3 Trasformação d tgras ara o cotoro...47 5. Formulação vscolástca do MEC (sm tgras d domío)...49 5.. Tratamto ara o calculo das tsõs o Domío...55 5.3 Tratamto das forças d massa...57 6. EXEMPLOS NUMÉRICOS...59 6. Exmlo...59 6. Exmlo...65 6.3 Exmlo 3...70 6.4 Exmlo 4...74 CONCLUSÕES...78

x REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...8 ALGORITMO DE VISUALIZAÇÃO PARA O MEC...84

. INTRODUÇÃO Nsta art trodutóra srão ftas arstaçõs costtuídas or vsão gral, justfcatvas, objtvos orgazação do trabalho.. Vsão Gral No camo da ghara d struturas a busca or modlos matmátcos qu rtratm o ral comortamto strutural tm sdo tma d dvrsas squsas m todo o mudo. Há ouco mas d duas décadas, quado os rcursos comutacoas ada ram scassos, o studo umérco do comortamto das struturas ra fto bascamt or mo d modlos lars. Atuat, com o grad aumto a caacdad d rocssamto dos comutadors, a rrstação d matras através d modlos ão-lars vm sdo cada vz mas xlorada, torado as smulaçõs bm mas rcsas cofávs (CRISFIELD, 99; SIMO; HUGHES, 997). Asar da aáls d modlos lars ada sr muto útl, a modlagm volvdo ftos ão-lars tora-s crucal m aálss modras d ghara. Dtr os ftos ão-lars, o comortamto vscolástco xrc um mortat al a aáls modra da ghara d struturas. Todo roblma d ghara é rsolvdo através da adoção d modlos com os quas s rtd rrstar as caractrístcas comortamtos rsts. Com o crsct dsvolvmto dssas rrstaçõs, os modlos stão smulado cada vz mlhor os roblmas ras. Na aáls d mos cotíuos, tas modlos são xrssos a forma d quaçõs dfrcas ou tgras coform as smlfcaçõs adotadas o roblma m qustão (MESQUITA, 00). Em gral o comortamto físco dos matras é flucado or város arâmtros como: tmo, tmratura, codçõs ambtas, codçõs d

carrgamto, gomtra, tc. Dvdo à comlxdad dst cojuto d arâmtros, ão s od dsvolvr uma úca l costtutva qu ossa sr alcada ara qualqur matral (MULLER, 004). Dtr os métodos umércos usados m aálss d ghara dstaca-s o Método dos Elmtos d Cotoro (MEC), basado m formulaçõs d quaçõs tgras d roblmas d valors d cotoro dsvolvda or matmátcos famosos como Frdho Voltrra (BEER; WATSON, 995). Os roblmas com ão-lardad dos matras foram troduzdos o MEC a década d 70 vêm crscdo cotuamt, arstado um rco camo d squsa m xasão com város assutos alcaçõs a srm xlorados. É vdt qu sss métodos s dsvolvm m arallo com os avaços comutacoas, caso cotráro os msmos ão sram vávs (BEER, 00). O MEC s arsta mas arorado ara aálss d modlos domíos ftos sm-ftos. Além dsso, dvdo à aturza das fuçõs odradoras, st método é mas dcado ara modlar rgõs com coctraçõs d tsão fluxo. Cotudo, o MEC s mostra dsvatajoso m aálss d struturas d cascas rtculadas (MESQUITA, 00). A smulação com o MEC rqur a dscrtzação aas do cotoro do modlo também ossblta o acolamto com outros métodos umércos (Fgura.), mmzado rcursos comutacoas tmo d modlagm. Fgura. - Dscrtzação do cotoro do modlo. Exst um úmro rlatvamt grad d rfrêcas bblográfcas ara aálss d matras vscolástcos utlzado-s o Método dos Elmtos Ftos

3 (MEF). Porém, ada há oucos trabalhos sobr aáls vscolástca com o MEC, torado o assuto um mortat tma d squsa (MACKERLE, 00). O rcal dsvolvmto dst trabalho cosst m um ovo algortmo ara aálss vscolástcas com o MEC. Est ovo algortmo trata as tgras d domíos rsts as formulaçõs até hoj arstadas, mas adquadas ara uma rrstação ura do cotoro do modlo. Assm, com a abordagm roosta ara aálss vscolástcas, o MEC é utlzado m sua forma mas vatajosa, utlzado aas com tgras d cotoro. O rsultado dst trabalho srá cororado a um rojto maor (Fgura.) qu vrsa sobr o dsvolvmto d uma lataforma comutacoal basada a Programação Ortada a Objto (POO), utlzado a lguagm d rogramação Java (NORONHA, 00). Esta lataforma utlza as mas ovas téccas d rogramação como: Ufd Procss (UP), Dsg Pattrs (DP), Ufd Modlg Laguag (UML) Rfactorg (AMMERAAL, 998), (BOOCH, 994) (MARCHIORI, 00). Fgura. - Projto tgrado d mlmtação gérca do MEC com trfac gráfca.

4. Justfcatva As aálss d modlos com matras vscolástcos arstam-s cada vz mas mortats m rojtos d ghara. Nst caso, o MEC arsta grads vatags sobr outros métodos, os sts tos d aálss a cosdração d mos ftos ou sm-ftos é frqüt. Uma das rcas vatags do MEC é a facldad d aalsar roblmas comlxos dscrtzado aas o cotoro do modlo. Porém, ara as atuas formulaçõs vscolástcas sta vatagm é aulada dvdo à xstêca d tgras d domío. Essas tgras d domío ão aumtam o tamaho do sstma a sr rsolvdo, o tato, xgm qu o domío sja dscrtzado or uma malha auxlar formada or células tras. Algortmos mas modros d aáls vscolástca com o MEC ossbltam a dscrtzação d aas art do domío. Aqu, dfrtmt do MEF, a malha d células tras ão rqur cotudad, ou sja, os lmtos ão rcsam cssaramt sr coctados los sus ós. Nst trabalho é arstado um ovo algortmo ara aáls vscolástca com o MEC qu trasforma as tgras d domío m tgras d cotoro. Ess algortmo é fudamtado or uma técca d vsualzação roosta or PEREIRA & NORONHA (PEREIRA; NORONHA, 003) também lo algortmo ão-lar roosto or MULLER (MULLER, 004). O trabalho m cojuto com outros squsadors também é um dos ts qu justfca a mortâca do assuto do rojto. Etr ls, dstaca-s a cooração com o rojto sobr Modlagm d Tús com o MEC, do Prof. Grot Br, Áustra. Esta cooração tm sdo mortat ara dar ao trabalho uma caractrístca comlmtar d squsa alcada, além d tr ossbltado ao autor dst trabalho um gaho sgfcatvo d xrêca cohcmto sobr os assutos abordados sta squsa.

5.3 Objtvos Os rcas objtvos dst trabalho são: Dsvolvmto d um ovo algortmo ara o MEC cosdrado matras vscolástcos sm a cssdad d dscrtzaçõs d domío; Imlmtação comutacoal do algortmo dsvolvdo a lataforma comutacoal basada a Programação Ortada a Objto (POO), utlzado a lguagm d rogramação Java; Comaração dos rsultados obtdos com os do MEF com outros rsultados cotrados a ltratura; Valdação do algortmo roosto arstação d rsultados d dvrsos xmlos lustrado sua rcsão; Itgração com os outros trabalhos d squsa coordados lo Prof. Marcos Noroha, os quas stão drtamt volvdos sta squsa; Itgração com o dartamto d struturas (IFB) da Uvrsdad Tcológca d Graz (TU-Graz), Áustra, coordado lo Prof. Grot Br; Dvulgação dos rsultados obtdos m ublcação d artgos arstação da squsa m cogrssos; Avaçar a alcação d cohcmtos modros a ára d smulaçõs umércas d roblmas d ghara strutural gotécca. Avaçar os cohcmtos d ovos rocssos d dsvolvmto d rogramas comutacoas, como: UP, Dsg Pattrs, UML, XML Rfactorg.

6.4 Orgazação do trabalho No Caítulo, srão arstados os rcas modlos rológcos, dsd os modlos báscos até os mas comlxos. Para cada modlo dduz-s suas rsctvas rlaçõs costtutvas, as quas srão utlzadas as formulaçõs dos Caítulos sguts. No Caítulo 3, srá rvsta, suctamt, a tora da lastcdad lar, tora da lastcdad crtéros d rsstêca. No Caítulo 4 srão arstadas as formulaçõs do MEC ara aáls lar bm como sua xtsão ara formulaçõs mas abragts tas como: formulação vscolástca vscolástca tradcoal. No Caítulo 5 srão arstados o algortmo d tratamto ão-lar roosto or MULLER, 004 o ovo algortmo ara tratamto d aálss vscolástcas com o MEC sm a utlzação d tgras d domío. No Caítulo 6, srão arstados os rsultados das aálss vscolástcas ralzadas com o algortmo roosto st trabalho, bm como, as comaraçõs com o MEF com rsultados da ltratura. Por fm, o Caítulo 7 arsta as cosdraçõs fas do trabalho.

7. MODELOS CONSTITUTIVOS A tora das Equaçõs Costtutvas globa o studo d modlos mcroscócos macroscócos. Os modlos mcroscócos são muto mortats ara o tdmto dos rocssos mcâcos assm como o dsvolvmto d ovos matras, sjam ls homogêos ou comostos. Os modlos macroscócos dscrvm o comortamto mcâco dos matras sm a rocuação d xlcar a sua orgm físco-químca. Est txto basa-s rodratmt st ascto da tora (PIMENTA, 00). Dvdo à comlxdad do comortamto ral da maora dos matras utlzados as struturas da cssdad d s obtr mlhors rrstaçõs dsts matras, mutos trabalhos d squsa avaçam a costrução d rlaçõs costtutvas mas armoradas. Etrtato, caractrzar quacoar os matras d forma xata é uma tarfa xtrmamt dfícl. Assm tora-s cssáro a adoção d modlos smlfcados qu rrstm as rcas caractrístcas roorcom soluçõs sufctmt róxmas do comortamto ral das struturas. Em gral o comortamto físco dos matras é flucado or uma sér d arâmtros como: tmo, tmratura, codçõs ambtas, carrgamtos, tc... Além do mas, ão s od costrur uma l costtutva qu od sr alcada m todos os matras. Etão, m gral, são costruídas rlaçõs costtutvas ara cada to d matral. Para matras mas comlxos, as rlaçõs costtutvas grat são combadas com modlos báscos. As formulaçõs qu srão arstadas têm como bas os trabalhos dsvolvdos los squsadors MESQUITA (MESQUITA, 00),VENTURINI (VENTURINI, 983) PIMENTA (PIMENTA, 00).

8. Modlos costtutvos báscos Os modlos báscos m gral ossum rlaçõs matmátcas smls. A combação dsts modlos forma rrstaçõs mas comlxas trssats qu rtratam d forma mas ralsta o comortamto d um matral. A Fgura. mostra os três modlos báscos: lástco, vscoso lástco. Ε η ο ε ε a) b) c) ε Fgura. - Modlos báscos udmsoas: (a) lástco, (b) vscoso, (c) lástco. O modlo lástco (Fgura.a), rrstado or uma mola, é caractrzado lo aarcmto d dformaçõs lástcas statâas smultâas à alcação d uma solctação státca. O modlo é adquado ara matras cujo comortamto ão vara com o tmo qu m stuaçõs d dscarrgamto ão arstm dformaçõs rsduas. Na lastcdad lar a rlação costtutva é xrssa la l d Hook. = C ε, od são as tsõs, (.) ε as dformaçõs C é a matrz costtutva lástca. O modlo vscoso (Fgura.b) é também cohcdo or modlo vscoso d Nwto, o qual é rrstado or um amortcdor. Est modlo fca caractrzado lo comortamto ddt do tmo, ou sja, msmo qu as solctaçõs sjam costats, as dformaçõs ddrão do tmo. = η & ε, od (.) η é a matrz vscosa scrta m fução d arâmtros do matral vscoso os quas são dtrmados xrmtat ε& rrsta a vlocdad d dformação.

9 O modlo lástco (Fgura.c), também cohcdo como modlo lástco d Sat-Vat é rrstado or um sóldo qu dslza a artr do stat qu a tsão alcada ultraassa o valor 0 (tsão d lastfcação).. Modlo Vscolástco d Klv-Vogt O modlo d Klv-Vogt (Fgura.) fo costruído assocado dos modlos báscos m arallo, um modlo lástco um vscoso. Por sr uma assocação m arallo, td-s qu ambos os modlos starão submtdos à msma dformação qu a soma das tsõs m cada modlo é gual a tsão total. η Ε ε Fgura. - Modlo vscolástco d Klv-Vogt. Assm, tm-s qu as dformaçõs totas, lástcas vscosas são guas. Já as tsõs são dfdas la soma das tsõs vscosas (o amortcdor) das tsõs lástcas (a mola), tão: ε ε = ε = v v =. (.3) (.4) A tsão lástca a tsão vscosa v odm sr dfdas como: = C ε = C ε η & = η v v ε & ε =. (.5) (.6)

0 γ = θ λ = θ µ Val rssaltar qu as tsõs vscosas são roorcoas à vlocdad d dformação. Para matras sotrócos, a matrz costtutva lástca vscosa η odm sr dfdas las xrssõs abaxo: (.9) C a matrz C = λδ δ µ ( δ l δ jm δ m δ jl η θλ λδ δ θµ ( δlδ jm δmδ jl ) =, od os arâmtros λ, µ, θ λ θ µ são dtrmados xrmtat. ) (.7) (.8) Na grad maora dos roblmas rátcos a matrz vscosa od sr arstada or um úco arâmtro vscoso γ. Assm tmos qu: η = γ λδ δ µ ( δ δ δ δ )] = γc [. l jm m jl (.0) Logo, = C ε γc & ε. (.).3 Modlo Vscolástco d Boltzma O modlo vscolástco d Boltzma (Fgura.3) fo crado la assocação m sér do modlo vscolástco d Klv-Vogt com uma mola, or sso, st modlo tm caacdad d smular dformaçõs statâas. η Ε Εv ε εv Fgura.3 - Modlo vscolástco d Boltzma.

A rlação tr as tsõs fca xrssa or: = =, (.) od v rrsta as tsõs totas, rrsta as tsõs lástcas. Já as dformaçõs fcam xrssas or: v v rrsta as tsõs vscolástcas ε = ε ε. (.3) Para s obtr as quaçõs tgras, é adotada a hóts d qu o cofct d Posso é gual m ambos os trchos. Assm, od-s dfr as tsõs lástcas vscosas las sguts xrssõs: = C ε = E C ε, l v v v (.4) = C ˆ ε = E C ε (.5) v = η & ε = γe C & ε, (.6) v v v l od são as tsõs rfrts a mola m arallo com o amortcdor C Ĉ são as matrzs costtutvas scrtas m fução do módulo lástco E rsctvamt. Assm, tm-s qu: = = = E C ε γe C & ε. (.7) v l v v v v v E v, A artr da quação.3 od-s dfr uma rlação tr a vlocdad d dformação d ambos os trchos do modlo como: & ε = & ε & ε. (.8) v Logo, usado-s a quação.7 algumas maulaçõs algébrcas tm-s: E E γe v ( ε γε& ) & v = C, E Ev E Ev sdo & a taxa d varação da tsão total ou vlocdad d tsão total. (.9)

.4 Modlo Elastolástco d Pradtl-Russ Est modlo é obtdo la assocação m sér d um modlo lástco com um modlo lástco (Fgura.4), ortato, os dos lmtos stão submtdos à msma tsão. ο ε ε ε Fgura.4 - Modlo lastolástco rfto A dformação total é a soma das dformaçõs dos lmtos, logo tm-s: ε = ε ε (.0), od ε, ε são rsctvamt dformaçõs totas, lástcas lástcas. ε l As tsõs fcam xrssas or: = C ε = C ( ε ε ) = C ε. (.) Normat ralza-s a caractrzação do comortamto lastolástco através d uma fução d lastfcação F. Quado F < 0 dz-s qu o matral stá m um stado lástco. Quado F = 0, dz-s qu l stá m um stado lastolástco. O modlo lastolástco ão é vscoso arsta dformaçõs rmats mdatas smr qu as tsõs atgrm a rsstêca. 0.5 Modlo Vscolástco (sm comortamto statâo) Est modlo é rrstado lo arrajo m arallo d um modlo lastolástco rfto (modlo d Pradtl-Russ), com o modlo vscoso smls (amortcdor) coform a Fgura.5.

3 ο Ε ε ε ε Fgura.5 - Modlo Vscolástco (sm comortamto statâo) Assm, as dformaçõs são dadas or: ε = ε = ε ε ε = ε ε. v (.) As tsõs totas são xrssas or: v =. od são as tsõs vscosas v (.3) são as tsõs lastolástcas, dfdas or: & = = v v η ε γ C ε & (.34) = C ε. (.5) = γc Substtudo as quaçõs.5.6 a quação.4 tmos: & ε C ε = γc & ε C ( ε ε ) = C ( ε γε& ). (.6) O trmo orga-s dos roblmas d tsão cal xrsso or : = C ε. (.7) Na costrução da formulação vscolástca ara o MEC, com o modlo sm comortamto statâo, a quação.6 srá mosta. Nst caso, as quaçõs costtutvas srão utlzadas m sua forma total ão d forma crmtal, como grat é fto os modlos lastolástcos. Portato, o oto sobrscrto qu

4 aarc m cma d algus trmos rfr-s à drvada o tmo ão a um crmto ftsmal..6 Modlo Vscolástco (com comortamto statâo). O modlo vscolástco com comortamto statâo (Fgura.6), dfrca-s do modlo mostrado atrormt, la caacdad d smular dformaçõs lástcas statâas. O modlo é rrstado lo arrajo m sér d um modlo lástco smls com um modlo vscolástco mostrado o tm.5. Ε ο Εv ε εv εv εv Fgura.6 - Modlo vscolástco com comortamto statâo Para st modlo as dformaçõs são rlacoadas da sgut forma: ε = ε ε ε ε = ε ε ε, v v v v (.8) od ε, ε, v ε v ε são as dformaçõs totas, lástcas (comortamto statâo), vscolástcas vscolástcas, rsctvamt. Já as tsõs fcam xrssas or: od, =, (.9) v v ε são as tsõs totas, vscosas lastolástcas. Cosdrado qu o cofct d Posso é gual m ambos os trchos do modlo, tm-s qu: = C ε = E C ε, v v v (.30) = C ˆ ε = E C ε (.3)

5 v = η & ε = γe C & ε. (.3) v v v Assm, tm-s qu: v = E C ε γ E & ε. (.33) v v v C Pod-s scrvr a rlação tr as vlocdads d dformação d ambos os trchos do modlo la sgut xrssão: & ε = & ε & ε & ε = & ε & ε. (.34) v v v Logo, com algumas maulaçõs algébrcas tm-s: E E v v ( ε γε ) v = C & E Ev E Ev γe E &. E E v (.35) O trmo v v v é orudo d roblmas d tsão cal, sdo xrsso or: = E C ε. (.36) v Város outros modlos costtutvos vscolástcos vscolástcos odm sr costruídos la assocação dos modlos báscos, orém st ão é o objtvo dst trabalho, o qual utlzará aas os modlos arstados.

6 3. TEORIA DA ELASTICIDADE E PLASTICIDADE Nst caítulo srá fta uma rvsão dos coctos báscos volvdo a tora da lastcdad a tora da lastcdad. Tas coctos srvrão como bas ara troduzr coctos das formulaçõs lars ão-lars com o MEC. 3. Tora Lar da Elastcdad A Tora Lar da Elastcdad trata da dtrmação dos camos d tsõs, dformaçõs d dslocamtos m sóldos dformávs. As rcas rlaçõs hótss ofrcdas la tora odm sr xrssas las quaçõs d qulíbro, comatbldad costtutvas. Cosdr um sóldo dformávl submtdo a forças d surfíc m Sv, a dslocamtos rscrtos m Su a forças d volum b (Fgura 3.). tx 3 t(x,x,x3) tx3 33 3 3 3 tx b(x,x,x3) t(x,x,x3) b(x,x,x3) x, x, x Su x Sv u x3,3 Fgura 3. - Sóldo dformávl submtdo a forças d surfíc, dslocamtos rscrtos forças d volum.

7 Doma-s o Tsor das Tsõs d Cauchy a gradza xrssa or: 3 [ ] = 3, (3.) 3 3 33 od = os ídcs rfrm-s a uma bas ortoormal =,, ). j ( 3 Cosdrado-s os crmtos ftsmas as comots d tsão tr duas facs oostas d um arallído ftsmal, a quação d qulíbro od sr xrssa or:, j b = 0. (3.) Cohcdo cada comot d m um oto qualqur alcado qulíbro dos momtos m um ttradro ftsmal, obtém-s a rlação tr as comots do vtor das forças surfcas t, dfdo or t = t t t33 os comots d. Esta rlação é cohcda como fórmula d Cauchy é dada or: t =. j (3.3) Por sua vz, as quaçõs d comatbldad rsultam d hótss sobr a altração da gomtra d um modlo dformávl. Uma das gradzas fudamtas st studo é o vtor dslocamto u, ara um oto gérco x, dado or: u = u u u33. (3.4) Cosdrado a hóts d quos dslocamtos aalsado a gomtra d um lmto ftsmal ats dos da dformação, tm-s: = od ε = ε. ( u ) ε, j u, j j, (3.5) Agora, cosdra-s o arâmtro do matral or mo das quaçõs costtutvas. Estas quaçõs rlacoam tsõs com dformaçõs, tdo como bas obsrvaçõs xrmtas. Para matras lástcos lars, stas quaçõs são xrssas or: λδ ε kk µε =. (3.6)

8 As fuçõs, u ε dvm satsfazr as sguts codçõs d cotoro: Naturas t = t m Sv ; Esscas u = u m Su. Através d algumas maulaçõs matmátcas, é ossívl costrur um cojuto d quaçõs cohcdas como Equaçõs d Navr. Estas quaçõs corrsodm às quaçõs d qulíbro xrssas m trmos das comots d dslocamto, sdo dadas or: u ν b µ j, j u, jj = 3. Tora da Plastcdad 0 (3.7) O adjtvo lástco vm do vrbo grgo πλαειν qu sgfca moldar, usado ara dscrvr matras dúcts como mtas, barro, btum (LUBLINER, 006). Em um sao uaxal d tsõs o modlo lastolástco (Fgura.4), o comortamto é lástco quato a tsão for mor, m módulo, qu a tsão d scoamto 0. Quado o matral é dscarrgado d um stado d tsão d tração com = 0 l arsta comortamto lástco dformaçõs rsduas ε. A Fgura 3. lustra st comortamto (PIMENTA, 00). 0 ε ε ε 0 Fgura 3. - Esao uaxal d matral lastolástco rfto.

9 Algus matras ossum acréscmos d tsõs (Fgura 3.3) aós atgrm a tsão d lastfcação 0, st fômo é cohcdo como hardg (LUBLINER, 006). 0 hardg ε ε ε 0 Fgura 3.3 - Efto d durcmto hardg m sao uaxal. S o acréscmo d tsão for aroxmado or uma rta, a rlação tsão dformação od sr dfda or: ε = s < E 0 (3.8) ou 0 ε = ε ε = ( 0 ) s > E E 0. (3.9) Na tora da lastcdad, um dos rcas coctos é o d fução d lastfcação, ou crtéros d rsstêca. O crtéro d rsstêca od sr dfdo como o lmt d dformação lástca, xrsso or uma fução do stado d tsão. Para um stado udmsoal, o scoamto od sr fact dtfcado. Porém, ara um stado múltlo d tsão, tora-s comlcado dtrmar a ocorrêca do scoamto. Nst caso, xrssõs matmátcas volvdo todas as comots d tsõs fazm-s cssáras. Estas xrssõs matmátcas são cohcdas como crtéros d scoamto, sdo ormat basadas m obsrvaçõs xrmtas.

0 Assm, m um sao d carrgamto uaxal, a tsão d scoamto od sr fact cotrada a artr do gráfco d tsão-dformação. Partdo dsts rsultados, ara dtrmar o scoamto d um matral sujto a um stado multaxal d tsõs, dv-s adotar um crtéro d rsstêca. Os crtéros d rsstêca mas utlzados são: Crtéro d Rak Crtéro d Trsca Crtéro d vo Mss Crtéro d Mohr-Coulomb Crtéro d Druckr-Pragr Os crtéros d rsstêca ormat são xrssos or varats do tsor das tsõs [ ]. Como sgu: I I I J J 3 3 θ = = tr = = dt = = [ ( tr ) tr )] I 3 7 I I 3 3 I 3 3 arccos 3 I I J 3 J 3 3. (3.0) 3.. Crtéro d Rak O crtéro d Rak fo formulado m 857 ara matras como solo cocrto. Est crtéro rocura xlcar a rutura frágl or tração qu ocorr sts matras, afrmado qu a máxma tsão d tração o matral ão od ultraassar o valor f t, cohcdo como rsstêca a tração do matral. Dsta forma, o crtéro d

Rak também é chamado d crtéro da máxma tsão d tração od sr xrsso or: max f t. Usado-s a dfção dos varats d tsão, tm-s: max = = I 3J cosθ. 3 3 Por sua vz, o crtéro d rsstêca od sr rrstado or : F 3 3 ( I, J, θ) = I 3J cosθ f t. (3.) (3.) (3.3) 3.. Crtéro d Trsca O crtéro d Trsca fo formulado m 868 ara mtas suõ qu a máxma tsão d csalhamto sja a varávl chav. El afrma qu um mtal s lastfca s a máxma tsão tagcal atgr a um valor f τ. Logo, od-s scrvr: τ f τ max. Usado-s a dfção dos varats d tsão, tm-s: = π I 3J cosθ 3 = I 3J cos θ. 3 3 3 3 3 Por sua vz, a máxma tsão tagcal od sr rrstada or : τ max 3 = = 3 3J π cosθ cos θ = 3 J π s θ 3 (3.4) (3.5) (3.6) 3..3 Crtéro d Vo Mss Est crtéro fo formulado m 93 ara mtas a sua dfção matmátca od sr assocada ao sgudo varat do tsor at-sférco J. Est crtéro

afrma qu um matral mtálco sofr lastfcação m um oto s a raz do trmo J, st oto, atgr o valor lmt 0., ou sja: F ( J = J. ) 0 (3.7) 3..4 Crtéro d Mohr-Coulomb Est crtéro fo formulado m 900 art da hóts d qu a tsão d csalhamto é a gradza dcsva ara a vrfcação do scoamto do matral. Est crtéro fo formulado ara qualqur to d matral, sdo muto utlzado os roblmas gotéccos, oddo sr xrsso m fução dos varats I J como dcado a sgur: od f ( ) F( I J, φ, c) = τ f ( )., é dtrmada xrmtat. (3.8) A forma mas smls dsta fução é a rta cohcda como quação d Coulomb (Fgura 3.4), xrssa or: F( I J, φ, c) = τ taφ c,, od c é a cosão φ o âgulo d atrto. (3.9) Fgura 3.4 - Equação d Coulomb. Logo, od-s scrvr qu:

3 φ φ τ s cos 3 3 3 = =. (3.0) Itroduzdo a quação 3.0 a quação 3.9 tm-s: c c J I F = φ φ φ φ ta s cos ),, ( 3 3 3,. (3.) Alcado as quaçõs 3.5 3.6 a quação 3., o rsultado é o sgut: = = 3 cos 3 3 3 3 s 3 3 π θ π θ J I J. (3.) Portato, o crtéro d rsstêca od sr rrstado or: c J I J c J I F = φ π θ φ φ φ π θ φ ta 3 cos 3 3 3 ) ta s (cos 3 s ),, (,. (3.3) Em artcular, quado 0 = φ, a quação 3.9 rduz-s ao crtéro d Trsca. Nss stdo, o crtéro d Mohr-Coulomb od sr cosdrado como uma gralzação do crtéro d Trsca.

4 3.. Crtéro d Druckr-Pragr O crtéro d Druckr-Pragr fo formulado m 95 como uma smlfcação do crtéro d Mohr-Coulomb. El é smlsmt uma modfcação do crtéro d vo Mss, sdo xrsso or: F ( I = αi J., J ) 0 (3.4)

5 4. FORMULAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR CLÁSSICA DO MEC O Método dos Elmtos d Cotoro s arsta como um método altratvo ara solução d dvrsos roblmas os mas varados camos da ghara, como: mcâca, létrca, acústca, tc... Uma das rcas dfrças do MEC com os tradcoas métodos d dscrtzação d domío, como Método dos Elmtos Ftos (MEF) Método das Dfrças Ftas (MDF), é a facldad d modlar crtos roblmas la dscrtzação aas d su cotoro. Para roblmas gomcâcos od o domío é fto ou sm-fto, o MEC s arsta como uma frramta muto mas arorada m comaração com os dmas métodos. Esta vatagm também tora-s vdt m roblmas com grad coctração d tsão fluxo. Nst caítulo srá arstada uma rvsão das formulaçõs covcoas lastostátca, vscolástca, lastolástca vscolástca utlzado o MEC. As formulaçõs arstadas st caítulo foram basadas os trabalhos dos autors BREBBIA & DOMINGUES, 989, BEER, 00, BEER & WATSON, 995, BREBBIA, TELLES & WROBEL, 984, TELLES, 983, VENTURINI, 983 PARTRIDGE & BREBBIA, 99. 4. Formulação Elastostátca do MEC O MEC bascamt ftua a aáls d roblmas através da dscrtzação do cotoro do modlo, através d ós lmtos (Fguras 4.a 4.b). Prmramt são aalsados os valors d forças d surfíc dslocamtos ara os ós dos lmtos dscrtzados o cotoro. A artr dsts valors, obtém-s os rsultados m qualqur oto do cotoro através da trolação m cada um dos lmtos.

6 lmtos ós Solução Fudamtal aáls trolação valors odas (a) (b) (c) Fgura 4. - (a) Modlo, (b) dscrtzação, (c) solução fudamtal. As rrstaçõs tgras do MEC odm sr obtdas, smlhatmt ao MEF, a artr da quação d qulíbro 3., fazdo o uso da técca d rsíduos odrados. A grad dfrça é qu a fução odradora utlzada é uma solução fudamtal (Fgura 4.c). No caso d aáls d tsõs, ara a obtção dsta solução cosdra-s qu uma carga utára coctrada é alcada m um oto P qualqur d um mo lástco fto homogêo. Esta altração mõ roblmas d sgulardad as rrstaçõs tgras qu dvm sr rsolvdas com téccas scas. Do xosto acma, tm-s qu: od Ω k u ( b ) dω = 0 k, j, (4.) u é a solução fudamtal, sdo dfda ara roblmas da tora da lastcdad dtrmada or Klv como: uk ( P, S) = (3 4ν ) l δ k r, 8πµ ( ν ) r D kr,, (4.) o qual o rmro ídc rfr-s à drção d alcação da carga m P o sgudo dz rsto ao dslocamto grado a drção S. O trmo r r(p, S) é a dstâca tr os otos P S. A solução fudamtal arstada a Eq. (4.) ara o caso bdmsoal rfr-s à stuação d stado lao d dformação. Para obtr a solução ara stado

7 lao d tsão basta substtur o cofct d Posso or ν /( ν ), sm altrar o módulo d lastcdad trasvrsal µ. Itgrado or arts o rmro trmo da quação 4., tm-s: od Ω uk jd uk, j dω ukb dω = 0, (4.3) j corrsod ao vrsor ormal ao cotoro. Como Ω = j u k = ε, k sdo ε k a solução fudamtal m dformação, tmos qu: u k d Ω ε k dω ukbdω = 0. (4.4) Ω A quação 4.4 é o oto d artda ara a obtção das rrstaçõs tgras lo MEC. Nla, são mostas as rlaçõs costtutvas, coform dfdo o Caítulo. Para o caso d formulação lastostátca é utlzado a quação.. Assm, tm-s qu: u k d Ω Sabdo-s qu: ε kc ε dω ukbdω = 0. (4.5) ε = kc ε hε = hul, m hu, j =, a Eq. (4.5) od sr r-scrta como: u d u dω u Ω b dω = 0 (4.6) k k, j k. (4.7) Ω Ω Itgrado or arts a sguda arcla da Eq. (4.7) tm-s: or: u k d k jud k, judω ukb dω = 0 (4.8) Ω A Eq. (4.8) od sr r-scrta cosdrado a quação d qulíbro dfda Ω

8 k, j δ ( P, S ) = δ, k (4.9) od δ, ) é cohcdo como fução dlta d Drac, S rrsta uma osção do ( P S domío P rrsta a osção do oto fot. Lvado-s m cosdração as rordads da fução dlta d Drac qu = k j k, tm-s: C k u od o trmo k = P) u d u d k k u b dω ( k, (4.0) Ω k é a solução fudamtal ara forças d surfíc, xrssa or: ( P, S) = 4απ ( ν ) r [( ν ) δ βr r ] r, ( ν )( r, od α, β = (,) ara D α, β = (,3) ara 3D k k r ),, k k, α, (4.) Uma vz qu os dslocamtos u as forças d surfícs t são totat cohcdas o cotoro, od-s obtr rsultados d dslocamto m qualqur oto do domío or: u k = ( P) u d u d k k u Ω k b dω (4.) A Eq. (4.) é também cohcda como dtdad d Somglaa. As quaçõs tgras arstadas odm sr trasformadas m quaçõs algébrcas através da dscrtzação do sóldo m lmtos d cotoro (Fgura 4.), st método umérco rcb o om d Método dos Elmtos d Cotoro (MEC).

9 Fgura 4. - (a) modlo da strutura, (b) dscrtzação do modlo com lmtos d cotoro A dscrtzação do cotoro do modlo é fta com lmtos d cotoro, faz com qu as varávs do roblma ossam sr aroxmadas, aramtrzado-as com rlaçõs aos sus valors odas. Fazdo uso d fuçõs troladoras, também chamadas d fuçõs d forma, tm-s qu: u = = m l= m l= l φ l φ P U l l od m é o úmro d ós do lmto d cotoro φ é a fução d forma. (4.3) Dsrzado-s as forças d volum ara facltar a formulação, a Eq. (4.0) od sr scrta algbrcamt como: C k U m m l l l l P = uk d P ( ) φ kφ du (4.4) = l= = l= Para cosdração das forças d volum é cssáro a dscrtzação do domío do modlo, cotudo, srá arstada ostrormt uma técca roosta

30 or BANERJEE & PAPE (BANERJEE; PAPE, 987) qu lma a cssdad d utlzação d células tras. Para a obtção dos dslocamtos U das forças d surfíc P m os m l l ós do cotoro, o MEC utlza um sstma d quaçõs xrsso or: HU = GP (4.5) od U P são os vtors d dslocamto forças d surfíc. As matrzs H G fcam xrssas or: H k m = Ck = l= l kφ d (4.6) G k m = u = l= l kφ d (4.7) Alcado as codçõs d cotoro o sstma d quaçõs da Eq. (4.5) assado ara o lado squrdo as cógtas ara o lado drto os valors cohcdos, chga-s ao sgut sstma d quaçõs lars: Av = F, (4.8) od a matrz A é costtuída or lmtos da matrzs H G, v é o vtor d dslocamtos forças d surfíc dscohcdos. O vtor F é obtdo dos dslocamtos forças d surfíc cohcdos multlcados or cofcts das matrzz H G. Com a solução do sstma lar da Eq. (4.8), fcam cohcdos os valors dos dslocamtos das forças d surfíc m todo o cotoro do modlo. Para obtr-s as comots d dslocamto m um oto P do domío do modlo, faz-s uso da Idtdad d Somglaa (Eq. 4.) m sua forma algébrca. A quação qu rmt obtr as tsõs dos otos tros d um sóldo a artr dos valors d dslocamto forças d surfíc os ós do cotoro, od sr drvada or mo das quaçõs costtutvas, das quaçõs d comatbldad la Idtdad d Somglaa, sdo xrssa or:

3 od: ( P) = Dk kdj Skukdj, (4.9) j= j= j j ( u u ) D P S = µν δ u ν µ k (, ) lk, l k, j jk, ( ) µν S ν k ( P, S) = δ lk, l µ k, j jk, (4.0). (4.) 4. Formulação vscolástca do MEC (rrstação o cotoro) Esta abordagm é rrstada m fução aas d tgras d cotoro, garatdo uma das rcas vatags da utlzação do MEC m comaração aos métodos tradcoas. A formulação vscolástca arstada st tm é basada o trabalho d MESQUITA (MESQUITA, 00) os dmas ctados atrormt. Para a dtrmação das quaçõs tgras aroradas, dv-s alcar a rlação costtutva scífca ara o modlo rológco qu s qura cosdrar. Nst caso, fo alcado o modlo d Klv-Vogt. Assm, alcado-s a Eq. (.) a Eq. (4.4) dsrzado-s as forças d volum, tm-s: u k d Sabdo-s qu: ( C ε γc ε ) dω = 0 ε & k. (4.) Ω ε = kc ε kε = kul, m ku, j = ε & & = kγc ε γ kε = γ ku& l, m γ ku&, j a Eq. (4.) rsulta m: u k d =, (4.3) (4.4) ku, jdω γ u& k, jdω = 0. (4.5) Ω Ω

3 Itgrado or arts a sguda trcra tgras da Eq. (4.5), alcados a Eq. (4.9), cosdrado as rsctvas rordads da fução dlta d Drac ada sabdo-s qu = C k k j k, tm-s: u P C u P = u d u d ( ) & k ( ) k k γ u& d γ k. (4.6) A Eq. (4.6) rmt a solução das cógtas o cotoro do modlo. Para obtção dos rsultados m qualqur oto do domío alca-s a dtdad d Somglaa ara o roblma vscolástco: u P u P = u d u d ( ) & ( ) k k γ u& d γ k. (4.7) Para vablzar a solução das quaçõs tgras arstadas acma o cotoro do modlo é dscrtzado com lmtos d cotoro. Portato, as varávs do roblma odm sr aroxmadas, aramtrzado-as com rlaçõs aos sus valors odas fazdo o uso d fuçõs d forma, rsultado m: u u& = = = m l= m l= m l= l φ l φ l φ P U U& l l l,. (4.8) Od m é o úmro d ós do lmto, φ é a fução d forma o subscrto l rfr-s ao ó do lmto d cotoro. Através da dscrtzação rrstada la Eq. (4.8), a Eq. (4.7) od sr scrta algbrcamt como: C U ( P) γc U& ( P) = k m = l= k l kφ d U l = l= m γ m = l= u l kφ d P l kφ l du& l (4.9)

33 Para a obtção dos dslocamtos m U l das forças d surfíc m Pl os ós do cotoro da gomtra, od-s scrvr o sstma d quação dfrcal tmoral: HU ( t) HU& ( t) = GP( t) γ, (4.30) od t rrsta o tmo as matrzs H G são obtdas através das Eqs. (4.6) (4.7). Para a solução do sstma d quaçõs tmoral dscrto a quação 4.30 é cssáro alcar uma técca d tgração tmoral tal como Wlso-θ, Nwmark, ou Houbolt. Porém, sgudo MESQUITA,00, a aroxmação lar dada or: U s U (4.3) s U& s =, t arsta rsultados sufctmt rcsos ara aálss vscosas, sm o trmo d aclração. Logo, tm-s qu a Eq. (4.30) od sr xrssa or: od: H U H = F s = GPs Fs, γ H t = γ t. s HU s (4.3) (4.33) (4.34) Alcado as codçõs d cotoro assado ara o lado squrdo as cógtas ara o lado drto os valors cohcdos, chga-s a um sstma d quaçõs lars smlhat ao da Eq. (4.8). Aálogo ao qu fo arstado ara a formação lastostátca ara a obtção das tsõs os otos tros d um sóldo a artr dos valors d dslocamto forças d surfíc os ós do cotoro, tm-s qu: ( P) = Dk kdj Skukdj γ Sku& kdj (4.35) j= j= j= j od D S são dtrmados las Eqs. (4.0) (4.). j j

34 4.3 Formulação lastolástca do MEC (com tgras d domío) Nsta formulação arstada srá adotada a hóts d qu o modlo é submtdo a tsõs cas. Esta mtodologa é uma das mas usadas os roblmas lastolástcos vscolástcos. Porém, ara a obtção da solução d tas roblmas, dv-s ralzar a dscrtzação do domío ara a tgração das tsõs cas. No rst dsvolvmto, fo utlzado o modlo costtutvo lastolástco d Pradtl-Russ. Logo, alcado a Eq. (.) a Eq. (4.4) dsrzado-s as forças d volum, tm-s: u k d Sabdo-s qu: ( C ε ) dω = 0 ε k. (4.36) Ω ε = a Eq. (4.36) fca: kc ε kε = kul, m ku, j u k d =, Ω (4.37) ku, jdω ε k dω = 0. (4.38) Ω Itgrado-s or arts a sguda tgral da Eq. (4.38) alcado a Eq. (4.9), cosdrado-s ada as rsctvas rordads da fução dlta d Drac qu = k j C k k, obtém-s: = u ( ) u d k kud ε k dω, (4.39) od a trcra tgral rrsta a arcla lástca do roblma, corrsod ao rsíduo das comots d tsão (tratada como tsão cal) ε k é a solução fudamtal das dformaçõs m um mo lástco fto. Para s obtr os rsultados m qualqur oto do domío, faz-s o uso da Idtdad d Somglaa ara roblmas lastolástcos: Ω Ω = uk ( ) u d k kud ε k dω. (4.40)

35 Dscrtzado o cotoro do modlo com lmtos d cotoro o domío com c células tras, od-s scrvr a Eq. (4.39) a forma algébrca como: C U ( P) = k c c= l= Ω c = l= k m ε c u l kφ l φ dω l d P l m = l= l kφ d U l (4.4) od l φ, l φ, m, l são, rsctvamt, a fução d forma do lmto d cotoro, a fução d forma das células tras Ω c, o úmro d ós do lmto d cotoro, o úmro d ós da célula tra os valors odas dos rsíduos d tsõs lástcas. A alcação do MEC a aáls lastolástca é bastat smlhat ao caso da aáls lastostátca, od os rsultados o cotoro são obtdos lo acréscmo do vtor F o sstma, caso a fução d lastfcação sja volada. Logo o sstma fca xrsso or: HU GP =, F (4.4) od o trmo F od sr trrtado como sdo a arcla rovt da fluêca das tsõs cas. Assm como a formulação lastostátca do MEC, alcam-s as codçõs d cotoro, assado ara o lado squrdo as cógtas ara o lado drto os valors cohcdos, tm-s: Av o = F F (4.43) Por sua vz, o cálculo das tsõs os otos tros da gomtra do roblma od sr obtdo la sgut xrssão: ( P od o trmo c ) = Dk kdj Skukd j j= j= c= j j Ωc Ekm E km o km dω c (4.44) é obtdo la alcação da quação d comatbldad da rlação costtutva sobr a solução fudamtal ε k, sdo xrssa or:

36 E km = 4π ( ν ) r ( ν δ ν )[ δkδ jm δ jkδm δδ mk δ r, mr, k ] [ δ r r δ r r δ r r δ r r ] m, j, k r r mk,, j 8r r r jk,, m r,, j, m, k k, j, m jm,, k (4.45) Sab-s qu os roblmas rgdos las quaçõs qu govram os roblmas d lastolastcdad vscolastcdad são xrssos m trmos d crmtos as varávs. Com sso, o rocsso umérco ara a solução dsss tos d roblmas solcta qu os carrgamtos sjam alcados d forma crmtal (VENTURINI, 983). Dsta forma, um roblma d aáls lastolástca vscolástca od sr rsolvdo da sgut forma (BEER, 00):. Faz-s uma aáls lastostátca obtdo-s o vtor v 0 or mo da rsolução do sstma d quaçõs dscrto a Eq. (4.8);. As tsõs o são comutadas m todos os ós rtcts ao domío do roblma, utlzado a Idtdad d Somglaa dada la Eq. (4.) do roblma lastostátco; 3. O crtéro d scoamto é chcado m todos os ós das células tras. S F>0 tão os rsíduos d tsão lástca comutados; srão 4. O camo d tsõs rsduas c m uma célula tra c qualqur, é obtdo or uma smls trolação dada or: c od = l= Ω l φ ( l dω ξ, η), (4.46) é o úmro d ós m uma dtrmada célula tra c. O l trmo φ corrsod às fuçõs d trolação dos valors odas da ( ξ, η )

37 célula c c são os valors odas dos rsíduos d tsõs lástcas. As cotrbuçõs das células tras são adcoadas o sstma da Eq. (4.43) or mo do vtor F qu é dado or: F = c c= Ω ε d c Ω, (4.47) od c é o úmro d células tras. Em sguda, dtrma-s a orma do vtor d forças rsduas traçõs; F ara vrfcar a covrgêca das 5. O crmto a solução dcorrt do acréscmo dvdo à fluêca das tsõs d lastfcação é dado la solução do sstma abaxo: A v = F, (4.48) od v rrsta o crmto a rsosta dos valors do cotoro dvdo à fluêca das tsõs rsduas d lastfcação. Portato, a solução total o cotoro od sr comutada or: v = v 0 v ; (4.49) 6. As tsõs são comutadas ovamt m todos os ós da malha d células tras. Nst momto, o fto das tsõs cas dv sr cosdrado, utlzado-s a Idtdad d Somglaa a forma mas gral ara s avalar o valor das tsõs; 7. Os assos 3, 4, 5, 6 são rtdos até qu a orma do vtor d forças rsduas F sja sufctmt qua tal qu: F atual << ε tol. (4.50) F cal ε =

38 4.4 Formulação Vscolástca do MEC (com tgras d domío - sm comortamto statâo) Nst tm srá arstada uma formulação ara matras vscolástcos sm comortamto statâo, dscrto através d tgras d domío a qual rqur a dscrtzação do tror do modlo. Esta abordagm é basada o trabalho d MESQUITA (MESQUITA, 00) os dmas ctados atrormt, od é adotada a hóts d qu o modlo é submtdo a tsõs cas. Alcado-s a Eq. (.6) do modlo costtutvo vscolástco sm comortamto statâo a Eq. (4.4) dsrzado-s as forças d volum, tms: u k d [ C ( ε γε ) ] dω = 0 ε & k. (4.5) Ω Utlzado-s as Eqs. (4.3) (4.4) tm-s qu: u k d Ω ku, jdω γ u& k, jdω ε k dω = 0. (4.5) Ω Ω Itgrado-s or arts a sguda a trcra tgral da Eq. (4.5) alcado a Eq. (4.9) com as rsctvas rordads da fução dlta d Drac, sabdo-s ada qu = k j k, a Eq. (4.5) rsulta m: C k Ω dω u ( P) γc u& ( P) = u d u d γ u& d ε k k k k k (4.53) A Eq. (4.53) é a rrstação tgral da formulação vscolástca do MEC, qu lva m cosdração o modlo rológco dscrto o tm.5. Val rssaltar qu a

39 úca dfrça da formulação vscolástca ara a vscolástca é a rsça do últmo trmo da Eq. (4.47), rsosávl lo comortamto lástco do matral. Para a dtrmação dos rsultados os otos tros do domío, alca-s a Idtdad d Somglaa ara os roblmas vscolástcos: Ω dω u ( P) γu& ( P) = u d u d γ u& d ε k k k k. (4.54) Dscrtzado-s o cotoro do modlo com lmtos d cotoro o domío com c células tras, od-s scrvr a Eq. (4.53) a forma algébrca, como: C U ( P) γc U& ( P) = k = l= m c c= l= Ω c ε l kφ k k d U c l l φ dω = l= l m γ m = l= u l kφ d P l kφ l du& l (4.55) A alcação do MEC a aáls vscolástca od sr obtda la solução do sstma d quaçõs tmoras: HU( t) γ HU& ( t) = GP( t) F ( t), (4.56) od t rrsta o tmo as matrzs H G são obtdas através das Eqs. (4.6) (4.7). O trmo F é obtdo coform algortmo arstado a formulação lastolástca. Para a solução do sstma d quaçõs tmoras dscrto a Eq. (4.56) ods utlzar uma aroxmação lar smlhat aos das Eqs. (4.9) a (4.3), sm o trmo d aclração, a qual arsta rsultados sufctmt rcsos ara aálss vscosas (MESQUITA, 00).

40 O msmo algortmo lastolástco roosto or BEER (BEER, 00), od sr utlzado ara aálss vscolástcas, com a xcção d qu todo o rocdmto dvrá sr ralzado ara cada asso d tmo ( t t). Para a alcação do rocdmto arstado acma, faz-s cssáro a dtrmação do asso o tmo t. Para valors d t muto quos, váras traçõs s fazm cssáras ara rrstar o comortamto do matral, torado-s comutacoat vávl. D forma oosta, valors d t muto grads odm acarrtar stabldads o modlo. A scolha mas coômca é aqula qu utlza o maor valor d arâmtro t sm causar stabldads POTTS, t al., 999. Um rocdmto usuat adotado ara ajustar lmtar o crscmto do t é arstado la Eqs. (4.57). t = k. s t s Exrmtos sugrm valors ara k sdo:.0 k. 5. (4.57) O rocdmto arstado la Eqs. (4.57) é basado mrcamt. Um rocdmto mas armorado, basado as caractrístcas dos matras os crtéros d rsstêca fo arstado or Cormau. Para os crtéros d rsstêca d vo Mss, Trsca, Mohr-Coulomb Druckr- Pragr os lmt ara t são dados or: t t t max max max ( ν ) 4 3γE ν γe 4 γe F o F o, ara vo Mss, ara Trsca ( ν )( ν ) F o ( ν s φ), ara Mohr-Coulomb (4.58) (4.59) (4.60)

4 t t max max od, arâmtro ( ν ) 4 Eφ ( ν ) 4 J F ν γe β α ν sφ = = 3 3 s φ α o β., ara Druckr-Pragr (4.6) Nos xmlos umércos do caítulo 6 foram adotados valors costats do t. Esta mtodologa fo também utlzada or MESQUITA, 00 m sus xmlos vscolástcos. Cohcdos os valors d dslocamtos forças d volum o cotoro do modlo ara um stat d tmo, od-s obtr as tsõs totas tros do modlo la sgut xrssão: os otos c= E j= km o km k c k j ( P) = D d S u d γ S u& d c Ω c j dω j= j k k j j= j k k j. (4.6)

4 5. NOVOS ALGORITMOS NÃO-LINEARES DO MEC Em aálss ão-lars com o MEC, a abordagm ormat utlzada cosdra a dscrtzação do domío do modlo com células tras. Prd-s assm, uma das rcas vatags caractrístcas do MEC. Ao cotráro do qu fo arstado a formulação vscolástca do MEC o Caítulo 4, o ovo algortmo ara aáls vscolástca roosto st trabalho dscrtza somt o cotoro do modlo. Assm, um dos rcas objtvos dst studo é o tratamto das tgras d domío qu ocorrm a aáls ão-lar. Logo, as quaçõs algébrcas do Método dos Elmtos d Cotoro odrão sr obtdas aas dvddo-s o cotoro d um modlo com lmtos d cotoro. Para qu sso sja ossívl, faz-s cssáro a utlzação d artfícos ara lvar as tgras d domío ara o cotoro. Nst ascto do trabalho, o dsvolvmto ralzado or PEREIRA & NORONHA, 003, NORONHA, 00, NORONHA & DUMONT, 00, NORONHA, MULLER & PERREIRA, 004, NORONHA t al., 996, MULLER, 004 foram fudamtas ara a volução do ovo algortmo roosto. Bascamt, o trabalho dsvolvdo or PEREIRA, 004, cosst o dsvolvmto d um algortmo d vsualzação rcsa com a dscrtzação somt do cotoro do modlo. MULLER, 004 alcou st ovo algortmo d vsualzação ara solução d roblmas lastolástcos, sm a cssdad d dscrtzação do domío do modlo. Nst caítulo srá rmramt arstado o algortmo dsvolvdo or A. Mullr, 004, qu trata do roblma lastolástco dscrto através d tgras d cotoro. Postrormt, srá arstado o ovo algortmo ara aáls vscolástca utlzado o MEC, sm a dscrtzação do domío do modlo.

43 5. Formulação lastolástca do MEC (sm tgras d domío) Dfrtmt da mtodologa covcoal, o qu s rtd or mo dst algortmo é a ralzação d aálss lastolástcas utlzado o MEC sm o uso d malhas d células tras. Esta formulação fo dsvolvda or MULLER (004), o qual utlzou o algortmo d vsualzação roosto or PEREIRA & NORONHA (003). Est algortmo (mostrado o Axo A) ralza a vsualzação rcsa d rsultados o domío d um modlo a artr d valors somt do cotoro, torado ossívl a trasformação d tgras d domío ara tgras d cotoro. Nsta abordagm d aáls lastolástca com o MEC, a mtodologa gral do algortmo volv os sguts rocdmtos:. Assm como a mtodologa covcoal, faz-s uma aáls lar lástca obtdo-s os valors d v 0 ;. Dfrt da mtodologa covcoal, utlza-s o algortmo d vsualzação, arstado o axo A, ara dtfcar d forma drta automátca as rgõs od a fução d lastfcação é gual a zro, F = 0 (fgura 5.); Fgura 5. - Idtfcação drta automátca d zoas lástcas.

44 3. Nas rgõs od o crtéro d rsstêca fo volado ( F > 0 ), os rsíduos d tsõs lástcas dvm sr comutados. Assm, utlzado o algortmo d vsualzação são traçados cojutos d socurvas ara cada uma das comots d. Em roblmas bdmsoas, são traçados 3 cojutos d socurvas (,, ). Para a obtção dos rsíduos d xx xy yy tsão lástcas ormat são mrgadas téccas d trolação (BEER, 00) ou algortmos d rtoro (SIMO; TAYLOR, 986). Nsta abordagm é utlzado um algortmo d rtoro com ovas caractrístcas, basadas as téccas utlzadas lo algortmo d vsualzação. Est algortmo d rtoro srá arstado m dtalhs o tm 5.. dst trabalho. 4. Nst momto faz-s cssáro adcoar a cotrbução da arcla lástca ao sstma dvdo à fluêca das tsõs lástcas. Essa cotrbução é comutada or: F N = z= Ω ε dω z z z, (5.) od N é o úmro d rgõs lastfcadas ( F > 0 ). Para a dtrmação do vtor F o rst algortmo arsta um tratamto ovador calculado aas tgras d cotoro. O algortmo rqur a dvsão das rgõs od F > 0 (fgura 5.), alcado-s o algortmo d vsualzação ara obtr d forma drta automátca as socurvas d tsão. Ao logo d cada sobada, od-s cosdrar qu os rsíduos d tsão lástca são costats. Aós sso, dscrtza-s as sobadas as rgõs lastfcadas com lmtos d cotoro curvos, a fm d cosdrar a fluêca das zoas d lastfcação o sstma or mo do vtor F. Cosdra-s qu os comots do tsor d rsíduo d tsão lástca sjam costats m cada sobada. Está hóts é fudamtal ara trasformar uma tgral d domío m uma tgral d cotoro.

45 Fgura 5. - Tratamto das socurvas d rsíduos d tsõs lástcas. 5. D mara aáloga à da mtodologa covcoal, o crmto v rfrt à cotrbução da arcla lástca é obtdo la Eq. (4.48) a solução total v é dada la Eq. (4.49). 6. As tsõs são comutadas ovamt, dtfcado as ovas rgõs lastfcadas, orém tas rgõs lvam m cosdração o fto das tsõs cas. 7. Os assos 3, 4, 5 6 são rtdos até qu o crtéro d covrgêca sja satsfto. 5.. Algortmo d rtoro Cosdrado qu xsta um oto o modlo m qu su stado d tsão sja tal qu F ( ) > 0, a déa rcal dst algortmo d rtoro é d buscar o oto mas róxmo da surfíc do crtéro d rsstêca, ou sja, rtorado a um stado d tsão od F ( ) = 0. Nst algortmo são utlzadas as sguts hótss d cálculo:

46 Drção d camhamto dada lo gradt d fução ) F(, sdo sta uma aaloga ao qu fo adotado o algortmo d vsualzação arstado o Axo A. Procsso tratvo d Nwto-Rahso; Portato st algortmo d rtoro fudamta-s m um rocsso crmtaltratvo, od a drção d rtoro é a ormal à surfíc formada ara um ívl da fução d scoamto. cos ta t F = As traçõs rossgum d acordo com o algortmo d Nwto-Rahso até qu F sja muto qua. Logo, os rsíduos d tsão são obtdos or: = xx yy xy xx s xx s xx F F F F F. (5.) = xy yy xy xx s xy s xy F F F F F. (5.3) = yy yy xy xx s yy s yy F F F F F. (5.4)

47 5..3 Trasformação d tgras ara o cotoro A sgur srá arstado m dtalhs o tratamto ara obtção do vtor F sm a dscrtzação do domío do modlo. Est rocdmto é muto smlhat ao cálculo dos trmos da matrz G do MEC. Assm as tgraçõs cssáras st algortmo são mas smls qu as tgraçõs da mtodologa covcoal, os s basam m cálculos já xstts a aáls lar. Sja o vtor da cotrbução lástca dado or: od 0z F N 0z = F l = ε k mkdωoz, (5.5) z= Ω 0 z Ω é a rgão do domío do modlo od F > 0. Sabdo-s qu: k = ( u u ) ε,, k lk, m la rordad d smtra como: u = u ml 0z 0z ml (5.6) =, a Eq. (5.5) od sr rscrta F l N S = z= x= Ω u 0 zx 0zx, k mk dω0zx, (5.7) od S é o úmro d subdvsõs m cada rgão sujta a lastfcação. A somatóra m S surgu dvdo à hóts mosta d qu o rsíduo d tsõs lástcas é cosdrado costat dtro d cada uma das subdvsõs sujtas a lastfcação. Porém, como ão é ossívl ralzar sta hóts com um úco maa d sobadas, o algortmo d vsualzação utlzado cosdra a obtção d três maas d sobadas, uma ara cada comot do tsor das tsõs, surodo os ftos ara s obtr o vtor F. Com sso, o tsor d rsíduos d tsõs lástcas é dcomosto m três arts: od: 0z mk =, A0z mk B0z mk C0z mk (5.8)

48 0z mk A0z mk = = xx xy 0 xx xy, yy 0, 0 B0z mk 0 = 0 0 yy, C0z mk 0 = xy xy 0 Plo Torma do Dvrgt, ou Torma d Gauss, tm-s qu: (5.9) Ω w od dω = w d, j j, (5.0) w são as comots d uma fução vtoral vtor utáro ormal xtro ao cotoro. j são as comots do Como o trmo da Eq. (5.5) é costat, alcado-s o torma do 0zx mk Dvrgt surodo-s os ftos coform a Eq. (5.7) (5.8) tm-s: F l N = S N S z= x= z= x= u C 0s u A0 s k k C0zx mk A0zx mk d d C0s A0s N S z= x= u B 0s k B0zx mk d B0s (5.) od 0 0, são os cotoros d cada sub-rgão lastfcada S ara o camo A0 s, B s C s d tsõs, xx yy xy, rsctvamt. Pod-s otar qu o rocdmto d calculo arstado acma é smlhat ao utlzado ara o cálculo dos comots da matrz G, obsrvado-s qu a fução k é trolada usado as fuçõs d forma dfdas ara um lmto d cotoro. No caso d lmto quadrátco o lao, sta trolação é dada or: k N ˆ =. b (5.) Através d um r-arrajamto os comots da xrssão atror, ods scrvr:

49 N ˆ =, od: = 3 3 0 0 0 0 0 0 N N N N N N N ou [ ] 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T =, (5.3) od b k ˆ rfr-s à comot k (, drção x; drção y) do vtor ormal do ó b. Assm a Eq. (5.) fca: s C zx C mk N z b k b S x s B zx B mk N z b k b S x s A zx A mk N z b k b S x l d N u d N u d N u F s C s B s A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ = = = = = = = (5.4) Uma vz obtdo o vtor F a forma arstada, a atualzação da rsosta o cotoro od sr obtda d mara automátca or mo das Eqs. (4.48) (4.49). 5. Formulação vscolástca do MEC (sm tgras d domío) Como arstado atrormt (Itm 4.4), ara a ralzação d aálss struturas com o MEC usado matras vscolástcos, é cssáro a dscrtzação d células o domío do modlo. O algortmo roosto st trabalho arsta uma abordagm ara aálss d roblmas vscolástcos utlzado aas a dscrtzação do cotoro. Para lvar as tgras d domío ara o cotoro faz-s cssáro a utlzação d crtos artfícos. Aalogamt ao qu fo ralzado or MULLER (004), o algortmo d vsualzação (Axo A) dsvolvmto or PEREIRA & NORONHA (PEREIRA; NORONHA, 003) é a ça fudamtal ara a costrução do ovo algortmo roosto.

50 O algortmo roosto fo formulado cosdrado a rlação costtutva ara matras vscolástcos sm comortamto statâo, coform arstado o tm.5. Para a ralzação das tgraçõs tmoras, o algortmo roosto utlza uma técca d aroxmação lar, a qual arsta rsultados sufctmt rcsos ara aálss vscosas, sm o trmo d aclração. Esta técca fo utlzada a formulação vscolástca, coform tm 4.. Nsta abordagm d aáls vscolástca com o MEC rrstado o cotoro, a mtodologa gral volv os sguts rocdmtos: Dscrtzação do modlo m lmtos d cotoro;. Cálculo d G, H H las Eqs. (4.6), (4.7) (4.33), rsctvamt;. Para um tmo cal t cosdra-s qu ão haja lastfcação o modlo. Logo, ralza-s uma aáls vscolástca la solução do sstma d quação dfrcal tmoral dscrto a Eq. (4.30). Assm fcam cohcdos os valors dos dslocamtos, forças d surfíc cosqütmt, as tsõs o cotoro do modlo; 3. Alca-s o algortmo d vsualzação, arstado o axo A, a fm d dtfcar d forma automátca as rgõs do cotoro od o crtéro d lastfcação fo volado. S ão houvr lastfcação m huma rgão do modlo ( F < 0 ) os rsultados obtdos la aáls vscolástca são dftvos ara st stat d tmo. Logo, art-s ara a aáls o stat d tmo t. Caso haja lastfcação m alguma rgão do modlo ( F < 0 ) a arcla d lastfcação F dv sr cosdrada. Logo, art-s ara o asso sgut; 4. Aálogo ao qu fo ralzado o algortmo lastolástco com rrstação o cotoro, os rsíduos d tsõs lástcas dvm

5 sr comutados. Assm, utlzado o algortmo d vsualzação (axo A) são traçados os cojutos d socurvas ara cada uma das comots d P, coform a Fgura 5. lustra. Logo, alcado o algortmo d rtoro arstado o tm 5.. dtrma-s os rsíduos d tsão lástca. 5. Nst asso art-s ara a dtrmação do vtor da arcla lástca F qu dvrá sr adcoada ao sstma. Essa cotrbução é comutada or: F N = z= Ω ε dω z z z, (5.5) od N é o úmro d rgõs lastfcadas ( F > 0 ). Cotudo, ada assm é cssáro a dscrtzação do domío. Para a dtrmação do vtor F st algortmo faz o msmo tratamto ralzado o algortmo lastolástco. Nst algortmo roosto as tgras d domío da Eq. (5.3) rcbm o msmo tratamto ralzado or MULLER (004) o qual fo arstado atrormt o tm 5. dst caítulo. Assm, dscrtza-s as sobadas as rgõs lastfcadas com lmtos d cotoro curvos, coform a Fgura 5. lustra, afm d cosdrar a fluêca das zoas d lastfcação o sstma or mo do vtor F. Cosdra-s qu os comots do tsor d rsíduo d tsão lástca sjam costats m cada sobada, lo rocdmto arstado o tm 5.., trasforma-s as tgras d domío m tgras d cotoro:

5 F l = N S z= x= u A0 s N ˆ b b k A0zx mk d A0s N z= x= N S S z= x= u B 0s u C 0s N ˆ b b b k N ˆ b k B0zx mk C0zx mk d d B0s C0s (5.6) 6. D mara aáloga à da mtodologa covcoal, o crmto v rfrt à cotrbução da arcla lástca é obtdo la Eq. (4.48) a solução total v é dada la Eq. (4.49). 7. As tsõs são comutadas ovamt, dtfcado-s as ovas rgõs sujtas à ão-lardad ada ara o stat d tmo t, orém agora ssas rgõs são dtfcadas lvado-s m cota o fto das tsõs cas. 8. Os assos 3, 4, 5, 6, 7 8 são rtdos até qu o crtéro d covrgêca sja satsfto. Aós sto art-s ara o stat d tmo t. 9. O rocdmto acma dv sr ralzado até qu sja cocluído a aáls do últmo stat d tmo t. Assm o camo d dslocamtos fca xrsso or: u ( ) γ u& ( ) = 0 mk s u k d s u k d k u d γ k u& d (5.7) Logo, dscrtzado o modlo, tm-s:

53 s C zx C mk N z b k b S x s B zx B mk N z b k b S x s A zx A mk N z b k b S x l l k m l l k m l l l k m l k k d N u d N u d N u U d d P d u P U C P U C s C s B s A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( = = = = = = = = = = = = = φ γ φ φ γ & & (5.8) As Eqs. (5.7) (5.8) mostram qu é ossívl a ralzação d aálss ãolars cosdrado matras vscolástcos somt com a dscrtzação do cotoro do roblma, ão csstado dscrtzar o domío com células. D fato, st é o rcal objtvo dst trabalho, arovtar ao máxmo as rcas vatags ofrcdas lo MEC também m aálss ão-lars ara matras vscolástcos. No tuto d arstar os rocdmtos dscrtos acma d forma mas clara objtva, arsta-s a Fgura 5.3 uma vsão gral do algortmo ara auxlar a comrsão da abordagm roosta.

Fgura 5.3 - Vsão gral do algortmo roosto. 54

55 5.. Tratamto ara o calculo das tsõs o Domío Aalsado a Eq. (4.6), rcb-s a rsça d uma tgral d domío corrsod à arcla dvdo a cotrbução das tsõs rsduas (ou tsõs cas) qu agora são cosdradas como sdo alcadas as zoas lástcas. Os valors atualzados o cotoro, dvdo à fluêca do vtor F, já stão sdo cosdrados as três rmras tgras do lado drto da Eq. (4.6). Porém, ara qu sja ossívl a ralzação d aálss vscolástcas sm o uso d malhas adcoas, a arcla rfrt a tgração as zoas lástcas rcsa sr tratada d mara aáloga ao vtor F. A cotrbução das tsõs rsduas srá comutada m uma arcla chamada d vtor C. Logo, ara um oto rtct ao domío tmos qu: C l c = E c= Ω c km dω o km c (5.9) Como a quação qu df as tsõs totas os otos tros é obtda or mo d trasformaçõs (quaçõs d comatbldad costtutvas) a quação m dslocamtos os otos tros, a rlação tr os trmos ε u é a msma da qu ocorr tr os trmos = ( D D ) E km k, m k, k Ekm D k ( A. MULLER, 004). 0z 0z or smtra tmos qu =, logoc od sr scrto como: C l N S z= x= km = D Ω 0 xz mk l (5.0) 0zx k, m mk dω0zx (5.) od S é o úmro d subdvsõs m cada rgão sujta a lastfcação. B0zx Como, or hóts, os trmos, A0zx mk mk C0zx mk são costats, od-s utlzar o Torma do Dvrgt, ou Torma d Gauss. Assm tm-s qu:

56 C l N = N z= x= S S z= x= s D s k D k k k B0zx mk A0zx mk d d B0s A0s N S z= x= s D k k C0zx mk d C0s (5.) Assm odmos chgar a xrssão fal ara o cálculo das tsõs totas dscrta aas com tgras d cotoro, dada or: ( P) = j= j D k d k j j= j S k u d k j γ j= j S k u& d k j N S z= x= s D k k A0zx mk d A0s N S z= x= s D k k B0zx mk d B0s (5.3) N S z= x= s D k k C0zx mk d C0s oddo sr também scrta como: ( P ) = GPs HU s γ HU s Cs, & (5.4) Com algumas maulaçõs algébrcas dtrma-s a xrssão ara obtr as tsõs lastolástcas : γ s s γ = s s s γ t t t (5.5) No rocsso m qu o algortmo d vsualzação vrfca s m algum ó rtct ao cotoro a fução d lastfcação é volada, sta vrfcação é ralzada la com bas as tsõs lastolástcas calculadas la Eq. (5.5). Not qu a Eq. (5.5) cssta do valor da tsão total s. As tsõs vscosas são obtdas d forma mas smls drta, alcado-s a Eq. (.3).

57 5.3 Tratamto das forças d massa Como od sr vsto a trcra tgral do lado squrdo da Eq. (4.4), la formulação clássca, é cssáro dscrtzar o domío do modlo ara cosdrar o fto das forças d massa. Etrtato, uma técca roosta or BANERJEE & PAPE (BANERJEE; PAPE, 987) lma a cssdad da dscrtzação do domío. A obtção da solução d uma quação dfrcal ão-homogêa lar é dada la soma da solução u h h, rfrt à quação homogêa L ( u ) = 0, da solução artcular h u qu satsfaz a quação ( u ) b = 0 L, como mostra a Eq. (5.6). u h = u u. (5.6) Sdo a quação d Navr, dada la Eq. (3.7), uma quação dfrcal ãohomogêa dscosdrado o trmo rfrt as forças d domío b, tm-s qu a Idtdad d Somglaa é a solução rfrt à quação homogêa. Cosdrado as forças d domío b como sdo forças gravtacoas, od: b =, 0 b = ρg, (5.7) Sdo g a aclração da gravdad ρ a dsdad d massa, tm-s as sguts soluçõs artculars ara a quação d Navr: u u ρg = λxx 4µ ( λ µ ) ρg = [( λ µ ) x λx ], 8µ ( λ µ ) (5.8) od x x são as coordadas do oto od as soluçõs artculars m trmos d dslocamtos stão sdo avaladas. Já as forças d surfícs assocadas às soluçõs artculars m trmos d dslocamtos são dadas or: = 0 = ρgx. (5.9) Assm, ara qu ssa técca sja troduzda a formulação covcoal do MEC art-s do sstma d quaçõs dado la Eq. (4.5), obtdo-s:

58 od h h Hu = G, h u (5.30) h são vtors das soluçõs artculars m dslocamtos forças d surfícs, rsctvamt. Logo, obtmos: H( u u ) = G( )., (5.3) Nst momto, alcar as codçõs d cotoro a Eq. (5.3) obtdo-s: Ax = b G Hu. (5.3)

59 6. EXEMPLOS NUMÉRICOS Nst caítulo são arstados algus xmlos umércos qu vsam valdar o algortmo vscolástco roosto st trabalho. Para sso, são ralzadas comaraçõs d rsultados com xmlos cotrados a ltratura, com o MEF também com o algortmo lastolástco arstado o tm 5.. Est ovo algortmo vscolástco fo mlmtado comutacoat cororado m uma lataforma ara aáls umérca com o MEC m dsvolvmto lo gruo d squsa coordado lo Prof. Marcos Noroha. Os rsultados dos xmlos arstados st caítulo ara as aálss vscolástcas, vscolástcas lastolástca com o MEC, foram ralzadas com a rfrda lataforma. 6. Exmlo Nst rmro xmlo é smulada a ação d uma saata corrda sobr o solo rsultado m uma carga = 46.0 kn m. Dvdo à smtra do roblma aas a mtad da gomtra srá dscrtzada. Cosdrou-s ara st xmlo o crtéro d Mohr-Coulomb, od 0.3 m c = kn o φ = 0, o arâmtro vscoso γ = 9.3 das. O asso d tmo t fo cosdrado costat gual a 0 das. A Fgura 6. arsta o modlo a dscrtzação m lmtos d cotoro, bm como suas dmas caractrstcas.

60 Modlo Dscrtzação Prordads E = 30000kN m 0das γ = 9,3/das, t = das = 46,0 kn m o φ = 0, c = 0kN m, ν = 0.3 Crtéro d Mohr Coulomb Fgura 6. - Caractrístcas do Exmlo. Os gráfcos arstados as fguras 6. 6.3 arstam os dslocamtos vrtcas ara as aálss vscolástca vscolástca do oto A do modlo m fução do tmo, cosdrado o asso o tmo t gual a 0 das. Dslocamtos Vrtcas ó A Dslocamtos (m) -0,04-0,0-0,0-0,008-0,006-0,004-0,00 0 0 0 40 60 80 00 Tmo (das) VP_dt=0 VE_dt=0 Fgura 6. - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas cosdrado t = 0.

6 Dslocamtos Vrtcas ó A Dslocamtos (m) -0,04-0,0-0,0-0,008-0,006-0,004-0,00 0 0 0 40 60 80 00 Tmo (das) VP_dt= VE_dt= Fgura 6.3 - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas cosdrado t =. Pod-s otar qu ara st ívl d carrgamto a fluêca da arcla da lastcdad ão s mafsta d forma sgfcatva. Vrfca-s também qu a dstrbução dos dslocamtos ao logo do tmo comorta-s d mlhor forma cosdrado t = das, sdo qu tato a aáls vscolástca quato a vscolástca utlzam modlos rológcos sm dformação cal. A Tabla arsta os rsultados umércos das aálss vscolástcas vscolástcas ara t gual a 0 das, além dos rsultados lastolástcos obtdos la aáls com o MEC, MEF também la ltratura.

6 Tabla - Rsultados umércos do Exmlo Aáls Dscrtzação Dslocamto Vrtcal ó A (m) MEC-Vscolástco 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,0304036 t = 0 t MEC-Vscolástco t = 0 t MEC-Vscolástco t = t MEC-VscoPlastco t = t MEC-Elastolástco (Mullr, 004) MEC-Elastolástco (Tlls, 983) MEF-Elastolástco (ADINA v.8.) 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,046685 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,030358 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,045738 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,0366565 4.608 lmtos soaramétrcos d 9 ós 8.7 ós - ~ -0,05-0,044470 Aalsado a Tabla od-s vrfcar a grad roxmdad dos valors do algortmo vscolástco roosto st trabalho (assumdo t ) com rlação aos valors calculados las aálss lastolástcas ralzadas com o MEC, MEF também com rlação aos valors arstados or Tlls m 983. Cosdrado t = das a lastfcação do modlo cou-s o o da. A covrgêca d 0,0% m dslocamtos ocorru o 86 o da. A Fgura 6.4 arsta a volução dos crmtos lástcos yy ao logo do tmo.

63 t = 3das t = 7das t = 3das t = 39das t = 4das t = 5das t = 65das t = 85das Fgura 6.4 - Evolução o tmo dos crmtos lástcos yy. Na Fgura 6.5 são arstadas as dformaçõs lástcas lástcas com rlação à cofguração d rfrêca o 86 o da. Pod-s ovamt rcbr qu st xmlo os dslocamtos lástcos adcoas ão são sgfcatvos.

Fgura 6.5 - Dformada lástca lástca do xmlo o 86º da. 64

65 6. Exmlo Nst sgudo xmlo é smulado o msmo modlo d saata corrda aalsado o xmlo, orém, cosdrado uma carga maor = 60.0 kn m. As dmas rordads são dêtcas às do xmlo atror. Os gráfcos arstados as Fguras 6.6 6.7 arstam os dslocamtos vrtcas ara as aálss vscolástca vscolástca do oto A do modlo m fução do tmo, cosdrado o asso o tmo t gual a, 0 das. Dslocamtos Vrtcas ó A Dslocamtos (m) -0,08-0,06-0,04-0,0-0,0-0,008-0,006-0,004-0,00 0 0 0 40 60 80 00 Tmo (das) VP_dt=0 VE_dt=0 Fgura 6.6 - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas cosdrado t = 0.

66 Dslocamtos (m) -0,08-0,06-0,04-0,0-0,0-0,008-0,006-0,004-0,00 0 Dslocamtos Vrtcas ó A 0 0 40 60 80 00 Tmo (das) VP_dt= VE_dt= VP_dt= Fgura 6.7 - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas cosdrado t =. Pod-s otar qu ara st ívl d carrgamto a fluêca da arcla da lastcdad s mafsta d forma sgfcatva. Vrfca-s também qu a dstrbução dos dslocamtos ao logo do tmo comorta-s d msma forma cosdrado t = das. A Tabla arsta os rsultados umércos das aálss vscolástcas vscolástcas ara la aáls com o MEC MEF. t gual a 0 das, além dos rsultados lastolástcos obtdos

67 Tabla - Rsultados umércos do Exmlo. Aáls Dscrtzação Dslocamto Vrtcal ó A (m) MEC-VscoElastco 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,06048743 t = 0 t MEC-Vscolástco t = 0 t MEC-Vscolástco t = t MEC-VscoPlastco t = t MEC-Elastolástco (Mullr, 004) MEF-Elastolástco (ADINA v.8.) 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,0743543 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,06048766 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,073995 8 lmtos quadrátcos 36 ós -0,07509034 4.608 lmtos soaramétrcos d 9 ós 8.7 ós -0,070308 Aalsado a Tabla od-s vrfcar a boa cocordâca dos valors do algortmo vscolástco roosto st trabalho (assumdo t ) com rlação aos valors calculados las aálss lastolástcas ralzadas com o MEC MEF. Cosdrado t = das a lastfcação do modlo cou-s o 0 o da. A covrgêca d 0,0% m dslocamtos ocorru o 88 o da. A Fgura 6.8 arsta a volução dos crmtos lástcos yy ao logo do tmo.

68 t = 0das t = das t = 4das t = 8das t = 40das t = 50das t = 64das t = 88das Fgura 6.8 - Evolução o tmo dos crmtos lástcos yy. Na Fgura 6.9 são arstadas as dformaçõs lástcas lástcas, com rlação à cofguração d rfrêca o 88 o da, od os dslocamtos lástcos s arstam d forma sgfcatva.

Fgura 6.9 - Cofguração dformada lástca lástca do xmlo o 88 o da. 69

70 6.3 Exmlo 3 Est trcro xmlo, clássco m aálss com MEC/MEF, é smulado a ação d um carrgamto dstrbuído tracoado uma chaa mtálca m formato d cuha. Cosdrou-s ara st xmlo o crtéro d vo Mss od = 4. kgf mm além 0 3 dsso, fo cosdrado o arâmtro vscoso γ = 5.5 das. O asso o tmo t fo cosdrado gual a das. A Fgura 6.0 arsta o modlo a dscrtzação m lmtos d cotoro, bm como suas dmas caractrístcas. Modlo Dscrtzação E = 7000kgf = 5,795kN Crtéro d vo Mss = 4,3 kgf mm Prordads mm γ = 5,5/das, t = das 0 m, ν = 0. Fgura 6.0 - Caractrístcas do Exmlo 6.3 O gráfco mostrado a Fgura 6. arsta os dslocamtos vrtcas ara as aálss vscolástca vscolástca do oto A do modlo m fução do tmo.

7 0,06 Dslocamtos Vrtcas ó A Tmo (das) Dslocamtos (mm) 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 0 0 40 60 80 00 VP_dt= VE_dt = Fgura 6. - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas A Tabla 3 arsta os rsultados umércos das aálss vscolástcas vscolástcas, além dos rsultados lastolástcos obtdos la aáls com o MEC, MEF também la ltratura. Tabla 3 - Rsultados umércos do Exmlo 3. Aáls Dscrtzação Dslocamto Vrtcal ó A (mm) MEC-Vscolástco lmtos quadrátcos 44 ós 0,0487303 t = t MEC-VscoPlastco t = t MEC-Elastolástco (Mullr, 004) MEC-Elastolástco (Tlls, 983) MEF-Elastolástco (ADINA v.8.) lmtos quadrátcos 44 ós 0,0597 lmtos quadrátcos 44 ós 0,05000 - ~ 0,05650.788 lmtos soaramétrcos d 9 ós.337 ós 0,0507067 Aalsado a Tabla 3 od-s vrfcar a grad ardad dos rsultados do algortmo vscolástco roosto st trabalho (assumdo t ) com rlação aos

7 valors calculados las aálss lastolástcas ralzadas com o MEC, MEF também com rlação aos valors cotrados a ltratura. Cosdrado t = das a lastfcação do modlo ocorru o 4 o da. A covrgêca d 0,0% m dslocamtos ocorru o 80 o da. A Fgura 6.3 arsta a volução dos crmtos lástcos xx ao logo do tmo. t = 4das t = 6das t = 8das t = 6das t = 0das t = 60das t = 7das t = 80das Fgura 6. - Evolução o tmo dos crmtos lástcos xx. Na Fgura 6.4 são arstadas as dformaçõs lástcas lástcas com rlação à cofguração d rfrêca o 80 o da, od od-s vrfcar qu a fluêca da lastfcação ocorr d forma sgfcatva.

Fgura 6.3 - Dformada lástca lástca do xmlo 3 o 80 o da. 73

74 6.4 Exmlo 4 O rst xmlo studa a ação d um carrgamto dstrbuído atuado sobr um talud. Dvdo à smtra do roblma aas a mtad da gomtra srá dscrtzada. Cosdrou-s ara st xmlo o crtéro d Mohr-Coulomb, od 0.3 m c = tf o φ = 0, o arâmtro vscoso γ = 5.5 das. O asso o tmo t fo cosdrado costat gual a das. A Fgura 6.4 arsta o modlo a dscrtzação m lmtos d cotoro, bm como suas dmas caractrístcas. Modlo Dscrtzação Prordads E = 90tf m, ν = 0, γ = 9,3/das, t = das =,60tf m Crtéro d Mohr Coulomb o φ = 0, c = 0,3tf m Fgura 6.4 - Caractrístcas do Exmlo 4. O gráfco arstado a Fgura 6.6 arsta os dslocamtos vrtcas ara as aálss vscolástca vscolástca do oto A do modlo m fução do tmo, cosdrado o asso o tmo t gual a das.

75 Dslocamtos Vrtcas ó A Dslocamtos (mm) -0,005-0,004-0,003-0,00-0,00 0 0 0 40 60 80 00 Tmo (das) VP_dt= VE_dt= Fgura 6.5 - Rsultados m dslocamtos das aálss vscolástcas vscolástcas. A Tabla 4 arsta os rsultados umércos das aálss vscolástcas vscolástcas, além dos rsultados lastolástcos obtdos la aáls com o MEC o MEF. Tabla 4 - Rsultados umércos do Exmlo 4. Aáls Dscrtzação Dslocamto Vrtcal ó A (mm) MEC-Vscolástco lmtos quadrátcos 4 ós -0,0045585 t = t MEC-VscoPlastco t = t MEC-Elastolástco (Mullr, 004) MEF-Elastolástco (ADINA v.8.) lmtos quadrátcos 4 ós -0,0047085 lmtos quadrátcos 4 ós -0,0047880.467 lmtos soaramétrcos d 9 ós 5.977 ós -0,00468978 Avalado a Tabla 4 vrfca-s a boa uformdad dos rsultados do algortmo vscolástco roosto st trabalho (assumdo t ) com rlação aos valors calculados las aálss lastolástcas ralzadas com o MEC MEF.

76 Cosdrado t = das a lastfcação do modlo cou-s o 0 o da. A covrgêca d 0,0% m dslocamtos ocorru o 9 o da. A Fgura 6.7 arsta a volução dos crmtos lástcos xx ao logo do tmo. t = 0das t = das t = 4das t = 6das t = 8das t = 34das t = 50das t = 9das Fgura 6.6 - Evolução o tmo dos crmtos lástcos yy. A Fgura 6.8 arsta as dformaçõs lástcas lástcas com rlação a cofguração d rfrêca o 9 o da, od od-s vrfcar qu a fluêca da lastfcação ocorr d forma mos xrssva.

Fgura 6.7 - Dformada lástca lástca do xmlo 3 o 9 o da. 77

78 7. CONCLUSÕES A roosta cal dst trabalho fo dsvolvr uma mtodologa caaz d garatr uma das rcas vatags da utlzação do MEC m aálss ão-lars: a dscrtzação aas do cotoro do modlo. Mutos trabalhos já foram dsvolvdos sta ára, orém, sm cosgur lmar totat a dscrtzação do domío. O algortmo arstado st trabalho mostra claramt qu é ossívl a ralzação d aálss vscolástcas com o MEC sm a dscrtzação do domío do modlo com malhas d células tras. Val rssaltar qu o algortmo roosto st trabalho só fo ralzado dvdo aos trabalhos atrors dos squsadors Adré Mullr, Adré Brabo, Calb Pava Marcos A. M. Noroha, qu dsvolvram otmzaram mcasmos fudamtas como o algortmo d vsualzação, téccas d tratamto d tgras sgulars o algortmo d rtoro. Est algortmo fo mlmtado cororado m uma lataforma comutacoal m dsvolvmto ara aálss com MEC. A art vscolástca mlmtada sta lataforma ada rqur algus ajusts qu rão otmzar ada mas o algortmo roosto. Msmo assm, o gral, a mlmtação mostrou-s stávl arstado bos rsultados. As aálss umércas ralzadas o caítulo 6 mostram qu os rsultados obtdos com o algortmo roosto arstam grad coformdad com os rsultados das aálss lastolástcas ralzadas com MEF, MEC também com os rsultados cotrados a ltratura, valdado o algortmo abordado st trabalho. Não foram cotrados xmlos d aálss vscolástcas formulados coform o modlo rológco utlzado o algortmo roosto ara qu udssm sr cofrotados os rsultados durat a volução o tmo, o tato, os rsultados obtdos arstaram um comortamto qualtatvo d acordo com o srado. Fo também obsrvado st trabalho, qu a corrta dtrmação do asso d tmo t é fudamtal ara a obtção d bos rsultados. Nst trabalho, o t fo

79 dtrmado or mo d sucssvas ttatvas, od os rsultados fas dos xmlos ralzados o caítulo 6 foram obtdos com o mrgo do maor t qu ão grass grads dscordâcas os rsultados m comaração aos dmas assos d tmo. Nos xmlos são arstados os rsultados das aálss vscolástcas cosdrado t = 0, logo, obsrvou-s qu ara ss t, os rsultados dvrgam muto dos rsultados obtdos com o mrgo do t =. Nsts dos xmlos foram também ralzadas aálss cosdrado t = 0,5, t = 0,5 t = sts ão arstaram grads dfrças os rsultados com rlação a aáls ralzada utlzado t =. Portato, ara sts dos xmlos o mrgo d t = mostrou-s sr mas coômco sguro. Esta mtodologa fo também mrgada os dmas xmlos ralzados st trabalho, orém são arstados os rsultados da aáls utlzado o t scolhdo. Outro trssat rsultado dst trabalho fo o dsvolvmto d uma frramta comutacoal caaz d ralzar amaçõs da volução das zoas lástcas dos crmtos d tsão. Auxlado ao orador do softwar a comrdr mlhor os rsultados, mlhorado sua tratvdad com o rocssamto. Est studo fcha o lajamto d trabalho ralzado lo gruo d squsas coordado lo Profssor Dr. Marcos A. M. Noroha od grads avaços tcológcos da utlzação do MEC-D foram obtdos, dstacado-s as ovas téccas d vsualzação com o MEC, formulaçõs ão-lars, téccas d tratamto das tgras com qualqur to d sgulardad, dtcção automátca d zoas lástcas, tr outras. Por outro lado, o rfrdo gruo d squsas avaça o dsvolvmto d ovas tcologas alcadas ao MEC-3D, od algus trabalhos já stão sdo dsvolvdos. Com o dsvolvmto dst trabalho, ovas rcas frts d squsas ara o dsvolvmto d ovas tcologas com MEC são abrtas. Abaxo sgum algumas sugstõs ara futuros trabalhos: Acolamto MEC/MEF D 3D ão lar, cosdrado o MEC sm dscrtzação do domío;

80 Aálss Vscolástca 3D, cosdrado o MEC sm dscrtzação do domío; Alcação do algortmo ara modlos com domíos ftos ou smftos; Ralzação d ovos studos ara mlhorar a rformac do algortmo roosto ara dtrmar as suas caractrístcas d rcsão, sforço comutacoal, covrgêca stabldad; Extsão do algortmo ara outras áras d squsa com o MEC como: mcâca da fratura, aáls d vbraçõs cotato.

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMMERAAL, L. Comutr grahcs for java rogrammrs. Eglad: Joh Wly & Sos, 998. BANERJEE, P.K.; PAPE, D.A. Tratmt of body forcs d lastostatc BEM usg artcular tgrals. Wtr Aual Mtg, Bosto, MA, 987. BEER, G. Programmg th boudary lmt mthod. Chchstr: Wly, 00. BEER, G.; WATSON, J. Itroducto to ft ad boudary lmt mthods for grs. Chchstr: Wly, 995. BOOCH, G. Objct-ortd aalyss ad dsg wth alcatos. Th Bjam/Cummgs Publshg Comay Ic., Rdwood Cty, Calfora, 994. BREBBIA, C.A.; DOMINGUES, J. Boudary lmt mthod: a troductory cours. Southamto: Com. Mch. Publcatos, 989. BREBBIA, C.A.; TELLES, J.C.F.; WROBEL, L.C. Boudary lmt tchqus. Brl: Srgr-Vrlag, 984. CRISFIELD, M. A. No-lar ft lmt aalyss of solds ad structurs, Wly, Eglad, 99. LUBLINER J., Plastcty thory. Barkly: Parso Educato, 006. MACKERLE, J. Matral ad gomtrcal olarts FEM ad BEM aalyss: a bblograhy (998-000). Ft Elm. Aal. Dsg, v.38,.307-37, 00. MALVERN, L.E. Itroducto to th mchacs of a cotuous mdum. Prtc- Hall, 969.

8 MARCHIORI, R. Imlmtacão ortada a objtos ara aáls d tsõs através do Método dos Elmtos d Cotoro. Projto d Icação Ctífca, FAPESP, Rf. 0/07648-9, São Paulo, Brasl, 00. MESQUITA, A.D. Novas mtodologas formulaçõs ara o tratamto d roblmas lástcos com o acolamto MEC/MEF rogrssvo. 00. 9. Ts (Doutorado) Escola d Eghara d São Carlos, Uvrsdad d São Paulo. São Carlos, 00. MÜLLER, A. Um ovo algortmo ara aálss ão-lars utlzado o Método dos Elmtos d Cotoro. 004. 06. Dssrtação (Mstrado) - Escola Poltécca, Uvrsdad d São Paulo. São Paulo, 004. NORONHA, M. Dsvolvmto d um sstma comutacoal ara squsas com o Método dos Elmtos d Cotoro. FAPESP 0/0967-9, São Paulo, 00. NORONHA, M.; DUMONT, E. N. A automatc schm for th umrcal valuato of gral sgular ad quas-sgular lar tgrals, XXII CILAMCE, Camas, Brasl, 00. NORONHA, M.; MÜLLER, A.; PEREIRA, A. M. B. A w algorthm for o-lar aalyss wth Boudary Elmt Mthods. XXV CILAMCE, Rcf, Brasl, 004. NORONHA, M.; PEREIRA, A. M. B. A w algorthm for vsualzato of doma rsults aalyss wth th Boudary Elmt Mthod. 5th Itratoal Cofrc o Boudary Elmt Tchology - BETECH, Dtrot, USA, 003. NORONHA, M.; WAGNER, M.; WENZEL, W.; WIRNITZER, J.; DUMONT, E. N., O a robust, objct-ortd cod for th mlmtato of covtoal ad hybrd Boudary Elmt Mthods. COTEQ/SIBRAT, Brasl, 39-4, 996. PARTRIDGE, P.W.; BREBBIA, C.A. Th dual rcrocty boudary lmt mthod. Southamto: Com. Mch. Publcatos, 99. PEREIRA, A.M.B. Avaços a vsualzação, aáls ão-lar rogramação com o método dos lmtos d cotoro. 004. 6. Dssrtação (Mstrado) - Escola Poltécca, Uvrsdad d São Paulo. São Paulo, 004.

83 PERZYNA, P. Fudamtal roblms vscolastcty. Advacs Ald Mchacs, 9,. 43-377, Acadmc Prss, Nw York, 966. PIMENTA, P. M. Fudamtos da mcâca das struturas. Notas d aula, Dartamto d Eghara d Estruturas Fudaçõs da Uvrsdad d São Paulo, 00. SHOOTER, J. Vsualzação d rsultados d domío d modlos d Elmtos d Cotoro. Projto d Icação Ctífca, FAPESP, Rf. 0/07639-0, Brasl, 00. SIMO, J.C.; HUGHES, T.J.R. Comutatoal lastcty. Nw York: Srgr, 997. (Itrdsclary Ald Mathmatcs) SIMO, J.C.; TAYLOR, R.L. A rtur mag algorthm for la strss lastolastcty. It. J. N. Mth. Eg., v.,. 649-670, 986. TELLES, J.C.F. Th boudary lmt mthod ald to lastc roblms. Brl: Srgr-Vrlag, 983. (Lcturs Nots Egrg ) VENTURINI, W.S. Boudary Elmt Mthod gomchacs. C. A. Brbba ad S. A. Orszag, São Carlos, São Paulo, 983.

84 ANEXO A ALGORITMO DE VISUALIZAÇÃO PARA O MEC Est algortmo d vsualzação fudamta-s a dtfcação d socurvas sofaxas d forma drta automátca (Fgura A.). Obtdo-s as socurvas d forma crmtal or mo d rdçõs (aroxmação la tagt) traçõs (Nwto- Rahso) ara ralzar o rtoro à curva qu s dsja traçar. Fgura A. - Rrstação squmátca do algortmo roosto. O rmro asso do algortmo cosst m dtfcar os valors máxmo mímo da fução a sr vsualzada. A artr dos valors xtrmos da fução, od-s stablcr uma faxa d valors com uma quatdad adrão d ívs d socurvas. Em sguda, dtfca-s o cotoro do modlo os otos lmts das socurvas, rfrts a sss ívs, armazado-os m uma lsta d acordo com sua ocorrêca sqücal, coform Fgura A.a. Partdo d um oto cal x da lsta dos otos lmts, o algortmo cosst m dscobrr um ovo oto da socurva, rcorrdo o camho d forma crmtal (Fgura A.b). Para sta tarfa, o algortmo comba dos rocdmtos dfrts. O rmro é uma stmatva d rdção, qu localza o ovo oto a drção tagcal, usado um asso scalar d comrmto t como s sgu:

85 t t x x ) ( =, (A.) od t é a tagt ara um dado oto da socurva, xrssa or: = x f x f x f x f t T (A.) O rocdmto ara a scolha da stmatva d rdção srá arstada mas adat. O sgudo rocdmto do algortmo, cosst m utlzar téccas tratvas ara dtrmar o ovo oto x da socurva. A maora das téccas tratvas utlza o cohcdo método d Nwto-Rahso (N-R) m assocação com codçõs d rstrção, qu dfm a drção d volta ara o oto x. Nas últmas duas décadas, os métodos d comrmto d arco (CRISFIELD, 99) têm sdo mrgados com bastat sucsso m alcaçõs ão-lars da ghara. Uma abordagm altratva ara os métodos d comrmto d arco é o método ormal flow, o qual vm sdo utlzado st algortmo. O método ormal flow fudamta-s os coctos do fluxo d Davdko, qu rrsta o cojuto d rturbaçõs d uma trajtóra (Fgura A.b). Para a rst alcação, ssas rturbaçõs são rrstadas lo cojuto d socurvas adjacts a f. Est método utlza a drção ormal do fluxo d Davdko como o camho d rtoro ara as traçõs N-R. Para o algortmo roosto, ssa é a drção do vtor ormal utáro, dfdo a Equação A.4. Assm, ara s obtr o ovo oto x, traçõs sucssvas são comutadas or: [ ] ) ( = j j j j x f x f x f f x x, (A.3) od o rmro oto corrsod ao rsultado da fas d rdção ( x x = 0 ). = x f x f x f x f T. (A.4)

86 Fgura A. - (a) Potos lmts das socurvas, (b) Fass rdtva tratva. O ovo oto x é obtdo or avalaçõs rcursvas da quação acma, até qu o crtéro d covrgêca sja satsfto, qu od sr uma smls orma como: f ( x ) ε =. (A.5) f f Est algortmo cosdra ε = 0, 00. A scolha da drção ormal como camho d rtoro, rsulta m um valor mímo da orma, com as traçõs N-R. Dvdo a sta caractrístca, sra-s qu um úmro muto quo d traçõs ( ou ) satsfaça a fas tratva. O algortmo rossgu com ovas rdçõs assos tratvos, usado o oto x das traçõs N-R como o oto cal ( x = x ), até cotrar o oto fal x f o cotoro. Etão, rmov-s os otos x x f da lsta qu cotém os otos lmts. Equato sta lsta ão stvr vaza, o algortmo rá avaçar ara a róxma socurva. Como o algortmo roosto rqur a dtrmação das drvadas arcas d f (x) m cada asso do rocsso rdtvo/tratvo, tão, é ossívl ajustar a curva utlzado-s sls cúbcas, m cada ar d otos sucssvos, já qu os vtors

87 tagts stão rotamt dsoívs. Em gral, são rqurdos aas oucos sgmtos d sls ara rrstar as socurvas com uma boa rcsão. O comrmto do asso t utlzado a fas rdtva, dd d dvrsos fators tas como a dstrbução das socurvas, a gomtra modlo o grau rqurdo d rcsão. Exst uma grad quatdad d formas d combar tas fators, torado a scolha d um comrmto d asso adquado a uma tarfa rlatvamt dfícl. No rst algortmo, sugr-s uma abordagm hurístca ara s dtrmar o comrmto do asso trsçõs d socurvas, ajustado-s t. Esta abordagm é uma ttatva smls d vtar as t como sdo a mtad da dstâca tr os dos otos adjacts ao oto cal (fgura A.3a). Ests otos adjacts são os otos cas d outras socurvas ou os catos do modlo. Durat a dtrmação dos otos d uma socurva, o asso t é ajustado automatcamt. A abordagm utlzada ara cotrolar o comrmto do asso d rdção, basa-s m smls ajusts a artr da formação sobr o rro da fas rdtva. Assm, ara cada oto d rdção, avala-s o valor da fução vrfca-s o rro obtdo. Para cada stmatva d rdção, ara lmtar um dsvo do ívl f da socurva atual m 0%, od-s obtr o ovo comrmto do asso t = f ( x 0. f ) f t t, or:. (A.6) Caso o valor atual d f ( x ) sja suror a 0% d f, o algortmo xcuta uma ova rdção usado t, ats da fas tratva, até o qu o rro calculado com a Equação A.5 sja mor qu 0%. Para vtar grads dsvos o ajust do asso, é stablcda uma faxa d valors rmtdos ara o ovo comrmto do asso, varado tr a mtad o dobro do valor corrt d t. Aós a ralzação d uma fas rdtva/tratva comlta, o comrmto do asso qu srá utlzado a rdção do róxmo sgmto da socurva, é dtrmado m fução do úmro d traçõs rqurdas a últma fas tratva, forcdo assm um ajust automátco ara o comrmto dos assos d rdção (Fgura A.3b).

Fgura A.3 - Comrmto do asso: (a) Dtrmação cal, (b) Ajust automátco. 88

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