Cálculo III-A Lista 5

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Lista 5 Eercício : Calcule + dv onde é a região contida dentro do cilindro + = 4 e entre os planos = e = 4. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue. 4 D D Como o integrando envolve + e a região de integração é um cilindro, devemos calcular a integral utiliando coordenadas ciĺındricas. Temos, = rcosθ = rsenθ = dv = rdrdθd + = r

Cálculo III-A Lista 5 87 r e a descrição de é dada pelas seguintes desigualdades rθ : θ π 4. + dv = r r drdθ = r drdθd = rθ = = 6π r 4 π rθ dθddr = π [ r r dr = 6π ] = 6π. 4 r ddr = π r [ ] 4. Então, dr = Eercício : Calcule + + dv, onde é limitado inferiormente pelo cone = + ) e superiormente pela esfera + + = 4. Solução: De + + = 4 e = + ), tem-se + = que é a projeção, no plano, da curva interseção das duas superfícies. A projeção do sólido é o disco D : +. O sólido e sua projeção D são mostrados a seguir: φ senφ = φ = π 6 D Passando para coordenadas esféricas, tem-se: = ρsenφcosθ = ρsenφsenθ = ρcosφ ddd = ρ senφ dρdφdθ + + = ρ. A equação da esfera + + = 4 fica em coordenadas esféricas ρ = 4 ou ρ =. Então, ρφθ = { ρ,φ,θ); ρ, φ π/6, θ π }.

Cálculo III-A Lista 5 88 Logo, + + ddd = ρφθ ρ ρ senφ dρdφdθ = π/6 π π/6 = ρ senφ dθdρdφ = π senφ ρ dρdφ = [ ρ 4] π/6 [ ] π/6 = π senφ dφ = 8π cosφ = 8π cos π ) = 4 6 ) = 8π = 4π ). Eercício : Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide = + e pelo plano = 4, sendo a densidade em cada ponto do sólido dada por δ,,) = + ) /. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue. 4 = 4 = + D A massa de é dada por: M = δ,,) dv = + ) / ddd. Passando para coordenadas ciĺındricas, tem-se: = rcosθ = rsenθ = ddd = r drdθd + = r

Cálculo III-A Lista 5 89 Como é dado por : Assim, {,) D + 4 então rθ é dado por rθ : M = + ) / ) ddd = r / r drdθd = r θ π r 4. = r drdθd = rθ r 4 π r rθ dθddr = π r 4 r ddr = = π r 4 r ) dr = π 4r r 4) dr = π[ 4r r5 5 ] = 8π 5 u.m. Eercício 4: Determine o volume e o centroide do sólido limitado pelo paraboloide = +, pelo cilindro + = 4 e pelo plano. Solução: De = + e + = 4, temos = 4. Isso significa que as duas superfícies se interceptam no plano = 4, segundo a circunferência + = 4. Considerando que o sólido é limitado também pelo plano, de equação =, temos o esboço de. 4 D

Cálculo III-A Lista 5 9 Como o sólido é limitado pelo cilindro + = 4, vamos aplicar a transformação ciĺındrica: = rcosθ = rsenθ =. dv = r drdθd + = r O paraboloide = + se converte em = r e o cilindro + = 4 se converte em r = 4 ou r =. Observemos que a projeção de sobre o plano é o disco D : + 4. Como as variações de r e θ são determinadas na projeção D, então r e θ π. Considerando um ponto,,) no interior de e pelo ponto uma paralela ao eio, vemos que a essa paralela intercepta a fronteira inferior no plano, onde =, e intercepta a fronteira superior no paraboloide = + onde = r. Então r. Assim, a região transformada é: Como V) = dv então: rθ = { r,θ,); r, θ π, r }. V) = rdrdθd = rθ = π r r dr = π r π r [ r r 4 dr = π 4 dθddr = π ] = 8π u.v. r r ddr = Ocentro demassadeumsólidohomogêneoéditocentroideecomoadensidadeδ,,)éconstante ela pode ser cancelada e temos: V) = dv V) = V) = dv dv. Cálculo de dv Temos, dv = + D ddd = D + ) dd = pois a função + ) é ímpar na variável e D tem simetria em relação ao eio. Logo, =.

Cálculo III-A Lista 5 9 Cálculo de dv Temos, dv = + D ddd = D + ) dd =, pois a função + ) é ímpar na variável e D tem simetria em relação ao eio. Logo, =. Cálculo de dv Temos, dv = r drdθd = rθ r r π dθddr = Logo portanto = π = π r r ddr = π r [ r 5 r 6] dr = π = π 6. 8π = π = 4. [ ] r dr = π r r 4 dr = Portanto, o centroide localia-se em,, 4/). Eercício 5: Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano =, o cilindro + = e pelo cone = +. Calcule o momento de inércia em relação ao eio. Solução: O esboço do sólido, limitado superiormente pelo cone = +, inferiormente pelo plano = e lateralmente pelo cilindro + = ou + ) = está representado na figura que se segue.

Cálculo III-A Lista 5 9 = + P =,,) = Passando para coordenadas ciĺındricas, temos: = rcosθ = rsenθ = dv = r drdθd + = r. Seja P =,,). A reta passando por P e paralela ao eio intercepta a fronteira de em = e = + = r. As variações de r e θ são olhadas na projeção de no plano : + ) ou +.,) r = senθ r = { θ π De + =, temos r = rsenθ ou r = senθ se r. Então r senθ. Logo θ π rθ : r senθ. O momento de inércia em relação ao eio é: r I = + ) δ,,) dv

Cálculo III-A Lista 5 9 onde δ,,) = k. Logo, I = k + ) dv = k r rdrdθd = rθ = k = k π senθ π [ r 5] senθ 5 = k π 5 = k π 5 = k 5 r r ddrdθ = k dθ = k 5 π cos θ) senθdθ = π senθ sen 5 θdθ = cos θ +cos 4 θ)senθdθ = [ cosθ cos θ r 4 drdθ = ] π + cos5 θ = 64k 5 5 + ) = 5 5 75 k. Eercício 6: Considere o cilindro homogêneo + a) a e h. Calcule o momento de inércia em relação ao eio, em função da massa M do cilindro. Solução: O esboço do cilindro está representado na figura que se segue. h a a a a Se a densidade constante for denotada por k, então o momento de inércia em relação ao eio é I = k + ) ddd.

Cálculo III-A Lista 5 94 Passando para coordenadas ciĺındricas, tem-se: = rcosθ = rsenθ = ddd = r drdθd + = r h O conjunto rθ é dado por rθ : θ π r asenθ.. Logo, I = k r r drdθd = k r drdθd = rθ rθ = k = hk Da trigonometria, tem-se: Então, Logo, pois M = kπa h. π asenθ π [ r 4] asenθ 4 h r ddrdθ = hk π asenθ π dθ = 4a 4 hk sen 4 θ dθ. r drdθ = ) sen 4 θ = sen θ) cosθ = = cosθ+cos θ ). 4 π/4 sen 4 θ dθ = π cosθ+cos θ ) dθ) = 4 = [ θ senθ+ θ+ sen4θ )] π = 8 8 π +π) = π 8. I = πa4 hk = Ma Eercício 7: Calcule + + dv, sendo aregiãointerior aocone = +, limitada superiormente pela esfera + + = 4 e inferiormente pela esfera + + =. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue.

Cálculo III-A Lista 5 95 ρ = P ρ = π/4 Descrição de em coordenadas esféricas Consideremos um ponto P =,,) qualquer em ; observemos que o raio OP intercepta a superfície do sólido ou a fronteira do sólido) inicialmente em ρ = e depois em ρ =. Logo, ρ. O ângulo φ varia de eio positivo) até π/4 parede do cone); a variação do ângulo θ é encontrada na projeção de no plano : θ π. Logo, ρφθ é dado por: ρφθ : ρ φ π/4 θ π Como + + = ρ e dv = ρ senφdρdφdθ, então: + + dv = ρ ρ senφdρdφdθ = = π/4 = π senφdφ ) + ρφθ π dρ = π ).. dθ = π [ ρ ] [ ] π/4 cosφ = Eercício 8: Calcule a massa do sólido inferior ao cone = + ) e limitado pela esfera + + ) =, sendo a densidade igual ao quadrado da distância de,,) ao plano =. Solução: Primeiramente, calculemos a interseção das duas superfícies. { + + ) = = + ) { + + = = + ) + = 4 6 = = ou =.

Cálculo III-A Lista 5 96 Logo, a interseção se dá no plano = /, e a sua projeção no plano é a circunferência + = /4. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. / = π/ / / Como o ângulo da reta = corte do cone = + ), considerando = ) é o ângulo π/, então φ varia de eio positivo) a π/ π/ = π/6. Transformando a equação + + ) = ou + + = para coordenadas esféricas temos ρ = ρcosφ logo ρ = ou ρ = cosφ. Isso significa que ρ varia de a cosφ. A variação de θ é encontrada na projeção de no plano. Logo, θ π. Assim, ρφθ é dado por: ρφθ : θ π φ π/6 ρ cosφ. Como a distância de,,) ao plano = é então δ,,) = =. A massa de é: M = δ,,)dv = dv = ρcosφ) ρ senφdρdφdθ = ρφθ π π/6 cosφ = ρ 4 cos φsenφdρdφdθ = cos φsenφ ρ 4 dρdφdθ = ρφθ π π/6 [ = cos ρ 5] cosφ φsenφ 5 [ ] cos 8 π/6 π φ dθ = 8π 8 5 = 5 dφdθ = 5 [ ) ] 8 π π/6 cos 7 φsenφdφdθ = = 8π 5 8 4 = 5π 8 u.m. Eercício 9: Epresse a integral I = 4 4 + + ddd

Cálculo III-A Lista 5 97 como uma integral tripla em coordenadas ciĺındricas, e calcule a integral obtida. Solução:TemosqueI = + + dv,onde éosólidodadopor : 4 4 Também podemos descrever por = = {,,); {,) D, 4} onde D é a projeção de sobre o plano e é dado por D : 4.. + = 4 D Logo, o esboço de está representado na figura que se segue. 4

Cálculo III-A Lista 5 98 θ π/ Descrevendo em coordenadas ciĺındricas, temos rθ : r 4 I = = 4 rθ π/ +r r drdθd = π/ 4. Então, +r ) / r ddrdθ = [ +r ) ] / = dθ 4 5 ) π 5 = 5 ) 5 π. Eercício : Epresse cada integral como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida: a) b) 9 ddd + + +. 9 ddd. Solução: a) Denotando a integral iterada por I, temos, I = + + + ddd onde ou = {,,) R ;, }{{}, } D = {,,) R ;,) D e } onde D : { é a projeção de no plano.

Cálculo III-A Lista 5 99 Sai em = D + = D Entra em = De concluímos que o sólido é limitado superiormente pela superfície = ou + + =, com, que é a semiesfera superior de raio e centro,,), e é limitado inferiormente pelo plano de equação =. Considerando que a projeção de no plano é a região D, temos: Passando para coordenadas esféricas, temos: = ρsenφcosθ = ρsenφsenθ = ρcosφ ddd = ρ senφ dρdφdθ + + = ρ. Como a projeção de no plano é o conjunto D, vemos que θ varia de a π/ : θ π/. Efetuando uma varredura em, a partir do eio positivo vemos que φ varia de no eio positivo) até π/ no plano ): φ π/. Considerando um ponto P no interior de e a semirreta OP, vemos que ela entra em na origem onde ρ = e sai de em um ponto da esfera + + = onde ρ =. Logo, ρ.

Cálculo III-A Lista 5 Assim, transforma-se em: Como o integrando I = = θ π/ ρφθ : φ π/ ρ transforma-se em + + + +ρ então: ρφθ [ = π = π = π +ρ ρ senφ dρdφdθ = ρ π/ +ρ ] π/ cosφ π/ senφ ρ +ρ dρ = π )dρ = π +ρ ) π 4 = π 8 4 π). dθdφdρ = π [ ρ arctgρ. ρ π/ +ρ +ρ +ρ dρ = ] = π arctg) = senφ dφdρ = b) Temos, onde ou onde D : = I = 9 9 ddd = ddd {,,) R ;, 9 }{{}, } 9 D = {,,) R ;,) D e } 9 { 9 é a projeção de D no plano. Sai em = 9 D D Entra em =

Cálculo III-A Lista 5 Considerando um ponto P no interior de e uma reta paralela ao eio, passando por P e levando em conta que 9, concluímos que a reta entra em em = e sai de em = 9 ou + + = 9, com. Logo, é limitado superiormente pela semiesfera superior e limitado inferiormente pelo plano =. Passando para coordenadas esféricas temos: θ π/ ρφθ : φ π/ ρ e Então, I = ρφθ = = = ρsenφcosθ)ρcosφ) = ρ senφcosφcosθ. ρ senφcosφcosθ ) ρ senφ ) dρdφdθ = ρφθ ρ 4 sen φcosφcosθ dρdφdθ = ρ 4 π/ [ ] π/ = senθ }{{} = = [ ρ 5] 5 π/ sen φcosφ cosθ dθdφdρ = π/ [ ρ 4 sen sen φcosφ dφdρ = φ = 8 5. ] π/ ρ 4 dρ =