COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES SANTO ANDRÉ 2012
MEDIDAS DE SUPERFÍCIES (ÁREA): No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: MEDIDAS DE VOLUMES: Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. MEDIDAS DE CAPACIDADE ( LITROS): Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. MEDIDAS DE MASSA: Transformação de Unidades. Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
MEDIDAS DE DISTÂNCIAS ( COMPRIMENTO) Transformação de Unidades MEDIDAS DE TEMPO Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Quadro de unidades Múltiplos: Minutos hora dia min h d 60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s São submúltiplos do segundo: Décimo de segundo Centésimo de segundo Milésimo de segundo Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: Exercícios de Medidas de Comprimento 1) Complete a tabela fazendo as transformações: 3 km= m 3,5 m= cm 12 m = dm 7,21m= cm 4 cm= mm 2) Quanto vale em metros: a) 3,6 km + 450 m b) 6,8 hm - 0,34 dam c) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam e) 82,5 hm + 6 hm
Exercícios de Medidas de Capacidade 1) Sabendo que 1Kl tem 1000 l, quanto kl tem: a) 37 l = b) 3750 l = c) 44185 l = 2) Transforme as medidas, escrevendo-as na tabela abaixo: a) 0,936 kl em dl b) 7,8 hl em l c) 502 ml em l Quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 3) Complete a tabela com os valores equivalentes em litros: Quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml Exercícios de Medidas de Massa 1) Leia a medida em grama e monte a tabela eabaixo: Quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama Kg hg dag g dg cg mg a) 9 5, 1 2 0 6 b) 0, 4 9 2 c) 1 2 3 5, 5 d) 1 3 2) Efetue as seguintes transformações: a) 2,5 mg em g b) 9,56 dg em mg c) 0,054 hg em cg Exercícios de Medidas de Superfície Efetue as seguintes transformações: a) 5 m² em dm² b) 12 km² em dam² c) 13,34 dam² em m² d) 457 dm² em m² e) 655 dam² em km² Exercícios de Medidas de Tempo a) Uma hora tem quantos segundos? b) Um dia tem quantos segundos? c) Uma semana tem quantas horas? d) Quantos minutos são 3h45min? h) Quantos segundos têm 35 min? i) Quantos segundos têm 2h53min? j) Quantos minutos têm 12 horas?
Exercícios de Medidas de Volume Dê a representação simplificada das seguintes medidas: a) doze centímetros cúbicos. b) três metros cúbicos e quinze decímetros cúbicos. c) seis centímetros cúbicos e doze milímetros cúbicos. d) quinze hectômetros cúbicos e cem metros cúbicos. Efetue as seguintes transformações a) 6m³ em dm³ d) 0,95 dm³ em mm³ e) 500 dam³ em m³ f) 8,132 km³ em hm³ b) 50 cm³ em mm³ c) 3,632 m³ em mm³ Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000,... um meio dois quintos um terço quatro sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos Classificação das frações Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Frações equivalentes Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Exemplo: são equivalentes Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplo: obter frações equivalentes à fração. Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a. Simplificação de frações Uma fração equivalente a, com termos menores, é. A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de. A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração nenhum fator comum não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem Números fracionários Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? 5. X = 1 Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário. Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =, pois.
Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações. Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: Radiciação Potenciação de Radicais Observando as potencias, temos que: De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos: Divisão de Radicais Segundo as propriedades dos radicais, temos que: De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos: : = Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:
Considere a fração: Racionalização de denominadores que seu denominador é um número irracional. Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por, obtendo uma fração equivalente: Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. Principais casos de racionalização: 1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos: é o fator racionalizante de, pois. = = a 2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos: é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades: ou Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical. De modo geral, definimos:, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0 Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:
Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que: Exemplo: Equações de primeiro grau (com uma variável) Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x 2 - x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x 2-36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Equação completas e Incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 10x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Discriminante Denominamos discriminante o radical b 2-4ac que é representado pela letra grega (delta). Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo. O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: Exemplo: Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? Solução Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter Logo, os valores de k devem ser menores que 3. 2º Caso: O discriminante é nulo O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: Exemplo: Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução Para que a equação admita raízes iguais é necessário que.
Logo, o valor de p é 3. 3º Caso: O discriminante é negativo. O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos. Exemplo: Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? Solução Para que a equação não tenha raiz real devemos ter Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para, a equação tem duas raízes reais diferentes. Para, a equação tem duas raízes reais iguais. Para, a equação não tem raízes reais. Exemplo 1: Aplicações do Teorema de Pitágoras Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos: a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo". Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras. a) Logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras. b) Logo o triângulo é retângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras. Exemplo 2: Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos: a) b)
Resolução: a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: Exemplo 3: Calcula as áreas das seguintes figuras. a) b)
Resolução: a) b) Exemplo 4: a) Qual era a altura do poste?
Resolução: h = 4 + 5 = 9 Resposta: A altura do poste era de 9 m. Exemplo 5: b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde. Resolução: Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m. EXERCÍCIOS: 1) Os lados de um triângulo medem 10 cm, 24 cm e 26 cm, pode-se afirmar que esse triângulo é retângulo? Justifique a resposta.
2) O Rui antes de ir para a Escola passa pela casa da Teresa, percorrendo o caminho indicado na figura ao lado. Que distância percorreria a menos se fosse diretamente para a Escola? 3) A TV de plasma do Rui mede 112 cm de comprimento e a respectiva diagonal mede 175 cm. Qual é a altura do aparelho? 4) O comprimento da diagonal do quadrado de perímetro 24 cm é: