EXPERIÊNIA 7 ONSTANTE DE TEMPO EM IRUITOS R I - OBJETIVO: Medida da consane de empo em um circuio capaciivo. Medida da resisência inerna de um volímero e da capaciância de um circuio aravés da consane de empo. II - PARTE TEÓRIA: APAITOR: Um sisema formado por duas placas paralelas (armaduras) de área A, de maerial conduor, separadas por uma disancia d é um capacior. Quando ligamos suas armaduras a uma fone de ensão, aparece em suas placas uma carga +Q e oura -Q. Definimos a capaciância de um capacior como a relação enre a carga Q e a diferença de poencial V nos seus erminais. (1) = Q V Se Q é dado em oulomb, V em Vol, é expresso em Farad, (F). Para a esruura acima, a capaciância é calculada pela relação: A = e 0 (2) d Sendo e 0, uma caracerísica do meio enre as armaduras, normalmene o vácuo. Para melhorar as caracerísicas do capacior, colocamos enre suas armaduras um maerial dielérico. Esse maerial aumena a capaciância do capacior. Exisem, comercialmene, a depender da uilização, capaciores dos mais diversos ipos e amanhos. Podemos ciar alguns, em função do maerial dielérico. Quano ao ipo de dielérico, eles podem ser polarizados (elerolíicos, ânalo, ec.), ou não-polarizados (ar, óleo, polieser, mica, ec.).
86 IRUITO R SÉRIE - ONSTANTE DE TEMPO APAITAVA: Quando ligamos um circuio com apenas uma resisência R, a ensão se eleva insananeamene ao seu valor máximo. Mas quando inserimos um capacior nese circuio, a ensão no capacior demora um cero empo para assumir seu valor máximo V o. O circuio da figura 1 coném uma fone de ensão V o, um resisor R, e um capacior, em série. Fig. 1 Inicialmene, o capacior esá descarregando; ligamos o circuio no insane = 0, chave na posição 1. Vamos ver agora que a carga Q do capacior não se esabelece de maneira insanânea. Sabemos que: dq I = (3) d Pela lei de Ohm emos: VR = R I (4) ARGA DO APAITOR: Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff ao circuio da figura 1, (chave na posição 1), emos: Vo = VR + V (5) Das equações 1 e 4, podemos escrever: Q Vo = R I + (6)
87 Da equação 3, subsiuindo em 6 emos: V R dq Q o = d + (7) A solução para esa equação diferencial é do ipo; R τ Q = Vo (1 e ) = Vo (1 e ) (8) Verifique a afirmação acima. Quando = R emos: 1 Q = e = Vo 1 = 63% Vo 63% Qo (9) onde Q o é a carga máxima do capacior. A grandeza R, que em dimensão de empo, é chamada de consane de empo capaciiva. Ela represena o empo necessário para que a carga ou a ensão ainja, no capacior, um valor igual a 63% do seu valor máximo. O comporameno da ensão V é obido a parir do comporameno de Q, equação 1. Enão: V Q R = = Vo (1 e ) (10) O que podemos observar é que, ao ligarmos um circuio R, a ensão demora um empo infinio para aingir ao seu valor máximo, figura 2. V(V) 12 10 8 63% 6 4 τ= R R = 100 kω = 30 µ F Vo = 12 V 2 0 τ 2 4 6 8 10 12 (s) Fig. 2
88 DESARGA DO APAITOR: Suponha agora que, na figura 1, a chave enha permanecido na posição 1 por um longo período de empo, de modo que o capacior eseja compleamene carregado. Levando a chave para a posição 3 ele começa a ser descarregado pelo resisor R. Aplicando novamene a equação das malhas de Kirchhoff para esse circuio, chave em 3, emos: V R De 1 e 4, emos: ou ainda de 3 emos: + V = 0 (11) R 1 I + Q = 0 (12) R dq 1 d + Q = 0 (13) rearrumando a equação, obemos: dq Q = 1 R d (14) A solução dessa equação diferencial é do ipo: Q = Q e 0 R (15) Verifique a afirmação acima. Onde Q o é a carga inicial ou carga máxima no capacior. Derivando 15, com respeio a emos a correne I. I = dq d Q0 = - R e R (16) O sinal negaivo na equação 16 define que a correne é em senido conrário ao que nos convencionamos inicialmene.
89 Q0 R I = e R (17) Ou, finalmene, das equações 1, 4, 11 e 17 emos: 0 0 e V = V e R = V τ (18) A equação 18 fornece o valor da ensão V da descarga do capacior em função do empo. III - TEORIA DA MEDIDA: Você irá fazer suas medidas, na pare referene àconsane de empo capaciiva, com um mulímero usado como volímero em ensão conínua. Ese volímero não é ideal. A sua resisência R v não é infinia apesar de grande. Vamos ver como ela pode inerferir nas medidas. Simbolizaremos o volímero pelo circuio equivalene; mosrado na figura 3. Reveja ese assuno na experiência de MEDIDA DA ORRENTE E DIFERENÇA DE POTENIAL. Fig. 3 O volímero esá represenado por um volímero ideal e uma resisência R v em paralelo. om a chave na posição 1, figura 3, o capacior se carrega; na posição 2, (chave abera), ele se descarrega somene sobre a resisência Rv do volímero. Na posição 3 ele se descarrega sobre o resisor R conhecido e sobre a resisência do volímero R v, associados em paralelo. Para a descarga do capacior, emos:
90 Fig. 4 A consane de empo que obemos é igual a: 3 = R RV R R = R Th + (19) V om a chave na posição 1, carga no capacior, o circuio mosrado a esquerda é equivalene ao da direia, figura 5. Veja ANEXO. Fig. 5 Para esse circuio, emos a consane de empo 1 dado por: 1 = R RV R R = R Th + (20) V Observe que a consane de empo 1 é igual a 3. om a chave na posição 2 (chave abera), o capacior descarrega somene sobre R v, resisência inerna do volímero, e a consane de empo é dada por: 2 = RV (21) IV - PARTE EXPERIMENTAL:
91 LISTA DE MATERIAL: - fone de ensão - volímero - capacior de valor desconhecido - resisor de valor conhecido - placa de ligação - cronômero - chave liga - desliga de duas posições - fios UIDADO OM OS EQUIPAMENTOS: Nunca ulrapasse a ensão máxima indicada no corpo do capacior, pois pode danificá-lo de maneira irreversível. Mais uma vez lembramos que o mulímero é um insrumeno de grande sensibilidade. Logo, odo cuidado é pouco durane o seu manuseio. erifique-se de que a seleção da escala eseja correa, iso é: medida de ensão conínua. MEDIDAS: IV.1 - Medidas da onsane de Tempo Anoe o valor da resisência R, conhecida. Anoe ambém o valor da resisência inerna, R v do volímero, para o fundo de escala uilizado. Anoe o desvio avaliado do volímero, para a escala uilizada. Arme o circuio apresenado na figura 6, observando com cuidado a polaridade do capacior. Use a resisência R, de valor conhecido. Uilize uma ensão Vo enre 6 e 12 Vol, a depender da ensão máxima que supora o seu capacior.
92 1 2 3 E Fig. 6 D om a chave em 3, meça o valor da ensão V o, enre os ponos 1 e D (ensão nos erminais de saída da fone). om a chave em 1 e o volímero ligado enre os ponos E e D, meça o valor máximo da ensão nesse ponos. Espere o empo suficiene para a ensão se esabilizar, pois o capacior esá sendo carregado. oloque novamene a chave em 3; nese momeno o capacior começa a ser descarregado. Meça, enão, com o cronômero, a consane de empo de descarga 3 que é o empo necessário para a ensão cair aé 37% do seu valor máximo. Ao erminar essa medida, deixe o capacior descarregando, com a chave em 3, por um empo maior que 5 3. om a chave novamene em 1, meça com o cronômero a consane de empo de carga 1 que é o empo necessário para a ensão elevar-se aé 63% do seu valor máximo. ompare com o valor de 3. Após essa medida deixe o capacior carregar-se oalmene. oloque a chave em 2 (chave abera), meça com o cronômero a consane de empo de descarga 2, empo necessário para a ensão cair aé 37% do seu valor máximo. ompare com o valor enconrado para 3 jusifique a diferença enconrada. Repia o procedimeno de carga e descarga do capacior mais duas vezes, anoando os respecivos empos. oloque a chave na posição 1 para carregar o capacior. Espere o empo suficiene para a ensão se esabilizar. oloque a chave na posição 2, (chave abera) para que o capacior se descarregue apenas sobre a resisência inerna R v do volímero, disparando simulaneamene o cronômero. A inervalos regulares de empo, leia e anoe a diferença de poencial no capacior, de maneira
a conseguir no mínimo 20 ponos de medida. Escolha o inervalo de medida de maneira a abranger no mínimo duas consanes de empo. Jusifique a sua escolha. 93 V - RELATÓRIO: A seguir, apresenamos uma seqüência de quesões que obrigaoriamene devem ser respondidas no seu relaório. Lembramos mais uma vez que esa lisa não é limiaiva. - A parir das medidas de ensão enre 1 e D e enre E e D, calcule o valor da resisência inerna R v do volímero, na escala uilizada. - Das medidas das consanes de empo 2 e 3 calcule o valor de R v, compare com o valor calculado no iem anerior. - Mosre que o empo de descarga de um capacior é igual ao empo de carga, desde que seja feio nas mesmas condições ou seja, em um circuio com a mesma resisência R. - onsrua uma abela com os resulados enconrados. - Trace o gráfico de V versos, em papel milimerado. Não esqueça de colocar o inervalo de confiança da medida de V. - Trace o gráfico de V versos, em papel mono - log. A parir daí, calcule o valor de. - Discua e avalie os erros sobre odas as medidas efeuadas. - Analise dealhadamene o gráfico obido no papel milimerado. O que aconece quando? Esá de acordo com a eoria? - Jusifique odas as observações feias nese experimeno. - Mosre que R em dimensão de empo. - Mosre por subsiuição direa que a equação 8 é solução da equação 7, como ambém a 15 é solução da 14. - alcule o erro na deerminação de e de Rv. - ompare o valor de R v enconrado experimenalmene com o valor dado pelo fabricane do insrumeno. Jusifique a diferença. VI - LEITURA REOMENDADA:
94 HALLIDAY, David, RESNIK, Rober. Fundamenos de Física, 3.ed, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e ieníficos Ediôra S.A, 1993. v.3, p. 125 _ 129. TIPLER, Paul A. Física, 2.ed, Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984. v.2a, p. 714-717. SEARS, Francis, ZEMANSKY, Mark W, YOUNG, Hugh D. Física Elericidade e Magneismo, 2.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e ieníficos Ediôra S.A, 1994. v.3, p. 630-633. GOLDEMBERG, José. Física Geral e Experimenal, v.2, Ediôra Nacional e Ediôra da USP, 1970. p. 370-373. MARTINS, Nelson. Inrodução à Teoria da Elericidade e do Magneismo, 2.ed, São Paulo: Ediôra Edgard Blucher Lda, 1975. p. 336-339. PURELL, Edward M. urso de Física do Berkeley, Elericidade e Magneismo, v.2, Ediôra Universidade de Brasília, Ediôra Edgard Blucher Lda, 1970. p. 132-134. MEINERS, Harry F, EPPENSTEIN, Waler, MOORE, Kenneh. Laboraory Physics, N.Y: John Wiley and Sons, Inc, 1969. p. 311-312. JERRARD, H.G, McNEILL, D.B. Theoreical and Experimenal Physics, London: hapman & Hall, 1960. p. 476-482.