1 GEOMETRIA LÚDICA: DESCOBRINDO A ÁREA DE FIGURAS PLANAS Agda Jéssica de Freitas Galletti UnB DF aj.mat@hotmail.com Francisca Priscila Ferreira da Silva UnB - DF priscilafs.df@hotmail.com Gabriela Aparecida Parreira UnB - DF gabparreira@gmail.com Resumo Geometria Lúdica: descobrindo a área de figuras planas é uma proposta de minicurso para o VI EBREM, voltado a professores de matemática da educação básica. O principal objetivo consiste em determinar a área de figuras planas, figuras congruentes, figuras equivalentes, teorema de Pitágoras, teorema de Pick e diversas aplicações geométricas. Na abordagem dinâmica do tema, aplicando indução, dedução e raciocínio lógico, os conceitos são desenvolvidos e os conhecimentos são formulados mediante atividades de conjetura, observação, comparação e generalização, evitando assim a memorização de fórmulas. Os recursos didáticos utilizados nas experiências e na resolução de problemas incluem geoplanos, poliminós, polidiamantes, tangrans, malhas quadrangulares e isométricas. O minicurso almeja avivar no participante o interesse pelas atividades escolares que facilitem o processo de ensino-aprendizagem, a participação ativa dos alunos em sala de aula e o uso de recursos pedagógicos manipuláveis, contribuindo assim para uma melhoria na qualidade de ensino. Palavras-chave: Área de figuras, geoplano, geometria plana. Público alvo: Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Objetivos Os objetivos incluem o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade, da capacidade de resolver problemas aplicando método de investigação matemática e também promover o uso de recursos didáticos no estudo da geometria como auxílio na aprendizagem dos conceitos.
2 Justificativa Área de figuras planas é tema importante no curriculum escolar por suas conexões com outros ramos da matemática, pelas competências e habilidades que com ele são desenvolvidas e pelas suas numerosas aplicações. Essa proposta tem grande importância porque o processo de ensino-aprendizagem desenvolve importantes competências e habilidades matemáticas e coloca ao aluno como o principal construtor do seu conhecimento. O minicurso permite que o educador matemático estimule a participação ativa dos alunos na construção dos conceitos e se sinta motivado a buscar novas formas de transmitir o conteúdo, se tornando agente tranformador da realidade educacional. Metodologia A metodologia aplicada é ativa e lúdica, inclui a realização de experiências e a resolução de problemas. Os participantes trabalham em grupo ou individualmente. Os recursos didáticos utilizados nas atividades, geoplanos quadrangular e isométrico, poliminós, polidiamantes, tangrans, malhas quadrangulares e isométricas, são facilitadores para incentivar, motivar e para desenvolver o raciocínio lógico, além de propiciar a construção do conhecimento e a sociabilização. Todos os materiais didáticos e as soluções das atividades serão colocados à disposição dos professores cursistas. Área de figuras planas Área de uma figura plana é um número real positivo que representa o tamanho da superfície dessa figura. Notação - Área da figura F: A(F). Tomamos como unidade de área a área de um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento, 1u, chamado quadrado unitário, notado por Q!. Notação Unidade de área: 1u² - Área de Q! : A(Q! ) = 1u² As seguintes atividades usam o geoplano quadrangular onde as unidades de comprimento e de área são representadas como na Figura 1.
3 Atividade 1. i)representar um retângulo P! com medidas: base, b=2u e altura, h=1u. ii) Representar um retângulo P! com medidas: base, b=4u e altura, h=1u. iii) Representar um retângulo P! com medidas: base, b=2u e altura, h=3u. iv) Comparar: retângulos P! e P! ; retângulos P! e P!.- Concluímos que a área de um retângulo R é diretamente proporcional ao comprimento da base b e é diretamente proporcional ao comprimento da altura h do retângulo, isto é, A(R) = kbh, onde k é uma constante de proporcionalidade. Atividade 2. Repetir a Atividade 1 para o caso onde o polígono é Q!. - Na Atividade 2 obtemos em (i): P! = 2Q!, neste caso é, A(P! ) = A(2Q! ) = 2A(Q! ) ; em (ii): P! = 4Q!, A(P! ) = A(4Q! ) = 4A(Q! ) ; em (iii): P! = 6Q!, A(P! ) = A(6Q! ) = 6A(Q! ). Segue que a constante de proporcionalidade neste caso é A(Q! ). Generalizando, segue Área do retângulo é igual ao produto dos comprimentos da base e da altura do retângulo. A[ABCD] = base altura= b.h Propriedades da área:- Retângulos congruentes têm a mesma área; - Se um polígono P é a união de n polígonos P!, P!,..., P! que somente têm em comum alguns lados, então a área de P é a soma das áreas dos P!, com 1 i n. Para calcular a área de polígonos, os transformamos em figuras com áreas conhecidas. Atividade 3. Construa um paralelogramo P, ABCD. i) Determine os comprimentos da base e da altura do paralelogramo. ii) Divida o paralelogramo em: um triângulo retângulo e um trapézio retângulo. iii) Com os polígonos de (ii) forme um retângulo com a mesma base do paralelogramo e calcule a área do retângulo. iv) Determinar a área do paralelogramo. Área de um paralelogramo P: A(P) = base altura= b.h Atividade 4. Construa um triângulo retângulo ΔABC. i) Com o ΔABC e com outro triângulo congruente a ΔABC formar um retângulo ABCD com a mesma base e altura que o triângulo ΔABC. ii) Calcular a área do retângulo ABCD iii) Achar a área do ΔABC. iv) Repetir (i), (ii) e (iii) para um triângulo acutângulo arbitrário ΔABC. v) Repetir (i), (ii) e (iii) para um triângulo obtusângulo arbitrário ΔABC.
4 Área de um triângulo arbitrário ΔABC: A(ΔABC) = ½ (base altura) = ½ b.h Atividade 5. Construa um trapézio ABCD de base maior b, de base menor b e altura h. i) Com o trapézio ABCD e com outro trapézio congruente formar um paralelogramo. ii) Calcular a área do paralelogramo de (i). iii) Determinar a área do trapézio ABCD.- Área de um trapézio ABCD: A(ΔABC) = ½ (base maior base menor x altura)=½ b.b.h Atividade 6. Construa no um losango L, ABCD, com diagonais d e d. i) Divida a figura anterior pelas diagonais e forme quatro triângulos congruentes. ii) Construa um retângulo com os quatro triângulos e calcule a área do retângulo. iii) Determine a área do losango ABCD. Área de um losango L: A(L) = ½ (diagonal maior diagonal menor)=½ d.d Para determinar a área de um polígono regular de qualquer número de lados, se traçam todos os segmentos que unem o centro aos vértices do polígono, com o que ficam determinados triângulos congruentes, cada um deles tem por base b o lado do polígono. Atividade 7. A partir da construção de um octógono regular, enuncie uma fórmula para calcular a sua área. Área de um polígono regular P: A(P) = 8 (½b.h) = ½ (perímetro apótema) Podemos usar os métodos já apresentados para calcular a área de polígonos irregulares. Por exemplo, podemos sub-dividir o polígono em triângulos ou quadriláteros, ou seja polígonos dos quais conhecemos a área, portanto a área do polígono irregular é a soma das áreas dos polígonos de sua decomposição. Atividade 8. Construa polígonos irregulares e calcule suas respectivas áreas. Atividade 9. Construa diferentes triângulos no geoplano com área de ½u². Atividade 10. Construa triângulos no geoplano com área de: i) 1u²; ii)1½u²; iii) 2u². Atividade 11. Construa dois triângulos de formatos diferentes, mas de mesma altura e de mesma base. Compare as respectivas áreas Atividade 12. Construa dois paralelogramos de formatos diferentes, mas de mesma altura e de mesma base. Compare as respectivas áreas. Figuras equivalentes são superfícies planas que têm a mesma área. As figuras congruentes são figuras equivalentes. Atividade 13. i) Construir triângulos equivalentes e não congruentes. ii) Construir paralelogramos equivalentes e não congruentes.
5 Atividade 14. Construir um quadrado com lados medindo 6u de comprimento. Achar uma partição do quadrado em quatro polígonos equivalentes e não congruentes. Atividade 15. Construir polígono com 10u de perímetro e 6u! de área. Teorema de Pitágoras. Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos, ou seja a! =b! + c! Atividade 16. Construa quadrados sobre os três lados de um triângulo retângulo com catetos medindo 1u e 2u. Calcule a área dos três quadrados e verifique o Teorema de Pitágoras. Atividade 17. i) Construir polígono com (3 + 5)u de perímetro e calcule a área. ii) Construir polígono com (9 + 2 + 13)u de perímetro e calcule a área. Atividade 18. Construir polígono com (7 + 2 + 5)u de perímetro e área de 4½u². Atividade 19. i) Construa polígonos que contenham um único ponto do geoplano no seu interior e calcule a área de cada um deles. ii) Encontre uma relação entre a área e o número de pontos do geoplano contidos no bordo, para cada figura construída em (i). Atividade 20. Construa polígonos tais que contenham 1,2,3,... pontos no seu interior. i)existe algum limite máximo para o número de pontos internos no caso de um polígono cuja fronteira contém 12 pontos do geoplano? ii)procurar uma fórmula que relacione as áreas das figuras que têm exatamente 12 pontos do geoplano em seu bordo com número i de pontos do geoplano em seu interior. Atividade 21. Enunciar o resultado que relaciona a área A de uma figura no geoplano com o número b de pontos na sua fronteira e com o número i de pontos no seu interior. Teorema de Pick. Se P é um polígono com seus vértices em pontos do geoplano, P! e P!, são,respectivamente, o número de pontos do geoplano que pertencem ao interior e ao bordo (fronteira) de P, então A(P) = P! + ½ P! 1 Atividade 22. Calcule as áreas dos seguintes polígonos representados na Figura 4. Nas seguintes atividades usamos o geoplano isométrico onde a distância entre dois pinos é uma unidade de comprimento, 1u, e a unidade de área é a área do triângulo equilátero com
6 lados de 1u de comprimento, chamado triângulo unitário. Esta área é chamada de áreas triangular porque a unidade de área é a área do triângulo unitário. Atividade 23. i) Construir triângulos equivalentes e não congruentes. Calcule as áreas. ii) Construir paralelogramos equivalentes e não congruentes. Calcule as áreas. Atividade 24. Construir um polígono com 6u² de área triangular e 8u de perímetro. Atividade 25. i) Construir um hexágono regular com lados medindo 2u de comprimento e calcular a área triangular desse polígono. ii) Partir o hexágono regular em quatro polígonos equivalentes e não congruentes. Atividade 25. Calcule as áreas triangulares dos seguintes polígonos representados na Figura 5. Os poliminós são figuras planas formadas pelos agrupamentos de um número n de quadrados unitários justapostos com pelo menos um lado comum. São classificados segundo o número de quadrados que compõem cada figura, vide a Figura 6. Atividade 27. Com pentaminós construir retângulos com área de: i) 50 u²; ii) 55 u². Atividade 28. Construir uma cerca com todos os pentaminó e achar a área do maior polígono cercado pelas doze peças. Atividade 29. Achar a área do maior retângulo que pode ser cercado pelos doze poliminós. Os polidiamantes são figuras planas formadas pelos agrupamentos de um número n de triângulos unitários justapostos com pelo menos um lado comum. São classificados segundo o número de triângulos que compõem cada figura, vide a Figura 7. Os polidiamantes permitem realizar atividades do tipo das anteriores. Atividade 30. Com dois hexadiamantes formar um polígono e fazer uma figura congruente a anterior com outras duas peças. Atividade 31. Com todos ao hexadiamantes formar um hexágono com 3u de lados.
7 Atividade 32. Selecione algum dos tangrans apresentados, escolha as unidades de medida e determine: i) o perímetro e a área de cada peça; ii) com todas as peças forme outro polígono e calcule o perímetro. Referências Bibliográficas Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. M.; Giménez, J.; Torra, M. Enseñar matemáticas. Barcelona: Graó. 1998. Pp227 Barbosa, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de janeiro: 2003. Pp 222 Lima, E.L. Medida e forma em geometria.rio de Janeiro: SBM. 1991. pp. 98 Olmo, M.A. Superficie y volume. Madrid: síntesis. 1993. Pp176. Recio, A. M.; Rivaya, F. J. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría. Madrid: Sintesis. 1989. Pp 144.