A EXPRESSÃO GRÁFICA NA EXPLORAÇÃO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS ATRAVÉS DE SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA

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1 A EXPRESSÃO GRÁFICA NA EXPLORAÇÃO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS ATRAVÉS DE SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA Anderson Roges Teixeira Góes Universidade Federal do Paraná Departamento de Expressão Gráfica Secretaria Municipal de Educação de Araucária/PR Tecnologia Educacional, Brasil Marco Antonio da Cunha Universidade Federal do Paraná Departamento de Expressão Gráfica Programa Licenciar, Brasil Adriana Augusta Benigno dos Santos Luz Universidade Federal do Paraná Departamento de Expressão Gráfica Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e em Matemática, Brasil driu@ufpr.br Heliza Colaço Universidade Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e em Matemática, Brasil helizacol@hotmail.com Resumo: Este artigo relata uma metodologia de ensino de Geometria através do software de Geometria Dinâmica (GD) Régua e Compasso versão Metal. A utilização de software de GD é uma ferramenta de suma importância para o ensino e aprendizado de Geometria, uma vez que esta metodologia proporciona ao aluno uma experiência impossível no aprendizado tradicional, pois o aluno pode ver instantaneamente as modificações em suas construções. O exemplo didático apresentado neste artigo exemplifica o potencial desta metodologia mostrando em sala o ganho imediato na compreensão dos conteúdos que ficavam anteriormente apenas no imaginário. Palavras-chave: Geometria Dinâmica; Ensino da Matemática; Expressão Gráfica. 1. Introdução Com a perspectiva de que o mundo atual exige uma formação que tenha significado para o cidadão e sintonize-o com uma visão de mundo diferente, para assim garantir uma formação que o torne o protagonista na construção do conhecimento, criou-se uma metodologia aplicada no curso de Matemática da Universidade Federal do Paraná, para a disciplina de Geometria Dinâmica (GD). O exemplo aqui relatado utiliza o software Régua e Compasso versão Metal e possui como objetivo trabalhar os conhecimentos das propriedades de triângulos e 1

2 quadriláteros adquiridos na disciplina de Desenho Geométrico I. As interações propostas levam os alunos a uma experimentação destes conteúdos de uma forma impossível no desenho tradicional. O desenvolvimento de metodologias alternativas cria elo entre a teoria e prática em sala de aula, oportunizando aos alunos a construção e verificação de conhecimento, com grande participação em sala de aula. (GÓES, 004) Assim, este artigo relata experiência desenvolvida nas aulas de Matemática com alunos do 4º período do curso de Matemática, onde através da GD consolidaram os conhecimentos de Geometria.. Revisão de literatura A Tecnologia possui diversas funções na sociedade e cada vez mais conquista um maior espaço na educação. É visível que muitos Educadores Matemáticos não estão alheios a esta conquista e desenvolvem metodologias de ensino em que a Tecnologia Educacional é uma ferramenta indispensável no processo ensino-aprendizado. Vários são os artigos que relatam estas metodologias/experiências do ensino da Matemática assistido por computador, entre eles podemos citar: Borges Neto (009), Góes et al. (009), Barbosa et al. (007), Pongelupe et al. (004), Angelo e Rigodanzo (004) e Gravina (1996). No trabalho desenvolvido por Borges Neto (009), o autor afirma que é importante oportunizar o acesso à tecnologia às crianças, pois com a experiência realizada as crianças foram estimuladas a apropriar-se dos conhecimentos. Ao arrastar as figuras e observarem suas transformações, puderam comparar, sintetizar e formular enunciados conceituais. Não foi percebido o desenvolvimento significativo das estruturas mentais, mas foi evidente a progressiva melhora na elaboração de conceitos e demonstração de seu pensamento. No entanto, enfatizam que momentos/intervenções com o professor devem estar vinculados às atividades para que se possam sintetizar os conhecimentos adquiridos espontaneamente e assim relacioná-los com os conhecimentos científicos do assunto. Barbosa et al. (007), desenvolvem atividades respaldadas pela metodologia de resolução de problemas, cujos objetivos são estimular os alunos a realizarem suas próprias

3 observações e despertar a busca de generalizações matemáticas. Afirmam que a GD, através da livre exploração, torna mais significativa o conhecimento do software, uma vez que as descobertas individuais geram maior motivação na manipulação. Ao movimentar uma construção se vê claramente as propriedades geométricas da figura, diferentemente da construção no papel onde temos um referencial estático. Assim, concluem que a implementação deste tipo de metodologia de ensino é um grande desafio ao professor, pois insere uma nova maneira de pensar a matemática não restrita a aplicação de procedimentos. Para Gravina (1996), os livros didáticos, em sua maioria, iniciam o ensino de Geometria com definições acompanhadas de desenhos bem particulares. Esses desenhos, não estimulam nos alunos o raciocínio. Um exemplo particular apresentado pela autora é o polígono quadrado em que na maioria dos livros é apresentado com seus lados paralelos à margem da folha. No entanto, ao apresentar um quadrado rotacionado a maioria absoluta dos alunos não sabe afirmar se a figura é um quadrado, pois acreditam que a posição relativa do desenho e/ou seu traçado particular são características do objeto, ocorrendo desequilíbrio na formação dos conceitos. Isto se deve ao fato que dificilmente os livros apresentam instruções "construa", que é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos. Uma metodologia para sanar o problema apontado pela autora acima pode ser vista no trabalho desenvolvido por Pongelupe et al. (004), onde utiliza a motivação visual de software de GD a construir conceitos matemáticos. Os autores afirmam que os conceitos construídos com software estimulam o uso da ferramenta para novas descobertas pelos alunos, que através da metodologia utilizada realizam a análise da relação entre tais construções. No entanto, vê-se que é necessária a formação dos professores e sobre este assunto Góes et al. (009) e Angelo e Rigodanzo (004) afirmam que ao final de encontros de Formação de professores, os participantes demonstram estar motivados e interessados na continuidade da proposta de discussão e desenvolvimento de atividades a serem aplicadas em sala de aula com utilização de softwares. Os autores afirmam que a necessidade de tempo é uma das características do uso dessas ferramentas para que permita a vivência, autonomia e segurança do professor para a elaboração de atividades que façam o aluno apropriar-se do conhecimento por meio do ambiente computacional. 3

4 3. Exemplo didático de utilização da Geometria Dinâmica no Ensino Superior construção: Para a aplicação desta metodologia foi proposto aos alunos o seguinte exercício de Construa um triângulo ABC qualquer e os pontos médios M, N e P dos lados AB, AC e BC, respectivamente. Construa os pontos D e E, pontos médios de BP e PC. Construa o quadrilátero DENM. É possível que o quadrilátero DENM seja um paralelogramo, retângulo, losango, ou quadrado? Se for possível, qual a condição imposta ao triângulo ABC para que isto ocorra. Figura 01 Triângulo ABC e quadrilátero DENM 3.1. Construção do exercício e primeiras explorações A primeira etapa da atividade é a construção do triângulo ABC e do quadrilátero DENM (figura 01) que requer os conhecimentos de ponto médio e outros conhecimentos básicos do software Régua e Compasso versão Metal. Nesta etapa o papel do professor consiste em auxiliar os alunos na utilização do software indicando as diversas ferramentas que podem ser utilizadas para obter o resultado esperado. Em seguida os alunos são desafiados com a seguinte indagação: o quadrilátero DENM possui alguma regularidade? A resposta para a pergunta acima exige conhecimentos como propriedades dos triângulos, mediana, mediatriz, ângulos alternos-internos e classificação das formas de quadriláteros, já adquiridos na disciplina de Desenho Geométrico I. 4

5 Ao explorar a figura o aluno é capaz de observar que o quadrilátero DENM é um paralelogramo, pois o lado MN é paralelo ao lado BC e o lado DM é paralelo ao lado EM, sendo estas afirmações justificadas pela utilização da ferramenta Testar Retas paralelas? e pela propriedade P1 de triângulos: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e sua medida é igual à metade do comprimento do lado a que é paralelo Como MN é paralelo a DE por P1 (figura 0) e DM é paralelo a EN por P1 (figura 03), tem-se que o quadrilátero DENM é um paralelogramo, logo MN e DE são congruentes (propriedade de paralelogramos) e medem metade de BC (por P1). As primeiras justificativas (MN é paralelo a DE e DM é paralelo a EN) podem ser comprovadas utilizando a ferramenta ângulos e assim verificando que os ângulos alternos-internos são iguais. Figura 0 - MN paralelo a DE Figura 03 - DM paralelo a EN 5

6 Tem-se também quem DM e EN é paralelo a AP. A justificativa é por P1, pois o lado DM é paralelo à AP, uma vez que ao considerarmos o triângulo PAB tem-se que D é ponto médio de BP e M é ponto médio de AB. De forma análoga tem-se EN paralelo a AP. (figura 03). Com base nas observações acima, a próxima etapa da atividade consiste em identificar as possibilidades de regularidade do paralelogramo DENM, onde o professor indagou se é possível este paralelogramo ser transformado em retângulo, losango ou quadrado ao mover um dos vértices do triângulo ABC. 3.. Condição para que o quadrilátero DENM seja um retângulo Com a ferramenta mover ponto do software Régua e Compasso, os alunos podem alterar o triângulo pelos seus vértices e assim verificar as mudanças que ocorrem no quadrilátero. Fixando BC e movendo o ponto A, verifica-se que medida que o vértice A aproxima-se da mediatriz relativa à BC, a forma do quadrilátero aproxima-se de um retângulo. Intuitivamente o aluno percebe que o paralelogramo DENM é um retângulo quando a mediana relativa ao vértice A forma ângulo reto com a base BC (figura 04). Figura 04 AP ortogonal a BC Assim, quando a mediana relativa ao vértice A é ortogonal a base BC tem-se os lados DM e EM ortogonais ao lado DE o que satisfaz a condição para que o paralelogramo DENM seja um retângulo. 6

7 3.3. Condição para que o quadrilátero DENM seja um losango Pela definição de Losango, o paralelogramo DENM deve possuir seus lados congruentes, ou seja, DM DE EN NM. Utilizando a ferramenta exibir valores e movendo os vértices do triângulo para que os lados do paralelogramo DENM sejam iguais, verifica-se que as medidas de AP e BC são iguais. A justificativa da afirmação acima se deve ao fato de já termos mostrado que DM EN, BC DE e AP DM. Assim, BC BC DE DM BC BC AP AP Logo, para que quadrilátero DENM seja um losango deve-se ter BC AP. Portanto A deve pertencer a circunferência de centro P e raio BC. Figura 05 DE=EN=NM=MD 3.4. Condição para que o quadrilátero DENM seja um quadrado Utilizando a definição que quadrado é o quadrilátero que possui lados iguais e 4 ângulos congruentes temos que o paralelogramo DENM precisa ser um retângulo e losango simultaneamente. BC AP. Logo, como mostrado nas seções anteriores deve-se ter AP perpendicular a BC e 7

8 4. Considerações Finais Explorar atividades utilizando software de GD é atrativa e torna a aprendizagem significativa, uma vez que o aluno tem autonomia de manipular a construção e elaborar conclusões e observações de forma natural, não necessitando, muitas vezes, da mediação do professor. Ainda, o potencial desta metodologia mostra em sala o ganho imediato na compreensão dos conteúdos que, anteriormente, ficavam apenas no imaginário. Percebe-se que os questionamentos de turmas anteriores, onde foram aplicados exercícios para explorar propriedades geométricas sem auxílio de GD, não surgiram durante a aplicação deste. Isto deve-se ao fato que neste tipo de atividade investigativa os alunos esgotam todas as possibilidades de exploração antes de solicitar uma mediação, realizam a si mesmo os questionamentos e buscam soluções e tornam-se autônomos na aprendizagem, ou seja, os alunos constroem os conhecimentos. Com este tipo de atividade proporcionamos aos alunos (futuros profissionais da educação) uma metodologia diferente da tradicional e com isso esperamos que estes utilizem a GD em suas aulas para que haja melhoria da qualidade do ensino e, conseqüentemente, a melhoria da prática de ensino, pois o uso da GD permite um melhor aproveitamento da aula, uma vez que o professor deixa de ser um reprodutor de conteúdos e passar a ser um mediador na apropriação do conhecimento. Este trabalho mostra uma mudança de postura e atitude, no que concerne à educação, fruto desse conjunto de vivências e experiências construídas da prática diária. Assim, concluímos que a melhoria da qualidade do ensino e, conseqüentemente, da melhoria da prática de ensino envolve muitas questões como, por exemplo, a formação continuada de professores e a utilização de recursos de novas tecnologias em sala de aula. Referências ANGELO, C. L.; RIGODANZO, M. Uma experiência de transposição didática com o Cabri-Géomètre. Educação Matemática em Revista. São Paulo, SBEM, n.16, p. 16-4, mai, 004. BARBOSA, A. C. M.; COSTA, B. O.; POSSAS, C. S.; LIMA, D. C. de A. Semelhança e área de figuras planas com Geometria Dinâmica. In: IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, 007 8

9 BORGES NETO, H. Construindo conceitos matemáticos com o Cabri-Géomètre. Disponível em < Acessado em 01 de jun. de 009. GÓES, A. R. T. Desenho Técnico Engenharia Civil Uma proposta metodológica. Curitiba, 004. Monografia (Especialização em Desenho Aplicado ao Ensino da Expressão Gráfica) Setor de Ciências Exatas, Universidade Federal do Paraná. GÓES, A. R. T.; TELES, L. S. J.; LAGO, R. C.;COLAÇO, H. Geometria Dinâmica e a Formação Continuada de Professores na Tecnologia Educacional. In: VIII International Conference on Graphics Engineering of Arts and Design. Bauru/SP, 009 GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: Uma Nova Abordagem para o Aprendizado da Geometria. In: VII Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, p Belo Horizonte, 1996 PONGELUPE, E. G.; MELO, M. C. R.; LANNES, W. Uma proposta alternativa de aprendizagem motivada pela experimentação através da geometria dinâmica. Revista Educação e Tecnologia, v.9, n.1, p Belo Horizonte, 004 9