Electromagnetismo. (cap. 1. Electrostática) José Pinto da Cunha. universidade de coimbra 2014

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1 Electromagnetismo (cap. 1. Electrostática) José Pinto da Cunha universidade de coimbra 2014

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3 Conteúdo 1 Electrostática Introdução Cálculo vectorial produto escalar produto vectorial Sistemas de coordenadas coordenadas rectangulares: (x,y,z) coordenadas cilíndricas: (,ϕ,z) coordenadas esféricas: (r,ϑ,ϕ) Operadores diferenciais vectoriais O gradiente de uma função A divergência de um campo vectorial O rotacional de um campo vectorial O Laplaciano de um campo Considerações adicionais O campo electrostático Divergência do campo electrostático Rotacional do campo electrostático o potencial Distribuições de cargas Superfícies de fronteira Energia electrostática O dipolo eléctrico Momento dipolar de uma distribuição contínua de cargas O potencial e o campo eléctrico criado por um dipolo ideal Expansão multipolar do potencial Campos eléctricos na matéria

4 4 CONTEÚDO Condutores Dieléctricos Pressão electrostática Teorema da unicidade Teorema de Helmholtz Teorema de Earnshawn

5 Capítulo 1 Electrostática 1.1 Introdução Uma carga eléctrica condiciona ou influencia o espaço à sua volta envolvente, consoante a posição que se considere nesse espaço envolvente, relativamente à posição da carga. Diz-se por isso que uma carga eléctrica cria à sua volta um campo. A teoria electromagnética trata fundamentalmente da descrição desses campos: do campo electrostático, do campo magnetostático e, mais geralmente, do campo electromagnético. A percepção de que um corpo pode alterar propriedades no espaço da sua vizinhança, expresso na forma de um campo foi um passo conceptual importante para ultrapassar a dificuldade teórica da acção à distância. Essa dificuldade já vem dos tempos de Isaac Newton que a referiu acerca da força de atracção gravitacional entre dois corpos à distância um do outro. O conceito de campo ainda não tinha sido inventado. O conceito de campo permite descrever a interacção entre dois corpos que estão afastados como efeitos locais entre esses corpos (nos quais se sente o efeito da interacção) e o campo existente na respectiva vizinhança. Importa por isso saber analisar completamente as propriedades desses campos como forma de poder descrever as interacções. Éumfactodaobservaçãoqueduascargaseléctricaspontuais, q 1 eq 2, separadas pela distância r 12 exercem uma sobre a outra uma força que decresce c j. pinto da cunha, electromagnetismo /electrostática, universidade de coimbra,

6 6 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA com o quadrado da distância, sendo a força sobre a carga q 2, F 2 = 1 q 1 q 2 ˆr 12 (1.1) 4πǫ 0 onde r 12 = r 12ˆr 12 é o vector que vai de q 1 para q 2 e ˆr 12 é o respectivo versor. Na carga q 1 actua uma força exactamente simétrica, F 1 = F 2. Esta é a conhecida lei de Coulomb 1 A constante ǫ 0 é característica do meio (vazio) envolvente. A interacção à distância que está implícita na descrição anterior pode de de facto ser interpretada como uma interacção local intermediada por um campo. Uma carga pontual q 1, parada, origina no espaço à sua volta, na posição r, o campo electrostático r 2 12 E 1 (r) = 1 q 1 4πǫ 0 r2ˆr (1.2) onde r = rˆr é o vector posição com origem em q 1 e ˆr é o respectivo versor. Se uma outra carga, q 2, for posicionada num ponto r 2, ela irá interagir com o campo E(r 2 ) que a carga q 1 cria nesse local. O resultado dessa interacção local entre o campo e a carga traduz-se na força F 2 = q 2 E 1, que é a força de Coulomb que se observa entre essas cargas. A carga q 2 também cria, ela própria, o campo electrostático, E 2 (r) = 1 q 2 2ˆr 4πǫ 0 mas agora r = rˆr tem origem na posição de q r 2. A carga q 1 interage localmente com este campo e em resultado disso fica sujeita à força F 1 = q 1 E 2 = F 2. Ou seja, as forças que actuam em cada uma das duas cargas são simétricas uma em relação à outra diz-se que formam um par acçãoreacção. Todavia, é mais elegante dizer que formam uma interacção, pois não é distinguível a acção da reacção, não existe uma sem a outra, nem ocorre uma antes da outra. Se uma terceira carga q 3 fosse trazida para o cenário, ela interagiria com o campocriadopelasrestantescargaseficariasujeitaàforçaf 3 = q 3 (E 1 +E 2 ). É claro nestas considerações que não há auto-acções. A interacção ocorre 1 A lei de Coulomb (1785) é semelhante à lei de atracção universal de Newton (1686). Não é coincidência que assim seja. Trata-se de uma lei empírica, que resulta da observação directa, que usamos como ponto de partida para elaborar a teoria electromagnética. ( 1 A constante de proporcionalidade, 4πǫ 0 ), tem esta forma para que a estética das equações dos campos seja mais pura.

7 1.1. INTRODUÇÃO 7 sempre entre uma carga e o campo local criado pelas outras cargas. O campo criado por uma carga não actua sobre ela, apenas sobre as restantes (ademais o campo dessa carga é infinito nesse ponto). Se assim não fosse havia autoacções e a natureza seria estranha e totalmente diferente. Os princípios acima referidos são gerais a todas as teorias de campo: as interacções são locais, entre os corpos e os campos na sua vizinhança; as acções não são nem à distância nem instantâneas. Se a posição da carga mudar, a consequente alteração do campo que daí resulta demora um certo tempo a propagar-se pelo espaço envolvente (veremos que essa propagação se faz à velocidade da luz). A alteração que a carga faz no meio que a envolve deve depender das características deste último. Supõe-se portanto que o campo criado pela carga dependa de o espaço ser vazio ou de aí existir um meio material. A constante ǫ 0 acima refere-se às propriedades do espaço vazio. Se o meio fosse outro eventualmente a constante seria a permitividade desse meio, ǫ. O campo eléctrico é linearmente proporcional às cargas que lhe dão origem, i.e. o efeito é directamente proporcional às causas. Por isso a teoria é linear e pode-se aplicar o princípio da sobreposição o campo eléctrico criado por várias cargas q 1, q 2,...q N, num ponto qualquer do espaço é pois a soma vectorial dos campos dessas cargas E = N i E i. Este argumento pode ser generalizado, permitindo afirmar que uma qualquer distribuição de cargas discretas cria num ponto r um campo electrostático que tem a forma de uma sobreposição vectorial dos campos criados nesse ponto por cada uma das cargas individualmente consideradas, (ver fig. 1.1), E(r) = N i E i = 1 4πǫ 0 N q i i r i 2 ˆr i, com r i = r r i (1.3) onde r i é a posição da carga q i e r i = r r i. Se a distribuição de cargas for contínua, cada elemento infinitesimal de carga, dq, contida num certo volume dτ, cria num certo ponto um campo infinitesimal de, sendo o campo total o integral (i.e. a soma) de todas essas contribuições, E(r) = de = 1 4πǫ 0 τ dτ ρ(r ) r 2 ˆr, com r = r r (1.4) onde ρ = dq/dτ é a densidade volumétrica de carga, ou carga por unidade de

8 8 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA y q i y dq r" i r" r E i r i i r d r E O x O a) b) x Figura 1.1: O campo electrostático. a) uma carga q i cria um campo E i na posição identificada pelo vector de posição, r. As cargas estão estáticas nas posições identificadasporr i. OcampocriadopeladistribuiçãodecargasdiscretaséE(r) = i E i(r i ), onde r i = r r i ; b) a carga infinitesimal, dq = ρdτ, situada em r, cria em r o campo infinitesimal de(r). O campo electrostático criado pela distribuição contínua de cargas é a soma de todos esses campos criados por cada uma dessas cargas infinitesimais, E(r) = de(r ), em qualquer ponto do espaço, onde r = r r. volume. (as cargas estão fixas nas posições r, e o integral cobre todas essas posições, sendo dτ = dx dy dz ). Em suma, o objectivo das teorias de campo e em particular da teoria electromagnética é saber calcular e descrever os campos como modo de descrever as interacções. Em geral os campos são descritos por funções de muitas variáveis, umas são escalares (caso do potencial) outras são vectoriais, e.g., E = E(x,y,z,t), outras havendo que são tensoriais. É pois conveniente começar primeiramente por rever e alinhar alguns conceitos fundamentais de: cálculo vectorial e sistemas de coordenadas; cálculo infinitesimal diferencial e integral; e operadores diferenciais vectoriais. Sempre que nada se diga em contrário, supõe-se que os campos são descritos por funções bem comportadas, i.e., que as funções são regulares: contínuas e de derivadas contínuas em todo o espaço, e que convergem para zero no infinito, tão rapidamente quanto o necessário. 1.2 Cálculo vectorial A utilização de vectores permite escrever de forma expedita e compacta as componentes dos campos e das interacções que tenham carácter direccional.

9 1.2. CÁLCULO VECTORIAL 9 Fazemos aqui apenas uma breve referência para introduzir os conceitos de produto escalar e vectorial entre dois vectores, em sistemas ortogonais. A maneira mais simples (e simplista) de definir um vector talvez seja a de que é uma quantidade que aponta numa determinada direcção (e sentido) do espaço. Qualquer vector escrever-se-á pois como a = aâ, i.e., um vector a representa uma certa quantidade, a, que se expressa numa certa direcção e sentido, â, que é aquela para que aponta esse vector (ver fig. 1.2). O versor â é especificamente um vector de módulo (ou norma) 1, que define uma determinada direcção e sentido, que por vezes se representa com um chapéu. Os vectores são habitualmente escritos com caracteres negritos (bold). A utilização de vectores simplifica enormemente a apresentação da teoria electromagnética (que nem sempre foi assim formulada) produto escalar Sejam os vectores a e b (ver fig 1.2). O produto escalar (ou interno) representa geometricamente o produto das projecções dos vectores na direcção de qualquer deles, isto é, a b = abcosθ, sendo θ o ângulo entre esses vectores. Ou seja, a projecção de um vector a numa certa direcção ˆx, é a ˆx = acosθ. Um sistema ortogonal de referência tem três direcções ortogonais. No sistema cartesiano essas direcções são: {ˆx, ŷ, ẑ} designadas habitualmente como base de versores. 2 A base ser ortogonal significa que ê i ê j = δ ij, com δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i j. Qualquer vector pode ser expresso num sistema ortogonal de referência, com direcções de base {ˆx, ŷ, ẑ} na forma a = (a ˆx)ˆx+(a ŷ)ŷ+(a ẑ)ẑ, (ver fig. 1.3). Ou seja, a = 3 i=1 a i ê i. Isto é, um vector traduz-se num conjunto de componentes, a i, correspondentes às projecções desse vector na base de versores do sistema de referência. 3 Ou seja, um vector tem tradução em qualquer referencial, sendo sempre as suas componentes as projecções desse vector nos versores que formam a base desse referencial. 2 São notações equivalentes: {ˆx, ŷ, ẑ} {ê x, ê y, ê z } {ê 1, ê 2, ê 3 } {î, ĵ, ˆk} 3 Mais geralmente, tem a forma de um vector qualquer objecto que compreenda um conjunto de quantidades referenciadas por um índice.

10 10 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA b θ a a b e Figura 1.2: Produtos escalar e vectorial de dois vectores, a e b. a) o produto escalar entre a e b é o produto das projecções dos vectores na direcção de um deles, i.e., a b = abcosθ; b) o vector produto vectorial entre a e b é igual à multiplicação das projecções mutuamente perpendiculares entre um vector e o outro, e tem direcção normal ao plano formado pelos dois vectores, e o sentido da regra da mão direita, a b = absinθê ; sendo pois a b = b a. O módulo do produto vectorial é pois igual à área do paralelogramo que tem os dois vectores por lados. Resulta da análise anterior que se os vectores tiverem respectivamente as formas a = 3 i=1 a i ê i e b = 3 j=1 b j ê j, então a b = 3 i=1 a i b i, pois ê i ê j = δ ij produto vectorial O produto vectorial (ou externo) entre dois vectores, a e b, é o produto da norma de um desses vectores pela projecção do outro vector na direcção perpendicular ao primeiro (ver fig. 1.2). Neste caso, porém, atribui-se ao produto um carácter vectorial com a direcção normal ao plano formado pelos dois vectores e com o sentido dado pela regra da mão direita. Assim, referindo-nos à fig. 1.2, o produto vectorial é a b = absinθê, com θ o ângulo entre os vectores e ê o versor que é normal aos dois vectores e tem o sentido da regra da mão direita. Por conseguinte a b = b a. Por vezes surge a necessidade de, como agora, representar vectores que apontem perpendicularmente ao plano do texto, seja de cá para lá ou de lá para cá. Usaremos nesses casos os versores ê e ê para ilustrar um versor do qual se vê apenas o bico ou a cauda, respectivamente. Conclui-se da definição de produto vectorial e da fig. 1.2, que ˆx ŷ = ẑ, que ẑ ˆx = ŷ, e que ŷ ẑ = ˆx. Assim, se a e b tiverem a forma a =

11 1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS 11 z a e^ e^ 3 2 e^ 1 y x Figura 1.3: Representação ortogonal de um vector. As projecções do vector no sistema de eixos são a i = a ê i, i = 1,2,3, onde {ê i } são os vectores/versores da base do sistema de eixos. a xˆx+a y ŷ +a z ẑ e b = b xˆx+b y ŷ +b z ẑ, então a b = (a y b z a z b y )ˆx+(a z b x a x b z )ŷ +(a x b y a y b x )ẑ Isto é, o produto vectorial pode-se escrever em coordenadas cartesianas na forma operativa habitual a b = ˆx ŷ ẑ a x a y a z b x b y b z (1.5) 1.3 Sistemas de coordenadas A descrição dos campos pressupõe a existência de um sistema de referência, no qual se possa representar o espaço e a estrutura dos campos. Podem-se definir muitos sistemas de coordenadas, que serão mais ou menos convenientes consoante a simetria da situação particular em apreço. Os sistemas de referência mais usuais são os sistemas ortogonais com: i) coordenadas cartesianas rectangulares; ii) coordenadas cilíndricas e iii) coordenadas esféricas. Apenas nos ocuparemos dessas. O leitor interessado

12 12 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA z (x,y,z) r x z^ x^ y^ y Figura 1.4: Coordenadas cartesianas, (x, y, z) e respectivos versores, (ˆx, ŷ, ẑ). encontrará em obras de referência outros sistemas de coordenadas, nomeadamente de coordenadas elípticas, parabólicas, bipolares, hiperbólicas, etc... Cada sistema de coordenadas tem o seu próprio sistema de versores, que constituem a base de referência para as direcções. Não basta uma referência de coordenadas, necessitaremos em geral também de uma base de versores, à qual possamos referir qualquer direcção, em qualquer ponto do espaço. O espaço físico tem três dimensões, pelo que precisaremos sempre, em qualquer sistema de referência, de três variáveis para as coordenadas e de três versores ortogonais de referência para as direcções. Um campo vectorial é descrito por três componentes em cada ponto do espaço, o que geralmente significa ter que se definir três funções em cada ponto. É esse o caso do campo eléctrico em cada ponto: E(r) = E x (x,y,z)ˆx+e y (x,y,z)ŷ +E z (x,y,z)ẑ, onde E x, E y e E z são três funções escalares coordenadas rectangulares: (x, y, z) As habituais coordenadas cartesianas são coordenadas rectangulares. Cada ponto é representado por três variáveis: (x, y, z) e as direcções são referidas à base {ˆx,ŷ,ẑ} (ver fig. 1.4). Um elemento infinitesimal de linha, representado pelo vector dl, tem a forma dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ. Um elemento diferencial de volume é pois o produto dos três diferenciais, segundo cada uma das três direcções, dτ = dxdydz.

13 1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS 13 z z^ ρ^ ϕ^ dz z dl r r x ϕ ϕ^ ρ ρ^ y x ϕ dϕ ρ ρd ϕ dρ y Figura 1.5: Coordenadas cilíndricas, (, ϕ, z) e respectivos versores, (ˆ, ˆϕ, ẑ). Note que os versores ˆ e ˆϕ mudam de direcção de ponto para ponto coordenadas cilíndricas: (, ϕ, z) Cada ponto é representado pelas coordenadas (,ϕ,z) e as direcções {ˆ, ˆϕ,ẑ} são as da fig Como se pode constatar por essa figura, = x 2 +y 2 ϕ = arctan y x z e ˆ = cosϕˆx+sinϕŷ ˆϕ = sinϕˆx+cosϕŷ ẑ = ẑ (1.6) Neste sistema de coordenadas um vector a = a x ˆx+a y ŷ+a z ẑ expressa-se na forma a = a ˆ +a ϕ ˆϕ+a z ẑ, sendo cada uma das componentes a projecção de a em cada uma das direcções de referência, a = a ˆ = a x cosϕ+a y sinϕ a ϕ = a ˆϕ = a y cosϕ a x sinϕ a z = a ẑ As coordenadas cilíndricas são particularmente adequadas para descrever regiões, superfícies ou volumes, que tenham simetria cilíndrica (ou axial). Um elemento diferencial de linha tem, nestas coordenadas, a forma dl = d ˆ + dϕ ˆϕ+dzẑ (verfig.1.5). Umelementodevolumeédadopeloproduto das componentes de dl, sendo neste caso dτ = d dϕdz.

14 14 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA z θ r r^ ϕ^ θ^ z dr dl rdθ r θ dθ ϕ ϕ^ y ϕ d ϕ ρd ϕ y x x Figura 1.6: Coordenadas esféricas, (r,ϑ,ϕ) e respectivos versores, (ˆr, ˆϑ, ˆϕ). Note que os três versores mudam de direcção de um ponto para outro coordenadas esféricas: (r, ϑ, ϕ) Nestas coordenadas cada ponto é caracterizado por uma distância, r, e dois ângulos, θ e ϕ. O ângulo polar, θ, é normalmente referido ao zénite (eixo z), enquanto que o ângulo azimutal, ϕ, é referido ao eixo x.da fig. 1.6 conclui-se que r = x 2 +y 2 +z 2 ϑ = arccos z r ϕ = arctan y x e ˆr = cosϕẑ +sinϑcosϕˆx+sinϑsinϕŷ ˆϑ = sinϑẑ +cosϑcosϕˆx+cosϑsinϕŷ ˆϕ = sinϕˆx+cosϕŷ (1.7) Um vector a escreve-se neste sistema de referência como a = a r ˆr+a ϑ ˆϑ+ a ϕ ˆϕ, cujas componentes são respectivamente as projecções, a r = a ˆr a ϑ = a ˆϑ a ϕ = a ˆϕ Como se vê directamente da figura, os elementos diferenciais de linha, de

15 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 15 superfície e de volume são 4 dl = drˆr +rdϑ ˆϑ+rsinϑdϕ ˆϕ ds = r 2 sinϑdϑdϕ dτ = r 2 sinϑdrdϑdϕ (1.8) Estas variáveis aplicam-se com vantagem a problemas com simetria esférica. Por exemplo, o cálculo do volume de uma esfera é trivial em coordenadas esféricas, mas não tão simples em outras coordenadas. O volume de uma esfera de raio R é o integral (i.e. a soma ) dos elementos infinitesimais que o compõem, dτ, quando se faz o varrimento de todos os pontos da esfera: r [0,R], ϑ [0,π], ϕ [0,2π], vindo, V = V dτ = R π 2π r 2 sinϑdrdϑdϕ = R 0 π 2π r 2 dr sin ϑdϑ dϕ = πr3 1.4 Operadores diferenciais vectoriais O campo eléctrico é, como vimos, um campo vectorial, que em coordenadas cartesianas tem a forma genérica, E(r) = E x (r)ˆx+e y (r)ŷ +E z (r)ẑ Isto é, em geral, o campo vectorial é descrito em cada ponto do espaço por três funções escalares, E(r) = f(x,y,z)ˆx+g(x,y,z)ŷ +h(x,y,z)ẑ que mais não são que as respectivas componentes vectoriais. O campo terá expressões distintas em sistemas de coordenadas diferentes, mas o argumento anterior mantém-se. Importa pois saber descrever as características das funções de várias variáveis. 4 O factor r 2 sinϑ que aqui surge é o jacobiano da transformação em coordenadas esféricas (em coordenadas cilíndricas o jacobiano da transformação é ( ). Mais geralmente, numa transformação qualquer entre coordenadas as x e as coordenadas u (tal que: x u; du k = u k i x i dx i ), o jacobiano é o determinante das derivadas parciais das variáveis transformadas em relação às variáveis iniciais, J = u k. x i

16 16 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA f(x,y) O dy dx y df x dfy df Figura 1.7: O diferencial de uma função, f(x,y). Se x x+dx f f+δ x f, e y y +dy f f +δ y f então df = δ x f +δ y f x f dx+ y f dy. x Há duas formas principais de representar graficamente um campo vectorial: i) desenhando alguns vectores locais, espalhados na região de interesse; ou ii) traçando as linhas que uniriam uma miríade de sucessivos pequenos vectores do campo - formando as chamadas linhas de campo. As linhas de campo são pois linhas tangentes aos vectores do campo vectorial em cada ponto do espaço O gradiente de uma função Seja uma função escalar f(r) = f(x,y,z), onde r = xˆx+yŷ+zẑ, é o vector posicional nesse espaço. Se a posição r variar de r r+dl, então a função varia de f f +df. Isto é, quando x x+dx, y y +dy, z z +dz, o diferencial da função é df = f f f dx+ dy + dz (1.9) x y z onde f representa a derivada parcial da função em ordem à variável x (i.e., x quando varia x mas se mantêm constantes as restantes variáveis). Ou seja, a variação da função pode-se escrever como a soma das variações parciais, quando se varia isoladamente cada uma das coordenadas em sequência (ver fig. 1.7). Considerando que um elemento infinitesimal de linha tem a forma, dl = dxˆx+dyŷ+dzẑ, ecomparandocomaformadedf, reconhecemosdeimediato que esta tem a forma de um produto escalar, df = ( f) dl (1.10)

17 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 17 sendo f = f f ˆx+ ŷ + f ẑ. Esta quantidade é o chamado gradiente da x y z função, f gradf. O símbolo, chama-se-lhe nabla, representa pois um operador diferencial vectorial, x ˆx+ y ŷ + z ẑ (1.11) cuja operação sobre uma função (regular) nos dá o gradiente dessa função 5, f = f f ˆx+ x y ŷ + f z ẑ (1.12) Mas qual é afinal o significado do gradf? Quando dr r + dl então df f + df. Porém, a quantidade df depende em geral da direcção de dl df (ver fig. 1.8). A derivada direccional,, numa certa direcção/sentido ˆl é dl pois dada pela projecção do gradiente nessa direcção (ver eq. 1.10), df dl = ( f) ˆl tal que dl = dlˆl Nestes termos, o gradiente é portanto a máxima derivada direccional da função em cada ponto e aponta na direcção em que a função varia maximamente a partir desse ponto (ver fig. 1.8). teorema do gradiente Resulta da equação 1.10 que o integral de uma função entre dois pontos quaisquer, a e b, é ou seja, b a df = f(b) f(a) = b a ( f) dl (1.13) Teorema do gradiente. O integral de caminho do gradiente de uma função entre um ponto e outro é sempre igual à diferença dos valores da função nesses dois pontos. 5 Usaremosdaquiemdiante, porserumanotaçãomaiseconómica, x f f x, yf f y, z f f z, 2 xf 2 f x, etc... Assim, escreve-se, p.ex., = 2 x ˆx+ y ŷ + z ẑ. Dado que é um operador vectorial em rigor dever-se-ia escrever. Todavia, é um símbolo distinto e não resulta ambiguidade por se escrever apenas.

18 18 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA y f dl Figura 1.8: O gradiente de uma função f, designado como gradf, é igual à máxima derivada direccional da função em cada ponto; i.e., em cada ponto, aponta na direcção em que f cresce mais depressa, a qual é perpendicular às superfícies de equivalor dessa função, em cada ponto. x Com alguma audácia podemos estender os argumentos anteriores e definir outras operações vectoriais envolvendo o operador. Visto que tem carácter vectorial que significado têm operações como o produto escalar ou o produto vectorial que envolvam este operador? Isto é, se E(r) é uma função vectorial, que significado têm as operações E e E? Consideramos essa questão de seguida A divergência de um campo vectorial O fluxo de uma função vectorial, E, através de um elemento diferencial de superfície, ds = dsˆn, onde ˆn é a normal (ver fig. 1.9), define-se como dφ = E ˆnds Ou seja, o fluxo de um campo através de um elemento de superfície ds é, por definição, o produto da projecção do campo na direcção normal à superfície vezes essa superfície. 6 O fluxo total através da superfície finita, S, é pois dado pela soma sobre toda a superfície considerada, Φ = S dφ = S v ˆnds. 6 Porexemplo, ofluxodeáguaquepassaporunidadedetempoatravésdeumasuperfície S = Sˆn é dado pelo fluxo do campo de velocidades do fluido, dφ = v ˆnS, cujas unidades, no sistema SI serão então m/sm 2 =m 3 /s. O seu significado é pois, neste caso, o do volume de fluido que passa por essa superfície por unidade de tempo.

19 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 19 E ds a) n^ ds θ E E ds b) θ E ds Figura 1.9: Fluxo de um campo vectorial, E, através de uma superfície elementar, ds. A superfície que define a fronteira de um volume é uma superfície fechada, na qual estão definidos inequivocamente os lados interior e exterior. Nesse caso, convenciona-se que a normal, ˆn, aponta para fora em cada ponto da superfície, e isso pode-se fazer sem ambiguidade. Deste modo, fica definido como positivo o fluxo que sai através da superfície de um volume e negativo o fluxo que entra por essa superfície. Como é óbvio, o fluxo total que sai é então Φ = S E ˆnds, onde S designa um integral que se estende sobre uma superfície fechada. Seja um elemento infinitesimal de volume dτ = dxdydz, na fig O fluxo que sai através das faces desse elemento de volume é (em cada face ˆn aponta para fora), dφ = E y (x,y +dy,z )dxdz E y (x,y,z )dxdz +E x (x+dx,y,z )dydz E x (x,y,z )dydz +E z (x,y,z +dz)dxdy E z (x,y,z)dxdy onde x x; y ȳ; e z z são posições (inter)médias no volume considerado. Considerando a expansão em série de Taylor, em relação a (x,y,x), tem-se E(y +dy) E(y)+( y E) dy, etc... Ou seja, dφ = ( x E x + y E y + z E z ) dxdydz = Edτ (1.14) (ver eq. 1.11). A divergência de um campo vectorial define-se como o fluxo que sai pela superfície na vizinhança de um ponto, normalizada ao volume dessa vizinhança, dive = dφ = E. Em coordenadas cartesianas a divergência é dτ pois E = x E x + y E y + z E z (1.15)

20 20 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA z E(x,y,z) x dy dx dz y Figura 1.10: A divergência de um campo vectorial E(x,y,z). A divergência E é uma função escalar que expressa a divergência do campo vectorial, E, em cada ponto do espaço. Com efeito, se o fluxo que entra na vizinhança de um ponto for igual ao que sai, então desse ponto não divergem, nem para esse ponto convergem, vectores de campo com origem ou terminus nesse volume, e o fluxo total é nulo. teorema de Gauss-Ostrogradsky Considere-se um volume qualquer, finito, τ, constituído por elementos infinitesimais de volume, dτ, que justapostos perfazem o volume completo. Ao somar todos os fluxos elementares de todos os elementos dτ facilmente percebemos que em todas as superfícies de contacto entre elementos de volume contíguos, o fluxo que sai de um elemento é simétrico do fluxo que entra no elemento vizinho, de modo que a sua soma é nula. Isto é, dφ j + dφ k = E (ds j + ds k = 0, pois ds j = ds k, (ver fig. 1.11). Apenas sobram, sem mutuamente se anularem, os fluxos que saem através das micro faces exteriores, que compõem a superfície do volume considerado. Consequentemente, a soma dos fluxos infinitesimais através de todos os elementos dτ de um volume qualquer, τ, fica reduzida ao fluxo através da superfície desse volume. Isto é, dφ = S E ds, com ds = dsˆn

21 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 21 E ds S τ ds dτ E ds j ds k a) b) Figura 1.11: A soma de todos os fluxos através das superfícies de todos os elementos do volume é igual ao fluxo do campo que sai pela superfície que envolve esse volume; b) fluxos através de elementos de superfície contíguos anulam-se mutuamente. onde ˆn é normal à superfície do volume em cada ponto, e aponta para fora. Assim, dado que, dφ = Edτ, então S E ds = τ ( E)dτ (1.16) Teorema da divergência de Gauss-Ostrogradsky. o integral de volume da divergência do campo em cada ponto de um volume é igual ao fluxo do campo que sai através da superfície fechada que delimita esse volume. O teorema anterior é de sobremaneira importante porque estabelece uma conexão entre o que se passa no interior de um volume e as propriedades do campo na superfície que delimita esse volume. Este integral pressupõe que a função é bem comportada em todos os pontos do volume e da superfície O rotacional de um campo vectorial O rotacional de um campo vectorial está, tal como o nome sugere, relacionado com a rotação dos vectores (ou das linhas) do campo, i.e. caracteriza a vorticidade desse campo. Esta propriedade é posta em evidência calculando o integral de circulação do campo, i.e., fazendo o integral de caminho do campo ao longo de um percurso que seja fechado.

22 22 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA Chama-se integral de caminho, ou de linha, de um campo vectorial, E, ao integral das projecções desse campo vectorial ao longo de determinado percurso, desde um ponto a até um ponto b, U = b a E dl O trabalho de uma força, F, é um exemplo bem conhecido de um integral de caminho, w(a,b) = b a F dl. Se os pontos a e b corresponderem à mesma posição, então o percurso é fechado e o integral de caminho ao longo de tal percurso é um integral de circulação. Seja o percurso fechado elementar da fig. 1.12, no plano xy. A circulação elementar do campo E = E xˆx+e y ŷ+e z ẑ ao longo desse percurso elementar é, na aproximação em série de Taylor em torno de (x,y), dγ = E x (x,y,z)dx E x (x,y +dy,z)dx (1.17) E y (x,y,z)dy +E y (x+dx,y,z)dy (1.18) ( x E y y E x ) dxdy (1.19) onde x x e y ȳ são valores médios sobre o percurso considerado. Da expressão anterior e da eq conclui-se que a circulação elementar à volta do elemento de superfície tem a forma 7 dγ = ( E) ẑdxdy = ( E) ds onde ds = ˆndxdy, sendo a normal definida de acordo com a regra da mão direita, relativamente ao sentido da circulação. A função vectorial rot E = E é o chamado rotacional do campo E em cada ponto do espaço. O rote descreve, com efeito, a rotação dos vectores E na vizinhança de cada ponto, sendo de resto por causa dessa rotação que a circulação é não nula ao redor dessa vizinhança. A conclusão anterior é válida qualquer que seja a superfície elementar ds, uma vez que podemos sempre rodar o sistema de eixos até que ẑ coincida com a normal local, ˆn. Por conseguinte, conclui-se que o fluxo do rotacional de um campo vectorial através de qualquer superfície infinitesimal é igual à circulação elementar do campo no contorno desse elemento de superfície. 7 Note que se a e b forem os vectores: a = a xˆx+a y ŷ+a z ẑ e b = b xˆx+b y ŷ+b z ẑ, então a b = (a y b z a z b y )ˆx+(a z b x a x b z )ŷ +(a x b y a y b x )ẑ.

23 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 23 z E(x,y,z) x dx x^ dy z^ z^ n^ dy dx y Figura 1.12: Circulação elementar de um campo vectorial, E(x, y, z). Em coordenadas rectangulares a operação E tem a forma E = ˆx ŷ ẑ x y z E x E y E z (1.20) Esta a função vectorial, E, caracteriza de que forma as linhas do campo E estão encurvadas, ou em turbilhão em cada ponto (ver fig. 1.14). teorema de Stokes Seja S uma superfície qualquer, aberta, constituída por elementos infinitesimais, ds, que justapostos perfazem completamente a superfície. A soma de todas as circulações elementares em todos os elementos superficiais, ds, permite concluir que todos os percursos elementares do campo se cancelam mutuamente em todos os caminhos elementares que separam elementos superficiais contíguos, pois eles são sempre percorridos nos dois sentidos; i.e., dγ j +dγ k = E dl j +E dl k = 0, pois dl j = dl k, (ver fig. 1.13). Sobram portanto apenas as contribuições ao longo dos elementos de linha que, juntos, delimitam a superfície S. Consequentemente, da soma de todas circulações infinitesimais feitas sobre a superfície S resulta apenas a circulação ao longo do bordo dessa superfície. Isto é, dγ = C E dl onde C E dl é a circulação do campo no percurso fechado, C, que constitui o bordo da superfície S. Assim, dado que dγ = ( E) ds, então

24 24 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA S C d l j dl k b) Figura 1.13: A soma de todas as circulações elementares sobre uma superfície, S, resume-se à circulação ao longo do bordo dessa superfície; b) percursos elementares contíguos anulam-se mutuamente. C E dl = S ( E) ds (1.21) Teorema do Stokes. A circulação de um campo vectorial num contorno fechado, C, é igual ao fluxo do rotacional desse campo através de qualquer superfície, S, que seja delimitada por C, se a normal em cada ponto da superfície apontar segundo a regra da mão direita, com referência ao sentido da circulação; 8 O teorema de Stokes pressupõe que a função seja bem comportada em todos os pontos da superfície O Laplaciano de um campo A divergência do gradiente de uma função escalar, f(r), é o Laplaciano dessa função. O Laplaciano tem as segundas derivadas de f(r), sendo, por definição, lapf = divgradf, i.e., lap f 2 f ( f) = 2 xf + 2 yf + 2 zf (1.22) O nome de Laplaciano é uma homenagem a Laplace, por fazer parte da famosa equação de Laplace, publicada no seu tratado de mecânica celeste, em (esta restrição resolve a ambiguidade de a priori se poder ter, em cada ponto, ˆn ou ˆn, já que a superfície é aberta).

25 1.4. OPERADORES DIFERENCIAIS VECTORIAIS 25 Também se define o Laplaciano de um campo vectorial. Se o campo E tiver a decomposição E = ie i ê i em coordenadas cartesianas rectangulares, então 3 2 E = 2 E i ê i, com {ê i } = {ˆx, ŷ, ẑ} (1.23) i=1 Ou seja, em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função vectorial é o vector cujas componentes são os Laplacianos das componentes do campo correspondente. Todavia, a igualdade anterior apenas é válida em coordenadas rectangulares; em geral, é necessário considerar que os próprios versores direccionais variam de ponto para ponto, sendo necessário derivá-los também. O Laplaciano de um campo vectorial é, em qualquer sistema de coordenadas, (ver apêndice A), 2 E = ( E) ( E) (1.24) Ou seja, em geral, como se vê, o Laplaciano de um campo vectorial não é simplesmente igual ao gradiente da divergência desse campo. Isso só se verifica se o campo for irrotacional Considerações adicionais Como se viu nas páginas anteriores, um campo vectorial é descrito por uma função vectorial, cujas características estão embutidas em propriedades como a divergência e o rotacional. A fig ilustra a tipificação dessas propriedades. Se um campo tem rotacional nulo diz-se que é um campo irrotacional. Porém, se tiver divergência nula designa-se como campo solenoidal. Estas características dos campos relacionam-se com a física que esses campos representam, como adiante se verá. No apêndice A listam-se as identidades vectoriais do operador que são de utilização mais comum. Dentre essas identidades importa aqui destacar duas: Estas duas identidades dizem-nos que: ( f) = 0 ( E) = 0 i) o gradiente de uma função é um campo irrotacional (tem rotacional nulo);

26 26 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA G G G G a) b) c) d) Figura 1.14: Campos vectoriais: a) campo uniforme: G = κˆx; G = 0; G = 0; b) campo radial: G = κr; G = 3κ; G = 0; c) campo solenoidal: G = κ r; G = 0κ; G = 2κ; d) campo em geral: G = κ r +cr; G = 3c; G = 2κ. ii) o rotacional de um campo é um campo solenoidal(não tem divergência). Estas duas propriedades são fundamentais e têm grandes implicações. O carácter vectorial de sugere que as igualdades anteriores são óbvias, já que um produto vectorial é sempre normal aos vectores que o compõem. Todavia, não é um vector qualquer - é um operador vectorial- e acerca dele não se pode argumentar como se de um ordinário vector se tratasse. 9 Os operadores diferenciais gradiente, divergência, rotacional e laplaciano têm expressões diferentes nos diversos sistemas de coordenadas. Todavia, representam sempre as mesmas propriedades, independentemente do sistema de coordenadas em que eles sejam expressos. No apêndice A estão reunidas as expressões dos operadores nos sistemas de referência considerados, com coordenadas: rectangulares, cilíndricas e esféricas. No apêndice B explica-se grosso modo como se obtêm as expressões desses operadores em coordenadas curvilíneas. Em alguns casos é trabalhoso obter essas expressões. 9 Se fosse um vector ordinário, quaisquer que fossem f 1 e f 2, ter-se-ia sempre f 1 f 2 = 0, mas isso não é verdade. Outro exemplo que ilustra o carácter especial de é o facto de se poder considerar um campo cujo rotacional não é perpendicular a esse campo, p.ex., se B = y ˆx+ẑ então B = ẑ, sendo B ( B) = 1 0 e portanto B B.

27 1.5. O CAMPO ELECTROSTÁTICO O campo electrostático A situação mais comum de que trata o electromagnetismo consiste em, conhecidas as cargas e as correntes, obter os campos a que estas dão causa. O teorema de Helmholtz demonstra que, se G for um campo vectorial do qual se conhecem a divergência, G, e o rotacional, G, em cada ponto, então essa informação é suficiente para obter o campo G univocamente em cada ponto, desde que as funções em causa tendam (pelo menos) quadraticamente para zero no infinito (ver 1.8). Veremos que a divergência e o rotacional do campo electrostático se relacionam directamente com as cargas. O teorema de Helmholtz diz-nos que essas equações devem ser suficientes para, a partir delas, obter o campo em cada ponto Divergência do campo electrostático Seja um conjunto de cargas eléctricas pontuais e estáticas colocadas num espaço vazio, à volta das quais imaginamos estar uma superfície fechada, S. O campo electrostático criado pelo conjunto das N cargas num ponto r é dado pela lei de Coulomb (as posições das cargas q i são identificadas pelos vectores posicionais, r i, ver fig. 1.15), E(r) = N i=1 E i = 1 4πǫ 0 N q i i=1 r i 2ˆr i onde r i = r r i. O campo criado pela carga q i em r é E i = 1 q i 4πǫ 0 r 2ˆr i i = E iˆr i. O fluxo de E i através do elemento de superfície ds = dsˆn é portanto dφ i = E i ˆr i ds = E i ds, onde ds = r i 2 sinϑ i dϑ i dϕ i (ver fig. 1.15). Por conseguinte, o fluxo de E i através de ds é dφ i = 1 q i 4πǫ 0 r i 2 r i 2 sinϑ i dϑ i dϕ i O fluxo total de E i através de toda a superfície fechada, S, é portanto 2π Φ i = q π i sinϑ i dϑ i dϕ i 4πǫ }{{} 4π = q i ǫ 0

28 28 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA ds E i z r ds ds r" i x O r i q i τ S y Figura 1.15: Lei de Gauss da electrostática. O fluxo do campo da carga q i através do elemento ds da superfície S é igual ao fluxo através de ds = ds Ê. Por conseguinte, o fluxo do campo E que sai através de toda uma superfície fechada (imaginária), S, que encerra um conjunto de N cargas, é S E ds = 1 N q i (1.25) ǫ 0 Ou seja, o fluxo do campo electrostático através de uma superfície fechada (imaginária) qualquer, que seja fechada, é apenas determinado pela soma de todas as cargas que estejam no seu interior e pelas propriedades do meio nessa região. Esta é a lei de Gauss da electrostática O fluxo do campo eléctrico que sai através de uma superfície fechada, arbitrária, é igual à soma das cargas que estão dentro dessa superfície a dividir pela permitividade do meio onde se situar a superfície. Quaisquer outras cargas localizadas fora da superfície não contam para o fluxo do campo através dessa superfície. Essas cargas alteram o campo, é certo, nomeadamente nos pontos sobre a superfície, mas a sua contribuição total para o fluxo é nula. A lei de Gauss permite calcular o campo electrostático de forma muito expedita em casos com elevada simetria, em que se possa perceber a priori que o campo não depende de alguma variável ou tem determinada direcção. Nesse caso pode-se escolher uma superfície conveniente na qual o campo não varie, o que permite extrair o campo para fora do integral sobre essa superfície, e calculá-lo trivialmente. Todavia, o interesse da equação de Gauss está sobretudo no seu grande alcanceteórico,porsetratardeumaequaçãomaisgeralquealeidecoulomb, que só é válida no caso estritamente estático. Se as cargas tiverem uma distribuição contínua, então na vizinhança de i=1

29 1.5. O CAMPO ELECTROSTÁTICO 29 cada ponto há uma carga infinitesimal dq = ρdτ. A lei de Gauss escreve-se então como E ds = 1 ρdτ (1.26) ǫ 0 S onde o integral de volume compreende todos os pontos interiores à superfície S. O teorema da divergência de Gauss-Ostrogradsky, diz-nos porém que E ds = ( E)dτ (1.27) S e portanto, consequentemente, ( E ρ ) dτ = 0, (1.28) ǫ0 τ Esta igualdade integral é válida qualquer que seja o volume, τ, considerado. Por conseguinte, como o integral de volume é identicamente nulo, independentemente dos limites de integração, então, necessariamente, a função integranda deve ser, ela mesma, identicamente nula em todos os pontos desse volume. Isto é, em qualquer ponto do volume, tem-se τ τ E = ρ ǫ 0 (1.29) Esta é a equação diferencial de Gauss do campo electrostático. É também conhecida como a primeira equação de Maxwell. A equação 1.29 diz-nos que as cargas são fontes do campo eléctrostático; que emergem linhas de campo em cada ponto onde ρ > 0, pois a divergência é positiva, e que onde for ρ < 0 então E < 0 e portanto que há linhas de campo que se extinguem nesses pontos. Por outras palavras: - as linhas do campo electrostático nascem nas cargas positivas e morrem nas negativas (ver fig. 1.22). A lei de Gauss assume portanto duas formas: i) uma forma integral, eq. 1.25, que relaciona o fluxo do campo através de uma determinada superfície fechada, macroscópica, com as cargas que se encontram no seu interior; ii) uma forma diferencial, eq. 1.29, que relaciona, em cada ponto do espaço, adivergênciadocampocomadensidadedecargasqueaíexiste. Ambas as formas descrevem porém a mesma lei física - são versões da mesma lei - uma decorre da outra e vice-versa.

30 30 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA Esta dualidade encontrar-se-á também noutras leis do campo electromagnético, que podem apresentar quer a forma de uma equação diferencial local ou a forma de uma equação integral sobre uma região finita Rotacional do campo electrostático o potencial Ocampoelectrostáticocriadopelacargapontualq i dafig.1.15é, comovimos, E i = q i ˆr i 4πǫ 0 r 2 = q i (r r i ) (1.30) 4πǫ 0 (r r i )3 i Conclui-se sem esforço que, sendo E i radial a partir da posição de q i, então E i = 0. De facto, como as cargas q i estão em posições estáticas (trata-se de electrostática), os vectores r i são fixos. Assim, visto que r i = r r i, então as derivadas em ordem a r são iguais às derivadas em ordem a r i. Isto é, E i = E i, com escrito em ordem a (x, y, z ). Mas, como o campo é radial na variável r i, então E i = 0, porque um campo radial é irrotacional (ver fig. 1.14). 10 O campo devido a uma distribuição discreta de N cargas é E = N i=1 E i e por conseguinte, E = N i=1 E i = 0. Se a distribuição for contínua é também esse o resultado, evidentemente. Conclui-se assim que o campo electrostático é necessariamente irrotacional, E = 0 (1.31) Esta propriedade do campo electrostático é da maior importância e tem consequências fundamentais. O teorema de Stokes permite escrever acerca do um campo que E dl = ( E) ds C S Ora, visto que E = 0, então a circulação do campo electrostático ao longo de qualquer percurso fechado, C, é sempre nula, E dl = 0 (1.32) C 10 Querendo também podemos calcular explicitamente E i e verificar que é de facto nulo. Em coordenadas cartesianas a eq tem a forma E i = e é fácil concluir que E i = 0. q i (x x i )ˆx+(y y i )ŷ+(z z i )ẑ 4πǫ 0 [(x x i )2 +(y y i )2 +(z z i )2 ] 2 3 Mas, sendo o campo E i radial em (x i, y em coordenadas esféricas. i, z i ), é ainda mais simples fazer este cálculo

31 1.5. O CAMPO ELECTROSTÁTICO 31 Em consequência deste facto, o integral de caminho do campo electrostático entre dois pontos quaisquer não depende do caminho escolhido para ir de um ponto ao outro. 11 Um campo com estas características designa-se como campo conservativo. o potencial electrostático Visto que E = 0, e visto que o gradiente de qualquer função escalar, f, é sempre irrotacional, ( f) = 0, então todo o campo electrostático pode ser escrito na forma, E = V (1.33) onde V = V(r) é uma função escalar, que se designa por função potencial. Ou seja, por outras palavras, é condição suficiente para que o rotacional do campo seja nulo em cada ponto que ele seja o gradiente de uma função, pois ( V) = 0. O sinal negativo na eq é mera convenção, tem como único propósito que o campo electrostático aponte no sentido dos potenciais decrescentes, i.e., em sentido contrário ao gradiente em cada ponto (o que permite relacionar V com a energia potencial). A conclusão geral é pois que qualquer campo vectorial, E, que seja irrotacional, i.e., cujo E = 0, pode ser descrito pelo gradiente de uma função escalar. O facto de se poder descrever o campo através de uma única função escalar é uma economia matemática importante, com uma única função escalar descreve-se o que normalmente requer três funções escalares correspondentes às três componentes vectoriais do campo. O teorema do gradiente permite transformar a equação diferencial 1.33 numa equação integral. O integral da função V entre quaisquer dois pontos do espaço, a e b, é (ver eq. 1.10) b a b E dl = dv = V(a) V(b) a pois, dv = V dl. Isto é, o integral de caminho do campo electrostático não depende do caminho escolhido, é somente função das posições inicial e 11 De facto, dado que E dl = 0, se partirmos o percurso C em dois troços, (1) e C (2), nos pontos a e b, fica 0 = C E dl = b a,(1) E dl + a b,(2) E dl = 0. Ou seja, b a E dl = a,(1) b,(2) E dl = b a,(2) E dl Portanto, o integral de caminho do campo electrostático do ponto a para o ponto b não depende do caminho escolhido, se é (1) ou (2) ou outro qualquer.

32 32 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA final desse percurso, V(a) V(b) = b a E dl (1.34) Esta equação integral corresponde à equação diferencial E = V. Se tomarmos a equação E = V e adicionarmos a V uma constante, tal que V V + const, obtém-se o campo E = (V + const) = V. Ou seja, o campo electrostático (que é o campo físico) é insensível à soma de qualquer constante ao potencial. Dito de outro modo, a função potencial, a que corresponde determinado campo, é sempre definida em qualquer ponto a menos de uma constante. Este facto está também patente na eq. 1.34, pois podemos escrever com base nessa equação que, a V(r) = V(a)+ r E dl (1.35) o que significa que V(r) é definido a menos do valor constante V(a). Geralmente as distribuições de cargas estão circunscritas a regiões finitas do espaço e portanto em pontos do infinito o potencial é certamente constante. Podemos nesse caso absorver a constante fazendo V(a ) = 0. De todo o modo, a diferença de potencial entre dois pontos não depende dessa constante. equações de Laplace e Poisson Combinando as equações 1.29 e 1.33, obtemos uma equação que relaciona directamente as cargas com os potenciais em cada ponto, 2 V = ρ ǫ 0 (1.36) É a equação de Poisson (Poisson 1813). No caso particular em que ρ = 0, esta equação transforma-se na equação de Laplace, 12 2 V = 0 (1.37) 12 A equação de Laplace aparece no tratado de Mecânica Celeste de Laplace sobre o campo gravitacional, em Poisson generalizou esta equação em 1813, tendo obtido a que ficou conhecida como equação de Poisson.

33 1.5. O CAMPO ELECTROSTÁTICO 33 q i r i E i dl r de σ ds r de ρ dτ r de a) b) c) d) Figura 1.16: Distribuições de cargas discretas e contínuas: a) sobre uma linha; b) sobre uma superfície; c) num volume; com densidades λ = dq/dl, σ = dq/ds e ρ = dq/dτ, respectivamente. A equação de Poisson (e a de Laplace) é uma equação de grande importância. A resolução desta equação permite em principio calcular o potencial e a partir dele o campo electrostático criado por quaisquer distribuições de cargas. Problemas complicados, com pouca ou nenhuma simetria, geralmente resolvem-se integrando numericamente a equação de Poisson (Laplace). Em qualquer caso, a solução da equação tem que satisfazer as condições de fronteira do problema em causa. Discutiremos essa questão mais adiante Distribuições de cargas À escala atómica as cargas eléctricas mais elementares que hoje se conhecem são todas discretas. Todas elas se materializam em múltiplos de ±e, onde e é a carga de um electrão (os quarks têm carga fraccionário mas não existem isolados). Todavia, à escala macroscópica faz sentido considerar quer distribuições discretas de cargas (i.e. de cargas enumeráveis), quer também distribuições contínuas de cargas, em que estas se distribuem continuamente, seja ao longo de uma linha, ou sobre uma superfície ou num volume (ver fig. 1.16). É costume designar as correspondentes densidades por λ = dq, dl σ = dq e ρ = dq, ds dτ respectivamente.13 Todas as cargas (estáticas) criam campos electrostáticos. O campo electrostático de uma distribuição contínua de cargas pode-se escrever como uma sobreposição de campos coulombianos. Se as cargas se 13 No sistema SI de unidades tem-se pois λ [C/m], σ [C/m 2 ] e ρ [C/m 3 ].

34 34 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA distribuírem num volume τ, então (ver fig.1.1), E(r) = 1 4πǫ 0 τ ρ(r ) r 2 ˆr dτ = 1 ρ(r ) 4πǫ 0 τ r r r r 3 dτ Ora, visto que 14 1 r r = r r r r 3 (1.38) então, como r é constante (as cargas são estáticas), obtém-se E = V, com V(r) = 1 ρ(r ) 4πǫ 0 τ r r dτ +const. arbitrária (1.39) Ou seja, o potencial da distribuição também pode ser escrito como sobreposição dos potenciais coulombianos associados a cada elemento de carga dq = ρdτ. A constante arbitrária pode ser absorvida, sem perda de generalidade, fazendo V( ) = 0, (se ρ(r ) = 0, como se disse atrás). No caso geral, em que também haja cargas sobre superfícies, tem-se evidentemente, E(r) = 1 4πǫ 0 τ ρ(r ) r 2 ˆr dτ + 1 σ(r ) 4πǫ 0 S r 2 ˆr ds (1.40) onde r = r r, com r = r ˆr. O potencial correspondente é portanto, V(r) = 1 4πǫ 0 τ ρ(r ) dτ + 1 σ(r ) ds +const. arbitrária (1.41) r 4πǫ 0 S r Superfícies de fronteira As equações que descrevem o campo electrostático são, como vimos atrás, { E = ρ ǫ 0 (1.42) E = 0 14 Em coordenadas cartesianas, r r = (x x )ˆx+(y y )ŷ +(z z )ẑ, portanto ( ) 1 ( ) ( ) r r = x ˆx+ y ŷ + z ẑ (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 ( ) 3/2 1 = [(x x )ˆx+(y y )ŷ +(z z )ẑ] = r r r r 3

35 1.5. O CAMPO ELECTROSTÁTICO 35 O teorema de Helmholtz garante que estas duas equações são suficientes para calcular E, de forma única. Todavia, percebe-se que esta descrição não está completa, pois falta nas equações anteriores qualquer referência ao efeito devido a distribuições superficiais de cargas. Isto sugere que em superfícies nas quais haja cargas superficiais 15, as relações 1.42 não funcionam: - ou estão incompletas ou são insuficientes. Com efeito, o teorema de Helmholtz presume que a função é regular em todo o espaço. Mas, e se não for?... Seja uma superfície Ψ na qual existe uma distribuição superficial de cargas, σ (ver fig. 1.17). Suponha-se, por hipótese, que o campo eléctrico é descontínuo ao longo de toda essa superfície. Nesse caso, as equações diferenciais, eqs. 1.42, não se aplicam nos pontos da superfície Ψ, pois as derivadas de E são aí infinitas. Todavia, as equações integrais do campo são válidas, pois nada obsta a que pontos da superfície Ψ estejam englobados nos respectivos integrais. Isto é, nessa região, S C E ds = q ǫ 0 (1.43) E dl = 0 (1.44) Vejamos o que se passa na vizinhança de Ψ. Comecemos por designar ˆn, a normal à superfície Ψ em cada ponto. Se nos aproximarmos de Ψ, primeiro pelo lado para que aponta a normal ˆn e depois pelo lado oposto, obtemos limites, E + e E, que são supostamente diferentes, pois o campo é, por hipótese, descontínuo em Ψ. Ou seja, na vizinhança de Ψ, quando h 0, tem-se (ver fig. 1.17) lim h 0 S E ds = ˆn (E + E )S = σs ǫ 0 Isto é, ˆn (E + E ) = σ ǫ 0 (1.45) Isto significa que E + E = σ ǫ 0, onde E + = ˆn E + e E = ˆn E são as componentes do campo perpendiculares à superfície Ψ. Ou seja, se σ 0 E + E, a componente do campo normal à superfície é descontínua se/onde a superfície tiver cargas. 15 As distribuições lineares não são geralmente tratadas explicitamente.