Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra. Electromagnetismo. Notas lectivas de apoio à disciplina

Transcrição

1 Rui César Vilão Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Electromagnetismo Notas lectivas de apoio à disciplina Coimbra

2 ii

3 Notas prévias Estas notas lectivas de apoio à disciplina de Electromagnetismo foram desenvolvidas no âmbito da leccionação desta disciplina no Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Sendo a electrodinâmica clássica um tema fundamental em Física e em Engenharia, existe naturalmente disponível uma quantidade apreciável de textos de grande qualidade científica e didáctica, seja em inglês ou em português. Ainda assim, dado o carácter propedêutico desta disciplina, entendeu-se conveniente produzir este conjunto de notas lectivas que seguem de perto o programa da disciplina, bem como a apresentação dos conceitos feita nas aulas teóricas. Naturalmente, algumas obras de referência serviram de bibliografia principal, que a seguir se apresentam: Introduction to Electrodynamics, 3 rd edition, D. J. Griffiths, Prentice-Hall (1999). Trata-se de uma obra de referência de introdução à electrodinâmica, dada a clareza da exposição. É uma obra focada nos conceitos, onde se presta pouca atenção às aplicações, o que por vezes a torna excessivamente formal. Lectures on Physics, Vol. II, R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, Addison- Wesley (1977). Com Feynman, a física está sempre em primeiro lugar e os autores encontram sempre a forma mais simples de explicar os conceitos mais delicados. As aplicações não são esquecidas neste volume dedicado ao electromagnetismo, bem como tópicos fascinantes nem sempre abordados, como a electricidade atmosférica ou - próximo do coração do autor principal - as subtilezas relacionadas com a autoenergia das cargas pontuais. Contudo, tratando-se de lições de Física Geral (!) dadas aos caloiros da Universidade da Califórnia, os autores optaram por uma apresentação pouco sistemática, o que por vezes o torna de leitura difícil. Classical Electrodynamics, 3 rd edition, J. D. Jackson, Wiley (1999). A referência. Trata-se de uma obra de referência para físicos e engenheiros profissionais. Recomenda-se vivamente aos alunos a leitura dos primeiros capítulos, sobretudo o primeiro, depois de terem completado a disciplina. iii

4 R. Vilão Electromagnetismo Índice Campo Electromagnético, L. Brito, M. Fiolhais, C. Providência, McGraw-Hill Portugal, Lisboa (1999). Trata-se de um livro com uma sobreposição apreciável com os conteúdos programáticos da presente disciplina, do qual muito poderão beneficiar os alunos, seja pela exposição detalhada, seja pela abundância de exercícios resolvidos. Notas lectivas de Electromagnetismo, J. Pinto da Cunha, DF/FCTUC (2005). Trata-se das notas lectivas desta disciplina, produzidas pelo Prof. J. Pinto da Cunha. São algo mais abreviadas e condensadas do que as presentes notas, o que as poderá tornar mais inacessíveis numa primeira introdução ao tema, mas uma utilíssima e completíssima referência para alunos mais seguros. iv

5 Conteúdo 1 Introdução e fundamentos Sistemas de coordenadas Sistema de coordenadas cartesianas Sistema de coordenadas cilíndricas Sistema de coordenadas esféricas Campos e operadores diferenciais Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Alguns resultados importantes Equações de Maxwell Electrostática Lei de Coulomb Princípio da sobreposição e campo eléctrico Aproximações macroscópicas Lei de Gauss Linhas de Campo Fluxo e lei de Gauss Forma diferencial da lei de Gauss Lei de Gauss aplicada a superfícies de carga O campo electrostático: um campo conservativo Trabalho realizado pelo campo electrostático; potencial electrostático Relação entre campo eléctrico e potencial eléctrico Equações diferenciais para o potencial electrostático: equação de Laplace e equação de Poisson Continuidade das componentes do campo eléctrico paralelas a uma distribuição superficial de carga v

6 R. Vilão Electromagnetismo Índice Variações sobre o tema do potencial e da energia electrostáticos: Mind the gap! Resumo da electrostática básica Algumas situações e resultados importantes em electrostática O dipolo eléctrico r >> d Comportamento de um dipolo eléctrico na presença de um campo eléctrico uniforme Momento dipolar de uma distribuição de cargas Desenvolvimento multipolar do potencial A electrostática de meios materiais Materiais condutores Sistemas de condutores em equilíbrio electrostático. Capacidade Meios dieléctricos Magnetostática Corrente eléctrica Densidades volúmica e superficial de corrente Equação de continuidade Força de Lorentz A força magnética não realiza trabalho Força magnética numa corrente Lei de Biot e de Savart O campo gerado por um corrente rectilínea Força entre dois fios rectilíneos Um aparte relevante: a lei de Ohm Lei de Ampère A divergência do campo magnetostático Condições de fronteira em superfícies Continuidade das componentes transversas do campo magnético Descontinuidade das componentes do campo magnético paralelas à superfície O potencial vector O potencial vector devido a correntes Condições de fronteira em superfícies Resumo da magnetostática básica Algumas situações e resultados importantes em magnetostática O dipolo magnético Desenvolvimento multipolar do potencial vi

7 R. Vilão Electromagnetismo Índice Interacção de um dipolo magnético com um campo magnético A energia magnetostática: um aperitivo Magnetismo em meios materiais A magnetização: descrição macroscópica O campo auxiliar H A susceptibilidade magnética Condições de fronteira em superfícies Materiais ferromagnéticos Materiais supercondutores Electrodinâmica A lei de Ohm revisitada Lei de Joule Geradores e força electromotriz A pilha de Volta Estabelecimento de uma corrente num circuito A força electromotriz Força electromotriz induzida: o gerador Origem da força electromotriz na experiência de Faraday - lei de Faraday Indutância Indutância mútua Auto-indutância Energia em circuitos magnéticos Corrente de deslocamento de Maxwell: lei de Ampère-Maxwell Estado da arte Problemas da lei de Ampère em electrodinâmica A lei de conservação da carga e a corrente de deslocamento de Maxwell As equações de Maxwell Equações de Maxwell em meios materiais Formulação das equações de Maxwell em termos do potencial Aproximações quase-estáticas Correntes induzidas e correntes de Foucault Travagem magnética Ondas electromagnéticas Equação de onda Ondas transversais e ondas longitudinais. Polarização Ondas sinusoidais, planas e monocromáticas Ondas electromagnéticas no vazio vii

8 R. Vilão Electromagnetismo Índice Equações de onda para os campos eléctrico e magnético no vazio Ondas planas sinusoidais monocromáticas Propagação de energia pelo campo electromagnético Teorema de Poynting Energia transportada por ondas electromagnéticas Ondas electromagnéticas em materiais lineares Ondas electromagnéticas em dieléctricos isoladores Ondas electromagnéticas em materiais com condutividade Aplicações das equações de Maxwell Implicações em teoria de circuitos Componentes ideais Componentes reais Comportamento do condensador em altas frequências Transmissão de sinais electromagnéticos Linhas de transmissão Guias de ondas Introdução à teoria da radiação electromagnética Potenciais retardados O dipolo eléctrico radiante viii

9 Capítulo 1 Introdução e fundamentos 1.1 Sistemas de coordenadas A descrição matemática de certos problemas físicos pode ser consideravelmente simplificada pela adopção de sistemas de coordenadas alternativos ao sistema de coordenadas cartesianas (ou rectangulares). São particularmente importantes e úteis o sistemas de coordenadas cilíndricas e o sistema de coordenadas esféricas Sistema de coordenadas cartesianas Neste sistema, cada ponto (x 0, y 0, z 0 ) do espaço 3 D é definido pela intersecção de 3 planos ortogonais. O elemento de deslocamento associado à variação de cada uma das coordenadas x, y ou z é, respectivamente, dx, dy, ou dz. Cada um destes deslocamentos elementares ocorre na direcção perpendicular a cada um dos planos x = x 0, y = y 0 ou z = z 0, designada pelo versor ê x, ê y ou ê z, respectivamente. O quadrado da distância entre dois pontos separados de um elemento de deslocamento ds = dxê x + dyê y + dzê z é: O elemento de volume dτ é: 1 ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (1.1) dτ = dx dy dz (1.2) 1 Em electrodinâmica é usual designar-se o volume por τ, reservando a letra latina V para o potencial eléctrico. 1

10 R. Vilão Electromagnetismo Introdução É possível definir ainda elementos de superfície orientados, associados a cada um dos planos x = x 0, y = y 0 ou z = z 0 : dσ x = dy dz ê x dσ y = dx dz ê y dσ z = dx dy ê z (1.3) Sistema de coordenadas cilíndricas Neste sistema, cada ponto do espaço 3 D é definido pela intersecção das seguintes 3 superfícies: uma superfície cilíndrica de raio ρ (ou r), cujo eixo é o eixo dos ZZ; um semi-plano perpendicular ao plano XOY, cujo eixo é novamente o eixo dos ZZ, e que faz um ângulo φ com o plano XOZ. um plano paralelo ao plano XOY, intersectando o eixo dos ZZ em z. O elemento de deslocamento associado à variação de cada uma das coordenadas ρ, φ ou z é, respectivamente, dρ, ρ dφ, ou dz. Cada um destes deslocamentos elementares ocorre na direccção perpendicular a cada uma das superfícies, designada pelo versor ê ρ, ê φ ou ê z. O quadrado da distância entre dois pontos separados de um elemento de deslocamento ds = dρê ρ + ρdφê φ + dzê z é: O elemento de volume dτ é: ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dφ 2 + dz 2 (1.4) dτ = ρdρ dφ dz (1.5) É possível definir ainda elementos de superfície orientados associados a cada uma das superfícies: dσ ρ = ρdφ dz ê ρ dσ φ = dρ dz ê φ dσ z = ρdρ dφ ê z (1.6) 2

11 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Figura 1.1: Sistema de coordenadas cilíndricas. Figura 1.2: Sistema de coordenadas esféricas. 3

12 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Sistema de coordenadas esféricas Neste sistema, cada ponto do espaço 3 D é definido pela intersecção das seguintes três superfícies: uma superfície esférica de raio r, centrada na origem dos eixos coordenados; um semi-plano perpendicular ao plano XOY, cujo eixo é novamente o eixo dos ZZ e que faz um ângulo φ (dito ângulo azimutal) com o plano XOZ. uma superfície cónica, cujo vértice se encontra na origem dos eixos coordenados e cujo eixo é o semi-eixo positivo dos ZZ, sendo θ o seu ângulo de abertura. O elemento de deslocamento associado à variação de cada uma das coordenadas r, θ ou φ é, respectivamente, dr, r dθ e r sin θdφ. Cada um destes deslocamentos elementares ocorre na direccção perpendicular a cada uma das superfícies, designada pelo versor ê r, ê θ ou ê φ. O quadrado da distância entre dois pontos separados de um elemento de deslocamento ds = drê r + r sin θdφê φ + rdθê θ é: ds 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 + r 2 dθ 2 (1.7) O elemento de volume dτ é: dτ = r 2 sin θdr dθ dφ (1.8) É possível definir ainda elementos de superfície orientados associados a cada uma das superfícies: dσ r = r 2 sin θdθ dφ ê r dσ θ = r sin θdr dφ ê θ dσ φ = rdr dθ ê φ (1.9) 4

13 R. Vilão Electromagnetismo Introdução 1.2 Campos e operadores diferenciais Os fenómenos electromagnéticos são adequadamente descritos através de equações diferenciais que relacionam as variações no espaço e no tempo dos campos eléctrico e magnético com as cargas e correntes eléctricas presentes. É pois conveniente recordar os principais operadores diferenciais e as suas propriedades Gradiente O gradiente é um operador que actua num campo escalar φ(r) e que determina a variação espacial deste campo, sendo definido de forma que a variação dφ do campo correspondente a um deslocamento ds é: dφ = grad φ ds (1.10) Daqui segue-se imediatamente dφ = grad φ ds cos θ, em que θ é o ângulo entre o vector grad φ e o vector deslocamento ds. A taxa de variação de φ é pois máxima quando o deslocamento é paralelo a grad φ. A direcção do vector gradiente num dado ponto corresponde assim à direcção em que é máxima a taxa de variação do campo nesse ponto, correspondendo o seu módulo ao valor dessa taxa máxima. A componente do vector gradiente correspondente à variação dq i da coordenada i, (grad φ) i pode ser obtida imediatamente: φ(q i + dq i ) φ(q i ) (grad φ) i = lim (1.11) ds i 0 ds i Em coordenadas cartesianas, resulta então que: Costuma também usar-se a seguinte notação: em que se define o operador nabla ( ): grad φ = φ xêx + φ y êy + φ z êz (1.12) φ = φ xêx + φ y êy + φ z êz (1.13) = xêx + y êy + z êz (1.14) 5

14 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Divergência A divergência de num campo vectorial V num ponto r define-se como o seguinte limite: divv(r) = lim τ 0 1 τ σ V(r) dσ (1.15) em que V(r) dσ é o fluxo do campo V através da superfície fechada σ que delimita σ o volume τ. A divergência corresponde assim ao fluxo do campo vectorial através de uma superfície infinitesimal, por unidade de volume. A partir desta definição segue-se de forma (quase) imediata o teorema de Gauss, integrando a divergência num volume finito τ: τ divv(r)dτ = σ V(r) dσ (1.16) Expressão da divergência A expressão da divergência em coordenadas cartesianas é: div V = V = V x x + V y y + V z z (1.17) A lei de conservação da carga: a equação de continuidade Consideremos um volume τ delimitado por uma superfície σ, onde se encontra uma densidade de carga ρ(r) = dq/dτ. Consideremos ainda que as cargas se encontram em movimento, originando uma densidade de corrente j(r) = dq/(dt dσ). A carga total no volume τ é: e a sua variação com o tempo é: τ ρdτ (1.18) d ρdτ (1.19) dt τ 6

15 R. Vilão Electromagnetismo Introdução A carga que sai do volume τ por unidade de tempo, atravessando a superfície σ, é: j dσ = divjdτ (1.20) σ τ onde se utilizou o teorema de Gauss. A lei da conservação da carga eléctrica exige que a taxa a que a carga sai do volume corresponda à taxa de variação da carga no volume, isto é: divjdτ = d dt τ τ ρdτ (1.21) atendendo a que o volume é arbitrário, a igualdade acima só é válida se as expressões integrandas forem iguais em cada ponto do espaço: divj = ρ t (1.22) Esta equação designa-se equação de continuidade ou lei de conservação da carga eléctrica. 7

16 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Rotacional O rotacional de um campo vectorial V num ponto r é um vector cujas componentes se definem a partir do seguinte limite: 1 (rotv(r)) n = lim V(r) dλ (1.23) σ 0 σ em que V(r) dλ é a circulação do campo V ao longo do percurso fechado λ que λ delimita a superfície σ. (rotv(r)) n é a componente do rotational na direcção n perpendicular à superfície σ. A partir desta definição segue-se de forma (quase) imediata o teorema de Stokes, integrando o rotacional numa área finita σ: rotv(r) dσ = V(r) dλ (1.24) Expressão do rotacional em coordenadas cartesianas σ λ λ O rotacional pode ser calculado a partir do seguinte determinante formal: ê x ê y ê z rotv = V = x y z V x V y V z (1.25) Significado físico Para ilustrar o significado do rotacional, consideremos uma massa de água que roda com velocidade angular constante ω em torno de um eixo central vertical ê z. A velocidade das partículas de água à distância r do eixo é (em coordenadas cilíndricas) v = ω r ê φ. O rotacional de v, calculado a partir da definição, é: (rotv(r)) ê z = lim σ 0 1 σ λ 1 v(r) dλ = lim r 0 πr 2 λ ω r ω r ê φ dλê φ = lim dλ = 2ω r 0 πr 2 λ (1.26) A componente do rotacional na direcção de ê z corresponde assim ao dobro da velocidade angular Laplaciano O laplaciano de um campo escalar φ é um operador diferencial de segunda ordem que corresponde à divergência do gradiente desse campo: 8

17 R. Vilão Electromagnetismo Introdução lap φ = div(grad φ) = φ = 2 φ (1.27) O uso do operador permite-nos obter imediatamente as componentes cartesianas do operador laplaciano: 2 φ = 2 φ x φ y φ z 2 (1.28) Significado físico Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto r 0, é possível demonstrar que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio φ do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor φ 0 do campo em r 0. Este resultado permite-nos interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que (conforme veremos mais adiante na disciplina), governa o potencial electrostático no vazio: 2 V = 0 (1.29) Esta equação basicamente informa-nos então que o valor médio do potencial em torno de um ponto P é igual ao valor do potencial no próprio ponto P. 9

18 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Alguns resultados importantes Seguem-se alguns resultados particularmente importantes: O rotacional do gradiente de um campo escalar V é nulo. ( V ) = 0 (1.30) Deste modo, a um campo vectorial V cujo rotacional seja nulo pode ser associado, com imensas vantagens de cálculo, um campo escalar φ. É o que acontece, por exemplo, com o campo electrostático E, a que se associa o potencial electrostático V, convencionando-se, conforme veremos no decurso da disciplina, E = V. A divergência do rotacional de um campo vectorial A é nula. ( A) = 0 (1.31) Assim, a um campo vectorial B cuja divergência seja nula também pode ser associado, com algumas vantagens de cálculo, um outro campo vectorial A. Conforme veremos, é o que acontece, por exemplo, com o campo magnetostático B, a que se pode associar o potencial vector A, convencionando-se B = A. Um campo vectorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através da sua divergência e do seu rotacional e de um conjunto adequado de condições fronteira. No electromagnetismo, os campos eléctrico e magnético são comummente especificados pela respectiva divergência e rotacional, pelo que este resultado assume grande importância. Faremos dele uso abundante. A condição fronteira exigida é a especificação da componente normal do campo na fronteira da região. Se, conforme acontece nas situações típicas do electromagnetismo, a região se estender até ao infinito, o campo vectorial é completamente especificado pela sua divergência e pelo seu rotacional, desde que tenda apropriadamente para zero no infinito. 2 2 Este último resultado é conhecido por teorema de Helmholtz. Para uma demonstração detalhada, consultar D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3 rd edition, Prentice-Hall (1999), p

19 R. Vilão Electromagnetismo Introdução Equações de Maxwell Esta revisão dos operadores diferenciais justifica-se pelo facto de as leis básicas do electromagnetismo poderem ser escritas de forma muito compacta e elegante na forma de um conjunto de equações diferenciais que relacionam os campos eléctrico E e magnético B com as densidades de carga ρ e de corrente j presentes. Trata-se das célebres equações de Maxwell, que constituem o principal objecto de estudo desta disciplina e que apresentamos desde já: E = ρ ɛ 0 (1.32) E = B t (1.33) B = 0 (1.34) c 2 B = E t + j ɛ 0 (1.35) Estas equações traduzem as propriedades básicas dos campos eléctrico e magnético, e já eram praticamente todas conhecidas antes de Maxwell: a lei de Coulomb (eq. 1.32), a inexistência de cargas magnéticas (eq. 1.34), a lei de Faraday (eq. 1.33) e a lei de Ampère-Maxwell (eq. 1.35). No caso estático ( E/ t = 0, B/ t = 0), as equações de Maxwell reduzem-se a dois pares de equações, que envolvem os campos eléctrico e magnético separadamente, e que correspondem a dois domínios importantes designados electrostática e magnetostática. Há toda a vantagem em estudá-los separadamente, dando depois lugar ao estudo da electrodinâmica. 11

20 R. Vilão Electromagnetismo Introdução 12

21 Capítulo 2 Electrostática 2.1 Lei de Coulomb Os fenómenos eléctricos são conhecidos desde a Antiguidade, em particular o fenómeno da electricidade estática resultante da fricção de dois corpos. As particulares propriedades electrostáticas do âmbar (electron, em grego) motivaram a designação electricidade. No entanto, só no séc. XVIII se deu início ao estudo científico do assunto. Cedo foi identificada a presença de dois tipos básicos de cargas eléctricas, que foram designadas cargas positivas e cargas negativas, originando forças repulsivas entre cargas com o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) e forças atractivas entre cargas de sinais opostos. A interacção básica entre duas cargas eléctricas q 1 e q 2 em repouso conduz a uma força (dita força de Coulomb) que tem as seguintes propriedades: diminui com o quadrado da distância r entre as cargas; aumenta proporcionalmente a cada uma das cargas presentes; actua na direcção ˆr da linha que une as cargas; é repulsiva entre cargas do mesmo tipo e atractiva entre cargas de tipos diferentes. Estas propriedades podem ser sintetizadas matematicamente na expressão da lei de Coulomb para a força F 21 que actua na carga q 2 devido à carga q 1 : F 21 = k q 1 q 2 r 2 ˆr 21 (2.1) em que ˆr 21 = (r 2 r 1 )/r e r = r 2 r 1, sendo r 2 e r 1 as posições das cargas q 2 e q 1, respectivamente. k é uma constante, dita constante de Coulomb que depende do sistema de unidades utilizado. No sistema internacional (SI), k costuma exprimir-se em função de uma outra constante ɛ 0, designada permissividade eléctrica do vazio: 13

22 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática k = 1 4πɛ 0 (2.2) ɛ 0 é designada permissividade eléctrica do vazio e o seu valor é, por definição: ɛ 0 = 107 4π c F/m (2.3) onde c = m/s é a velocidade da luz no vazio 1. Sabemos hoje que as cargas eléctricas estão quantizadas na Natureza, sendo a carga elementar e = (35) C (2.4) expressa na unidade do Sistema Internacional, o coulomb (C). Esta unidade corresponde ao valor absoluto da carga do electrão e do protão e é definida em função das unidades de corrente eléctrica (ampère, A) e de tempo (segundo, s), sendo 1 C = 1 A s Princípio da sobreposição e campo eléctrico A lei de Coulomb traduz a força entre duas cargas eléctricas em repouso mas não responde à questão: existe alguma alteracção a essa força na presença de uma terceira carga? A resposta é: não. Isto significa que a força resultante na terceira carga Q devido à interacção com as duas cargas iniciais q 1 e q 2 corresponde simplesmente à soma (vectorial) das forças entre Q e q 1, e Q e q 2, consideradas separadamente: F Q = F Q1 + F Q2 = k Q q 1 r 2 Q1 ˆr Q1 + k Q q 2 ˆr rq2 2 Q2 = Q q i k q i ˆr rqi 2 Qi = QE Q (2.5) Esta propriedade importante da força de Coulomb é conhecida por princípio da sobreposição. Daqui segue também a definição, com vantagem, do campo eléctrico E Q na posição da carga Q, devido às outras cargas presentes: E Q = q i k q i ˆr rqi 2 Qi (2.6) O conhecimento do campo eléctrico numa dada zona do espaço permite-nos determinar a dinâmica de uma carga Q que lá seja colocada: F Q = QE Q (2.7) 1 Actualmente, no SI, o valor da velocidade da luz no vazio é definido. Este valor, em conjunto com a definição de segundo, determina a definição do metro. 2 A definição do ampère será abordada na secção 4.4, p

23 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Aproximações macroscópicas Conforme referimos já, a carga eléctrica encontra-se quantificada na Natureza. As cargas conhecidas constitutem múltiplos inteiros da carga elementar 3, correspondente à carga do protão: e = (35) C (2.8) Esta carga elementar é de tal forma reduzida em comparação com as cargas envolvidas em muitos dos processos eléctricos que se torna útil em muitas situações tomar as distribuições de carga como sendo aproximadamente contínuas. Esta abordagem tem a vantagem de se poder utilizar a ferramenta poderosa do cálculo diferencial e integral. É costume definir-se assim a densidade (volúmica) de carga, ρ: ρ = dq (2.9) dτ O campo eléctrico criado por uma distribuição ρ de carga obtém-se a partir da equação (2.6) considerando: q i dq = ρ(r)dτ (2.10) e aproximando a soma de todas as cargas por uma soma de Riemann, i.e., por um integral em todo o volume τ onde se define ρ: (2.11) q i A equação (2.6) pode assim ser reescrita: E = k ρ(r)dτ ˆr (2.12) r 2 τ Podem-se obter expressões análogas para outras distribuições em que a carga esteja concentrada em regiões reduzidas do espaço, podendo ser descrita aproximadamente por densidade superficiais ou até lineares de carga, σ e λ, respectivamente: E = S E = l τ k σ(r)ds r 2 ˆr (2.13) k λ(r)dl r 2 ˆr (2.14) 3 O protão é constituído por quarques, cuja carga é e/3 ou 2e/3, mas os quarques não existem isolados na Natureza. Porém, se existissem (existirem) isolados, tal não alteraria o princípio da quantificação da carga. 15

24 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática 2.3 Lei de Gauss Linhas de Campo Uma ferramenta usada frequentemente para facilitar a visualização do campo eléctrico é a noção de linhas de campo, as quais divergem a partir das cargas positivas e convergem em cargas negativas, sendo tangentes ao campo em causa em todos os pontos do espaço. As linhas de campo podem assim ser determinadas através da equação: dl E = 0 ê x ê y ê z dx dy dz E x E y E z = 0 (2.15) Figura 2.1: Representação das linhas de campo de um carga pontual. À medida que nos afastamos da origem do campo, a densidade de linhas de campo (linhas de campo por unidade de área) vai diminuindo com o inverso do quadrado da distância. 16

25 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática A intensidade do campo é sugerida neste tipo de representação pela densidade de linhas de campo, conforme exemplifica a figura 2.1: neste exemplo de uma carga pontual q, a densidade de linhas de campo que atravessa uma superfície esférica de raio r centrada na carga cai com o inverso do quadrado do raio, o que traduz a dependência do campo eléctrico com o inverso do quadrado da distância à carga Fluxo e lei de Gauss Uma forma mais precisa de traduzir este conceito é através da noção de fluxo dφ do campo E através de uma superfície elementar ds. O fluxo é uma quantidade que é tanto maior quanto maior for a superfície e quanto maior for a componente E = E ˆn do campo perpendicular à superfície (a componente paralela E à superfície não a atravessa e portanto não contribui para o fluxo): dφ = E ds = (E ˆn) (dsˆn) = E ds (2.16) No caso do campo criado por uma uma carga pontual na origem, temos: dφ = E ds = k Q ˆn r2ˆr dsˆn = kqdsˆr (2.17) r 2 A quantidade dsˆr ˆn representa a fracção da superfície da esfera de raio r, centrada na posição da carga, coberta pelo elemento de superfície ds. Essa fracção será máxima quando ˆn for paralelo a ˆr e será nula quando ˆn for perpendicular a ˆr. Ao integrar esta fracção sobre uma superfície fechada, obtém-se naturalmente 4πr 2, a área da superfície esférica de raio r. 4 É possível demonstrar que o fluxo do campo eléctrico criado por uma carga eléctrica q através de uma superfície fechada tem o seguinte valor: { q/ɛ0 se a carga estiver no interior da superfície E ds = (2.18) 0 se a carga estiver no exterior da superfície S Atendendo ao princípio da sobreposição, o campo em qualquer ponto do espaço é simplesmente a soma dos campos criados individualmente por cada uma das cargas presentes. O resultado (2.18) pode exprimir-se então, de forma geral, como: E ds = Q int (2.19) ɛ 0 S onde Q int é a carga contida no interior da superfície S. Este resultado, conhecido por lei de Gauss, é equivalente à lei de Coulomb, no caso estático. Ao contrário do que acontece com a lei de Coulomb, permanece válido quando as cargas se encontram em movimento. 4 A quantidade dsˆr ˆn/r 2 recebe também a designação ângulo sólido subtenso pelo elemento de superfície ds na posição da carga. 17

26 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Forma diferencial da lei de Gauss Conforme vimos na secção 2.2.1, é particularmente útil e apropriado considerar as distribuições de carga como sendo aproximadamente contínuas, definindo em particular a densidade (volúmica) de carga ρ. A lei de Gauss (eq. 2.19) pode assim reescrever-se: S E ds = 1 ɛ 0 τ int ρ(r)dτ (2.20) onde τ int é o volume contido na superfície S. Usando o teorema de Gauss, chegamos ao seguinte resultado: div E dτ = 1 ρ(r)dτ (2.21) τ int ɛ 0 τ int e, atendendo a que o volume τ int é arbitrário, div E = ρ ɛ 0 (2.22) Lei de Gauss aplicada a superfícies de carga Um caso particular com especial relevância é aquele em que as cargas se distribuem numa superfície, como acontece no caso dos materiais condutores (em particular os metais) e nas zonas de deplecção das junções semicondutoras dos díodos. Neste caso, é possível extrair algumas conclusões gerais sobre o campo eléctrico nas proximidades de cada ponto exterior à superfície. Para isso consideramos uma superfície de Gauss em torno do ponto, tal como ilustra a figura 2.2 e analisamos o fluxo através desta superfície de Gauss no limite em que a superfície de Gauss se torna muito pequena, delimitando o ponto da superfície carregada em análise. 18

27 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Há três considerações importantes na escolha da superfície de Gauss contendo o ponto em análise: a superfície de Gauss deverá ser suficientemente próxima da superfície carregada para que esta se possa considerar como sendo aproximadamente plana 5, permitindo que seja adequado tomar como superfície de Gauss um cilindro de altura h cujos topos sejam paralelos à superfície carregada; a área S dos topos do cilindro tomado como superfície de Gauss deverá ser suficientemente reduzida para que o campo eléctrico nos pontos da superfície de cada um dos topos do cilindro possa ser considerado aproximadamente o mesmo em cada ponto; a altura h do cilindro tomado como superfície de Gauss deverá ser suficientemente pequena para que o fluxo através da superfície lateral do cilindro possa ser desprezado em relação ao fluxo através dos topos; E 1 E 2 Figura 2.2: Aplicação da lei de Gauss às proximidades de um ponto de uma superfície carregada com a densidade superficial σ. O campo eléctrico nas proximidades do ponto é E 1 num dos lados da superfície e E 2 no outro lado. Representa-se também um versor ˆn, apontando do lado 1 para o lado 2, de acordo com a convenção usada habitualmente. 5 Ainda hoje as formigas julgam que a Terra é plana... 19

28 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Verificadas as condições anteriores, o fluxo total φ do campo eléctrico através da superfície de Gauss escolhida, é então φ = E 2 ds 2 + E 1 ds 1 = E 2 dsˆn + E 2 ds( ˆn) = (E 2 E 1 )ds (2.23) onde ds 2 = ds 1 = dsn, em que n é o versor perpendicular à superfície carregada, apontando do lado 1 para o lado 2. E 2 e E 1 representam as componentes de E 2 e E 1 perpendiculares à superfície, respectivamente. Por sua vez, a carga dq contida na superfície de Gauss é: E da aplicação da lei de Gauss resulta: dq = σds (2.24) (E 2 E 1 ) = σ ɛ 0 (2.25) Obtemos então um resultado extraordinário: existe sempre uma descontinuidade da componente do campo eléctrico perpendicular a uma superfície carregada, e o valor da descontinuidade é σ/ɛ 0. Duas notas a este respeito: a semelhança formal entre a equação (2.25) e a equação (2.22) leva muitos autores a reescrevê-la na forma div S E = σ ɛ 0, onde se define div S E = (E 2 E 1 )ds; a existência de uma descontinuidade de uma grandeza com significado físico como o campo eléctrico causa necessariamente estranheza e perplexidade. Qual é o significado físico desta estranha descontinuidade? A estranheza do resultado é consequência da estranheza do pressuposto: uma distribuição superficial de carga. Na realidade, nos exemplos conhecidos e já referidos de distribuições superficial de carga (metais, díodos), as cargas encontram-se distribuídas em volumes de espessura muito reduzida (da ordem do nm), mas não nula. Este resultado informa-nos pois da existência de uma variação do campo eléctrico no interior da distribuição de carga. Essa variação é contínua, no limite clássico. 20

29 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática 2.4 O campo electrostático: um campo conservativo Trabalho realizado pelo campo electrostático; potencial electrostático Consideremos um sistema de duas cargas Q e q 1 e calculemos o trabalho realizado pela força de Coulomb que actua na carga Q quando esta é deslocada da posição r a = r aˆr para a posição r b = r bˆr, estando q 1 na origem. O trabalho realizado por uma força F é, por definição: W a b = rb Atendendo à expressão da força de Coulomb (eq. 2.1): r a F dl (2.26) F = k q 1 Q ˆr (2.27) r2 e à expressão do deslocamento elementar dl em coordenadas esféricas: dl = drê r + r sin θdφê φ + rdθê θ (2.28) rapidamente se conclui que o trabalho realizado pela força de Coulomb que actua na carga Q é (assumimos, por simplicidade e sem perda de generalidade que a carga q 1 está na origem do sistema de coordenadas): W a b = k q 1 Q r a Há vários aspectos deste resultado que devem ser salientados: k q 1 Q r b (2.29) apesar de a definição de trabalho de uma força num dado deslocamento exigir a especificação do caminho percorrido, tal não foi necessário para a força de Coulomb; isso resulta do facto de esta força ser radial, o que implica que apenas o deslocamento que afaste a carga Q da carga q 1 contribua para o trabalho; o trabalho realizado pela força de Coulomb é assim independente do caminho, e a força de Coulomb é uma força conservativa; 21

30 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática o trabalho realizado pela força de Coulomb no deslocamento em causa depende assim apenas da diferença entre quantidades da forma kqq 1 /r que apenas dependem da posição inicial r a e da posição final r b. O resultado (2.29) sugere assim a definição de uma quantidade auxiliar: E p (r) = k q 1 Q r (2.30) Esta quantidade costuma designar-se energia potencial do sistema de cargas q 1 e Q. Note-se que a energia potencial não tem significado físico em si mesma: a diferença de energias potenciais é que corresponde a uma quantidade com significado físico - o trabalho realizado pela força. No entanto, quando afastamos indefinidamente um par de cargas inicialmente à distância r (colocando-as a uma distância final suficientemente grande, r b ), o trabalho realizado pela força de Coulomb é numericamente igual a k q 1 Q/r. A energia potencial de um par de cargas pode assim ser interpretada como o trabalho realizado pela força de Coulomb quando se afastam as cargas indefinidamente ou, dito de outro modo, como o trabalho que é preciso realizar contra a força de Coulomb para aproximar as duas cargas desde uma posição inicial infinitamente afastada até à sua configuração final. Costuma assim designar-se a energia potencial (2.30) como a energia potencial armazenada no par de cargas. Em função da energia potencial, o trabalho (2.29) pode ser reescrito como: [ ] W a b = E p (r b ) E p (r a ) (2.31) a independência do caminho tem por consequência imediata o facto de o trabalho realizado pela força de Coulomb ao longo de um caminho fechado ser nulo: W a a = F dl = 0 (2.32) a força de Coulomb não permite assim projectar ciclos de trabalho semelhantes aos ciclos de expansão de gases, em que o sistema realiza um trabalho não nulo sobre o exterior ao fim de um ciclo; se o electromagnetismo se resumisse à força de Coulomb, não existiria engenharia electrotécnica. 22

31 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática No caso de o deslocamento da carga Q ser realizado na presença de várias cargas, o trabalho realizado pela força de Coulomb resultante decorre imediatamente do princípio da sobreposição: W a b = k q i Q ( k q j Q = Q k q i ) k q [ ] j = Q V (r i r a (i) j r (j) b i r (i) b j r a (j) b ) V (r a ) (2.33) onde r a (i) e r (i) b são as distâncias da carga Q à carga i quando se encontra na posição r a e r b, respectivamente. A expressão 2.33 informa-nos ainda que o trabalho realizado pela força de Coulomb no deslocamento da carga Q pode ser escrito na forma: [ ] W a b = Q V (r) = Q V (r b ) V (r a ) (2.34) onde se define o potencial eléctrico V (r) devido à distribuição de cargas na posição r: V (r) = i k q i r (i) (2.35) Relação entre campo eléctrico e potencial eléctrico A conjunção da definição de trabalho (2.26) com o resultado resulta em: Q V (r) = rb r a F dl = Q rb r a E dl (2.36) onde se usou a definição de campo eléctrico F = QE. Obtemos assim uma importante relação entre o potencial eléctrico e o campo eléctrico: V (r) = rb Da definição de gradiente (eq. 1.10) segue imediatamente que: r a E dl (2.37) E = V (r) (2.38) e, atendendo a que o rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo (eq. 1.30), podemos escrever imediatamente: E = V (r) = 0 (2.39) Repare-se que a integração de E numa superfície S conduz, utilizando o teorema de Stokes, a : 23

32 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática ( E) ds = 0 S E dl = 0 (2.40) i.e., somos conduzidos de volta à eq. (2.32). Note-se ainda que, atendendo a que F = qe e que V = q E p, resulta uma expressão equivalente à expressão (2.38), relacionando a força que actua numa carga q com a energia potencial dessa carga na presença das restantes: F = E p (r) (2.41) Linhas equipotenciais Tal como acontece para o campo eléctrico, para o qual se definem linhas de campo que têm por fim facilitar a visualização, também para o potencial eléctrico é conveniente definir linhas equipotenciais, que unem os pontos situados ao mesmo potencial. Estas linhas são assim definidas pela equação: dv = 0 E dl = 0 (2.42) em que se fez uso da equação (2.37). Da definição (2.42) resulta imediatamente que o campo eléctrico é perpendicular às linhas equipotenciais (E dl = 0 E dl); as linhas de campo, paralelas ao campo em cada ponto, são pois perpendiculares às linhas equipotenciais em cada ponto. 24

33 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Equações diferenciais para o potencial electrostático: equação de Laplace e equação de Poisson Podemos combinar a lei de Gauss na forma diferencial (2.22) com a eq. (2.38) e obter dessa forma uma equação diferencial de 2 a ordem para o potencial na presença de uma distribuição de carga ρ: E = ρ ɛ 0 V = ρ ɛ 0 2 V = ρ ɛ 0 (2.43) Esta equação designa-se equação de Poisson. Na caso ρ = 0, a equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace: 2 V = 0 (2.44) Note-se que a equação de Poisson contém em si quer a informação contida na lei de Gauss ( E = ρ/ɛ 0 ), quer a informação que o campo é conservativo (E = V, que é equivalente a rote = 0). Recorde-se o importante teorema da análise de campos vectoriais que garante que um campo vectorial pode ser completamente definido a partir da especificação da sua divergência, do seu rotacional e das condições de fronteira adequadas. A equação de Poisson, munida das condições de fronteira adequadas, permite pois definir completamente o campo, e assume assim importância primordial no cálculo (sobretudo computacional) dos campos e potenciais electrostáticos na presença das distribuições de carga mais intrincadas. 25

34 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Continuidade das componentes do campo eléctrico paralelas a uma distribuição superficial de carga E 1 n h d E 2 Figura 2.3: Aplicação da independência do caminho às proximidades de um ponto de uma superfície carregada com a densidade superficial σ. O campo eléctrico nas proximidades do ponto é E 1 e E 2 em cada lado da superfície. Conforme vimos, nas proximidades de um ponto de uma superfície carregada com densidade superficial σ, a aplicação da lei de Gauss conduziu à identificação de uma descontinuidade nas componentes do campo eléctrico perpendiculares à superfície. Analisemos quais as consequências da independência do caminho nesta situação. Na fig. 2.3 consideramos agora um percurso fechado λ delimitando uma superfície S. As orientações do percurso e da superfície (especificada pelo versor ˆn perpendicular à superfície) definidas na figura estão relacionadas, convencionalmente, através da regra da mão direita. Este percurso fechado obedece a condições semelhantes às definidas anteriormente para a superfície de Gauss: o percurso deve ser suficientemente próximo da superfície carregada para que esta se possa considerar como sendo aproximadamente plana, permitindo que seja adequado tomar um percurso rectangular de altura h e largura d, conforme ilustra a figura 2.3; a largura d do percurso deverá ser suficientemente reduzida para que o campo eléctrico nos pontos atravessados pela largura do percurso possa ser considerado aproximadamente o mesmo em cada ponto; 26

35 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática a altura h do percurso deverá ser suficientemente pequena para que a circulação do campo eléctrico através dos segmentos correspondentes à altura possa ser desprezada em relação à circulação do campo eléctrico através dos segmentos correspondentes à largura; A circulação do campo eléctrico através do percurso λ definido na fig. assim: 2.3 resulta E dl = E 1 dl 1 + E 2 dl 2 = (E 1 E 2 )d (2.45) onde dl 1 = dl 2 = d ˆdl 1, e E 1 e E 2 são as componentes do campo paralelas à superfície carregada. O facto de o campo electrostático ser conservativo, ou independente do caminho, implica (eq. 2.40) que a circulação de E num percurso fechado seja nula, i.e.: (E 1 E 2 )d = 0 E 1 = E 2 (2.46) Concluímos assim que as componentes do campo electrostático paralelas a uma superfície carregada são contínuas. Há quem prefira escrever o resultado (2.46) de uma forma que sublinha o paralelismo com a eq. (2.39). Define-se então o rotacional superficial: rot S E = n (E 2 E 1 ) (2.47) onde n é o versor perpendicular à superfície delimitada pelo circuito fechado λ (ver fig. 2.3). Resulta assim: 6 rot S E = 0 (2.48) 6 Convenhamos que esta é uma forma particularmente críptica de dizer que as componentes do campo eléctrico paralelas a uma superfície são contínuas... 27

36 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática E o potencial? A questão matemática da continuidade do potencial eléctrico nas proximidades de uma superfície de carga é um problema delicado que excede o âmbito desta disciplina. No entanto, é importante apresentar (sem demonstração), o seguinte resultado: o potencial electrostático é contínuo em todo o espaço no caso de distribuições volúmicas ou superficiais de carga (incluindo no interior das distribuições). No caso das distribuições lineares de carga, ou distribuições de cargas pontuais, o potencial diverge na posição das cargas. Merece ainda referência o caso particular - que não analisaremos - de superfícies com momento dipolar eléctrico (por exemplo, o caso de filmes de materiais ferroeléctricos), em que é possível demonstrar que o potencial é descontínuo Variações sobre o tema do potencial e da energia electrostáticos: Mind the gap! Quando interpretámos a eq. (2.30), vimos que k q i q j /r correspondia à energia potencial armazenada no par de cargas q i e q j, colocadas à distância r. Então, para o caso de uma distribuição de N cargas pontuais, a contabilização da energia potencial total do sistema requer que contemos todos os pares de cargas: E P = N N i=1 j=i+1 k q i q j r (2.49) No entanto, a forma mais simples de efectuar a contagem consiste em contar duplamente todos os pares de cargas e dividir o resultado por 2: E P = 1 2 N N i=1 j i,j=1 k q i q j r (2.50) 7 Cf. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, terceira edição, Wiley (1999), p. 31. Tal como acontece para o campo eléctrico, à descontinuidade entre os dois lados da superfície corresponde uma variação contínua no interior da superfície. 28

37 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Atendendo a que o potencial V i na posição da carga q i devido a todas as restantes cargas é: V i = N j i,j=1 k q j r (2.51) podemos reescrever a eq. (2.50): E P = 1 2 N q i V i (2.52) i=1 Aproximações macroscópicas À primeira vista, a extensão da definição de potencial electrostático para distribuições contínuas de carga parece simples e inocente: basta repetir o procedimento descrito nas equações (2.9) a (2.14), aplicando-o às equações (2.35) e (2.50), obtendo: V (r) = k τ ρ dτ (2.53) r V (r) = k S σ ds (2.54) r V (r) = k l λ dl (2.55) r E P = 1 2 Eppure... τ 29 ρ V dτ (2.56)

38 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Energia potencial electrostática armazenada no campo A eq. (2.56) permite-nos ainda obter uma expressão particularmente poderosa para a energia potencial electrostática. Utilizando a lei de Gauss E = ρ/ɛ 0, obtemos: E P = ɛ 0 2 τ ( E) V dτ (2.57) e, utilizando o resultado conhecido do cálculo integral (V E) = V E + E V, obtemos: E P = ɛ 0 2 ( S V E ds + τ ) E 2 dτ (2.58) onde se usou o teorema de Gauss e a relação E = V. Note-se que, na eq. (2.56) de que partimos, o volume de integração é o volume onde se encontra a densidade ρ. No entanto, como fora desse volume temos ρ = 0, nada nos impede de extender a integração a todo o espaço. A distâncias suficientemente grandes de qualquer distribuição física de carga, 8 esta distribuição apresenta-se como uma carga pontual, em que E 1/r 2 e V 1/r. O integral de superfície V E ds decai pois com S 1/r 3 e tende para zero no limite r. Temos então: E P = ɛ 0 2 τ E 2 dτ (2.59) E o resultado (2.61) permite-nos definir a densidade de energia armazenada no campo electrostático como: energia por unidade de volume = ɛ 0 2 E2 (2.60) Note-se que o princípio da sobreposição não se aplica à energia armazenada no campo. Se E = E 1 + E 2, temos: E P = ɛ 0 2 τ E 2 dτ = ɛ 0 2 τ E Edτ = ɛ 0 2 τ E 2 1dτ + ɛ 0 2 τ E 2 2adτ + ɛ 0 2 τ 2E 1 E 2 dτ (2.61) 8 Relembre-se que os casos, por vezes tratados, em que as distribuições de carga se estendem até ao infinito, embora sejam extremamente úteis enquanto aproximações, são artificiais do ponto de vista físico. 30

39 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Problemas e subtilezas A expressão (2.60) afirma claramente que a energia potencial armazenada numa distribuição de carga é sempre positiva. No entanto, as equações de que partimos (eqs e 2.52) correspondem a quantidades que tanto podem ser positivas como negativas: por exemplo, a energia potencial electrostática de um par de cargas de sinais diferentes é negativa... Existe pois uma inconsistência que requer explicação. O problema reside na passagem da equação (2.50) (reescrita na forma da eq. 2.52) para a equação (2.56). Note-se que na expressão (2.50) tivémos o cuidado de excluir a auto-energia de cada carga, explicitando que o somatório no índice j ocorre para j i. Neste somatório não é pois tida em conta a energia necessária para construir cada carga q i, q j. Trata-se de um procedimento lícito, sobretudo tendo em conta que em geral as cargas elementares disponíveis na Natureza (protões, electrões) já estão feitas, sendo indiferente os detalhes da sua estrutura interna para as variações de energia potencial. No entanto, quando escrevemos a eq. (2.56), incluimos no integral a auto-energia associada a todas as cargas e estamos a assumir que todas as cargas presentes podem ser escritas na forma dq = ρdτ. Assumimos até ser possível tomar o limite dτ 0. Trata-se mais uma vez de uma aproximação legítima do ponto de vista macroscópico, mas que é completamente despida de fundamento na abordagem a cargas elementares como a do electrão. De facto, se teimarmos em utilizar a eq. (2.56) para obter a energia associada a uma carga pontual (seja lá o que isso signifique), obtemos um resultado absurdo: ɛ 0 2 ( k q r 2 ) 2 dτ = ɛ Resumo da electrostática básica 0 ( k q r 2 ) 2 4πr 2 dr = (2.62) Neste momento apresentámos de forma completa os princípios básicos a que se resume a electrostática clássica e estabelecemos as definições das quantidades relevantes (a densidade de carga ρ, o campo eléctrico E e o potencial eléctrico V ), bem como as relações existentes entre elas. O conhecimento completo de uma destas quantidades permite-nos extrair as outras duas. As relações existentes estão indicadas na figura 2.4, que constitui por isso um poderoso resumo de toda a electrostática fundamental. Nas secções subsequentes, limitar-nos-emos a apresentar algumas aplicações e resultados particularmente relevantes que daqui decorrem em situações concretas de interesse prático. 31

40 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Figura 2.4: Resumo das relações principais entre as três quantidades básicas da electrostática: a densidade de carga ρ, o potencial V e o campo eléctrico E. (D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, fig. 2.36) 32

41 Capítulo 3 Algumas situações e resultados importantes em electrostática Apresentados os princípios fundamentais da electrostática, passamos agora a analisar em maior detalhe algumas situações que, pela sua importância prática, merecem particular atenção. 3.1 O dipolo eléctrico Consideremos um sistema de duas cargas +q e q nas posições (em coordenadas cartesianas) (0, 0, d/2) e (0, 0, d/2), respectivamente. O potencial num ponto arbitrário (x, y, z), devido a esta distribuição de carga, pode ser calculado imediatamente a partir da expressão (2.35): q q V (x, y, z) = k k (3.1) x 2 + y 2 + (z x d2 )2 2 + y 2 + (z + d2 )2 A partir da equação (3.1), o campo eléctrico resulta de E = V. Existem algumas situações importantes em que interessa conhecer o potencial e o campo criados por este sistema - designado então dipolo eléctrico - apenas em distâncias r muito superiores à distância d entre as duas cargas ( r >> d). Tal acontece, em particular, no caso das antenas dipolares, em que o modelo das duas cargas pode ser útil (mesmo tendo em conta que as antenas correspondem a situações electrodinâmicas). No entanto, a principal aplicação desta aproximação ( r >> d) consiste em permitir abordar as distribuições de carga nos materiais isoladores: nestes materiais, os electrões (negativos) permanecem em geral ligados aos núcleos atómicos (positivos), e a aplicação de um campo eléctrico externo conduz a uma ligeira distorção das distribuições de carga nos átomos, que podem ser modelizadas vantajosamente através de dipolos eléctricos. 33

42 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática r >> d Analisemos então o potencial (3.1) na aproximação r >> d. Atendendo ao desenvolvimento em série de Taylor da função binomial 1, temos: ( z d ) 2 ( = z 2 1 d ) 2 ( z 2 1 2d ) = z 2 d z (3.2) 2 2z 2z Atendendo a que x 2 + y 2 + z 2 = r 2, podemos escrever então: 1 x 2 + y 2 + (z d2 )2 1 r ( ) = 2 1 zd r 2 ( 1 1 zd ) 1/2 (3.3) r r 2 A expressão (3.3) pode ainda ser simplificada novamente através do desenvolvimento em série de Taylor da função binomial: ( 1 1 zd ) 1/2 1 ( ) zd r r 2 r 2 r 2 (3.4) Da mesma forma, é possível reescrever 1 1 x 2 + y 2 + (z + d r 2 )2 ( ) zd r 2 (3.5) O potencial (3.1) resulta assim, nesta aproximação: V (x, y, z) = k z r 3 q d (3.6) 1 (1 + x) n 1 + n x

43 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática O potencial, e logo o campo, é proporcional à quantidade q d, designada momento dipolar p do sistema de cargas: p = q d (3.7) A equação (3.6) pode ainda escrever-se, atendendo a que z = r cos θ: V (x, y, z) = k p cos θ r 2 = k p ê r r 2 (3.8) O campo eléctrico pode então determinar-se recorrendo a E = V, em coordenadas esféricas: E r = V r V θ E θ = 1 r E φ = 1 r sin θ = 2kp cos θ r 3 = kp sin θ r 3 V φ = 0 (3.9) ou, de forma mais compacta: E = 1 4πɛ 0 p r 3 (2 cos θ ê r + sin θ ê θ ) (3.10) Note-se que o campo em θ = 0 o campo tem a direcção positiva do eixo dos ZZ e apresenta o dobro da intensidade da que ocorre em θ = 90 o (onde o campo tem a direcção negativa do eixo dos ZZ). Além disso, o campo decresce com o cubo da distância ao dipolo, o que constitui uma assinatura do campo dipolar. 35

44 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Comportamento de um dipolo eléctrico na presença de um campo eléctrico uniforme Consideremos um dipolo eléctrico na presença de um campo eléctrico uniforme. Por simplicidade, e sem perda de generalidade, consideramos E = Eê z, encontrando-se o dipolo possivelmente inclinado em relação ao campo. Torque Na presença do campo, o dipolo fica sujeito a um sistema de forças de resultante nula (um binário de forças), não ocorrendo pois translação do centro de massa. No entanto, dado as forças estarem aplicadas em pontos diferentes do sistema, o momento (ou torque) do binário não é nulo. Tomando a carga negativa como referência, o momento τ do binário é simplesmente r + F +, onde r + é a posição da carga positiva em relação à carga negativa e F + = qe é a força que age na carga positiva devido à acção do campo eléctrico: τ = r + F + = r + q E = p E (3.11) Energia potencial Sendo E = Eê z, o potencial associado a este campo em todo o espaço pode ser calculado a partir da equação (2.37): V = z E dl V (z) V (z = 0) = E dz V (z) = V (0) E z (3.12) 0 em que V (0) pode ser estabelecido arbitrariamente V (0) = 0 em alguma origem conveniente. Estabeleçamos então mais uma vez a origem na posição da carga negativa do dipolo, sendo r + = x + ê x + y + ê y + z + ê z a posição da carga positiva. A energia potencial do sistema de cargas que constitui o dipolo na presença do campo eléctrico externo resulta assim 2 : E p = +q V (z + ) q V (0) = +q ( Ez + ) = q E d cos θ = p E (3.13) 2 Note-se que, como habitualmente, estamos a excluir a energia potencial armazenada no dipolo, não só a auto-energia de cada carga, mas também a energia potencial - constante - do par de cargas que constitui o dipolo. 36

45 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Momento dipolar de uma distribuição de cargas Consideremos agora um conjunto de N cargas q i. O potencial à distância R da origem do sistema de coordenadas é, como sabemos: V (R) = k N i=1 q i r i (3.14) Se a distância R do ponto onde estamos a calcular o potencial for muito superior à dimensão do sistema de cargas, então cada uma das distâncias r i (de cada carga ao ponto) pode ser considerada como sendo aproximadamente igual a R (r i R). O potencial resulta então: i V (R) = k q i R = Q 4πɛ 0 R (3.15) Esta expressão recorda-nos que, a uma distância suficientemente grande, o sistema de cargas se comporta como uma carga pontual Q = i q i. Na maior parte dos casos, a aproximação que acabámos de obter corre o risco da inutilidade, uma vez que os sistemas físicos tendem a ser electricamente neutros. Consideremos então uma aproximação mais refinada. Consideremos que cada carga q i está na posição d i em relação à origem, pelo que R = r i + d i. Temos assim: [ ( ) ] 2 r i = R d i ri 2 = R 2 + d 2 di i 2d i R r i = R 1 + 2d 1/2 i ˆr (3.16) R R Podemos desprezar desde já o termo em (d i /R) 2, reescrevendo: ( r i R 1 2d ) 1/2 i ˆr 1 1 ( 1 2d ) 1/2 i ˆr (3.17) R r i R R O uso do desenvolvimento em série de Taylor da função binomial permite mais uma vez obter uma expressão aproximada para 1/r i : 1 1 ( 1 + d ) i ˆr r i R R (3.18) 37

46 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática O potencial (3.14) fica assim: V = 1 4πɛ 0 i ( q i 1 + d ) i ˆr = Q R R 4πɛ 0 R + p ˆr 4πɛ 0 R 2 (3.19) em que se definiu o momento dipolar eléctrico p da distribuição de cargas como: p = i q i d i (3.20) que se reduz ao anterior no caso de duas cargas simétricas. Este momento dipolar eléctrico depende em geral da origem do sistema de coordenadas: é, no entanto, possível demonstrar que o momento dipolar eléctrico da distribuição de cargas é independente da origem no caso de a carga total ser nula (Q = 0). Para distribuições contínuas de carga com densidades volúmica, superficial ou linear ρ, σ ou λ, respectivamente, o momento dipolar eléctrico da distribuição decorre imediatamente da abordagem habitual ( q i dq i, i ) : p = ρ rdτ (3.21) p = p = σ rda (3.22) λ rdl (3.23) Desenvolvimento multipolar do potencial A abordagem que seguimos para definir o momento dipolar eléctrico de uma distribuição de cargas sugere que se tome o desenvolvimento de 1/r i em série de potências de 1/R, definindo assim multipolos de ordem superior da distribuição de cargas (quadrupolos, octopolos, etc...). É possível levar a cabo tal desenvolvimento e obter uma expressão para o potencial em função destes multipolos. O leitor interessado poderá encontrar uma exposição particularmente completa, detalhando as propriedades do momento quadrupolar eléctrico, na monografia Campo Electromagnético, de M. Fiolhais, L. Brito e C. Providência. 3 3 McGraw-Hill, Lisboa, Cf. cap. 4 38

47 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática 3.2 A electrostática de meios materiais Como sabemos, a matéria vulgar é composta de átomos, os quais são constituídos por um núcleo maciço de carga positiva e por electrões de carga negativa. A massa dos electrões é quase duas mil vezes inferior à massa do núcleo mais leve (o do átomo de hidrogénio, composto de um único protão), pelo que não é de estranhar que as propriedades dos materiais sejam determinadas sobretudo pela estrutura electrónica dos materiais, permanecendo os núcleos em posições relativamente estáveis. As propriedades eléctricas/electrónicas dos materiais 4 decorrem das propriedades dos átomos que os constituem e da forma como estes átomos estabelecem ligações (de natureza electromagnética) entre si, sobretudo através dos electrões das camadas atómicas mais externas (electrões de valência). A compreensão das propriedades dos materiais não pode pois ser levada a cabo sem o estudo do comportamento dos electrões, o que exige a intervenção da mecânica quântica. Um dos resultados principais da teoria quântica de sólidos consiste na quantificação dos níveis de energia dos electrões em bandas de energia, quase-contínuas. Uma distinção básica surge então entre os materiais cujas bandas se encontram completamente preenchidas e os materiais em que tal não acontece. No caso em que as bandas se encontram completamente preenchidas, a condução eléctrica não é possível e os materiais são isoladores eléctricos; havendo níveis de energia por ocupar dentro das bandas, torna-se possível a condução eléctrica através da promoção dos electrões para esses níveis, e os materiais são condutores eléctricos, designando-se esses electrões por electrões de condução e essas bandas por bandas de condução. Os electrões de condução têm pois a possibilidade de se movimentar pelo material, razão pela qual são também designados por electrões livres. 5 Do ponto de vista macroscópico, as propriedades destas duas classes importantes de materiais podem ser compreendidas e descritas adequadamente com o recurso às leis fundamentais da electrostática complementadas por esta ideia básica: os condutores dispõem de electrões livres; os isoladores não, estando os electrões essencialmente localizados nos átomos, embora a aplicação de campos eléctricos possa originar o aparecimento de dipolos eléctricos à escala atómica. 4 E as propriedades mecânicas, térmicas, ópticas e magnéticas... 5 Esta brevíssima introdução deixa obviamente quase tudo por explicar, em particular a existência de materiais com propriedades semicondutoras ou a condução em líquidos como os electrólitos... Somente como curiosidade, acrescente-se que os semicondutores podem ser pensados como isoladores em que a Natureza ou o físico/engenheiro arranjou forma de controlar a promoção de electrões para a banda de condução. Quanto aos electrólitos, os iões desempenham aqui um papel fundamental na condução eléctrica. 39

48 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Materiais condutores Conforme apontámos, a ideia básica que justifica as propriedades eléctricas dos materiais condutores é a existência de electrões livres. Desta propriedade e das leis básicas da electrostática podem ser extraídas consequências de grande alcance. Condutores em equilíbrio electrostático Por equilíbrio electrostático entende-se a situação em que não ocorre movimentação de cargas de um ponto de vista macroscópico, isto é, não existem correntes eléctricas a circular no material. No entanto, uma vez que os condutores possuem electrões de condução, livres de se movimentar sob a acção de um campo eléctrico, a condição de equilíbrio electrostático corresponde pois a afirmar que o campo eléctrico no interior do material condutor é nulo: E = 0, no interior de um condutor em equilíbrio electrostático (3.24) donde resulta imediatamente, da lei de Gauss (2.22) e do facto de o campo ser conservativo (ver a eq. 2.37): ρ = 0 Cavidades no interior de condutores V = constante (3.25) Como é evidente, se existirem cavidades no interior dos condutores, nada impede que o campo eléctrico no seu interior assuma um valor qualquer, em função das cargas que existam na cavidade. No entanto, numa situação estática, as cargas livres no interior do condutor rearranjam-se quase instantaneamente de forma a garantir que o campo eléctrico permaneça nulo no interior (ou, por outras palavras, enquanto o campo não for nulo no interior do condutor, este não terá atingido a situação de equilíbrio electrostático...). A lei de Gauss permite-nos extrair algumas conclusões imediatas sobre este rearranjo: a densidade de carga continua a ser nula em equilíbrio, pelo que a haver distribuição de cargas, terá de ocorrer à superfície do condutor; se considerarmos uma superfície de Gauss contida no volume do condutor (cf. fig 3.1), E = 0 implica que o fluxo através da superfície de Gauss é nulo, pelo que a carga total contida na superfície de Gauss é também nula, para qualquer superfície de Gauss contida no volume; então, havendo uma carga não nula na cavidade, haverá necessariamente uma carga total na superfície interior do condutor que a cancela de modo exacto. 40

49 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática E= 0 E 0 Figura 3.1: Uma cavidade no interior de um condutor, supondo-se que existem cargas na cavidade que justifiquem E 0 na cavidade. No entanto, no interior do condutor em equilíbrio o campo continua a ser nulo, o que se justifica por uma redistribuição de cargas. do argumento anterior, segue-se necessariamente que haja uma acumulação de carga na superfície exterior do condutor; se o condutor estiver inicialmente neutro, a carga acumulada na superfície exterior é simétrica da carga acumulada na superfície interior. Então, uma vez que as cargas num condutor se distribuem à superfície, aplicam-se as conclusões gerais que extraímos para o campo nas superfícies de carga: a continuidade das componentes do campo paralelas à superfície implica, sendo E = 0 no interior, que o campo no exterior não tenha componente paralela, isto é, o campo no exterior de um condutor é sempre perpendicular à superfície. 6 Daqui segue-se imediatamente que a superfície de um condutor em equilíbrio electrostático é uma superfície equipotencial. a descontinuidade das componentes do campo perpendiculares à superfície implica, sendo E = 0 no interior, que o campo no exterior é σ/ɛ 0, sendo σ a densidade superficial em cada ponto da superfície. 6 Este resultado também se pode compreender da seguinte forma: se houvesse componente do campo paralela à superfície num condutor em equilíbrio, esta componente forçaria as cargas livres da superfície a uma corrente superficial; não se verificaria portanto a condição de equilíbrio. 41

50 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Gaiola de Faraday Note-se que, no caso em que não existe inicialmente carga no interior da cavidade de um condutor, então o campo eléctrico no seu interior permanece sempre nulo, independentemente do campo electrostático existente no exterior do condutor. Uma forma de proteger zonas do espaço da acção de campos electrostáticos consiste pois em rodeá-las de um material condutor. Este procedimento é designado por gaiola de Faraday. Efeito de pontas Note-se que a densidade de carga à superfície do condutor não é necessariamente constante e varia com o raio de curvatura. Podemos aperceber-nos disso através do modelo simples esquematizado na fig. 3.2, que representa duas esferas condutoras carregadas ligadas por um fino fio condutor, o qual assegura que as duas superfícies formam uma única superfície condutora equipotencial. Sendo V = kq/r o potencial à superfície de uma esfera, temos assim: k Q a r a = k Q b r b Q a Q b = r a r b (3.26) A densidade superficial de carga em cada da esferas relaciona-se então por: σ a σ b = Q a 4πr 2 a Q b 4πr 2 b = Q ar 2 b Q b r 2 a = r b r a (3.27) Então, sendo o campo à superfície E = σ/ɛ 0, a relação entre os campos à superfície de cada uma das esferas é: E a E b = σ a σ b = r b r a (3.28) r a r b Figura 3.2: Duas esferas condutoras de raios r a e r b, ligadas por um fino fio condutor. 42

51 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática A relações (3.26), (3.27) e (3.28) dão-nos um conjunto de informações extremamente relevantes e práticas: da equação (3.26) resulta que a carga tende a acumular-se na esfera de raio maior; uma forma de escoar carga indesejada de superfícies condutoras consiste pois em ligar essas superfícies a objectos condutores que sejam muito maiores (ligar à Terra); um condutor ligado à Terra permanece assim com uma carga praticamente nula à superfície e funciona assim como uma gaiola de Faraday invertida, protegendo o exterior de quaisquer campos electrostáticos existentes nas suas cavidades. a densidade de carga, e logo o campo eléctrico, é muito mais intenso na proximidade de superfícies de raio pequeno (e logo com uma curvatura elevada, como acontece numa ponta). Este efeito também é designado efeito de pontas: o campo eléctrico é particularmente intenso nas proximidades de uma ponta carregada. Este efeito é abundantemente usado em conjunção com a ruptura dieléctrica de um isolador (que abordaremos mais adiante) em diversas aplicações tecnológicas: por exemplo, junto da ponta de um pára-raios o campo é suficientemente intenso para tornar o ar condutor nas proximidades, o que o torna um caminho preferencial para a descarga do raio; a carga acumulada na superfície dos aviões também é descarregada para a atmosfera através de pequenas pontas metálicas instaladas na fuselagem.durante estas descargas ocorre a ionização do ar e correspondente emissão de luz. A figura 3.3 ilustra um episódio de luminescência observado numa asa de avião. 7 7 Estes fenómenos de luminescência são conhecidos dos marinheiros desde a antiguidade, na medida em que são observados junto das pontas dos mastros, recebendo por vezes a designação de fogo de Sant Elmo. Recorde-se que Camões descreve brevemente o fenómeno n Os Lusíadas: Vi, claramente visto, o lume vivo Que a marítima gente tem por santo, Em tempo de tormenta e vento esquivo, De tempestade escura e triste pranto. Canto V, 18 43

52 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Figura 3.3: Luminescência ( fogo de Sant Elmo ) observada numa asa de avião. A fotografia, disponível também na página é devida a Martin Popek (República Checa). 44

53 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Força num condutor. Pressão electrostática. Podemos calcular a força que actua num condutor de forma particularmente expedita a partir da expressão (2.41): F = E p (3.29) Consideremos então um condutor carregado positivamente cuja superfície, de área A, é deslocada ligeiramente na direcção do campo eléctrico que lhe é perpendicular. Este deslocamento, dx, ocorre na direcção da força e reduz portanto a energia potencial electrostática total do sistema. Podemos calcular esta redução atendendo a que, durante o deslocamento, o volume A dx, que estava no exterior do condutor e sujeito ao campo σ/ɛ 0, passa a estar no interior, a um campo nulo. Conforme vimos (eq. 2.60), a densidade de energia armazenada no campo é ɛ 0 E 2 /2, pelo que a variação de energia potencial electrostática resulta: A força electrostática que actua no condutor é, então: de p = ɛ 0 2 E2 A dx (3.30) F = de p dx = ɛ 0 2 E2 A (3.31) Esta força, recorde-se, actua apenas na direcção x, que é a direcção do campo. Daqui extraímos também a pressão electrostática a que está sujeito o condutor: P = F A = ɛ 0 2 E2 (3.32) e que corresponde pois à densidade de energia electrostática na superfície. Note-se que a força que calculámos pode ser reescrita em função da carga Q do condutor Q = σ A F = ɛ 0 2 E2 A = ɛ 0 σ 2 A = 1 2 ɛ σ Q = 1 Q E (3.33) ɛ 0 2 Esta expressão é curiosa e informa-nos que a força é metade da que esperaríamos numa abordagem descuidada em que nos limitássemos a multiplicar a carga pelo campo. Essa abordagem é possível também, mas requer que nos lembremos que a força num elemento de área corresponde ao produto da carga desse elemento de área pelo campo criado pelas outras cargas. Mas σ/ɛ 0 é o campo total, incluindo o campo criado pelo elemento de área em causa, que é aproximadamente σ/(2ɛ 0 ). Daí a força ser apenas aproximadamente metade da esperada. 45

54 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Sistemas de condutores em equilíbrio electrostático. Capacidade. O potencial electrostático criado no exterior de um condutor carregado, com a carga Q, é simplesmente proporcional à carga. A relação entre a carga e o potencial medido num dado ponto do espaço permanece pois constante. Em particular, sendo a própria superfície do condutor uma superfície equipotencial, permanece constante a relação entre a carga e o potencial à superfície, V sup : Q V sup = C (3.34) Esta constante de proporcionalidade depende exclusivamente da geometria do condutor e costuma designar-se capacidade do condutor. 8 Se tivermos um conjunto de N condutores carregados, o princípio da sobreposição assegura que o potencial em cada condutor é simplesmente a soma dos potenciais devido a cada condutor e, atendendo à proporcionalidade entre a carga de cada condutor e o respectivo potencial à superfície, podemos escrever então: Q i = N C ij V j, i=1,...,n (3.35) j=1 onde os coeficientes C ii são as capacidades de cada condutor e os coeficientes C i,j, i j se designam coeficientes de indução electrostática dos condutores i e j. Condensadores Um sistema particularmente relevante é aquele que é constituído por dois condutores com cargas simétricas, +Q e Q. Um tal sistema designa-se condensador e obtémse naturalmente de dois condutores inicialmente neutros e entre os quais ocorre uma transferência de carga, originando uma diferença de potencial V entre os condutores. Esta diferença de potencial é também ela proporcional à carga Q, o que permite definir a capacidade do condensador de forma análoga à da capacidade do condutor: Q V = C (3.36) Um exemplo: condutor esférico e condensador de condutores esféricos 8 Note-se que esta definição de capacidade pressupõe um condutor finito para o qual é possível estabelecer o potencial nulo a uma distância suficientemente grande (infinito). Esta definição não é pois adequada para as situações artificiais em que os condutores se prolongam infinitamente. 46

55 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Apenas como ilustração dos diferentes conceitos de capacidade, consideremos um condutor esférico de raio R, carregado com a carga Q. O potencial V à superfície (e logo em todo o condutor, que constitui um volume equipotencial), conforme podemos obter facilmente, é: V = A capacidade do condutor esférico é então: Q 4πɛ 0 R (3.37) C = 4πɛ 0 R (3.38) Se considerarmos agora dois condutores esféricos, entre os quais se estabeleceu uma diferença de potencial V através da transferência de carga Q de um para o outro, então o potencial à superfície do condutor positivamente carregado é V = Q/(4πɛ 0 R) e o potencial à superfície do condutor negativamente carregado é V = Q/(4πɛ 0 R). A diferença de potencial V é então V = 2Q/(4πɛ 0 R), de onde resulta a capacidade do sistema de condutores: C = 2πɛ 0 R (3.39) Note-se que esta capacidade é metade da capacidade de cada condutor isolado. Energia potencial armazenada num condensador A energia potencial armazenada num condensador pode calcular-se de forma muito simples tomando a equação (2.52) e, estabelecendo no condutor carregado negativamente o potencial nulo, e no condutor carregado positivamente o potencial V, obtendo-se: E p = 1 QV (3.40) 2 Atendendo a Q = CV, esta energia também se pode escrever: E p = 1 2 CV 2 = 1 Q 2 2 C Associações de condensadores (3.41) Nas associações de condensadores presume-se que os efeitos da indução entre os condutores de condensadores distintos podem ser desprezados face à capacidade dos dois condutores que constituem o condensador. Tal permite chegar às conhecidas regras da associação de condensadores, que aqui recordamos sumariamente. 47

56 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Associação de condensadores em paralelo Neste caso, considera-se dois condensadores de capacidade C 1 e C 2 sujeitos à mesma diferença de potencial V, ligados entre si por condutores de capacidade desprezável. A carga de cada condensador é, respectivamente, Q 1 = C 1 V e Q 2 = C 2 V. O conjunto pode pois ser considerado como um único condensador de carga total Q = Q 1 + Q 2, sujeita à diferença de potencial V, de capacidade: C = Q V = Q 1 + Q 2 V = C 1 + C 2 (3.42) Associação de condensadores em série Neste caso, considera-se dois condensadores de capacidade C 1 e C 2 ligados entre si de forma a que a diferença de potencial total entre os condutores extremos é V = V 1 + V 2, onde V 1 = Q 1 /C 1 e V 2 = Q 2 /C 2 são a diferenças de potencial nas extremidades de cada condensador individual. Os condutores internos encontram-se ligados entre si, exigindo a conservação da carga que Q 1 = Q 2. O conjunto de condensadores pode assim ser considerado como um único condensador de carga Q = Q 1 = Q 2, sujeito à diferença de potencial V = Q/C, sendo: V = V 1 + V 2 Q C = Q C 1 + Q C 2 1 C = 1 C C 2 (3.43) 48

57 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Meios dieléctricos No estudo que fizemos dos materiais condutores, concentrámo-nos nas consequências da existência de electrões de condução, da qual podemos extrair conclusões muito importantes, mas ignorámos a existência de distribuições de carga a nível microscópico nos materiais. Nos condutores, trata-se de uma boa aproximação uma vez que são os electrões de condução que desempenham o papel principal nas propriedades electrostáticas. No entanto, as distribuições microscópicas de carga já não podem ser ignoradas em materiais não condutores. O seu estudo conduz à compreensão das propriedades da matéria sob a acção de campos eléctricos, que costumam ser designadas propriedades dieléctricas. Note-se que os próprios materiais condutores também têm propriedades dieléctricas, que desempenham um papel não negligenciável em muitas situações (particularmente quando os materiais são submetidos a ondas electromagnéticas). Dada a neutralidade macroscópica da matéria, as propriedades dieléctricas advêm essencialmente da presença de momentos dipolares eléctricos, quer induzidos, quer permanentes. Conforme vimos quando abordámos o dipolo eléctrico, há dois aspectos básicos a considerar: não só o dipolo tende a alinhar-se num campo externo, como cria ele próprio um campo no seu exterior (que por sua vez vai influenciar os dipolos vizinhos). No caso de alguns materiais (bastante raros, aliás), este campo criado pelos próprios dipolos permanentes do material pode ser até suficientemente intenso para sustentar um momento dipolar permanente do material: estes materiais são designados materiais ferroeléctricos, em analogia com os vulgares materiais ferromagnéticos, que estudaremos mais adiante no curso. O estudo aprofundado das propriedades dieléctricas requer pois uma abordagem microscópica e implica o uso dos resultados da teoria quântica, no âmbito da disciplina conhecida por física da matéria condensada. No entanto, podemos extrair algumas conclusões de largo alcance descrevendo os momentos dipolares eléctricos associados às distribuições de carga no material através de uma função macroscópica correspondente ao momento dipolar eléctrico por unidade de volume: a polarização. A polarização Admitamos que sob a acção de um campo eléctrico ocorre, a nível atómico, a separação da carga q de uma distância δ, originando um momento dipolar eléctrico atómico p = qδ. Sendo n o número de átomos por unidade de volume, então o momento dipolar P por unidade de volume, isto é, a polarização, será: P = n q δ (3.44) 49

58 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Devido à criação da polarização, uma superfície elementar ds = dsˆn, considerada no interior do material, é atravessada pela carga dq = n q dτ cos θ, onde dτ = ds δ e θ é o ângulo que a perpendicular à superfície faz com a polarização. Então: dq = n q ds δ cos θ = P ds (3.45) A carga total Q que flui através de uma superfície fechada S contida no material é assim: Q = P ds (3.46) Esta superfície fechada S define um volume τ que admitimos inicialmente neutro e que, pela saída da carga Q, fica então carregado com uma carga Q, podendo definir-se uma densidade de carga de polarização ρ p : Q = P ds = ρ p dτ (3.47) S A aplicação do teorema de Gauss à equação anterior permite reescrevê-la como: S τ ρ p = P (3.48) Na superfície exterior do material, a equação (3.45) conduz ainda à relação entre a densidade superficial σ p de cargas de polarização e a polarização (onde ˆn representa, como habitualmente, a normal à superfície): σ p = dq ds = P ˆn = div SP (3.49) Recorrendo ao conceito matemático de divergência superficial, podemos reescrever esta equação como: A lei de Gauss em meios dieléctricos div S P = σ p (3.50) Podemos usar agora o resultado (3.48) na lei de Gauss, considerando que a densidade de carga ρ é o resultado da densidade de cargas de polarização ρ p e da densidade ρ f das restantes cargas, que designaremos cargas livres ρ = ρ f + ρ p : E = ρ ɛ 0 = ρ f + ρ p ɛ 0 = ρ f ɛ 0 P ɛ 0 (ɛ 0 E + P) = ρ f (3.51) É costume definir um novo campo D = ɛ 0 E + P, designado deslocamento eléctrico, que permite reescrever a equação anterior de uma forma aparentemente simples: 50

59 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática O campo D não é conservativo D = ρ f (3.52) O campo electrostático é conservativo, conforme sabemos, o que se traduz em E = 0. No entanto, o campo deslocamento eléctrico não verifica necessariamente essa condição. De facto, o rotacional de D é: D = ɛ 0 E + P D = P (3.53) O conhecimento completo de um campo, recorde-se, pode obter-se apenas desde que se conheça a sua divergência e o seu rotacional, munidos das respectivas condições fronteira. O resultado que acabámos de obter chama a atenção para o facto de o campo D ter efectivamente uma dependência das cargas de polarização, ao contrário do que sugere a equação (3.52). A resolução das equações (3.52) e (3.53) requer assim o conhecimento da relação entre D e P. Não é pois possível determinar D usando simplesmente o conhecimento das cargas livres ρ f, a não ser que se garanta que P = 0. Tal acontece no caso particular de meios lineares, homogéneos e isotrópicos, que consideraremos de seguida. Condições de fronteira em superfícies As condições a que obedece o campo D numa superfície carregada podem ser facilmente deduzidas usando o mesmo procedimento utilizado anteriormente para o campo eléctrico (ver secções e 2.4.4), obtendo-se: div S D = D 2 D 1 = σ f (3.54) Meios lineares, homogéneos e isotrópicos rot S D = rot S P D 2 D 1 = P 2 P 1 (3.55) Para campos suficientemente pouco intensos, é válida a aproximação linear, admitindo-se que as componentes da polarização são simplesmente proporcionais às componentes do campo eléctrico (o meio diz-se um meio linear se esta aproximação for válida): P i = 3 ɛ 0 χ ij (r) E j (3.56) j=1 onde a matriz χ ij (r) representa o tensor susceptibilidade eléctrica. Este tensor traduz o facto de o comportamento dos materiais poder ser em geral complicado, dependendo a polarização de ponto para ponto e também da direcção em que aponta o campo eléctrico. 51

60 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática No caso em que a polarização é independente da direcção do campo eléctrico, o material diz-se isotrópico e a polarização é então simplesmente paralela ao campo eléctrico, o que permite simplificar a equação anterior: P = ɛ 0 χ(r)e (3.57) A dependência da polarização com o campo é agora limitada por um único parâmetro χ(r), designado também susceptibilidade eléctrica. Se o material for homogéneo, a susceptibilidade será a mesma em todos os pontos do meio: P = ɛ 0 χ E (3.58) Esta dependência da polarização com o campo cumpre a condição requerida P = 0. Note-se que esta condição não se verifica em meios não homogéneos, em que P = ɛ 0 ( χ) E. No caso de meios lineares, homogéneos e isotrópicos, podemos reescrever o campo D de uma forma muito conveniente: D = ɛ 0 E + P = ɛ 0 E + ɛ 0 χ E = (1 + χ)ɛ 0 E = ɛ r ɛ 0 E = ɛe (3.59) onde definimos a permissividade eléctrica do material, ɛ, como: ɛ = (1 + χ)ɛ 0 = ɛ r ɛ 0 (3.60) 52

61 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Partindo da equação (3.52), a lei de Gauss pode ser assim reescrita como: D = ρ f (ɛe) = ρ f E = ρ f ɛ (3.61) Esta equação dá-nos uma informação extremamente útil: em meios lineares, homogéneos e isotrópicos, toda a electrostática se resume às cargas livres e à substituição da permissividade eléctrica ɛ 0 do vazio pela permissividade eléctrica ɛ do meio (ɛ 0 ɛ). A susceptibilidade eléctrica χ é em geral positiva, pelo que a permissividade eléctrica do material, ɛ = (1 + χ)ɛ 0 é superior a ɛ 0. Então, a equação (3.61) informa-nos que o campo eléctrico no interior de um dieléctrico é equivalente a um campo criado pela densidade de carga efectiva ρ f /ɛ r. Relação entre cargas livres e cargas e polarização A partir das equações (3.48) e (3.58), podemos extrair a relação entre cargas livres e cargas de polarização: ρ p = ɛ 0 χ E (3.62) Considerando que E = ρ/ɛ 0, obtém-se: ρ p = χρ (3.63) Sendo ρ = ρ f + ρ p e χ = ɛ r 1, temos ainda: ρ f = (1 + χ)ρ ρ = ρ f ɛ r (3.64) conforme já tínhamos concluído. 53

62 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática Energia electrostática Na presença de meios dieléctricos lineares, homogéneos e isotrópicos, é possível demonstrar que a densidade de energia electrostática armazenada no campo eléctrico se escreve convenientemente como: ɛ 2 E2 = 1 2 ɛe E = 1 2 D E (3.65) Pelo que a energia electrostática total se escreve como: τ ɛ 2 E2 dτ = 1 2 τ D E dτ (3.66) Efeito de um dieléctrico na capacidade: o exemplo do condensador de placas planas e paralelas Consideremos um condensador de placas planas e paralelas, de área A, situadas à distância d uma da outra e carregadas com cargas Q e Q. O campo na região entre as placas, conforme se obtém a partir da aplicação da lei de Gauss, é: A diferença de potencial entre as placas é assim: E = σ ɛ 0 (3.67) pelo que a capacidade é: V = σ ɛ 0 d = Qd Aɛ 0 (3.68) C = ɛ 0 A (3.69) d Quando introduzimos um dieléctrico de permissividade eléctrica ɛ na região entre as placas, sem que se altere a carga do condensador, a intensidade do campo e a diferença de potencial entre as placas diminuem do factor ɛ r, o que conduz a um aumento da capacidade do condensador deste mesmo factor. Historicamente, foi a descoberta do aumento da capacidade dos condensadores quando preenchidos com um meio dieléctrico que levou à consideração do efeito das propriedades dieléctricas, mesmo no desconhecimento da estrutura atómica da matéria. Este aumento da capacidade é devido à formação das cargas de polarização, que contrariam o campo aplicado. Então, para se obter a mesma diferença de potencial entre as 54

63 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática placas do condensador, é necessário aumentar a carga das placas. O aumento da capacidade conduz assim a um aumento da energia electrostática armazenada no condensador, conforme se pode ver da expressão E p = C V 2 /2. Rigidez dieléctrica Por último, refira-se que, sob a acção de campos eléctricos particularmente intensos, é possível ionizar os átomos/moléculas que compõem um meio, fazendo com que o meio se torne condutor. O campo eléctrico máximo suportado por um isolador, acima do qual ocorre a ruptura dieléctrica do meio, designa-se rigidez dieléctrica. É este fenómeno que ocorre nas vulgares descargas através do ar, seja nos raios que ocorrem numa trovoada, seja nas faíscas observadas quando se desliga um aparelho da tomada. Para o ar, a rigidez dieléctrica é cerca de 3 MV/m. 55

64 R. Vilão Electromagnetismo Electrostática 56

65 Capítulo 4 Magnetostática Terminado o estudo da electrostática, que diz respeito a situações em que o campo eléctrico permanece estático, iniciamos agora o estudo da magnetostática, onde nos concentramos na física das correntes eléctricas constantes e nos campos magnéticos por elas gerados e/ou que com elas interactuam. Se na electrostática considerámos que as densidades de carga permaneciam constantes no tempo ( ρ/ t = 0), sendo as correntes nulas (j = 0), na magnetostática consideramos agora situações em que há correntes eléctricas que permanecem constantes no tempo (j 0, j/ t = 0), de tal forma que as próprias distribuições de carga permanecem constantes no tempo ( ρ/ t = 0). Poderíamos pensar que, sendo as correntes eléctricas compostas de cargas em movimento, o assunto da magnetostática se limitaria a uma mera correcção à electrostática e à expressão do campo eléctrico, não se percebendo a razão para a existência do campo magnético. De facto, do ponto de vista fundamental, na moderna abordagem unificada destes fenómenos, os campo eléctrico e magnético gerados por uma carga são a manifestação do mesmo campo electromagnético, observado em referenciais diferentes. Esta abordagem requer a intervenção da teoria da relatividade restrita. No entanto, apesar desta ligação profunda entre os fenómenos eléctricos e magnéticos, há toda a vantagem em seguir uma abordagem em que o campo magnético é estudado independentemente. Esta abordagem coincide aliás com o desenvolvimento histórico da disciplina e também com as manifestações mais simples dos fenómenos, que importa compreender bem antes de avançar para outras elaborações. De facto, os fenómenos magnéticos são conhecidos desde a antiguidade, em particular o magnetismo de certas rochas ricas em ferro (a magnetite). A ilha grega de Magnésia era conhecida pela abundância deste tipo de rochas e emprestou o seu nome aos fenómenos associados. 1 No entanto, foi apenas no século XIX que o estudo destes fenómenos conheceu um desenvolvimento extraordinário, conduzindo ao moderno electromagnetismo. 1 No Museu de Física da Universidade encontra-se um enorme bloco de magnetite (c. 12 kg) oferecido pelo imperador da China a D. João V, capaz de sustentar massas de várias dezenas de quilogramas. 57

66 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 4.1 Corrente eléctrica A corrente eléctrica I que atravessa uma dada superfície é definida simplesmente como a carga que atravessa a superfície por unidade de tempo: I = dq dt (4.1) A unidade de corrente eléctrica é o ampère (A), sendo 1A = 1Cs 1, e constitui uma das unidades básicas do sistema internacional de unidades. A corrente eléctrica está associada à velocidade das cargas e como tal pode ser convenientemente escrita em forma vectorial. Se considerarmos uma densidade de carga λ a deslocar-se num fio com velocidade v, facilmente constatamos que a carga transportada por um segmento dx é dq = λ dx = λ v dt. A intensidade de corrente que percorre o fio é então: I = λ v dt dt = λ v (4.2) em que associámos a direcção da velocidade à da corrente Densidades volúmica e superficial de corrente Podemos generalizar facilmente a equação (4.2) para o caso de correntes associadas ao movimento de densidades volúmicas ou superficiais de carga. Consideremos uma densidade volúmica de carga ρ, que num dado ponto do espaço se movimenta com uma velocidade v. A carga que atravessa uma superfície ds = dsˆn no intervalo de tempo dt é dq = ρ dτ = ρ ds (v dt) = ρ v ds dt, onde v é a componente da velocidade perpendicular à superfície. A corrente que atravessa a superfície é então: I = dq dt = ρ v ds = J ds (4.3) onde se definiu a densidade volúmica de corrente J (com dimensões de carga por unidade de superfície e por unidade de tempo): J = ρ v (4.4) 58

67 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática De igual forma, podemos considerar uma densidade superficial de carga σ, que num dado ponto do espaço se movimenta com uma velocidade v. A carga que atravessa uma linha dl = dlˆn no intervalo de tempo dt é agora dq = σ ds = σ dl (v dt) = σ v dl dt, onde v é a componente da velocidade perpendicular à linha. A corrente que atravessa a linha é então: I = dq dt = σ v dl = K dl (4.5) onde se definiu a densidade superficial de corrente K (com dimensões de carga por unidade de comprimento e por unidade de tempo): K = σ v (4.6) Equação de continuidade Se aplicarmos a equação (4.3) a uma superfície fechada S delimitando um volume τ, obtemos a carga q out por unidade de tempo que sai do volume atravessando a superfície: dq out dt = ρ v ds = J ds = J dτ (4.7) S τ Mas a conservação da carga requer que a carga total permaneça constante, pelo que a soma da carga q out que sai com a carga q que permanece no volume permanece constante: q + q out = constante dq out dt = dq dt = d ρ dτ (4.8) dt τ Concluímos então que: τ J dτ = d dt τ ρ dτ J = ρ t (4.9) Recorde-se que esta constitui a equação de continuidade que já tínhamos obtido enquanto exemplo do significado físico do operador divergência. 59

68 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 4.2 Força de Lorentz A experiência básica que traduz a presença do campo magnético é a conhecida experiência da atracção entre correntes eléctricas paralelas fluindo no mesmo sentido. Se as correntes fluirem em sentidos opostos, ocorre a repulsão. O campo magnético produzido por uma corrente num fio rectilíneo é relativamente simples de detectar com uma bússola. A bússola revela uma interacção perpendicular ao fio, formando vórtices em torno deste, conforme ilustra a figura 4.1. Estes vórtices sugerem a definição de um campo magnético com a mesma orientação em cada ponto do espaço. Identifica-se assim estes vórtices com as linhas do campo magnético. A orientação dos vórtices é comummente sintetizada na mnemónica conhecida por regra da mão direita: a orientação da corrente é dada pelo polegar da mão direita, sendo a orientação das linhas de campo magnético dada pelos restantes 4 dedos. I a) b) I Figura 4.1: Linhas de campo magnético, detectadas por uma bússola, em torno de um fio rectilíneo transportando uma corrente I: (a) perspectiva no espaço; (b) projecção no plano da folha, sendo o sentido da corrente especificado pela convenção comummente utilizada: representa uma corrente que emerge do plano e representa uma corrente que imerge no plano. As linhas de campo magnético formam vórtices em torno do fio, cuja orientação é dada pela regra da mão direita. 60

69 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática B 1 F 2/1 F 1/2 I 1 I 2 B 2 Figura 4.2: Atracção entre dois fios transportando correntes paralelas, que emergem da folha: representam-se as forças em cada fio, bem como as linhas de campo que passam em cada fio, geradas pelo outro fio, com o campo magnético respectivo. A partir desta definição da orientação do campo magnético, e conforme ilustra a figura 4.2, verificamos que, no caso dos fios que se atraem, a força é simultaneamente perpendicular à corrente e ao campo, sugerindo um produto vectorial do tipo I B. Conforme vimos, a corrente é simplesmente proporcional à velocidade das cargas, pelo que a força que age numa carga com velocidade v devido a um campo magnético B será do tipo v B. Essa força é também proporcional à própria carga Q, assumindo a forma F = Qv B (4.10) Em rigor, esta expressão constitui a definição do campo magnético B que actua numa carga Q. 2 Na presença simultânea de um campo eléctrico E e de um campo magnético B, a força resultante que age numa carga Q é assim F = QE + Qv B (4.11) A equação (4.11) constitui a definição dos campos E e B, através da indispensável ligação à grandeza física observável, que é a força. Constitui assim uma das equações basilares do electromagnetismo, a par da equação da continuidade (4.9) que exprime a conservação da carga e das equações de Maxwell que estudaremos ao longo desta disciplina. 2 Cf. E. M. Purcell, Electricity and Magnetism, Berkeley Physics Course, Vol. 2, McGraw-Hill (1965). 61

70 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A força magnética não realiza trabalho Uma característica importante da força magnética que age numa carga é o facto de ser sempre perpendicular à velocidade da carga. Esta força não possui assim qualquer componente paralela ao deslocamento, que por definição é a componente responsável pela realização de trabalho. A força magnética não realiza pois trabalho: pode alterar a direcção do movimento, mas não contribui para a alteração do módulo da velocidade e, logo, da energia cinética Força magnética numa corrente A partir da expressão (4.10) podemos extrair imediatamente a força que age numa corrente devido a um campo magnético B. Basta considerarmos a força que age num elemento de carga dq, em que: λ dl, dq = σ da, ρ dτ, se a corrente for linear se a corrente for superficial se a corrente for volúmica (4.12) Em que, de acordo com as expressões 4.2, 4.6 e 4.4, a corrente linear I devida ao movimento de uma densidade linear de cargas λ, a densidade superficial de corrente K devida ao movimento de uma densidade superficial de cargas σ, e a densidade volúmica de corrente J devida ao movimento de uma densidade volúmica de cargas ρ se relacionam com a velocidade v através de: I = λ v K = σ v J = ρ v se a corrente for linear se a corrente for superficial se a corrente for volúmica (4.13) Resulta assim, atendendo a df = dqv B: λ dl v B = I B dl, df = σ da v B = K B da, ρ dτ v B = J B dτ, se a corrente for linear se a corrente for superficial se a corrente for volúmica (4.14) No caso de um fio de comprimento L, transportando uma corrente I, perpendicular ao campo B, a expressão da força reduz-se a o que traduz a Lei de Laplace. F = I B dl = I B L (4.15) 62

71 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 4.3 Lei de Biot e de Savart A força de Lorentz e a lei de Laplace permitem-nos, conhecendo o campo magnético, determinar a força que age numa carga ou numa corrente, respectivamente. No entanto, nada dizem sobre qual o campo magnético que por elas é gerado. Tal como afirmámos na introdução a este capítulo, pretendemos concentrar-nos por agora nas situações magnetostáticas, em que as distribuições de corrente verificam j 0, j/ t = 0, ao mesmo tempo que as distribuições de carga permanecem constantes no tempo ( ρ/ t = 0). Estes requisitos conduzem-nos a duas observações importantes: por um lado, da equação da continuidade (4.9), ρ/ t = 0 implica que J = 0 (4.16) que constitui assim uma equação característica da magnetostática. por outro lado, na magnetostática centramo-nos em correntes constantes, ficando assim excluídas situações tão relevantes quanto as de uma carga isolada em movimento; este importante caso particular corresponde já a uma situação electrodinâmica, que tem de ser abordada com os resultados correspondentes. O campo gerado por uma corrente constante é adequadamente descrito pela lei de Biot e de Savart, que acumula os resultados experimentais conhecidos. Apesar de esta lei respeitar a campos gerados por correntes, podemos resumir de forma mais explícita o seu conteúdo através de um elemento de corrente (dq v, I dl, K ds ou J dτ) gerando um elemento de campo db numa posição r com origem no elemento de corrente, e que: é proporcional à carga dq transportada pelo elemento de corrente; é proporcional à velocidade v das cargas do elemento de corrente; é inversamente proporcional ao quadrado da distância; é perpendicular à posição r e à velocidade v; tem sentido dado pelo produto vectorial v ˆr. A lei de Biot-Savart escreve-se assim para um elemento de corrente dq v: db = µ 0 dqv ˆr (4.17) 4π r 2 onde µ 0 é uma constante designada permeabilidade magnética do vazio e que é, por definição, no sistema internacional de unidades: µ 0 = 4π 10 7 N A 2 (4.18) 63

72 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática O campo criado pela corrente é então: B = µ 0 dqv ˆr (4.19) 4π r 2 Atendendo ao resumo apresentado nas equações (4.12) e (4.13), pode reescrever-se a lei de Biot-Savart nas formas alternativas: B = µ 0 I ˆr dl, para uma corrente rectilínea (4.20) 4π C r 2 B = µ 0 K ˆr ds, para uma corrente superficial (4.21) 4π S r 2 B = µ 0 4π τ J ˆr r 2 dτ, para uma corrente volúmica (4.22) Note-se que poderá haver a tentação de escrever, a partir dos resultados anteriores, o campo criado por uma carga pontual q com velocidade v: B = µ 0 qv ˆr (4.23) 4π r 2 Conforme sublinhámos anteriormente, esta é, em rigor, uma situação electrodinâmica cuja abordagem não é legítima com a lei de Biot-Savart, obtida para correntes constantes. No entanto, quando se faz o tratamento electrodinâmico completo, já numa abordagem relativística, a equação (4.23) resulta como aproximação legítima para velocidades baixas (v << c). 3 3 Cf. Jackson, Classical Electrodynamics, 3 rd edition, p

73 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática O campo gerado por um corrente rectilínea I dl z r a x db Figura 4.3: Esquema auxiliar para o cálculo do campo magnético criado por uma corrente rectilínea, representando o campo magnético elementar db gerado por um elemento de corrente Idl Para calcular o campo criado a uma distância a de uma corrente rectilínea I, servimonos do esquema representado na figura 4.3, onde se representa o campo magnético elementar db gerado na posição (a, 0, 0) por um elemento de corrente Idl, situado em (0, 0, z). Este campo é claramente perpendicular ao plano da folha, com o sentido representado, pelo que o campo total B = db também terá esta direcção e sentido. A intensidade do campo pode ser calculada facilmente atendendo a: dl ˆr = dl sin θ r 2 = a 2 + z 2 sin α = cos θ, e cos α = sin θ z = a tan θ dz = a sec 2 αdα B = db = µ 0 4π I C sin θ a 2 + z 2 dl = µ 0 4π I a 2 C cos α dz (4.24) 1 + tan 2 α 65

74 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Mas 1 + tan 2 α = sec 2 α, pelo que: B = µ 0 4π I α2 a 2 α 1 cos α sec 2 α a sec2 αdα = µ 0 I α2 cos α dα = µ 0 I 4π a α 1 4π a (sin α 2 sin α 1 ) (4.25) onde α 1 e α 2 são os ângulos correspondentes aos limites do fio. Tipicamente, admitese ser o fio muito comprido L >> a, pelo que α 1 = π/2 e α 2 = π/2, reduzindo-se a expressão anterior a : B = µ 0 I 2π a (4.26) Em coordenadas cilíndricas, o vector campo magnético escreve-se: B = µ 0 I 2π aêφ (4.27) 4.4 Força entre dois fios rectilíneos Estamos agora em condições de regressar à figura 4.2 e de calcular a força de atracção entre duas correntes paralelas à distância d uma da outra. Temos: B 1 = µ 0 I 1 2π d, B 2 = µ 0 I 2 2π d (4.28) Atendendo à equação (4.15), obtemos então: F 1 = µ 0 I 1 I 2 L 1 2π d F 2 = µ 0 I 1 I 2 L 2 2π d (4.29) A força por unidade de comprimento em cada fio é assim: F 1 = F 2 = µ 0 I 1 I 2 L 1 L 2 2π d (4.30) 66

75 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A equação (4.30) assume uma importância primordial em magnetostática. Em particular, a própria definição da unidade de corrente eléctrica assenta nesta equação. De acordo com a definição acordada internacionalmente em 1948 na 9 a Conferência Internacional de Pesos e de Medidas: O ampere é a intensidade de uma corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos, rectilíneos, de comprimento infinito, de secção circular desprezável, e colocados à distância de um metro um do outro no vazio, produziria entre estes condutores uma forcca igual a newton por metro de comprimento Um aparte relevante: a lei de Ohm Na secção 4.1, apresentámos as definições gerais de densidade de corrente e a equação de continuidade, que relaciona a densidade de corrente j com a densidade em cada ponto, traduzindo a lei da conservação da carga eléctrica. Existe no entanto um importante resultado empírico que afirma que a intensidade de corrente I que se estabelece num material é directamente proporcional à diferença de potencial V aos seus terminais: I V. Tradicionalmente, este resultado, conhecido por lei de Ohm costuma escrever-se na forma: V = R I (4.31) onde R designa a resistência entre os terminais. À primeira vista, e atendendo aos resultados (4.2) e (4.4), este resultado é surpreendente. De facto, se admitirmos que o campo é constante no interior do material, a diferença de potencial V entre os dois terminais à distância L será V = E L, enquanto que a corrente é I = j A, onde j é a densidade de corrente e A a secção do fio: E L = R j A j = L R A E j = σ E (4.32) onde σ = 1/ρ se designa condutividade do material, sendo ρ a resistividade. A resistência exprime-se assim em função da resistividade como: R = ρ L A O formulação a que chegámos é conhecida por forma local da lei de Ohm: (4.33) 4 Decreto-Lei 238/94, de 19 de Setembro. Cf. a página do Instituto Português da Qualidade na internet: metrologica nacional.pdf Consulte também a página do Gabinete Internacional de Pesos e Medidas na internet: units/ 67

76 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática j = σ E (4.34) O carácter surpreendente deste resultado reside no seguinte: a corrente (que é proporcional à velocidade das cargas: j = ρv) é proporcional ao campo (que por sua vez é proporcional à força que age nas cargas E = F/Q). Parece haver uma contradição com a segunda lei de Newton da mecânica, que afirma que é a aceleração que é proporcional à força, e segundo a qual esperaríamos que a corrente aumentasse linearmente com o tempo sob acção de um campo constante. Existe pois necessariamente a intervenção de outra(s) força(s) no movimento das cargas eléctricas num material. Na mecânica elementar são conhecidos outros exemplos em que a velocidade é proporcional à força aplicada. Tal acontece tipicamente quando o movimento ocorre na presença de atrito viscoso, como é o caso da velocidade terminal de um paraquedista ou da velocidade de sedimentação de partículas num fluido. No movimento das cargas eléctricas num material, o atrito viscoso que dá origem à lei de Ohm radica nas colisões que os electrões sofrem no seu trajecto, sobretudo com os defeitos e impurezas. A condutividade é assim uma medida macroscópica do tempo médio entre colisões. Note-se que a lei de Ohm não é uma lei básica do electromagnetismo ou da física, mas exprime antes uma característica do comportamento de certos materiais, cuja explicação cabal requer a intervenção da mecânica quântica. 4.6 Lei de Ampère. Tendo calculado, na secção o campo magnético criado por uma corrente rectilínea, podemos facilmente calcular a respectiva circulação num circuito fechado C qualquer: B dl = µ0 I 2πρ êφ ρ dφê φ = µ 0 I dφ (4.35) 2π C onde usámos o elemento de deslocamento em coordenadas cilíndricas e o campo obtido anteriormente (eq. 4.27). 68

77 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Para o cálculo de C dφ, temos duas hipóteses: se o circuito C contornar o fio, temos simplesmente 2π dφ = dφ = 2π (4.36) pelo que C C 0 B dl = µ 0 I (4.37) se o circuito não contornar o fio, será delimitado por dois ângulos φ 1 e φ 2, sendo então: φ2 φ1 dφ = dφ + dφ = 0 (4.38) φ 1 φ 2 C Concluimos assim que a circulação do campo magnetostático num circuito C delimitando uma superfície fechada S verifica: { µ0 I se a corrente rectilínea atravessar S B dl = (4.39) 0 se a corrente rectilínea não atravessar S C No caso de haver um conjunto de correntes rectilíneas com orientações diversas, vale então o seguinte: B dl = µ 0 I int (4.40) C onde I int representa a soma das correntes que atravessam a superfície S delimitada pelo circuito fechado C. Podemos reescrever este resultado em função da densidade de corrente J e atendendo ao teorema de Stokes: B dl = µ 0 J ds B ds = µ 0 J ds (4.41) C S Donde, atendendo a que o circuito C, e logo a superfície S, é arbitrário: S B = µ 0 J (4.42) A equação (4.40) traduz a forma integral da lei de Ampère, enquanto que a equação (4.42) traduz a respectiva forma local. Note-se que nos limitámos a demonstrar a lei de Ampère para correntes rectilíneas, partindo da lei de Biot-Savart. É possível, conforme indicaremos seguidamente, obter uma demonstração mais geral. No entanto, em última análise, quer a lei de Ampère quer a lei de Biot-Savart decorrem dos resultados 69 S

78 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática experimentais relativos a correntes constantes, constituindo resultados básicos. Alguns autores preferem até apresentar directamente a lei de Ampère como uma lei básica da magnetostática, dispensando a demonstração a partir da lei de Biot-Savart. 5 Atenda-se ainda desde já ao seguinte aspecto, a que voltaremos mais tarde. Se calcularmos a divergência de ambos os membros da equação (4.42), obtemos: ( B) = µ 0 J J = 0 (4.43) Este resultado recorda-nos que a lei de Ampère é uma lei básica da magnetostática, mas que necessita necessariamente de correcção em situações electrodinâmicas em que ρ/ t A divergência do campo magnetostático A forma circular fechada das linhas de campo magnético em torno de uma corrente rectilínea contrasta fortemente com a forma radial das linhas de campo electrostático geradas por uma carga pontual e sugere que a divergência do campo magnético seja nula. Tal não representa um resultado surpreendente, à luz da discussão inicial sobre a origem do campo magnético, que advém do movimento de cargas eléctricas e não de quaisquer cargas magnéticas. A própria lei de Biot-Savart/Ampère reflecte este facto. Vamos pois verificar de seguida que, em geral, o campo magnético descrito pela lei de Biot-Savart é efectivamente um campo de divergência nula (os campos com esta propriedades também costumam designar-se solenoidais 6 ). Para o cálculo de B, comecemos por explicitar a equação (4.22) em coordenadas cartesianas: B(x, y, z) = µ 0 4π τ J(x, y, z ) (r r ) r r 3 dx dy dz (4.44) 5 Cf. R. P. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics, vol. II 6 O campo magnético criado por um solenóide é o protótipo de um campo solenoidal... 70

79 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Note-se que o campo magnético é calculado na posição r = x ê x + y ê y + z ê z, a partir das correntes existentes nas posições r = x ê x + y ê y + z ê z. A divergência do campo na posição r está associada às derivadas nessa posição: B(x, y, z) = B x(x, y, z) x + B y(x, y, z) y + B z(x, y, z) z (4.45) Procedamos então ao cálculo da divergência: B(x, y, z) = µ 0 J(x, y, z ) (r r ) 4π τ r r 3 dx dy dz (4.46) Do cálculo vectorial sabemos que (J r/r 3 ) = (r/r 3 ) ( J) J ( (r/r 3 )). Relativamente a cada uma destas duas parcelas: o rotacional de J, J, é o operador nas coordenadas (x, y, z), das quais J(x, y, z ) não depende; logo, J(x, y, z ) = 0. Do cálculo vectorial, sabemos também que: ( r ) ( 1 = r 3 r 3 ) ( ) 1 r r r 3 (4.47) Mas r = 0 e ( ) 1 r = 3r 3 r 5 (verifique!), pelo que: ( r ) ( ) 3r = r = 0 (4.48) r 3 r 5 Concluímos, assim, tal como havíamos antecipado, que: B = 0 (4.49) Esta equação pode ser reescrita, usando o teorema de Gauss, como: S B ds = 0 (4.50) isto é, o fluxo do campo magnético através de uma qualquer superfície fechada S é sempre nulo. 71

80 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A equação (4.50), ou a sua equivalente eq. (4.49), constitui uma das equações básicas do electromagnetismo e exprime o facto os campo magnéticos terem origem em cargas eléctricas em movimento, e não em cargas magnéticas. 7 Por último, refira-se que o procedimento que adoptámos para o cálculo da divergência de B a partir da lei de Biot-Savart escrita na forma da equação (4.22) pode ser reproduzido para demonstrar de uma forma geral a lei de Ampère B = µ 0 J. 4.8 Condições de fronteira em superfícies Nas secções e analisámos as condições de fronteira do campo electrostático em superfícies de carga, as quais constituem um modelo aproximado das distribuições de carga em algumas situações físicas importantes como os condutores. Da mesma forma, também é importante analisar detalhadamente o comportamento da situação análoga em magnetostática e verificar as condições de fronteira do campo magnetostático em superfícies onde fluam correntes superficiais de carga Continuidade das componentes transversas do campo magnético Adoptando um procedimento semelhante ao adoptado na secção 2.3.4, e considerando a equação (4.50), que assegura que o fluxo do campo magnético sobre uma superfície fechada é sempre nulo, rapidamente concluímos que as componentes do campo magnetostático perpendiculares a uma superfície qualquer são contínuas, verificando-se: B 1 = B 2 div S B = ˆn (B 2 B 1 ) = 0 (4.51) onde ˆn é o versor perpendicular à superfície apontando do lado 1 para o lado 2, onde existem os campos B 1 e B 2, respectivamente. 7 Esta é a ocasião em que os físicos, embaraçados, começam a balbuciar expressões como spin e monopolos magnéticos. A presumível existência de cargas monopolares magnéticas justificaria a quantização da carga eléctrica, de acordo com um argumento teórico proposto por Dirac. Não se encontraram até à data quaisquer monopolos magnéticos, embora haja grandes esforços experimentais na sua detecção. Quanto ao spin, esse existe e é fonte de grande perplexidade: voltaremos ao assunto mais tarde. 72

81 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Descontinuidade das componentes do campo magnético paralelas à superfície Adoptando um procedimento semelhante ao adoptado na secção 2.4.4, tal como esquematiza a figura 4.4, em que se toma uma circulação perpendicular a K, e considerando a lei de Ampère (eq. 4.40), obtemos uma equação semelhante à equação (2.45) para a circulação do campo magnético no circuito esquematizado: B dl = (B 2 ˆt B 1 ˆt)d = µ 0 K d (4.52) onde K é a densidade superficial de corrente no ponto da superfície em análise e ˆt, conforme ilustra a figura 4.4, é o versor com a direcção dos segmentos da circulação paralelos à superfície, apontando no sentido do segmento do lado 2. A lei de Ampère aplicada à superfície (equação 4.52) permite-nos assim concluir que as componentes do campo magnético paralelas a ˆt são descontínuas, sendo µ 0 K a descontinuidade: Sublinhe-se, a este propósito, os seguintes aspectos: B 2 ˆt B 1 ˆt = µ 0 K (4.53) esta descontinuidade afecta apenas as componentes do campo magnético simultaneamente paralelas à superfície e perpendiculares a K; de facto se rodarmos de 90 graus a circulação adoptada na figura 4.4, de forma a que ˆt seja agora paralelo a K, a corrente que atravessa a área definida pela circulação é agora nula, sendo pois contínuas as componentes do campo magnético que sejam paralelas a K; conforme ilustra a figura 4.5, onde se esquematiza detalhadamente a orientação relativa dos vectores envolvidos nesta situação, o campo magnético altera pois a sua direcção; no esquema da figura 4.5, o campo magnético roda no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio ao atravessarmos da região 1 para a região 2. Por este motivo, este fenómeno é por vezes também designado refracção do campo magnético numa densidade superficial de corrente. As figuras 4.4 e 4.5 esquematizam uma situação geral em que se tem uma configuração do campo magnético que pode ser devida a outras fontes para além da distribuição superficial de corrente que está em análise. No caso de o campo magnético ser exclusivamente devido à distribuição de corrente K na superfície, é facilmente demonstrável que o campo magnético é paralelo à superfície e perpendicular a K, apontando em sentidos opostos de cada lado da superfície e assumindo em cada lado o valor µ 0 K/2; 73

82 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Atendendo à orientação dos vectores definida na figura 4.5, podemos ainda reescrever a equação (4.53) na forma vectorial, sintetizando assim toda a informação de que dispomos: ˆn (B 2 B 1 ) = µ 0 K rot S B = µ 0 K (4.54) K B 2 n h d Figura 4.4: Esquema para o cálculo da circulação do campo magnético nas proximidades de um ponto de uma superfície transportando uma corrente superficial K. O campo magnético nas proximidades do ponto é B 1 e B 2 em cada lado da superfície. A circulação está orientada no sentido anti-horário, definindo o circuito uma superfície que está orientada de acordo com a regra da mão direita, sendo a orientação da superfície paralela K. B O potencial vector Conforme recordámos no início da disciplina, a divergência do rotacional de um campo vectorial é sempre nula. Este resultado do cálculo vectorial implica que todos os campos solenoidais, i. e. de divergência nula, podem ser escritos como o rotacional de um outro campo vectorial. Assim acontece também para o campo magnético: 74

83 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 2 1 B 2 t K n B 1 B 2 -B 1 Figura 4.5: A mesma figura 4.4, detalhando a orientação relativa dos vectores envolvidos: a densidade superficial de corrente, K; os campos magnéticos de cada lado da superfície, B 1 e B 2 ; a respectiva diferença, B 2 B 1 ; o versor paralelo ao segmento da circulação do lado 2, ˆt; o usual versor perpendicular à superfície, apontando do lado 1 para o lado 2, ˆn. B = 0 B = A (4.55) Esta equação é o equivalente para o campo magnético da equação E = 0 E = V que define o potencial electrostático do campo electrostático, razão pela qual o campo vectorial A se designa potencial vector do campo magnético. Na forma integral, a equação (4.55) escreve-se, atendendo ao teorema de Stokes: B ds = A dl (4.56) S isto é, o fluxo do campo magnético através de uma superfície S corresponde à circulação do potencial vector no caminho C em que assenta a superfície. A relação B = A não define de forma unívoca o potencial vector. Recorde-se que um campo vectorial é completamente definido apenas quando se especifica a sua divergência e o seu rotacional, munidos das condições de fronteira adequadas. De facto, podemos adicionar a A o gradiente de uma função escalar qualquer, que o campo magnético se mantém inalterado: C A = A + f A = A + f = A (4.57) Em electromagnetismo clássico, é costume usar-se a liberdade de escolha da divergência de A, convencionando: A = 0 (4.58) 75

84 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Esta escolha costuma designar-se padrão de Coulomb. 8 A grande utilidade do potencial vector no electromagnetismo clássico vem do seguinte. Atendendo à lei de Ampère: B = µ 0 J ( A) = µ 0 J (4.59) e, atendendo a que ( A) = ( A) 2 A, temos: ( A) 2 A = µ 0 J (4.60) A escolha do padrão de Coulomb A = 0 torna-se agora óbvia, pois permite escrever a equação anterior na forma: 2 A = µ 0 J (4.61) Este resultado mais não é do que a equação de Poisson, escrita para cada componente do potencial vector ( 2 A i = µ 0 J i ), e que sublinha mais uma vez a sua analogia formal com o potencial escalar da electrostática. Note-se que o potencial vector não tem, ao contrário do potencial escalar do campo electrostático, uma interpretação imediata em termos do trabalho realizado pelo campo (recorde-se, aliás que o campo magnético não realiza trabalho), pelo que a sua utilidade é menor. No entanto, a analogia formal estabelecida pela equação (4.61) é extremamente poderosa, pois permite-nos resolver problemas magnetostáticos com o recurso a analogias electrostáticas. A partir do momento em que conheçamos uma solução da equação de Poisson, por exemplo através de um problema electrostático, podemos utilizar essa solução no âmbito da magnetostática O potencial vector devido a correntes Por exemplo, no âmbito da electrostática descobrimos que a solução geral da equação de Poisson era: 2 V = ρ V = 1 ρ dτ (4.62) ɛ 0 4πɛ 0 τ r Então a correspondente solução da equação (4.61) obtém-se simplesmente da anterior, com a correspondência: obtendo-se V A i, 1 ɛ 0 µ 0, ρ J i (4.63) 8 Ou gauge de Coulomb, na literatura anglo-saxónica. 76

85 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A i = µ 0 4π τ J i r dτ A = µ 0 4π τ J dτ (4.64) r Esta constitui a expressão geral do potencial vector na presença de uma corrente J. As correspondentes expressões para correntes superficiais K ou lineares I ficam: A = µ 0 4π S A = µ 0 I 4π λ r dl = µ 0 Idl 4π λ r Condições de fronteira em superfícies K ds (4.65) r (4.66) Adoptando o padrão de Coulomb ( A = 0), decorre imediatamente a continuidade das componentes do potencial vector perpendiculares a uma superfície. Quanto às componentes paralelas a uma superfície, podemos analisá-las recorrendo à equação (4.56) e às figuras 4.4 e 4.5. A circulação de A, tal como anteriormente, reduz-se a C A dl = (A 2 A 1 )d (4.67) Já o fluxo de B através da superfície definida pelo circuito C é: S B ds = B 2 ˆk d h 2 + B 1 ˆk d h 2 (4.68) em que ˆk = K/K. Então, da equação (4.56) decorre: A 2 A 1 = h 2 (B 2 ˆn + B 1 ˆn) (4.69) Pelo que, no limite h 0, se obtém a continuidade das componentes de A paralelas à superfície: A 2 A 1 = 0 (4.70) No padrão de Coulomb, o potencial vector resulta assim contínuo numa superfície. Sublinhe-se apenas que, se a continuidade das componentes paralelas decorre da própria definição de A, a continuidade das componentes perpendiculares é mera consequência da escolha para a divergência de A implicada no padrão de Coulomb. 77

86 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 4.10 Resumo da magnetostática básica Tal como fizémos para a electrostática, apresentamos de seguida um resumo da magnetostática básica, cujos fundamentos apresentámos. Estabelecemos as definições das quantidades relevantes (a densidade de corrente J, o potencial vector A e o campo magnético B), bem como as relações existentes entre elas. O conhecimento completo de uma destas quantidades permite-nos extrair as outras duas. As relações existentes estão indicadas na figura 4.6, que constitui por isso um poderoso resumo de toda a magnetostática fundamental. Nas secções subsequentes, tal como anteriormente, concentrar-nos-emos em algumas aplicações e resultados particularmente relevantes que decorrem em situações concretas de relevância. Estudaremos, em particular, o dipolo magnético e alguns aspectos do magnetismo em meios materiais. Figura 4.6: Resumo das relações principais entre as três quantidades básicas da magnetostática: a densidade de corrente J, o potencial vector A e o campo magnético B. (D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, fig. 5.46) 78

87 Capítulo 5 Algumas situações e resultados importantes em magnetostática 5.1 O dipolo magnético Procedamos ao cálculo do campo magnético criado por uma espira rectangular de lados a e b, transportando uma corrente I, num ponto P à distância r do centro da espira (ver figura 5.1(a)). Admitamos ainda que r >> a e r >> b. Para o cálculo, vamos proceder do seguinte modo: 1 através de uma analogia electrostática conveniente calculamos o potencial vector, a partir do qual obtemos o campo magnético através de B = A. Começamos por recordar a expressão para o potencial vector devido a uma corrente rectilínea (equação 4.66), e a correspondente expressão para o potencial electrostático de uma distribuição linear de carga (equação 2.55): A = µ 0 4π λ V (r) = 1 4πɛ 0 Idl r l (5.1) λ dl (5.2) r Para a espira esquematizada na figura 5.1(a), os elementos de deslocamento são paralelos ao eixo dos XX ou ao eixo dos Y Y : dl = dxê x (com dx positivo para o segmento AB e negativo para CD), dl = dyê y (com dy positivo para o segmento BC e negativo para DA), pelo que a componente z do potencial vector é nula: A z = 0 (5.3) Calculemos seguidamente a componente A x, gerada pela corrente nos segmentos AB e CD. Estes segmentos, de comprimento a, constituem um par de correntes iguais I 1 Cf. R. P. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics, vol. II,

88 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática P (a) Z Y D r I C A a B b X (b) D J (<0) x C D < C p=( a)b A J (>0) x B A >0 B Figura 5.1: (a) Uma espira quadrada de corrente transportando uma corrente I. (b) Esquema utilizado para o cálculo do potencial vector, através da adequada analogia electrostática. 80

89 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática em sentidos opostos e à distância b uma da outra, tal como esquematiza a figura 5.1(b). O correspondente electrostático, esquematizado na mesma figura, consiste de duas distribuições lineares de carga λ, cada uma com a carga λ a. No limite que estamos a considerar (r >> a e r >> b), estas distribuições de carga reduzem-se a um dipolo eléctrico de momento dipolar p = (λ a)bê y. A potencial por ele gerado, que obedece a (5.2), já foi estudado anteriormente,, sendo a solução (3.8): V (x, y, z) = 1 4πɛ 0 p ê r r 2 = 1 4πɛ 0 λ a b y r 3 (5.4) Onde utilizámos p = (λ a)bê y e ê r = r/r = (xê x + yê y + zê z )/r. A componente A x resulta imediatamente através da substituição µ 0 1/ɛ 0, λ I: A x (x, y, z) = µ 0 4π I a b y r 3 (5.5) De forma semelhante, concluímos que a componente A y é dada pela expressão: A y (x, y, z) = µ 0 4π I a b x r 3 (5.6) O potencial vector devido à espira, em todas as regiões do espaço suficientemente afastadas da espira, resulta assim: ou, em coordenadas esféricas (verifique!): A = µ 0 I a b 4π r ( yê 3 x + xê y ) (5.7) A = µ 0 I a b sin θê 4π r 2 φ (5.8) O campo magnético respectivo resulta então simplesmente de B = A: B = µ 0 I a b (2 cos θ ê 4π r 3 r + sin θ ê θ ) (5.9) 81

90 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Ao compararmos esta expressão com a do campo gerado por um dipolo eléctrico (eq. 3.10), as semelhanças são evidentes: E = 1 4πɛ 0 p r 3 (2 cos θ ê r + sin θ ê θ ) (5.10) Uma espira de corrente gera assim um campo magnético, em todas as regiões do espaço suficientemente afastadas da espira, com a mesma forma do campo eléctrico gerado por um dipolo eléctrico, em que a quantidade I a b desempenha o papel do momento dipolar eléctrico. A quantidade I a b designa-se momento dipolar magnético da espira e costuma designar-se por m. Há toda a vantagem, tal como com o momento dipolar eléctrico, em conferir uma orientação ao momento dipolar magnético, dada neste caso pela regra da mão direita: a orientação do vector momento dipolar magnético de uma corrente plana é definida perpendicularmente ao plano da corrente com a orientação positiva. No caso da figura 5.1, resulta: m = I a b ê z (5.11) podendo-se reescrever o correspondente vector potencial A como: A = µ 0 m ê r (5.12) 4π r 2 Em geral, o momento dipolar magnético de um circuito corresponde simplesmente ao produto: m = I área do circuito (5.13) dl. e, para um circuito C qualquer, não necessariamente plano: m = 1 r Idl (5.14) 2 C onde o factor 1/2 surge da consideração da área do triângulo elementar de lados r e Desenvolvimento multipolar do potencial Tal como acontece para o potencial electrostático, também o potencial vector do campo magnético pode ser desenvolvido em multipolos de importância decrescente (monopolos, dipolos, quadrupolos). No caso do campo magnético, atendendo a que B = 0, o termo monopolar é sempre nulo, pelo que o termo mais importante de qualquer distribuição de correntes é o termo dipolar. O dipolo magnético assume assim uma importância maior 82

91 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática em magnetostática do que em electrostática. Os detalhes do desenvolvimento multipolar podem ser consultados em qualquer livro avançado de electromagnetismo Interacção de um dipolo magnético com um campo magnético Torque De seguida, consideramos a interacção de uma espira semelhante à considerada anteriormente com um campo magnético externo paralelo ao eixo Z - B = Bê z. Supomos agora que o plano da espira se encontra inclinado em relação ao eixo Z, fazendo com que o respectivo momento dipolar magnético defina um ângulo θ em relação ao campo magnético B. O diagrama de forças encontra-se esquematizado na figura 5.2. A partir daí e da lei de Laplace (eq. 4.15), podemos concluir o seguinte: as forças F AB e F CD têm módulo F AB = F CD = IaB; o torque devido a este par de forças, calculado por exemplo em relação ao centro da espira, é nulo; as forças F BC e F DA têm módulo F BC = F DA = IbB e definem um torque τ não nulo: τ = F BC a sin θ = I a b B sin θ τ = m B (5.15) Relação entre momento magnético e momento angular: precessão de Larmor. A equação (4.2) informa-nos que a intensidade de corrente na espira está relacionada com a velocidade v das cargas (em geral electrões) transportadas pela corrente, e com a densidade linear de carga λ, através de I = λ v. Podemos então calcular facilmente o momento angular L associado à corrente, que aliás é paralelo ao respectivo momento magnético (ou anti-paralelo, no caso de a corrente ser gerada por cargas negativas como os electrões). Assumindo, por simplicidade, que a espira é circular de raio a, 3 o momento angular de cada electrão resulta simplesmente: L = a M I λ = 2 π a2 M I Q = 2M Q m (5.16) onde π a 2 I = m é o momento magnético da espira, M é a massa total das cargas em circulação e Q a respectiva carga total, pelo que a razão M/Q se reduz à razão entre 2 Recomenda-se particularmente a monografia Campo Electromagnético, de M. Fiolhais, L. Brito e C. Providência, McGraw-Hill, Lisboa, Cf. cap. 7 3 No limite r >> a que consideramos ao abordar um dipolo magnético, a forma geométrica da espira é relativamente irrelevante. 83

92 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática (a) Z F CD D F AD I C A a B b F BC (b) F AD d F AB Z m a d F BC Figura 5.2: (a) Diagrama de forças que actuam sobre uma espira quadrada de corrente transportando uma corrente I. (b) Projecção, ilustrando o par de forças com um torque não nulo. 84

93 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática a massa e a carga (no caso dos electrões, M/Q = m e /e, sendo e a carga elementar (positiva). Podemos escrever assim uma relação entre o momento angular associado ao movimento das cargas de uma espira e o respectivo momento magnético da espira (para o caso de a corrente ser devida a electrões): m = e L = γl (5.17) 2 m e Descobrimos assim que o momento magnético da espira é simplesmente proporcional ao momento angular das cargas que transportam a corrente que o origina, sendo γ = e/2m e o factor de proporcionalidade (dito razão giromagnética). As equações (5.17) e (5.15) permitem-nos escrever a lei fundamental da dinâmica da rotação para uma espira transportando uma corrente: dl dt = τ = m B dm dt = γm B (5.18) Este resultado é muito importante e informa-nos que a variação com o tempo de um momento magnético sujeito a um campo magnético é perpendicular quer ao momento magnético, quer ao campo. O movimento resultante é um movimento de precessão do momento magnético em torno do eixo definido pelo campo magnético, com frequência angular ω L = γ B. Este movimento de precessão costuma designar-se precessão de Larmor e é semelhante ao de um pião. 4 Neste movimento, o momento magnético mantém constante a sua orientação em relação ao campo, o que é consistente com o facto conhecido de o campo magnético não realizar trabalho. Assim, embora o torque favoreça o alinhamento do momento magnético com o campo, tal apenas pode acontecer por interacção com uma força externa. A partir da figura 5.2, é possível calcular o trabalho necessário para rodar a espira de um ângulo dθ, mantendo constante a corrente. Nesta rotação, os segmentos BC e AD deslocam-se da distância dr = a dθ/2 estando sujeitos às forças F BC e F AD, respectivamente, sendo π/2 θ o ângulo entre o deslocamento e a força. O trabalho realizado por BC é então: a ( π ) dw = F BC 2 cos 2 θ a ( π ) dθ+f AD 2 cos 2 θ dθ = I b B a sin θ dθ W = m B cos θ+k (5.19) onde K é uma constante. Este resultado é suficientemente incómodo: se o campo magnético não realiza trabalho, como é que é possível que a energia da espira diminua deste modo? A resposta é: não é possível, por meios puramente magnetostáticos, diminuir 4 Note-se que, tal como no pião, a existência prévia de um momento angular é essencial para o resultado precessão. No caso dos dipolos eléctricos, não existe uma razão giroeléctrica que motive um movimento semelhante: são pois também semelhantes ao pião, mas que cai simplesmente quando cessa o movimento de rotação em torno do eixo; também os dipolos eléctricos se limitam a alinhar com o campo eléctrico. 85

94 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática a energia da espira deste modo. Um momento dipolar magnético, numa situação magnetostática, limita-se a precessar em torno do campo magnético, mantendo constante a sua energia. De facto, a rotação que apresentámos configura já uma situação electrodinâmica, que requer a intervenção das leis electrodinâmicas - em particular a lei de Faraday - para ser completamente descrita (e em particular para que se mantenha constante a corrente na espira). A expressão (5.19) não contém pois uma descrição completa da realidade, mas é de grande utilidade para descrever a diminuição de energia de um dipolo magnético de momento dipolar constante (isto é, mantendo-se constante a corrente que lhe dá origem), através da rotação, motivada por um agente externo, na presença de um campo magnético. Esta expressão é reminiscente da equação (3.13), pelo que é usual definir-se uma energia potencial do dipolo magnético na presença de um campo magnético, da forma usual: W = m B cos θ + K = U = (U(0) U(θ)) (5.20) De onde decorre, deixando cair as constantes inúteis (recorde-se que estamos a considerar uma expressão que apenas nos dá como informção útil as variações de energia, e mesmo assim não todas): U(θ) = m B cos θ = m B (5.21) 86

95 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A energia magnetostática: um aperitivo A expressão (5.21) pode ser fonte de desnecessários equívocos. Afinal é possível definir uma energia potencial para o campo magnetostático? A resposta é: não. Recorde-se que a energia potencial é definida apenas para campos conservativos, o que não é o caso do campo magnetostático. Por outro lado, o campo magnetostático é um campo que não realiza trabalho, pelo que as considerações energéticas parecem à primeira vista descabidas. No entanto, faz todo o sentido perguntar pela energia necessária para gerar um campo magnético, isto é, pela energia necessária para colocar em movimento as cargas eléctricas origem das correntes que geram um campo magnético. Para isso, é necessário realizar trabalho. Mas, novamente, colocar cargas em movimento representa uma situação que, para ser compreendida cabalmente, necessita dos recursos da electrodinâmica. Não deixamos de indicar desde já o resultado para a energia W armazenada no campo magnético, que obteremos posteriormente, mas cuja semelhança formal com o resultado obtido na electrostática não é mera concidência: W = τ 1 2µ 0 B 2 dτ (5.22) Existe pois uma energia armazenada num circuito onde circula uma corrente I, que verificaremos ser proporcional a I 2. W = 1 2 L I2 (5.23) onde L se designa auto-indutância do circuito. 87

96 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática 5.2 Magnetismo em meios materiais Através da equação (5.17) concluímos que o momento magnético de uma espira é simplesmente proporcional ao momento angular das cargas responsáveis pela corrente (de massa m e carga q), sendo q/2m o factor de proporcionalidade. Esta relação permanece válida mesmo no âmbito microscópico, regido pela mecânica quântica, em que os momentos angulares típicos são da ordem de h = h/2π = J.s, em que h = 6, J.s é a constante de Planck. O momento magnético típico associado a um electrão (designado magnetão de Bohr, µ B ) é assim: µ B = e h 2m e = J/T (5.24) e o momento magnético típico associado a um protão (designado magnetão nuclear, µ N ) é assim: µ N = e h 2m p = J/T (5.25) Os momentos magnéticos associados ao movimento dos electrões são assim cerca de 1800 vezes superiores aos associados aos núcleos, razão pela qual as propriedades magnéticas da matéria são essencialmente devidas à contribuição dos electrões. Assim, quando se fala em magnetismo, em geral subentende-se magnetismo electrónico. 5 A Natureza, no entanto, é cheia de surpresas, e acontece que os electrões, para além do momento magnético que lhes está associado quando possuem momento angular, possuem também um momento magnético intrínseco. Quando se descobriu este momento magnético intrínseco, associado a um momento angular intrínseco, supôs-se que estaria associado à estrutura interna dos electrões e ao momento angular das cargas no seu interior: chamou-se-lhe por isso spin (da palavra inglesa para rodar ). No entanto, no limite do conhecimento actual, não se conhece estrutura interna para os electrões, pelo que a natureza do spin permanece um mistério. 6 Tanto o momento magnético orbital como o momento magnético de spin contribuem para o momento magnético dos átomos e, logo, para o magnetismo dos materiais. Em muitos materiais, os momentos magnéticos totais dos electrões nos átomos acabam por se cancelar mutuamente, conduzindo a um momento magnético total nulo. Sob acção de um campo magnético externo, e conforme recordaremos mais adiante quando revirmos 5 No entanto, o magnetismo nuclear é bem mais do que um mero exotismo, conforme atesta a disseminada técnica de ressonância magnética nuclear, vulgarizada sobretudo devido à sua extraordinária utilidade na imagiologia médica. Esta técnica serve-se da possibilidade de orientar os momentos magnéticos nucleares num campo magnético externo. 6 Na descrição quântica e relativística, os electrões são descritos pela chamada equação de Dirac, que inclui naturalmente o spin e também os positrões - anti-matéria. No entanto, esta equação não esclarece a natureza de um nem de outro. 88

97 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática as leis de Faraday e de Lenz, os electrões são induzidos a criar um (pequeno) momento magnético que contraria a acção do campo externo, de forma análoga à que estudámos nos materiais dieléctricos, gerando um momento magnético por unidade de volume do material (designado magnetização). Estes materiais são assim repelidos por um íman e dizem-se diamagnéticos. O diamagnetismo, no entanto, está presente em todos os materiais, embora só adquira importância nos materiais que apenas apresentam este comportamento. Noutros materiais, os momentos magnéticos totais dos electrões nos átomos não se cancelam, apresentando os átomos um momento magnético diferente de zero. Estes materiais tendem a ser atraídos por um íman 7 e temos de distinguir aqui dois casos: o caso mais simples é o dos materiais em que os momentos magnéticos atómicos podem ser considerados isolados no material: nesse caso, cada momento magnético é independente dos demais e o comportamento global do material pode ser entendido apenas à luz da orientação de um momento magnético num campo externo. Em particular, estes materiais apenas apresentam magnetização enquanto estiverem sujeitos a um campo magnético externo - tais materiais dizem-se paramagnéticos; noutros materiais, bastante mais complexos, 8 os momentos magnéticos interagem entre si, tipicamente através de uma interacção de natureza electrostática, e isso pode conduzir a um ordenamento complexo dos momentos magnéticos dentro do material, conduzindo aos mais variados tipos de ordem - e desordem - magnética. O exemplo mais conhecido de um material onde tal acontece é o ferro, razão pelo qual este tipo de comportamento é globalmente conhecido por ferromagnetismo e os materiais em causa designados por materiais ferromagnéticos. 9 Nos materiais ferromagnéticos puros como o ferro, este ordenamento dos momentos magnéticos atómicos é bastante para sustentar uma magnetização do material mesmo quando já não existe qualquer campo magnético aplicado. Detalharemos este assunto mais adiante. O magnetismo de meios materiais é pois um tema complexo e fascinante, que está longe de ser completamente compreendido, sendo portanto alvo de investigações actuais ao nível mais fundamental. Em particular, note-se que o magnetismo se conta entre as manifestações macroscópicas de um efeito puramente quântico. É possível, com as devidas cautelas, construir uma abordagem muito simples análoga à que desenvolvemos para os dieléctricos, e que passamos a apresentar. 7 O íman é ele próprio feito de material que designaremos ferromagnético e interessantes... e com as mais variadas aplicações tecnológicas... 9 Sendo os ordenamentos magnéticos resultantes muito diversos, há lugar depois a classificações mais precisas como anti-ferromagnetes, ferrimagnetes, vidros de spin... 89

98 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A magnetização: descrição macroscópica Densidade superficial de corrente de magnetizção Consideremos uma superfície plana de área A e espessura z, uniformemente magnetizada com magnetização uniforme M = Mê z. O momento magnético total m é assim, simplesmente: m = M A z (5.26) Podemos pensar esta magnetização como sendo devida a momentos magnéticos microscópicos dm, de área a e corrente I, sendo: dm = I a = M a z (5.27) Conforme esquematiza a figura 5.3, sendo a magnetização uniforme as correntes associadas a cada momento magnético microscópico anulam-se em todos os pontos no interior do material, mas não na superfície lateral, onde subsiste uma corrente superficial I mag, que podemos escrever, a partir da eq. (5.27) como: I mag = M z (5.28) M a x I n z Figura 5.3: (a) Diagrama para o cálculo da corrente equivalente de magnetização devida a uma superfície plana uniformemente magnetizada. 90

99 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A densidade superficial de corrente associada à magnetização, k m, resulta assim: k m = I mag z = M (5.29) A orientação do vector k m vem dada em função da orientação do vector magnetização e da perpendicular ˆn à superfície em cada ponto: k m = M ˆn (5.30). Esta equação pode ser reescrita ainda atendendo à noção de rotacional superficial: rot s M = k m (5.31) Densidade volúmica de corrente de magnetização No caso de a magnetização não ser uniforme, as correntes equivalentes devidas a cada momento dipolar magnético no interior do material não se cancelam necessariamente, conforme ilustra a figura 5.4. Consideremos o caso da figura 5.4(a), onde se representam dois momentos dipolares magnéticos microscópicos separados da distância dy, de espessura dz. Da orientação dos dipolos esquematizada na figura, e da equação (5.28), é possível extrair a contribuição para a componente x da corrente de magnetização devida à variação segundo a direcção y da componente z da magnetização:. I x = (M z (y + dy) M z (y)) dz = M z dy dz (5.32) y Figura 5.4: (a) Diagrama para o cálculo da corrente equivalente de magnetização numa situação de magnetização não uniforme 91

100 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A correspondente contribuição para a densidade volúmica de corrente resulta assim: (J mag ) x = M z (5.33) y. Da mesma forma, a partir da figura 5.4(b), é possível extrair a contribuição para a componente x da corrente de magnetização devida à variação segundo a direcção z da componente y da magnetização:. (J mag ) x = M y z A componente x da corrente de magnetização resulta assim: (5.34) (J mag ) x = M z y M y z (5.35). Este resultado corresponde simplesmente à componente x do rotacional de M. Repetindo o mesmo procedimento para as componentes (J mag ) y e (J mag ) z concluímos que J mag = M (5.36). Note-se que J mag obedece à condição magnetostática J mag = 0. Refira-se ainda que é possível obter os resultados (5.30) e (5.36) directamente a partir do potencial vector do dipolo magnético (equação 5.12) O campo auxiliar H A equação (5.36) dá-nos uma forma de reescrever a lei de Ampère na presença de materiais magnéticos. Limitamo-nos a considerar a soma das correntes livres J f (isto é, as correntes que controlamos livremente e que circulam no material ou fora dele devido a uma acção externa) com as correntes de magnetização J mag : A lei de Ampère resulta assim: isto é: B = µ 0 (J f + J mag ) J = J f + J mag (5.37) ( ) B M = J f (5.38) µ 0 H = J f (5.39) 92

101 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática onde definimos H = B µ 0 M (5.40) aplicando o teorema de Stokes, podemos escrever ainda: C H dl = I f int (5.41) onde I f int = S J f ds representa as correntes livres que atravessam a superfície delimitada pelo circuito fechado C. O campo auxiliar H desempenha nos materiais magnéticos um papel semelhante ao do campo deslocamento eléctrico D nos materiais dieléctricos. Contudo, o campo H é de longe mais útil e, logo, de uso mais frequente. A razão para tal reside no facto de H depender directamente das correntes livres, que em geral correspondem à grandeza física que é directamente controlável experimentalmente (logo tecnologicamente, logo industrialmente). Existe assim em geral um controlo directo do campo H, enquanto que o campo B dependerá também da magnetização presente, que não é facilmente controlável. Por isso, sobretudo em literatura mais antiga, é frequente designar o campo H por campo magnético e o campo B por campo de indução magnética. Trata-se de designações equívocas e que vivamente desaconselhamos: o campo B é que é o campo magnético próprio, do qual decorre a força magnética de acordo com a expressão da força de Lorentz. O campo H é um mero auxiliar matemático que podemos designar simplesmente de campo H. Note-se que no caso dos materiais dieléctricos o problema não se coloca da mesma forma, pois aí não temos em geral controlo directo sobre as cargas livres: a grandeza física mais útil para o controlo experimental (logo tecnológico, logo industrial) é a diferença de potencial, que controla directamente o campo eléctrico resultante e não o campo D. Conforme veremos de seguida, esta diferença tem outras pequenas consequências práticas. 93

102 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A susceptibilidade magnética Tal como nos materiais dieléctricos, também para os materiais magnéticos é útil definir uma susceptibilidade que traduza a forma como a magnetização responde a um campo aplicado. A definição desta susceptibilidade tem no entanto duas particularidades em relação ao que acontece nos materiais dielétricos: a primeira particularidade é que, conforme discutimos, os materiais magnéticos mais relevantes, quer do ponto de vista do interesse fundamental, quer do ponto de vista tecnológico, são os materiais ferromagnéticos, onde pode haver lugar a magnetização mesmo depois da remoção do campo que lhe deu origem; é conveniente tratar pois os materiais ferromagnéticos separadamente; a segunda particularidade é que, conforme discutimos na secção anterior, as correntes livres, e logo o campo auxiliar H, representam uma quantidade mais simples de controlar directamente na execução experimental; há pois toda a conveniência, na definição da susceptibilidade magnética χ m para materiais lineares, isotrópicos e homogéneos, de a definir como o coeficiente de proporcionalidade entre a magnetização e o campo H (em vez do coeficiente de proporcionalidade entre M e B, como poderíamos ser tentados a fazer por analogia com a expressão P = ɛ 0 χ e E): M = χ m H (5.42) Podemos inserir esta definição na definição do campo H, (equação 5.40), resultando: H = B µ 0 χ m H (1 + χ m )H = B µ 0 µ r H = B µ 0 H = B µ (5.43) Onde definimos a permeabilidade magnética relativa do meio µ r e a permeabilidade magnética do meio, µ, como: µ r = 1 + χ m (5.44) µ = µ r µ 0 (5.45) A equação (5.43), em conjunto com a equação (5.39), permite concluir: B = µj f (5.46) Isto é, de forma análoga ao que acontecia nos materiais dieléctricos, nos materiais magnéticos lineares, isotrópicos e homogéneos aplica-se uma lei de Ampère modificada, 94

103 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática em que basta considerar as correntes livres, sendo o efeito das propriedades magnéticas do material tido em conta pela mera substituição µ 0 µ. Note-se que continuamos a ter B = 0, pelo que a eq define completamente o campo Condições de fronteira em superfícies Note-se que, a partir da definição (5.40) e de B = 0, segue imediatamente: H = M (5.47) Importa sublinhar assim que a divergência de H só é nula se também o for a divergência de M. Assim, quanto às condições de fronteira em superfícies, usando os mesmos métodos utilizados anteriormente, facilmente se conclui que: div S H = div S M (5.48) rot S H = K f (5.49) 95

104 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Materiais ferromagnéticos Em alguns materiais os momentos magnéticos atómicos interagem entre si, o que conduz a alinhamentos preferenciais dos momentos magnéticos e a vários tipos de ordem magnética. A ordem magnética mais conhecida e mais simples é o ferromagnetismo, em que a interacção entre os momentos dipolares magnéticos atómicos tende a alinhá-los todos paralelamente uns aos outros. Esta interacção está em geral em competição com a agitação térmica, que tende a desalinhar os momentos magnéticos. Em geral, os momentos magnéticos atómicos em materiais ferromagnéticos organizamse em domínios, isto é, em regiões onde a magnetização é uniforme. Se bem que em cada domínio a magnetização seja máxima (todos os momentos magnéticos atómicos se encontram alinhados), os diferentes domínios no material encontram-se orientados aleatoriamente, o que conduz a uma magnetização global nula. A formação de domínios corresponde à situação em que o sistema minimiza a sua energia total. No entanto, através da aplicação de um campo magnético externo, é possível gerar uma magnetização não nula. O mecanismo microscópico da geração da magnetização num ferromagnete assenta precisamente na alteração das fronteiras do domínio, o que permite que os domínios se orientem progressivamente na direcção preferencial ditada pelo campo. Assim, o efeito do campo magnético consiste, para campos baixos, em alterar as fronteiras dos domínios, favorecendo o crescimento dos domínios cuja magnetização inicial seja paralela ao campo. Se bem que para campos baixos estas alterações sejam reversíveis, à medida que aumentamos o campo externo aplicado (isto é, as correntes livres, isto é, o campo H) as alterações nas fronteiras dos domínios tornam-se irreversíveis. Para campos suficientemente elevados, os próprios domínios começam a orientar-se globalmente na direcção do campo aplicado, até se atingir a magnetização global de saturação. O resultado - extraordinário - é que com a aplicação de campos externos relativamente reduzidos é possível obter campos magnéticos resultantes particularmente intensos, indo à boleia das correntes de magnetização. Isto torna os ferromagnetes materiais de interesse tecnológico particularmente relevante. Se considerarmos agora o que acontece quando reduzimos o campo magnético aplicado (H), verificamos que a magnetização não se reduz imediatamente, pois a diminuição da magnetização requer a criação de domínios (nesse sentido, em medidas precisas é possível identificar pequenos degraus na curva de magnetização). Assim, ao reduzir-se o campo aplicado até zero (H=0), obtém-se uma magnetização não nula, que gera um campo magnético B = µ 0 M não nulo, designado remanência, sendo a magnetização respectiva a magnetização remanente. Para voltar a anular o campo magnético B é agora necessário aplicar um campo externo H c no sentido contrário à magnetização, designado coercividade, sendo H c = M Em materiais de coercividade elevada, por vezes também se define uma outra coercividade, H ci, que corresponde ao campo necessário para voltar a anular a magnetização H ci = B/µ 0. 96

105 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática (a) rotação da magnetização alterações irreversíveis das fronteiras dos domínios alterações reversíveis das fronteiras dos domínios campo aplicado (b) Figura 5.5: (a) Curva de magnetização de um ferromagnete inicialmente desmagnetizado, ilustrando as três fases principais. (b) Curva de histerese de um ferromagnete. 97

106 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática A curva correspondente para a magnetização em funcão do campo aplicado H encontra-se representada na figura 5.5: em (a) a curva correspondente à magnetização de uma amostra inicialmente desmagnetizada e em (b) a curva com o posterior comportamento da magnetização, ilustrando os conceitos de remanência e coercividade. A curva da figura 5.5(b) costuma designar-se curva de histerese. A curva de histerese condiciona fortemente as aplicações dos ferromagnetes, uma vez que (conforme veremos no trabalho prático que dedicaremos a este tema) a energia dissipada (sob a forma de calor) ao longo de um ciclo de histerese é proporcional à área definida pelo ciclo. É costume dividir-se informalmente os materiais ferromagnéticos em duas grandes categorias: os materiais macios, fáceis de magnetizar e de desmagnetizar, caracterizados por uma coercividade e remanência reduzidas e logo por uma curva de histerese de área reduzida, a que corresponde uma dissipação pequena; este tipo de ferromagnetes é particularmente útil em aplicações onde seja necessário efectuar rapidamente e sem grande perdas alterações da magnetização, tais como transformadores, geradores e motores; os materias duros, difíceis de magnetizar e desmagnetizar, caracterizados por uma coercividade e remanência elevadas e logo por uma curva de histerese de grande área, a que corresponde uma dissipação elevada; os magnetes duros são úteis como magnetes permanentes, por exemplo em microfones e altifalantes, em motores, ou em gravação magnética Materiais supercondutores No âmbito das propriedades eléctricas e magnéticas dos materiais, importa detalhar os materiais supercondutores, cuja importância fundamental e tecnológica tem crescido imensamente nas últimas décadas, sobretudo depois da descoberta em 1986 de uma família de óxidos cerâmicos que apresentam propriedades supercondutores até temperaturas superiores à da temperatura da liquefação do ar. A descoberta da supercondutividade, ocorrida em 1911, deve-se a Kammerlingh Onnes, no âmbito de uma série de estudos de materiais em temperaturas muito baixas (da ordem da temperatura da liquefacção do hélio, que acontece para T 4 K, e que foi obtida pela primeira vez no laboratório de K. Onnes). De acordo com os modelos da condução eléctrica, a condutividade é proporcional ao tempo médio entre colisões dos transportadores de carga. Para temperaturas muito baixas, este tempo médio é muito grande e depende essencialmente dos defeitos e impurezas presentes, que origina um valor máximo da condutividade e um valor mínimo da resistividade. Foi este comportamento que K. Onnes descobriu, por exemplo, na prata e no ouro. No entanto, numa amostra muito pura de mercúrio, verificou que a resistividade diminuia gradualmente com a diminuição 98

107 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática de temperatura, tal como para a prata e o ouro, mas que subitamente, abaixo de 4.1 K, desapareciam todos os sinais de resistividade. Esta transição ocorre a uma temperatura bem definida, dita temperatura crítica, T C, o que indica que se trata de uma transição de fase (tal como a ebulição da água, que ocorre a 373 K) entre duas fases (por vezes também designados imprecisamente por estados ): a fase normal e a fase supercondutora. Resistividade nula e correntes persistentes Sendo nula a resistividade no estado supercondutor, a equação J = (1/ρ)E só mantém a sua consistência, se ocorrer E = 0 (5.50) o que permite que haja uma corrente finita no interior do supercondutor. No entanto, experimentalmente é difícil (leia-se: impossível) estabelecer que a resistividade é exactamente zero. Uma das evidências mais fortes em favor não é directa, mas provém do estabelecimento de correntes persistentes num supercondutor. Vejamos como. Consideremos um anel supercondutor sujeito a um campo magnético B; o fluxo φ que atravessa a superfície delimitada pelo anel é: φ = B ds (5.51) A lei de Faraday, que recordaremos no próximo capítulo, assegura que a taxa de variação do fluxo magnético corresponde à força electromotriz induzida, que é simplesmente a circulação do campo eléctrico num circuito (fechado): dφ dt = ɛ = E dl (5.52) Podemos tomar a circulação no interior do anel supercondutor. Sendo nula a resistividade, então temos E = 0 no interior do supercondutor e também: dφ dt = 0 (5.53) O fluxo do campo magnético permanece assim constante. A forma de estabelecer uma corrente persistente num supercondutor é a seguinte. Começa-se com um anel supercondutor acima da temperatura crítica, T C, que se submete a um campo magnético externo B, que origina um fluxo φ no anel. Se agora arrefecermos o material até uma temperatura inferior à temperatura crítica T C, obtemos a fase supercondutora, onde o fluxo magnético permanece constante. Se desligarmos o campo magnético externo, o fluxo permanece, o que implica que o próprio supercondutor gera o fluxo magnético que o atravessa através da geração de uma corrente I. Gerámos assim uma corrente no anel supercondutor, que 99 C

108 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática permanece inalterada enquanto se mantiver o material na fase supercondutora. Experimentalmente, verificou-se já a permanência deste tipo de correntes durante anos, o que constitui o melhor indício de que a resistividade é exactamente nula. Efeito de Meissner-Ochsenfeld e diamagnetismo perfeito Os supercondutores apresentam ainda outras propriedades magnéticas características, ainda mais do que a resistividade nula. O chamado efeito de Meissner-Ochsenfeld constitui modernamente a identificação definitiva da ocorrência da fase supercondutora. Consideremos novamente a nossa espira supercondutora e, partindo de T > T C (fase normal)consideremos a seguinte sequência de passos experimentais: arrefeçamos até T < T C ; liguemos de seguida um campo magnético externo fraco; Tal como anteriormente, o supercondutor garante que o fluxo magnético se mantém constante no seu interior (neste caso φ = 0), o que equivale a dizer que o campo magnético externo fraco não é capaz de penetrar o supercondutor, devido à geração de correntes persistentes. No entanto, se a fase supercondutora for (e é) um estado de equilíbrio termodinâmico, então o estado final não pode depender da sequência de passos experimentais. Façamos então o procedimento ao contrário, partindo da fase normal: ligamos um campo magnético externo, que penetra o material, uma vez que este não está na fase supercondutora; arrefecemos de seguida até T < T C : o supercondutor expele o campo magnético, através da geração de correntes persistentes! Este resultado inesperado da expulsão de um campo magnético externo fraco do interior de um supercondutor designa-se efeito de Meissner-Ochsenfeld e, constitui, conforme indicámos inicialmente, uma das manifestaccões mais características da fase supercondutora. Concluímos assim o seguinte: sob acção de um campo externo fraco H, o campo magnético B no supercondutor é nulo. Da equação (5.40), obtemos então: isto é, da definição de susceptibilidade (eq. 5.42): M = H (5.54) χ m = 1 (5.55) Os supercondutores designam-se assim diamagnetes perfeitos. 100

109 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Supercondutividade de tipo I e de tipo II O que é que acontece se aumentarmos a intensidade do campo magnético externo aplicado? Será que o campo magnético é sempre expulso do interior do supercondutor, independentemente da respectiva intensidade? Experimentalmente, verifica-se existir um campo máximo a partir do qual a supercondutividade é destruída. Nalguns supercondutores, ditos supercondutores do tipo I, é esta destruição da supercondutividade acontece abruptamente a partir de um campo aplicado H c, dito campo crítico; noutros supercondutores, ditos supercondutores do tipo II, a destruição ocorre progressivamente a partir de um campo crítico inferior H c1, em que a fase normal passa a coexistir com a fase supercondutora, ocorrendo o desaparecimento completo da fase supercondutora para campos aplicados superiores ao campo crítico superior H c2. As curvas da magnetização em função do campo aplicado encontram-se esquematizadas na figura 5.6 para os dois tipos de supercondutores. Os campos críticos para os dois tipos de supercondutores são dependentes da temperatura, diminuindo à medida que aumenta a temperatura até se anularem para a temperatura crítica T = T C, conforme ilustra a figura 5.7. A penetração parcial do campo magnético no material que ocorre para os supercondutores do tipo II pode explicar-se recorrendo ao conceito de vórtice, proposto por Abrikosov, em que uma supercorrente circula em torno de um centro de material na fase normal, através do qual penetra o campo magnético. Tipo I Tipo II Figura 5.6: Curvas de magnetização típicas de supercondutores do tipo I e do tipo II. 101

110 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Tipo I Tipo II Figura 5.7: Dependência com a temperatura dos campos críticos, para supercondutores do tipo I e do tipo II. A equação de London e o comprimento de penetração O modelo mais simples capaz de descrever o efeito de Meissner-Ochsenfeld é devido aos irmãos F. e H. London, que o propuseram em No caso de um supercondutor sujeito a um campo magnético externo estático B, o modelo de London descreve uma supercorrente j cuja circulação é simplesmente proporcional ao fluxo do campo magnético aplicado B: j dl = n s e 2 B ds (5.56) C onde n s é a densidade de electrões na fase supercondutora, e e m e são a carga e a massa do electrão, respectivamente. Desta equação resulta, por aplicação do teorema de Stokes: m e e, sendo B = A, vem: j = n s e 2 m e B (5.57) j = n s e 2 m e A (5.58) Esta última expressão é válida também no caso não estático e costuma designar-se equação de London. Da equação de London na forma estática (eq. 5.57) e da lei de Ampère B = µ 0 j resulta: 102

111 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática ( B) = µ 0 n s e 2 m e B = 1 λ 2 B (5.59) onde λ tem dimensões de comprimento e costuma designar-se comprimento de penetração, sendo: λ = ( me µ 0 n s e 2 ) 1/2 (5.60) De facto, se considerarmos um supercondutor plano cuja superfície seja paralela ao plano y z, e aplicarmos um campo paralelo à superfície, B = B 0 ê z, rapidamente concluímos (verifique!) que a equação (5.59) se reduz a: cuja solução é: d 2 B z (x) dx 2 = 1 λ 2 B z(x) (5.61) ( B z (x) = B 0 exp x ) λ (5.62) Assim, a equação de London prevê que o campo magnético decaia exponencialmente no interior do supercondutor, sendo λ o comprimento típico de decaimento (o campo magnético reduz-se do factor e ao fim de um comprimento de penetração). 103

112 R. Vilão Electromagnetismo Magnetostática Figura 5.8: Decaimento do campo magnético na superfície de um supercondutor, ilustrando o conceito de comprimento de penetração. 104

113 Capítulo 6 Electrodinâmica Até agora concentrámo-nos no estudo de dois grandes domínios em que se decompõe o electromagnetismo: a electrostática, que diz respeito a situações em que o campo eléctrico permanece estático, permanecendo as densidades de carga constantes no tempo ( ρ/ t = 0), sendo as correntes nulas (J = 0); encontrámos aí as seguintes equações básicas que descrevem o comportamento do campo eléctrico: E = ρ ɛ 0 (6.1) E = 0 (6.2) a magnetostática, onde nos concentrámos nas situações em que há correntes eléctricas que permanecem constantes no tempo (J 0, J/ t = 0), de tal forma que as próprias distribuições de carga permanecem constantes no tempo ( ρ/ t = 0); encontrámos aí as seguintes equações básicas que descrevem o comportamento do campo magnético: B = 0 (6.3) B = µ 0 J (6.4) Sendo um campo vectorial completamente especificado através da sua divergência e do seu rotacional, em conjunto com as condições de fronteira adequadas, estes dois pares de equações definem assim dois domínios distintos, que podem ser estudados separadamente com vantagem. No entanto, estes dois domínios representam apenas parcelas limitadas, onde se ignoram os efeitos das variações de densidades de carga e de corrente com o tempo. É ao estudo destes efeitos que agora damos início. 105

114 R. Vilão Electromagnetismo Electrodinâmica 6.1 A lei de Ohm revisitada Na secção 4.5 apresentámos uma importante lei empírica que descreve, em condições estacionárias, a corrente que se estabelece em certos materiais por acção de um campo eléctrico: J = σe (6.5) A lei de Ohm, conforme vimos, traduz a existência de uma espécie de atrito viscoso que se opõe ao movimento dos electrões sujeitos ao campo eléctrico. A origem microscópica deste fenómeno reside nas colisões dos electrões com os defeitos e impurezas do material. Em rigor, a lei de Ohm traduz a resistência ao movimento das cargas quando estas são sujeitas a um força externa, independentemente da sua natureza. Em particular, pode escrever-se: J = σf (6.6) Onde f é a força externa sobre as cargas, por unidade de carga. Se a componente magnética da força de Lorentz não for desprezável, teremos: f = E + v B (6.7) No entanto, a lei de Ohm escrita na forma (6.5) constitui a forma mais útil. Note-se que, se a condutividade σ for uniforme, teremos: e, sendo J = 0 na magnetostática: J = σ E (6.8) E = 0 ρ = 0 2 V = 0 (6.9) Ou seja, em magnetostática o potencial no interior do material obedece à equação de Laplace e temos ρ = 0, pelo que qualquer acumulação de carga reside à superfície. O facto de ρ = 0 parece entrar em contradição com a relação (4.4) que encontrámos entre a densidade de corrente e a densidade de carga J = ρv. Recorde-se, no entanto, que a densidade de carga ρ aqui implicada diz respeito apenas às cargas em movimento (em geral os electrões), o que podemos especificar designando-a por ρ e. Já a densidade ρ = 0 que resulta do facto de E = 0 é a densidade de carga total ρ = ρ e + ρ p, pelo que decorre imediatamente que a densidade de cargas fixas ρ p (em geral os iões da rede) contrabalança exactamente a densidade de cargas em movimento ρ e. 106

115 R. Vilão Electromagnetismo Electrodinâmica Lei de Joule Recorde-se que a potência P necessária para manter um corrente I devido a uma diferença de potencial V numa resistência R é: P = V I = R I 2 (6.10) ou, na forma microscópica: P = F v = ρ e E vdτ = ρ e E J dτ = ρ e E (σe)dτ = σ E 2 dτ (6.11) Note-se que a potência descrita pela lei de Joule corresponde à potência necessária para manter uma corrente num material que obedeça à lei de Ohm. Trata-se, conforme sabemos, de potência dissipada sob a forma de calor no material no processo de colisões que origina o atrito viscoso que justifica a lei de Ohm. Esta lei, contudo, não responde à pergunta, de carácter bem mais geral, sobre a energia necessária para criar a corrente, isto é, para fazer com que as cargas adquiram uma certa velocidade, independentemente do carácter óhmico ou não do material onde se encontrem. É a esta pergunta que procuraremos responder de seguida. Para tal, começaremos por analisar os geradores mais simples. 107

116 R. Vilão Electromagnetismo Electrodinâmica 6.2 Geradores e força electromotriz A pilha de Volta Como é que se gera então uma corrente eléctrica? Historicamente, uma das primeiras respostas foi dada por Alessandro Volta, que em 1800 descobriu ser possível gerar uma corrente eléctrica no circuito constituído por dois pedaços de metais diferentes (por exemplo cobre e zinco), embebidos num fluido adequado (designado electrólito, por exemplo água com sal ou ácido sulfúrico). 1 Surgiu assim, a pilha de Volta. Não entraremos nos detalhes de funcionamento da pilha de Volta, fascinantes em si mesmos. Limitamo-nos a apontar que a pilha assenta no facto de a energia total associada aos electrões em cada metal ser diferente (devido à estrutura de bandas que referimos na secção 3.2). Tal conduz a que, ao colocarmos os metais em contacto, os electrões do material com maior energia se transfiram para o material com menor energia. Neste processo, a energia disponibilizada é transferida para os electrões de condução e/ou iões, que podem assim entrar em movimento. Em diferentes tipos de baterias, os mecanismos podem ser os mais variados, embora esteja sempre presente o mesmo princípio básico: é necessária a presença de um mecanismo que realize a transferência de energia para as cargas livres, que adquirem energia cinética Estabelecimento de uma corrente num circuito Ao ligarmos uma bateria, por exemplo uma pilha de Volta, a um circuito de resistência R, gera-se uma corrente ao longo do circuito. Um aspecto extraordinário é o facto de a corrente ser a mesma em todo o circuito, mesmo em zonas muito afastadas da bateria. Como é que isso é possível? A resposta reside na acção do campo eléctrico: à medida que a bateria, através do seu mecanismo específico, coloca os electrões em movimento, estes repelem os electrões do resto do circuito, de forma a manter ρ = 0 em todo o circuito. Se por acaso houver uma acumulação de electrões numa parte do circuito, gerando ρ < 0, o efeito desta densidade de carga será repelir, acelerando, os electrões na direcção da corrente e, simultaneamente repelir, travando, os electrões na direcção oposta à corrente. Este processo, de natureza electrostática, é extremamente rápido (conforme veremos mais adiante, a informação no circuito é transmitida à velocidade da luz no material) e eficiente, originando de forma praticamente instantânea uma corrente uniforme em todo o circuito. 1 As primeiras experiências derivaram da descoberta de que, enconstando dois pedaços de metais diferentes ligados entre si à língua, se gerava um formigueiro; a saliva desempenha aqui o papel de electrólito. 108

117 R. Vilão Electromagnetismo Electrodinâmica Uma aplicação simples: o telégrafo O princípio de funcionamente do telégrafo reside simplesmente neste facto: se tivermos dois pontos afastados ligados por um fio condutor, podemos transmitir informação à velocidade da luz no material do fio simplesmente pelo estabelecimento e interrupção da corrente eléctrica no fio A força electromotriz Verificamos assim que as cargas no circuito estão sujeitas à acção de dois tipos de forças: a força devida à bateria, gerada pelo seu mecanismo específico; designaremos f b a força exercida por unidade de carga; a força electrostática que uniformiza a corrente no circuito; a força electrostática exercida por unidade de carga é simplesmente E; A força total f exercida por unidade de carga é assim: f = f b + E (6.12) esta força total é, neste caso, a força responsável pela densidade de corrente J, sendo: J = σf (6.13) Se integrarmos esta força total por unidade de carga ao longo do circuito completo, obtemos o trabalho realizado por unidade de carga ao longo do circuito: f dl = f b dl = E (6.14) onde usámos o facto de o campo electrostático ser conservativo ( E dl = 0 ). Esta circulação não nula da força total por unidade de carga ao longo do circuito designase força electromotriz. Trata-se de uma designação histórica consagrada, apesar de ser equívoca: a força electromotriz não é uma força, mas corresponde sim à energia por unidade de carga transferida pela bateria. De facto, admitindo por simplicidade que a densidade de corrente J é constante: E = f b dl = J σ dl = 109 I Aσ dl = I 1 dl = R I (6.15) Aσ

118 R. Vilão Electromagnetismo Electrodinâmica Força electromotriz induzida: o gerador Consideremos agora uma forma alternativa de gerar uma força electromotriz - o gerador. Aqui, o mecanismo é puramente mecânico e consiste no seguinte: coloca-se um circuito fechado, de resistência R, na presença de um campo magnético B e aplica-se de seguida uma força externa f ext que faz mover o circuito com velocidade v, retirando-o da zona onde existe o campo, conforme ilustra a figura 6.1. Figura 6.1: Diagrama esquemático de um gerador. Assume-se que apenas a zona sombreada está sujeita a um campo magnético perpendicular ao plano do circuito, que imerge na folha (sentido ). Quando o circuito se desloca com velocidade v, o mesmo sucede com as cargas que o compõem, que ficam assim sujeitas a uma força magnética. Atendendo à orientação da velocidade e do campo magnético, esta força magnética aponta sempre no sentido b a, sendo assim responsável por uma corrente (convencional) neste mesmo sentido. Gera-se assim uma corrente (real) no sentido anti-horário. A força magnética exercida por unidade de carga é f mag = v B e, portanto, a energia transferida por unidade de carga no percurso de comprimento h, isto é, a força electromotriz, é: E = v B h (6.16) 110