Sebenta de exercícios de Álgebra II. Curso: Matemática

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1 Sebenta de exercícios de Álgebra II Curso: Matemática Ano Lectivo 2004/ de Fevereiro de 2005 (versão 1.1)

2 Índice Notas Prévias Notações e terminologia ii iii 1 Noções sobre relações, aplicações e cardinais Conjuntoserelações Aplicações Númeroscardinais Anéis Anéisesubanéis Morfismosdeanéis Ideais Relaçõesdecongruência.Anéisquociente Divisores de zero. Domínios Anéisdedivisão.Corpos Divisibilidade Anéis de polinómios Polinómiosnumaindeterminada Divisibilidade de polinómios Irredutibilidade de polinómios Módulos Módulosesubmódulos Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres Morfismosdemódulos Módulos quociente. Teoremas de isomorfismos Bibliografia 38 i

3 Notas Prévias Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente um conjunto de exercícios soltos. Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nas referências [1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, que alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento de Matemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sinceros e profundos agradecimentos. N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, este caderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções 1. 1 apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentários e correcções, de preferência, enviados para [email protected]. ii

4 Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; oconjuntovazio N = f0, 1, 2, 3, g o conjunto dos números naturais Z = f, 2, 1, 0, 1, 2, g oconjuntodosnúmerosinteiros n o x Q = y 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z nf0g oconjuntodosnúmerosracionais R oconjuntodosnúmerosreais C o conjunto dos números complexos Sendo X 2 fn, Z, Q, Rg, representaremos por X >0,X 0 seguintes conjuntos: e X 6=0, respectivamente, os X >0 := fx 2 X : x>0g X 0 := fx 2 X : x 0g X 6=0 := fx 2 X : x 6= 0g. Como exemplos, o conjunto R 0 := fx 2 R : x 0g =[0, +1[, representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R nf0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. Faremos também uso do símbolo C 6=0, para representar o conjunto C nf0g. De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo := quer designar a igualdade de duas entidades por definição. Iremos representar por card(a) o cardinal do conjunto A. Osímbolo v representauma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo R um anel e A um subconjunto de R, para abreviar a expressão A é um subanel de R, usamos o simbolismo A v R. iii

5 Tabela de Símbolos Y X Inj(X, Y ) Surj(X, Y ) Bij(X, Y ) Mor(R, S) (=Hom(R, S)) End(R) Mono(R, S) Epi(R, S) Bim(R, S) Sect(R, S) Retr(R, S) Iso(R, S) Aut(R) Emb(R, S) U l (R) (resp., U r (R), U(R)) I l (R) (resp., I r (R), I(R)) R (A) (resp., (A) R, (A)) P (R) hai (resp., R hai) F k o conjunto de todas as aplicações de X em Y o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y o conjunto de todos os morfismos de R em S o conjunto de todos os endomorfismos em R o conjunto de todos os monomorfismos de R em S o conjunto de todos os epimorfismos de R em S o conjunto de todos os bimorfismos de R em S o conjunto de todas as secções de R em S o conjunto de todas as retracções de R em S o conjunto de todos os isomorfismos de R em S o conjunto de todos os automorfismos em R o conjunto de todos os mergulhos de R em S o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de R o conjunto de todos os ideais (esq., direitos, bilaterais) de R ideal esquerdo (resp., direito, bilateral) gerado por A o conjunto de todos os elementos primos de R o subanel (resp., R-submódulo) gerado por A um corpo finito com k elementos iv

6 1. Noções sobre relações, aplicações e cardinais 1.1. Conjuntos e relações 1.1.1) Seja ρ uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostrequeadefinição de relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições: i) I A µ ρ. ii) ρ µ ρ 1. iii) ρ ± ρ µ ρ. a)mostreaindaquesetemρ = ρ 1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a i), ii ) ρ = ρ 1 e iii) ) Sejam A um conjunto qualquer e ρ uma relação de equivalência definida em A. Mostre que: a) 8a 2 A, a 2 [a]. b) 8a, b 2 A : aρb, [a] =[b]. c) As classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ouseja, i) 8a 2 A, [a] 6= ;. ii) 8a, b 2 A :[a] S 6= [b] =) [a] \ [b] =;. iii) 8a 2 A : [a] =A. a A 1.1.3) Sejam A um conjunto qualquer e C := fa i µ A : i 2 Ig µp(a) uma partição de A. Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classes de equivalência dos elementos de A. Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 A aρb () 9i 2 I :(a 2 A i ^ b 2 A i ) ) Seja n 2 N. Mostre que a relação definida para todo o a, b 2 Z por: a b (mod n) () 9k 2 Z : a +( b) =k n é uma relação de equivalência. números inteiros. Esta relação é a relação usual de congruência dos 1.1.5) Sejam A, B µ X. Mostre que a relação ρ definida para todo o A, B 2P(X) por: AρB () A µ B _ B µ A éumarelaçãoreflexiva, simétrica mas não transitiva. 1

7 1.1.6) Considere-se a relação» definida para todo o elemento de N 2 por: (a, b)» (c, d) () a + d = b + c. Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relação define-se Z := N2 e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro ) Seja A := fa, b, c, d, eg econsideremosasrelaçõesρ i, i =1,...,8 definidas em A. a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências: 1) ρ 1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g. 2) ρ 2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g. 3) ρ 3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g. 4) ρ 4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade). 5) ρ 5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g. 6) ρ 6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g. 7) ρ 7 := ; (relação vazia). 8) ρ 8 := A A (relação universal). b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ 4, A/ρ 6 e A/ρ ) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações: R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f,h)g definidas, respectivamente, em A B e B C. DetermineS ± R ) Sejam S := Z Z 6=0 e ρ := f((r, s), (t, u)) 2 S 2 : r u = s tg. Mostre que ρ éuma relação de equivalência em S. 2

8 1.2. Aplicações 1.2.1) Sejam A e B conjuntos quaisquer e f : A! B uma aplicação e considere a relação para todo x, y 2 A xρ f y () f(x) =f(y). Mostre que ρ f é uma relação de equivalência ) Considere uma relação de equivalência qualquer, ρ, definida em A. a) Mostre que existe uma aplicação h : A! A/ρ sobrejectiva. b) Considere uma aplicação f : A! B qualquer, tal que f é compatível com ρ, ou seja, 8x, y 2 A : xρy =) f(x) =f(y). Defina g, i.e., a sua lei de transformação, de modo que o diagrama A h - f? ª B g seja comutativo, ou seja, g ± h = f. c) Mostra ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva. d) Mostre também que, f é bicompatível com ρ se, e só se, g éinjectiva ) Seja f : A! B uma aplicação que preserva as relações, ou seja, A ρ 8a, b 2 A : aρb =) f(a)ρ 0 f(b). a) Mostre que existe uma única aplicação f : A/ρ! B/ρ 0 tal que o seguinte diagrama f A? B ν A ν B é comutativo. Diz-se que f é a aplicação induzida por f. Reciprocamente, se para duas quaisquer aplicações f e f o diagrama é comutativo, então f é a aplicação que preserva a relação e, f é a aplicação induzida por f. b) Sejam A = B := Z, ρ := (a, a 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 4) ª, ρ 0 := (b, b 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 2) ª e f : A! B uma aplicação que preserva a relação, definida por f(n) :=n. Sendo f : A/ρ! B/ρ 0 mostre que: 1) f ([0] 4 )=f ([2] 4 )=[0] 2. 2) f ([1] 4 )=f ([3] 4 )=[1] ) Mostre que se f : X! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintes aplicações: A ρ B ρ 0 f?

9 a) f : P(X)!P(Y ). b) f : P(Y )!P(X) ) Sejam f : X! Y uma aplicação, (A i ) i I umafamíliadesubconjuntosdex e (B i ) i I uma família de subconjuntos de Y.Mostreque: a) f( S A i )= S f(a i ). i I i I b) f( T A i ) µ T f(a i ). i I i I c) f 1 ( S B i )= S f 1 (B i ). i I i I d) f 1 ( T B i )= T f 1 (B i ). i I i I 1.2.6) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : B! A tal que g ± f =id A. (A g chama-se a inversa esquerda de f ediz-sequef é uma secção). b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : B! A tal que f ± g =id B. (A g chama-se a inversa direita de f ediz-sequef é uma retracção). c) f é bijectiva se, e só se, existe g : B! A tal que g ± f =id A ^ f ± g =id B. (A g chama-se função inversa de f ediz-sequef éumisomorfismo). d) Mostre que a aplicação inversa de f é única e, portanto, faz sentido representá-la por f 1 (f 1 : B! A) ) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, para todo o conjunto C e para todo o par de aplicações g,g 0 : C! A então tem-se que: f ± g = f ± g 0 =) g = g 0. (Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um monomorfismo). b) f ésobrejectivase,esóse,paratodooconjuntoc e para todo o par de aplicações g,g 0 : B! C então tem-se que: g ± f = g 0 ± f =) g = g 0. (Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um epimorfismo) ) Sejam f : A! B e g : B! C aplicações quaisquer: a) Mostre que a composição de aplicações, g ± f, é uma aplicação. b) Mostre que a composição de aplicações injectivas, g ± f, é uma aplicação injectiva. c) Mostre que a composição de aplicações sobrejectivas, g ± f, é uma aplicação sobrejectiva. d) Mostre que a composição de aplicações bijectivas, g ± f, é uma aplicação bijectiva. e) Se g ± f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva. f) Se g ± f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva. 4

10 1.3. Números cardinais 1.3.1) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equipotente ou equipolente a B erepresenta-sepora ' B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de A em B. Mostre que a seguinte relação: A ' B () 9f 2 B A : f 2 Bij(A, B) é uma relação de equivalência. Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se card(a) =card(b) () A ' B ) Mostre que para quaiquer conjuntos A e fyg, tem-se que A fyg 'A ) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Mostre que, A ' B )P(A) 'P(B) ) Seja A um conjunto qualquer. Mostre que, P(A) 'f0, 1g A. (Sugestão: Considere as relações f : P(A)!f0, 1g A e g : f0, 1g A!P(A) definidas, respectivamente, por B 7! χ B e h 7! h 1 (f1g).) 1.3.5) Seja A um conjunto qualquer. Mostre que, existe uma aplicação injectiva de A!P(A) ) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação definida por: card(a) card(b) () 9f 2 B A : f 2 Inj(A, B) é uma relação de ordem parcial. (Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermos aplicações injectivas de A em B edeb em A, entãocard(a) =card(b)). 5

11 2. Anéis 2.1. Anéis e subanéis 2.1.1) Mostre que num anel com elemento identidade (R;+,, 0 R ) tem-se que 0 R =1 R se, e só se, o conjunto suporte de (R;+,, 0 R ) tem um único elemento ) Mostre que se num conjunto singular definirmos duas operações binárias, então ele é um anel multiplicativo e comutativo ) Verifique se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis e, indique, os que são comutativos e os que tem identidade: a) (M n n (R); +,,O n n ), onde R éumanel. Em particular, com R := Z, obtemosoanelm n n (Z). b) Z n ;+,, 0 n, 1 n,onden 2 N. c) Q p p p p ;+,, 0,ondeQ p := x + y p 2 R : x, y 2 Q ^ p 2 P (N 2 ) ª eas operações binárias são definidas por: (a + b p p)+(c + d p p):=(a + c)+(b + d) p p (a + b p p) (c + d p p):=(ac + pbd)+(ad + bc) p p. Em particular, conclua que Z p p éumanel. d) (2Z;+, ), onde + é a soma usual e a operação binária édefinida por: m n := 1 2 mn. e) R com as operações binárias θ e θ 0 definidas por: xθy := x + y e xθ 0 y := 2xy. f) A := f(x, 1) 2 R 2 : x 2 Rg e as operações θ e θ 0 definidas por: (x, 1)θ(x 0, 1) := (x + y, 1) e (x, 1)θ 0 (x 0, 1) := (xy, 1). g) fa, bg com as operações binárias + e definidas através das seguintes tabelas: + a b a a b b b a e a b a a a b a b ) Seja (R;+, 0 R ) um grupo abeliano no qual se introduz a operação binária definida para todo o a, b 2 R por a b =0 R. Mostre que (R;+,, 0 R ) éumaneleverifique se este anel tem identidade. 6

12 2.1.5) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A um conjunto qualquer. a) Mostre que R A é um anel (resp., anel unitário) para as operações usuais de adição e multiplicação de funções, onde para todo o x 2 A: (f + g)(x) :=f(x)+g(x) e (f g)(x) :=f(x) g(x). b) Indique condições para que R A seja um anel comutativo. c) Mostre que se A := R, entãor R é um anel (resp., anel unitário). d) Mostre que, em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., R R é um anel unitário comutativo. Estude ainda como caso particular o conjunto R [a,b] ) Sejam (R;+ R, R, 0 R ) e (S;+ S, S, 0 S ) (resp., (R;+ R, R, 0 R, 1 R ) e (S;+ S, S, 0 S, 1 S ) anéis unitários) e R S oprodutocartesianoder e S. a) Mostre que R S é um anel (resp., anel unitário) se definirmos as seguintes operações binárias: 8a 1,a 2 2 R, 8b 1,b 2 2 S, (a 1,b 1 )+(a 2,b 2 ):=(a 1 + R a 2,b 1 + S b 2 ) e (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ):=(a 1 R a 2,b 1 S b 2 ). Este anel (resp., anel unitário) é o produto cartesiano dos anéis R e S e, também é conhecido por produto directo (externo) dos anéis R e S. b) Generalize para o produto cartesiano de n anéis (resp., anéis unitários) distintos. n z } { Conclua que, em particular, R n := R R R é um anel (resp., anel unitário) ) Seja R um anel. Mostre que para todo o a, a 1,..., a n,b 1,b 2,..., b n 2 R tem-se que: a) a(b 1 + b b n )=ab 1 + ab ab n. b) (b 1 + b b n )a = b 1 a + b 2 a + + b n a. µ n P Ã! mp P c) a i b j = n mp a i b j. i=1 j=1 i=1 j= ) Sejam R um anel e a, b, c 2 R. a) Mostre que para o grupo aditivo do anel tem-se que: 1) Oelementoneutroaditivodoanel,0 R, é único. 2) Cada elemento de R tem um único simétrico. 3) ( a) =a. 4) (a + b) =( a)+( b). 5) Se a + b = a + c, entãob = c (analogamente, b + a = c + a, entãob = c). 6) Cada uma das equações a + x = b e x + a = b tem uma única solução. b) Mostre que para o semigrupo multiplicativo do anel tem-se que: 1) 0 R a = a0 R =0 R. 2) Se o anel tem elemento unidade 1 R,então( 1 R )a = a. 3) a( b) =( a)b = (ab). 7

13 4) ( a)( b) =ab. 5) a(b c) =ab ac e (b c)a = ba ca ) Prove que num anel R são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m, n 2 Z e a, b 2 R: a) (m + n)a = ma + na. b) (mn)a = m(na). c) m(a + b) =ma + mb. d) n(ab) =(na)b = a(nb). e) (ma)(nb) =(mn)ab ) Prove que num anel R com elemento unidade são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m, n 2 N e a, b 2 R: a) a n a m = a n+m. b) (a n ) m = a nm. c) Se a e b comutam, então (ab) n = a n b n. d) Se a e b comutam, então a m b n = b n a m ) Seja R um anel e a, b 2 R elementos permutáveis. Mostre que se tem: a) a( b) =( b)a. b) ( a)( b) =( b)( a). c) (a + b) n = a n + n 1 a n 1 b + n 2 a n 2 b n n 1 ab n 1 + b n,onde n k := n! k!(n k)! ) Mostre que para todo o a, b 2 R, a 2 b 2 =(a + b)(a b) se, e só se, R éumanel comutativo ) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A µ R. Mostre que A é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, verificaoseguinte: i) 0 R 2 A (resp., 1 R 2 A); ii) 8x, y 2 R : x, y 2 A ) x +( y) 2 A; iii) 8x, y 2 R : x, y 2 A ) xy 2 A ) Verifique nas alíneas seguintes se os subconjuntos são subanéis do respectivo anel e, indique, os que são comutativos e os que tem identidade: a) Considere o anel R [a,b] eosubconjuntoa := f 2 R [a,b] : f(b) =0 ª. b) Considere o anel R R eosubconjuntoc(r, R) de todas as funções contínuas reais de variável real. c) Considere o anel (M 2 2 (Z); +,,O 2 2 ) e os seguintes subconjuntos dele: ½ ¾ a b 1) 2 M c d 2 2 (Z) :c = d =0. ½ ¾ a b 2) 2 M c d 2 2 (Z) :c =0. 8

14 ½ a 3) c ½ a 4) c ½ a 5) c b d b d b d ¾ 2 M 2 2 (Z) :b = c =0. ¾ 2 M 2 2 (Z) :b = d =0. ¾ 2 M 2 2 (Z) :b = c =0^d = ) Seja R um anel unitário. Mostre que: a) Se a, b 2 U(R) ) ab 2 U(R). b) Se a n 2 U(R) ) a 2 U(R). c) Se a, b 2 U(R), então não necessariamente se tem que a + b 2 U(R) ) Determine: a) U (Z 8 ). b) U (M 2 2 (Z)) (anel definido no exercício com R := Z e n := 2). c) U Z p 2 (anel definido no exercício com p := 2) ) Mostre que no anel Z n, tem-se que para todo o n 2 Nnf0, 1g, n 1 2 U(Z n ) ) Seja K um corpo. Mostre que: a) O conjunto U(M n n (K)), que se representa por: GL n (K) :=fa 2 M n n (K) :A éinvertívelg é um subgrupo do monóide multiplicativo do anel unitário M n n (K). b) O conjunto de todas as matrizes diagonais invertíveis, Diag(GL n (K)), é um subgrupo de GL n (K) ) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A, B v R. Mostreque: a) A \ B v R, i.e, a intersecção de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R. Generalize para uma família infinita (A i ) i I de subanéis de R. b) A [ B v R, A µ B _ B µ A, i.e., a união de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, um deles está contido no outro. c) Se A B µ A ^ B A µ B ) A + B v R, i.e., a soma de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se o produto delesestácontidoemambososfactores. d) Se B A µ A B ) A B v R, i.e., o produto de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R seoprodutodo segundo pelo primeiro está contido no produto do primeiro pelo segundo. MostrequesetemarecíprocanocasodeR ser anel unitário ) Sejam R um anel e X µ R. MostrequehXi é um subanel de R. 9

15 2.1.21) Sejam R um anel e A µ R. O centralizador de A em R édefinido como sendo o conjunto C R (A) :=fx 2 R : 8a 2 A, ax = xag. a) Mostre que o centralizador é um subanel de R. No caso particular de A := R, chama-se centro do anel R erepresenta-sepor: Z(R) :=fx 2 R : 8r 2 R, xr = rxg. b) Indique qual é o centro se o anel for comutativo ) Sejam (R;+,, 0 R, 1 R ) um anel unitário e R op := (R;+, op, 0 R, 1 R ),ondeparatodoo x, y 2 R, x op y := y x. Mostre que R op é um anel unitário. Ao anel unitário R op chama-se anel oposto do anel R ) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) Se A é subanel de um anel R que contém uma unidade b, entãoa contém b 1. b) Num anel de característica 2, qualquer elemento é simétrico de si próprio. c) Um anel finito pode ter característica zero. d) A característica de um anel é sempre um número primo. e) A característica de um corpo é sempre um número primo. 10

16 2.2. Morfismos de anéis 2.2.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos de anéis e, em cada caso afirmativo, determine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo: a) f : Z! Z definida por f(a) :=3a. b) f : Z! Z definida por f(a) :=a 2. c) f : Z 6! Z 3 definida por f([a] 6 ):=[a] 3. d) f : C! R definida por f (z) :=jzj. e) f : C! R definida por f (z) :=Re(z). f) f : C! C definida por f (z) :=iz. g) f : C! C definida por f (z) :=z. h) f : M n n (R)! M n n (R) definida por f (A) :=A T. i) f : M n n (R)! R definida por f (A) :=det(a) ) Sejam R, S anéis (resp., anéis unitários) e f : R! S um morfismo de anéis (resp., anéis unitários). Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, f é um monomorfismo. b) f é sobrejectiva, então f éumepimorfismo. Será que a recíproca é verdadeira? 2.2.3) Sejam (R;+ R, R, 0 R ), (S;+ S, S, 0 S ) anéis e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que: a) f (0 R )=0 S. b) 8n 2 Z, 8a 2 A, f (na) =nf (a). Em particular, f( a) = f(a). c) Se A v R, entãof (A) v S. d) Se B v S, entãof 1 (B) v R. e) f 2 Inj(R, S) se, e só se, Ker(f) =f0 R g ) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que: a) Mor(R, S) não é um subanel do anel S R para as operações + e demorfismos. b) End(R) não é um anel para as operações + e demorfismos. c) Mor(R, S) é um subanel do anel S R para as operações + e defunções(não de morfismos) (resp., anel unitário). Em particular, quando S := R, entãoend(r) é um anel (resp., anel unitário) ) Sejam R e S anéis e S é comutativo. Indique, condições, para que se tenha o seguinte: a) f,g 2 Hom(R, S), entãof + g 2 Hom(R, S). b) f,g 2 Hom(R, S), entãof g 2 Hom(R, S). c) Com a(s) condição(ões) que deduziu será que Hom(R, S) éumanel,paraas operações de + e demorfismos de anéis? Em particular, quando S := R, entãoend(r) éumanel. 11

17 2.2.6) Seja R um anel. Mostre que: a) (R R ;+, ±,c 0R ) não é um anel. b) (End(R); +, ±,c 0R ) não é um anel ) Considere o grupo comutativo (M;+, 0 M ).Mostreque: a) (End(M); +, ±,c 0M, id M ) é um anel unitário, a que se chama o anel dos endomorfismos de M. b) Sendo R um anel a relação ρ : R! End(M) definida por ρ(x) := f x éum morfismo de anéis. (Se A v End(M), entãodiz-sequeρ : R! A é uma representação do anel R em A.) 2.2.8) Mostre que as seguintes aplicações são morfismos e classifique-os: a) f : Z p 2! Z p 2 definida por a + b p 2 7! a b p 2. b) f n :(Z;+,, 0)! Z n ;+ n, n, 0 n,onden 2 N6=0 um elemento arbitrário mas fixo edefinida por x 7! x n. a b c) f : C! M 2 2 (R) definida por f(a + bi) 7!. b a d) f : M n n (R)! M n n (R) definida por f(a) 7! P 1 AP, onde P 2 U(M n n (R)) ) Sejam (R;+ R, R, 0 R ), (S;+ S, S, 0 S ) e (T ;+ T, T, 0 T ) anéis. Mostre que: a) R» = R. b) Se R» = S, entãos» = R. c) Se R» = S e S» = T,entãoR» = T ) Sejam R e S anéis. Mostre que se R» = S, entãochar(r) =char(s) ) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que para qualquer morfismo de anéis (resp., anéis unitários) f 2 Mor(R, S) tem-se que: a) Se A v R, então f 1 (f(a)) = A +Ker(f) e Ker(f) µ A +Ker(f). Em particular, se b := f(a) 2 Im(f), entãof 1 (fbg) =fag +Ker(f). b) Se B v S, então f(f 1 (B)) = B \ Im(f). c) Se g 2 Mor(S, T ), então Ker(g ± f) =f 1 (Ker(g)) e Im(g ± f) =g(im(f)) ) Sejam (R;+,, 0 R ), (S;+,, 0 S ) anéis e f : R! S um isomorfismo de anéis. Prove que: a) Se R é comutativo, então S é comutativo. b) Se R tem identidade 1 R,entãoS tem identidade f (1 R ). c) Se a 2 U(R), entãof (a) 2 U(S). d) Se R é corpo, então S écorpo ) Mostre que não existe nenhum isomorfismo (de anéis) entre os anéis (Z;+,, 0) e (2Z;+,, 0). 12

18 2.3. Ideais 2.3.1) Seja R um anel. a) Mostre que f0 R g e o próprio anel R são ideais de R. b) Mostre que se X := fx 1,x 2,..., x n gµr, entãox µ (X) ) Sejam R um anel unitário e I E R. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: i) 1 R 2 I. ii) I contém uma unidade. iii) I = R ) Seja R um anel unitário comutativo. Determine: a) (1 R ) e (0 R ). b) (u), ondeu 2 U(R) ) Sejam R um anel, B v R e I,J E R. Mostreque: a) B + I v R. b) I + J E R. c) I J E R. d) I \ J E R. Generalize para uma família (finita ou infinita) de ideais de R. e) I \ B E B. f) Se I µ B µ A, entãoi E B. 1) R (B I) E R (resp., (I B) R E R). 2) Se R é um anel comutativo, então I B E R (resp., B I E R). g) Se I,J µ B, entãoi + J E B ) Sejam R um anel e I,J,K E R. Mostre que se tem: a) I +(0 R )=(0 R )+I = I. b) I +(J + K) =(I + J)+K. c) I (J K) =(I J) K. d) I (J + K) =(I J)+(I K) e (I + J) K =(I K)+(J K). e) I (J \ K) µ (I J) \ (I K). f) Se J µ I, entãoi \ (J + K) =J +(I \ K) ) Sejam R um anel unitário e a, b 2 R. Mostreque: a) Se a, b 2 Z(R), então(a b) =(a) (b). b) (fa, bg) =(a)+(b). c) (fag fbg) µ (a) (b) ) Seja I (R) o conjunto de todos os ideais do anel (R;+,, 0 R ). Classifique I (R) como estrutura algébrica, relativamente às operações de soma e produto de ideais de R. 13

19 2.3.8) Sejam R um anel e A 2P 6= (R). Os conjuntos Ann R (A) :=fr 2 R : 8a 2 A, ra =0 R g e Ann(A) R := fr 2 R : 8a 2 A, ar =0 R g chamam-se, respectivamente, anulador esquerdo e anulador direito de A em R. Mostre que: a) Ann R (A) E R. b) Ann(A) R E R. c) Se A E R, entãoann R (A) e Ann(A) R são ambos ideais (bilaterais) de R. d) Se R é um anel unitário, então Ann R (A) = Ann(A) R = f0 R g ) Sejam R um anel e a, b 2 R. Mostreque(fa, bg) =(a)+(b). Generalize para fx 1,x 2,...,x n gµr, i.e., (fx 1,x 2,...,x n g)=(x 1 )+(x 2 )+ +(x n ) ) Sejam R um anel e a 2 R. a) Prove que (a) R E R (resp., R (a) E R). b) Mostre que é o menor (no sentido de contido) ideal direito (resp., esquerdo) que contém o elemento a. c) Se a é um elemento idempotente, então a 2 (a) R. d) Se R tem identidade, então a 2 (a) R. e) Se I E R tal que a 2 I, então R (a) µ I ) Seja R um anel. Mostre que para qualquer elemento a 2 R tem-se que: ½ P a) (a) = na + at + pa + k r i as i 2 R : n 2 Z, t, p, r i,s i 2 R, k 2 N 6=0 ¾. i=1 b) Dê um aspecto mais simplificado no caso de R ser um anel unitário ) Mostre que para qualquer anel unitário R e a 2 R tem-se que: ( kx ) (a) = r i as i 2 R : s i,r i 2 R, k 2 N 6=0 = RaR. i= ) Seja R um anel comutativo. Mostre que: a) 8a 2 R, (a) =(a) R = R (a). b) se I,I 0 E R tais que I + I 0 = R, entãoi \ I 0 = I I 0. c) Z(R) =R. O que conclui quanto à recíproca, i.e., se Z(R) =R, entãor éum anel comutativo? ) Considere o anel unitário (M 2 2 (Z);+,,O 2 2,I 2 2 ). a) Determine Z (M 2 2 (Z)). b) Será que Z (M 2 2 (Z)) E M 2 2 (Z)? ) Prove que no anel dos inteiros (Z;+,, 0, 1) todo o ideal é principal. 14

20 2.3.16) Mostre que para todo o n 2 N, o conjunto nz := fnk 2 Z : k 2 Zg é ideal de (Z;+,, 0, 1) ) Em Z, determine os seguintes ideais indicando qual o seu gerador: a) (2) + (5). b) (2) + (6). c) (2) \ ((5) + (6)). d) (2) ((5) \ (6)). e) (8) \ (12). f) (8) (12) ) Determine todos os ideais do anel unitário Z n ;+,, 0 n, 1 n no seguintes casos: a) n =4. b) n =11. c) n =12. d) n =6, mas somente para 4 6 e ) Considere os seguintes subconjuntos de matrizes em (M 2 2 (Z); +,,O 2 2,I 2 2 ): ½ ¾ ½ ¾ a b a b B := 2 M c d 2 2 (Z) :a = b =0. C := 2 M c d 2 2 (Z) :c = d =0. ½ a D := c b d ¾ ½ a 2 M 2 2 (Z) :a = c =0. E := c b d ¾ 2 M 2 2 (Z) :b = d =0. a) Mostre que D e E são ideais esquerdos mas não direitos de M 2 2 (Z). b) Mostre que B e C são ideais direitos mas não esquerdos de M 2 2 (Z). c) Dê exemplos de subconjuntos de matrizes que não sejam nem ideais esquerdos nem direitos de M 2 2 (Z). d) Determine em M 2 2 (Z), ½ os elementos ¾ do ideal esquerdo do exercício a), considerando para tal A := ) Sejam R um anel e I E R. Mostreque: a) O centralizador de I em R, C R (I) :=fx 2 R : 8i 2 I, xi = ixg éumidealder. Averigúe, o que acontece, se I é apenas um subconjunto de R. b) Z(R) E R ) Sejam R, S anéis, I,I 0 E R, J E S e f : R! S um morfismodeanéis.mostreque: a) Ker(f) E R. b) Se f 2 Surj(R, S), entãoim(f) E S. c) f(i) E Im(f). d) Se f 2 Surj(R, S), entãof(i) E S. e) f 1 (J) E R. f) Se (a) R é um ideal direito de R, entãof((a) R )=(f(a)) S. g) f(i + I 0 )=f(i)+f(i 0 ). h) Se R é anel comutativo, então f(i I 0 )=f(i) f(i 0 ). i) f(i \ I 0 ) µ f(i) \ f(i 0 ), com a igualdade se Ker(f) µ I _. Ker(f) µ I 0. 15

21 2.4. Relações de congruência. Anéis quociente 2.4.1) Sejam R um anel e ρ uma relação de congruência definida em R. Sendo [0 R ] aclasse do zero, mostre que [0 R ] E R ) Sejam R um anel, ρ uma relação de congruência definida em R, I E R e X µ R. Mostre que: a) X/ρ = X + I. b) Se A v R, entãoa/ρ = A + I. c) Se J E R, entãoj/ρ E R. d) Se A v R, entãoa = A + I se, e só se, I µ A ) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e I E R. Mostre que R/I éumanel(resp., anel unitário) ) Sejam R um anel e I E R. Mostreque: a) se R é comutativo, então R/I é comutativo. b) se R tem identidade, então R/I tem identidade. c) se R é domínio, então R/I não é necessariamente um domínio ) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R/I écomutativose,esóse,paratodoo a, b 2 R, ab ba 2 I ) Sejam R, R 0 anéis (ou anéis unitários) e I E R. Mostreque: a) A relação ν : R! R/I éummorfismo sobrejectivo. b) Se I µ Ker(f), então para todo o morfismo f : R! R 0, existe um morfismo g : R/I! R 0 tal que o seguinte diagrama R ν - R/I f g? ª R 0 é comutativo. Mostre ainda que, nestas condições: 1) I =Ker(f) se, e só se, g 2 Inj(R/I, R 0 ). 2) f 2 Surj(R, R 0 ) se, e só se, g 2 Surj(R/I, R 0 ). 3) Coim(f)» = Im(f) ) Mostre que as únicas imagens epimórficas de Z são os anéis Z n := Z/(n) ) Considere a relação f : Z 12! Z 4,definida por f (a 12 ):=a 4. a) Mostre que f assim definida é uma aplicação. b) Verifique que f éummorfismo de anéis. 16

22 c) Verifique que Z 12 / 4 12»= Z4. d) Construa as tabelas de Cayley para o anel Z 12 / ) Sejam R um anel e I,J E R tais que I µ J. Mostreque: a) I E J. b) J/I E A/I. c) Será que todos os ideais de A/I sãodaformaj/i nas condições do enunciado? ) (2. o teorema do isomorfismo) Sejam R um anel e I,J E R tais que I µ J. Seja f : R/I! R/J arelaçãodefinida por f ([a] I )=[a] J.Mostreque: a) f é uma aplicação. b) f éummorfismo de anéis. c) Ker(f) =J/I. d) f é sobrejectiva. e) Conclua, usando o teorema do homomorfismo, que R/I» J/I = R/J. 17

23 2.5. Divisores de zero. Domínios 2.5.1) Considere o anel unitário ½ (M 2 2 (Z 3 );+,,O 2 2,I 2 2 ),comasomaeoprodutousuais ¾ a3 b de matrizes e, seja A := 3 2 M c 3 d 2 2 (Z 3 ):c 3 = a) Verifique se M 2 2 (Z 3 ) é um domínio. b) Mostre que A éumsubaneldem 2 2 (Z 3 ) everifique se A E M 2 2 (Z 3 ). c) Determine a característica de M 2 2 (Z 3 ) ) Verifique se as seguintes estruturas algébricas são domínios de integridade. a) R R ;+,,c 0R. Será que o subanel (C (R, R);+,,c 0R ) é um domínio de integridade? b) R [a,b]. c) ³Z p 2 ;+,,c 0Z[ 2] ) Considere o anel R 2 onde estão definidas as operações binárias θ e θ 0 definidas por: (x, y)θ(z, t) :=(x + z,y + t) e (x, y)θ 0 (z,t) :=(xz +4yt, xt + yz). Averigúe se o anel tem divisores de zero ) Sejam R um anel e b 2 R 6=0 um elemento idempotente. Mostre que b é um divisor de zero esquerdo ou direito ) Indique um anel R eelementosa, b, c 2 R 6=0 para os quais se tem ab = ac mas, não obrigatoriamente, b = c ) Determine os divisores de zero dos seguintes conjuntos: a) Z 4. b) Z 10. c) Z Z ) Mostre que um anel R 6= f0 R g no qual se tem 8a 2 R 6=0, ar = R é um domínio ) Prove que um anel R 6= f0 R g é um domínio se, e só se, qualquer um dos seus elementos diferentes de zero é simplificável ) Seja R 6= f0 R g um anel. Mostre que R é um domínio se, e só se, (R 6=0 ;, 1 R ) éum monóide ) Prove que se R 6= f0 R g é um domínio, então é válida a lei do corte para o produto no monóide multiplicativo (R 6=0 ;, 1 R ) ) Mostre que um anel R 6= f0 R g é um domínio se, e só se, qualquer equação do tipo ax = b ou xa = b, coma 6= 0 R, admite quando muito uma solução. 18

24 ½ a di c + bi ) Considere o conjunto H := c + bi a + di matrizes: I := e verifique que: i J := i 0 K := ¾ 2 M 2 2 (C) :a, b, c, d 2 R easseguintes a) I, J, K, L 2 H. b) J 2 = K 2 = L 2 = I. c) JK = L. d) KL = J. e) LJ = K. f) KJ = L. g) LK = J. h) JL = K. i) H = fai + bj + ck + dl 2 M 2 2 (C) :a, b, c, d 2 Rg. j) H é fechado para a adição e multiplicação de matrizes. Conclua que (H;+,,O 2 2,I 2 2 ) é um anel unitário. k) 8A 2 H, det(a) 6= 0() A 6= O 2 2. l) H éumaneldedivisão. L := i 0 0 i ) Sejam R um anel unitário comutativo e S um submonóide do seu monóide multiplicativo. Considere a seguinte relação» em R S definida por: (a, s)» (b, s 0 ) () 9t 2 S : t(s 0 a sb) =0 R. a) Mostre que» é uma relação de equivalência em R S. b) Ao conjunto das classes de equivalência representa-se por: R S» := R S := f[(a, s)] µ R S :(a, s) 2 R Sg. Defina-se em R S as seguintes relações, onde a s a s + b := (s0 a + sb) s 0 ss 0 e := [(a, s)], a s b := ab s 0 ss. 0 1) Mostre que estas relações são operações binárias em R S. 2) Mostre que R S é um anel unitário. No caso particular de o anel unitário R ser um domínio de integridade, mais propriamente, R := Z e S := Z 6=0 (ou seja, Z 6=0 é o monóide multiplicativo) define-se Q := Z Z 6=0 e neste caso a relação reveste um aspecto mais simples, s 0 a = sb. 3) Mostre que a relação ν S : R! R S definida por ν S (a) :=[(a, 1 R )] éum morfismo entre anéis unitários tal que para todo o s 2 S, ν S (s) éinvertível. 4) Mostre que ν S éummorfismo injectivo se, e só se, nenhum elemento de S é divisor de zero em R. 19

25 5) Mostre que se f : R! R 0 éummorfismo de anéis unitários tal que para todo s 2 S, f(s) é um elemento invertível, então existe um e um só morfismo g : R S! R 0 tal que o seguinte diagrama ν R S - f g R S? ª R 0 é comutativo. Ao par (R S, ν S ) chama-se localização de R em S ) Seja (R;+,, 0 R, 1 R ) um anel unitário comutativo. Prove que: a) Se u 2 U(R), entãou não é divisor de zero. b) O produto de um divisor de zero por qualquer outro elemento de R ou é nulo ou éumdivisordezero. c) Se o produto de dois elementos de R é um divisor de zero, então algum dos factores oé ) Mostre que se n 2 Nnf0, 1g não é primo, então Z n ;+,, 0 n, 1 n não é domínio. 20

26 2.6. Anéis de divisão. Corpos 2.6.1) Seja R 6= f0 R g um anel unitário e comutativo. Mostre que: a) Se os únicos ideais de R são (0 R ) eopróprior, entãor écorpo. b) Conclua que, se R é um corpo, então os únicos ideais de R são (0 R ) e R ) Mostre que um anel R é um anel de divisão se, e só se, para todo o a 2 R 6=0 as equações ax = b e ya = b são solúveis ) Mostre que todo o domínio finito (resp., domínio de integridade finito) é um anel de divisão finito (resp., corpo finito) ) Seja R um anel. Mostre que se para todo o a 2 R 6=0, ar = fag, entãor éumanelde divisão ) Mostre que um subconjunto A de um anel de divisão R é um subanel de divisão se, e só se, tem-se que: i) 0 R 2 A; ii) 8a, b 2 R : a, b 2 A ) a +( b) 2 A; iii) 8a, b 2 R 6=0 : a, b 2 A ) ab 1 2 A ) Sejam R um anel de divisão e a 2 U(R). Verifiquesearelaçãof : R! R definida por f(x) :=axa 1 é um automorfismo de anéis de divisão ) Mostre que se K écorpo,r éanelef : K! R éummorfismo de anéis, então ou f é injectiva ou f = c 0R ) Mostre que se p éprimo,entãoz p éumcorpo. 21

27 2.7. Divisibilidade 2.7.1) Considere o anel (Z;+,, 0). Proveque: a) O único ideal que contém 2 e 3 é Z. b) Prove, mais geralmente, que se m, n 2 Z e gcd (m, n) =1,entãooúnicoidealque contém m e n é Z ) Considere o anel (Z;+, ) e a, b 2 Z. Mostreque: a) (a)+(b) =(gcd(a, b)). b) (a) \ (b) =(lcm(a, b)) ) Sejam R um anel unitário comutativo e a, b 2 R. Mostreque: a) (a) µ (b) se, e só se, existe um elemento r 2 R tal que a = rb. b) Se R é um domínio de integridade, então (a) =(b) se, e só se, existe u 2 U(R) tal que a = ub ) Sejam R um anel e I E R. Mostrequesen 2 N nf0, 1g, então(n) é ideal primo de Z se, e só se, n éumnúmeroprimo ) Sejam R um anel unitário comutativo e I E R, ondei 6= R. Mostre que R/I éum domínio de integridade se, e só se, I é um ideal primo ) Sejam R um anel e I E R. O ideal I diz-se um ideal maximal em R se I 6= R enão existe nenhum ideal J, talquei 6= J, I 6= R e I µ J µ R. MostrequeseR éumanel unitário comutativo, R/I é um corpo se, e só se, I éumidealmaximalder ) Sejam R um anel unitário comutativo e I um ideal maximal de A. MostrequeI éum ideal primo ) Sejam R um anel, D um domínio e f : A! D um morfismo de anéis não nulo. Prove que Ker(f) éumidealprimoder. 22

28 3. Anéis de polinómios 3.1. Polinómios numa indeterminada 3.1.1) Mostre que os polinómios constantes em Z[x] formam um subanel dele que não é ideal ) Mostre que: a) Se R é um anel (resp., anel unitário), então R [x] é um anel (resp., anel unitário). b) Se R é um anel (resp., anel unitário) comutativo, então R [x] éumanel(resp., anel unitário) comutativo ) Simplifique cada uma das seguintes expressões (resp., das expressões correspondentes), no anel Z [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 4 [x]): a) (1 + 2x)+(2 x +2x 2 ). b) (2x + x 3 )+(x +2x 4 ). c) (1 + 2x)(2 x +2x 2 ). d) (2x + x 3 )(x +2x 4 ). e) (2x + x 2 ) ) Determine todos os polinómios de grau 2 nos seguintes anéis: a) Z 2 [x]. b) Z 3 [x] ) Em Z n [x], e considerando m 2 N, determine: a) Quantos polinómios existem de grau m? b) Quantos polinómios existem de grau m? c) Quantos polinómios mónicos existem de grau m? 3.1.6) Sejam R e S anéis. Mostre que: a) Se I E R, entãoi[x] E R[x]. b) Se R» = S, entãor[x]» = S[x]. c) char(r [x]) = char(r). d) R é um domínio de integridade se, e só se, R [x] é um domínio de integridade ) Seja (R;+,, 0 R, 1 R ) um anel unitário. Mostre que: a) a 2 U (R) ) p := a +0x + 2U (R [x]). b) Se R é um domínio, então a 2 U (R), p := a +0x + 2U (R [x]). c) Se R não é um domínio, a equivalência anterior não necessariamente se verifica. d) Se R é um domínio, então U (R)» = U (R [x]) (isomorfismo de grupos). 23

29 3.2. Divisibilidade de polinómios 3.2.1) Sejam a := x 4 +3x 2 +2x +1 e b := 2x 2 +3x +2. Efectue, se possível, a divisão do polinómio (resp., polinómio correspondente) a por b nos anéis Z [x], Q [x] e R [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 4 [x]) ) Para cada um dos anéis Z [x], R [x] e C [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 8 [x]), determine: a) as raízes e respectivas multiplicidades dos polinómios (resp., polinómios correspondentes) a, b e c: 1) a := x ) b := x ) c := x b) (apenas no anel Z 8 [x]) as raízes dos polinómios a, b e b 2 sendo: 1) a := x 2 + 2x. 2) b := x 2 + 6x ) No anel Z [x], mostre que é possível efectuar a divisão do polinómio a := 4x 2 +2x 1 pelo polinómio b := 2x+1. Este facto contradiz o teorema demonstrado sobre a divisão de polinómios? 3.2.4) No anel Z 9 [x], considere os polinómios p 1 := 3x + 5 e p 2 := 6x + 3. a) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z 9 [x], talquedeg(q) =1e p 1 q =1. b) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z 9 [x], talquedeg(q) =1e p 2 q = ) No anel Z 8 [x], considere os polinómios a := x 2 + 2x e b := x 2 + 6x + 5. Determineas raízes de a, b e b ) Mostre que a é divisível por x 1 em Z 2 [x] se, e só se, a tem um número par de coeficientes não nulos ) Determine qual a multiplicidade de 1, 1 e 0 como raízes do polinómio (resp., polinómio correspondente) a := x 6 x 2 em: a) Z 2 [x]. b) Z 3 [x]. c) Z 5 [x]. d) Z [x]. e) R [x]. f) C [x] ) Determine o número de raízes reais dos seguintes polinómios: a) x 3 3x +5. b) x 3 3x 2 +2x 1. c) x 3 +9x ) Determine, se existirem, as raízes racionais de: a) 2x 3 3x +4. b) 2x 4 4x +3. c) 2x 3 +4x 2 +5x +1. d) 3 2 x3 2x 2 + x

30 3.2.10) Determine para que elementos primos o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z p [x], comp primo, admite a raiz ) Seja R um anel finito com k elementos. Determine, justificando, quantos polinómios de grau menor ou igual a n em R [x] admitem a raiz zero ) Sejam R um domínio de integridade e p := x 2 + bx + c 2 R [x]. a) Mostre que, se p tem raízes x 1 e x 2,então (x 1 + x 2 )=b e x 1 x 2 = c. b) Encontre um resultado análogo ao da alínea anterior mas para um polinómio mónico de grau ) Seja p := a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n 2 Z [x]. Mostrequep admite a raiz r s 2 Q, com gcd (r, s) =1se, e só se, sx r divide p em Z [x] ) Se R éumcorpoea, b 2 R [x], mostre que existe um único máximo divisor mónico entre a e b ) Em R [x], considere os seguintes polinómios: p := x 4 2x 3 +2x 2 2x +1 e q := x 6 +2x 5 2x 4 6x 3 7x 2 8x 4. Determine um máximo divisor comum de p e q e escreva-o na forma ap + bq, onde a, b 2 R [x] ) Em Z 2 [x], considere os polinómios p 1 := x e p 2 := x Determine o máximo divisor comum de p 1 e p 2 e escreva-o na forma ap 1 + bp 2, onde a, b 2 Z 2 [x] ) Em Z 3 [x], considere os polinómios p 1 := x 2 x + 1 e p 2 := x 3 +2x Determine todos os máximos divisores comuns de p 1 e p 2. 25

31 3.3. Irredutibilidade de polinómios 3.3.1) Sejam R e S anéis tais que R µ S e p 2 R [x]. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsacadaumadasafirmações: a) Se deg (p) > 1 e p admite uma raiz em R, entãop éfactorizávelemr. b) Se p éfactorizávelemr, entãop admite uma raiz em R. c) Se deg (p) =1,entãop admite uma raiz em R. d) Se R éumcorpoedeg (p) =1,entãop admite uma raiz em R. e) Se p é irredutível em R também é irredutível em S. f) Se p éfactorizávelemr também é factorizável em S. g) Se p éfactorizávelems também é factorizável em R ) Prove que se deg (p) > 1 e p é irredutível em Z 2 [x], entãop tem termo independente 1 e um número ímpar de coeficientes não nulos ) Dê exemplos, se possível, de: a) Um polinómio de grau 3, não factorizável, em R [x]. b) Um polinómio de grau 1, factorizável, em Z [x]. c) Um polinómio em R [x], nãomónico,degrau5, que admita como raízes reais apenas os números p 5, 17 e d) Um polinómio de grau 2, irredutível, em R [x]. e) Um polinómio de grau 2, irredutível, em C [x]. f) Um polinómio irredutível em R [x], masredutívelemc [x]. g) Um polinómio redutível em R [x], mas irredutível em C [x]. h) Um polinómio de grau 2 irredutível em Q [x], masredutívelemr [x] ) Sejam R um corpo e p 2 R [x]. Mostreque: a) Se deg (p) =2, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. b) Se deg (p) =3, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. c) Verifique que se R não é corpo os resultados anteriores não são válidos ) Em Z 2 [x], determine: a) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau1. b) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau2. c) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau3. d) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau ) Em Z 3 [x], determine: a) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau1. b) Todosospolinómiosirredutíveisdegrau2. 26

32 3.3.7) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, redutíveis, existem em Z p [x]? 3.3.8) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, irredutíveis, existem em Z p [x]? 3.3.9) Determine em R [x] um polinómio p que satisfaça simultaneamente as seguintes condições e apresente-o, justificando, na forma do produto de factores irredutíveis em R [x]: a) O coeficiente director de p é 4. b) deg (p) =7. c) 2 i p 3 éraizdep. d) A equação p =0admite as raízes 0 e π. e) p é divisível por x 3 2x 2 +3x ) Em R [x], considere o polinómio p := x 7 +2x 5 8x 3. Decomponha-o em factores irredutíveis em R, e indique as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades ) Considere o polinómio p := x Decomponha-o, justificando, em factores irredutíveis em: a) C [x]. b) R [x] ) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) A divisão de polinómios é sempre possível em Z 23 [x]. b) O polinómio x 2 + x +1divide x 6 1. c) (x 2 +1)(x 2 +2)é irredutível em R. d) O produto dos polinómios x 4 e x 6 em Z 7 [x] é x 3. e) x 3 12x 6 tem apenas uma raiz real ) Se possível, dê exemplos de: a) Um polinómio sem raízes em R, factorizávelemz. b) Dois polinómios p e q em R [x] distintos, irredutíveis, tais que pjq. c) Um elemento m 2 N para o qual o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z m [x] admita como divisores x 2 e x 1. d) Um polinómio mónico associado de 2x 5 3x em Z 7 [x]. e) Dois polinómios distintos, associados em Z 8 [x] ) Diga quais dos seguintes polinómios são primitivos: a) p 1 := x 5 10x 4 +40x 3 80x 2 +80x 32. b) p 2 := 14x 24 10x x 21 80x x 16 32x x 8 80x 7 +80x 32. c) p 3 := x x x21 80x x 16 32x x 8 80x 7 +80x 32. d) p 4 := 48x 10 45x 8 +81x 6 63x x ) Em Z [x], sepossíveldêexemplosde: 27

33 a) Um polinómio primitivo e redutível. b) de um polinómio mónico, que admita como raízes os números 2, 1 3 e 0. c) Um polinómio de grau 6 que admita a raiz 1 com multiplicidade 3, araiz4 com multiplicidade 2 e que seja múltiplo de x 2 +3x ) Em Q [x], sepossíveldêexemplosde: a) Um polinómio de grau 2, irredutível e com coeficiente director 1. b) Um polinómio de grau 5, irredutível e com coeficiente director ) Em R [x], sepossíveldêexemplosde: a) Um polinómio de grau 3 redutível, que admita só duas raízes reais. b) Um polinómio de grau 5 redutível, que admita só duas raízes reais ) Seja p := 7 2 x x x +72 Q [x]. 3 a) Determine um polinómio primitivo q em Z [x] associado a p. b) Mostre que q é irredutível em Z [x] eemq [x] ) Considere o polinómio p := 4x 3 +4x x 2. a) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 1) p éprimitivo. 2) p é redutível em Q [x]. 3) p é irredutível em Z [x]. b) Decomponha p em factores irredutíveis em R [x] ) Mostre que são irredutíveis em Z [x]: a) x 4 + x +1. b) x 4 +3x +5. c) 3x 4 +2x 3 +4x 2 +5x +1. d) x 5 +5x 2 +4x +7. e) 15x 5 2x 4 +15x 2 2x ) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) Um polinómio primitivo em Z [x] é irredutível em Q [x]. b) Qualquer polinómio em Z [x] de grau positivo, que seja irredutível, é primitivo. c) Um polinómio em Z [x] que não admita raízes racionais é irredutível em Q [x]. d) Um polinómio em Z [x] que admita raízes racionais é redutível em Q [x]. e) Um polinómio em Z [x] que admita raízes complexas é redutível em Q [x]. f) Um polinómio em Z [x] que admita uma raiz complexa a + bi 2 Q [i] éredutível em Q [x]. 28

34 3.3.22) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) Seja R um anel unitário comutativo. Então: 1) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pq também é irredutível em R [x]. 2) Se p é um polinómio redutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pq também é redutível em R [x]. 3) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então existe um polinómio q 2 R [x] tal que pq ainda é irredutível em R [x]. b) Sejam q := a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 2 Z [x] e p um primo que não divide a n.então: 1) Se q é redutível em Q [x], entãof (p) é redutível em Z p [x]. 2) Se q (p) é redutível em Z p [x], entãoq é redutível em Q [x]. 3) Se q é irredutível em Q [x], entãoq (p) é irredutível em Z p [x]. c) Um polinómio p 2 Z [x], noqualocoeficiente director é ímpar e para o qual, em Z 2 [x], p (2) = x 2 + x +1, é irredutível em Q ) Em Q [x], verifique se os seguintes polinómios são irredutíveis: a) 3x 5 4x 4 +2x 3 + x 2 +18x +31. b) x 5 +4x 4 +2x 3 +3x 2 x +5. c) x 3 +2x +10. d) x 3 2x 2 + x +15. e) x 5 21x 3 +49x 2 +7x 14. g) 4 3 x4 10x x x f) 1 6 x3 2 3 x2 + x x 3 6x ) No anel Z [x], considere o polinómio p := x 7 +2x 5 8x 3. a) Decomponha-o em factores irredutíveis como elemento de R [x] e, indique, as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades. b) Determine gcd (p, x 5 +4x 3 ) ) Se possível, dê exemplos de: a) Um polinómio redutível, em Z 2 [x], que seja máximo divisor comum de dois polinómios de graus 4 e 5. b) Um polinómio p, degrau5, mónico, irredutível em Z [x] etalquep (3) que redutível em Z 3 [x]. c) Um inteiro m para o qual o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z m [x] admita como divisores x 2 e x 1. d) Em Z [x], um polinómio mónico que admita como raízes os números 1, 1 5 e 3. e) Dois polinómios distintos, de grau 2 e irredutíveis em Z 2 [x] ) Seja p := x 7 +2x 6 2x 5 4x 4 +6x 3 9x 2 +9x 3. a) Mostre que p é divisível por x 1 em Q [x] eporx i em C [x]. b) Decomponha-o, justificando, em factores irredutíveis em Q [x] edigaseessade- composição em factores irredutíveis é também válida em R [x] ) Considere o polinómio p := (x 8 9) (x 4 8x ). 29

35 a) Decomponha-o, justificando, em factores irredutíveis em: 1) Z [x]. 2) R [x]. b) Indique as suas raízes racionais, indicando as respectivas multiplicidades. c) Em Z [x], determinegcd (p, x 7). 30

36 4. Módulos 4.1. Módulos e submódulos 4.1.1) Mostre que R é um anel unitário se, e só se, tem-se que: a) R R éumr-módulo. b) R R é um módulo-r. c) R R R éumr-bimódulo-r ) Mostre que se R é um anel unitário comutativo, então todo o R-módulo (resp., módulo- R) é um módulo-r (resp., R-módulo) ) Sejam R, S anéis unitários, S v R e R M um R-módulo. Mostre que S M éumsmódulo ) Sejam K um corpo (fixo) e V um espaço vectorial sobre K. Mostreque: a) Todo o espaço vectorial V sobre o corpo K éumk-módulo. Conclua que é um K-bimódulo-K. b) Qualquer corpo K éumk-módulo. Conclua que Q, R e C são módulos sobre, respectivamente, Q, R e C ) Sejam R M um R-módulo e A um conjunto qualquer. Mostre que: a) M A éumr-módulo para a operação de adição de funções e operação binária externa definidas, para todo o x 2 A e α 2 R, por: (f + g)(x) := f(x)+g(x) e (αf)(x) := α(f(x)). b) Se A := M, entãom M éumr-módulo. c) End(M) éumr-submódulo do módulo M M. d) Em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., R R éum R-módulo. Estude ainda como caso particular o conjunto R [a,b] ) Sejam M 1,M 2,...,M n, R-módulos. Considere o produto cartesiano M 1 M 2 M n munido das seguintes operações para todo o (x 1,x 2,...,x n ), (y 1,y 2,...,y n ) elementos de M 1 M 2 M n e α 2 R: (x 1,x 2,...,x n )+(y 1,y 2,...,y n ):=(x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x n + y n ) α(x 1,x 2,...,x n ):=(αx 1, αx 2,...,αx n ). a) Prove que estas operações conferem ao conjunto M 1 M 2 M n uma estrutura de R-módulo. 31

37 z } { b) Utilize a alínea anterior, para provar que M n := M M M éumrmódulo ) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa indeterminada e com coeficientes reais é um R-módulo em relação às operações ordinárias de adição de polinómios e multiplicação de um polinómio por um elemento de R: a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n, i.e., R n [x]. b) Conjunto dos polinómios de grau n (n fixo) ) Seja R um anel unitário. Mostre que: a) M m n (R) éumr-módulo, se considerarmos a soma e a operação binária externa definidas por: [a ij ]+[b ij ]:=[a ij + b ij ] e α [a ij ]:=[αa ij ]. b) M m n (R) éummódulo-r, se considerarmos a soma e a operação binária externa definidas por: [a ij ]+[b ij ]:=[a ij + b ij ] e [a ij ] α := [a ij α]. Conclua que, M m n (R) éumr-bimódulo-r, para as operações acima introduzidas. c) M m n (R op ) éumr-módulo, onde R op é o anel oposto do anel R ) Em R n,defina-se as operações: a + b := a b e α a := αa com a, b 2 R n e α 2 R. Quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos por R R n paraaoperação binária + e a operação binária externa sobre R n? ) Considere o conjunto R >0 dos números reais positivos e as operações: definidas, respectivamente, por: : R >0 R >0! R >0 e : R R >0! R >0 (a, b) 7! a b := a b (produto usual) e (α,a) 7! α a := a α (potência usual). a) Mostre que R >0 para as operações e éumr-módulo. b) Verifique se R com as operações 0 e 0 (operações análogas às anteriores mas de domínio R R e codomínio R), é R-módulo? Justifique ) Considere os R-módulos R M, R M 0 e as operações binária e binária externa definidas em M M 0 por: (a, b)+(c, d) :=(a + c, b + d) e α (a, b) :=(αa, 0 M 0). Verifique quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos. 32 n

38 4.1.12) Sejam R M um R-módulo, x, y, z 2 R M e α, β 2 R. Proveque: a) 0 R x =0 M. b) α0 M =0 M. c) ( α)x = α( x) = αx. d) (α β)x = αx βx. e) α(x y) =αx αy. f) ( x) =x. g) se α 2 U(R) e αx =0 M ) x =0 M. h) x + y = z + y ) x = z ) Sejam R M um R-módulo e A µ M. Mostre que R A éumr-submódulo se, e só se, verificaoseguinte: i) 0 M 2 A; ii) 8x, y 2 M : x, y 2 A ) x + y 2 A; iii) 8α 2 R 8x 2 M : x 2 A ) αx 2 A ) Sejam R M um R-módulo e A µ M. Mostre que R A éumr-submódulo se, e só se, verificaoseguinte: i) 0 M 2 A; ii) 8α, β 2 R 8x, y 2 M : x, y 2 A ) αx + βy 2 A ) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são submódulos do respectivo módulo: a) A := f 2 R [a,b] : f(x) =c, c 2 R (fixo) ª. b) B := p 2 R [a,b] : p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n,coma i 2 R (fixos) ª. c) C := f 2 R [0,1] : f(x) =f(1 x) ª. d) D := f 2 R [0,1] : f(0) = f(1) = 0 ª. e) E := f 2 R [0,1] : f(0) + f(1) = 0 ª. f) F := f 2 R R : f( x) = f(x) ª. g) G := f 2 R R : f( x) =f(x) ª. h) H := f 2 R R : f(x) 0 ª. i) I := f 2 R R : f é limitada em R ª. j) J := f 2 R [a,b] : f é integrável à Riemann em [a, b] ª. k) K := f 2 R [a,b] : f écontínuaem [a, b] ª ) Sejam R M um R-módulo e A, B, C v M. SeC µ A, entãotem-seque: A \ (B + C) =(A \ B)+C. ObteriaomesmoresultadoseC " A? 33

39 4.2. Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres 4.2.1) Sejam R M um R-módulo, A, B µ R M, F, G v R M e α 2 Z(R). Então,tem-seque: a) F \ G v R M. b) F [ G v R M, F µ G _ G µ F. c) F + G v R M. d) αf v R M. e) R hai + R hbi = R ha [ Bi ) Sejam R M um R-módulo e A µ M. Mostreque: ( nx ) R hai = α i x i 2 M : α i 2 R ^ x i 2 M ^ n 2 N 6=0. i= ) Sejam R M um R-módulo e A, B µ M. Mostreque: a) Se A µ B, entãohai µhbi. b) hhaii = hai ) Seja M um R-módulo. Mostre que se (x i ) i J é uma subfamília de (x i ) i I,então hfx i 2 M : i 2 Jgi µ hfx i 2 M : i 2 Igi ) Mostre que todo o anel unitário R é um módulo R R com base ) Mostre que I R éum I R-módulo com base ) Sejam R e R 0 anéis unitários. Mostre que: a) R R 0 éum R R 0R R 0 módulo com base. b) R f0 R 0g éum R R 0R f0 R 0g submódulo do módulo R R 0R R 0. c) o submódulo R f0 R 0g não tem base. 34

40 4.3. Morfismos de módulos 4.3.1) Sejam R M e R M 0 módulos. a) Indique qual(is) dos axiomas da definição de R-módulo não é (são) satisfeito(s) de modo que Mor( R M, R M 0 ) seja um R-módulo. b) Indique condições que o anel unitário R deve satisfazer, para que Mor( R M, R M 0 ) seja um R-módulo ) Sejam R, S e T anéis unitários (fixos). Mostre que: a) Mor(M S, R N S ) S éumr-módulo. b) Mor( R M, R N S ) éummódulo-s. c) Mor( R M S, R N) éums-módulo, se definirmos (βf)(x) :=f(xβ). d) Mor( R M S,N S ) S é um módulo-r, sedefinirmos (fα)(x) :=f(αx). e) Mor( R M S, R N T ) éums-bimódulo-t. f) Mor( R M S, T N S ) S éumt-bimódulo-r ) Sejam R M, R N e R P módulos. Mostre que: a) se f 2 Mor(M,N) e g 2 Mor(N,P), entãog ± f 2 Mor(M,P). b) para todo f,g 2 Mor(M,N), todooh, k 2 Mor(N,P) etodooα 2 R tem-se que: 1) h ± (f + g) =(h ± f)+(h ± g). 2) (h + k) ± f =(h ± f)+(k ± f). 3) α(h ± f) =(αh) ± f = h ± (αf) ) Seja M R é um módulo-r. Mostreque: a) Se f éumanti-automorfismo, então M R éumr-módulo, se para todo o α 2 R, αx := xf(α). b) Se f 2 Mor(R) seráquesepodeconcluirquem R éumr-módulo? Indique condições que R deva satisfazer para que M R seja um R-módulo ) Seja R um anel unitário (fixo). Mostre que: a) o dual de um módulo-r, i.e., MR := Mor(M R, R R R ) R éumr-módulo. b) o dual de um R-módulo, i.e., R M := Mor( R M, R R R ) éummódulo-r. c) Conclua que, se R é um anel unitário comutativo, então MR e R M são R- bimódulos-r ) Seja M R um módulo-r, entãomostreque End(M) M éumend(m)-módulo ) Sejam R um anel unitário e M um grupo comutativo. Mostre que o morfismo ρ : R! End(M) define uma estrutura de R-módulo em M se definirmos αx := ρ α (x) e vice-versa, ou seja, se R M éumr-módulo, então ρ : R! End( R M) é uma representação, i.e., um morfismo de anéis ) Seja R M um módulo, então mostre que Mor( R R, R M)» = Z- Mod R M através da aplicação f :Mor( R R, R M)! R M definida por f(g) :=g(1 R ). 35

41 4.3.9) Sejam R um anel unitário comutativo, R M um módulo e A µ End( R M) um subanel unitário. Mostre que M é um A-módulo, se definirmos a operação binária externa por (f,x) 7! f(x) ) Sejam R M um módulo e f 2 End(M). Mostreque: a) g : R[t]! End(M) éummorfismo de módulos, dado por p t 7! p f, onde p t := a 0 + a 1 t + + a n t n 2 R[t] e p f := a 0 id M +a 1 f + + a n f n. b) R[f] éumr-submódulo de End(M). c) g : R[t]! R[f], definido por p t 7! p f éummorfismo de módulos. d) M éumr[f]-módulo, se definirmos a operação binária externa por: (p f,x) 7! p f x := p f (x). e) M éumr[t]-módulo se definirmos a operação binária externa para todo o x 2 M, por p t x 7! p f x. 36

42 4.4. Módulos quociente. Teoremas de isomorfismos 4.4.1) Sejam R M um módulo cíclico gerado por x (i.e., R M = R hxi = Rx) e a relação ρ x : R! Rx definida por ρ x (α) :=αx. Mostreque: a) ρ x éummorfismo sobrejectivo. b) s : R! R éummorfismo sobrejectivo. Ker(ρ x ) R c)» Ker(ρ x ) = Rx. d) Define-se o anulador do elemento x de R M por Ann(x) :=Ker(ρ x ) etem-seo isomorfismo Rx» =. Mais geralmente, define-se R Ann(x) Ann( R M):=Ker(ρ) =fα 2 R : αm = O M g, sendo ρ : R! R M definido por ρ(x) :=αx. e) Se F éumcorpoem um F-módulo cíclico não-nulo, então F M» = F ) Sejam R M, R M 0, R N, R N 0 módulos, f : R M! R M 0, g : R N! R N 0 e f g : R M RN! R M 0 R N 0 morfismos. Mostre que: a) f g éummorfismo. b) Ker(f g) =Ker(f) Ker(g). c) Im(f g) =Im(f) Im(g). d) f g éummorfismo injectivo se, e só se, f e g são morfismos injectivos. e) f g éummorfismosobrejectivose,esóse,f e g são morfismos sobrejectivos. f) f g éumbimorfismose,esóse,f e g são bimorfismos. g) f g éumisomorfismos se, e só se, f e g são isomorfismos. h) R M R N Ker(f g)» = R M Ker(f) R N Ker(g) ) Sejam R um domínio e x 2 R 6=0.Mostreque: a) existe uma cadeia descendente µrx n+1 µ Rx n µ µrx 2 µ Rx µ R de submódulos do módulo R R. b) para cada n 2 N se tem R Rx» = Rxn Rx n+1. 37

43 Bibliografia [1] A. Monteiro e I. Matos. Álgebra - Um primeiro curso. Livraria Escolar Editora, [2] J. Durbin. Modern Algebra, An Introduction. John Wiley, [3] W. Adkins and S. Weintraub. Algebra, An Approach via Module Theory. Springer- Verlag, [4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, [5] N. Jacobson. Basic Algebra I. W. H. Freeman, [6] M. Sobral. Álgebra. Universidade Aberta, [7] P. Cameron. Introduction to Algebra. Oxford University Press, [8] T. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, [9] C. Gardiner. Algebraic Structures. Ellis Horwood, [10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers, [11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill,