Aplicação da Computação Simbólica na Resolução de Problemas de Condução de Calor Em Cilindros Vazados com Condições de Contorno Convectivas

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1 Aplcção d Coputção Sólc Resolução de Poles de Codução de Clo E Cldos Vzdos co Codções de Cotoo Covectvs VALESCA ALVES CORRÊA 334

2 VALESCA ALVES CORRÊA APLICAÇÃO DA COMPUAÇÃO SIMÓLICA NA RESOLUÇÃO DE PROLEMAS DE CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS VAZADOS COM CONDIÇÕES DE CONORNO CONVECIVAS ese pesetd à Fculdde de Egeh do Cpus de Gutguetá Uvesdde Estdul Pulst p oteção do título de Douto e Egeh Mecâc áe de sssão e Covesão de Eeg. Oetdo: Pof. D. Luz Roeto Cocc Co-oetdo: Pof. D. Mco Aud Mcelo Gutguetá 7

3 3 C84 Coê Vlesc Alves Aplcção d coputção sólc esolução de poles de codução de clo e cldos vzdos co codções de cotoo covectvs / Vlesc Alves Coê.- Gutguetá : [s..] 7 39f.: l. logf: f. -6 Iclu pêdce ese (Doutodo) Uvesdde Estdul Pulst Fculdde de Egeh de Gutguetá 7 Oetdo: Pof. D. Luz Roeto Cocc Co-oetdo: Pof. D.Mco Aud Mcelo. Clo - Codução I. ítulo CDU 536.

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5 5 DADOS CURRICULARES VALESCA ALVES CORRÊA NASCIMENO AUAÉ / SP 984/986 Cuso de Gdução ecólogo e Pocesseto de Ddos UNIAU 987/99 Cuso de Gdução Egeh Elétc - UNIAU 994/995 Cuso de Pós-Gdução e ível de Especlzção (Lto Sesu) e éccs de Coputção Avçd - UNIAU 998/ Cuso de Pós-Gdução e ível de Mestdo e Egeh Mecâc o Depteto de Egeh Mecâc - UNIAU /7 Cuso de Pós-Gdução e ível de Doutodo Fculdde de Egeh do Cpus de Gutguetá - UNESP

6 6 de odo especl h ãe às lhs flhs hís e áss que fo s gdes cetvdos p que eu cotusse o cuso e o eu esposo João Luz.

7 7 AGRADECIMENOS E peo lug gdeço Deus fote d vd e d gç. Agdeço pel h vd h telgêc h fíl e eus gos o eu oetdo Pof. D. Luz Roeto Cocc que js dexou de e cetv. Se su oetção dedcção e uxílo o estudo qu pesetdo se ptcete possível. à h ãe Alete que pes ds dfculddes efetds sepe cetvou eus estudos. àos Pofessoes do Depteto de Egeh Mecâc pel dedcção pestez e pcplete pel votde de jud..

8 8 Este tlho cotou co poo d segute etdde: - UNIAU tvés do PROGRAMA DE OLSA DE ESUDOS.

9 9 Apede é desco qulo que você já se. Fze é deost que você o se. Es é le os outos que eles se tto quto você. Rchd ch

10 CORRÊA V. A. Aplcção d coputção sólc esolução de poles de codução de clo e cldos vzdos co codções de cotoo covectvs f. ese (Doutodo e Egeh Mecâc) Fculdde de Egeh do Cpus de Gutguetá Uvesdde Estdul Pulst Gutguetá 7. RESUMO Co evolução dos sstes de coputção sólc plou-se cpcdde de odelge e álse de poles poveetes de equções dfeecs. Popõe-se esolução d equção d codução de clo e eges peete e tsete p u geoet clídc co codções de cotoo covectvs de fo lítc e uéc utlzdo o softwe de coputção sólc Mple. P este popósto seão epegdos p esolução lítc o étodo de sepção de váves e p esolução uéc o étodo ds dfeeçs fts co o esque Ck- Ncolso e explícto. Os esultdos otdos ds esoluções lítcs e uécs p lgus stuções vlds são copds. As vtges coputcos d utlzção do softwe Mple são pesetds. PALAVRAS-CHAVE: Codução de clo coputção sólc esolução tsete dfeeçs fts.

11 CORRÊA V. A. Syolc coputto pplcto o the esoluto of coducto het poles hollow cyldes wth covectve oudy codtos f. ese (Doutodo e Egeh Mecâc) Fculdde de Egeh do Cpus de Gutguetá Uvesdde Estdul Pulst Gutguetá 7. ASRAC he evoluto of syolc coputto systes elges the cpcty of odelg d lyss of poles y dffeetl equtos. he s the esoluto of the coducto het equto ustedy d stedy stte fo the cyldcl geoety wth covectve oudy codtos wth lytcl d uecl solutos usg the Mple softwe. o ths esults wll e used the septed vles ethod d fte dffeeces to uecl solutos wth Ck-Ncolso d explct schees. he esults oted fo uecl d lytcl solutos fo soe stutos t wll vlle d coped. he coputtol dvtges of the Mple softwe e showed too. KEYWORDS: het coducto syolc coputto ustedy esoluto fte dffeeces.

12 LISA DE FIGURAS FIGURA Repesetção de u cldo vzdo co codções de cotoo covectvs...3 FIGURA Repesetção d oecltu de dfeeçs fts p u cldo vzdo...39 FIGURA 3 Esque de u tz tdgol FIGURA 4 Dstução de tepetu Cso - ege peete p H = - e H = FIGURA 5 Dstução de tepetu Cso - ege peete p H = - H = - e q& =. W/ FIGURA 6 Dstução de tepetu esolução lítc - Cso FIGURA 7 Dstuções de tepetu co vção de utovloes e pefl cl costte p H = - H = - e t = s...9 FIGURA 8 Dstuções de tepetu co vção de utovloes e pefl cl le p H = - H = - e t = s...9 FIGURA 9 Dstuções de tepetu co vção de utovloes e pefl cl pólco p H = - H = - e t = s...93 FIGURA Dstuções de tepetu co vções do pâeto H FIGURA Dstuções de tepetu co vções do pâeto H....96

13 3 FIGURA Dstuções de tepetu e fução do tepo co pefl cl le costte e pólco utlzdo utovloes posção = 4 e H = - e H = FIGURA 3 - Dstuções de tepetu p lgus vloes de tepo co pefl cl pólco utlzdo utovloes co H = - e H = FIGURA 4 Dstuções de tepetu co vções do pâeto H t = s e q& = W/ 3... FIGURA 5 Dstuções de tepetu co vções do pâeto H t = s e q& =. W/ 3... FIGURA 6 Dstuções de tepetu e fução do tepo co pefl cl le costte e pólco e utovloes solução usdo pâetos H = - H = - posção = 4 e q& =. W/ FIGURA 7 Dstuções de tepetu e fução do tepo co pefl cl le costte e pólco e 5 utovloes solução. usdo pâetos H = - H = - posção = 4 e q& =. W/ FIGURA 8 Dstuções de tepetu e fução do tepo co pefl cl le costte e pólco e utovloes solução. co os pâetos H = - H = - posção = 4 e q& =. W/ FIGURA 9 - Dstuções de tepetu co lgus vloes de tepo co pefl cl pólco e utovloes solução usdo pâetos H = - H =. - e q& = W/ FIGURA Dstuções de tepetu lítco-uéco Cso - H = - H = - e q& =. W/ 3...7

14 4 LISA DE AELAS AELA Pocetge de supeodde de esolução do Mple e outos softwes exstetes o ecdo (dptdo de Weste 999)...7 AELA Ctéos de estldde dos esques explícto plícto e Ck- Ncolso...4 AELA 3 Eos eltvos o tho d lh plcdo o Cso...4 AELA 4 Vloes ds popeddes usds s soluções do Cso...86 AELA 5 Dstuções de tepetu e eos eltvos o Cso o ege peete p H = - e H = AELA 6 Dstuções de tepetu e eos eltvos o Cso o ege peete p H = - H = - e q& =. W/ AELA 7 Vloes ds popeddes usds s soluções do Cso AELA 8 Vloes dos eos eltvos e fução dos utovloes e pefl cl p H = - H = - e t = s...94 AELA 9 Vloes ds popeddes usds s soluções do Cso...95 AELA Vloes otdos de tepo co pefs le costte e pólco co H = - e H = AELA Vloes ds dstuções de tepetu otdos pel esolução lítc e uéc e eos eltvos o t = s...99

15 5 AELA Vloes dos eos eltvos pelo esque explícto Cso o t = s... AELA 3 Vloes ds dstuções de tepetu otdos pel esolução lítc e uéc e eos eltvos o t = s e q& =. W/ 3 Cso...6 AELA 4 Vloes ds dstuções de tepetu otdos pel esolução lítc e uéc e eos eltvos o t = s e q& =. W/ 3 Cso...8 AELA 5 epos de pocesseto utlzdos s sulções lítcs...9 AELA 6 epos de pocesseto utlzdos s sulções uécs...9

16 6 LISA DE AREVIAURAS E SIGLAS CAS DMA - Copute Alge Syste - Dgol Mtx Algoth

17 7 LISA DE SÍMOLOS o teo do cldo vzdo A pâeto de splfcção ds dfeeçs fts o exteo do cldo vzdo costte de splfcção ds dfeeçs fts c p clo específco J/Kg ºC Eo eo eltvo % f() fução ssocd codção cl F esolução e ege peete G esolução e ege tsete h h coefcete de tsfeêc de clo po covecção do W/ C fludo teo coefcete de tsfeêc de clo po covecção do W/ C fludo exteo H pâeto elcodo fote te do cldo - H pâeto elcodo fote exte do cldo - loclzção de u poto lh k codutvdde téc W/ C ko codutvdde téc tepetu de efeêc o W/ C dcdo de ível de tepo M úeo de potos ods O ode de eo q& x de geção de eeg po udde de volue W/ 3 o R solução e fução do o t tepo s tepetu C o epetu o tepo gul zeo ºC tepetu do fludo teo C tepetu do fludo exteo

18 8 α dfusvdde téc /s β coefcete de expsão téc C - ε eo ssocdo o ctéo de covegêc I solução e fução do tepo costte de sepção θ costte que defe o gu de plcdde ρ ss específc Kg/ 3 ceeto dl t ceeto tepol s

19 9 SUMÁRIO LISA DE FIGURAS LISA DE AELAS LISA DE AREVIAURAS E SIGLAS LISA DE SÍMOLOS INRODUÇÃO JUSIFICAIVA...9. COMPUAÇÃO SIMÓLICA..... A coputção sólc e tsfeêc de clo..... O softwe Mple OJEIVOS DO RAALHO ORGANIZAÇÃO DO RAALHO...8 MODELAGEM MAEMÁICA...3. MODELAGEM MAEMÁICA CASO...3. MODELAGEM MAEMÁICA CASO MODELAGEM MAEMÁICA CASO MEODOLOGIA MÉODO DA SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS MÉODO DAS DIFERENÇAS FINIAS Dscetzção tsete d codução de clo Defção d lh Método de esolução de sstes de equções lees SOLUÇÕES PARA O REGIME PERMANENE RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso ege peete Resolução uéc Cso ege peete RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso ege peete Resolução uéc Cso ege peete RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso 3 ege peete SOLUÇÕES PARA O REGIME RANSIENE RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso ege tsete Resolução uéc Cso ege tsete Resolução uéc Cso ege tsete esque Cck-Ncolso Resolução uéc Cso ege tsete esque explícto RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso ege tsete Resolução uéc Cso ege tsete...83

20 6 RESULADOS RESULADOS PARA O REGIME PERMANENE Resolução lítc e uéc Cso Resolução lítc e uéc Cso Resolução lítc Cso RESULADOS PARA O REGIME RANSIENE Defção do pefl cl de tepetu Resultdos do cso Resolução lítc - Cso Resolução uéc Cso esque Ck-Ncolso Dstução de tepetu Cso copção ete o esque Ck- Ncolso e o esque explícto Resultdos do Cso Resolução lítc - Cso Resolução uéc - Cso EMPOS COMPUACIONAIS COSIDERAÇÕES FINAIS... 8 SUGESÕES PARA RAALHOS FUUROS... REFERÊNCIAS... APÊNDICE A Resolução lítc do Cso...7 APÊNDICE Resolução uéc do Cso - esque Ck-Ncolso...33 APÊNDICE C Resuo dos codos utlzdos do softwe Mple...38

21 9 INRODUÇÃO Os sstes de coputção sólc ou lgéc estão se destcdo ete os desevolvedoes de softwes devdo gde vedde de plcções que se dspõe. Ete s plcções que s se destc est etodolog está potecldde esolução de equções dfeecs pcs e odás se todo u feet podeos esolução de poles lítcos e uécos.. JUSIFICAIVA A evolução coputcol que ocoe desde décd de sesset popocoou coputdoes co pocessetos uto s ápdos e co o cpcdde de zeeto de foções sedo que o desevolveto de lgotos p solução dos s dvesos poles te sdo de gde teesse dos lsts egeheos e pesqusdoes. Desde etão lgotos p o tteto de poles soldos co epesetção sólc de soluções tê sdo desevolvdos poé só o fl d décd de sesset se docuetou o sugeto do peo sste de coputção lgéc (Copute Alge Syste - CAS) ode se eu e u eso ete coputcol soluções p s de u pole. Segudo Mlsk (4) u egeheo ou pojetst cot co s segutes feets p ls ou desevolve u pojeto: étodos lítcos étodos uécos e expeetção e lotóo sedo que os dos peos fo clsse dos étodos teócos pos ojetv esolve equções dfeecs que fo o odelo teátco. Ete os utos pocessos físcos que pode se epesetdos po equções dfeecs está o estudo d codução de clo que segudo g Flho (4) é defdo coo pocesso de toc de eeg ete sstes ou ptes de u eso sste e dfeetes tepetus. Podedo se lsdo se depedêc do

22 tepo cctezdo o ege peete ou co depedêc do tepo cctezdo o ege tsete. Alé d questão tepol coplexdde de u pole de codução de clo depede té d escolh d geoet e d tuez dos pâetos evolvdos. g Flho (4) e Apc (966) desceve que p sul os pocessos físcos evolvdos áe de tsfeêc de clo deve-se ecoe o estudo e o efeto ds les govetes à odelge teátc e desevolveto de téccs coputcos p o tteto lítco e uéco destes poles. Cofoe Mlsk (4) s soluções lítcs deve se epegds poles cujs hpóteses ão se desve e des do feôeo físco el s esslt su plcção vldção de odelos uécos lé de tepos de coputção stsftóos e elção às sulções uécs. A sulção uéc lé de vlz esolução de poles coplexos peset esultdos que eduze tepo e custo de pojetos. Lü evol e Vlje (5 6 6) desceve potâc do estudo d geoet do cldo vzdo ode esslt potâc ds soluções lítcs esttv ds popeddes dos tes e vldção de soluções uécs. Os sstes de coputção sólc ou lgéc vê se s u feet o uxílo d odelge e tteto coputcol de poles uécos e lítcos e dvess áes zdo os desgsttes esfoços lgécos ds esoluções.. COMPUAÇÃO SIMÓLICA O sugeto d coputção sólc ou lgéc deve-se o fto do estudo de odelos cd vez s coplexos ode áqu pul lgecete extess expessões teátcs co pdez e pecsão. As pes efeêcs docuetds sug décd de cqüet e co els os peos pogs

23 coputcos p pulção de polôos cálculos de devds e esolução de equções (HEARN 997). Weste (999) defu coputção sólc ou lgéc coo áe d coputção que tlh co pulção e solução de equções. Cohe () defu coputção sólc coo pte d foátc que pojet ls pleet e plc lgotos lgécos. Cctez-se po elz cálculos sólcos que epeset ojetos teátcos se eos de edodeto ou tuceto. He (997) defu u sste de coputção lgéc ou sólc coo u pog que pete pul expessões teátcs de e sólc. Atulete cot-se co u sée de sstes de coputção que pete pulção sólc de expessões teátcs levdo esultdos co u tétc ext sedo que os que s se destc são os plctvos Mple e Mthetc... A coputção sólc e tsfeêc de clo Devdo o cescete ueto d cpcdde de pocesseto e de eó os coputdoes dvesos plctvos coputcos de coputção sólc ou lgéc lgdos às áes de Egeh Mteátc e Físc tê sdo utlzdos p z s tvddes coplexs e deods os cálculos ds odelges desevolvdos po esss áes de coheceto. Lopez (993) pesetou potâc do uso d coputção sólc co o Mple o pedzdo dos estudtes de egeh ode ct plcção dest feet desde 988 o Isttuto de ecolog Rose-Hul Iglte e ls vldde d plcção dest etodolog destcdo que os esultdos são otdos e tepo el susttudo log e tedos tef de eloção teóc d pátc de eso. Adde (996) utlzou o softwe de coputção sólc Mthetc esolução de equções dfeecs coplds o estudo sultâeo d tsfeêc de clo e ss e eos cples poosos otedo esultdos lítcos e uécos.

24 Jge e Asch (996) desceve o estudo d esolução de equções dfeecs pcs co o Mple ode cheg o esultdo d vldde do sste e sugee plção dos ecusos do softwe p que ovos étodos poss se pleetdos e destc supeodde do softwe Mple e elção outos CAS. Fkel (996) fêz o estudo d codução de clo utlzdo o étodo uéco dos íos quddos v coputção sólc co o softwe Mthetc ode ost u tesv álse dos eos gedos e vefcou que pleetção uéc ão exgu tepo excessvo de pocesseto. to (997) utlzou o softwe Mple esolução d equção de Foue e u pede pl co codções de cotoo de Cuchy pelo étodo d sepção de váves ode oteve u esolução stsftó essltdo vldde d tsfeêc dos esultdos p códgos e lguge de pogção C e Fot p see usdos e sulções uécs. Mkhlov e Cott (997) utlz o softwe Mthetc p peset u oteo dos codos do softwe p o cálculo dos utovloes de u pole de tsfeêc de clo co geoet clídc peseç de covecção foçd ode vestgou s osclções de tepetu e destcou os eefícos do uso d coputção sólc o cálculo de fuções coplexs. Cpo e Rodíguez (998) suge o uso de sstes de coputção sólc coo o Mthetc e o Mple esolução de poles de codução de clo ode peset dstução de tepetu e ege peete de u let ufoe utlzdo esoluções pelo étodo de sée de potêcs e pel solução ext ds fuções de essel e ls o tepo de pocesseto elzdo pelos étodos de solução dotdos. Yg (998) exploou o uso d coputção sólc o desevolveto de u lgoto uéco hído ode us dfeeçs fts e eleetos ftos plcdo u pole de tsfeêc de clo co o ojetvo de ls potêc de u fote de clo e geoet de pede pl co codções de cotoo de segudo tpo. Deteou que utlzção d coputção sólc e su álse fo efcete oteção dos esultdos.

25 3 ylo (999) pesetou dstução de tepetu e u pede pl utlzdo o étodo de lhs co o softwe de coputção sólc Mple. Su e Whte () peset u etodolog de esolução de poles de vlo de cotoo utlzdo o softwe de coputção lgéc Mple pelo étodo d sfod de Lplce e usou o étodo uéco ds dfeeçs fts p esolução de equções dfeecs odás e desceveu plcção de u étodo se-lítco p esolução ds equções dfeecs pcs. Cpell e Mck () ost o estudo de cotole de tepetu e u utlzdo o softwe Mple ode plcou o étodo de dfeeçs fts vsdo álse de dstúos peódcos do pole. Muz e Mzc. () peset exeplos do uso do softwe de coputção sólc Mple esolução de equções dfeecs típcs de poles de codução de clo e pedes pls os eges estcoáo e tsete utlzdo o étodo de sepção de váves e vefcou que plcção dest etodolog coputcol de esolução possltou u ple vlção d fluêc dos pâetos copeeddos o pocesso de codução de clo. Mlgutt e Nsceto () dscut etodolog do uso do softwe Mple p esolução e tepetção de esultdos ds pcps equções d Físc- Mteátc poveete d odelge teátc de poles lgdos às Egehs. Cuh () utlzou o softwe de coputção sólc Mthetc o estudo sultâeo d tsfeêc de clo e ss e eos cples poosos plcdos outos tes copleetdo o que fo poposto po Adde (996). Stos e Medes (3) ls o étodo uéco de Eule o étodo uéco de Eule odfcdo u étodo uéco se-lítco e esolução pelo softwe Mtl e u pole de tsfeêc de clo evolvedo codução covecção e dção de u pede pl ode fêz u coptvo d fluêc do tevlo de tepo e dfeetes étodos uécos. Vefcou que os étodos de Eule e Eule odfcdo usv uto tepo coputcol po exge tevlos de tepo uto pequeos e co o softwe Mthl ostou vtge de esolve o sste de equções sulteete e eque u úeo eo de teções pes

26 4 ds sulções see lets ostdo se o étodo se-lítco u ltetv edução dos tepos de pocesseto. Auzo Cpo e Cotés (4) elz u álse ds ccteístcs do pole de tsfeêc de clo e lets ules co pefl hpeólco pelo étodo de sée de potêcs e fz uso do softwe de coputção sólc Mple vsdo gt extdão dos cálculos. Co Flho Reo e Goçlves (4) utlz teo de pedzge de Ausuel e coputção sólc co o softwe Mthetc p c u ete fotzdo de pedzge utlzdo coo exeplo o pole do esfeto do epoxy co o étodo d sepção de váves e étodo uéco ds dfeeçs fts ode ostou esultdos d dstução de tepetu e u pede pl co codções de cotoo de Dchlet. Lü evol e Vlje (6) popuse u étodo lítco tsete p vlção de u pocesso de tsfeêc de clo e pedes pls co codções de cotoo peódcs coposts plcdo à costução cvl e fêz uso do softwe de coputção sólc Mple esolução lgéc de csos co s de tês cds de pede. Azz (6) ost esolução de poles de tsfeêc de clo co o softwe Mple p o ege peete e pedes pls cldos sóldos cldos vzdos e esfes pesetdo soluções lítcs uécs e estudos de fuções especs. Apeset té esoluções tsetes p pedes pls e cldos sóldos. Este tlho v lé ds soluções pesetds po Azz (6) pos clu o estudo e álse d geoet do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs dedução est popost po Özşk (98) poé ão detlhd lgecete. O pole é explodo e dus stuções: peseç e usêc de geção te de clo ode é pesetd u álse coputcol d vldde do uso do softwe Mple p ests soluções pssdo pelo estudo do pefl cl de tepetu e fução do úeo de utovloes usdos pels soluções pels esoluções lítcs e uécs e ege peete pels

27 5 esoluções tsetes lítcs e uécs e d esolução de u cso e ege peete co codutvdde téc vável... O softwe Mple Chocky e Wch (5) desceve u pequeo hstóco do sugeto do softwe Mple segudo Keth Geddes fuddo d Wteloo Mple epes esposável pelo softwe: E oveo de 98 e u euão co cdêcos d Cêc d Coputção d Uvesdde de Wteloo dscut-se coo desevolve u softwe de coputção sólc e etão segudo Geddes o Mple fo cocedo. N pe se de dezeo do eso o u sste opecol já th sdo desevolvdo. E jeo de 98 o Mple fo usdo o cuso de Itodução à Coputção Sólc d Uvesdde de Wteloo. No o segute teátcos c sus pesquss co o Mple e e 983 fo dfuddo p pesqusdoes de outs sttuções sedo plcdo outs áes. E 987 hv 3 stlções do softwe e todo o udo. Apes e l de 988 o softwe Mple fo copodo Wteloo Mple Softwe p coéco dstução e supote e e 99 o úeo de stlções pssou p. A pt dest dt o softwe Mple ão pou de se tulzdo eceedo ovos ecusos e gedo u púlco cd vez o de usuáos e plcções e dvess áes do coheceto. A flexldde coputcol do softwe Mple pete que ele sej utlzdo coo: - u sste de vsulzção; - u solve sólco ou uéco; - u lguge de pogção; - u ete de odelge e álse de ddos.

28 6 O softwe é coposto po pllhs petdo tto etd de codos coo etd de textos sedo que teção co o usuáo é fet e u úco ete coputcol. O Mple possu cec de 3 codos áscos e coté e seu eu de jud descção de cd codo e exeplos de plcção. O Mple possu té pcotes coputcos que pode se executdos e u lh de codo p esolução de poles específcos. O Mple dspõe de vesões p dvesos sstes lé do Wdows coo Mctosh Ux e Lux e é u softwe que pode se usdo: - N teátc: p esolve equções lgécs e dfeecs juste de cuvs e tepolção cálculo de tegs devds sées e tsfods e esolução de fuções especs ete outs. - N vsulzção e pulção: de fuções dscets ou cotíus. - N coucção: pete poduz docuetos fs e dvesos fotos coo HML LAEX RF ou XML e os gáfcos té pode se slvos e dvesos fotos lé de pet cção de lks cessíves pel Iteet. Etes os CAS que s se destc o ecdo estão: o Mthetc desevolvdo pel Wolf Resech Ic. e 988 o Mx desevolvdo clete co o oe de Mcsy e 968 pelo Msschusetts Isttute of echology e sedo etvdo pel MthSoft Ic. e 98 o Deve desevolvdo pel Uvesdde do Hw e 985 e coeclzdo pel Soft Wehouse Ic. o Reduce desevolvdo pel Uvesdde de Uth e 968 e o MuPd desevolvdo pel Uvesdde de Pdeo décd de otet (WESER 999). Weste (999) fez u copção ete os váos sstes de coputção sólc popodo esolução de poles de dvess plcções teátcs sedo ostdo el pocetge de supeodde do softwe Mple esolução de 473 poles popostos e elção lgus CAS cocoetes:

29 7 el - Pocetge de supeodde de esolução do Mple e outos softwes exstetes o ecdo (dptdo de Weste 999). Softwe Supeodde do CAS Mple esolução de poles [%] MAXIMA 77 MAHEMAICA 59 DERIVE 83 MuPAD 3849 REDUCE 4778 O softwe Mple fo escolhdo p este tlho po se u feet cofável e cetfcete explod o estudo d esolução de equções dfeecs odás e pcs..3 OJEIVOS DO RAALHO O pesete tlho cocet-se e explo e utlz u sste de coputção sólc o cso o softwe Mple 8 lcecdo pel Uvesdde de uté álse de poles de codução de clo. Est etodolog é utlzd esolução lítco-uéc d equção d codução de clo d geoet clássc de u cldo vzdo logo co codções de cotoo covectvs. Nests codções seão elzds: - A esolução lítc e ege peete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e se peseç de geção te de clo; - A esolução uéc e ege peete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e se peseç de geção te de clo pelo étodo ds dfeeçs fts co o esque de dfeeçs cets;

30 8 - A esolução lítc e ege peete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e co peseç de geção te de clo; - A esolução uéc e ege peete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e co peseç de geção te de clo pelo étodo ds dfeeçs fts co o esque de dfeeçs cets; - A esolução lítc e ege peete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc vável e se peseç de geção te de clo; - A esolução lítc e ege tsete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e se peseç de geção te de clo pelo étodo d sepção de váves; - A esolução uéc e ege tsete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e se peseç de geção te de clo pelo étodo ds dfeeçs fts pelos esques explícto e Ck-Ncolso; - A esolução lítc e ege tsete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e co peseç de geção te de clo pelo étodo d sepção de váves; - A esolução uéc e ege tsete do cldo vzdo co codções de cotoo covectvs tvés do Mple co codutvdde téc costte e co peseç de geção te de clo pelo étodo ds dfeeçs fts pelo esque Ck-Ncolso; Os esultdos ds dstuções de tepetu seão pesetdos e s vtges e ltções coputcos lsds..4 ORGANIZAÇÃO DO RAALHO Os póxos cpítulos seão dspostos co os segutes coteúdos:

31 9 - o cpítulo dos seão pesetdos os odelos teátcos escolhdos p o desevolveto do tlho; - o cpítulo tês seão pesetds s etodologs evolvds tto esolução uéc coo lítc p os odelos desctos o cpítulo dos; - o cpítulo quto seão pesetds s esoluções lítcs e uécs e ege peete tvés do softwe Mple dos odelos desctos o cpítulo dos; - o cpítulo cco seão pesetds s esoluções lítcs e uécs e ege tsete tvés do softwe Mple dos odelos desctos o cpítulo dos; - o cpítulo ses seão pesetds s dstuções de tepetu poveetes ds esoluções lítcs e uécs tvés do softwe Mple poveetes ds soluções otds dos cpítulos quto e cco e os tepos coputcos de cd tpo de solução; - o cpítulo sete seão pesetds s coclusões otds do tlho ss coo sugestões p tlhos futuos; - o Apêdce A seá pesetd esolução lítc p u dos csos popostos p fclt o etedeto d esolução coputcol; - o Apêdce seá pesetd esolução uéc p u dos csos popostos vsdo té fclt o etedeto d esolução coputcol; - o Apêdce C é ostdo u esuo d descção dos codos utlzdos do softwe Mple.

32 3 MODELAGEM MAEMÁICA A segu seão pesetdos os odelos teátcos p os csos vldos sedo efeecdos o logo do texto po Cso Cso e Cso 3.. MODELAGEM MAEMÁICA CASO Segudo Clw e Jege (976) equção d codução de clo p u cldo vzdo logo de os teo e exteo cosdedo codutvdde téc costte co usêc do teo de dsspção-geção te de eeg e ege peete é desct pel equção (). d d d d ( ) = < < () As codções de cotoo são expesss Fgu : = h h = Fgu - Repesetção de u cldo vzdo logo co codções de cotoo covectvs. As codções de cotoo fc:

33 3 ( ) d - k h ( ) = h d = () ( ) d k h ( ) = h d = (3) Segudo Icope e Wtt (985) equção d codução de clo e ege tsete é dd pel equção (4): α t ( t) ( t) = < < t > (4) sedo: k α = (5) ρ c p No ege tsete p t > supefíce de cotoo dssp clo po covecção e = e e = e s codções de cotoo covectvs são defds coo: ( t) - H ( t) = H = t > (6) ( t) ( t) H = H = t > (7) sedo: h H = e k H h = (8) k

34 3 A codção cl ssocd é: ( t) = f ( t = (9) ). MODELAGEM MAEMÁICA CASO Segudo Icope e Wtt (985) se fo cosded peseç de geção te de clo equção d codução de clo desct pelo Cso equção () el se to: d d d d ( ) q& k = < < () As ess codções de cotoo epesetds pels equções () e (3) fo tds. Cofoe Icope e Wtt (985) se equção d codução de clo () fo depedete do tepo se esue : α ( t) ( t) = t q& k < < t > () As ess codções de cotoo epesetds pels equções (6) e (7) p o ege tsete fo tds..3 MODELAGEM MAEMÁICA CASO 3 Se codutvdde téc desct equção () dex de se costte equção d codução de clo pode se desct coo: d d d k( ) d ( ) = < < ()

35 33 Sedo k ( ) é u fução le depedete d tepetu popost po Özşk (98) fo: k ( ) ko( β ( ) ) = (3) Mtedo-se s ess codções de cotoo covectvs ov stução se expess coo: ( ) - k() h ( ) = h = (4) ( ) k() h ( ) = h = (5) A stução epesetd p o Cso 3 seá vld pes p o ege peete.

36 34 3 MEODOLOGIA A segu seão pesetds s descções dos étodos lítcos e uécos utlzdos esolução dos poles popostos. 3. MÉODO DA SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Dute os últos dos séculos dvesos étodos fo desevolvdos p esolução de equções dfeecs pcs. O étodo d sepção de váves é o étodo ssteátco s tgo usdo po D Aleet Del eoull e Eule po volt de 75 s vestgções soe ods e vções. Fo cosdevelete efdo e geelzdo e costtu-se u étodo de gde potâc e de utlzção feqüete os ds de hoje. A vestgção teátc d codução de clo pcpou e too de 8 e cotu eece teção dos pesqusdoes odeos (OYCE; PRIMA 994 e HAERMAN 998). E utos poles físcos pottes exste dus ou s váves depedetes de odo que os odelos teátcos coespodetes evolve equções dfeecs pcs. O étodo d sepção de váves pete esolução de equções dfeecs pcs cuj ccteístc essecl é susttução d equção dfeecl pcl po u cojuto de equções dfeecs odás. A solução desejd d equção dfeecl pcl se expe etão coo u so usulete coo u sée ft costtuíd pels soluções ds equções dfeecs odás (ZILL; CULLEN ). A plcção do étodo de sepção de váves é dcd poles hoogêeos co codções de cotoo hoogêes potto qudo poles peset ão hoogeeddes s codções de cotoo é ecessáo decoposção do pole e u ou s poles eoes (RAGA FILHO 4). Os poles epesetdos pels equções (4) e () ão são hoogêeos o que plc que esolução deve se sudvdd fo:

37 35 ( t) F( ) G( t) = (6) sedo equção (6) epeset dstução de tepetu devedo se so ds soluções e ege peete e e ege tsete. A esolução de F ( ) é solução e ege peete e depede soete de e gup s pcels de ão hoogeeddes do pole. Fzedo o lço d codção de cotoo expess pel equção (6) e = e t> te-se: F ( ) G( t) H ( ) HG( t) = H F (7) Coo p o ege peete seá vld pes F() te-se: F ( ) H F ( ) = H e = (8) e p o ege tsete: G ( t) H G ( t) = e = e t> (9) Igulete o lço p codção de cotoo covectv exte d equção (7) e = e t> é: F ( ) G( t) H ( ) H G( t) = H F () Coo p o ege peete seá vld pes F() te-se: F ( ) H F ( ) = H e = () e p o ege tsete:

38 36 G H ( t) G = e = e t> () P o ege peete equção d codução de clo é expess po (3): d d df d ( ) = (3) e s codções de cotoo te fo ds equções (8) e (). P o ege tsete deve-se ote solução G(t) co s codções de cotoo fo ds equções (9) e () go hoogêes. A equção p G(t) pode se expess fo de (4): ( t) G( t) G = α t (4) Cosdedo que o pole se toou hoogêeo o étodo de sepção de váves pode se plcdo e ssue-se u solução ptcul fo do poduto de dus fuções coo: G ( t) = R( ) I( t) (5) Sedo R seá fução pes de e I seá fução pes de t. A susttução d equção (5) equção (4) lev : d R( ) dr( ) di( t) R( ) = d d αi( t) dt (6) A sepção d equção (6) só é possível se os os ldos foe guldos à es costte:

39 37 d R( ) dr( ) di( t) = ( ) R d d αi( t) dt = (7) ode - é u costte de sepção que deve se escolhd de fo stsfze stução físc do pole. As equções sepds fc: d R( ) dr( ) R( ) = d d (8) e: dσ ( t) I( t) α = dt (9) A esolução d equção (8) deveá se susttuíd s codções de cotoo esultdo e u equção tscedetl chd de utofução cuj solução foeceá u úeo fto de ízes chds de utovloes tuídos à costte sedo que cd utovlo epeset u solução ptcul d utofução (HAERMAN 998). Utlzdo popeddes de fuções otogos e stsfzedo codção cl solução é otd pel so ds esoluções ds equções (8) e (9) p u detedo úeo de utovloes dequdete defdos esolução. 3. MÉODO DAS DIFERENÇAS FINIAS Spedo Medes e Slv (3) desceve o étodo ds dfeeçs fts coo u técc p oteção d solução uéc de u equção dfeecl pcl e que susttu s devds cotíus (e codções de fote e cs) pels fóuls ds dfeeçs que evolve soete vloes dscetos ssocdos co posções d lh. E tod solução uéc equção dfeecl pcl é susttuíd po u poxção dscet ou sej solução uéc é cohecd

40 38 soete p u úeo fto de potos o doío físco equto que solução lítc deve stsfze equção dfeecl pcl e cd poto d egão. A poxção dscet esult e u cojuto de equções lgécs que são clculds p vloes dscetos descohecdos. O cojuto fto de potos e que se cosde dscetzdo o doío é chdo de lh e os potos chdos de potos ods. 3.. Dscetzção tsete d codução de clo Özşk (984) desceve equção d codução de clo pelo esque explícto plícto e po Ck-Ncolso ds dfeeçs fts p geoet de u cldo vzdo co o teo e o exteo dvddo e M tevlos gus o qul desão de cd tevlo é dd pel equção (3) e su epesetção é ostd Fgu : ( ) = (3) M As dscetzções p geoet epesetd Fgu d pe e d segud devd fc fo de (3) e (3) (ÖZIŞIK 984 e FORUNA. ): = θ θ (3) = θ θ θ (3)

41 39 Fgu - Repesetção d oecltu de dfeeçs fts p u cldo vzdo. A dscetzção d devd o tepo fc expess fo de (33) (ÖZIŞIK 984): t t = (33) Susttudo s equções (3) (3) e (33) equção (4) d codução de clo: t = α θ θ θ θ θ (34) sedo: defe loclzção dos potos de esolução deção dl; defe o úeo de pssos o tepo; é dstâc ete os potos de esolução deção dl []; t é desão de ceeto de tepo [s];

42 4 M é o úeo de potos ods d lh; θ é u costte que defe o esque sedo θ = o esque explícto; θ = o esque plícto e θ = / o esque Ck-Ncolso. Fotu () fz descção dos esques ctdo que qudo é utlzdo o esultdo de u solução u stte teo já cohecd p clcul solução posteo desejd o esque de dscetzção é dto explícto ou sej qudo s tepetus descohecds pels tepetus cohecds o tepo teo. o tepo pode se detete deteds A equção (34) dscetzd p u poto odl teo co θ = p o esque explícto é dd po: ( A) ( ) ( A ) = (35) sedo: α t A = t = α (36) ( ) e Qudo é utlzdo o esultdo de u solução u stte tul de tepo o esque de dscetzção d equção (34) é dto plícto co θ = sedo epesetdo equção (37): = ( A ) ( ) ( A) (37) A tepetu é deted pel solução sultâe ds equções e todos os potos ods e cd tevlo de tepo.

43 4 O esque poposto po Ck e Ncolso e 947 é u esque plícto ltetvo o qul se té o ldo deto d equção (34) fo plíct e o ldo deto d equção é esultte d éd tétc dos esques plícto e explcto. A equção (38) ost o esque de Ck-Ncolso p = θ : t = α (38) Após ejd o que pode se vsto o Apêdce equção (38) to segute fo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A = (39) Özşk (984) desceve el o ctéo de estldde e ode de eo p os esques explícto plícto e Ck-Ncolso: el - Ctéos de estldde dos esques explícto plícto e Ck- Ncolso. Esque Ctéo de estldde Ode de eo Explícto ( ) t α ( ) ( ) t O Iplícto Sepe estável ( ) ( ) t O Ck-Ncolso Sepe estável ( ) ( ) ( ) t O Özşk (984) té se efee os ctéos de covegêc descevedo-os fo: ( ) ( ) ( ) ε ctéo de covegêc eltv

44 4 O qul deve stsfze todos os potos ods o doío dscetzdo. Poé té é ecoeddo o uso d o Eucld p stsfze o ctéo de covegêc: ~ ~ ~ ~ = L Ode: é tepetu o poto u ; ~ é tepetu o poto odl u teção segute; é tepetu o poto ; ~ é tepetu o poto teção segute. 3.. Defção d lh O tho d lh fo defdo cosdedo-se clete u lh gosse e pt dest poxção fo feto u efeto. A el 3 exeplfc o eo clculdo p o Cso s fotes: el 3 - Eos eltvos o tho d lh plcdo o Cso. Núeo de potos ods d lh Eo o poto odl zeo [%] Eo o poto odl M [%]

45 43 O cálculo do eo eltvo ostdo el 3 é otdo pel equção (4): p Eo = (4) p sedo: Eo é o eo eltvo [%]; é tepetu e u poto odl e u sulção co x potos ods [ C]; p é tepetu e u poto odl e u sulção co poxdete x4 potos ods [ C]; O ctéo de escolh p o tho d lh fo u eo eltvo feo - vsdo ão elev os tepos coputcos Método de esolução de sstes de equções lees A esolução de poles de codução de clo pelo étodo de dfeeçs fts esult e sstes de equções lgécs que deve se esolvdos po étodos detos ou tetvos. Fotu () e Özşk (984) desceve s vtges e desvtges d utlzção de cd étodo. Os sstes esulttes de poles tsetes fo tcl lev tzes chds de tdgos ode soete dgol cetl e s djcetes possue coefcetes dfeetes de zeo (FORUNA ). U étodo uto utlzdo e cojuto co o étodo ds dfeeçs fts é o DMA (Dgol Mtx Algoth) ou étodo lh lh ou étodo de hos (ÖZIŞIK 984). Cosdedo tz tdgol epesetd Fgu 3 o étodo DMA vs tlh pes co os eleetos dfeetes de zeo d tz dos coefcetes.

46 44 = A C A C A C A C A P L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Fgu 3 - Esque de u tz tdgol. Cosdedo u sste fo: D P = (4) A esolução do sste descto pel expessão (4) utlzdo o étodo DMA é fet expessdo s lhs do sste segute fo: D C A = (4) P oedece às codções do sste C e deve se ulos. O sste pode se esolvdo tvés d expessão (4) utlzdo elção expess pel equção (43): Q P = (43) sedo: = C P A P (44) = C P A C Q D Q (45)

47 45 Coo C = etão: P A = e Q = D A Sedo possível pt deles clcul todos os outos vloes. Potto deve-se coeç pel últ lh e egeddo té pe. Coo = etão P = esultdo e: = Q Sedo possível etão o cálculo dos des vloes p solução.

48 46 4 SOLUÇÕES PARA O REGIME PERMANENE P copeesão d esolução coputcol esclece-se lgus coveções do pog de coputção sólc Mple: - O síolo > dc que se tt de u lh de codo executável o Mple; - Cd expessão é tuíd u vável evtdo ss epetção d expessão; - O síolo := é u opedo de tução sgfcdo que expessão do ldo deto seá tuíd vável poscod o ldo esquedo. 4. RESOLUÇÃO DO CASO A geoet desct coo Cso efeecd pel equção () e pels codções de cotoo () e (3) teão segu sus esoluções lítc e uéc pesetds co o softwe de coputção sólc Mple o ege peete. 4.. Resolução lítc Cso ege peete P esolução e ege peete equção dfeecl d codução de clo () é defd e tuíd à vável F ode dff epeset devd. > F := (/)*dff(*dff(()))=; d ( ) ( ) d F := d = d (46) A segu são defds s codções de cotoo e s tuíds à vável CCP ode D epeset devd.

49 47 > CCP:= -D()()=H[]*([fty]-()) -D()()=H[]*(()- [fty]); CCP := D( ) ( ) = H ( ( ) ) D( ) ( ) = H ( ( ) ) (47) A solução sólc d equção d codução de clo é otd co o codo dsolve utlzdo s codções de cotoo defds pel equção (47) sedo o esultdo ovete tuído vável F. > F:= dsolve({fccp}{()}); l( ) H H H H l( ) H H F := ( ) = H H l( ) H H H l( ) H H H ( ) l( ) H H l( ) H H H l( ) H (48) Co defção de vloes uécos p o o teo =.3 o exteo =.5 e os pâetos H = - e H =. - solução de F é etão cocetzd co o codo evl que pete susttução dos vloes ds tepetus dos fludos teo e exteo: > F:= evl(f{[fty]=3 [fty]=}); F := ( ) = l( ) (49) A dstução de tepetu e ege peete é etão tuíd u ov vável chd Pe sedo este pocedeto ecessáo p evt cofltos co fução () esolução tsete.

50 48 > Pe:= *l(); Pe := l( ) (5) O gáfco d dstução d tepetu pode se otdo co o codo plot. 4.. Resolução uéc Cso ege peete A esolução uéc do Cso pelo uso do softwe Mple seá fet utlzdo o esque de dfeeçs cets. A equção d codução de clo () p o ege peete é defd e tuíd vável ode: > ode:= /*dff(())dff(dff(()))=; d ( ) d d ode := ( ) = d (5) São defdos os vloes do o teo = 3 do o exteo = 5 e o úeo de potos ods d lh epesetdo po M = 5. A dstâc ete os potos ods o setdo dl defdo pel equção (3) é: > Delt[]:=(-)/M; :=.4 O vlo do ceeto dl é defdo coo: > R:=->*Delt[]; R :=

51 49 É defd etão pe devd e elção à equção (5) e tuíd vável p: > p := ->([]-[-])//Delt[]; p := (5) É defd segud devd equção (53) e tuíd vável pp: > pp:=->([]-*[][-])/delt[]^; pp := (53) A equção gel fo de dfeeçs fts é etão defd p os potos ods teos pel equção (54) e tuíd vável eddf: > eddf:= /R()*p()pp()=; eddf := = (54) A pe codção de cotoo é etão dexd fo de dfeeçs pel equção (55) e tuíd vável CCp: > CCp:= p()=h[]*([fty]-[]); CCp := = H ( ) (55)

52 5 solve: A tepetu efeecd po - é sold d equção (55) co o codo > [f]:=solve(ccp[-]); f :=.8 H.8 H (56) É fet susttução d equção (56) equção gel ds dfeeçs fts (54) p o poto odl zeo: > eq[]:= sus([-]=[f]eddf);. H. H eq := H 5. H = A efeêc o poto odl zeo é fet: > eq[]:= sus(=eq[]); eq := H H = U pocedeto álogo é elzdo p segud codção de cotoo se efeecdo o poto odl M: > CCp:=p()=H[]*([M]-[fty]); CCp := = H ( 5 )

53 5 > [fm]:=solve(ccp[]); fm :=.8 H 5.8 H > eq[m]:= sus([]=[fm]eddf);. H 5. H eq 5 := H 5 5. H 5. = > eq[m]:= sus(=meq[m]); eq 5 := 5. H 5 5. H = Os vloes uécos são foecdos p os pâetos H = - e H =. - p s tepetus do fludo teo = C e do fludo exteo = 3 C. Atvés do codo fo s equções p todos os potos ods são ejds fo de u sste: > fo fo to do eq[]:=evl(eq[]); ed do; eq := = > fo fo to M- do eq[]:= evl(ode{=r()dff(())=p()dff(dff(()))=pp()}); ed do;

54 5 eq := = eq := = M eq 48 := = eq 49 := = > fo fo M to M do eq[m]:=evl(eq[m]); ed do; eq 5 := = O codo fsolve ecot o vlo d dstução de tepetu e segu é ostd síd de esultdos: > sol:= fsolve({seq(eq[]=..m)}{seq([]=..m)}); sol := { 8 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = }

55 53 A dstução de tepetu é elho vsulzd tvés do codo evl teldo s tepetus co s espectvs posções coo ost o codo segu : > DFle:=evl([seq([R()[]]=..M)]sol); DFle := [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] 4. RESOLUÇÃO DO CASO Cosdedo log d esolução do Cso co o Cso seão ostds pes s etps de esolução que peset elevâc.

56 Resolução lítc - Cso - ege peete P esolução o ege peete do Cso utlzdo o softwe Mple úc dfeeç pece defção d equção d codução de clo () co clusão do teo de geção te de clo: > F := (/)*dff(*dff(()))q[pto]/k=; d ( ) ( ) d F := d q pto = (57) k d A solução sólc é ostd pel equção (58) utlzdo o codo dsolve. A potecldde do softwe Mple esolução de equções dfeecs é etão deostd solução expess po (58): > F:= dsolve({fccp}{()}); q pto F := ( ) = 4 k 4 ( H q H H pto q pto 4 H H k H H q pto 4 H H k H q pto ) l( ) ( H H H l( ) H H H l( ) ) ) 4 ( k ( q pto 4 H k H 3 q pto H l( ) q pto 4 H l( ) H k H l( ) H 3 q pto q pto q pto H l( ) 4 H k 4 H k H l( ) H 3 q pto H 3 q pto H l( ) ) ( k ( H H H l( ) H H H l( ) ) ) (58) Co defção de vloes uécos p o o teo = 3 o exteo = 5 e os pâetos H = - e H =. - k = W/ C e fote de clo

57 55 q& =. W/ 3 solução de F é etão otd co o codo evl que pete susttução dos vloes ds tepetus dos fludos teo e exteo e : > F:= evl(f{[fty]=3 [fty]=}); F := ( ) = l( ) 6.87 (59) de Pe. Atudo solução expess pel equção (59) u ov vável chd > Pe:=-5*^ *l()6.87; Pe := l( ) 6.87 (6) 4.. Resolução uéc - Cso - ege peete De fo álog o Cso seá utlzdo o esque de dfeeçs cets p esolução do Cso. A equção d codução de clo () é defd e tuíd vável ode: > ode:= /*dff(())dff(dff(()))q[pto]/k=; d ( ) d d q pto ode := ( ) = d k (6) As codções de cotoo são defds de fo álog o Cso. Dete s dvess sulções elzds seá ostd p os vloes do o teo = 3 do o exteo = 5 fote de clo q& =. W/ 3 e o úeo de potos ods d lh epesetdo po M = 5.

58 56 O vlo d dstâc ete os potos ods defção d pe devd e defção d segud devd são fets de fo álog às defds p o Cso sedo etão otds. A equção d codução de clo e fo de dfeeçs fts é etão defd: > eddf:= /R()*p()pp()q[pto]/k=; eddf := = k (6) Os póxos pssos d esolução são dêtcos os do Cso potto ão seão epetdos. Utlzdo es oecltu p s váves dstução de tepetu otd é co o codo evl que ost síd de esultdos: > DFle:=evl([seq([R()[]]=..M)]sol); DFle := [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

59 57 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] 4.3 RESOLUÇÃO DO CASO Resolução lítc Cso 3 ege peete P esolução lítc do Cso 3 clete é defdo o pefl le d codutvdde téc: > k := ko*(et*()); k := ko ( β ( ) ) (63) E segud equção () d codução de clo e ege peete é defd e tuíd vável het: > het := /*dff(*k*dff(()))=; het := ko ( β ( ) ) d d ( ) ko β d ( ) d ko ( β ( ) ) ( ) d d = (64)

60 58 soluções: Co o codo dsolve equção (64) é esolvd pesetdo dus possíves > het:= dsolve(het ()); het ( ) = β _C l( ) β _C := ( ) = β β ( ) = β _C l( ) β _C β (65) P est solução seá utlzd z postv que é tuíd vável het: > het:= /*/et*(-*(*et*_c*l()*et*_c)^(/)); het := β _C l( ) β _C β (66) O codo splfy é utlzdo p splfcção d equção (66) ode equção (67) ost u solução d ão explod p s codções de cotoo covectvs: > het:= splfy(%); het := β _C l( ) β _C β (67) U splfcção fet e elção à devd de het: > cod:= -_C/; cod := _C (68)

61 59 A pe codção de cotoo é etão defd: > cc:= cod = h[]*(het-[]); cc := _C β _C l( ) β _C = h β (69) A expessão que coté z qudd equção (69) é etão sold e tuíd vável teo: > teo := solve(cc(*et*_c*l()*et*_c)^(/)); teo := β _C h h β h (7) As póxs etps são elzds de fo el z qudd d equção (7) sedo: > teo := teo^; teo := ( β _C h h β ) h (7) > teo := expd(teo); β _C β _C β _C teo := h h h β β (7) > teoz := (*et*_c*l()*et*_c)^(/);

62 6 teoz := β _C l( ) β _C (73) > pot := teoz^; pot := β _C l( ) β _C (74) > teof := teo-pot; teof := β _C h β _C β _C h h β β β _C l( ) β _C (75) Ode vável teof epeset pe codção de cotoo se peseç d z qudd. Susttudo o vlo do o teo : > teof := sus(=teof); teof := β _C h β _C β _C h h β β β _C l( ) β _C (76) U pocedeto álogo seá elzdo p segud codção de cotoo: > cc:= cod = h[]*([]-het); cc := _C β _C l( ) β _C = h β (77)

63 6 > teo := solve(cc(*et*_c*l()*et*_c)^(/)); teo := β _C h β h h (78) > teo := teo^; teo := ( β _C h β h ) h (79) > teo := expd(teo); β _C β _C β _C teo := h h h β β (8) > teoz := (*et*_c*l()*et*_c)^(/); teoz := β _C l( ) β _C (8) > pot := teoz^; pot := β _C l( ) β _C (8) > teof := teo-pot; teof := β _C h β _C β _C h h β β β _C l( ) β _C (83)

64 6 > teof := sus(=teof); teof := β _C h β _C β _C h h β β β _C l( ) β _C (84) Ode teof é vável que epeset segud codção de cotoo se peseç d z qudd. Coo o Mple ão coseguu esolve detete os vloes ds costtes _C e _C seão dotdos vloes ptcules p solução. Defdo vloes dos pâetos cohecdos do pole: []:= 3: > :=.3: :=.5: et := : h[]:= : h[]:= : ko:= : []:= : Isoldo costte _C d pe codção de cotoo: > eq := solve(teof _C); eq := _C _C 5. (85) Isoldo costte _C d segud codção de cotoo: > eq := solve(teof _C); eq :=. _C _C 87.5 (86) Sutdo equção (86) d equção (85): > eq:= eq-eq;

65 63 eq := _C _C 48.5 (87) Atvés do codo solve o vlo d costte _C é detedo: > _C := [solve(eq_c)]; _C := [ ] (88) Dos vloes são pesetdos e o vlo postvo é despezdo pos se fo utlzdo foece u dstução de tepetu fscete coet. O vlo egtvo é etão tuído costte _C: > _C:=_C[]; _C := (89) O vlo d costte _C é etão detedo: > _C:= eq; _C := (9) A solução p equção d codução de clo é etão ecotd: > het; l( ) (9) pt. Os vloes d dstução de tepetus pode se ostdo co o codo

66 64 5 SOLUÇÕES PARA O REGIME RANSIENE 5. RESOLUÇÃO DO CASO As ess cosdeções coputcos ds soluções e ege peete seão tds p s soluções do ege tsete. 5.. Resolução lítc - Cso - ege tsete A solução p o pole descto coo Cso é desct o Apêdce A e te fo d equção (9): ( )( ( ) ( )) ( ) l H l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α t t = e R f R d = N l H H (9) P o íco d esolução e ege tsete co o softwe Mple seá defd equção dfeecl (4) d codução de clo p o Cso e tuíd vável het. > het := dff(/lph*g(t)t)=dff(dff(g(t)))/*dff(g(t)); G ( t ) t het := = α G ( t ) G ( t ) (93) P esolução d equção (93) deod het seá utlzdo o étodo de sepção de váves e o codo sus seá usdo p susttu G(t) pelo poduto

67 65 R().(t) vsdo sep equção (93) e dus fuções sedo u pes e fução do o e out pes e fução do tepo. > het := sus(g(t) = R()*(t)het); t ( R( ) ( t ) ) het := = α ( R( ) ( t ) ) ( R( ) ( t ) ) (94) A equção (94) é ejd de fo edstu seus teos fcdo o ldo esquedo d expessão pes co os teos de (t) e o ldo deto d expessão pes co os teos de R(). > het := het/r()/(t); d ( t ) dt het := = ( t ) α d R( ) ( t ) d d d R( ) ( t ) R( ) ( t ) (95) O codo expd é utlzdo p expd os teos d equção (95): > het :=expd(%); d ( t ) dt het := = ( t ) α d R( ) d R( ) d R( ) d R( ) (96) O ldo deto d equção (96) é etão tuído vável het tvés do codo hs. > het:= hs(%);

68 66 d R( ) d het := R( ) d d R( ) R( ) (97) E o ldo esquedo d equção (94) é tuído à vável hett tvés do codo lhs. > hett:=lhs(het); hett := d ( t ) dt ( t ) α (98) Os codos do Mple pet sepção de het e het e hett poé cofoe s equções (A6) e (A7) do Apêdce A os os eos d equção (96) deve se guldos es costte o cso -. A segu s equções (99) e () ost s equções (97) e (98) edefds co todução d costte -. > het := dff(r())/*dff(r())ld^*r()=; d d R( ) d het := R( ) = R( ) d (99) E: > hett := dff((t)t)/lphld^*(t); d ( t ) dt hett := α ( t ) ()

69 67 As soluções e fução do tepo d equção () e e fução do o d equção (99) são otds co o codo dsolve. > hett := dsolve(hett (t)); α t hett := ( t ) = _C e ( ) () E: > het := dsolve(hetr()); het := R( ) = _C esselj ( ) _C essely ( ) () As costtes _C e _C d equção () são eoeds pos solução de hett expess equção () já possu u costte chd _C: > het := sus(_c=_c3_c=_chet); het := R( ) = _C esselj ( ) _C3 essely ( ) (3) ode esselj() epeset u fução de essel de º tpo e ode zeo e essely() epeset u fução de essel de º tpo e ode zeo. O vlo d dfusvdde téc α = 5 /s e dos pâetos H = - e H =. - são defdos e p dequção ds codções de cotoo o ege tsete ecot-se devd de het expess equção (4). > DR:=dff(het); d DR := R( ) = _C esselj ( ) _C3 essely ( ) d (4)

70 68 Etão equção (4) é susttuíd codção de cotoo ostd equção (9) e =. > CC:= -DRH[]*het=; CC d := R( ) R( ) = _C esselj ( ) _C3 essely ( ) d _C esselj ( ) _C3 essely ( ) = (5) Rejdo equção (5): > CC:=sus(=CC); CC:= ( dff ( R(.3).3 ) R(.3 ) = _C esselj (.3 ) _C3 essely (.3 ) _C esselj (.3 ) _C3 essely (.3 ) ) = (6) e =. Susttudo equção (6) codção de cotoo ostd equção () > CC:= DRH[]*het=; CC d := R( ) R( ) = _C esselj ( ) _C3 essely ( ) d _C esselj ( ) _C3 essely ( ) = (7) Rejdo equção (7): > CC:=sus(=CC);

71 69 CC := ( dff ( R(.5 ).5 ) R(.5 ) = _C esselj (.5 ) _C3 essely (.5 ) _C esselj (.5 ) _C3 essely (.5 ) ) = (8) Reoedo os teos ds equções (6) e (8) ds codções de cotoo. > Uo := ld*esselj(ld*)h[]*esselj(ld*); Uo := esselj (.3 ) esselj (.3 ) (9) > So := ld*essely(ld*)-h[]*essely(ld*); So := essely (.5 ) essely (.5 ) () > Wo := ld*essely(ld*)h[]*essely(ld*); Wo := essely (.3 ) essely (.3 ) () > Vo := ld*esselj(ld*)-h[]*esselj(ld*); Vo := esselj (.5 ) esselj (.5 ) () Os utovloes pode se ecotdos pel equção tscedetl cofoe fo desevolvd pels equções (A46) té (A49) do Apêdce A. > QC := Uo*So-Wo*Vo; QC := ( esselj (.3 ) esselj (.3 ) ) ( essely (.5 ) essely (.5 ) ) ( essely (.3 ) essely (.3 ) ) ( esselj (.5 ) esselj (.5 ) ) (3)

72 7 Atete é escolhdo u vlo p costte _C: > _C :=So; _C := essely (.5 ) essely (.5 ) (4) e coseqüeteete p costte _C3 que fc coo: > _C3 := -Vo; _C3 := esselj (.5 ) esselj (.5 ) (5) Co deteção ds costtes _C e _C3 equção (3) fc: > het; R( ) = ( essely (.5 ) essely (.5 ) ) esselj ( ) ( esselj (.5 ) esselj (.5 ) ) essely ( ) (6) Etão os utovloes são detedos co o uso o codo fsolve p os peos vloes váldos sedo justfcdo o uso deste vlo o te 6.. > lds:= seq(fsolve(qc= ld=(-)*6..*6)=..); lds := ods s equções deve se tsfods e vetoes fodos de eleetos tvés do codo seq eceedo o eso oe cescdo d let V.