Probabilidade Aula 01

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1 Probabilidade Aula 01 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017

2 Sumário Apresentação do curso e motivação Probabilidade 2.1 Espaços amostrais e eventos 2.2 Axiomas, interpretações e propriedades da probabilidade

3 1.1 Bibliografia Livro texto Carlos A. B. Dantas, Probabilidade: um curso introdutório, edusp, 3a edição, Livro de apoio Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências, tradução da 8a edição americana, Cengage, 2014

4 1.2 Conteúdo Programático 1. Noções básicas de probabilidades (axiomas, prob. condicional, independência). 2. Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade. 3. Modelos probabiĺısticos discretos e contínuos. 4. Variáveis aleatórias multidimensionais discretas e contínuas. 5. Covariância, teorema do limite central.

5 1.3 Avaliação A média final M F será calculada da seguinte forma M F = P 1 +1,5P 2 +2P 3 4,5 sendo P 1, P 2 e P 3 as notas das três provas que ocorrerão nas semanas unificadas de prova. Somente os alunos que faltarem em uma das provas poderão fazer a prova substitutiva, que cobrirá toda a matéria do semestre.

6 1.4 Outras observações Serão disponibilizados materiais adicionais no Moodle Stoa As aulas da Turma 01 serão às quintas-feiras e começarão às 09h20 Onde me encontrar? Magno T. M. Silva (magno@lps.usp.br) Sala D2-15 do Prédio da Engenharia Elétrica Fone:

7 1.4 Introdução Como tratar de incerteza? fenômenos muito complexos para serem modelados detalhadamente controle de turbina de avião (150 variáveis de estado, simplificado para 4 v.e. e as demais são modeladas como incerteza em torno do modelo base) fenômenos em que é difícil ou impossível colher toda a informação necessária para obter um modelo preciso jogar uma moeda sinal transmitido em um canal de dados ruído térmico

8 1.5 Exemplo 1: Confiabilidade de sistemas Não é possível prever exatamente quando um componente vai falhar A teoria de probabilidades nos permite avaliar medidas de confiabilidade (probabilidade de que um componente falhe depois de funcionar um certo tempo) C1 C1 C2 Cn C2 Cn

9 1.6 Exemplo 2: Códigos mais curtos para letras mais comuns (MP3)

10 1.7 Exemplo 3: Sistemas que compartem recursos Servidor web: c clientes podem consultar um servidor em qualquer instante de tempo As consultas ficam numa fila de espera Cada cliente gasta um tempo antes de uma nova consulta O sistema termina uma conexão depois de um tempo máximo Como configurar o sistema para dar respostas rápidas e evitar finalizações prematuras de conexões?

11 1.8 Exemplo 4: sistema de comunicação Terminais enviando dados para um computador central Terminal #1 Sequência transmitida a 1(n) Transmissor x 1(t) y 1(t) #1 Forma de onda transmitida CANAL #1 Forma de onda recebida Receptor #1 Sequência recuperada b 1(n) Terminal #2 a 2(n) Transmissor #2 x 2(t) CANAL #2 y 1(t) Receptor #2 b 2(n) : COMPUTADOR : Terminal #k a k(n) Transmissor #k x k(t) CANAL #k y k(t) Receptor #k b k(n) CENTRAL : : Terminal #N a N(n) Transmissor #N x N(t) CANAL #N y N(t) Receptor #N b N(n) FONTE: Luiz Cezar Trintinalia, Introdução a Processos Estocásticos, 2003

12 Exemplo 4: sistema de comunicação

13 1.9 Modelos probabiĺısticos O conhecimento total das regras probabiĺısticas de um fenômeno é raro, mas muitas vezes é possível realizar medidas que ajudam na construção do modelo Bons modelos probabiĺısticos exigem o conhecimento da teoria de probabilidade Neste curso, vamos estudar: Conceitos de probabilidade que são a base para a construção de modelos probabiĺısticos e para entender a relação entre esses modelos e a realidade.

14 2.1 Experimento e espaço amostral Experimento aleatório: Qualquer atividade ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza. Exemplos: jogar uma moeda uma ou várias vezes selecionar uma ou várias cartas do baralho pesar um pedaço de pão determinar o tempo de viagem da sua casa até a Poli medir resistências de vigas metálicas O Espaço amostral de um experimento, representado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Exemplo: Experimento: examinar se um único fusível funciona ou não. O espaço amostral desse experimento é S = {N,D}, sendo que N representa sem defeito e D representa com defeito.

15 2.1. Exemplo 1 (2.3 do Devore) Dois postos de combustível estão localizados em um cruzamento e cada um possui 6 bombas. Experimento: Determinar o número de bombas em uso em uma certa hora do dia em cada posto. Resultado possível: (4,3): 4 bombas em uso no Posto 1 (P1) e 3 bombas em uso no Posto 2 (P2). Espaço amostral: P P1 0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) 1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

16 2.1. Exemplo 2 Experimento: Lançar dois dados simultaneamente e anotar o resultado de cada dado Resultado possível: (4,3): saiu 4 no Dado 1 (D1) e 3 no Dado 2 (D2) Espaço amostral: D D1 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

17 2.1. Exemplo 3 (2.4 do Devore) Numa empresa de software, vários programas escritos em Python compilam na primeira execução, mas alguns não. Experimento: Selecionar e compilar programas em Python um por um até encontrar um programa que compile na primeira execução. Notação: C é um programa que compila na primeira execução e C é um programa que não compila na primeira execução Espaço amostral: tem infinitos resultados S = {C, CC, CCC, CCCC, }

18 2.1 Eventos Um evento é qualquer grupo (subconjunto) de resultados contidos no espaço amostral S. Um evento é simples se ele consistir exatamente em um único resultado e composto se ele consistir de mais de um resultado.

19 2.1 Eventos Exemplo 4 (continuação do Exemplo 1) No exemplo dos postos de combustível, há 49 eventos simples. Exemplos de eventos compostos: A = o número de bombas em uso em cada posto é o mesmo ={(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B = o número total de bombas em uso é igual a 4 ={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)} C = no máximo uma bomba de cada posto está em uso ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

20 2.1 Eventos Exemplo 5 (continuação do Exemplo 3) No exemplo da empresa de software, há infinitos eventos simples.exemplos de eventos compostos: A = no máximo três programas são examinados ={C, CC, CCC} B = um número par de programas é examinado ={CC, CCCC, CCCCCC, }

21 2.1 Eventos Evento impossível O evento impossível consiste em um resultado que é impossível de ocorrer e será representado por. Exemplo 1 (postos de gasolina): C = o número total de bombas em uso é igual a 13 =

22 2.1 Algumas relações com a teoria de conjuntos Dados um espaço amostral S e os eventos (subconjuntos) A, B e C, temos o seguinte diagrama de Venn A B C S

23 2.1 Teoria de Conjuntos: União {ocorre A ou B} = A B = {s S : s A ou s B} A B S

24 2.1 Teoria de Conjuntos: Intersecção {ocorrem A e B} = A B = {s S : s A e s B} A B S

25 2.1 Teoria de Conjuntos: Complementar {não ocorre A} = A c = {s S : s A} A S

26 2.1 Teoria de Conjuntos: Diferença {ocorre A mas não B} = A B = {s S : s A : s B} A B S

27 2.1 Teoria de Conjuntos: Propriedades Comutativa Associativa Distributiva A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

28 2.1 Teoria de Conjuntos: Propriedades Regras de Morgan (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Note que A A c = S A A c = (A c ) c = A

29 2.1 Teoria de Conjuntos: União e intersecção As operações de união e intersecção podem ser repetidas para um número arbitrário de eventos. União de n eventos A k de S: n A k = A 1 A 2 A 3 A n k=1 Intersecção de n eventos A k de S: n A k = A 1 A 2 A 3 A n k=1

30 2.1 Teoria de Conjuntos: Eventos disjuntos Dois eventos são chamados disjuntos ou mutuamente exclusivos se não tiverem elementos em comum: A 1 A 2 = A 1 A 2 S

31 2.1 Teoria de Conjuntos: Eventos disjuntos (exemplo) Exemplo (voltando ao exemplo da empresa de software): A = um número ímpar de programas é examinado ={C, CCC, CCCCC, } B = um número par de programas é examinado ={CC,CCCC,CCCCCC, } A B =, A e B são disjuntos

32 2.1 Teoria de Conjuntos: Partição Uma partição de S é uma coleção de conjuntos disjuntos cuja união é S.Exemplo: S = A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 3 A 2 A 4 S

33 2.1 Teoria de Conjuntos: Partição e probabilidades Algo que será útil no cálculo das probabilidades: A = A S = A (A 1 A 2 A 3 A 4 ) = (A A 1 ) (A A 2 ) (A A 3 ) (A A 4 ) A 1 A 3 A A 2 A 4 S

34 2.2 Axiomas de Probabilidade Considere um experimento aleatório com espaço amostral S. Uma função de probabilidade é uma regra que associa a cada evento A um número denominado probabilidade do evento A, P(A) tal que A1 Para qualquer evento A, P(A) 0 A2 P(S) = 1 A3 Se A 1, A 2, A 3 é um grupo infinito de eventos disjuntos, então ( ) P A k = P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A k ) k=1 k=1 Observação sobre o A3: A propriedade para um grupo finito pode ser derivada dos três axiomas acima. Para isso, basta notar que P( ) = 0.

35 2.2 Definição clássica de probabilidade Consideremos um espaço amostral S com N eventos simples, que suporemos igualmente possíveis. Seja A um evento de S composto de m eventos simples. A probabilidade de A, denotada por P(A) é definida por P(A) = m N. Exemplo: Um dado não viciado é jogado, a probabilidade de dar 2 é P(2) = 1 6.

36 2.2 Exemplo 6 (2.11 do Devore) Experimento: jogar um percevejo no ar. Eventos: C = quando ele cai no chão, sua ponta fica virada para cimab = quando ele cai no chão, sua ponta fica virada para baixo Espaço amostral: S = {C, B} Pelo A2, sabe-se que P(S) = 1. Como C e B são disjuntos e sua união é S, temos 1 = P(S) = P(C)+P(B). Se P(C) = p, então P(B) = 1 p

37 2.2 Definição frequentista de probabilidade Interpretação frequentista: probabilidade é uma frequência relativa de ocorrência de algum evento.exemplo 1: jogar uma moeda várias vezes e observar quantas vezes deu cara em n experimentos número de caras P(cara) = lim = n(cara) = 1 n n n 2 Exemplo 2: O evento A consiste em verificar se uma encomenda prevista para chegar em dois dias consegue ser entregue em apenas um dia na grande São Paulo. Encomenda A ocorreu? N S S S N N S S N N Freq. rel. de A 0 0,5 0,667 0,75 0,6 0,5 0,571 0,625 0,55 0,5 Aumentando o número de experimentos, observa-se que a frequência relativa se aproxima de 0,6. Isso significa que cerca de 60% das encomendas chegará em um dia.

38 2.2 Definição subjetiva de probabilidade Interpretação subjetiva. A interpretação por frequência relativa funciona sempre? Qual a probabilidade de chover semana que vem? Qual a probabilidade de haver impeachment do presidente Temer? Qual a probabilidade de você viajar para China ano que vem? Que time vencerá o próximo jogo entre São Paulo e Palmeiras? Probabilidade é um número que reflete nosso grau de confiança de que um evento vai ocorrer. Esse número pode ser obtido experimentalmente ou não. A probabilidade pode ser diferente para distintas pessoas em decorrência das diferentes opiniões que elas têm sobre a ocorrência do evento.

39 2.2 Mais propriedades da probabilidade Para qualquer evento A, P(A)+P(A c ) = 1. Assim, P(A) = 1 P(A c ) Para qualquer evento A, 0 P(A) 1 Para quaisquer dois eventos A e B, P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Para quaisquer três eventos A, B e C, P(A B C) =P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C)

40 2.2 Exemplo 7 (2.14 do Devore) Em uma cidade, 60% das residências recebem o serviço de internet da companhia a cabo local; 80% recebem o serviço de televisão; e 50% recebem ambos os serviços. Se uma residência for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de ela receber exatamente um desses serviços da companhia?

41 2.2 Exemplo 7 (continuação) Resolução: A = {assina internet} B = {assina TV} Do enunciado: P(A) = 0,6, P(B) = 0,8, P(A B) = 0,5. O evento de que uma residência tenha assinatura apenas da TV é A c B e Analogamente Então: P(A c B) = P(B) P(A B) = 0,8 0,5 = 0,3 P(A B c ) = P(A) P(A B) = 0,6 0,5 = 0,1 P(exatamente um serviço) = P(A c B)+P(A B c ) = 0,3+0,1 = 0,4