Condensados em Redes Ópticas Periódicas

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA Condensados em Redes Óptias Periódias Eduardo Toshio Domingues atsushita Orientador: Prof.º Dr. Emerson José Veloso de Passos Comissão Examinadora Prof.º Dr. Emerson José Veloso de Passos (IFUSP) Prof.º Dr. Arnaldo Gammal (IFUSP) Prof.º Dr. Tobias Frederio (ITA) Dissertação apresentada ao Instituto de Físia da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de estre em Ciênias São Paulo SP 007

2 Agradeimentos Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Emerson José Veloso de Passos pela paiênia, pelas boas idéias e pelas soluções sem as quais seria impossível realizar esse trabalho. Agradeço a toda minha família, em espeial, a minha mãe, aria Domingues Araújo atsushita e aos meus irmãos, Elenio Araújo Andrade e Nala aria atsushita, pelo apoio e inentivo que me deram para seguir nessa arreira de físio. Agradeço aos meus grandes amigos pessoais, Elisa Ferreira, Wilson Façanha, Thiago e Samantha Sataglia, Fernando Ferreira, Felipe avihian, Grazielle Santana, Pedro Tavares, Bruno Amado, Felipe Prado, Karina Neves, Andréa alafati, Rauflin Carloto e aos olegas de banda por entenderem o meu afastamento e a minha indisponibilidade de horário. Finalmente agradeço à FAPESP pelo apoio finaneiro que possibilitou a realização desse trabalho. 1

3 Resumo Utilizamos o modelo de Bose-Hubbard para estudar as estabilidades dinâmia e termodinâmia dos ondensados numa rede óptia periódia irular. O nosso prinipal objetivo foi investigar a existênia de ondensados metaestáveis no sistema. Deduzimos e resolvemos a equação de Gross-Pitaevsii e, a partir da análise das soluções, foi possível mostrar que o sistema se ondensa em estados om momento modular bem definido. Esses estados formam uma base que diagonaliza o termo que desreve o tunelamento atômio no hamiltoniano de Bose-Hubbard. No ontexto da teoria de Bogoliubov deduzimos para ada ondensado, o hamiltoniano efetivo uja diagonalização determina o espetro das exitações oletivas do sistema. Identifiamos orretamente o modo de energia zero, onseqüênia da violação da onservação do número de átomos, e verifiamos que este possui momento modular igual ao do ondensado. No estudo da estabilidade vimos que todos os ondensados om momento modular nos º e 3º quadrantes são termodinamiamente instáveis e as respetivas ondições de estabilidade dinâmia dependem dos parâmetros de ontrole do sistema. Por outro lado os ondensados om momento modular nos 1º e 4º quadrantes são todos dinamiamente estáveis enquanto que, nesse aso, é a estabilidade termodinâmia que depende dos parâmetros de ontrole do sistema. Nessa análise verifiamos que o ondensado om momento modular q= 0, que orresponde ao mínimo global da energia, é sempre estável. Determinamos exatamente o intervalo nos parâmetros de ontrole a partir do qual podemos enontrar ondensados metaestáveis no sistema. Examinamos omo a ompetição entre as intensidades dos termos de tunelamento e repulsão loal afeta a estabilidade dos ondensados. Essa ompetição define dois regimes distintos: Rabi, onde a oerênia entre estados loalizados nos sítios é mantida, e Fo, onde não há mais essa oerênia e a apliabilidade da aproximação de Bogoliubov é questionável.

4 Abstrat We use the Bose-Hubbard model to study the dynamial and thermodynamial stabilities of ondensates in a irular periodi optial lattie. Our main goal was to investigate the existene of metastable ondensates in the system. We derive and solve the Gross- Pitaevsii equation, and from the analysis of the solutions it was possible to show that the system ondenses in states with well-defined modular momentum. These states onstitute a basis that diagonalizes the term of the Bose-Hubbard Hamiltonian whih desribes the dynamis of atomi tunneling. In the framewor of Bogoliubov theory we determine, for eah ondensate, the effetive Hamiltonian whose diagonalization give us the olletive exitation spetrum of the system. We show that the mode assoiated to a zero eigenvalue, whih is a onsequene of the violation of atoms number onservation, has the same modular momentum of the ondensate. The ondensates with modular momentum in the nd and 3 rd quadrants are all thermodynamially unstable whereas the dynamial stability depends on the ontrol parameters. On the other hand, the ondensates with modular momentum in the 1 st and 4 th quadrants are all dynamially stable whereas the thermodynamial stability depends on the ontrol parameters. Our analysis shows that the ondensate with modular momentum q= 0, whih orresponds to a global minimum of energy, is always stable independently of the ontrol parameters. We determine, exatly, the range on the ontrol parameters where it is possible to detet metastability in the system. We have studied how the ompetition between the intensities of the tunneling and loal interation terms affets the stability of the ondensates. This ompetition defines two distint regimes: Rabi, where the oherene between states loalized in the sites is ahieved, and Fo, where this oherene is not ahieved and the validity of Bogoliubov approximation is questionable. 3

5 Conteúdo Capítulo 1 - Introdução... 7 Capítulo O modelo de Bose-Hubbard, o momento modular e os ondensados do sistema O hamiltoniano de Bose-Hubbard Diagonalização do termo de tunelamento e a representação do momento modular A equação de Gross-Pitaevsii e os ondensados... 0 Capítulo 3 A aproximação de Bogoliubov e o hamiltoniano grande-anônio efetivo O hamiltoniano grande-anônio do sistema A aproximação de Bogoliubov e o hamiltoniano grande-anônio efetivo O aoplamento de momentos modulares no hamiltoniano efetivo Determinação dos pares de momentos modulares que são aoplados nos asos q = 0 e q = Determinação dos pares de momentos modulares que são aoplados no aso q 0, A estrutura em bloos do hamiltoniano grande-anônio efetivo

6 Capítulo 4 O espetro das exitações oletivas Os ramos energétios do espetro das exitações oletivas do sistema O espetro das exitações oletivas para os asos q = 0 e q = O espetro das exitações oletivas para o aso geral onde q 0, Capítulo 5 A estabilidade dos ondensados Estabilidade dinâmia dos ondensados Estabilidade termodinâmia dos ondensados Capítulo 6 Os ondensados metaestáveis e a estabilidade nos regimes de Rabi e de Fo Os ondensados metaestáveis do sistema A estabilidade dinâmia dos ondensados nos regimes de Rabi e de Fo Capítulo 7 - Conlusão Apêndie A. Os ondensados om momento modular q = ± B. A transformação de Bogoliubov que diagonaliza o hamiltoniano efetivo C. Cálulo da flutuação do número de átomos em ada sítio da rede óptia: aso q =

7 D. Comportamento assintótio das razões rítias ( t ) T est. e ( t ) D est. no limite 1 om N n fixo Referênias

8 Capítulo 1 Introdução A possibilidade de se estudar experimentalmente as propriedades de gases atômios quântios ultrafrios em poteniais periódios riados pela interferênia de dois feixes de laser, as hamadas redes óptias [1-3], impulsionou uma explosão na produção de trabalhos ientífios, tanto a nível experimental quanto teório. Esses sistemas têm se mostrado, nos últimos anos, um ampo muito rio para a investigação das apliações e dos aspetos fundamentais da meânia quântia e, em espeial, das teorias de muitos orpos. Reentemente observou-se experimentalmente uma transição de fase quântia de uma fase superfluida para uma fase isolante de ott em átomos bosônios onfinados numa rede óptia periódia [4,5]. As manifestações físias das flutuações quântias, relevantes no sistema a uma temperatura igual ao zero absoluto, são determinadas pela ompetição entre a energia inétia assoiada om o tunelamento entre os sítios da rede e a energia de interação no sítio resultante da repulsão átomo-átomo. Na fase superfluida os átomos oupam todos o mesmo estado. Esse estado não é loalizado e existe uma oerênia de longo alane entre as fases dos estados loalizados nos sítios da rede. Essa fase superfluida oorre quando a interação repulsiva átomo-átomo é desprezível omparada ao termo de tunelamento entre 7

9 sítios vizinhos. No limite oposto, quando a interação repulsiva átomo-átomo é dominante, os átomos oupam estados loalizados em ada sítio e não existe mais a oerênia entre as fases desses estados. Esse estado arateriza a fase isolante de ott. A físia do sistema desrito aima é apturada pelo modelo de Bose-Hubbard [6-8], que desreve a dinâmia de um gás de bósons interagentes num potenial de rede óptia. Segundo esse modelo, os átomos passam de um sítio ao outro da rede pelo tunelamento através das barreiras do potenial óptio que define os sítios. A interação repulsiva é loal, ou seja, a repulsão átomo-átomo oorre exlusivamente nos sítios da rede. O modelo de Hubbard foi originalmente introduzido, na físia do estado sólido, para desrever de modo aproximado o efeito das orrelações dos elétrons d em metais de transição do grupo do ferro [9]. Em geral os ondensados produzidos experimentalmente são sistemas onfinados, diluídos e fraamente interagentes de gases de átomos bosônios em regime ultrafrio, ou seja, a temperatura é tão baixa que pode ser onsiderada omo pratiamente nula. Gases om essas propriedades podem ser desritos pela teoria de Bogoliubov [10] onde supomos que todos os átomos oupam o mesmo estado, denominado de função de onda do ondensado. Nessa teoria a equação de Gross- Pitaevsii independente do tempo [11] determina os estados de equilíbrio [1]. A dinâmia do sistema é dada pela equação de Gross-Pitaevsii dependente do tempo [13] e sua linearização em torno do estado fundamental desreve as exitações 8

10 oletivas de baixa energia [14] e orrespondem as equações de Bogoliubov-de Gennes generalizadas para sistemas onfinados. Apresentamos nessa dissertação um estudo das propriedades dos ondensados numa rede óptia topologiamente restrita a uma onfiguração anelar. Nesse estudo supomos que a dinâmia do sistema é desrita pelo modelo de Bose-Hubbard e, no ontexto da teoria de Bogoliubov, determinamos os ondensados, as exitações oletivas e as respetivas ondições de estabilidade. O nosso prinipal objetivo foi investigar a existênia de ondensados metaestáveis no sistema. Os ondensados metaestáveis são mínimos loais da energia e andidatos a exibirem o fenômeno da superfluidez. De aordo om a referênia [15], esses estados de equilíbrio orrespondem a ondensados exitados. uitos autores utilizaram a teoria de Bogoliubov para desrever as propriedades de ondensados em redes óptias [16-19]. A referênia [19], em partiular, faz um estudo análogo ao realizado nessa dissertação. Entretanto, em vários aspetos importantes, o nosso trabalho se diferenia do estudo feito nessa referênia. Basiamente o que faz a diferença é a introdução de uma base de estados om momento modular bem definido [0] que diagonaliza o termo que desreve o tunelamento atômio no hamiltoniano de Bose-Hubbard. Essa representação revela um quadro transparente aera das propriedades dos ondensados e das exitações oletivas. Podemos itar aqui alguns fatos que ilustram essa transparênia. Por exemplo, resolvendo a equação de Gross- Pitaevsii, mostramos que os átomos do sistema se ondensam em estados om 9

11 momento modular bem definido. A partir da dedução do hamiltoniano efetivo, na representação do momento modular, verifiamos que apenas pares de momentos modulares são aoplados, e om a identifiação desses pares determinamos os momentos modulares que apareem na omposição das exitações oletivas. Identifiamos orretamente o modo de energia zero, que aparee omo onseqüênia da violação da onservação do número de átomos introduzida pela aproximação de Bogoliubov, e verifiamos que este possui momento modular igual ao do ondensado. No deorrer da dissertação fiará evidente omo a desrição das propriedades do sistema se torna simples e lara quando utilizamos essa representação. A dissertação está organizada do seguinte modo: no apítulo definimos o hamiltoniano de Bose-Hubbard para um sistema formado por N átomos bosônios interagentes numa rede óptia irular om sítios. Observamos que estados om momento modular bem definido formam uma base para os estados do sistema e diagonalizam o termo de tunelamento do hamiltoniano de Bose-Hubbard. Deduzimos e resolvemos a equação de Gross-Pitaevsii para os ondensados. No apítulo 3, a partir do hamiltoniano grande-anônio foi obtido, om base na aproximação de Bogoliubov, o hamiltoniano efetivo uja diagonalização determina o espetro das exitações oletivas do sistema. Para ada ondensado identifiamos os pares de momentos modulares que são aoplados nesse hamiltoniano. ostramos assim que o hamiltoniano efetivo pode ser esrito omo uma soma de termos ada 10

12 um dos quais se referindo ou a um par de momentos modulares idêntios ou a um par de momentos modulares distintos. No apítulo 4 determinamos expliitamente as expressões para as exitações oletivas do sistema. Através dos métodos desritos na referênia [1], determinamos, para ada termo do hamiltoniano efetivo, os ramos energétios que ompõem o espetro das exitações oletivas. No apítulo 5 estudamos as estabilidades dinâmia [1] e termodinâmia [] dos ondensados. No ontexto da teoria de Bogoliubov, a estabilidade dinâmia de um ondensado impõe que o espetro das exitações oletivas seja real ao passo que a instabilidade termodinâmia requer a existênia de ramos energétios om norma positiva e energia negativa. Observamos a existênia de dois meanismos de instabilidade termodinâmia: ruzamentos e inversões. No apítulo 6 determinamos o intervalo de valores para t a partir do qual detetamos metaestabilidade no sistema. Estudamos também omo a variação dos parâmetros de ontrole afeta a estabilidade dos ondensados. Nesse estudo destaamos dois limites que surgem em deorrênia da ompetição entre o tunelamento e a repulsão loal: os regimes de Rabi ( t 1) e de Fo ( t 1) [3]. O regime de Rabi, limite no qual a oerênia entre as fases dos estados loalizados nos sítios da rede é mantida, é bem desrito pela aproximação de Bogoliubov. Por outro lado, no regime de Fo, onde não há mais essa oerênia, a apliabilidade da aproximação de Bogoliubov é questionável. 11

13 No apítulo 7, finalizamos a dissertação om as onlusões aera do nosso estudo. Apontamentos relevantes foram anexados no Apêndie. 1

14 Capítulo O modelo de Bose-Hubbard, o momento modular e os ondensados do sistema Vamos definir o hamiltoniano de Bose-Hubbard para um sistema de átomos bosônios interagentes numa rede óptia anelar, om tunelamento apenas entre sítios vizinhos e interação repulsiva loal. Nessa dissertação trabalharemos om o modelo de Bose-Hubbard na representação do momento modular [0]. A base do momento modular, omo veremos, deorre da diagonalização direta do termo de tunelamento atômio no hamiltoniano de Bose-Hubbard. Ao final desse apítulo, deduziremos e resolveremos a equação de Gross-Pitaevsii para os ondensados e, a partir da análise das soluções, mostraremos que o sistema se ondensa em estados om momento modular bem definido..1. O hamiltoniano de Bose-Hubbard. Consideremos um sistema de N átomos bosônios interagentes numa rede óptia periódia topologiamente restrita a uma onfiguração anelar om sítios. Tomando o sistema de oordenadas ilíndrias ( r, θ, z), o entro de ada um dos R R z, om πλ sítios é loalizado no espaço pelo vetor λ = (, θλ, = 0) 0 λ ( 1). 13

15 Se a interação entre os átomos resulta de olisões binárias a baixas energias, o hamiltoniano padrão que desreve o sistema é dado por ˆ 3 ħ g H = d x ψˆ ( x) + V ( x) + ψˆ ( x) ψˆ ( x) ψˆ ( x) m (.1) onde g 4πaSħ m a é o omprimento de espalhamento da onda s e ψˆ ( x ) ( ψˆ ( x )), S é o operador de ampo bosônio que ria (aniquila) um átomo na posição definida pelo vetor x. O potenial óptio V ( x ) possui mínimos, ada um loalizado nos pontos (, ) R λ θ, em torno dos quais os átomos tendem a se loalizar, definindo assim um sítio da rede óptia. Como os átomos estão sujeitos a um potenial periódio, os respetivos autoestados individuais, na representação das oordenadas, são funções de onda de Bloh e uma superposição apropriada dessas funções resulta nas funções de Wannier, que são bem loalizadas em ada sítio da rede. Para obter o hamiltoniano do modelo de Bose-Hubbard, apliamos em (.1) a hamada aproximação de -modos que onsiste em expandir o operador de ampo ˆ x na base onstituída pelas funções de Wannier w( x λ) ψ( ) R da forma ψ ˆ x = w x R a ˆ, (.) 1 ( λ) λ= 0 λ onde o operador bosônio â λ, que aniquila um átomo no λ-ésimo sítio, satisfaz a ondição de periodiidade aˆ λ = a ˆλ+ e a relação de omutação anônia 14

16 aˆ λ, a ˆλ ' = δλλ, '. Substituindo a expansão (.) no hamiltoniano padrão (.1) obtemos a forma geral do hamiltoniano de Bose-Hubbard 1 Hˆ = t aˆ aˆ + J aˆ aˆ aˆ a ˆ (.3) BH 1 1 λλ' λ λ' αβγδ α β γ δ λλ, ' = 0 αβ,, γ, δ= 0 onde 3 ħ tλλ ' = d x w ( x Rλ) + V ( x) w( x Rλ ') m J = g d x w x R w x R w x R w x R 3 αβγδ α β γ δ. (.4) Vamos admitir que a barreira de potenial entre os sítios da rede tenha altura sufiiente para garantir que a desloalização só oorra devido à possibilidade de tunelamento entre os sítios vizinhos. Dessa maneira os elementos da matriz de tunelamento [ t λλ ' ], dados em (.4), são não-nulos apenas para aqueles que onetam poços onseutivos, ou seja, quando λ ' = λ± 1. A aproximação de - modos juntamente om essa onsideração aera dos elementos da matriz de tunelamento onstituem a hamada aproximação de tight-binding. Consideraremos também que a repulsão entre os átomos seja loal, ou seja, os átomos só interagem quando estão loalizados no mesmo sítio da rede. Dessa forma somente os elementos J αβγδ, om α =β= γ= δ, são não-nulos. A partir dessas onsiderações aera do modelo, o hamiltoniano de Bose-Hubbard para um gás de átomos bosônios interagentes numa rede óptia anelar assume a forma 15

17 1 1 ˆ J HBH = t ( aˆ λaˆ λ+ 1 + aˆ λ+ 1aˆ λ) + ( aˆ λaˆ λaˆ λa ˆλ) (.5) λ= 0 λ= 0 om 3 t = d x w x R V x w x R m 4 = 3 J g d x w( x). ħ ( λ) ( λ+ 1) (.6) Em resumo, o hamiltoniano (.5) desreve a dinâmia de um sistema de átomos bosônios interagentes numa rede anelar om tunelamento apenas entre sítios vizinhos e interação repulsiva loal. As intensidades do termo de tunelamento t e da repulsão loal J são dadas, expliitamente, em (.6). Na próxima seção mostraremos que estados om momento modular bem definido formam uma base que diagonaliza o termo de tunelamento do hamiltoniano de Bose-Hubbard... Diagonalização do termo de tunelamento e a representação do momento modular. No hamiltoniano de Bose-Hubbard (.5) o termo 1 λ= 0 ( λ λ+ 1 λ+ 1 λ) Hˆ = t aˆ aˆ + aˆ a ˆ (.7) tun desreve o tunelamento atômio entre os sítios vizinhos da rede óptia. Nessa seção mostraremos que estados om momento modular bem definido [0] formam uma base que diagonaliza esse termo. 16

18 Se introduzirmos um vetor da forma α = ( ˆ0 ˆ 1) tunelamento (.7) pode ser reesrito na forma matriial a a o termo de H ˆ = t α α, (.8) tun onde = (.9) é uma matriz hermiteana de dimensão. A equação de autovalores assoiada a matriz é dada por 1 λλ' ϕ λ' = ωϕλ ϕ λ 1 +ϕ λ+ 1 = ωϕλ λ ' = 0, (.10) onde ϕ λ denota o λ-ésimo elemento do autovetor assoiado ao autovalor ω de. Introduzindo em (.10) o ansatz λ iθλ ϕ C e (.11) a equação se torna independente de λ e o autovalor ω assume a forma ω= os θ. (.1) 17

19 O parâmetro θ é determinado a partir da ondição de ontorno periódia ϕ λ = ϕλ+ de maneira que, a partir de (.11), obtemos a igualdade iθ e = 1. (.13) A equação (.13) possui soluções da forma θ = θ = π (.14) de modo que, se π<θ π, assume os valores inteiros do intervalo ( 1) ( 1), se ímpar Λ =, se par. (.15) Introduzindo (.14) em (.1) os autovalores da matriz assumem a forma π ω = os, (.16) om Λ, e os autovetores normalizados orrespondentes são as matrizes olunas ujos elementos são da forma ( ) λ ϕ = 1 e π i λ. (.17) De (.17) é fáil verifiar que os autovetores de (.9) satisfazem a relação de ortogonalidade 18

20 1 ( ') ( ) ϕλ ϕ λ = δ ( '), (.18) λ= 0 onde δ x 1 se x mód = 0 0 se x mód 0 (.19) é o hamado delta modular. Note que, se Λ, o delta modular em (.18) se reduz ao delta de Kröneer usual δ, '. seja, Podemos onstruir uma matriz unitária S que diagonaliza a matriz (.9), ou S S = diag ( ω), (.0) onde diag ( ω) denota a matriz diagonal de dimensão autovalores (.16). Os elementos da matriz S são tais que formada pelos λ ( ) λ S = ϕ. (.1) Utilizando o fato de que S é unitária, o termo de tunelamento (.8) pode ser reesrito na forma ˆ = β ( ω) β, H t diag (.) tun onde β S α. que Se definirmos por A ˆ a -ésima omponente do vetor transformado β, segue 19

21 ˆ 1 A e aˆ. (.3) 1 π i λ λ λ= 0 O operador ˆ ( ˆ ) A A ria (aniquila) um átomo om momento modular igual a. O termo de tunelamento (.7) assume a forma diagonal ˆ π H = t os A ˆ Aˆ. tun Λ (.4) Para esrever o hamiltoniano de Bose-Hubbard na base dos estados om momento modular bem definido, ou simplesmente na representação do momento modular, invertemos a equação (.3) e substituímos o resultado em (.5) obtendo ˆ π = ˆ ˆ J H t os A A + δ + Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ BH Λ j Λ (.5) Na próxima seção deduziremos e resolveremos a equação de Gross-Pitaevsii. Através da análise das suas soluções será possível mostrar que os átomos se ondensam em estados om momento modular bem definido..3. A equação de Gross-Pitaevsii e os ondensados. Aqui deduziremos a equação de Gross-Pitaevsii ujas soluções são os possíveis ondensados do sistema. No ontexto de uma teoria de ampo médio mostraremos que, para o hamiltoniano de Bose-Hubbard, os átomos se ondensam em estados om momento modular bem definido. 0

22 A equação de Gross-Pitaevsii é uma equação de ampo médio que resulta da minimização do valor médio do hamiltoniano de Bose-Hubbard relativo a um estado variaional que desreve um ondensado de bósons. O estado de um ondensado de bósons, que denotaremos por N, é dado por N = ( Iˆ ) N N! 0 (.6) onde 1 λ λ λ= 0 I ˆ = χ a ˆ. (.7) Os oefiientes χ λ são omplexos e, omo onseqüênia de I ser um operador bosônio, satisfazem o vínulo 1 λ λ= 0 χ = 1. (.8) O valor médio do hamiltoniano de Bose-Hubbard Hˆ relativo ao N BH N estado de um ondensado de bósons (.6) é dado por = 1 4 ˆ J N HBH N t N( χλ+ 1χ λ +χλχ λ+ 1) + N( N 1 ) χλ. (.9) λ= 0 Introduzindo a mudança de variável zλ = N χ λ, (.30) 1

23 referente à hamada função de onda do ondensado, o valor médio (.9) pode ser reesrito na forma ˆ J = N HBH N t z z z z 1 z λ= 0 N 1 4 ( λ+ 1 λ λ λ+ 1) λ. (.31) Note que em termos de (.30) o vínulo (.8) passa a ser dado por = 1 λ λ= 0 N z. (.3) A equação de Gross-Pitaevsii deorre da minimização de (.31) ondiionada ao vínulo de normalização dado em (.3). O vínulo é adequadamente levado em onsideração, no método dos multipliadores de Lagrange, introduzindo o potenial químio µ de modo que δ µ 1 ˆ N HBH N zλ N = 0 λ= 0 1 t( zλ+ 1 + zλ 1) + J 1 zλ zλ = µ zλ. N (.33) A equação de ampo médio (.33) é a equação de Gross-Pitaevsii do sistema. Os ondensados podem ser determinados introduzindo em (.33) o ansatz iθλ zλ z 0 e (.34) que torna a equação de Gross-Pitaevsii independente de λ. Substituindo (.34) na equação (.3) obtemos failmente a onstante z 0 dada por

24 z = N 0. (.35) Reorrendo à ondição de ontorno periódia zλ = z λ+ novamente obtemos a equação (.13) ujas soluções são da forma π θ = q q, (.36) om q Λ e Λ dado em (.15). Substituindo (.35) e (.36) na equação (.34) obtemos a forma explíita da λ-ésima omponente da função de onda do ondensado πq ( q i ) N λ zλ = e. (.37) De (.33) e (.37) extraímos uma expressão para o potenial químio µ do sistema da forma ( q) πq µ = J t os + ( N 1 ). (.38) Utilizando a expressão explíita da λ-ésima omponente da função de onda do ondensado (.37), o operador bosônio I, dado em (.7), pode ser reesrito omo 1 I ˆ = ˆ ˆ I =, (.39) 1 πq i λ ˆ e aλ Aq λ= 0 de maneira que o estado ondensado de bósons assume a forma 3

25 ˆ ( Aq ) N N, q = 0. N! (.40) Conluímos assim que os átomos do sistema se ondensam em estados om momento modular q bem definido. A energia do estado ondensado é dada, a partir de (.31), pela expressão ( q) E πq = J t os + ( N 1 ). N (.41) Note, a partir de (.41), que a energia é mínima para o ondensado om momento modular q = 0 e que ondensados om momentos modulares ± q são degenerados. Nos próximos dois apítulos determinaremos o hamiltoniano grande-anônio efetivo do sistema uja diagonalização resulta no espetro das exitações oletivas do sistema. 4

26 Capítulo 3 A aproximação de Bogoliubov e o hamiltoniano grande-anônio efetivo O intuito desse apítulo é determinar o hamiltoniano grande-anônio efetivo do sistema e identifiar, dados o momento modular q do ondensado e o número de sítios da rede óptia, os momentos modulares que são aoplados nesse hamiltoniano. Verifiaremos que somente pares de momentos modulares se aoplam. Para o aso q 0,, onstruiremos parametrizações para esses pares que serão úteis no estudo da estabilidade desses ondensados. No final desse apítulo mostraremos que o hamiltoniano efetivo pode ser esrito omo uma soma de termos ada um dos quais se referindo ou a um par de momentos modulares idêntios ou a um par de momentos modulares distintos. Tal fato india que o hamiltoniano efetivo é diagonal em bloos de dimensões e O hamiltoniano grande-anônio do sistema. O hamiltoniano grande-anônio H ˆg de um sistema uja dinâmia, a T = 0, é desrita pelo hamiltoniano Ĥ é definido por Hˆ = Hˆ µ Nˆ, (3.1) g 5

27 onde ˆN é o operador número total de partíulas e µ o potenial químio do sistema. No aso da rede óptia anelar, o operador número total de átomos ˆN, na representação do momento modular, é dado por Nˆ =. (3.) ˆ A ˆ A Λ A partir desse operador e do hamiltoniano de Bose-Hubbard (.5) podemos esrever o hamiltoniano grande-anônio do sistema da forma ˆ π ˆ ˆ J H ˆ ˆ ˆ ˆ g = t µ A A A A A A Λ + δ + Λ os ( 1 3 4). (3.3) j No hamiltoniano grande-anônio (3.3) podemos separar o termo que desreve o ondensado dos demais termos que desrevem as exitações introduzindo a transformação Aˆ = z δ + bˆ. (3.4) q, q O número omplexo z q é identifiado omo a função de onda do ondensado. Note que o váuo dos operadores desloados b ˆ é um estado oerente om momento modular igual a q. Ao realizarmos a transformação (3.4), o hamiltoniano grandeanônio (3.3) é expandido na ordem normal dos operadores desloados da forma Hˆ = hˆ + hˆ + hˆ + hˆ + hˆ, (3.5) g onde 6

28 πq ( ) 4 ˆ J h0 = t os µ zq + zq, (3.6) πq J πq ˆ ˆ J ˆ h1 = t os zq + zq zq µ z q bq + t os zq + zq zq µ z q bq, (3.7) π J J q ( q q ) hˆ = t os + z µ bˆ bˆ + δ + ' q z bˆ bˆ + z bˆ bˆ, (3.8) ' ' Λ, ' Λ J hˆ = z δ + q bˆ bˆ bˆ + z δ q + bˆ bˆ bˆ, (3.9) J 3 q q ,, 3 Λ 1,, 3 Λ hˆ = δ + bˆ bˆ bˆ bˆ. (3.10) J j Λ A ordem normal estabelee uma hierarquia no hamiltoniano grande-anônio. O termo ĥ 0 envolve somente átomos no estado ondensado, ĥ 1 envolve um átomo fora do ondensado, ĥ dois, ĥ 3 três e, finalmente, ĥ 4 envolve somente átomos fora do ondensado. Introduzindo a transformação (3.4) no operador número total de átomos ˆN, dado em (3.), obtemos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q q q q q Λ N = z + z b + z b + b b. (3.11) O operador aima omuta om o hamiltoniano grande-anônio (3.5) indiando assim a onservação do número de átomos no sistema. O valor médio do hamiltoniano grande-anônio relativo ao váuo normalizado dos operadores desloados b ˆ é o próprio termo ĥ 0. Impondo que a derivada de ĥ 0 em relação a z q (ou z q ) é nula obtemos a equação q J t os π + zq µ zq = 0. (3.1) 7

29 Note que o valor médio do operador número relativo ao váuo dos operadores desloados b ˆ tem omo resultado N = z q. (3.13) A partir da equação (3.1) e da relação (3.13) obtemos diretamente uma expressão para o potenial químio µ da forma ( q) πq JN µ = t os +. (3.14) Observe que a expressão (3.14) obtida para o potenial químio é onsistente om a expressão (.38) no limite para N 1. Um outro ponto que podemos destaar é que a equação variaional (3.1) e sua respetiva omplexa onjugada anulam o termo de primeira ordem ĥ 1 no hamiltoniano grande-anônio (3.5). Na próxima seção, sob a hipótese de que a fração de átomos fora do ondensado (depleção) é desprezível, apliaremos ao hamiltoniano grande-anônio a hamada aproximação de Bogoliubov determinando assim sua forma efetiva. 3.. A aproximação de Bogoliubov e o hamiltoniano grandeanônio efetivo. Segundo a teoria de Bogoliubov [10], desde que a depleção seja desprezível, a dinâmia do sistema pode ser desrita em termos de um hamiltoniano quadrátio no produto de operadores desloados. Dessa forma a aproximação de Bogoliubov onsiste em desprezar no hamiltoniano grande-anônio (3.5) os termos de tereira 8

30 e quarta ordem no número de operadores desloados, ou seja, ĥ 3 e ĥ 4. Assim, o onteúdo dinâmio do hamiltoniano grande-anônio é desrito apenas pelo termo quadrátio ĥ, já que ĥ 0 trata-se apenas de uma onstante aditiva. Nessas ondições dizemos que (3.5) assume sua forma efetiva, que denotaremos por ˆ( q ) eff H, dada por ˆ( q) ˆ eff h, H = (3.15) e om o uso de (3.8), (3.13) e (3.14), obtemos sua forma explíita JN JN H b b ' q b b b b, (3.16) ˆ( q) ( q) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ eff = ε + + δ + ' + ' Λ, ' Λ onde ( q) πq π ε = t os os (3.17) é a energia de partíula independente do estado om momento modular. O hamiltoniano grande-anônio efetivo (3.16), ou simplesmente hamiltoniano efetivo, depende do momento modular do ondensado. Na próxima seção determinaremos os momentos modulares que são aoplados no hamiltoniano efetivo O aoplamento de momentos modulares no hamiltoniano efetivo. O termo não-diagonal do hamiltoniano efetivo (3.16) desreve a dinâmia de riação e aniquilação de pares de átomos, ada um deles om momento modular 9

31 bem definido. O operador bˆ b ˆ ' ( bˆ b ˆ ') ria (aniquila) um par de átomos em que um deles se enontra num estado om momento modular e o outro num estado om momento modular ', de modo que + ' satisfaça ( + ' q) mód = 0. (3.18) A ondição aima é satisfeita se, e somente se, + ' q for um múltiplo inteiro de, ou seja, + ' q = α (3.19) para α inteiro. Dados o momento modular q do ondensado e o número de sítios da rede óptia podemos identifiar, a partir da ondição (3.18), os momentos modulares (, ') de Λ, om Λ dado em (.15), que são aoplados no hamiltoniano efetivo. Em geral os observáveis do sistema são simétrios na permutação de om ' de maneira que não é neessário haver distinção entre os pares (, ') e ( ', ), que envolvem momentos modulares distintos. Entretanto essa distinção se torna neessária quando queremos espeifiar uma rotulação para os modos normais. Como será visto no apítulo 4, a diagonalização de ada termo do hamiltoniano efetivo que envolve pares de momentos modulares distintos determina dois ramos energétios que definem um dubleto. Quando permutamos om ' oorre um rearranjo entre os ramos dos dubletos, mantendo a simetria, porém invertendo a rotulação dos modos normais. Para ontornar essa situação torna-se neessário 30

32 introduzir um proedimento que esolha um dos pares (, ') e ( ', ) de forma a estabeleer uma relação biunívoa entre os pares de momentos modulares distintos e a rotulação dos modos normais. Nas próximas duas seções determinaremos todos os pares de momentos modulares (, ') de Λ que satisfazem (3.18) para os asos q = 0, q = para par e q 0,. Disutiremos, para ada aso, o proedimento que será adotado para estabeleer a esolha de um dos pares entre (, ') e ( ', ) Determinação dos pares de momentos modulares que são aoplados nos asos q = 0 e q =. Esses dois asos serão estudados separadamente, pois ambos apresentam estruturas de pares semelhantes e, omo será visto no apítulo 4, são os únios dois asos onde oorre degeneresênia entre os ramos energétios que definem os dubletos Caso q = 0. Nesse aso a equação (3.19) assume a forma + ' = α. (3.0) Se for ímpar, é fáil verifiar que, para todos os pares de momentos modulares (, ') em Λ, a soma + ' está restrita ao intervalo ( 1 ) + ' ( 1). Dessa forma a equação (3.0) só admite soluções em Λ para = 0 α. É trivial observar que as soluções para α = 0 são da forma (, ) 31

33 om ( 1) ( 1). Note que uma das soluções é o par ( 0,0 ) que envolve um únio momento modular. Tal solução india que o momento modular = 0 não se aopla a nenhum outro momento modular. Se for par, a soma + ' é também limitada e está restrita ao intervalo ( ) + '. Nessa situação somente as equações (3.0) om α = 0 e α =1 admitem soluções em Λ. Diferente do que oorre no aso ímpar, aqui são neessárias duas equações para determinarmos todos os pares de momentos modulares que são aoplados. As soluções para α = 0 são da forma (, ) om Já a equação para α = 1 possui uma únia solução dada por (, ), relativa ao momento modular =. Observe que as soluções ( 0,0 ) e (, ) indiam, respetivamente, que os momentos modulares = 0 e se aoplam a nenhum outro momento modular. = não Caso q =, para par. Nesse aso a equação (3.19) assume a forma + ' = ( 1 +α ). (3.1) Como vimos anteriormente a soma + ' é limitada da forma ( ) + '. Assim observamos que somente as equações om α = 0 e α = 1 admitem soluções. A equação para α = 0 admite somente uma únia solução dada por (, ), relativa ao momento modular =. Já a equação para α = 1 admite soluções da forma (, ) om As soluções 3

34 (, ) e 0,0 indiam, respetivamente, que os momentos modulares = e = 0 não se aoplam a nenhum outro momento modular Proedimento para a esolha de um dos pares entre (, ) (, ). e Um proedimento arbitrário que permite estabeleer uma relação biunívoa entre os pares de momentos modulares distintos e a rotulação dos modos normais, para os asos q = 0 e valores positivos de Λ, ou seja, q =, é tomar o par (, ) om assumindo somente os se q = 0 o onjunto dos pares de momentos modulares será dado por { 0,0,, 1 1 } se ímpar { ( 0,0 ),(, ),(, ) 1 1 } se par (3.) se q = o onjunto dos pares de momentos modulares será dado por { (, ),( 0,0 ),(, ) 1 1 }. (3.3) 3.5. Determinação dos pares de momentos modulares que são aoplados no aso q 0,. Agora vamos analisar o aso geral onde q 0,. Dados o momento modular q 0, do ondensado e o número de sítios da rede óptia, os pares de momentos modulares (, ') de determinados pelas equações Λ que são aoplados no hamiltoniano efetivo são 33

35 + ' = q ( α = 0 ) + ' = q sgn( q) ( α = sgn ( q) ), (3.4) onde 1 0 sgn se q < q = + 1 se q > 0 (3.5) denota o sinal do momento modular do ondensado. As equações em (3.4) introduzem duas estruturas distintas para os pares de momentos modulares que são aoplados. Observe que para 0 α = sgn( q) da forma, q sgn( q ). α = os pares são da forma (, q ) e para Cada uma dessas estruturas de pares é válida para um erto subintervalo de Λ. Se denotarmos esses subintervalos disjuntos por I( α= 0) e I α= sgn( q) momentos modulares serão da forma (, q ), os pares de para todos os valores de em I( α= 0) e da forma, q sgn( q ) para todos os valores de em I α= sgn( q). Dizemos, dessa maneira, que as equações (3.4) partiionam o intervalo Λ em dois subintervalos disjuntos. Para dados q 0, e, é possível mostrar que esses subintervalos I ( α ) são da forma (i) ímpar q > 0 q < 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) I( α= 1) =, + q 1 I( α= 0) =, q ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) I( α= 0) = + q, I( α=+ 1) = q + 1, (3.6) 34

36 (ii) par q > 0 q < 0 I( α= 1) = + 1, + q 1 I( α= 0) = + 1, q 1 I( α= 0) = + q, I( α=+ 1) = q, (3.7) A partir do onheimento desses subintervalos verifiaremos que é possível estabeleer um proedimento prátio para determinar o onjunto dos pares de momentos modulares que são aoplados no hamiltoniano efetivo. Observe, a partir de (3.6) e (3.7), que os valores máximo e mínimo de um subintervalo I( α ) se aoplam omo um par de momentos modulares solução da equação de vínulo α. Dessa maneira, podemos de forma reursiva obter todos os outros demais pares efetuando subtrações e adições suessivas de uma unidade, respetivamente, do máximo e mínimo de ada subintervalo, de modo que ada proesso resulte num novo par de momentos modulares. O número de proessos é bem definido, ou seja, o máximo é subtraído de uma unidade até assumir o valor mínimo ao mesmo tempo em que o mínimo é adiionado de uma unidade até assumir o valor máximo. Se denotarmos por supi( α ) o valor máximo do subintervalo I( α ) e por inf I( α ) seu valor mínimo, o onjunto dos pares de momentos modulares (, ') de Λ que satisfazem as equações (3.4), para dados q 0, e, pode ser obtido a partir do proesso reursivo finito 35

37 ( sup I( α),inf I( α) ),( sup I( α) 1,inf I( α) 1 ),, inf I( α),sup I( α) + (3.8) efetuado para α = 0 e α = sgn( q). Com auxílio desse proesso reursivo e a partir dos subintervalos I ( α ), dados em (3.6) e (3.7), determinamos expliitamente, nas tabelas abaixo, os pares de momentos modulares (, ') de equações (3.4) om q 0,. Λ que satisfazem as par q > 0 ímpar + ' = q ( α = 0) + ' = q ( α = 1) + ' = q ( α = 0) + ' = q ( α = 1) ( 1), + q + q 1, + 1, ( 1) + q ( 1) 1, ( 1) + q ( q, q ) ( q, q ) ( q, q ) ( 1) + q, ( 1) ( 1) ( + 1, + q 1), ( 1) + q, 1 + q Tabela 3.I Pares de momentos modulares que satisfazem as equações de vínulo em (3.4) om q > 0. par q < 0 ímpar + ' = q ( α = 0) + ' = q + ( α = 1) + ' = q ( α = 0) + ' = q + ( α = 1) ( 1) ( q 1, + 1) (, q), 1 q ( 1), 1 q + 1 ( q, q ) ( q +, q + ) ( q, q ) ( 1) ( + 1, q 1) ( 1) ( 1) ( q, ) 1, 1 q +, q Tabela 3.II Pares de momentos modulares que satisfazem as equações de vínulo em (3.4) om q < 0. 36

38 Observe que, nos asos par e ímpar, enontramos a solução ( q, q ) proveniente da equação de vínulo om α = 0. Essa solução india que o momento modular = q, igual ao do ondensado, não se aopla a nenhum outro momento ( ) modular. Para par ainda enontramos a solução sgn, q q q sgn ( q), proveniente da equação de vínulo om α = sgn( q), indiando que o momento modular = q sgn( q) não se aopla a nenhum outro. Na próxima subseção onstruiremos representações paramétrias para os pares de momentos modulares tabelados aima. Essas parametrizações serão úteis no estudo da estabilidade dos ondensados om momento modular q 0,, que será realizado posteriormente no apítulo 5. Introduziremos também um proedimento para a esolha de um dos pares entre (, ') e ( ', ) no onjunto dos pares de momentos modulares distintos que são aoplados Parametrização dos pares de momentos modulares que são aoplados no aso q 0,. Vamos denotar por ( p), '( p) α a representação paramétria dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo α, om α = 0, sgn( q). A parametrização assoia a ada par de momentos modulares um número inteiro p. A forma de parametrizar esses pares é ompletamente arbitrária. Esolhemos iniialmente, no onjunto das soluções provenientes da equação de vínulo α, o par de momentos modulares que será assoiado ao parâmetro p = 0. Se tal equação de vínulo admite omo solução um par de momentos modulares 37

39 idêntios, este será assoiado ao parâmetro p = 0. Por outro lado, se a equação não admite tal tipo de solução, assoiaremos ao parâmetro p = 0 o par de momentos modulares tal que ' = 1 de tal modo que tenhamos para a última esolha fiará evidente na subseção > '. A justifiativa Dessa forma, se denotarmos por ( 0 ), '( 0) α o par de momentos modulares assoiados ao parâmetro p = 0, de aordo om o proesso reursivo (3.8), uma possível parametrização ( p), '( p) α, para as soluções provenientes da equação de vínulo α, pode ser definida pelas relações ( p) = ( 0) + p '( p) = '( 0) p (3.9) om p variando dentro de um intervalo finito pmín p pmáx. O menor valor de p, denotado por p mín, será assoiado ao par inf I( α), sup I( α ) enquanto que o maior valor de p, denotado por p máx, será assoiado ao par sup I( α), inf I( α ). Dessa maneira, onheidos o par de momentos modulares ( 0 ), '( 0) α e os valores de inf I( α ) e sup I( α ), os parâmetros p mín e p máx podem ser obtidos a partir de (3.9) da forma pmín = inf I α ( 0) pmáx = sup I( α) ( 0 ). (3.30) Construiremos agora as parametrizações para os asos espeífios α= 0 e α = sgn( q). Basiamente o intuito é determinar, para ada um desses asos, o par 38

40 ( ( 0 ), '( 0) ) e os valores p α mín e p máx, dados em (3.30), que definem a parametrização (3.9). (A) Parametrização dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α= 0. Analisando o onjunto dos pares provenientes da equação de vínulo om α= 0, observamos que, para par e ímpar, o par ( q, q ) é o únio que envolve apenas um momento modular. Dessa forma a parametrização será tal que ( 0 ) = '( 0) = q. Os parâmetros p mín e p máx são obtidos a partir das relações em (3.30) e dos valores de inf I( α= 0) e sup I( α= 0) que extraímos diretamente de (3.6) e (3.7). Na tabela abaixo são dadas as parametrizações para os pares provenientes da equação om α= 0 para par e ímpar. par ( p) = q + p '( p) = q p q > 0 q p q q < 0 1 q p 1 q ( ( p), '( p) ) α= 0 ímpar ( p) = q + p '( p) = q p ( 1) ( 1) q 0 ( > q) p ( q) ( 1) ( 1) q 0 ( < q) p q Tabela 3.III Representação paramétria dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = 0. 39

41 (B) Parametrização dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α= sgn( q). Aqui a esolha do par de momentos modulares assoiado ao parâmetro p = 0 será distinta nos asos par e ímpar. Para par, é trivial observar que a parametrização será tal que ( 0 ) = '( 0) = q sgn( q). Já para ímpar, em virtude de não enontramos no onjunto dos pares provenientes da equação om α = sgn( q) um par que envolva um únio momento modular, assoiamos ao parâmetro p = 0 o par de momentos modulares (, ') tal que ' = sgn( q). É fáil verifiar que o par de momentos modulares ( ) ( ) 1 q 1 sgn q, q 1 sgn q + satisfaz essa ondição. Note que tal par possui, em módulo, a menor diferença entre os momentos modulares e além disso temos que > '. Desse modo, para ímpar, a parametrização (3.9) deve ( ) ( 1) ( 1) ser tal que ( 0) = q + 1 sgn q e '( 0) = q sgn( q). Na tabela abaixo são dadas as parametrizações para os pares provenientes da equação om α = sgn( q) para par e ímpar. par ( p) = q sgn( q) + p '( p) = ( q sgn( q) ) p q > 0 ( q 1) p ( q 1) q < 0 q p q ( ( p), '( p) ) α= sgn( q) ímpar ( 1) ( p) = q + 1 sgn q + p ( 1) '( p) = ( q sgn( q) ) p q > 0 ( q 1) p q q < 0 q p q 1 Tabela 3.IV Representação paramétria dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = sgn( q). 40

42 3.5.. Proedimento para a esolha de um dos pares entre (, ') e ( ', ). Para a esolha de um dos pares entre (, ') e ( ', ) no onjunto dos pares de momentos modulares distintos, optamos por um ritério que ompara as energias de partíula independente ( q) ε, dada em (3.17). Salientamos que a esolha desse proedimento é arbitrária. Dentro desse ritério, tomaremos no onjunto de todos os pares que satisfazem as equações (3.4) somente os pares de momentos modulares (, ') tais que ( q) ( q) '. ε ε (3.31) A ondição (3.31) implia que os pares de momentos modulares (, ') tomados são tais que '. A igualdade = ' onsidera os pares de momentos modulares idêntios e a desigualdade distintos. > ' onsidera os pares de momentos modulares Verifiaremos, a seguir, que a esolha do par de momentos modulares através do uso do vínulo (3.31) impõe uma restrição sobre o intervalo de variação do parâmetro p. Note ainda, a partir das parametrizações onstruídas anteriormente, que o par assoiado ao parâmetro p = 0 satisfaz a ondição (3.31) (A) Conjunto dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α= 0. Note que se q > 0, todos os pares de momentos modulares, obtidos no proesso reursivo onde ( 0) = q é adiionado de uma unidade até assumir o valor sup I( α= 0) 41

43 ao mesmo tempo em que '( 0) = q é subtraído até inf I( α= 0), satisfazem o vínulo (3.31). Se q < 0 o proesso se inverte. Com base nesse raioínio tabelamos abaixo todos os pares de momentos modulares que satisfazem o vínulo de (3.31), para os asos q > 0 e q < 0. q > 0 q < 0 ( q, q) ( q + 1, q 1) ( sup I( α= 0),inf I( α= 0) ) ( q, q ) ( q 1, q + 1) ( inf I( α= 0),supI( α= 0) ) Tabela 3.V Conjunto dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = 0 que satisfazem (3.31). Abaixo segue uma representação esquemátia do aoplamento de pares de momentos modulares que satisfazem o vínulo (3.31). Figura 3.1 Esquema do aoplamento de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = 0. 4

44 Retomando as parametrizações tabeladas em 3.III e tomando omo base os pares tabelados aima, podemos failmente verifiar que para todos os valores do parâmetro p tais que 0 p pmáx para q > 0 pmín p 0 para q < 0, (3.3) 0 os pares de momentos modulares ( p), '( p) α= satisfazem o vínulo (3.31). par ( p) = q + p '( p) = q p ( ) q > 0 0 p q q < 0 1 q p 0 ( ( p), '( p) ) α= 0 ímpar ( p) = q + p '( p) = q p ( 1) q > 0 0 p ( q) ( 1) q < 0 ( q) p 0 Tabela 3.VI Representação paramétria dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = 0 que satisfazem (3.31). (B) Conjunto dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α= sgn( q). Vamos omeçar nosso estudo om o aso par. Se q > 0 é fáil verifiar que ( 0 ) = '( 0) = q é estritamente negativo. Nessa situação, observe que todos os pares de momentos modulares, obtidos no proesso reursivo onde ( 0) = q é subtraído de uma unidade até assumir o valor inf I α= sgn( q) ao mesmo tempo em que '( 0) = q é adiionado até sup I α= sgn( q), satisfazem o vínulo (3.31). Se 43

45 q < 0 o proesso reursivo é invertido. Com base nesse raioínio tabelamos abaixo todos os pares de momentos modulares que satisfazem o vínulo (3.31), para os asos q > 0 e q < 0. par q > 0 q < 0 q, q q, ( inf I (,supi α= sgn q ) ( α= sgn ( q ) )) ( q ) ( sup I (,inf I α= sgn q ) ( α= sgn ( q ) )) Tabela 3.VII Conjunto dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = sgn( q), om par, que satisfazem (3.31). No aso ímpar obteremos um proesso reursivo análogo ao aso par. Se ( ) ( 1) q > 0 é possível verifiar que ( 0) = q + 1 é estritamente negativo e que ( 1) '( 0) = q é menor ou igual a zero. Além disso é fáil notar que ( 0 ) < '( 0). Dessa forma, todos os pares de estados, obtidos no proesso reursivo onde ( 1) ( 0) = q + 1 é subtraído de uma unidade até assumir o valor inf I α= sgn( q) 1 ao mesmo tempo em que '( 0) = q é adiionado até sup I α= sgn( q), satisfazem o vínulo (3.31). Se q < 0 o proesso reursivo é invertido. Com base nesse raioínio tabelamos abaixo todos os pares de momentos modulares que satisfazem o vínulo (3.31), para os asos q > 0 e q < 0. 44

46 ímpar q > 0 q < 0 ( 1) ( 1) ( q ) + 1, q ( inf I (,supi α= sgn q ) ( α= sgn ( q ) )) ( 1) ( 1) ( ) + 1 q, q ( sup I (,inf I α= sgn q ) ( α= sgn ( q ) )) Tabela 3.VIII Conjunto dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = sgn( q), om ímpar, que satisfazem (3.31). Tomando omo base os pares tabelados aima, podemos failmente verifiar que para todos os valores do parâmetro p tais que pmín p 0 para q > 0 0 p pmáx para q < 0, (3.33) os pares de momentos modulares ( p ), '( p ) satisfazem o vínulo (3.31). α= sgn q par ( p) = q sgn( q) + p '( p) = ( q sgn( q) ) p q > 0 ( q 1) p 0 q < 0 0 p q ( ( p), '( p) ) α= sgn( q) ímpar ( 1) ( p) = q + 1 sgn q + p ( 1) '( p) = ( q sgn( q) ) p q > 0 ( q 1) p 0 q < 0 0 p q 1 Tabela 3.IX Representação paramétria dos pares de momentos modulares provenientes da equação de vínulo om α = sgn( q), que satisfazem (3.31). 45

47 3.6. A estrutura em bloos do hamiltoniano grande-anônio efetivo. Identifiados os pares de momentos modulares que são aoplados podemos esrever o hamiltoniano efetivo omo uma soma de termos ada um dos quais se referindo ou a um par de momentos modulares idêntios ou a um par de momentos modulares distintos. A forma geral do hamiltoniano efetivo é dada por, H H H (3.34) ˆ( q) ˆ 1 ˆ eff = + (, '), ' onde os termos Ĥ1( ), relativos aos pares de momentos modulares idêntios, envolvem um únio momento modular e os termos Hˆ (, ') envolvem os pares de momentos modulares distintos. A soma ' Σ é efetuada sobre o onjunto dos pares de momentos modulares distintos que são aoplados levando-se em onta o proedimento de esolha de um dos pares entre (, ') e ( ', ). Abaixo segue a estrutura explíita do hamiltoniano efetivo para os asos q = 0 e último exlusivo para par, e para o aso geral q 0,. q =, este Hˆ ( 0) eff q = 0 Hˆ 1( 0 ) Hˆ (, ) se ímpar ( 1) 1 = ˆ 1( 0 ) ˆ H + H1( ) + Hˆ (, ) se par 1 1 (3.35) om 46

48 JN JN ( 0) Hˆ = 1 bˆ 0b ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 b0b0 b0b0 + +, (3.36) JN JN ( ) = ( + ) H ˆ 1 t b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ ˆ 0 JN ˆ ˆ ˆ ˆ JN H, = ε ˆ ˆ ˆ ˆ + bb + b b + bb + b b,. (3.37) (3.38) q =, om par ˆ( ) ˆ H = H + Hˆ 0 + Hˆ, eff (3.39) om H ˆ = 1 b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b ˆ + +, (3.40) JN JN ( ) ( ) ˆ JN JN H 0 4 t b b b b b b = + + ( + ) ˆ JN ˆ ˆ ˆ ˆ JN H, = ε ˆ ˆ ˆ ˆ + bb + b b + bb + b b,. (3.41) (3.4) q 0, Hˆ ( q) eff om Hˆ 1( q) + Hˆ (, ') se ímpar > ' = ˆ 1 ˆ H q + H1( q sgn( q) ) + Hˆ (, ') se par > ' (3.43) JN JN q q ( q q q q) Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 1 q = b b b b b b + +, (3.44) 47

49 ˆ ( q) JN 1( sgn) ˆ ˆ JN H q q = ε ˆ ˆ q sgn( q) + bq sgn ( q) bq sgn ( q) + bq sgn ( q) bq sgn( q) + + bˆ ˆ b, q sgn( q) q sgn( q)) ˆ q JN ˆ ˆ q JN ˆ ˆ JN H, ' = ˆ ˆ ˆ ˆ bb ε + + ε ' + b ' b ' + bb ' + b ' b (. (3.45) (3.46) Em geral a diagonalização de um hamiltoniano bosônio quadrátio se reduz a diagonalização de uma matriz hermiteana om respeito à métria bosônia (veja seção B do Apêndie e para maiores detalhes referênia [1]). A estrutura (3.34) india que a matriz (B.5) assoiada ao hamiltoniano efetivo é diagonal em bloos de dimensões e 4 4. Os bloos de dimensão são assoiados aos termos do hamiltoniano efetivo que envolvem um únio momento modular. Já os bloos de dimensão 4 4 são assoiados aos termos que envolvem pares de momentos modulares distintos. Dessa forma, a determinação do espetro das exitações oletivas se reduz a diagonalização individual desses bloos. Veremos no próximo apítulo que a diagonalização de um bloo que envolve um únio momento modular resulta num únio ramo energétio e que a diagonalização de um bloo que envolve dois momentos modulares distintos resulta em dois ramos energétios que definem um dubleto. O onjunto de todos esses ramos, para um dado ondensado, forma o espetro das exitações oletivas do sistema. 48