PROVA VUNESP MAR/2018

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1 PROVA VUNESP MAR/2018 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Olá! Veja a seguir a resolução de uma prova recentíssima da VUNESP. Trata-se do concurso da PAULIPREV, que ocorreu no último domingo (18 de março). Bom trabalho! 1. VUNESP PAULIPREV 2018) Em uma empresa, no Dia da Secretária, cada secretária comprou uma flor para cada outra secretária, sendo que nenhuma delas comprou flor para si mesma. Três diretoras compraram, cada uma, duas flores para cada secretária. A presidente da empresa comprou onze flores para apenas uma secretária. Se no total foram compradas 137 flores, o número de secretárias dessa empresa é divisor de (A) 123. (B) 256. (C) 384. (D)

2 (E) 660. Vamos chamar de N o número de secretárias. Cada secretária comprou (N-1) flores para as outras secretárias. Se são N secretárias, o total foi de N x (N 1) = N² - N. Três diretoras compraram duas flores para cada secretária: então, cada diretora comprou 2N flores. Como são três diretoras, o total foi de 3 x 2N = 6N flores. A presidente comprou mais 11 flores para apenas uma secretária. No total foram 137 flores. Então: N² - N + 6N + 11 = 137 N² + 5N = 0 N² + 5N 126 = 0 Δ = 5² - 4 x (-126) = Δ = 529 N = ± = N = 9 Agora é analisar as alternativas. Lembre-se que todo múltiplo de 9 tem a soma de seus algarismos igual a 9 (Ex: = 9). A letra D apresenta o número 459: 4+5+9= = 9. Resposta: D 2. VUNESP PAULIPREV 2018) André, Bernardo e Carlos organizaram as pastas contidas em três arquivos, A, B e C. André 2

3 organizava 14 pastas por vez do arquivo A, Bernardo organizava 18 pastas por vez do arquivo B, e Carlos organizava 24 pastas por vez do arquivo C. Se cada um desses rapazes organizou o mesmo número de pastas, a quantidade total de pastas organizadas pelos 3 funcionários é, no mínimo, (A) 756. (B) (C) (D) (E) A questão pede o valor mínimo que seja igual à quantidade de pastas que André, Bernardo e Carlos organizaram. Portanto, o mmc entre 14, 18 e 24. Fatorando esses números, temos: Então: mmc (14, 18, 24) = 2³ x 3² x 7 = 8 x 9 x 7 = 504. Essa é a quantidade de pastas que cada funcionário organizou. Como são três funcionários, o total é de: Total = 3 x 504 = 1512 pastas Resposta: B 3. VUNESP PAULIPREV 2018) Um laboratório possui vários frascos de misturas de água e álcool. As misturas do tipo A contêm 30% 3

4 de álcool, as do tipo B contêm 40% de álcool, e as do tipo C contêm 75% de álcool. Para preparar 12 litros de uma mistura de água e álcool contendo 55% de álcool, serão misturados um certo volume da mistura do tipo A, com o triplo desse volume da mistura do tipo B, com um certo volume da mistura do tipo C, em litros. O volume da mistura do tipo C que foi misturado está compreendido entre (A) 3,1 e 4,0 litros. (B) 4,1 e 5,0 litros. (C) 5,1 e 6,0 litros. (D) 6,1 e 7,0 litros. (E) 7,1 e 8,0 litros. Vamos chamar os volumes das misturas tipo A, B, C de Va, Vb e Vc, respectivamente. O enunciado afirmou que foram preparados 12 litros contendo essas três misturas. Portanto: Va + Vb + Vc = 12 (I) Essa mistura formada contém 55% de álcool. Então: 55% de 12 litros = 0,55 x 12 = 6,6 litros. Como A contém 30% de álcool, B= 40% e C = 75%, temos: Portanto: 0,3Va + 0,4Vb + 0,75Vc = 6,6 (II) Foi dito que o volume da mistura B é igual ao triplo da mistura A. Vb = 3Va Substituindo Vb nas equações (I) e (II), temos: 4

5 Va + 3Va + Vc = 12 4Va + Vc = 12 Vc = 12-4Va 0,3Va + 0,4x3Va + 0,75Vc = 6,6 0,3Va + 1,2Va + 0,75Vc = 6,6 1,5Va + 0,75Vc = 6,6 Substituindo Vc = 12 4Va, fica: 1,5Va + 0,75(12 4Va)= 6,6 1,5Va + 9 3Va = 6,6-1,5Va = -2,4 Va = 1,6 litros Vc = 12 4x1,6 = 12 6,4 Vc = 5,6 litros Resposta: C 4. VUNESP PAULIPREV 2018) Para a realização de uma atividade em um congresso, os 235 participantes foram divididos em grupos com 2 homens e 5 mulheres ou grupos com 3 mulheres e 5 homens. O número de grupos com 8 participantes excedeu o número de grupos com 7 participantes em 5, logo a diferença entre o número de mulheres e o de homens participantes é (A) 3. (B) 4. (C)

6 (D) 6. (E) 7. Vamos chamar de A o número de grupos com 7 integrantes e de B o número de grupos com 8 integrantes. Como o total de integrantes é 235, temos: 7 x A + 8 x B = 235 7A + 8B = 235 (I) O Enunciado diz que a quantidade de grupos com 8 integrantes superou os de 7 integrantes em 5. Portanto: B A = 5 B = 5 + A Substituindo esse valor de B em (I), temos: 7A + 8x(5 + A) = 235 7A A = A = = 195 A = 195/15 A = 13 B = B =18 Vamos achar agora o número de mulheres e homens: Mulheres = 5 x A + 3 x B Mulheres =5 x x

7 Mulheres = Mulheres = 119 Homens = 2 x A + 5 x B Homens = 2 x x 18 Homens = Homens = 116 A diferença entre mulheres e homens é de: = 3. Resposta: A 5. VUNESP PAULIPREV 2018) Uma empresa produz 20 cadeiras por dia, usando a mão de obra de 3 homens quaisquer. Essa empresa precisa produzir 240 cadeiras em três dias e, para isso, contou com 4 homens por dia, nos dois primeiros dias. Para finalizar o pedido no terceiro dia, o total de homens que precisam trabalhar na produção é (A) 16. (B) 19. (C) 22. (D) 25. (E) cadeiras são produzidas por 3 homens em 1 dia. Se foram contratados 4 homens para produzir cadeiras em 2 dias, temos: 20 cadeiras homens dia n cadeiras homens dias 7

8 Todas as grandezas são diretamente proporcionais. Então: = x 3 x n = 4 x 2 x 20 3n = 160 n = cadeiras Isso foi o que já se produziu em 2 dias. Restam, então: Cadeiras = 240 = - Cadeiras = Em 1 dia, deverão ser contratados: 20 cadeiras homens cadeiras --- x homens x. 20 = 3. 20x = 560 x = 28 homens Resposta: E 6. VUNESP PAULIPREV 2018) André jogou 5 partidas de bolinha de gude. Na primeira, ele perdeu 4 bolinhas; na segunda, ele perdeu dois terços das bolinhas que ainda tinha; na terceira, ele ganhou 2 bolinhas; na quarta, ele perdeu um sexto das bolinhas que ainda tinha; e, na quinta 8

9 partida, ele ganhou 15 bolinhas. Em relação ao número de bolinhas que André tinha antes do primeiro jogo, ele perdeu 74 bolinhas. Logo, ao fim do último jogo, André ficou com um número de bolinhas que é múltiplo de (A) 3. (B) 5. (C) 7. (D) 11. (E) 13. Vamos chamar de N o número de bolinhas que André tinha quando começou as partidas. Na primeira partida ele perdeu 4 bolinhas, ficando com N 4. Na segunda, ele perdeu do que ainda tinha. Ficou com x (N 4). Na terceira, ele ganhou 2 bolinhas. Passou a ficar com: x (N 4) + 2 = + = = Na quarta, ele perdeu do que tinha, ficando com : x ( ) Na quinta, ele ganhou 15 bolinhas. Ficou, portanto, com: x ( ) + 15 = 9

10 = + 15 O enunciado disse que em relação ao que tinha no início, André perdeu 74 bolinhas. Portanto: N - [ N ] = = 74 - = = N 10 = 89x18 13 N= N= 1612 N= 124 Portanto, ele ficou com: + 15 = + 15 = = = 50 bolinhas Esse número é múltiplo de 5. Resposta: B 7. VUNESP PAULIPREV 2018) A média aritmética simples dos salários de 30 funcionários de uma empresa era R$ 1.610,00. Esses 10

11 funcionários tiveram um aumento em seus salários de maneira que os que recebiam R$ 1.500,00 ou mais tiveram um acréscimo de R$ 20,00, e os que recebiam menos de R$ 1.500,00 tiveram um acréscimo de R$ 50,00. Após esse reajuste, a média dos salários dos 30 funcionários passou a ser R$ 1.641,00; logo o número de funcionários que tiveram um aumento de R$ 50,00 é um número entre (A) 25 e 30. (B) 19 e 24. (C) 13 e 18. (D) 7 e 12. (E) 1 e 6. Portanto: A média da soma dos salários desses funcionários é de R$ 1.610,00. Soma dos salários = Média x Nº funcionários Soma dos salários = 1610 x 30 = Foram dados aumentos para os funcionários. Vamos chamar de Y o número de funcionários que recebem R$ 1.500,00 ou mais (esses receberam R$ 20,00 de aumento) e de Z o número de funcionários que recebem menos de R$ 1.500,00 (receberam R$ 50,00 de aumento). Após o ajuste, a média passou a ser de R$ 1.641,0. Então: Soma após aumento = Nova média x Nº funcionários Yx20 + Zx50 = 1641 x 30 20Y + 50Z = Y + 50Z =

12 2Y + 5Z = 93 Como o total de funcionários é 30, temos: Y + Z = 30 Y = 30 Z Substituindo esse valor na equação anterior, temos: 2 x (30 Z) + 5Z = Z + 5Z = 93 3Z = 33 Z = 11 Resposta: D 8. VUNESP PAULIPREV 2018) Ricardo possui 230 notas, entre notas de R$ 2,00, R$ 5,00 e R$ 10,00, tendo pelo menos uma nota de cada um desses valores. Se, ao todo, essas notas totalizam R$ 500,00, o número de notas de R$ 10,00 que Ricardo possui é (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6. Vamos chamar de x, y e z a quantidade de notas de R$ 2,00, R$ 5,00 e R$ 10,00, respectivamente. Como no total são 230 notas, temos: x + y + z = 230 (I) 12

13 O valor total das notas é de R$ 500,00. Portanto: 2x + 5y + 10z = 500 (II) MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Veja que só temos duas equações para 3 incógnitas. Faltaria achar uma terceira equação, mas não temos mais informações no enunciado. Portanto, o jeito é testar cada alternativa, substituindo o valor de z e verificando se x e y encontrados são números naturais: (A) z=2. x + y = 230 z (I) 2x + 5y = z (II) (B) z=3. (C) z=4. x + y = 228 (I) x = y 2x + 5y = 480 (II) 2.(228 y) + 5y = y + 5y = 480 3y = 24 y = 8 x = 220 Aqui já achamos o gabarito. x + y = 227 (I) x = y 2x + 5y = 470 (II) 2.(227 y) + 5y = y + 5y = 470 3y = 16 Aqui, y já não é inteiro. Portanto, descartamos a alternativa. x + y = 226 (I) x = y 2x + 5y = 460 (II) 2.(226 y) + 5y = y + 5y = 460 3y = 8 Aqui, y já não é inteiro. Portanto, descartamos a alternativa. (D) z=

14 x + y = 225 (I) x = y 2x + 5y = 450 (II) 2.(225 y) + 5y = y + 5y = 450 3y = 0 y = 0 Aqui, y é igual a zero. A questão diz que existe pelo menos uma nota de cada valor. Portanto, alternativa descartada. (E) z=6. x + y = 224 (I) x = y 2x + 5y = 440 (II) 2.(224 y) + 5y = y + 5y = 440 3y = -8 Aqui, y é negativo. Portanto, descartamos a alternativa. Resposta: A 9. VUNESP PAULIPREV 2018) Um ponto E pertence ao lado de um retângulo ABCD, formando o triângulo BCE, de área 40 cm², conforme mostra a figura. Se a área do triângulo ABE é o quádruplo da área do triângulo CDE, e sendo AB = 5 cm, então a medida, em cm, do segmento ED é (A) 1,8. (B) 2,

15 (C) 3,2. (D) 4,0. (E) 4,6. Vamos lembrar que a área de um triângulo qualquer é: A = A questão diz que a área do triângulo BCE é de 40 cm². Como a altura é AB = 5 cm, temos: A = = 40 5BC = 80 BC = 16 cm A área do triângulo ABE é o quádruplo da área do triângulo CDE. A base do triângulo ABE é (BC ED) = (16 ED). Portanto: = 4 x () = 4 x Podemos simplificar o 2 e o 5 dos dois lados. Fica: 16 ED = 4 x ED 16 = 4ED + ED 5ED = 16 ED = 3,2 cm 15

16 Resposta: C 10. VUNESP PAULIPREV 2018) Um paralelepípedo é formado por paredes muito finas e tem em seu interior certo volume de água. Quando o paralelepípedo é apoiado sobre a face de menor área, a altura da água atinge 8 cm. Quando o paralelepípedo é apoiado sobre a face de maior área, a altura da água atinge 3 cm. Se a menor aresta desse paralelepípedo mede 12 cm, a sua maior aresta mede, em cm, (A) 16. (B) 21. (C) 24. (D) 27. (E) 32. Vamos chamar de a a maior aresta desse paralelepípedo e de b sua outra aresta. A aresta menor foi dada: 12 cm. Vamos visualizar o paralelepípedo quando estiver apoiado sobra sua menor face: 16

17 Veja que o nível da água está na altura 8 cm. Portanto, o volume de água será: V = 12 x b x 8 = 96 x b. Agora, vamos analisar o paralelepípedo apoiado sobre sua maior área, com o nível de água em 3 cm: O volume de água fica: V = a x b x 3. Como a quantidade de água é a mesma nas duas configurações, vamos igualar os volumes: 96 x b = 3 x a x b 3 x a = 96 a = 32 cm Resposta: E 17

18 Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, 18