Prova da segunda fase - Nível 3

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1 01. Observe a tabela abaixo e responda em qual linha aparecerá o número 010 pela primeira vez. a) 004 b) 005 c) 006 d) 007 e) Ana Lítica pode cortar pedaços de barbante de tamanho 1 cm, cm, 4 cm, 8 cm, e assim por diante, sempre duplicando o tamanho anterior, até atingir o comprimento de 104 cm. Ela juntou vários pedaços para cobrir uma distância de 010 cm. Quantos pedaços de barbante, no mínimo, ela usou? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) Maicon Binatória, Chico das Contas e Zé da Álgebra vão passear. Cada uma está com a bolsa de um amigo e os patins do outro. Quem está com os patins do Zé da Álgebra está com a bolsa do Chico das Contas. Quem está com a bolsa do Maicon Binatória? a) Maicon Binatória b) Chico das Contas c) Zé da Álgebra d) Não é possível que cada amigo esteja com a bolsa de um e os patins do outro. e) Faltam dados para resolver o problema. 04. Quantos triângulos existem na figura abaixo? a) 36 b) 48 c) 50 d) 53 e) Seja N o número formado colocando-se os números de 1 a 010 um ao lado do outro, isto é, N = Quantos são os algarismos desse número? a) b) c) 6.99 d) e) Olimpíada de Matemática 010 1

2 06. Pontos A e B são colocados sobre uma reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos de um quadrado XYZW (ver figura). Quando conectamos os pontos A e B `a dois vértices opostos Y e W, através de segmentos de reta, o quadrado fica dividido em três regiões planas (destacadas na figura) de áreas iguais. Qual é o comprimento, em cm, do segmento AB? a) 3,6 b) 3,8 c) 4,0 d) 4, e) 4,4 07. Uma certa calculadora especial tem um visor, onde aparece um inteiro x e uma tecla A. Quando se aperta a tecla A o número x que está visor é substituído pelo número 1 : (1 - x). Se no visor está inicialmente o número 5, e apertamos 010 vezes a tecla A, qual será o número final obtido? a) b) c) 5 d) 4 e) Uma caixa retangular tem faces de áreas iguais a 1 cm, 0 cm e 15 cm. O volume da caixa, isto é, o produto do comprimento pela largura pela altura é: a) 36 cm 3 b) 48 cm 3 c) 50 cm 3 d) 60 cm 3 e) 65 cm Ana Lítica promoveu uma festa e não soube quantos convidados compareceram, resolveu perguntar a três amigos que foram a festa, e eles deram as seguintes afirmações: (1) Chico das Contas disse: Na festa vi pelo menos 6 pernas. () Zé da Álgebra disse: a festa teve o triplo de convidados do que a do ano passado. (3) Maicon Binatória disse: quando cheguei à festa as luzes diminuiram e, sem enxergar direito, para não ser mal educado, cumprimentei a todos, num total de 17 pessoas, algumas das quais cumprimentei duas vezes. Quantas pessoas foram a festa de Ana Lítica? a) 14 pessoas b) 15 pessoas c) 17 pessoas d) 13 pessoas e) 36 pessoas 10. Com os algarismos α e β, com α menor do que β, formam-se números de dois algarismos α β e β α cuja soma é um número de três algarismos da forma γ α γ. Qual é o valor de βα αβ? a) 9 b) 7 c) 45 d) 63 e) 71 Olimpíada de Matemática 010

3 Quantos inteiros positivos n satisfazem a seguinte condição ( ) a) 0 b) 7 c) 1 d) 65 e) n >n >? 1. Ana Lítica e Chico das Contas disputaram um jogo em que são atribuídos dois pontos por vitória e é subtraído um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha cinco pontos. Se Chico das Contas ganhou exatamente três partidas e Ana Lítica ficou no final com dez pontos, quantas partidas eles disputaram? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) O algarismo 7 apareceu 150 vezes na numeração de páginas de um livro. Qual o número de páginas que esse livro tem? a) 781 b) 779 c) 77 d) 715 e) Uma rã e um gato se encontram no primeiro dos degraus de uma escada de 010 degraus. A rã salta 5 degraus de cada vez e o gato 3 degraus de cada vez. Ambos subiram toda a escada e deixaram pegadas em cada degrau que pisaram. Quantos degraus têm pegadas dos dois animais? a) 131 b) 13 c) 133 d) 134 e) O mês de Agosto de 010, terá 5 segundas-feiras. Três delas cairão em dias de numeração par. O sétimo dia deste mês será: a) Sábado b) Domingo c) Segunda - Feira d) Terça Feira e) Sexta-Feira 16. Um relógio de ponteiros se atrasa minutos a cada hora. Hoje ao meio-dia ele estava na hora certa. Depois de quantas horas ele voltará a marcar a hora certa? a) 40 horas b) 300 horas c) 360 horas d) 40 horas e) 480 horas 17. Considere um retângulo ABCD de lados AB = 010 e BC = b, a < b. Se X é um ponto no lado AB tal que vale a seguinte proporção: ( ACX ) =, ( XBD) 3 A medida do segmento AX é igual: 1340 a) b) 1340 c) 804 d) 3 b e) Qual a área do triângulo abaixo? a) 3 b) 6 c) 3 d) 6 e) 1 Olimpíada de Matemática 010 3

4 19. Na casa de Zé da Álgebra há uma caixa d água cuja parte superior tem a forma de um cubo de aresta 3 metros e está com água até uma altura de metros. A parte inferior é um bloco retangular que mede 5 metros de comprimento por metros de altura e 3 metros de largura e está inicialmente vazia. As duas partes estão interligadas por uma válvula, inicialmente fechada, conforme figuras. Se após a abertura da válvula o nível da água na parte superior baixa a uma velocidade de cm por segundo, qual a velocidade com que o nível da água do reservatório inferior sobe? a) 1 cm/s b) 1,1 cm/s c) 1, cm/s d) 1,3 cm/s e) 1,4 cm/s 0. Numa pirâmide matemática de adição, cada numero numa linha é obtido pela adição dos dois números imediatamente abaixo. Observando os critérios a seguir, encontre os valores de todas as letras de forma que a soma do topo seja 44: vogal + vogal = numero primo consoante + vogal = número ímpar a) 9 b) c) 7 d) 6 e) Num quadrado ABCD, M é o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do lado AD. Os segmentos CM e BN se encontram em E. Calcule a medida do ângulo C Ê N. a) 60 o b) 70 o c) 80 o d) 90 o e) 100 o. Construímos uma tabela com todos os números naturais seguindo o padrão mostrado nas três primeiras linhas: Sabe-se que: Todos os números naturais aparecem uma única vez; 1 gera, 3 e 4 e estes são todos irmãos; Olimpíada de Matemática 010 4

5 gera 5, 6, e 7; 3 gera 8, 9 e 10 e 4 gera 11, 1 e 13; Cada número gera exatamente três filhos. Sabendo que cada linha da tabela corresponde a uma geração, temos que o numero 1 pertence à primeira,, 3 e 4 pertencem à segunda, e assim por diante, quem gerou o numero 010? a) 670 b) 671 c) 67 d) 673 e) Observe o padrão abaixo: 1ª figura ª figura 3ª figura Quantos quadradinhos são necessários para construir a figura de número 010? a) 008 b) 009 c) 010 d) 011 e) Suponha que a seja um número que satisfaz a 3 a 1 = 0. Calcule o valor da seguinte expressão: 1 a + a 3 a 1 a a) a b) c) 4 d) a e) 3a 5. Calcule a área do retângulo ao lado sabendo está dividido em sete quadrados e que o menor deles tem área 1. a) 45 b) 49 c) 55 d) 59 e) 63 Olimpíada de Matemática 010 5