Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção!

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1 Nível 3 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção! Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima segunda edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros, você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site das 20 horas de 31/05/2016 (terça-feira). a partir OMRP

2 RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa D 2. Alternativa C 3. Alternativa A 4. Alternativa A 5. Alternativa D 6. Alternativa E 7. Alternativa C 8. Alternativa C 9. Alternativa B 10. Alternativa B 11. Alternativa B 12. Alternativa B 13. Alternativa A 14. Alternativa D 15. Alternativa A 16. Alternativa D 17. Alternativa A 18. Alternativa A 19. Alternativa D 20. Alternativa E 21. Alternativa D 22. Alternativa E 23. Alternativa A 24. Alternativa C 25. Alternativa B

3 1. Dois lados de um quadrilátero medem, respectivamente, 1 e 4. Uma de suas diagonais, de comprimento 2, divide o quadrilátero em dois triângulos isósceles. Qual é o perímetro do quadrilátero? a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) O módulo da diferença entre n e 10 é menor do que 1. Quantos inteiros n existem nessas condições? a) 19. b) 20. c) 39. d) 40. e) Numa balança de dois pratos vê-se que dois cones e uma bola pesam o mesmo que um cubo; também uma bola e um cubo pesam o mesmo que três cones. Um único cone pesa o mesmo que quantas bolas? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) Uma grande empresa tem 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas, português ou inglês. Além disso, 20% dos que falam português também falam inglês, e 80% dos que falam inglês também falam português. Quantos funcionários falam as duas línguas? a) 16. b) 18. c) 20. d) 24. e) A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 16 pode ser representado por ou, ainda, por Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? 6. Para realizar um trabalho de Ciências, Zé da Álgebra construiu três viveiros e colocou, em cada um, etiquetas com os números I, II e III. Em um dos viveiros colocou apenas joaninhas; em outro viveiro, colocou apenas aranhas e, no último viveiro, colocou o mesmo número de joaninhas e de aranhas. No viveiro número I havia 56 patas, no número II havia 54 patas e no número III, 48 patas. Sabendo que cada joaninha tem 6 patas e cada aranha tem 8 patas, a associação correta está representada em: a) viveiro I: aranhas, viveiro II: joaninhas e viveiro III: joaninhas e aranhas. b) viveiro I: joaninhas, viveiro II: joaninhas e aranhas e viveiro III: aranhas. c) viveiro I: aranhas, viveiro II joaninhas e aranhas: e viveiro III: joaninhas. d) viveiro I: joaninhas, viveiro II: aranhas e viveiro III: joaninhas e aranhas. e) viveiro I: joaninhas e aranhas, viveiro II: joaninhas e viveiro III: aranhas. 7. Há 50 bolas numa caixa, sendo algumas brancas, outras, azuis e outras, vermelhas. O número de bolas brancas é onze vezes o número de bolas azuis. Há menos bolas vermelhas do que brancas, mas há mais bolas vermelhas do que azuis. Há quantas bolas vermelhas a menos do que bolas brancas na caixa? a) 2. b) 11. c) 19. d) 22. e) Ana Lítica vai fazer uma escalada em uma parede com a forma de um triângulo isósceles, ABC, de base BC, como indicado na figura a seguir. O lado BC mede 4 metros, e o ângulo BÂC no topo da parede mede 20. Ana começou a subir a parede no ponto B e está a subir em zig-zag, de B para D e de D para E, de tal forma que em cada dos percursos anda 4 metros. Quando chega ao ponto E, a que distância está do ponto de partida? a) 2 metros. b) 3 3 metros. c) 4 metros. d) 4 2 metros. e) 4 3 metros. a) 80. b) 88. c) 92. d) 100. e) 112. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3

4 9. As cidades A, B e C são interligadas, duas a duas, por estradas. A estrada que vai de C até A tem o mesmo comprimento que a estrada que vai de C até B. No meio do caminho, na estrada entre A e C fica um posto de gasolina. Zé da Álgebra está em B e quer ir ao posto de gasolina abastecer seu carro. Consultando o mapa, observa que, indo por C, a viagem é de 18 km, e que, por A é de 14 km. Opta, então, pelo caminho mais curto. Quantos quilômetros ele percorre até chegar a A? a) 4. b) 8. c) 12. d) 14. e) O número de quadrados perfeitos que dividem 2016 é: a) 3. b) 5. c) 6. d) 12. e) O quadro a seguir deve ser completado apenas por números naturais, de modo que, se em dois retângulos consecutivos estão escritos os números m e n, então no retângulo que está abaixo desses dois retângulos iniciais deve estar escrito a soma de m com n, isto é: 12. Na figura a seguir, o triângulo DFG é equilátero e as retas t e s são paralelas. O ângulo assinalado com x tem medida igual a: a) 30. b) 40. c) 45. d) 50. e) A sequência de números t 1, t 2, t 3,... está definida por t 1 = 2, para todo n natural. O valor de t 2016 é t n + 1 = t 1 n t n + 1 igual a: a) 3. 1 b). 2 c) 1. 3 d) 2. e) 3. Que número deve estar escrito no retângulo com a letra X? 14. Na figura a seguir, podem-se contar vários triângulos. Quantos desses triângulos contêm pelo menos um * em seu interior? a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12. a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4

5 15. Em uma sala de aula há 20 alunos. A professora de Matemática escolheu um dia do ano em que estamos (2016), que não era o dia do aniversário de nenhum dos alunos, e pediu, nesse dia, a cada um de seus alunos que calculasse a soma do ano em que nasceu com sua idade. Em seguida, a professora somou os 20 resultados encontrados pelos alunos e encontrou o valor Dos 20 alunos da sala, quantos ainda não tinham feito aniversário até esse dia? a) 8. b) 9. c) 11. d) 14. e) Se n é um inteiro positivo, qual(is), das seguintes afirmações sobre o número (1 + n 3 + n 6 + n 9 ) é (são) sempre verdadeira(s)? I. (1 + n 3 + n 6 + n 9 ) é um quadrado perfeito. II. (1 + n 3 + n 6 + n 9 ) é um número composto. III. (1 + n 3 + n 6 + n 9 ) é um número par. a) Apenas I. b) Apenas I e II. c) Todas são verdadeiras. d) Apenas II. e) Apenas II e III. 17. Sejam A e B dois números inteiros e positivos. Dizemos que A é filhote de B, se A < B, A é divisor de B e, além disso, a soma dos algarismos de A é igual à soma dos algarismos de B. Por exemplo, 12 é filhote de 300, pois 12 < 300, 12 é um divisor de 300 e ainda, = Quantos filhotes tem o número 2016? a) 11. b) 13. c) 14. d) 16. e) Resolva, em IN, o sistema abaixo. x (y + z) = 35 y (x + z) = 27 z (x + y) = 32 Suas soluções naturais são as medidas dos lados de um triângulo. Determine sua área. 19. Ana Lítica tinha uma quantidade de doces. Ao distribuí-los igualmente entre cinco amigos, ela ainda ficou com três doces. Essa quantidade é um número múltiplo de 6 que está entre 65 e 100. Determine a soma de seus algarismos: a) 9. b) 12. c) 13. d) 15. e) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo: Os números representam as áreas dos quatro quadriláteros formados internamente no retângulo ABCD. Determine x. a) 36. b) 32. c) 24. d) 18. e) Consideremos 48 bolas repartidas em três montes, A, B e C de maneira que do monte A, passemos para B a quantidade de bolas que há em B; logo em seguida, do monte B passemos para C a quantidade de bolas que há em C; e, depois, passemos de C para A a quantidade de bolas que há em A. No final, todos os montes têm a mesma quantidade de bolas. Quantas bolas havia inicialmente em A? a) 16. b) 19. c) 20. d) 22. e) 30. A D x B C a) 6. b) 9. c) 11. d) 13. e) 14. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5

6 22. O número ( ) 2016 possui no final a) zeros. b) zeros. c) zeros. d) zeros. e) zeros. 23. Chico das Contas escreveu, em sucessão, todos os números de 1 a 2016, em ordem, um ao lado do outro. Assim, formou um número muito grande, Qual o seu algarismo central? a) 1. b) 3. c) 5. d) 7. e) Maicon Binatória classificou seus livros através de uma chave com três letras, utilizando em ordem alfabética: AAA, AAB, AAC,..., AAZ, ABA, ABB, etc. Considerando o alfabeto de 26 letras e que ele tem 2203 livros, qual foi o último código que ele utilizou? a) CFR. b) CHJ. c) DGS. d) DFH. e) DEP. 25. No triângulo ABC, da figura a seguir, AD é uma mediana. A medida do ângulo ABC ^ é 30 e a medida de ADC ^ é 45. Qual a medida do ângulo DAC? ^ a) 45. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 6