10. Derivadas. 1. Esboce o gráfico duma função contínua f: R Ñ R tal que fp0q fp1q 0, fep0q 1 1, fd 1 p0q 0,

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1 0. Derivadas. Esboce o gráfico duma função contínua f: R Ñ R tal que fp0q fpq 0, fep0q, fd p0q 0, fepq `8 e fd pq 8.. A tabela seguinte representa alguns valores duma função diferenciável f: R Ñ R: x f pxq (a) Qual a taxa de variação de f no intervalo r0.,0.4s (b) Assumindo que a informação na tabela é representativa do comportamento da função, estime a derivada de f no ponto x Esboce o gráfico da derivada da função cujo gráfico está representado na figura seguinte: Usando a definição de derivada, calcule as derivadas laterais das seguintes funções na origem: lnpx `qcospπxqex x (a) fpxq (b) gpxq px 0q, gp0q 0 arccos x `e {x 5. Determine as derivadas laterais no ponto 0 da função f contínua em R cujos valores para x 0 são dados por fpxq x `e{x `e {x 6. Se possível, esboce o gráfico duma função f: R Ñ R tal que (a) fp0`q, fp0 q e f p0q 0. (b) f p0`q f p0 q e f não é contínua em Considere a função f: R Ñ R definida por # a `bx se x ď 0 fpxq ` psen xq{x se x ą 0 (a) Calcule as constantes a e b por forma a que f seja diferenciável no ponto 0. (b) Para esses valores de a e b determine a equação da recta tangente ao gráfico de f em cada ponto c ď Seja f: R Ñ R a função tal que fpxq x px q para x P Q e fpxq 0 se x R Q. Determine os pontos em que f é diferenciável e calcule f pxq. 9. Use a aproximação pela recta tangente para calcular aproximadamente: (a) p,0q 5 (b) a 80,9 (c) tanpπ{4 `0,0q 3

2 0. Calcule as derivadas das funções: (a) x (b) x px `q (c) ` x (d) x 3{ e x (e) x x (f) tanx x (g) x `cosx senx (j) x p `lnxq (h) senpxq cospxq tanpxq (k) senhpxqcoshpxq (i) `cotanx. Calcule as derivadas das seguintes funções: (a) 3 x `5x (b) arctanp3 xq `tanp{xq (c) arccosp4 xq `e x (e) cosparcsenxq (d) p x qcospx q `xsenpx 3 q (f) arctanpx 4 q arctan 4 x. Determine o domínio, o domínio de diferenciabilidade e a derivada das seguintes funções: (a) x x (b) x 3a x `3 ` (c) xsenpx q (d) lnpxsenhxq e x x ` (e) arcsenparctanxq (f) (g) ln arcsen `x x 3. Calcule f pxq, sendo a função f definida pela expressão: b x {3 ˆ x ` x {3 (a) ` lnx (b) x (c) px q (d) ` ` x 3{5 (e) ` ` a8 b `x 3 x (f) p `x 3 q 4 (g) { 3x ` 3 c `x 3 x (h) 3 x 3 4. Calcule f pxq, sendo a função f definida pela expressão: (a) arccosx lnx (b) 3 x tanpx q (c) cospe x qsecpxq (d) arcsenpx 4 qsenpxq (e) x coshx (f) lnpxq senhpx 3 q (g) arctan x `cos x (j) x `cospxq senpx 5 q (h) lnplnxq lnx (k) xsenx `x (i) exppx q secx (l) lnx x `tanx expx ` x (m) lnpxarcsenxq (n) arcsenparctanxq (o) 4 x senpsenxq (p) expparctanx tanxq (q) tanp xlnxq (r) tanpe x secxq (s) arcsenx senx (t) a e x {lnx (u) 5 px`q{px q (v) senpcos xqcospsen xq 5. Calcule f pxq, sendo a função f definida pela expressão: (a) sen`lnpx q 3 (b) 3arcsen a x (c) arctan `senpx `q (d) sen 3 x (e) sen 0 px 0 q (f) a cospe x q (g) sen`cosp q x (h) senpln 4 xq (i) cos`tan px q (j) sen` secx (k) tan 0 psecxq (l) expp senxq b (m) `lnpcosxq 3{5 (n) ln 4 psec 4 xq (o) ln ptan 6 xq (p) tan x (q) sec 0 ptanxq (r) ln`tanpe q x (s) a senhp{x q (t) a coshp{x 3 q 3

3 6. Calcule f pxq, sendo a função f definida pela expressão: (a) x x (b) ptanxq arctanx (c) parcsenxq cosx (d) psenxq senx (e) plnxq x (f) parctanxq arcsenx (g) x pxx q 7. Calcule as derivadas das seguintes funções, indicando em que pontos elas são diferenciáveis. (a) x x (b) x {x (c) e x x (d) e x (e) ln x (f) x senx 8. A tabela seguinte representa alguns dos valores duma função f: R Ñ R injectiva e diferenciável: x fpxq f pxq Usando os valores nesta tabela (a) Calcule a derivada de fpx q em x 3. (b) Calcule a derivada de f pxq em x 5. (c) Calcule a derivada de f fpxq em x 5. (d) Calcule a derivada de f px q em x Calcule o seguinte limite, interpretando-o como uma derivada: lim xñπ{ 0. Sabendo que f pxq cospx q calcule a derivada de 3fpcosxq fpx 3 `q.. Determine a derivada da função g em termos de f se: (a) gpxq fpx q (b) gpxq f`sen x `f`cos x (d) gpxq f`fpxq (e) gpxq pf f fqpxq `senx{x p{πq x pπ{q (c) gpxq arctan`fpxq `fparctanxq. Determine o domínio, o domínio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintes funções: e x (a) lnpx senh xq (b) `x 3. Sejaf: R Ñ Rumafunçãodiferenciáveltalquefp0q fpπq 0esejagpxq fpsenxq`sen`fpxq. Mostre que g p0q `g pπq f p0q `f pπq 4. Seja fpxq lnp ` x q e seja g: R Ñ R uma função injectiva, diferenciável tal que gpq 4, g pq 3 e gpxq ą 0 para todo o x P R. Considere a função hpxq f`gpxq. (a) Justifique que h é diferenciável em e calcule h pq. (b) Justifique que h é injectiva e que a sua função inversa h é diferenciável em ln3 hpq. Calcule ph q pln3q. 5. Seja g: R Ñ R uma função diferenciável e estritamente monótona com gp0q e g p0q. Considere a função f: r,s Ñ R dada por fpxq gparcsenxq. (a) Justifique que f é diferenciável em s,r e calcule f p0q. (b) Justifique que f é injectiva e, sendo f a função inversa, calcule pf q pq. 6. Considere uma função f: R Ñ s,r diferenciável e bijectiva, tal que fpq 0 e f pq e seja gpxq arccos`fpxq. (a) Justifique que g é injectiva e, sendo g a função inversa de g, determine g pq e pg q pπ{q. (b) Determine o domínio de g e justifique que g não é limitada. 7. Sendo g: R Ñ R uma função duas vezes diferenciável, considere a função f: s0, `8r Ñ R definida por fpxq e gplnxq. Supondo conhecidos os valores de g, g e g em pontos convenientes, determine f pq e f peq. 8. Sendo f: R Ñ R tal que fpxq x 4 e x para todo o x, e sendo g: R Ñ R diferenciável, calcule pg fq pxq em termos da função g. 33

4 9. Mostre que pargsenhxq `x pargcoshxq x de duas formas distintas: (a) usando o teorema da derivação da função inversa; (b) derivando as expressões argsenhx ln`x ` ax ` argcoshx ln`x ` ax 34 Teoremas fundamentais 30. Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções nos intervalos indicados: (a) fpxq x 3 3x `3, x P r0,s (b) fpxq x, x P r,s (c) fpxq a x, x P r,s 3. Um agricultor tem 800 m de vedação e pretende vedar uma região rectangular usando como um dos lados uma parede já existente. Quais as dimensões do rectângulo que maximizam a área 3. Explique qual o erro no seguinte raciocínio: Seja fpxq x ` x 4. Então f é diferenciável com `3 derivada f pxq xpx qpx `3q px 4 `3q que se anula nos pontos,0,. Comparando os valores de f nesses pontos vemos que o valor máximo de f é fp q fpq { e o valor mínimo de f é fp0q { A figura seguinte representa o gráfico da função fpxq x, que é a metade superior duma circunferência de raio um: (a) Verifique se f está nas condições do teorema de Lagrange. (b) Usando apenas geometria, encontre um c P s0,r tal que f fpq fp0q pcq Esboce o gráfico duma função contínua f: r0,s Ñ R tal que fp0q 0, fpq e f pxq para todo o x. Explique porque é que a existência de tal função não contradiz o teorema de Lagrange. 35. Considere a função f: R Ñ R dada por fpxq x {3. Verifique que fp q fpq 0 mas a derivada de f não se anula em r,s. Justifique que este facto não contraria o Teorema de Rolle. 36. Mostre que a equação x 5 `5x 5 tem exactamente uma solução. 37. Mostre que a equação cosx x `3 tem exactamente uma solução. 38. Mostre que: (a) a equação 3x e x tem exactamente três soluções. (b) o polinómio ppxq x 6 4x 4 ` tem exactamente quatro zeros (sugestão: é par). 39. Use o Teorema de Lagrange em intervalos adequados para provar as seguintes relações: (a) px q{x ă lnx ă x para x ą e para 0 ă x ă. (b) e x ě `x para x P R. (c) x ă tanx para 0 ă x ă π{. (d) arctanx ă x ` π 4 para x ą. 40. Seja f: s0,r Ñ R uma função diferenciável tal que fp{nq 0 para todo o n P N, n ě. Diga justificando se cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou falsa. (a) Para qualquer n ě, a função f tem necessariamente máximo no intervalo r{pn `q,{ns. (b) A função f é necessariamente limitada. (c) A função f tem necessariamente infinitos zeros.

5 4. Aplicando o teorema de Lagrange ao intervalo r0, xs mostre sucessivamente que (a) 0 ă senx ă x (b) x ă cosx ă 0 (c) x x 3 ă senx ă x Aproveite para estimar o erro da aproximação sen0. « Prove que, se f: R Ñ R é duas vezes diferenciável e o seu gráfico cruza a recta y x em três pontos, então f tem pelo menos um zero. 43. Prove que, se f é de classe C em R e a equação fpxq x tem três soluções, sendo uma negativa, outra nula e outra positiva, então f tem pelo menos um zero. 44.* Seja f : R Ñ R uma função de classe C em R que satisfaz a desigualdade fpxq ě x para todo o x P R. Mostre que para qualquer α P R existe c P R tal que f pcq α. 45. Mostre que senx seny ď x y para quaisquer x,y P R. 46. Mostre que para x ă y temos e x py xq ă e y e x ă e y py xq. 47. Supondo que f é uma função de classe C em ra,bs, com a,b P R e a ă b, mostre que existe c P R tal que fpxq fpyq ď c x y para quaisquer x,y P ra,bs. 48. Seja φ : s0, `8r Ñ R uma função diferenciável, tal que φpnq n e φpn q P N. (a) Mostre que a equação φpxq 0 tem infinitas soluções em R`. (b) Mostre que a equação φ pxq 0 tem infinitas soluções em R`. 49. Seja f: R Ñ R uma função diferenciável tal que lim f pxq 0. (a) Mostre que lim `fpx `q fpxq 0. (b) Será que pode garantir que lim `fpxq fpxq 0 Justifique. 50. Seja f: R Ñ R uma função diferenciável. (a) Prove que, npn fpnq p q n então não existe o limite de f em `8. (b) Assuma agora npn fpnq p q n {n para todo o n P N. Assumindo a sua existência, calcule lim xñ8 f pxq. 5. Sejam a,b P R, a ă b e f uma função contínua em ra,bs duas vezes diferenciável em sa,br. Suponha que o gráfico de f e o segmento de recta de extremos `a,fpaq e `b,fpbq se intersectam num ponto `x0,fpx 0 q com x 0 P sa,br. Mostre que existe c P sa,br tal que f pcq 0. 35