3. INSTRUMENTAL TEÓRICO

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1 36 3. INSTRUMENTAL TEÓRICO 3.1. Descição das vaiáveis utiliadas a lono do tabalho Neste tabalho, utilia-se os dados da pesquisa sobe Economia Infomal Ubana ECINF, de 1997, ealiada pelo Instituto Basileio de Geoafia e Estatística IBGE e que visa capta o papel e a dimensão do seto infomal 1 na economia basileia. Esta pesquisa apesenta esultados paa cada uma das unidades da fedeação e também paa as eiões metopolitanas de Belém, Fotalea, Recife, Salvado, Belo Hoionte, Vitóia, Rio de Janeio, São Paulo, Cuitiba e Poto Alee, além do município de Goiânia. A ECINF foi ealiada com uma amosta pobabilística de domicílios, obtida em dois estáios de seleção. Na pimeia fase, pocedeu-se a estatificação dos setoes ubanos, consideados as unidades pimáias, pincipalmente po sua posição eoáfica; selecionando-os com pobabilidades popocionais ao total de domicílios ocupados existentes nestas unidades no Censo Demoáfico de Adotou-se como unidades secundáias os domicílios que tinham moadoes ocupados como tabalhadoes po conta-pópia ou como empeadoes com até cinco empeados, que foam estatificados po upo de atividade e selecionados com equipobabilidade em cada um dos estatos. A seunda etapa do pocesso contou com a estatificação das unidades pimáias dento de cada estato eoáfico, utiliando a média da enda domicilia de cada seto, convetida em saláios mínimos de Nos setoes selecionados foi ealiada uma opeação de listaem paa identifica os domicílios que faiam pate do univeso da pesquisa, isto é, aqueles que possuíam moadoes ocupados como conta-pópia e empeadoes com até cinco empeados em atividades não-aícolas. Além disso, os domicílios foam classificados em upos de atividade, tomando-se o 1 Não existe um consenso aceca da definição do seto infomal, á que a natuea e composição deste seto dependem do nível de desenvolvimento da eião e da estutua da economia. Na ECINF considea-se petencente ao seto infomal todas as unidades econômicas de popiedade de tabalhadoes po conta-pópia e de empeadoes com até 5 empeados, moadoes de áeas ubanas, seam elas atividades pincipais dos seus popietáios ou atividades secundáias. Poém, esta definição é um tanto limitada, visto que o caáte infomal de uma atividade está liado muito mais a divisão técnica-social do tabalho que ali se estabelece do que ao seu tamanho. 2 Seundo a metodoloia apesentada pelo IBGE, a utiliação da vaiável enda na estatificação dos setoes visou aanti a inclusão na amosta de popietáios do seto infomal, povenientes de divesas classes de enda.

2 37 cuidado de mante a popocionalidade na amosta ente os divesos upos de atividade em cada seto. A pesquisa pocuou abane todos os domicílios situados nas áeas ubanas selecionadas e o plano amostal foi aplicado de foma independente em cada áea, ou sea, em cada eião metopolitana e em cada município citado acima. Na deteminação do tamanho da amosta de cada uma das áeas, estabeleceu-se como vaiável de dimensionamento o total de popietáios petencentes ao seto infomal, admitindo um eo de amostaem de 5%, com exceção da eião Note, onde o eo foi de 6% 3. A amosta foi composta po domicílios espalhados de foma equipopocional ao lono das eiões, como demonstado no anexo 1 do pesente tabalho. Nestes domicílios, existiam unidades econômicas petencentes ao seto infomal 4. A investiação das caacteísticas do funcionamento destas unidades podutivas é feita atavés da busca de infomações sobe os popietáios de neócios infomais e de suas unidades podutivas. A pesquisa enloba uma séie de vaiáveis que seão úteis ao lono do tabalho poposto. Em elação a atividade podutiva tem-se infomação sobe: local e caacteística de funcionamento, veificando se o neócio tem caáte pemanente, saonal ou eventual; eceita mensal, despesa mensal, investimentos e aquisições, valo do capital utiliado pelas fimas, utiliação de cédito nos últimos 3 meses; etc. Além disso, a ECINF disponibilia infomações sobe o endimento mensal e o nível de instução das pessoas ocupadas no seto infomal e, em elação ao popietáio do neócio, infomações mais detalhadas, como idade com que começou a tabalha e qual o seu tabalho pincipal. Entetanto, paa calcula uma das vaiáveis centais do pesente tabalho, o luco antes da etiada dos custos do capital apesentado no áfico 1 da seção 2.2, foi necessáio utilia não só os dados da ECINF, mas também os da Pesquisa Nacional po Amosta de Domicílios PNAD ealiada também pelo IBGE em O eo de amostaem é medido pelo IBGE atavés do coeficiente de vaiação. Loo, um eo de amostaem de 5% é o mesmo que um coeficiente de vaiação de 5%. 4 Pode-se veifica como as unidades econômicas estão espalhadas nas eiões basileias no anexo 1.

3 38 Como na ECINF não há infomação sobe o endimento dos popietáios e sócios que tabalham no neócio, foi necessáio estima qual seia o saláio de mecado pao, dado as suas caacteísticas pessoais, como idade e nível educacional. Além disso, como ealmente outos indivíduos, pincipalmente paentes dos popietáios, ocupam-se como tabalhadoes não-emuneados nestas pequenas empesas, paa se obte o valo adicionado do capital, foi necessáio exclui do luco qual o possível endimento destes tabalhadoes. Paa ealia a estimação destes custos de opotunidade, utiliou-se as infomações da PNAD de 1997 sobe o endimento dos tabalhadoes e as suas caacteísticas pessoais, e assim como da atividade pincipal que execem. Com estes dados, estimou-se uma eessão lo-linea que elaciona o saláio ecebido pelos tabalhadoes a cetas caacteísticas pessoais e da sua atividade. A elação estimada pode se epesentada po: onde, po hipótese: ~ ~ [ Ln Y / X ] X E ~ X β + X β β + ξ X k k A vaiável dependente na eessão Y é o endimento ecebido no tabalho pincipal e o veto de vaiáveis explicativas x contém as caacteísticas dos tabalhadoes e de sua ocupação pincipal, como sexo, idade, idade ao quadado, aça, se é miante ou não, anos de estudo, idade em que começou a tabalha e seto de atividade no qual exece seu tabalho pincipal. A eessão estimada paa os popietáios que tabalham no neócio difee da estimada paa os tabalhadoes não-emuneados, no sentido que as vaiáveis explicativas utiliadas em cada uma delas são distintas. Isto ocoe poque a ECINF capta alumas caacteísticas paa os popietáios, como idade em que começou a tabalha, que não estão disponíveis paa os tabalhadoes nãoemuneados. Com os coeficientes das eessões calcula-se um valo estimado paa o saláio de mecado dos popietáios que tabalham no neócio e paa os tabalhadoes não-emuneados, atavés da equação: Ln Y β + X β X k β k

4 39 Os paâmetos são os coeficientes obtidos nas eessões e o veto de vaiáveis x contém as caacteísticas dos popietáios e dos tabalhadoes nãoemuneados pesentes na amosta da ECINF. Após computa o loaitmo dos endimentos, tia-se a exponencial destes valoes, obtendo um valo de endimento que é consideado o custo de opotunidade dos popietáios e sócios que tabalham no neócio e dos tabalhadoes não-emuneados. O instumental teóico elaboado a seui, que pocua explica po que as pequenas empesas basileias empeam níveis de capital tão difeentes e apesentam níveis de luco distintos, baseia-se em duas vaiáveis: o luco do capital e o valo do capital empeado pelas fimas. Desceve-se a seui como foam obtidos os componentes destas duas vaiáveis. Receita total: valo ecebido de clientes pela venda de podução pópia, evenda de mecadoias e pestação de seviços, no mês de outubo de 1997, sem desconta as despesas no desenvolvimento da atividade. Gasto total: valo total das despesas que o empeendedo teve no mês de outubo de 1997, exclusivamente paa o desenvolvimento de sua atividade econômica. Neste item, estão incluídos os astos com a compa de mecadoias paa evenda e de matéias-pimas; com encaos sociais e com mão-de-oba não incluiu a etiada de sócios e popietáios; com impostos e taxas paos a pefeitua, estado e oveno fedeal não incluiu o imposto de enda; e com a manutenção de equipamentos, máquinas e instalações. Não foi incluído nenhum asto com aluuel do capital 5. Tabalhadoes a domicílio: valo pao aos tabalhadoes a domicílio, ou sea, aquelas pessoas que desenvolvem suas taefas foa do local onde o neócio está estabelecido e não têm vínculo de empeo com o empeendimento. Custo de opotunidade dos empeendedoes: emuneação dos popietáios e sócios que tabalham no neócio, calculada não só com base nos dados da ECINF, como visto acima.

5 40 Custo de opotunidade dos tabalhadoes não-emuneados: possível endimento dos tabalhadoes que atuam como não-emuneados no neócio, também calculado com base nos dados da PNAD de Custo total: valo do total de despesas no mês de outubo, inclui os astos totais incoidos pela fima, o custo de opotunidade dos seus popietáios e dos tabalhadoes não-emuneados e o valo pao a tabalhadoes a domicílio. Não inclui os astos com aluuel do capital. Luco do capital: total de eceitas obtidas no mês de outubo, menos o custo total neste mesmo mês. É o luco das fimas antes de seem etiados os custos com capital. O ideal seia calcula o luco de lono pao destas fimas, poém os dados da ECINF pemitem apenas o cálculo do luco mensal. Valo do capital empeado pelas fimas: valo dos equipamentos e instalações utiliados na atividade. Investia-se cinco andes upos: imóveis, baacas ou taille; feamentas ou utensílios de tabalho; móveis e equipamentos; veículos utiliados no neócio e outos. Paa calcula o valo total do capital empeado nas fimas, deve-se obte o valo dos equipamentos que são de popiedade das unidades podutivas e os que são de teceios. Entetanto, os dados da ECINF fonecem apenas o valo do capital usado no pocesso podutivo, que petence a empesa e o valo do capital aluado. Uma abodaem osseia paa ecupea o valo do capital de teceios empeado no neócio seia supo que o peço de aluuel do capital é 1% do seu valo. Como poucas fimas usam capital aluado, menos de 7% da amosta, e o valo médio asto com aluuel do capital não é muito alto, ceca de R$331,00, a inclusão do valo do capital total não modifica os esultados das estimações 6. Devido a isto, e a falta de um método mais adequado paa ecupea este valo, o valo do capital de 5 Paa calcula o valo aeado do capital, deveia-se inclui nos astos totais a depeciação do capital utiliado pela fima; entetanto a ECINF não nos pemite calcula o valo desta depeciação. 6 É inteessante veifica que a inclusão do valo do capital de teceios não altea muito a distibuição do valo total de capital. Com a inclusão do capital de teceios, a média desta distibuição é R$ 4.798,00 e o desvio-padão de , enquanto, com a exclusão deste capital, a distibuição tem média de R$4.898,00 e desvio padão de , sendo o valo máximo e mínimo os mesmos em ambas as distibuições.

6 41 teceios não foi incluído no valo total do capital empeado pelas fimas, sendo este apenas o valo de capital que petence a unidade podutiva. A tabela a seui mosta alumas estatísticas básicas das pincipais vaiáveis descitas acima: Tabela 1 - Estatísticas descitivas dos componentes do luco e do capital Vaiáveis Númeo de Média Desvio-padão Máximo Mínimo obsevações Receita Gastos Totais Custo de opotunidade dos popietáios Custo de opotunidade dos tabalhadoes nãoemuneados Valo pao aos tabalhadoes domésticos Custo Total Luco Valo do capital Fonte: ECINF, Pela tabela 3, obseva-se que o luco médio das empesas no seto infomal ia em tono de R$ 258,00 e que o luco apesenta ceta dispesão, tendo valo máximo e mínimo extemos. Poém, esta dispesão pode se consideada pequena quando compaada a dispesão do valo do capital. O custo total médio é de R$1.227,00 e a eceita média de R$1.505,00, estas vaiáveis também apesentam um valo máximo muito alto. O valo médio do capital existente no neócio é R$4.870,00, existindo fimas que não empeam capital no seu pocesso podutivo e outas que utiliam um valo muito alto de capital, cheando a mais de R$ ,00 em seu máximo. Além disso, obsevando-se o luco mensal das pequenas empesas basileias, pecebe-se que alumas apesentam luco neativo, isto pode se decoente de alum choque exóeno sofido no peíodo, ou mesmo de uma saonalidade caacteística da atividade. A opção po usa como vaiável chave o luco antes da etiada dos custos de capital deve-se ao fato de que as vaiáveis pesentes na ECINF elacionadas a ecebimento de cédito po pate do seto infomal não pemitem detemina se de fato as pequenas empesas basileias estão ou não estitas ao cédito.

7 42 O univeso de empesas petencentes ao seto infomal que utiliam cédito ou financiamento paa exece suas atividades é muito pequeno, ceca de 5% do total da amosta. Além disso, a pocentaem de empesas que ainda possuem dívida que esteam paando é também pequena, ceca de 15% da amosta total Estes númeos indicam que cédito não é um poblema paa as pequenas empesas basileias. Entetanto, esta conclusão é pecipitada, visto que existe um ande númeo de empesas que não espondem a estas peuntas. E estas peuntas não pemitem sepaas aquelas empesas que ealmente não necessitam de cédito paa exece suas atividades daquelas que Nõ utiliam cédito pois não conseuem obtê-lo. A abodaem que utilia o luco antes da etiada dos custos do capital como vaiável pincipal paece mais apopiada na medida em que pemite identifica se de fato as impefeições no mecado de cédito podem se um dos esponsáveis pela divesidade de luco ente as pequenas empesas basileias, sendo esponsável pela baixa lucatividade e podutividade de alumas empesas. Ela é uma abodaem inicial que pocua elaciona o desempenho das pequenas empesas basileias às estições ceditícias Modelos Teóicos As pequenas empesas ealmente são tomadoes de peço, pois, devido ao seu pequeno pote, não conseuem te influência sinificativa nos peços de mecado. Seundo a teoia micoeconômica convencional, fimas tomadoas de peços que atuam nos mesmos mecados e utiliam a mesma tecnoloia podutiva deveiam te o mesmo nível de luco. Como as fimas estão nos mesmos mecados e possuem a mesma função de podução, elas devem escolhe a quantidade de fatoes de podução necessáia à maximiação da função luco, que também é comum a todas. Assim, as fimas deveiam te o mesmo nível de luco e utilia o mesmo volume de capital no seu pocesso podutivo. No entanto, ao obseva o áfico abaixo, que mosta a cuva de luco antes da etiada dos custos do capital, pecebe-se que isto não está ocoendo. Este luco difee ente as pequenas empesas basileias, sendo cescente ente elas. Além disso, estas pequenas

8 43 empesas possuem tamanhos difeentes Gáfico I - Luco das pequenas empesas basileias Luco Valo do Capital Fonte: ECINF, Esta divesidade do luco ente as pequenas empesas pode se explicada atavés de uma heteoeneidade podutiva, isto é, um fato que estea afetando a tecnoloia utiliada em cada uma delas, ou po estições no mecado de cédito. Neste último caso, haveia uma violação de uma das pincipais hipóteses da teoia micoeconômica, a de que os mecados no qual atuam as pequenas empesas são completos. A capacidade empesaial dos popietáios das pequenas empesas pode esta elacionada a podutividade total dos fatoes de podução, que afeta dietamente a função de podução utiliada pela fima, de modo que, quanto maio fo a capacidade empesaial, maio seá esta podutividade e maio o nível da função de podução. Assim, fimas atuando nos mesmos mecados podeiam empea quantidades difeentes de insumos, obtendo níveis de luco difeenciados. Esta heteoeneidade podutiva pode ocoe tanto ente as empesas de um mesmo upo como ente upos de atividade distintos. A tabela 7 Neste áfico, utilia-se o luco antes da etiada dos custos com aluuel do capital, isto é, o luco que epesentaia o valo aeado do capital. Caso as fimas tivessem a mesma função de podução e atuassem nos mesmos mecados, o áfico apesentada deveia te apenas um ponto, visto que elas empeaiam a mesma quantidade de capital e teiam o mesmo luco, e consequentemente, como o peço do capital é o mesmo paa todas, elas teiam o mesmo luco antes da etiada dos custos com capital.

9 44 1 mosta a distibuição de tamanho das fimas po upo de atividade. Todos os upos possuem uma ande dispesão, sendo que a mediana está muito abaixo da média, o que suee que as distibuições devem se assiméticas à esqueda. Po outo lado, os upos difeem em elação ao valo máximo de capital, em aluns upos este valo está acima de R$ ,00 e outos apesentam um valo máximo de capital abaixo de R$ ,00. A dispesão ente o valo do capital empeado pelas empesas em um mesmo upo é muito alta, pincipalmente na indústia de tansfomação e no seto de seviços técnicos e auxiliaes que são aqueles onde se encontam as empesas que empeam o mais alto valo de capital. Tabela 2 - Caacteísticas da distibuição de tamanho das fimas po atividade Gupos de Atividade Númeo de obsevações Mediana Média Desviopadão Máximo Mínimo Ind. de tansfomação Ind. de constução Comécio Sev. De aloamentos e alimentação Sev. De tanspote Sev. De epaação, pessoais, domiciliaes e de divesão Sev. Técnicos e auxiliaes Outos seviços Fonte: ECINF, As impefeições no mecado de cédito, po sua ve, constituem uma heteoeneidade econômica e não podutiva. Estas impefeições faem com que as pequenas empesas basileias pecebam um peço difeenciado paa o aluuel do capital, ou tenham um limite máximo de capital disponível. Estes dois tipos de estição de cédito dependem de alumas caacteísticas da empesa, como a capacidade do popietáio de fonece aantias e colateal paa o empestado. 8 Potanto, a evidência de que as pequenas empesas basileias apesentam níveis divesos de luco pode se explicada po uma heteoeneidade podutiva ou po uma heteoeneidade econômica. 8 A difeença ente estições quantitativas e estições elacionadas ao peço pao pelo capital á esteve pesente em muitos tabalhos que estudaam a natuea das impefeições ceditícias, como Stilit e Weiss 1981, citados no pimeio capítulo.

10 45 Neste capítulo são constuídos modelos que captam os efeitos das impefeições no mecado de cédito e da heteoeneidade podutiva na maximiação de luco das fimas. Os quato pimeios modelos têm como obetivo capta os dois tipos de estições no mecado de cédito, em difeentes situações. Um quinto e último modelo leva em consideação a heteoeneidade podutiva existente ente as fimas. Estes modelos estão baseados nas hipóteses clássicas da teoia micoeconômica paa a fima, ou sea, ela possui uma função de podução côncava, estitamente cescente e contínua 9. Esta função de podução depende da quantidade utiliada de cada fato de podução e da tecnoloia adotada, sendo epesentada po f ~ x,, onde ~ x é o veto de insumos, como tabalho e demais matéias pimas, e é o capital usado pela fima. Além disso, f 0 0, isto é, quando não há nenhum fato de podução, o nível de poduto é nulo. Dado esta caacteística da função de podução, a função custo da fima seá convexa, contínua e iual a eo, quando y 0. Esta função teá o seuinte fomato: C w~, q, y w~. ~ x w~, y + q. q, y, onde w ~ epesenta o veto com os peços dos insumos, q o peço de aluuel do capital e y o nível de poduto. Paa simplifica os cálculos, o peço do poduto seá nomaliado paa um Restição quantitativa ao volume de capital As impefeições no mecado de cédito faem com que a fima não opee em seu poeto mais podutivo, pois ela não conseue alua o capital necessáio a implementação de tal poeto. Neste pimeio modelo, as estições no mecado de cédito impõe um limite máximo paa o asto com aluuel de capital. Como o 9 Se as pequenas empesas têm baixa lucatividade poque não conseuem usufui dos etonos cescentes de escala que possuem, então a sua função de podução é convexa. Mas, se elas têm etonos decescentes de escala e mesmo assim não alcançam a lucatividade máxima, devido a inúmeas baeias ao seu desenvolvimento, então a pequena empesa apesenta uma função de podução côncava. Loo, podeia-se adota a hipótese de uma função de podução convexa ao invés de uma função de podução côncava, o que alteaia aluns esultados deste capítulo. No entanto, pefee-se mante a hipótese comumente adota na teoia micoeconômica tadicional, uma função de podução côncava, captando apenas o efeito das impefeições no mecado de cédito ou da heteoeneidade podutiva sobe a lucatividade das fimas. Além disso, podeia-se adota uma função de podução linea. Neste caso, as fimas estaiam obtendo luco eo, independentemente do montante de capital utiliado. As estições cedíticias não seiam efetivas, pois a fima podeia utilia qualque valo de capital no pocesso podutivo, obtendo sempe a mesma podutividade mainal do capital e tendo a mesma eficiência.

11 46 peço do capital é deteminado pelo mecado, podendo se consideado constante, esta estição se dá sobe a quantidade de capital que a fima pode obte. Neste contexto, o poblema de maximiação do luco da fima pode se descito como: Máx y wx ~ ~ q s. a f ~ x, y q onde epesenta o limite de astos com aluuel do capital que a fima pode te, este limite seá uma função das caacteísticas da fima. As fimas estaão estitas ao cédito se o aluuel do capital é exatamente iual a, isto é, se o valo do capital empeado pela fima é iual a aão ente e o peço de aluuel deste capital. Como o peço do capital é dado pelo mecado, temos uma estição quantitativa ao volume de capital empeado pela fima. Se a fima conseui aumenta, o capital empeado no pocesso podutivo seá maio. Este poblema é esolvido em duas etapas. Na pimeia, soluciona-se o poblema de maximiação com elação ao veto de insumos, ~ x, encontando as demandas ótimas paa cada um dos insumos, condicionadas a escolha de, x * i, i1,...,n. Estas demandas ao seem substituídas na função luco maximiada, eam uma função que depende apenas de, denominada de luco do capital e que epesenta seu valo aeado. A pimeia etapa do poblema pode se descita como: L * Máx x i 0 y wx ~~ s. a y f ~ x, Como a função de podução é estitamente cescente, a fima sempe obtém o maio nível de poduto paa dada quantidade de fatoes de podução, potanto: y f ~ x,. Loo, podemos desceve esta pimeia etapa como: * L Máx f ~ x, wx ~ ~ Resolvendo este poblema de maximiação, temos a seuinte condição: f x i wi, i 1,..., n

12 47 A solução deste poblema fonece as demandas de cada um dos insumos, condicionadas ao volume de capital empeado pela fima. Com estas demandas, obtém-se o luco do capital, epesentado po: * L f, ~ x wx ~~ 1 Na seunda etapa do poblema, maximia-se levando em consideação a estição ceditícia e os custos de aluuel do capital. L ** Máx 0 q s. a q que: Como considea-se que existem impefeições no mecado de cédito, tem-se q, ou sea, a estição é efetiva. Além disso, existe um valo máximo paa, a pati do qual a desiualdade q se tona estita. A pati deste ponto, a fima passa a não sofe mais estição no mecado de cédito 10. A esolução deste poblema de maximiação nos fonece duas equações: f 1 + λ q 2 onde λ é o peço-somba ou multiplicado de laane do poblema de maximiação acima, sendo ** L f λ e f, que epesenta a podutividade mainal do capital. E, a seunda: 3 q Potanto, o valo da podutividade mainal do capital dado pela equação 2 vaia ente as fimas, dependendo do limite de astos de aluuel do capital. Assim, as fimas que atuam em um mecado de cédito impefeito e utiliam a mesma tecnoloia, opeam com montantes difeentes de capital, tendo um luco do capital difeenciado. Paa veifica como a podutividade mainal do capital se compota ente as fimas com difeentes estições ceditícias, deve-se obseva como esta 10 Paa esolve o poblema de maximiação com desiualdade usando Kuhn-Tucke, deve-se obedece a condição de Slate, que nos di que a pati de ceto momento a desiualdade não é mais uma iualdade, sendo positiva ou neativa.

13 48 podutividade vaia com. Deivando a equação 2, que epesenta a podutividade mainal do capital, em elação a, tem-se: f f 2 f, x, onde f 2 Deivando a equação 3 em elação a, obtém-se: 1 > 0 q 4 E potanto: f f q Assim, a podutividade mainal do capital cai a medida que aumenta, uma ve que considea-se que a função de podução é côncava. Isto ocoe poque a fima tem endimentos decescentes nos fatoes de podução, loo, a medida que aumenta o valo do capital empeado no pocesso podutivo, cai sua podutividade mainal. Como o valo do capital empeado aumenta a medida que a estição ceditícia é flexibiliada e a sua podutividade mainal Pm cai, a cuva desta podutividade paa fimas que enfentam estições quantitativas no mecado de cédito, empeando difeentes valoes de capital, tem o seuinte fomato:

14 49 Este áfico epesenta também, como a lucatividade mainal do capital, ou sea, a deivada da cuva do luco do capital em elação ao valo do capital, vaia ente as fimas que enfentam difeentes estições no mecado de cédito. Isto ocoe poque, quando se obtém a cuva que elaciona o luco do capital paa estas fimas ao valo de capital empeado po elas e calcula-se a deivada ao lono desta cuva, é captado o seuinte efeito: L * f Potanto, a lucatividade mainal do capital das fimas é exatamente iual a podutividade mainal do capital. Ao obseva as fimas que enfentam estições cedíticias é de se espea que a lucatividade mainal do capital sea maio paa aquelas que são mais estitas, isto é, paa as fimas que empeam menos capital. Estas não conseuem obte o volume de capital deseado, mesmo tendo uma podutividade mainal do capital alta quando compaadas às demais. Este esultado advém da hipótese de que as fimas possuem uma função de podução côncava. Caso fosse utiliada uma função de podução convexa, a cuva que elaciona a podutividade mainal do capital ao valo do capital empeado po cada uma das fimas seia cescente. O luco médio do capital é dado po:

15 50 Lme Deivando esta expessão em elação a, tem-se: Lme q 2 O luco médio do capital seá decescente em, como o luco mainal, se <, ou sea, se a lucatividade mainal do capital fo meno que o luco médio. Então, elacionamos o luco médio à lucatividade mainal, paa detemina sobe quais condições a desiualdade acima se veifica. 1 Lme Lm e onde: e 5 e Lm epesenta a lucatividade mainal do capital. Potanto, o luco médio seá meno ou maio que a lucatividade mainal dependendo da elasticidade do luco do capital em elação ao volume de capital. Caso esta elasticidade sea meno que um, o luco médio é maio que o luco mainal e então a cuva que elaciona o luco médio do capital ao valo do capital empeado pelas fimas é decescente, como no caso da lucatividade mainal 11. A hipótese de que a elasticidade do luco do capital em elação ao capital é meno que um é bastante aoável, pois indica que vaiações pecentuais no estoque de capital causam pequenas alteações pecentuais no luco do capital. Esta elasticidade pode também se maio que um, isto é, o luco do capital pode se bastante sensível às vaiações no volume de capital empeado pela fima. Neste caso, o luco médio seá cescente em e a cuva paa o luco médio do capital de fimas com difeentes volumes de capital seá cescente, e não decescente como a cuva apesentada paa o luco mainal. 11 Considea-se que esta elasticidade é positiva, pois a lucatividade mainal do capital e o valo do capital são positivos, e o luco antes da etiada dos custos com capital deve se positivo, pois caso este luco de lono pao sea neativo, as fimas tendeão a sai do mecado.

16 51 Como neste modelo adota-se a hipótese de uma função de podução côncava, estitamente cescente, as funções de luco do capital também são côncavas e cescentes, sendo a elasticidade do luco do capital em elação ao valo do capital baixa e, consequentemente, o luco médio é decescente em elação a este valo Restição ceditícia afetando o peço do capital Neste seundo modelo, a estição de cédito não afeta o quanto a fima pode alua de capital, mas incide sobe o peço de aluuel do capital, ou sea, cada fima pecebe um peço difeenciado. O poblema de maximiação do luco da fima é dado po: Máx y wx ~~ q s. a y f ~ x, onde q epesenta o peço do aluuel do capital paa a fima. Obviamente, a escolha de q está elacionada às caacteísticas da fima. Como a função de podução é estitamente cescente e a fima sempe obtém o nível máximo de poduto, dada a quantidade de insumos utiliadas e a tecnoloia, tem-se que: y f ~ x,. Novamente, esolve-se o poblema de maximiação acima em dois passos. Pimeio, maximia-se o luco do capital em elação aos fatoes de podução pesentes no veto ~ x, obtendo-se as demandas ótimas de cada um destes insumos, condicionadas à. Depois, maximia-se o luco do capital, levando-se em consideação seus custos de aluuel. A pimeia etapa deste poblema pode se descita como: L * Máx x i 0 f ~ x, wx ~~ Ao esolve este poblema de maximiação, enconta-se as demandas ótimas de cada um dos fatoes, condicionadas a, que devem satisfae a seuinte condição: f x i wi, i 1,..., n. Substituindo as demandas ótimas na função obetivo do poblema, encontase o luco do capital que seá epesentado po: * L f, ~ x wx ~~ 6

17 52 Na seunda etapa, esolve-se o seuinte poblema de maximiação: L ** Máx 0 q A solução deste poblema de maximiação nos dá a seuinte expessão: f q 7 O valo da podutividade mainal do capital seá iual ao peço do aluuel do capital paa a fima. Como o peço cobado pelo aluuel do capital é difeente paa cada uma das fimas, a podutividade mainal do capital difee ente elas, como no pimeio modelo. Deve-se também veifica como o volume de capital empeado no pocesso podutivo vaia ente as fimas com difeentes q. Paa isso, deiva-se a equação 7 em elação a q : f q 1 1 Loo: < 0, visto que a função de podução é côncava 12. q f Esta expessão mosta que a quantidade utiliada de capital diminui a medida que seu peço aumenta. Deivando também o luco do capital em elação a q, tem-se que: q q < 0 Assim, o luco do capital também diminui com o aumento do peço do aluuel do capital. Este esultado á ea espeado, uma ve que o aumento do peço do capital diminui o valo do mesmo usado pela fima, o que causa uma queda no luco do capital. Potanto, fimas que enfentam peços de aluuel do capital maioes empeam um meno montante de capital, tendo po consequência um meno luco do capital. Deivando aoa a equação 7 em elação a q, vê-se como a podutividade mainal vaia ente as fimas que enfentam peços de aluuel do capital difeenciados. 12 Caso a função de podução fosse convexa, as fimas estaiam tão estitas ao cédito que um aumento do peço do capital levaia ao aumento da demanda po capital.

18 53 f q 1 Assim, a podutividade mainal do capital vaia exatamente na mesma popoção e na mesma dieção de um aumento de q, isto ocoe poque o valo da podutividade mainal do capital se iuala ao peço de aluuel do capital paa cada uma das fimas. Como o valo empeado do capital cai paa fimas que enfentam peços maioes de aluuel do capital e a podutividade mainal aumenta, temos uma elação decescente ente o valo do capital e a sua podutividade mainal Pm paa difeentes peços de aluuel do capital, como mosta o áfico abaixo: Como ocoia no modelo anteio, este áfico também epesenta como a lucatividade mainal vaia ente as fimas que obsevam difeentes peços paa o aluuel do capital. Ao obte-se a deivada da cuva de luco do capital paa estas fimas em elação ao valo do capital, obseva-se a seuinte elação: * L f q

19 54 Novamente, a lucatividade mainal do capital é iual a podutividade mainal do capital, sendo decescente ente as fimas que sofem estições no mecado de cédito. A vaiação no luco médio do capital devido às alteações no peço de aluuel do capital é dada po: Lme q q 2 8 Usando a equação 7, tem-se que: Lme q q q 2 9 Mas: q ** L, que epesenta o oposto do luco final da fima. Consideando um deteminado peço de capital, a fima sempe iá escolhe um valo de capital que ee um luco positivo ou no mínimo nulo. Assim, o temo ente paênteses na equação 9 não deve se neativo, á que a fima vai escolhe o valo de capital compatível com um luco positivo. Como < 0, o luco médio do capital vaia de foma positiva com o peço do aluuel do capital. Como o valo do capital empeado pela fima diminui e o luco médio do capital cesce quando há um aumento de q, a elação ente luco médio do capital e o seu valo empeado pela fima seá decescente, como acontecia no caso do luco mainal do capital. Loo, um áfico que elacione o luco médio do capital ao capital empeado pela fima teá o mesmo fomato do áfico apesentado anteiomente paa o luco mainal do capital. Obseva-se que neste caso as fimas evitam te luco neativo, e o luco médio é decescente em elação ao valo de capital empeado pelas fimas. Assim, as fimas ião opea somente na pate côncava da cuva de luco do capital, não situando-se nas pates convexas, como pode ocoe no modelo q

20 55 anteio. No pesente modelo, a função luco do capital é côncava e cescente, não havendo pates convexas. Os dois modelos apesentados até aqui epesentam as situações nas quais existe aluma impefeição no mecado de cédito no qual atuam as pequenas empesas basileias, o que fa com que o peço de aluuel do capital não sea o mesmo paa todas as fimas ou que exista um limite máximo de capital que cada uma pode alua. No entanto, o mecado de cédito no qual atuam as pequenas empesas basileias pode apesenta alumas peculiaidades, como o fato do fonecedo de capital se também seu fonecedo de matéias-pimas ou seu cliente, o que fa com que o peço pao pelo poduto ou cobado pelo insumo dependa do montante de capital empestado paa a fima. De fato, analisando os dados, pecebe-se que 10% das pequenas empesas basileias tomam empéstimos com seus fonecedoes e 10% tomam empéstimos com outas empesas e pessoas, incluindo seus clientes. Loo, a hipótese de que o mecado de cédito paa as pequenas empesas basileias está elacionado ao mecado de insumo ou de poduto é bastante aoável. Esta idéia do mecado de cédito associado a outos mecados esteve pesente em divesos tabalhos, pincipalmente naqueles que estudaam o mecado de cédito dos pequenos popietáios uais em economias menos desenvolvidas. Divesos estudos, como Baveman e Stilit 1982, pautam que uma caacteística notável nas economias aáias menos desenvolvidas, que influencia dietamente as elações podutivas e a pópia podução, é a liação ente tea, tabalho, cédito e o mecado de poduto. Seundo estes autoes, nas aicultuas menos desenvolvidas, os donos da tea ealmente são os empestadoes paa os seus aendatáios. Os popietáios podem asseua o paamento do empéstimo atavés de obiações impostas no mecado de poduto ou de insumo, exiindo, po exemplo, que pate da podução do aendatáio se destine ao paamento dos empéstimos. Além disso, ao facilita o acesso ao cédito de seus aendatáios, o popietáio pode incentiva o aumento da podutividade destes. Como ealmente o contato ente o dono da tea e o aendatáio se dá atavés da divisão da podução, o dono da tea, a pati do contole do mecado de cédito, pode esta aumentando os seus lucos.

21 56 Po outo lado, Hoff e Stilit 1993 entendem este mecanismo que elaciona o mecado de cédito a outos mecados como um meio de amenia os poblemas de cumpimento dos contatos de empéstimos. Po exemplo, ao elaciona o mecado de poduto ao de cédito, a podução pode sevi como aantia paa o empéstimo, como colocado no estudo anteio. Já Bell e Sinivasan 1989 estudam o caso em que o mecado de cédito está elacionado ao mecado de podução. Neste caso, o cliente paa o qual o faendeio vende a sua podução estabelece em contato um peço a se pao po esta, ealmente mais baixo que o de mecado, em toca, o faendeio tem aantida uma pate dos empéstimos necessáios a podução. Divesos outos tabalhos também investiam esta elação, como Ganopadhyay e Senupta 1986, que fomulam um modelo paa veifica o impacto da liação ente o mecado de teas e o mecado de cédito sobe a taxa de uos; ou Bavenan e Sniivasan 1984, que estudam a liação ente o mecado de teas, de tabalho e de cédito em um contexto no qual o paamento pela tea aendada se dá atavés da entea de uma pate da podução; ou ainda Bell, Sniivasan e Udy 1997, citados no pimeio capítulo, que veificam o impacto da liação ente o mecado de cédito e o mecado de poduto sobe o volume de empéstimos que os pequenos popietáios conseuem obte. 13 Com base nestes tabalhos, os modelos apesentados a seui elacionam um mecado de cédito impefeito ao mecado de insumo e de poduto Mecado de cédito e mecado de insumos inteliados Neste novo modelo, o peço de um dos insumos utiliado pela fima está liado ao valo máximo imposto paa o aluuel do capital. Temos então uma estição quantitativa sobe o capital, afetando não só o volume de capital usado pela fima, mas também o peço de um dos insumos. Isto ocoe poque o fonecedo de deteminado insumo paa a fima é também o fonecedo de capital paa esta fima, de modo que o peço cobado pelo insumo se tona uma 13 Paa um evisão dos pontos mais impotantes sobe a liação ente o mecado de cédito e outos mecados, ve BARDHAN A., 1997, p. 30.

22 57 foma de aantia do empéstimo. Assim, quanto maio fo o volume de capital fonecido, maio seá o peço pao pelo insumo. 14 O poblema de maximiação da fima pode se escito como: Máx y f ~ x, x, y w~ ~ x1 w2 x2 q s. a q Do mesmo modo que no pimeio modelo, epesenta o limite máximo de astos com aluuel de capital em que a fima pode incoe. Como o peço de aluuel do capital é dado pelo mecado, este limite se tona uma estição quantitativa ao montante de capital empeado pela fima. Neste modelo, o peço do insumo x 2 está elacionado a estição imposta ao aluuel do capital. Quanto maio o volume de capital empeado pela fima, maio seá o peço cobado pelo insumo x 2, de modo que o peço deste insumo w 2 tem uma elação positiva com. w 2 > 0 10 Este poblema de maximiação é esolvido em dois passos, exatamente como nos dois pimeios modelos. Pimeio, maximia-se o luco antes da etiada dos custos de aluuel do capital em elação aos insumos pesentes no veto x 1 e em elação a x 2, obtendo-se as demandas ótimas de cada um deles, condicionadas ao volume de capital empeado pela fima. Como a função de podução da fima é estitamente cescente, tem-se que y f ~ x, x,, e a pimeia etapa da solução do poblema de maximiação pode 1 2 se descita como: L * Máx f ~ x ~ ~ 1, x2, w2 x2 w1 x1 0 x i A esolução deste poblema nos fonece as demandas ótimas de cada um dos insumos, condicionadas a, que ao seem substituídas na função obetivo fonece o luco do capital, que pode se epesentado po: 14 As impefeições no mecado de cédito podeiam se da em elação ao peço de aluuel do capital. Neste caso, o peço do insumo x 2 estaia elacionado não ao asto total com aluuel do capital, mas ao peço de aluuel do capital. Os esultados seiam iuais aos apesentados no seundo modelo, com a lucatividade mainal sendo decescente em elação ao valoes de capital, assim como o luco médio.

23 58 ** L f ~ x, x, w x w~ ~ x Na seunda etapa do poblema, maximia-se este luco do capital levando em consideação os custos deste e a estição cedíticia. Tem-se então o seuinte poblema: L ** Máx 0 q s. a. q A solução deste poblema de maximiação fonece as duas equações abaixo e mosta que existe um máximo, a pati do qual a fima deixa de esta estita ao cédito. Em outas palavas, existe um ponto a pati do qual os astos com aluuel de capital da fima é sempe meno que seu limite. f 1 + λq 11 Sendo que λ é o multiplicado de laane do poblema de maximiação acima, e potanto iual a * L *. A outa equação é a seuinte: 12 q Novamente, tem-se que a podutividade mainal do capital, epesentada po f, não é constante ente as fimas, vaiando de acodo com o limite máximo imposto ao aluuel do capital. Assim, a lucatividade mainal e o luco médio do capital também devem vaia com o limite imposto ao valo de aluuel do capital. Além disso, a podutividade mainal do capital é epesentada pela equação 11, e sua deivada em elação a é dada po: f f q < 0 Potanto, aumentos em estão associados a uma meno podutividade mainal do capital. Este esultado ea espeado, visto que a fima opea com endimentos mainais nos fatoes de podução, assim, quando o volume de capital utiliado pela fima aumenta, sua podutividade mainal diminui. Como acontecia nos modelos anteioes, a lucatividade mainal do capital é iual a podutividade mainal do capital, sendo decescente ente as fimas.

24 59 A podutividade mainal do capital Pm é decescente em e o volume de capital empeado é cescente, desde modo a elação ente podutividade mainal do capital e o volume de capital seá decescente paa fimas com difeentes níveis de estições quantitativas ao capital, como epesentado pelo áfico abaixo 15. Obsevando a elação ente o luco médio do capital e, tem-se: 2 1 L 13 Mas: 2 2 x w 15 Este esultado é condicional ao pessuposto de que as fimas utiliam uma função de podução côncava. Caso esta função de podução sea convexa, aumentos em estaão associados a uma maio lucatividade do capital e a cuva que elaciona a podutividade mainal ao valo do capital utiliado pelas fimas seá cescente.

25 60 1 q Loo: Lme w2 x p 2 14 Pela equação 10, sabe-se que o seundo temo da expessão acima é neativo. Potanto, paa que o luco médio decesça com o aumento de, como ocoia com o luco mainal, é necessáio que o luco médio sea maio que o luco mainal, sendo que esta situação ocoe quando a elasticidade do luco do capital em elação ao volume de capital é meno que um, como pode se visto pela equação 5. Neste caso, o luco médio do capital decesce com o aumento do limite ao aluuel do capital e o capital empeado po cada uma das fimas cesce. Assim, o áfico que elaciona o luco médio do capital ao valo do capital empeado po cada uma das fimas é iual ao áfico apesentado paa a podutividade mainal do capital. Esta situação pode ocoe quando a função luco do capital é côncava e cescente, como supõe-se modelo. No caso em que a elasticidade do luco do capital em elação ao capital empeado fo maio que um, o luco médio vaia de foma positiva com, desde que a difeença ente o luco médio e o luco mainal do capital supee o componente neativo da equação Mecado de cédito e de poduto inteliados Neste quato modelo, o fonecedo de empéstimos paa a fima é o seu cliente, de modo que quanto maio o volume de capital utiliado pela fima, meno seá o peço pao pelo seu poduto. A estição ceditícia atua não só sobe a quantidade de capital empeada pela fima, mas também sobe o peço pao ao seu poduto. Neste contexto, o poblema de maximiação de luco paa a fima pode se descito po: Máx p y wx ~~ q s. a f ~ x, y q

26 61 Onde p epesenta o peço do poduto da fima. Como á foi dito anteiomente, quanto maio fo o valo de aluuel do capital paa a fima, isto é, quanto maio fo, meno seá o peço pao po seu poduto, de modo que tem-se a seuinte elação: p < 0 15 Novamente, esolve-se o poblema de maximiação do luco da fima em dois passos, consideando o fato de que y f ~ x,, dado que a função de podução é estitamente cescente. Na pimeia etapa, soluciona-se o seuinte poblema: L * Máx p f ~ x, wx ~ ~ x i 0 A esolução deste poblema fonece as demandas ótimas de cada um dos insumos, condicionadas ao volume de capital empeado pela fima, que ao seem substituídas na função obetivo fonece o luco do capital, descito abaixo: * L p, ~ ~~ f x wx 16 Na seunda etapa, maximia-se a função em elação a, levando em consideação a estição ceditícia e os custos de aluuel do capital. Esta etapa do poblema pode se epesentada po: L ** Máx q 0 s. a. q A solução desta expessão ea duas equações, sendo a pimeia: p f 1 + λ q 17 onde λ é o multiplicado de laane da função acima, e seá iual a L **. E a seunda: 18 q Mais uma ve, o valo da podutividade mainal do capital difee ente as fimas com difeentes limites paa o aluuel de capital. Isto ocoe devido aos

27 62 endimentos mainais decescentes do capital, que faem com que o volume de capital aumente com e, consequentemente, a podutividade mainal do capital caia. No pesente modelo, a lucatividade mainal do capital é iual ao valo da podutividade mainal do capital, cua a vaiação em elação a é dada po: 0 < + f p q f p Como a função de podução apesenta etonos decescentes nos fatoes de podução, aumentos de estão associados a uma elevação do volume de capital e, em decoência, a uma queda da podutividade mainal do capital. Além disso, o peço do poduto vaia de foma neativa com, assim sendo, a lucatividade mainal do capital decesce quando ocoem aumentos em 16 As vaiações no luco médio do capital devido a alteações em são dadas po: 1 Mas: f p x f p +, ~ f p Loo: + x f p, 1 19 Sabemos pela equação 15 que o peço do poduto vaia de foma neativa com, o que fa com que o pimeio temo da equação 19 sea neativo. Potanto, paa que o luco médio do capital vaie de foma neativa com é necessáio que 16 Novamente, este esultado é condicional a hipótese de que a função de podução é côncava. No caso em que esta função fo convexa, a lucatividade mainal do capital podeá vaia de foma positiva com.

28 63 este sea maio que o luco mainal. Esta última condição ocoe quando a elasticidade do valo aeado do capital, em elação ao volume de capital, é meno que um, como pode se visto pela equação 5. Como o luco médio vaia de foma neativa com e o volume de capital de foma positiva, a elação ente o luco médio e o volume de capital, paa fimas que enfentam difeentes estições ceditícias, é decescente, como pode-se obseva no áfico abaixo Heteoeneidade podutiva Este último modelo pocua veifica como a heteoeneidade podutiva afeta o poblema de maximiação do luco de deteminada fima. Nele, cada fima tem um difeencial, como a capacidade empesaial do seu popietáio, que afeta a podutividade total dos fatoes. Assim, cada fima apesenta uma podutividade total dos fatoes específica, que influencia dietamente a sua função de podução. O poblema de maximiação de luco da fima neste contexto é dado po: Máx A f ~ x, wx ~ ~ q,

29 64 onde A epesenta a podutividade total dos fatoes paa a fima. Esta podutividade pode esta elacionada a capacidade dos popietáios da fima em eencia o neócio. Como nos demais modelos, o poblema de maximiação é solucionado em duas etapas. Inicialmente, maximia-se o luco antes da etiada dos custos do capital em elação aos insumos pesentes no veto x, encontando as demandas ótimas destes insumos, condicionadas ao volume de capital empeado pela fima. Este poblema de maximiação pode se epesentado po: * L Máx A f ~ x, wx ~~ A solução deste fonece a seuinte equação: A f i w, i1,...,n x i A pati destas equações detemina-se as demandas ótimas dos insumos, condicionadas ao volume de capital utiliado pela fima, que ao seem substituídas na função obetivo fonecem o luco do capital, epesentado po: L * A f ~ x, wx ~~ A h Na seunda etapa do poblema, maximia-se h em elação a, levando em consideação o custo de aluuel do capital. Este poblema pode se definido como: L ** Máx h q A solução nos fonece a seuinte equação: A A f q 20 Neste modelo, a podutividade mainal do capital, epesentada po A f, se iuala ao peço do aluuel do capital. Como este peço é o mesmo paa todas as fimas, a podutividade mainal do capital também é iual paa todas, ao contáio do que ocoia nos modelos anteioes. Assim, a podutividade mainal do capital não se altea ente as fimas que possuem difeentes níveis de podutividade total dos fatoes, potanto tem-se: A f A 0

30 65 Pela equação 20 pecebe-se também que aumentos na podutividade total dos fatoes devem se acompanhados po vaiações em, de modo que a podutividade mainal do capital continue constante. Assim, A é dado po q f, e pode se entendido como uma função de. Na pática, fimas que utiliam difeentes valoes do capital sofeão uma vaiação em f e em A, de modo que teão uma função de podução difeenciada. Deivando a equação 20 em elação a A, nota-se como o valo de capital empeado pela fima vaia com a podutividade total dos fatoes. A A Como a função de podução é côncava, a fima que possui maio A, empea um maio volume do capital. As fimas que possuem difeentes podutividade total dos fatoes empeam difeentes volumes de capital, mas têm a mesma podutividade mainal do capital. O áfico abaixo epesenta a podutividade mainal do capital Pm e o valo do capital paa fimas com difeentes podutividade total dos fatoes.

31 66 No pesente modelo, a podutividade total dos fatoes vaia com o valo do capital empeado pelas fimas, como foi visto na equação 20, e a lucatividade mainal do capital não é exatamente iual a podutividade mainal do capital, como ocoia nos modelos anteioes. Aoa, ao calcula-se a deivada da cuva que elaciona o luco de capital das fimas, que apesentam difeentes níveis de podutividade total dos fatoes, em elação ao valo do capital, obtém-se dois componentes, como pode se visto na equação abaixo: * L A A f A + 21 O pimeio componente epesenta a podutividade mainal do capital, sendo constante paa todas as fimas. O seundo está elacionado a como vaiações na podutividade total dos fatoes afetam o volume de capital empeado pelas fimas. Este seundo temo capta o fato de que paa cada valo de A, tem-se uma função de podução distinta. Assim, fimas que possuem uma podutividade total dos fatoes maio, tabalham com uma função de podução em um patama mais elevado. Potanto, no pesente modelo, a lucatividade mainal do capital não é constante ente as fimas que possuem difeentes níveis de podutividade total dos fatoes, como acontece com a podutividade mainal do capital. Esta lucatividade pode se cescente, decescente ou nula, dependendo de como A vaia ente as fimas que empeam valoes de capital distintos. Como a podutividade total dos fatoes vaia com, a lucatividade mainal do capital e o seu luco médio podem se cescentes, decescentes ou constantes ente as fimas. O luco médio do capital é dado po: A Lme 22 Neste ponto, pecebe-se que as alteações em devem se acompanhadas po mudanças em A, paa que a podutividade mainal fique constante. Assim, fimas que empeam difeentes valoes de capital devem apesenta difeentes níveis de podutividade total dos fatoes. Deivando a equação 22, tem-se como o luco médio do capital vaia com o valo do capital:

32 A A A Lme Calculando a elasticidade do luco do capital em elação ao valo empeado de capital, pecebe-se que o fato do luco médio do capital se cescente ou decescente em elação ao valo do capital depende se esta elasticidade é meno ou maio que um, como pode se visto pela equação abaixo: ln ln A A A A + 23 A A ln ln ln ln ln ln + Neste último modelo, a elasticidade do luco do capital em elação ao volume de capital têm dois componentes: a elasticidade da podutividade total dos fatoes em elação ao valo do capital empeado pelas fimas e a elasticidade de em elação ao valo do capital. Como ambas as elasticidades são positivas, paa que o luco médio sea decescente em, estas elasticidades devem se menoes que um. Esta é uma condição necessáia, mas não suficiente paa que isto ocoa. Uma outa foma de veifica como o luco médio vaia ente as fimas com difeentes níveis de capital é deiva o loaitmo da equação 22 com elação ao loaitmo de, dado que tem-se a seuinte elação: A A A ln ln 2 24 As fimas ealmente opeam com luco do capital positivo ou no mínimo nulo, pois, caso a fima incoa em um luco neativo, ela povavelmente saiá do mecado. Potanto, a deivada do luco médio em elação ao valo do capital tem o mesmo sinal que a deivada do seu loaitmo em elação ao loaitmo do valo de capital. A deivada do loaitmo do luco médio em elação ao luco mainal é dada po: