Existência e Concentração de Soluções para uma Equação de Schrödinger Estacionária

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1 Existência e Concentração de Soluções para uma Equação de Schrödinger Estacionária Jonas Antonio Padovani Ederli Orientador: Prof. Dr. Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Coorientador: Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira Programa: Matemática Aplicada e Computacional Presidente Prudente, Julho de 2015

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3 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional Existência e Concentração de Soluções para uma Equação de Schrödinger Estacionária Jonas Antonio Padovani Ederli Orientador: Prof. Dr. Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Coorientador: Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada e Computacional. Presidente Prudente, Julho de 2015

4 FICHA CATALOGRÁFICA P138e Padovani Ederli, Jonas Antonio. Existência e concentração de soluções para uma Equação de Schrödinger Estacionária / Jonas Antonio Padovani Ederli. - Presidente Prudente : [s.n], f. : il. Orientador: Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Equação de Schrödinger não linear. 2. O Teorema do Passo da Montanha. 3. Métodos Variacionais. I. Pimenta, Marcos Tadeu. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

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7 Aos meus pais Antonio e Maria Sueli, ao meu irmão Daniel e às minhas irmãs Natana, Glória Maria, Rebeca e Maria Angélica

8 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado a graça de concluir mais esta etapa da minha vida e por ter permitido conhecer pessoas especiais que me ajudaram muito durante este período. Agradeço aos meus pais Antonio e Maria Sueli pelo amor que sempre demonstraram por mim e pela educação sólida e cristã que me deram. Agradeço aos meus irmãos e à minha família no geral que sempre me apoiaram em cada passo desta conquista. Agradeço aos meus amigos, principalmente ao Guilherme, Fernando, Danilo (Kurt), Elton, Leonardo, Gustavo, Vinícius, Douglas (Yugi), Junior, Heloísa, Crislaine, Adriano, Cintia, Rafael (Castanha), Rafael (Pão), Irineu (Powerfera), José Vanterler (Pancada) e todos aqueles que de alguma maneira contribuiram para o bom andamento deste trabalho, me ajudando direta ou indiretamente. Sou grato, sobretudo, pelos momentos de descontração por eles proporcionados. Agradeço pelos meus professores da graduação e do mestrado que não mediram esforços para me ensinar. Tenho plena certeza de que sem eles nada disso seria possível. Agradeço ao meu orientador Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta pela sua innita paciência e preocupação comigo, pela dedicação integral em me atender e tirar minhas dúvidas e principalmente por ter me dado o exemplo do que é ser um excelente prossional. Agradeço aos professores Suetônio de Almeida Meira (coorientador) e Roberto de Almeida Prado que contribuiram signicativamente com as dicas e com as correções valiosas. Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio nanceiro.

9 Quanto mais um homem se aproxima de suas metas, tanto mais crescem as diculdades. Johann Goethe

10 Resumo Nesse trabalho estudamos resultados de existência e concentração de soluções positivas para uma equação de Schrödinger estacionária não-linear, quando um parâmetro tende a zero. Mais especicamente, provamos que quando o parâmetro tende a zero, a sequência de soluções obtidas possui um ponto de máximo que tende a se concentrar em torno de um ponto de mínimo global do potencial. A técnica utilizada consiste na utilização de métodos variacionais para comparar as soluções obtidas com a solução de um problema limite que envolve o valor de mínimo do potencial. Palavras-Chave: Equações Diferenciais Parciais, Análise Funcional, Equação de Schrödinger, Métodos Variacionais.

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12 Abstract In this work we study some results about existence and concentration of positive solutions for a nonlinear stationary version of the Schrödinger equation, as a parameter goes to zero. More specically, we prove that the sequence of solutions have a maximum points which concentrate around the global minimum of the potential, as a parameter goes to zero. The technique used relies on variational methods to compare the solutions with the solution of a limit problem which have information on the minimum of the potential. Keywords: Partial Dierential Equations, Functional Analysis, Schrödinger equation, Variational Methods.

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14 Sumário Resumo 5 Abstract 7 Capítulos 1 Introdução 11 2 Preliminares Os Espaços de Sobolev O Teorema do Passo da Montanha Resultados de Existência 17 4 Resultados de Concentração 35 Referências 44

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16 Capítulo 1 Introdução De grande interesse na física-matemática é a versão estacionária da equação de Schrödinger não-linear, ou mais especicamente, ɛ 2 u + V (x)u = f(u) em u H 1 ( ) u > 0. (1.1) A equação (1.1) foi estudada por Rabinowitz em [13], onde foi provado um resultado de existência de soluções usando pioneiramente métodos puramente variacionais, supondo que a não-linearidade f se comporta como uma potência subcrítica e o potencial V satisfaz uma condição global. Após isso, Wang em [15], provou que o problema (1.1) com a nãolinearidade f(u) = u p 1 u, admite uma sequência de soluções que se concentram em torno do mínimo global do potencial V. Antes desses, resultados de existência e concentração de soluções para (1.1) haviam sido provados pela primeira vez por Floer e Weinstein em [5] para o caso unidimensional e depois generalizados para dimensões mais altas por Oh em [10]. Outro trabalho bastante importante no estudo desse tipo de problema é o artigo de Del Pino e Felmer [4], onde os autores abordam o problema (1.1) com uma não-linearidade do tipo potência subcrítica e potencial satisfazendo uma condição que pode ser vista como uma versão local da condição suposta por Wang em [15]. Nesse trabalho, os autores introduzem uma técnica que cou conhecida por Método de Penalização, a qual vem sendo largamente utilizada até os dias atuais. Generalizações acerca dos resultados de Rabinowitz, Wang, Del Pino e Felmer e outros, vêm sendo desenvolvidos por vários autores, envolvendo hipóteses mais gerais sobre a nãolinearidade f e potencial V, bem como também para outros operadores como por exemplo o p laplaciano, desenvolvido por Alves e Figueiredo em [2] e biharmônico de Pimenta e Soares [11, 12], entre outros. Neste trabalho, faremos um estudo detalhado dos trabalhos [13] e [15], onde se estuda o problema (1.1) com não-linearidade f e potencial V satisfazendo o seguinte conjunto de hipóteses. (V 1 ) V C 0 ( ); (V 2 ) 0 < V 0 = inf V < lim inf x + V ; 11

17 1. Introdução 12 (f 1 ) f C 1 (R); (f 2 ) f(0) = f (0) = 0; (f 3 ) existem constantes c 1, c 2 > 0 e p (1, 2 1), tais que f(s) c 1 s + c 2 s p, para todo s R, onde 2 = 2N N 2, (f 4 ) Existe θ > 2 tal que (f 5 ) f(s) s para todo s R\{0}, onde F (s) = é crescente para s > 0. 0 < θf (s) f(s)s, s 0 f(t)dt; Os principais resultados desse trabalho são os seguintes teoremas. Teorema 1 Suponha que (f 1 ) (f 5 ), (V 1 ) e (V 2 ) valham. Então existe ɛ 0 > 0 tal que para 0 < ɛ < ɛ 0, existe u ɛ solução de (1.1) tal que I ɛ (u ɛ ) = c ɛ. Teorema 2 Sejam V satisfazendo (V 1 ) e (V 2 ) e f(s) = s p 1 s onde 1 < p < N+2. Então N 2 para toda sequência ɛ m 0, existe uma subsequência que continuaremos a denotar por (ɛ m ) tal que (1.1) (com ɛ m no lugar de ɛ) possui uma solução positiva u m H 1 ( ) e u m se concentra em um ponto de mínimo global x 0 de V no seguinte sentido: Para cada m > 0 sucientemente grande, u m possui somente um ponto de máximo local x m (portanto, global), com x m x 0, quando m, e para todo δ > 0 e m sucientemente grande, max u m(x) > (V 0 ) 1 1 p. (1.2) x x 0 δ Na demonstração de ambos, empregamos métodos variacionais e utilizamos os argumentos de Rabinowitz para a prova da existência de solução para o problema (1.1), para valores de ɛ sucientemente pequenos. Uma vez obtidas as soluções, mostramos que os níveis minimax associados ao problema (1.1) convergem para o nível minimax do seguinte problema limite u + V 0 u = f(u) em u H 1 ( ) u > 0. Isto, por sua vez, nos permite mostrar a concentração das soluções em torno de um ponto de mínimo de V utilizando-se dos argumentos de Wang. Nossa principal contribuição é de caráter estritamente pedagógico no sentido de facilitar a leitura dos artigos [13] e [15], para iniciantes na área de Equações Diferenciais Parciais Elípticas. Para isso, procura-se exibir todos os cálculos e justicar todas as passagens nas demonstrações. Para procurar manter o texto tão auto-contido quanto possível, serão apresentados no Capítulo 2 alguns resultados preliminares.

18 Capítulo 2 Preliminares 2.1 Os Espaços de Sobolev Seja Ω um domínio qualquer, limitado ou não. Começaremos este capítulo denindo o conceito de derivada fraca de uma função. Denição 1 Um multi-índice α é uma n-upla (α 1,..., α N ), onde α i N, para todo 0 < i n. Temos associado ao multi-índice α alguns símbolos, um deles é D α = α α 1 x 1... α N, xn onde α = α 1 + α α N, chamado de ordem do multi-índice α. Denição 2 Seja ulocalmente integrável em Ω, ou seja, para cada subconjunto compacto K Ω, temos que u dx < e considere α um multi-índice qualquer. Então uma K função v localmente integrável é chamada de α-ésima derivada fraca de u se satisfaz ϕvdx = ( 1) α ud α ϕdx (2.1) para toda ϕ C α 0 (Ω). Nesse caso denotamos v = D α u. Ω Dizemos que uma função é fracamente diferenciável se a sua derivada fraca de primeira ordem existe e diremos que ela é k vezes fracamente diferenciável se sua derivada fraca até a ordem k existe. Vamos denotar o espaço linear das funções k vezes fracamente diferenciáveis em Ω por W k (Ω). Note que C k (Ω) W k (Ω) e que o conceito de derivada fraca é uma extensão do conceito de derivada clássica que preserva a validade da integração por partes (2.1). Denição 3 Sejam Ω um aberto, 1 p e k N. Denimos os espaços de Sobolev W k,p (Ω) como sendo W k,p (Ω) := {u L p (Ω); D α u L p (Ω), para 0 α k} Observação 1 O espaço W k,p (Ω) é um espaço de Banach, dotado da norma 1 u k,p = p D α u p p, se 1 p < (2.2) 0 α k Ω u k, = max 0 α k Dα u, se p =. (2.3) 13

19 2. Preliminares 14 Observação 2 Quando p = 2, denotamos W k,p (Ω) simplesmente por H k (Ω). Em particular, se k = 1, temos o espaço H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) = {u L 2 (Ω); u x i L 2 (Ω), para 1 i n}. Denimos também, o espaço W k,p 0 (Ω), como sendo W k,p 0 (Ω) := C 0 (Ω). k,p. Teorema 3 O subespaço C (Ω) W k,p (Ω) é denso em W k,p (Ω). Ver demonstração em [1]. Teorema 4 Se Ω satisfaz a condição do cone interior uniforme, isto é, existe um cone xo K Ω tal que cada x Ω é o vértice de um cone K Ω (x) Ω e congruente a K Ω, então existe uma imersão contínua W k,p (Ω) L q (Ω), para 1 q isto é, a aplicação de inclusão i : W k,p (Ω) L q (Ω) é contínua. Ver demonstração em [1]. 2.2 O Teorema do Passo da Montanha Np, onde kp < N, (2.4) N kp Nesta seção vamos provar o Teorema do Passo da Montanha e para isso, deniremos objetos que servirão de pré-requisitos para a prova desse. Seja E um espaço de Banach real. Uma aplicação I : E R é chamada de funcional. Para fazer sentido o que vamos entender por ponto crítico de I, vamos denir o que vem a ser um funcional ser diferenciável no sentido de Fréchet. Denição 4 Dizemos que Ié Fréchet diferenciável em u E se existe uma aplicação linear contínua L = L(u) : E R que cumpre a seguinte condição: para qualquer ɛ > 0 dado, existe um δ = δ(ɛ, u) > 0 tal que I(u + v) I(u) Lv ɛ v, para todo v E, com v δ. A aplicação L será denotada por I (u). Note que I (u) E, onde E é o espaço dual de E. Denição 5 Um ponto crítico u de I é um ponto em que I (u) = 0, ou seja, I (u)ψ = 0 para toda ψ E. O valor de I em u é então chamado de valor crítico de I. Iremos provar agora o Teorema do Passo da Montanha e para isso usaremos o seguinte resultado. Lema 1 (Lema da Deformação) Seja ϕ d := ϕ 1 (], d]), X um espaço de Hilbert, ϕ C 2 (X, R), c R, ɛ > 0. Considere que para todo u ϕ 1 ([c ɛ, c + ɛ]), ϕ (u) 2ɛ. Então, existe η C(X, X) tal que:

20 2. Preliminares 15 (i) η(u) = u, para todo u / ϕ 1 ([c 2ɛ, c + 2ɛ]); (ii) η(ϕ c+ɛ ) ϕ c ɛ. Teorema 5 (Teorema do Passo da Montanha) Seja X um espaço de Hilbert, ϕ C 2 (X, R), e X er > 0 tais que e > r. Considere b := ϕ(u) > ϕ(0) ϕ(e). Então, para cada ɛ > 0, existe u X tal que (a) c 2ɛ ϕ(u) c + 2ɛ; (a) ϕ (u) < 2ɛ. onde e Γ = {γ C([0, 1], X); γ(0) = 0 e γ(1) = e}. inf u =r c = inf max ϕ(γ(u)) (2.5) γ Γ t [0,1] Demonstração. Note que b max ϕ(γ(t)), e então b c max ϕ(γ(te)). Suponha 0 t 1 0 t 1 que, para algum ɛ > 0, a conclusão do Teorema não seja válida. Podemos assumir que Pela denição de c, existe γ Γ tal que c 2ɛ ϕ(0) ϕ(e). (2.6) max ϕ(γ(t)) c + ɛ. (2.7) 0 t 1 Considere β := η γ, onde η é dado como no lema anterior. Pelo item (i) do Lema da Deformação e por 2.6 temos que β(0) = η(γ(0)) = η(0) = 0 e que β(1) = e. Logo, temos que β Γ. Segue do item (ii) do Lema da Deformação e de 2.7 que o que é uma contradição. c max ϕ(β(t)) c ɛ, 0 t 1

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22 Capítulo 3 Resultados de Existência Nesta seção, o nosso objetivo é provar que o problema ɛ 2 u + V (x)u = f(u) em u H 1 ( ) u > 0. (3.1) possui solução, onde N 3 e f e V satisfazem as condições (f 1 ) (f 5 ), (V 1 ) e (V 2 ) são satisfeitas. A abordagem começa observando que o problema é equivalente ao problema ɛ 2 u + V (x)u = f(u) em v + V (ɛx)v = f(v) em, (3.2) onde as soluções u ɛ de (3.1) e v ɛ de (3.2) são relacionadas por v ɛ (x) = u ɛ (ɛx). Assim estudemos o problema (3.2). Para cada ɛ > 0 denimos o espaço de Hilbert H ɛ H 1 ( ) como sendo onde dene uma norma em H ɛ dada por H ɛ = {u H 1 ( ); u ɛ < },. ɛ : H ɛ R ( ) 1 u ɛ = ( u 2 + V (ɛx)u 2 2 dx, que vem do produto interno u, v ɛ = ( u v + V (ɛx)uv)dx. Por (V 1 ), para N > 2 temos as imersões contínuas: H ɛ H 1 ( ) L p ( ), para 2 p 2. Temos associado à equação (3.2), o funcional dado por 17

23 3. Resultados de Existência 18 para u H ɛ. I ɛ (u) = 1 ( u 2 + V (ɛx)u 2 )dx F (u)dx 2 Prova-se que I ɛ C 1 (H ɛ, R). Além disso, temos que I ɛ (0) = 0. Lema 2 O funcional I ɛ satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha, ou seja: (i) existem constantes ρ, α > 0 tais que I ɛ Bρ > α, e (ii) existe um e H ɛ \B ρ tal que I ɛ (e) < 0. Demonstração. Primeiramente, provemos o item (ii). Note que, para u H ɛ \ {0} e t > 0, existe r > 0 tal que onde X denota a medida de Lebesgue do conjunto X. {x ; tu(x) > r} > 0 (3.3) De fato, se {x ; tu(x) > r} = 0 paratodo r > 0, teríamos que tu(x) = 0 q.t.p, o que contraria o fato de u 0 em H ɛ. Então, F (tu)dx F (tu)dx. {x ; tu(x) >r} Logo, por (3.3) e pela condição (f 4 ), segue que I ɛ (tu) = t2 2 u 2 ɛ F (tu)dx t2 R 2 u 2 ɛ N t2 2 u 2 ɛ a 3 t µ {x ; tu(x) >r} quando t e dessa forma, o item (ii) está provado. Agora, provemos o item (i). {x ; tu(x) >r} u µ dx, Por (f 2 ), temos que para todo η > 0, existe δ > 0 tal que se t < δ, Note que, por (f 4 ), existe A = A(η) > 0 tal que, se t δ, De fato, como temos que F (tu)dx F (t) η 2 t 2 (3.4) F (t) A(η) t p+1 (3.5) F (t) t f(t) t (c 1 t + c 2 t p ) = c 1 t 2 + c 2 t p+1, F (t) t p+1 c 1 t 2 + c 2 t p+1 t p+1 = c 1 t p 1 + c 2 c 1 δ p 1 + c 2 := A(δ).

24 3. Resultados de Existência 19 De (3.4) e (3.5), segue que F (t) η 2 t 2 + A t p+1. para todo t 0. Fazendo J(u) = F (t)dx, pelas imersões contínuas de Sobolev, temos que ( J(u) = F (u) η ) dx R R 2 u 2 + A u p+1 dx = η 2 u 2 L + 2 A u p+1 L p+1 N N C ( ) ( η 2 u 2 ɛ + A u p+1 ɛ = C u 2 η + ) ɛ 2 A u p 1 ɛ. Então, tomando u ɛ < ( ) 1 η p 1, temos 2A Como por (3.6) segue que J(u) ηc u 2 ɛ (3.6) I ɛ (u) = 1 2 u 2 ɛ J(u), I ɛ (u) = 1 2 u 2 ɛ J(u) 1 2 u 2 ɛ Cη u 2 ɛ = u 2 ɛ ( 1 2 Cη). Logo, escolhendo η > 0 de modo que 1 2 Cη > 0, se u ɛ = ρ, temos que onde α := ρ 2 ( 1 2 Cη). I ɛ (u) α, A seguir, além de denir o que vem a ser a Variedade de Nehari, vamos também apresentar uma propriedade muito interesante a respeito dela. Mostraremos que a variedade de Nehari, denotada por N ɛ, é radialmente homeomorfa à esfera unitária S 1 em H ɛ. Denição 6 Denimos como sendo a Variedade de Nehari o conjunto N ɛ dado por { } N ɛ = u H ɛ \ {0}; ( u 2 + V (ɛx)u 2 )dx = f(u)udx. (3.7) É interessante notar que N ɛ é um conjunto que contém todas as soluções fracas nãotriviais do problema (3.1). Antes de provar o próximo lema, considere para todo u H ɛ \ {0} e t > 0 a aplicação ψ ɛ (t) = I ɛ (tu). (3.8) Note que ψ ɛ (0) = 0 e usando argumentos similares ao do Lema 2, temos que ψ ɛ (t) > 0 para t sucientemente pequeno e ψ ɛ (t) < 0 para t sucientemente grande. Portanto, o max t 0 ψ ɛ(t) existe e é assumido em um certo t = ϕ ɛ (u) > 0. Derivando ψ ɛ, temos que ψ ɛ(t) = I ɛ(tu)u = t u 2 ɛ f(tu)udx = t 2 u 2 ɛ f(tu)udx.

25 3. Resultados de Existência 20 Aplicando em t = ϕ ɛ (u), temos ψ (ϕ ɛ (u)) = (ϕ ɛ (u)) u 2 ɛ f(ϕ ɛ (u)u)udx. (3.9) Como ϕ ɛ (u) é o ponto onde ψ assume o seu máximo, a derivada nesse ponto é nula, ou seja, ψ (ϕ ɛ (u)) = 0. Então, usando esse fato em (3.9), segue que (ϕ ɛ (u)) 2 u 2 ɛ = f(ϕ ɛ (u)u)ϕ ɛ (u)udx Portanto, ϕ ɛ (u)u N ɛ. Lema 3 O número ϕ ɛ (u) > 0 é o único valor de t tal que tu N ɛ. Demonstração. Para provar a unicidade de ϕ ɛ (u), vamos supor que existem dois valores diferentes e mostrar que eles são os mesmos. Para isso, tomemos um ϕ ɛ (u), tal que 0 < ϕ ɛ (u) ϕ ɛ (u) e ϕ ɛ (u)u N ɛ. Sendo assim, temos que ou seja, Então I ɛ( ϕ ɛ (u)u) ϕ ɛ (u)u = 0, ( ϕ ɛ (u)) 2 u 2 ɛ = f( ϕ ɛ (u)u) ϕ ɛ (u)udx. u 2 ɛ = Por outro lado, como ϕ ɛ (u)u N ɛ, u 2 ɛ = f( ϕ ɛ (u)u)u dx. (3.10) ϕ ɛ (u) f(ϕ ɛ (u)u)u dx. (3.11) ϕ ɛ (u) Logo, de (3.10) e (3.11) segue que f( ϕ ɛ (u)u)u dx = ϕ ɛ (u) f(ϕ ɛ (u)u)u dx. (3.12) ϕ ɛ (u) Como escolhemos ϕ ɛ (u) ϕ ɛ (u), podemos supor, sem perda de generalidade que ϕ ɛ (u) < ϕ ɛ (u). Pela hipótese (f 5 ), temos que ϕ ɛ (u) < ϕ ɛ (u) f( ϕ ɛ(u)u(x)) ϕ ɛ (u) < f(ϕ ɛ(u)u(x)), ϕ ɛ (u) para todo x. Assim, contradizendo (3.12). ( f( ϕɛ (u)u) ϕ ɛ (u) f(ϕ ) ɛ(u)u) udx 0, ϕ ɛ (u) Lema 4 A aplicação T : S 1 N ɛ denida por T (u) = ϕ ɛ (u)u é bijetora e sua inversa T 1 : N ɛ S 1 é dada por T 1 (u) = u. u ɛ

26 3. Resultados de Existência 21 Demonstração. Para provar esse lema, basta vericar que T T 1 = T 1 T = u. De fato, primeiramente note que para todo u S 1, T 1 T (u) = T 1 ϕ ɛ (u)u (T (u)) = = u. ϕ ɛ (u) ɛ u ɛ ( ) u Note ainda que, para todo u N ɛ, temos que ϕ ɛ = u ɛ. Então, para u N ɛ, u ɛ ( ) u u T T 1 (u) = T (T 1 (u)) = ϕ ɛ = u. u ɛ u ɛ Assim, para concluirmos que N ɛ é radialmente homeomorfa à esfera S 1 em H ɛ, basta mostrar que a aplicação u ϕ ɛ (u) é contínua em H ɛ \ {0}. Proposição 1 A aplicação Λ : H ɛ \ {0} R +, dada por Λ(u) = ϕ ɛ (u) é contínua. Demonstração. Seja u m u em H ɛ \{0}. Como ϕ ɛ (u m )u m N ɛ, temos que I ɛ(ϕ ɛ (u m )u m )ϕ ɛ (u m )u m = 0, ou seja, (ϕ ɛ (u m )) 2 u m 2 ɛ = f(ϕ ɛ (u m )u m )ϕ ɛ (u m )u m dx. (3.13) Mostremos que, a menos de subsequência, (ϕ ɛ (u m )) é limitada. Como ϕ ɛ (u m ) > 0, temos que analisar dois casos. Se ϕ ɛ (u m ) 1 ao longo de uma subsequência, não há o que provar. Consideremos então ϕ ɛ (u m ) > 1 e note que, ϕ ɛ (u m ) u m > u m. Assim, por (f 4 ), se u m (x) > 0, então ϕɛ(u m)u m(x) u m(x) Analogamente, se u m (x) < 0, prova-se que µ ϕɛ(um)u m(x) s ds f(s) u m(x) F (s) ds F (ϕ ɛ (u m )u m (x)) (ϕ ɛ (u m )) µ F (u m ) (3.14) F (ϕ ɛ (u m )u m (x)) (ϕ ɛ (u m )) µ F (u m ) (3.15) Assim, por (f 4 ) temos que f(ϕ ɛ (u m )u m )ϕ ɛ (u m )u m dx µ F (ϕ ɛ (u m )u m )dx µ (ϕ ɛ (u m )) µ F (u m )dx Assim, em (3.13) (ϕ ɛ (u m )) 2 u m 2 ɛ = f(ϕ ɛ (u m )u m )ϕ ɛ (u m )u m dx µ (ϕ ɛ (u m )) µ F (u m )dx = ϕ ɛ(u m ) 2 ϕ ɛ (u m ) µ µ F (u m )dx u m 2 ɛ

27 3. Resultados de Existência 22 = ϕ ɛ (u m ) µ 2 1 u m 2 ɛ µ F (u m )dx Devemos encontrar um limite superior para ϕ ɛ (u m ) e para isso é suciente que (3.16) u m ɛ F (u m )dx u ɛ. F (u)dx Como u m u em H ɛ, pela continuidade da norma, temos que u m 2 ɛ u 2 ɛ (3.17) Sendo assim, vamos provar que F (u m )dx F (u)dx. (3.18) A ideia é utilizar o Teorema da Convergência Dominada Generalizada, então vamos vericar que suas hipóteses são satisfeitas. De fato, observe que Então, (i) Como F é contínua e u m u q.t.p em, segue que F (u m ) F (u) q.t.p em. (ii) Temos também que F (s) a 1 s 2 + a 2 s p+1. F (u m ) a 1 u m 2 + a 2 u m p+1 a 1 u 2 + a 2 u p+1 Alémdisso, pelas imersões contínuas de Sobolev (iii) (a 1 u m 2 + a 2 u m p+1 )dx (a 3 u 2 + a 4 u p+1 )dx. Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada Generalizada, F (u m )dx F (u)dx. Sendo assim, em (3.16), por (3.17) e (3.18) temos que quando m. ϕ ɛ (u m ) µ 2 1 µ u m 2 ɛ F (u m )dx u 2 ɛ F (u)dx Logo ϕ ɛ (u m ) é limitada, então possui uma subsequência que converge para um ϕ 0. Armação: ϕ 0. De fato, se ϕ = 0, temos em (3.13) que u m 2 f(ϕ ɛ (u m )u m )u 2 m ɛ = dx (3.19) ϕ ɛ (u m )u m Como u m 2 ɛ u 2 ɛ, por (f 2 ) segue que

28 3. Resultados de Existência 23 f(ϕ ɛ (u m )u m )u m lim ϕ ɛ(u m)u m 0 ϕ ɛ (u m ) Além disso, (u m ) é limitada, então segue que a integral do último membro de (3.19) converge para zero. Logo, teremos que u ɛ = 0, contradizendo o fato de que u H ɛ \ {0}. Dessa forma, ϕ > 0. Então, a menos de subsequência, ϕ ɛ (u m ) ϕ > 0. Pela unicidade de ϕ ɛ (u), segue que ϕ = ϕ ɛ (u). Portanto, ϕ ɛ (u m ) ϕ ɛ (u) o que implica que Λ(u m ) Λ(u), mostrando a continuidade de Λ. Assim, concluímos que N ɛ é radialmente homeomorfa à esfera S 1 em H ɛ. Sejam c ɛ e c ɛ denidos por = 0. e onde Γ ɛ é dado por c ɛ = inf g Γ ɛ max 0 t 1 I ɛ(g(t)) (3.20) c ɛ = inf max I ɛ(tu) (3.21) u H ɛ\{0} t 0 Proposição 2 c ɛ = c ɛ = inf N ɛ I ɛ. Γ ɛ = {g C([0, 1], H ɛ ); g(0) = 0 e I ɛ (g(1)) < 0}, (3.22) Demonstração. Para cada u H ɛ, como ψ ɛ assume o seu máximo em ϕ ɛ (u) > 0, temos que max t 0 ϕ ɛ(tu) = max t 0 I ɛ(tu) = I ɛ (ϕ ɛ (u)u). onde a última igualdade segue da unicidade de ϕ ɛ (u). Logo, c ɛ = inf maxi ɛ(tu) = inf I ɛ(ϕ ɛ (u)u) = inf I ɛ (3.23) u H ɛ\{0} t 0 u H ɛ\{0} N ɛ Armação: Para todo g Γ ɛ, g([0, 1]) N ɛ. De fato, tomemos u H ɛ \ {0}, de forma que ou u N ɛ ou u está no interior de N ɛ. Se u está no interior de N ɛ, temos que ϕ ɛ (u) > 1 e então ϕ ɛ(1) 0. Note que, ϕ ɛ(1) 0 = I ɛ(u)u 0. Assim, u 2 ɛ f(u)udx (3.24) Note que, por (f 4 ), temos que, para todo s R \ {0}, µf (s) f(s)s = µ F (s)dx f(s)sdx. Logo, Por (3.24) e (3.25), µ F (s)dx 1 f(s)sdx. (3.25) 2 R 2 N

29 3. Resultados de Existência 24 I ɛ (u) = 1 2 u 2 ɛ F (u)dx 1 f(u)udx F (u)dx R 2 N ( µ ) µ F (u)dx F (u)dx = 2 R 2 1 F (u)dx. N Como µ > 2, temos que µ 2 1 > 0. Assim, ( µ 2 1 ) F (u)dx > 0 o que implica I ɛ (u) > 0. Temos que g(1) está no exterior de N ɛ, pois I ɛ (g(1)) < 0. Por outro lado, g(0) está no interior de N ɛ. Logo, pelo Teorema da Alfândega, g([0, 1]) N ɛ e a armação está provada. Sendo assim, Portanto, max I ɛ(g(t)) inf I ɛ = c 0 t 1 N ɛ ɛ. c ɛ c ɛ. (3.26) Por outro lado, para u H ɛ \ {0} xo, I ɛ (tu) < 0, para t sucientemente grande. Assim, cada raio {tu; t 0} pode ser associado a uma função g u Γ ɛ a menos de um reescalonamento. Assim, c ɛ = inf max I ɛ(tu) = inf max I ɛ(g u (t)) inf max I ɛ(g(t)) = c ɛ (3.27) u H ɛ\{0} t 0 u H ɛ\{0} 0 t 1 g Γ ɛ 0 t 1 Portanto, de (3.26) e (3.27) obtém-se que c ɛ = c ɛ. Observação 3 Como N ɛ homeomorfo à esfera unitária, este divide H ɛ em duas componentes conexas. Na prova anterior, os termos "interior"e "exterior"de N ɛ se referem, respectivamente, à componente conexa que contém a origem e a que não contém. Observação 4 Como c ɛ = inf N ɛ I ɛ e qualquer ponto crítico não trivial de I ɛ pertence a N ɛ, se c ɛ é um valor crítico de I ɛ, então é o menor valor crítico positivo de I ɛ. O próximo resultado nos mostra a dependência monótona de c ɛ com relação a V. Considere para cada j = 1, 2, o problema u + a j (x)u = f(u) em (3.28) onde o funcional associado a (3.28) é dado por I j (u) = 1 ( u 2 + a j (x)u 2 )dx F (u)dx, 2 e considere o conjunto Γ j dado por Γ j = {g C([0, 1]), H 1 ); g(0) = 0 e I j (g(1)) < 0}.

30 3. Resultados de Existência 25 Proposição 3 Seja f satisfazendo as hipóteses (f 1 ) (f 5 ) e a 1 e a 2 C 0 ( ) de modo que existe d > 0 tal que a 1,a 2 d em. Se a 2 a 1 em, então c 2 c 1, onde os c j são os respectivos níveis minimax associados ao problema (3.28) com a j igual a a 1 e a 2. Demonstração. Temos que a 2 a 1 = I 2 (u) I 1 (u), (3.29) para todo u H 1 ( ). Então, pela denição de Γ j, temos que g Γ 2 = g Γ 1. Por (3.29), Logo, I 2 (u) I 1 (u) = max 0 t 1 I 2(g(t)) max 0 t 1 I 1(g(t)). c 2 = inf g Γ 2 max 0 t 1 I 2(g(t)) inf g Γ 2 max 0 t 1 I 1(g(t)) inf g Γ 1 max 0 t 1 I 1(g(t)) = c 1. e Para provar a próxima proposição, considere o funcional I V0 denido por I V0 (u) = 1 ( u 2 + V 0 u 2 )dx F (u)dx. 2 Além disso, sejam Γ V0 e c V0 denidos como Γ V0 = {g C([0, 1], H 1 ( )); g(0) = 0 e I V0 (g(1)) < 0} c V0 = inf g Γ V0 max 0 t 1 I V 0 (g(t)). Proposição 4 Se as hipóteses (V 1 ) (V 2 ) e (f 1 ) (f 5 ) são satisfeitas, então ou c ɛ é nível crítico de I ɛ ou c ɛ c V0. Demonstração. Por (2.5), existe uma sequência (w m ) H ɛ tal que w m ɛ = 1 e quando m, max θ 0 I ɛ(θw m ) c ɛ. (3.30) Então, associando a cada w m uma função g m Γ ɛ, de modo que max g m(t) = max I ɛ(θw m ), 0 t 1 θ 0 temos que pelo Teorema 2.4 de [16], existe uma sequência (u m ) H ɛ, 0 < δ m 0 e 0 t m 1 tais que, u m g m (t m ) ɛ δ 1 2 m (3.31) e c ɛ δ m < I ɛ (u m ) < c ɛ (3.32) I ɛ(u m ) ɛ δ 1 2 m. (3.33)

31 3. Resultados de Existência 26 Sendo assim, (3.32) e (3.33) implicam que (u m ) é limitada em H ɛ. Logo, a menos de uma subsequência u m u ɛ em H ɛ e u m u ɛ em L p, para 1 p < loc( ) 2, onde u ɛ é uma solução fraca de (3.1). Então, existem (y m ), β > 0 e R > 0, tais que lim inf u 2 mdx > β. (3.34) m B R (y m) De fato, pois caso contrário, para todo R > 0, teríamos que lim inf u 2 mdx = 0. m sup y B R (y) Consequentemente, pelo Lema I.1 de [8], segue que u m 0 em L p, para 2 p < 2. (3.35) Mas, usando (3.32),(3.33) e o fato de u m ɛ ser limitada, obtém-se I ɛ (u m ) 1 2 I ɛ(u m )u m c ɛ > 0 (3.36) Por outro lado, (3.35) e as hipóteses (f 2 ) e (f 3 ) mostram que ( ) 1 I ɛ (u m ) 1 2 I ɛ(u m )u m = 2 u mf(u m ) F (u m ) dx 0, o que contraria (3.36). Se (y m ) contém uma subsequência limitada, por (3.34), u ɛ 0. Além disso, para cada ρ > 0, como por (f 4 ), temos que, para s R\{0}, o que implica 0 < µf (s) sf(s) F (s) sf(s) µ 1 sf(s) F (s) > 0. 2 < sf(s) 2 Logo, pelas imersões compactas ( de Sobolev, ) 1 I ɛ (u m ) 1 2 I ɛ(u m )u m 2 f(u m)u m F (u m ) dx Por outro lado, B ρ(0) I ɛ (u m ) 1 2 I ɛ(u m )u m c ɛ. Então, quando m, temos que ( ) 1 c ɛ 2 f(u ɛ)u ɛ F (u ɛ ) dx. B ρ(0) B ρ(0) ( ) 1 2 f(u ɛ)u ɛ F (u ɛ ) dx. Como ρ é qualquer e o integrando é positivo, pelo Teorema da Convergência Monótona, segue que ( ) 1 c ɛ 2 f(u ɛ)u ɛ F (u ɛ ) dx. (3.37) Como u ɛ é uma solução fraca não trivial de (3.1), temos que u ɛ N ɛ, ou seja,

32 3. Resultados de Existência 27 c ɛ ( ) 1 2 f(u ɛ)u ɛ F (u ɛ ) dx = I ɛ (u ɛ ). Logo, pela Observação 5, I ɛ (u ɛ ) = c ɛ e o resultado está provado para este caso. Agora, suponhamos que (y m ) não seja uma sequência limitada, então, para todo α > 0 e ρ > 0, max I 1 ɛ(θw m ) I ɛ (αw m ) = I V0 (αw m ) + θ 0 R 2 (V (ɛx) V 0) αw m 2 dx N 1 = I V0 (αw m ) + 2 (V (ɛx) V 0) αw m 2 1 dx + 2 (V (ɛx) V 0) αw m 2 dx. B ρ(0) \B ρ(0) Como por (V 2 ) podemos escolher ρ de modo que V (x) V 0, para todo x (B ρ (0)) c, segue que max I 1 ɛ(θw m ) I V0 (αw m ) + θ 0 B ρ(0) 2 (V (ɛx) V 0) αw m 2 dx. (3.38) Como (3.38) vale para todo α > 0, podemos escolher em particular α = ϕ V0 (w m ). Logo, segue que, max I 1 ɛ(θw m ) I V0 (ϕ V0 (w m )w m ) + θ 0 B ρ(0) 2 (V (ɛx) V 0) ϕ V0 (w m )w m 2 dx 1 inf I V0 + N ɛ 2 (V (ɛx) V 0) ϕ V0 (w m )w m 2 dx. ou seja, temos que = c V0 + B ρ(0) B ρ(0) max θ 0 I ɛ(θw m ) c V (V (ɛx) V 0) ϕ V0 (w m )w m 2 dx, B ρ(0) 1 2 (V (ɛx) V 0) ϕ V0 (w m )w m 2 dx. (3.39) Armação: A sequência (ϕ V0 (w m )) é limitada, a menos de subsequência. com efeito, como ϕ V0 (w m ) > 0, temos dois casos a considerar. A saber: (i) ao longo de uma subsequência ϕ V0 (w m ) 1 ou (ii) ao longo de uma subsequência ϕ V0 (w m ) > 1 para m sucientemente grande. No caso (i) não há o que provar. Para o caso (ii), como ϕ V0 (w m ) > 1, por (f 4 ) temos que ϕ V0 (w m ) 2 µ F (ϕ V0 (w m )w m )dx µϕ V0 (w m ) µ F (w m )dx Logo, temos que ϕ V0 (w m ) µ (3.40) µ F (w m )dx

33 3. Resultados de Existência 28 Se ao longo de uma subsequência o termo do lado direito de (3.40) é limitado, encontramos um limite superior para ϕ V0 (w m ). Caso contrário, para m, F (w m )dx 0. (3.41) Armação: F (w m )dx 0. De fato, note que como em (3.31) onde g m Γ ɛ e ξ m R +, para todo m N. Por (3.31), g m (t m ) ξ m w m (3.42) ξ m w m u m ɛ δ 1 2 m (3.43) e como anteriormente, por (3.32) e (3.33), temos que (u m ) é limitada em H ɛ. Logo, como vale (3.43), existe uma constante K > 0, que independe de m, tal que ξ m δ 1 2 m + u m ɛ K. Sendo assim, para qualquer r > 0 e y, Logo, temos que w m L 2 (B r(y)) = 1 ξ m ξ m w m L 2 (B r(y)) 1 K ξ mw m L 2 (B r(y)). w m L 2 (B r(y)) 1 K ξ mw m L 2 (B r(y)) 1 ( ) um L K 2 (B r(y)) u m ξ m w m L 2 (B r(y)). (3.44) Segue de (3.43) e das imersões de Sobolev que w m L 2 (B r(y)) 1 K ( u m L 2 (Br(y)) Cδ 1 2 m ). (3.45) Logo, pelo Lema I.1 de [8] existe uma sequência (y m ) R n e constantes β > 0, R > 0, tais que lim inf wmdx 2 β. m B R (y m) Então em (3.45), escolhendo y = y m e r = R, para m grande obtemos w m L 2 (B R (y m)) 1 ( ) 1 β 2 (3.46) K 2 Para provar que F (w m )dx 0, basta mostrar então que existe β 1 > 0 tal que, a R menos de subsequência, N F (w m )dx β 1 B R (y m)

34 3. Resultados de Existência 29 Por (f 4 ), temos que F (s) > 0 para todo s R tal que s 1 e F (s) K 1 s µ com K 1 > 0. Logo, para todo γ > 0, existe uma constante A γ > 0 de modo que para todo s R. s 2 γ + A γ F (s), (3.47) Para mostrar que (3.47) vale, considere γ > 0 pequeno, ou seja, podemos supor que γ < 1. Temos que analisar dois casos. Caso 1: Se s > 1, então como µ > 2, F (s) K 1 s µ > K 1 s 2. Caso 2: Se s γ, então temos novamente que considerar dois casos. (i) Se s 1, como A γ F (s) > 0, segue que s 2 s γ γ + A γ F (s). (ii) Se γ s < 1, para A γ sucientemente grande, Logo, B R (y m) w m 2 dx B R (y m) s 2 γ + A γ onde B R é a medida de Lebesgue de B R. Se min F (s). γ s 1 (γ + A γ F (w m )) dx = γ B R + A γ F (w m )dx 0 B R (y m) quando m, como γ é arbitrário, segue da desigualdade anterior que wmdx 2 0 B R (y m) quando m, o que é impossível em virtude de (3.46). Portanto, ϕ V0 (w m ) é limitada. F (w m )dx, Dando continuidade na demonstração da Proposição 4, vamos supor que existe um η 1 > 0, tal que w m L 2 (B ρ(0)) η 1. (3.48) Essa suposição será provada logo abaixo. Como g m (t m ) = ξ m w m, onde ξ m R + para todo m N, por (3.31), temos que ξ m w m u m ɛ δ 1 2 m. (3.49) Assim, usando as imersões contínuas de Sobolev, temos que

35 3. Resultados de Existência 30 u m L 2 (B ρ(0)) ξ m w m L 2 (B ρ(0)) ξ m w m u m L 2 (B ρ(0)). (3.50) Por (3.49), o último termo do lado direito de (3.50) tende à zero, quando m. Assim, se ξ m 0 ao longo de uma subsequência, como w m é limitada, ξ m w m 0. E pela continuidade de I ɛ, I ɛ (ξ m w m ) 0, o que contraria (3.30), ou seja, (ξ m ) é limitada inferiormente por um M > 0. Isso signica que para todo m N, ξ m M. Sendo assim, de (3.50) u m L 2 (B ρ(0)) ξ m w m L 2 (B ρ(0)) ξ m w m u m L 2 (B ρ(0)) ξ m η 1 C ξ m w m u m ɛ Mη 1 Cδ 1 2 m (3.51) Portanto, (3.51) nos mostra que existe uma constante η 2 > 0 dada por η 2 = Mη 1 Cδ 1 2 m tal que, u m L 2 (B ρ(0)) η 2. Logo, ao longo de uma subsequência, u m u ɛ em H ɛ, que é solução fraca não trivial de (3.1), com I ɛ (u ɛ ) = c ɛ. Agora nos resta vericar que (3.48) é válido. De fato, se (3.48) não valesse, teríamos que, ao longo de uma subsequência de m s, w m L 2 (B ρ(0)) 0. (3.52) Assim, por (3.30), (3.52) e pelo fato da sequência (ϕ V0 (w m )) ser limitada, segue da relação (3.39) descrita por max I 1 ɛ(θw m ) c V0 + θ 0 2 (V (ɛx) V 0) ϕ V0 (w m )w m 2 dx, B ρ(0) que c ɛ c V0. Desta forma, a prova da Proposição 4 está completa. Lema 5 Existe w H 1 ( ) tal que w + V 0 w = f(w) em (3.53) e I V0 (w) = c V0, onde I V0 (u) = 1 ( u 2 + V 0 u 2 ) F (u)dx, u H ɛ e c V0 é o nível 2 R minimax associado a I N V0. Demonstração. Pelo Teorema 8.5 de [16], existe uma sequência (w m ) H 1 ( ) tal que I V0 (w m ) c V0 e I V 0 (w m ) 0. Note que, por (f 4 ), por um lado onde I V0 (w m ) 1 µ I V 0 (w m )w m = ( ) ( ) w 2 µ m 2 V 0 + R µ f(w m)w m F (w m ) dx N ( ) 1 1 w 2 µ m 2 V 0,

36 3. Resultados de Existência 31 Por outro lado, temos que w m 2 V 0 = ( w m 2 + V 0 w m )dx. I V0 (w m ) 1 µ I V 0 (w m )w m c V0 + o m (1) w m V0 + o m (1), Assim, segue que ( ) 1 1 w 2 µ m 2 V 0 c V0 + o m (1) w m V0 + o m (1). Logo, (w m ) é limitada em H 1 ( ). Além disso, pelo Lema I.1 de [8], existem uma sequência (y m ) e constantes β > 0, R > 0, tais que lim inf wmdx 2 > β. m B R (y m) Note que, se τ y u(x) = u(x y), então pela regra da cadeia e fazendo uma simples mudança de variável, temos que I V0 (τ y u) = I V0 (u). Assim, a menos de uma translação de w m, lim inf wmdx 2 β. m B R (0) Sendo assim, w m w em H 1 ( ), onde w é solução fraca e não trivial de (3.1). Logo, de forma similar a (3.37), mostra-se que I V0 (w) = c V0. Finalmente, vamos mostrar que o problema (3.1) possui solução fraca não trivial. Neste intuito, vamos provar o principal teorema deste capítulo. Teorema 6 Suponha que (f 1 ) (f 5 ), (V 1 ) e (V 2 ) valham. Então existe ɛ 0 > 0 tal que para 0 < ɛ < ɛ 0, existe u ɛ solução de (3.1) tal que I ɛ (u ɛ ) = c ɛ. Demonstração. Vamos supor que c ɛ não é um valor crítico de I ɛ, então, pela Proposição 4, temos que c ɛ c V0. (3.54) Vamos mostrar então que (3.54) é impossível para ɛ sucientemente pequeno. Para isso, vamos empregar um argumento de comparação. Seja w uma solução de (3.1) tal que I V0 (w) = c V0. Considere R > 0 e χ R C 1 (R +, R + ) tal que (i) χ R (t) = 1, se t R, (ii) χ R (t) = 0, se t R + 2, (iii) χ R (t) 1, para R < t < R + 2.

37 3. Resultados de Existência 32 Seja v = χ R w. Então, para qualquer θ > 0, γ R max I V 0 (θv) I ɛ ( θv) + 1 θ 0 2 B R+2 (0) (V 0 V (ɛx)) θv 2 dx. (3.55) Escolha θ = ϕ ɛ (v), onde ϕ ɛ é dada pela Proposição 1. Assim, como na prova do Teorema 6, γ R c ɛ + 1 (V 0 V (ɛx)) θv 2 dx. (3.56) 2 B R+2 (0) Note que, para ɛ > 0 sucientemente pequeno, Então, em (3.56), temos que γ R c ɛ Assim, V 0 V (ɛx) 1 2 (V 0 V (ɛx)) em B R+2 (0). B R+2 (0)(V 0 V (ɛx)) θv 2 dx c ɛ γ R c ɛ (V 0 V (0)) θ 2 Note que θ = θ(ɛ, R) depende de ɛ e de R. ( ) 1 2 (V 0 V (0)) θ 2 v 2 dx. B R+2 (0) B R+2 (0) v 2 dx. (3.57) Vamos mostrar que existe um θ 0 > 0 tal que θ(ɛ, R) θ 0 para todo ɛ sucientemente pequeno e R sucientemente grande. Além disso, escolhendo R de modo que v 2 dx 1 w 2 dx, (3.58) B R+2 (0) 2 teremos que γ R c ɛ (V 0 V (0)) θ0 2 w 2 dx. (3.59) Por outro lado, vamos mostrar que existe uma função ψ(r) > 0 tal que, ψ(r) 0, quando R e γ R c V0 + ψ(r) (3.60) Portanto, escolhendo R sucientemente grande tal que ψ(r) < 1 8 (V 0 V (0)) θ0 2 w 2 dx, (3.61) teremos que (3.59), (3.60) e (3.61) implicam que c ɛ < c V0, contradizendo (3.54). Vamos vericar a existência de θ 0 e mostrar que vale (3.60). Temos que θ é caracterizado por θ R 2 ( v 2 + V (ɛx)v 2 )dx = f( θv) θvdx. (3.62) N Por (f 2 ) e (f 3 ), para todo η > 0, existe uma constante A η > 0 tal que f(z) η z + A η z p (3.63) para todo z. Logo, por (3.61), (3.62) e (3.63), segue que

38 3. Resultados de Existência 33 θ R 2 ( v 2 + V 0 v 2 )dx (η θv 2 + A η θv p+1 )dx. N (3.64) Note que, como v = χ R w, temos que v χ R w v w v p+1 dx w p+1 dx. (3.65) Além disso, como v = w em B R (0), ( v 2 + V ) ( 0 R 2 v2 dx v 2 + V ) ( 0 N B R (0) 2 v2 dx = w 2 + V ) 0 B R (0) 2 w2 dx (3.66) Portanto, para R sucientemente grande, B R (0) ( w 2 + V ) 0 2 w2 dx 1 2 Dessa forma, tomando η = V 0 2 > 0 em (3.64), temos que θ R 2 ( v 2 + V 0 v 2 )dx N ( w 2 + V ) 0 2 w2 dx (3.67) ( θ 2 V ) 0 2 v2 + A η θp+1 v s+1 dx. Logo, ( v 2 + V 0 v 2 V ) 0 2 v2 dx A η θp 1 v p+1 dx. Por (3.65), temos que ( v 2 + V ) 0 R 2 v2 dx A η θp 1 v p+1 dx A η θp 1 w p+1 dx. N Assim, por (3.66) e (3.67), segue que θ p 1 ( v 2 + V ) 0 2 v2 dx A η w p+1 dx ( 1 w 2 + V ) 0 2 R 2 w2 dx N. A η w R p+1 dx N Portanto, θ 1 2 ( w 2 + V ) 0 2 w2 dx A η w R s+1 dx N 1 1 s := θ 0 > 0. (3.68) Agora, resta provar que (3.60) vale. De fato, note que por (3.55), γ R = I V0 (ϕ(v)v) = c V0 + I V0 (ϕ(v)v) I V0 (w). (3.69) Então, basta mostrar apenas que

39 3. Resultados de Existência 34 quando R. I V0 (ϕ(v)v) I V0 (w) 0, (3.70) De fato, como v = χ R w, temos que χ R w w em H ɛ. Pela Proposição 1, ϕ(v) ϕ(w). Mas como w é uma solução fraca não-trivial de (3.1), temos que ϕ(w) = 1. Desta forma, a continuidade de ϕ implica (3.70) e a prova do resultado está completa.

40 Capítulo 4 Resultados de Concentração Neste capítulo vamos mostrar que as soluções obtidas no capítulo anterior apresentam um fenômeno de concentração em torno de pontos de mínimo global do potencial, no caso particular em que a não linearidade é do tipo f(s) = s p 1 s, onde 1 < p < N+2 N 2. Seja ɛ m 0, quando m. Para m sucientemente grande, pelo Teorema 6, do Capítulo 3, sabemos que existe uma solução de energia mínima u m H ɛm para o problema ɛ 2 m u + V (x)u = u p 1 u, (4.1) Lembremos que o problema (4.1) é equivalente ao seguinte problema v + V (ɛ m x)v = v p 1 v, (4.2) onde v m e u m, soluções de (4.1) e (4.2), respectivamente, estão relacionados por v m (x) = u m (ɛ m x), onde portanto I ɛm (v m ) = c ɛm. Para o problema (4.2), temos associado o funcional I ɛm : H ɛm R, dado pela expressão I ɛm (v) = 1 2 ( v 2 + V (ɛ m x)v 2 )dx 1 p + 1 v p+1 dx. (4.3) É válido lembrar que, de forma análoga ao Capítulo 3, pode-se provar que I ɛm C 1 (H ɛ, R) e que qualquer ponto crítico de I ɛm é uma solução fraca de (4.2). Para estudar os pontos críticos de I ɛm, vamos introduzir o seguinte conjunto que também já é conhecido em virtude do capítulo anterior. Esse conjunto é conhecido como a Variedade de Nehari para I ɛm e é dado por Denimos também o conjunto M m = {v H ɛm \ {0}; I ɛ m (v)v = 0}. (4.4) Γ m = {η C([0, 1]), H ɛm ); η(0) = 0, η(1) 0, I ɛm (η(1)) 0} e o valor minimax do passo da montanha por c ɛm = inf η Γ m max t [0,1] I ɛ m (η(t)). 35

41 4. Resultados de Concentração 36 Então, para qualquer v H ɛm \{0}, existe um único θ > 0 tal que Além disso, I ɛm (θv) = max t 0 I ɛ m (tv), θv M m. (4.5) 0 < c ɛm = inf I ɛm (v) = inf max I ɛ m (tv). (4.6) v M m v H ɛm \{0} t 0 Em vista de (4.6), v m é um minimizante de I ɛm em M m. Note que cada minimizante v m de I ɛm em M m não muda de sinal. De fato, por (4.5), existe um θ > 0 tal que θ v m M m e ( 1 max I ɛ m (t v m ) = I ɛm (θ v m ) = t ) θ p+1 v m p+1 dx p + 1 = θ p+1 I ɛm (v m ) = θ p+1 c ɛm. Esse fato juntamente com (4.6) implica que θ 1. Mas, ( v m 2 + V (ɛ m x)vm)dx 2 ( v m 2 + V (ɛ m x)vm) 2 = v m p+1 dx e θv m M m. Então, θ 1. Logo, segue que θ = 1 e v m M m. Assim, v m também é um minimizante de I ɛm em M m. Argumentos semelhantes ao do Capítulo 3, nos mostram que v m é uma solução fraca de (4.2). Agora, pelo princípio do máximo forte, v m nunca se anula e desta forma v m não muda de sinal. Vamos provar o teorema que já foi enunciado no Capítulo 1, mas por praticidade, será enunciado novamente aqui. Teorema 7 Sejam V e f satisfazendo (V 1 ) e (V 2 ) e (f 1 ) - (f 5 ), respectivamente. Então para toda sequência ɛ m 0, existe uma subsequência que continuaremos a denotar por (ɛ m ) tal que (3.1) (com ɛ m no lugar de ɛ) possui uma solução positiva u m H 1 ( ) e (u m ) se concentra em um ponto de mínimo global x 0 de V no seguinte sentido: Para cada m > 0 sucientemente grande, u m possui somente um ponto de máximo global x m, com x m x 0, quando m, e para todo δ > 0 e m sucientemente grande, max u m(x) > (V 0 ) 1 1 p. (4.7) x x 0 δ Para provar o Teorema 7, a ideia será comparar v m com a solução positiva u 0 de u V 0 u + u p = 0, u( ) = 0, u(0) = max u (4.8) e a prova seguirá de uma série de lemas que serão provados ao longo deste capítulo. Antes de começarmos efetivamente a prova do teorema, provaremos o seguinte resultado que nos será muito útil para os resultados posteriores. Lema 6 lim c ɛ m = c 0. m Demonstração. Para qualquer R > 0, tome ϕ R C0 ( ) tal que, ϕ R = 1 em B R (0) = { x R}, ϕ R = 0 em (B R+1 (0)) C, 0 ϕ R 1 e ϕ R c(n). ( Seja v R = ϕ R u 0. Tome uma sequência y k tal que V (y k ) V 0. Seja w(x) = v R x + y ) k. Então, existe um único θ = θ(k, m, R) > 0 tal que θw M ɛm, ou seja, ɛ m

42 4. Resultados de Concentração 37 θ 2 ( w 2 + V (ɛ m x)w 2 )dx = θ p+1 w p+1 dx ( v R 2 + V (ɛ m x + y k )vr)dx 2 = θ p 1 v p+1 R dx Dessa forma, temos que ( v R 2 + V (ɛ m x + y k )vr)dx 2 + θ p 1 R = V 0 vrdx 2 V 0 vrdx 2 dx θ p 1 = v p+1 R ( v R 2 + V 0 vr)dx 2 + v p+1 R dx V (ɛ m x + y k ) V 0 )vr)dx 2 (4.9) v p+1 R dx ( v R 2 + V 0 vr)dx 2 R Armação: lim N = 1. R v p+1 R dx A armação segue do fato de v R convergir para u 0 quando R em H 1 ( ) e em L q ( ) para 2 q 2, somado ao fato de u 0 ser solução de (4.8). Também, para R xo, se tomarmos k e m sucientemente grande tal que V (y k ) está sucientemente perto de V 0, xando tal k podemos provar que o segundo termo do lado direito da igualdade em (4.9) está sucientemente próximo de 0. Juntando esses fatos vemos que dado η > 0, existe R e k sucientemente grandes de tal forma que 1 η < lim inf m θ lim sup θ < 1 + η. (4.10) m Agora, observe que c ɛm I ɛm (θw) = 1 ( θw 2 + V (ɛ 2 m x)(θw) 2 )dx 1 θw p+1 dx R p + 1 N ( = θ 2 I ɛm (w) + 1 ) θp 1 w p+1 dx p + 1 ( = θ 2 I V0 (w) + 1 RN (V (ɛ m x) V 0 )w 2 dx + 1 ) θp 1 w p+1 dx 2 p + 1 ( = θ 2 I V0 (v R ) + 1 RN (V (ɛ m x + y k ) V 0 )v 2Rdx + 1 ) θp 1 v R p+1 dx 2 p + 1 (4.11) = θ 2 A(k, m, R) onde para todo η > 0, existe k N e R > 0 tais que c 0 η < lim inf m A(k, m, R) lim sup A(k, m, R) < c 0 + η. (4.12) m Assim, por (4.10), (4.11) e (4.12) segue que para todo η > 0, temos que existe uma constante K > 0 tal que

43 4. Resultados de Concentração 38 lim sup m c ɛm lim sup θ(k, m, R) 2 A(k, m, R) < c 0 + Kη. m Como η > 0 é arbitrário, segue que lim sup m c m c 0. Por outro lado, como V 0 = inf V, temos que I ɛm (v) I V0 (v), para v E ɛ. Logo, c ɛm c 0. Assim segue que de fato lim c m = c 0. m Como comentamos no início deste capítulo, a prova do Teorema 7 seguirá dos lemas enunciados e provados a seguir. Primeiramente, note que ( 1 c ɛm = I ɛm (v m ) = 2 1 ) ( 1 ( v m 2 + V (ɛ m x)v 2 p + 1 m)dx = R 2 1 ) v m ɛm. p + 1 N Como c ɛm c 0, quando m, segue que v m ɛm é limitada, quando m. Lema 7 Existe uma sequência {y m } e constantes positivas R e β, tais que lim inf vm(x)dx 2 β. (4.13) m B R (y m) Demonstração. Caso contrário, para qualquer R > 0, lim sup vm(x)dx 2 = 0, m y B R (y) e pelo Lema de Lions, teríamos que v m 0 em L q ( ), para 2 < q < 2. Isso é impossível, pois pelo Lema 6, temos que ( ) vm p+1 dx = c ɛm c 0 > 0, p + 1 quando m. Seja w ɛm (x) = v ɛm (x + y m ) = u ɛm (ɛ m x + ɛ m y m ). Então, por (4.13), lim inf wɛ 2 m m (x)dx β > 0. (4.14) Além disso, B R (0) w ɛm + V (ɛ m x + ɛy m )w ɛm = w p ɛ m, (4.15) onde w ɛm > 0 em. Ainda, como w ɛm M m temos que ( 1 c ɛm = 2 1 ) ( 1 ( w ɛm 2 + V (ɛ m x + ɛ m y m )wɛ 2 p + 1 m )dx = R 2 1 ) wɛ p+1 p + 1 m dx. N (4.16) Seja o conjunto M 0 dado por M 0 = {v H 1 ( ) \ {0}; I V 0 (v)v = 0},

44 4. Resultados de Concentração 39 onde I V0 (v) = 1 2 Vamos mostrar o seguinte resultado. ( v 2 + V 0 v 2 )dx 1 p + 1 Lema 8 {ɛ m y ɛm } é limitada quando m. v p+1 dx. Demonstração. De fato, pois caso contrário, existiria uma sequência ɛ m 0 +, tal que ɛ m y ɛm. Por (4.16) e pelo Lema 6, temos que ( ) C w m H 1 wm 2 + V (ɛ m x + ɛ m y m )wm 2 dx ( ) = vm 2 + V (ɛ m x)vm 2 dx R ( N 1 = 2 1 ) 1 ( 1 c ɛm p ) 1 c 0, p + 1 quando m, ou seja, w m = w ɛm é limitada em H 1 ( ). Portanto, passando a uma subsequência se necessário, temos que (i) w m w 0 0 em H 1 ( ); (ii) w m w 0 0 em L p loc (RN ), para 2 p < 2 ; (iii) w m w 0 0 q.t.p em. Por (4.13), w 0 0. Logo, existe um θ > 0 tal que θw 0 M 0. Armação: Como lim inf x V (x) > V 0, por (4.14) existe δ > 0 tal que w 0 (V 0 + δ)w 0 + w p 0 0 em H 1 ( ) = (H 1 ( )), (4.17) onde (H 1 ( )) denota o dual de H 1 ( ). De fato, primeiramente note que para toda ϕ H 1 ( ) o funcional w 0 (V 0 + δ)w 0 + w p 0 : H 1 ( ) R, é dado por ( w 0 (V 0 + δ)w 0 + w0)(ϕ) p := ( w 0.ϕ (V 0 + δ)w 0.ϕ + w0.ϕ)dx. p Assim, temos que w 0 (V 0 + δ)w 0 + w p 0 0 ( w 0.ϕ (V 0 + δ)w 0.ϕ + w0.ϕ)dx p 0, (4.18) para todo ϕ H 1 ( ), ϕ 0. Como C 0 ( ) é denso em H 1 ( ), para provar (4.18), basta provar então que, para toda ϕ C 0 ( ), com ϕ 0,

45 4. Resultados de Concentração 40 ( w 0.ϕ (V 0 + δ)w 0.ϕ + w p 0.ϕ)dx 0. Seja ϕ C 0 ( ), tal que ϕ 0 e note que ( w m ϕ V (ɛ m x + ɛ m y m )w m ϕ + w p mϕ)dx = 0 (4.19) Tomando o lim inf em ambos os lados, temos o seguinte: (i) w m w 0 lim inf m w m ϕdx = w 0 ϕdx; (ii) lim inf V (ɛ m x + ɛ m y m )w m ϕdx m R vergência N Dominada; (V 0 + δ)w 0 ϕdx pelo Teorema da Con- (iii) w m w 0 em L p (suppϕ) lim inf m wmϕdx p = w0ϕdx. p Logo, ( w 0 ϕ (V 0 + δ)w 0 ϕ + w p 0ϕ)dx 0. (4.20) Como (4.20) vale para toda ϕ C 0, ϕ 0, então, aproximando w 0 por funções suaves e positivas, temos que ( w 0 2 V 0 w w p+1 0 )dx Assim, Logo, 0 < θ < 1. Como p > 1, temos ( w 0 2 (V 0 + δ)w w p+1 0 )dx 0. (4.21) ( w (V 0 + δ)w0)dx 2 w p+1 0 dx. ( 1 c 0 = inf I V0 (v) I V0 (θw 0 ) = θ p+1 M p + 1 ( 1 < 2 1 ) p + 1 lim inf m = lim inf m ) w p+1 w p+1 0 dx 0 dx ( ) wm p+1 dx p + 1 I ɛ m (w m ) = lim I ɛ m (w m ) = c 0, m onde a última desigualdade e a última igualdade seguem do Lema de Fatou e do Lema 6, respectivamente. Assim chegamos a c 0 < c 0, o que é uma contradição, o que prova o resultado. Pelo último resultado a menos de subsequência, temos que x m ɛ m y ɛm x 0 e, pelo Lema 6, w m w ɛm w 0 > 0 em H 1 ( ) e q.t.p. em, quando m. Lema 9 x 0 é um ponto de mínimo global de V.

46 4. Resultados de Concentração 41 Demonstração. Aplicando a Teoria da Regularidade Elíptica para (4.15), temos que w m w 0 em Cloc 2 (RN ) e portanto Como V 0 = inf x V (x), segue que w 0 + V (x 0 )w 0 = w p 0, x. (4.22) ( w V 0 w0)dx 2 ( w V (x 0 )w0)dx 2 = w p+1 0 dx. (4.23) Logo, existe um 0 < θ 1 tal que θw 0 M 0. Observe que, pelo Lema de Fatou, ( 1 c 0 = lim c ɛ m = lim m m 2 1 ) wm p+1 dx p + 1 R ( N ) w p+1 0 dx p + 1 R ( N ) (θw 0 ) p+1 dx p + 1 = I V0 (θw 0 ) inf I V0 c 0. M 0 Dessa forma, θ = 1 e de fato w 0 M 0. Assim temos que ( w V 0 w0)dx 2 = w p+1 0 dx = ( w V (x 0 )w0)dx, 2 o que só é possível se V (x 0 ) = V 0 e o lema está provado. Provados os lemas, passaremos agora à prova do Teorema 7. Demonstração. (Teorema 7:) Note que, como w m w 0 w 0 lim inf w m e pelo Lema 10, temos que m ( w V (x 0 )w0)dx 2 lim inf m lim sup m lim sup m = lim m = ( w m 2 + V (x 0 )wm)dx 2 ( w m 2 + V (x 0 )wm)dx 2 ( w m 2 + V (ɛ m x + x m )w 2 m)dx c ɛm ( p+1 ) = c 0 ( ) p+1 ( w V (x 0 )w 2 0)dx. Observação 5 A igualdade da quarta linha acima é justicada da seguinte forma. Note que, como v m satisfaz v m + V (ɛ m x)v m = vm, p temos que 0 = I ɛ m (v m )v m = v m 2 ɛ m v m p+1 dx v m 2 ɛ m = v m p+1 dx. (4.24) Por outro lado, I ɛm (v m ) = c ɛm, então usando (4.24),

47 4. Resultados de Concentração 42 c ɛm = I ɛm (v m ) = 1 2 v m 2 1 p + 1 v m p+1 dx = ( ) v m 2 p + 1 c ɛm ( ) = v m 2. (4.25) p + 1 Assim, temos que ( w m 2 + V (x 0 )wm)dx 2 ( w V (x 0 )w0)dx, 2 quando m, ou seja, w m H 1 w 0 H 1. Logo, w m w 0 em H 1 ( ) e portanto, w m w 0 em L 2. Pela recíproca do Teorema de Frechet-Kolmogorov (Corolário 4.27 de [3]), segue que para todo η > 0, existe R > 0, tal que w m L 2 ( \B R ) < η, para todo m N. Isto é, quando R uniformemente em m N. Note que, como V 0 e w m 0, w m L 2 ( \B R ) 0, (4.26) w m w m + V (ɛ m x + x m )w m = w p m. Então temos que w m é uma subsolução de - u = u p 1 u. Pela Desigualdade de Harnack (Teorema 8.17 de [14]), tomando f i, g = 0 e R = 1, temos que sup w m C w m L 2 (B 2 (Q)), onde Q. (4.27) B 1 (Q) Armação: w m (x) 0 quando x uniformemente em m N, ou seja, para todo η > 0, existe um R 0 > 0 e um m 0 N tal que w m (x) < η, para todo x tal que x > R 0 e para todo m m 0. Com efeito, para todo η > 0, existem, por (4.26), um R 0 > 0 e um m 0 N tal que m dx < η \B R w 2 para todo R R 0 e para todo m m 0. Seja x tal que x > R e m m 0. Note que B 2 (x) B C R(0). (4.28) Então, como w m é positiva, por (4.28) e pela Desigualdade de Harnack, temos que ( ) ( 1 2 ) 1 2 w m (x) max w m C wm 2 dx C wm 2 dx Cη 1 2 B 1 (x 0 ) B 2 (x) (B R0 (0)) C

48 4. Resultados de Concentração 43 e a armação está provada. ( ) x xm Sendo assim, u m (x) = w m decai uniformemente para zero para todo x fora ɛ m de qualquer vizinhança de x 0, quando m. Isso se dá porque como x m x 0, quando m e x x 0, temos que o quociente x x m ɛ m, quando m. Armação: Seja x m um máximo local de u m. Por (4.1), e pelo princípio do máximo forte, Então, u m (x m ) (V 0 ) 1 p 1. De fato, como u m (x m ) = max u m, temos que u m (x m ) 0. Logo, V 0 u m (x m ) V (x m )u m (x m ) ɛ 2 m u m (x m ) + V (x m )u m (x m ) = u m (x m ) p V 0 u m (x m ) u m (x m ) p u m (x m ) (V 0 ) 1 p 1. (4.29) Portanto, x m x 0, quando m, pois caso contrário u m (x m ) tenderia à zero quando m. Continuando a prova do Teorema 7, vamos vericar a unicidade de x m. Seja w m (x) = u m (ɛ m x + x m ). Então, w m (x) + V (ɛ m x + x m )w m = w p m, w m > 0 em. (4.30) Além disso, temos que w m (0) = u m (x m ), ou seja, 0 é um ponto crítico de w m e como x m é um ponto de máximo, segue que w m (0) 0. Assim, como V 0 V (x), para todo x, segue de (4.29) que Logo, V 0 w m (0) w m (0) + V (ɛ m 0 + x m )w m (0) = w m (0) p w m (0) V 1 p 1 0. Pelos mesmos argumentos usados acima para w m temos que, que passando a uma subsequência de (w m ), w m w 0 em C 2 loc (RN ) e em H 1 ( ), onde w 0 0 satisfazendo (4.22). Além disso, w m 0 quando x uniformemente com relação a m. Então, para todo compacto K, w m w 0 em C 2 (K) e w m w 0 em C 0 (K). Logo, sup w m (x) w 0 (x) 0 x K quando m. Assim, 0 = w m (0) w 0 (0) = 0, pois o fato de zero ser ponto crítico de w m implica que ele é também um ponto crítico de w 0. Por um resultado devido a Gidas-Ni-Nirenberg [6], w 0 é esfericamente simétrica com respeito a algum ponto P e ainda radialmente decrescente. Logo w 0(s) < 0, para 0 s = x P, onde por um abuso de notação, estamos usando o mesmo símbolo w 0 para representar a função w 0 (s) = w 0 (x), onde x p = s. Desta forma, P = 0, isto é, w 0 é radialmente simétrica com respeito à