MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA UM PROBLEMA DO TIPO AMBROSETTI-PRODI

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1 Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Mestrado Acadêmico em Matemática BRUNO MENDES RODRIGUES MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA UM PROBLEMA DO TIPO AMBROSETTI-PRODI Juiz de Fora

2 BRUNO MENDES RODRIGUES MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA UM PROBLEMA DO TIPO AMBROSETTI-PRODI Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Acadêmico em Matemática, área de concentração: Análise, da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre. Orientador: Prof. Dr. Fábio Rodrigues Pereira Juiz de Fora

3 AGRADECIMENTOS À Deus, por permitir mais essa conquista. Aos meus familiares e a minha namorada que sempre me deram amor e força, valorizando meus potenciais. Ao meu orientador, professor Fábio Rodrigues Pereira, pela atenção e dedicação com que me orientou. Ao professor Olímpio Hiroshi Myagaki por me incentivar a continuar meus estudos. À coordenação do mestrado em matemática na UFJF juntamente com todos os professores do programa. Aos professores Luiz Fernando de Oliveira Faria e Ronaldo Brasileiro Assunção por terem aceito o convite para participar da minha banca. À FAPEMIG, pelo apoio financeiro.

4 RESUMO Neste trabalho, estudamos a existência de soluções para o problema superlinear u = λu u p h em u = sobre onde IR N é um domínio limitado suave, u = max {u, }, λ k < λ < λ k, k com λ j σ )) e h L s ). Nós consideramos dois casos, a saber, i) < p < subcrítico) ii) p = crítico). Usando métodos variacionais, mostramos a existência de pelo menos duas soluções. A primeira obtida explicitamente por um cálculo direto e a segunda via Teorema de Enlace. Palavras-chave: Equações diferenciais. Expoente crítico. Ambrosetti-Prodi.

5 i ABSTRACT In this work, we study the existence of solutions for the superlinear problem u = λu u p h in u = on where IR N is a bounded smooth domain, u = max {u, }, λ k < λ < λ k, k with λ j σ )) and h L s ). We consider two cases, namely, i) < p < subcritical) ii) p = critical). Using variational methods, we show the existence of at lest two solutions. The first is obtained explicitly by a direct calculation and the second via Linking Theorem. Key-words: Differential equations. Critical exponent. Ambrosetti-Prodi.

6 Lista de Figuras B. Lema de Deformação B. Geometria do Passo da Montanha

7 Sumário Introdução Resultados Preliminares 4 Soluções para um problema envolvendo o expoente subcrítico 8 3 Soluções para um problema envolvendo o expoente crítico de Sobolev 8 A Resultados sobre a Teoria do Grau 35 B Teoremas: Passo da Montanha e Enlace 4 C Resultados de Análise 48 Referências Bibliográficas 5

8 Introdução Neste trabalho, abordaremos problemas do tipo Ambrosetti-Prodi de equações elípticas envolvendo os expoentes subcrítico e crítico. Problemas desse tipo surgiram a partir da década de 7, quando A. Ambrosetti e G. Prodi estudaram uma classe de problemas dados por u = gx, u) fx) em u = sobre. ) onde é um domínio limitado suave de IR N, e caracteriza-se por determinar funções f, de modo que a equação ) tenha ou não solução. No trabalho "On the inversion of some differential mappings with singularities between Banach Spaces" de A. Ambrosetti e G. Prodi [3], os autores consideraram a função g : IR IR sendo de classe C, satisfazendo g s) > para todo s IR e < lim s g s) < λ < lim s g s) < λ, com λ i, i =,,... denotando os autovalores de, H )). Eles provaram a existência de uma variedade fechada e conexa M em C,α ) < α < ) de classe C que divide o espaço em dois conjuntos disjuntos abertos S e S de maneira que: I) Se f S, o problema ) não tem solução. II) Se f M, o problema ) tem solução única. III) Se f S, o problema ) tem exatamente duas soluções. Posteriormente, M. S. Berger e E. Podolak [] deram uma grande contribuição no estudo desses problemas, dando uma estrutura cartesiana para a variedade M em espaços de Hilbert. Eles decompuseram as funções f C,α ) na forma f = tφ f, onde φ

9 é uma autofunção normalizada em L ) associada ao autovalor λ e f spanφ ) no sentido L ) e reescreveram o problema ) na seguinte forma: u = gx, u) tφ f x) em u = sobre. Portanto, para cada f com a propriedade acima, os autores mostraram a existência de um número real r = rf ) tal que: ) a) Se t > r o problema ) não tem solução isto é, f S ). b) Se t = r, o problema ) tem solução única isto é, f M). c) Se t < r, o problema ) tem exatamente duas soluções isto é f S ). Em 975, J. Kazdan e F. W. Warner desconsideraram a hipótese de convexidade sobre a função g e trabalharam com a hipótese: gx, s) lim sup s s gx, s) < λ < lim inf s s <. Usando os métodos de Sub e Super-solução e Iteração Monotônica, Kazdan e Warner encontraram uma função t : span {φ }) IR tal que: Se t > tf ), o problema não tem solução. Se t < tf ) o problema tem pelo menos uma solução. Posteriormente, Aman, Hess e Dancer melhoraram o resultado de Kazdan e Warner encontrando pelo menos duas soluções para t < tf ) e pelo menos uma solução para t = tf ). Diversos pesquisadores exploraram uma enorme quantidade de variações e generalizações dos resultados obtidos por Ambrosetti-Prodi, tais como K. C. Chang [6], D. C. de Morais Filho [7] e Pereira, F. R. [8]. Essa dissertação tem como objetivo expor os trabalhos de Ruf-Srikanth e Figueiredo-Jianfu, os quais serão estudados ao longo deste trabalho.

10 3 Em 986, B. Ruf e P. N. Srikanth [] estudaram o problema superlinear com o expoente subcrítico: u = λu u p h em u = sobre, 3) onde IR N é um domínio limitado suave, < p < se N 3, h L s ) com s > N e λ IR. Usando a decomposição h = tφ h com h φ = e a hipótese de que λ > λ, λ λ i para todo i IN, Ruf e Srikanth mostraram a existência de uma constante T = T h ), tal que para t > T o problema 3) possui pelo menos duas soluções. Posteriormente, em 999, D. G. de Figueiredo e Y. Jianfu [] trabalharam com a nãolinearidade crítica p = ) para o mesmo tipo de equação 3) acima, obtendo para λ k < λ < λ k com k e h L s com h Ker λ) o seguinte resultado: i) Existe um T = T h ) tal que, para t > T o problema 3) possui uma solução negativa u t. ii) Se N > 6, existe uma segunda solução para o problema 3). No capítulo apresentaremos algumas definições e resultados que serão utilizados ao longo dos demais capítulos. No capítulo, abordaremos o problema 3) estudado por Ruf-Srikanth e no capítulo 3, estudaremos o problema 3) para o caso crítico estudado por Figueiredo-Jianfu.

11 Capítulo Resultados Preliminares Neste capítulo, iremos apresentar alguns resultados que serão utilizados ao longo deste trabalho. Durante todo trabalho, o conjunto será um domínio limitado suave e aberto de IR N com N 3. Definiremos o espaço de Sobolev W m,p ) = {u L p ); D α u L p ), α, α m}, onde D α u é definida pela seguinte relação: D α ux)φx)dx = ) α ux)d α φx)dx, Para p < definiremos a seguinte norma, u W m,p = Tomando m = e p = temos que, H ) = W, ) e u H = φ C ). α m u dx D α u p dx ). Definição.. Denotaremos por λ i s, i IN com < λ < λ... λ i...) os autovalores associados às autofunções φ, φ,..., do problema com condição de Dirichlet abaixo: p. v = λv em v = sobre..) Proposição.. Seja {φ j } a sequência das autofunções ortonormais em L ) do problema.) associadas aos autovalores λ j de maneira que para algum k IN tenhamos λ k < λ < λ k. Definindo H = W X, onde W = [φ,..., φ k ] e X = W = [φ k, φ k,...], temos as seguintes estimativas:

12 5 i) u H ii) u H λ k u L, u W. λ k u L, u X. Demonstração: Mostremos o item i). Seja u W, logo existem constantes reais k ξ i s tais que u = ξ i φ i. Usando a integração por partes e o fato de φ i ser autofunção i= associada ao autovalor λ i do problema.) com φ i φ j dx = para i j, obtemos: k ) k ) u H = u udx = u udx = ξ i φ i ) ξ i φ i dx i= i= k ) k ) k k = ξ i λ i φ i ξ i φ i dx = λ i ξi φ i dx λ k ξi φ i dx i= i= i= i= k ) k ) = λ k ξ i φ i ξ i φ i dx = λ k u dx = λ k u L. i= i= De modo semelhante mostra-se o item ii). Lema.3. Sejam W = [φ,..., φ k ] e X = W como na proposição.. Dado ϵ >, existe e X com e H = ϵ tal que, o conjunto {x ; vx) ex) > } tem medida positiva para todo v W com v H. Demonstração: Suponha por contradição que para cada e X com e H = ϵ, temos que vx) ex) q.t.p em, para algum v W com v H. k Como v W, então existem t j s IR, tais que, v = t j φ i. Temos que, para cada j IN φ j é contínua no compacto, então v é também limitada, e portanto, ex) vx) k q.t.p em. Analogamente, existe uma constante positiva k,tal que, ex) k q.t.p em. Tomemos k = max{k, k }, logo ex) k q.t.p em, e portanto, e L ) para cada e X. Seja u H) = W X, logo existem w W e v X, tais que, u = w v. Como v X L e w W, então existem constantes positivas c e c, tais que, vx) c q.t.p em, e wx) c em. Então, ux) wx) vx) c c q.t.p em implica u L ), e portanto, H) L ), o que é falso para N ver apêndice, teorema C.5.). j=

13 6 Proposição.4. Sejam e X obtido no lema.3 e W = [φ,..., φ k ] e f C) uma função negativa. Então para R > suficientemente grande existe uma constante η = ηe) >, tal que, w e f ) p dx η >, para todo w W com w R H, onde p < N N. Demonstração: Seja w W tal que w H. Logo, pelo lema.3 o conjunto A = {x ; wx) ex) > } tem medida positiva, isto é, existe uma constante positiva η = ηe) tal que meda η >. Como f é limitada em, temos para R > suficientemente grande: w e f R ) p dx A A w e f ) p dx R dx = meda = η >. Proposição.5. Sejam e X = W e v W, onde X e W estão definidos na proposição.. Se r > então, i) v re dx = v dx r e dx. ii) v edx =. iii) v r e dx = v dx r e dx. Demonstração: Primeiro, mostraremos o item i). Como e X, v W e X = W, então vedx =. Portanto, v re = v dx r vedx r e dx = v dx r e dx. Agora, mostremos o item ii). Como v W, então existem t i s IR, tais que, k v = t i φ i. Como X = W, e X, e φ i W para i =,,..., k, então: i= v edx = v edx = v)edx k k = t i φ i )edx = t i λ i φ i edx =. i= Finalmente, mostremos o item iii). Pelo item ii), temos que, i=

14 7 v r e dx = = v dx r v edx r e dx v dx r e dx.

15 Capítulo Soluções para um problema envolvendo o expoente subcrítico via o Teorema de Enlace Neste capítulo estudaremos um resultado de existência de soluções para o seguinte problema elíptico superlinear com condição de fronteira de Dirichlet: u = λu u p h em u = sobre, onde u = max{u, }, < p < N N, λ IR e h Ls ), com s > N. Este problema foi estudado em 986 por Bernhard Ruf e P. N. Srikanth ver []), cujo o objetivo era garantir a existência de pelo menos duas soluções para tal problema. Considere a decomposição h = tφ h, onde h L s ) com s > N e φ a primeira autofunção normalizada e positiva associada ao primeiro autovalor λ. Logo o problema acima toma a seguinte forma u = λu u p tφ h em u = sobre..) Os principais resultados desse capítulo são divididos em duas partes: na primeira obtemos uma solução negativa de forma direta e na segunda parte usamos o cálculo variacional para encontrarmos uma segunda solução não-nula. O teorema principal do capítulo é o seguinte resultado:

16 9 Teorema.. Seja λ > λ tal que λ λ i, para todo i IN. Então: i) Existe uma constante t, tal que se t > t, o problema.) possui uma solução negativa u t. ii) Existe uma segunda solução para o problema.). Provemos o item i) do teorema.. Observemos que toda solução negativa para o problema.) satisfaz o seguinte problema: u = λu tφ h em u = sobre..) Buscaremos então uma solução negativa que satisfaça o problema.). Para isso, dividimos o problema.) em outros dois problemas: e u = λu tφ em u = sobre u = λu h em u = sobre,.3).4) e a soma das soluções dos problemas.3) e.4) é uma solução para o problema.). Lema.. Existe uma única solução u H ) para o problema.4). Demonstração: Consideremos o seguinte problema modificado: u λu λ u γu = h em u = sobre,.5) onde γ >, tal que, γ > λ λ. Tomemos δ >, tal que, < δ γ λ λ ), e definimos o funcional B em H ) H ) dado por: Bu, v) = Para todo u H ), temos: u vdx λ uvdx λ uvdx γ uvdx.

17 Bu, u) = = u dx λ u dx λ u dx γ u dx u dx γ λ λ )) u dx u dx δ u dx u dx = u H. Pelas desigualdades de Hölder e de Poincaré ver apêndice, teoremas C.3 e C.6) obtemos para todo u, v H ): Bu, v) u vdx γ λ λ ) uvdx u L v L γ λ λ ) u L v L u H v H c u H v λ H = c ) u H v λ H. Portanto, pelo teorema de Lax Milgram ver apêndice, teorema C.) existe um único u H), tal que, Bu, v) = h vdx, para todo v H), isto é, existe um único u H ), tal que, u vdx λ uvdx λ uvdx γ uvdx = h vdx v H)..6) E portanto, existe uma única solução fraca para o problema.5). Temos u, h L ) ver apêndice, Teoremas C.4 e C.5). Então, definimos o operador linear T γ : L ) H ), dado por T γ h ) = u, onde u é solução do problema.5). Observemos que T γ é contínua. De fato, u = T γ h ) satisfaz a equação.6) v H ). Tomemos v = u, logo: u H = h udx λ u dx λ u dx γ h L u L λ λ γ) u dx h L u L c h L u H. u dx Se u, então T γ h ) H = u H c h L <. Agora, como T γ : L ) H) é linear contínuo e H) L ), então T γ : L ) L ) é linear compacto.

18 Por outro lado, u é solução fraca do problema.4), se e somente se, é solução do problema: u λu λ u γu = h λ u γu em u = sobre,.7) isto é, u = T γ h λ u γu). Definimos w := h λ u γu, assim w γ λ )u = h. Como u = T γ w) então, I γ λ )T γ )w = h..8) Pela teoria dos operadores compactos ver [3]), temos que não pertence ao espectro γ λ σt γ ), se e somente se, a equação.8) possui solução única w, que por sua vez, equivale ao problema.4) possuir uma única solução. Assim, basta mostrarmos que / σt γ ). γ λ De fato, / σt γ ), se e somente se, T γ u) = u implicar u =, que por sua γ λ γ λ vez equivale a, se u satisfaz u λu λ u γu = γu λ u, então u =. Daí, se u satisfaz u = λu, então u =, pois por hipótese λ não é autovalor de. Portanto, existe uma única solução u para.4). Prova do item i), Teorema.: Demonstração: Agora, procuremos uma solução para o problema.3). Para isso, tentaremos obter uma solução do tipo u = kφ, e portanto, k[ φ ) λφ ] = tφ. Usando que λ pertence ao espectro σ ), temos kλ λ)φ = tφ. Como φ é uma t autofunção positiva e λ < λ, então k := kt) = λ λ. Portanto u = tφ λ λ é solução para o problema.3). Note que a solução de.3) é única. De fato, suponha que u e ũ sejam soluções de.3). Então w = u ũ satisfaz w = λw em w = sobre, o que implica w = pois λ λ i ), ou seja, u = ũ. Por outro lado, se o problema.) possuir uma solução u t, então a função w = u t u será uma solução de.3), onde u é uma solução de.4). Usando a unicidade de.3) obtemos kφ = w = u t u, o que

19 implica u t = kφ u. Utilizando que φ > sobre a fronteira de, φ, u C, φ > em e k < obtemos u t < para t suficientemente grande. Agora, provemos o item ii) do teorema., isto é, iremos em busca de uma segunda solução para o problema.). Observemos que, se ũ H ) é uma solução não nula para o problema v = λv v u t ) p em v = sobre.9) então, uma segunda solução para o problema.) é dada por u = ũ u t. Portanto, nosso objetivo é obter uma solução para.9). Notemos que, uma solução fraca para o problema.9) é uma função v H ) tal que, v φdx λ vφdx v u t ) p φdx =, φ H )..) Defina o funcional I : H IR por: Iv) = v dx λ v dx v u t ) p p dx. Observemos que encontrar uma função v H, que satisfaça a equação.), equivale a encontrarmos um ponto crítico para o funcional I. Note que v = é um ponto crítico de I com I) =. Vamos mostrar que o funcional I possui um outro ponto crítico. Lema.3. O funcional I definido acima, satisfaz a condição P.S.), isto é, se u n ) H ) é uma sequência que satisfaz: Iu n ) M, para alguma constante real positiva M e I u n ) no dual de H, então u n ) possui uma subsequência convergente. Demonstração: Por hipótese u n ) H ) satisfaz: Iu n ) = u n dx λ u n dx u n u t ) p p dx M.) e, I u n )u n = u n dx λ u n dx u n u t ) p u ndx ξ n u n H.) onde ξ n quando n.

20 3 Observemos que: u n u t ) p u ndx = = = = u n u t ) p u n u t u t ) dx u n u t ) p u n u t ) dx u n u t ) p u tdx u n u t ) p [ ] un u t ) u n u t ) dx u n u t ) p u tdx u n u t ) p dx u n u t ) p u tdx..3) Substituindo.3) em.) obtemos: Iu n) I u n )u n = ) u n u t ) p p dx Como Iu n ) M e I u n ), então u n u t ) p u t)dx..4) Iu n) I u n )u n Iu n ) I u n ) H u n H M ϵ u n H,.5) para todo n > Nϵ). Substituindo.4) em.5) e observando que u t >, temos que, para n suficientemente grande: p Como p >, então para n suficientemente grande: u n u t ) p dx M ϵ u n H..6) u n u t ) p dx CM Cϵ u n H.7)

21 4 onde, C = >. p Mostraremos que u n H k, n IN e para algum k >. Suponha por absurdo que, u n H quando n, e seja v n = u n. Assim, u n H Iu n ) u n H = λ = λ u n u n dx H u n H v n dx u n H u n u t ) p dx p u n u t ) p dx. p.8) Como v n H = e H ) L ), temos que v n v em H) implica que v n v em L ). Daí, usando que Iu n ) é limitado e usando que.7) implica que u n u t ) p u n dx quando n, obtemos = H p λ v dx, e portanto, v. Por outro lado, usando.7) novamente, temos: u u n n u t ) p CM dx Cϵ. p u H n p u H n p H Logo, u n u t ) p u n H em H. Como < I u n ), φ > = em L p. Como L p H, então u n H u n u t ) p u n φdx λ u n φdx u n u t ) p φdx, φ H ), ω e como por hipótese I u n ) em H, então u n λu n u n u t ) p em H. Dividindo por u n H obtemos, v n λv n u n u t ) p u n H em H..9) Agora, como u n u t ) p u n em H e v n v em H), segue por.9) que H v satisfaz o problema v = λv em v = sobre..) Mas, como λ λ i, i IN então v =, o que é um absurdo. Logo, u n ) é uma sequência limitada em H ).

22 5 Lema.4. O funcional I, satisfaz a geometria do teorema de Enlace ver apêndice, Teorema B.8), isto é, H) = W X é um espaço de Banach, onde W é um subespaço de dimensão finita e a) existem constantes ρ, β > tais que I β, e Bρ X b) existe um e B X, e existe uma constante real R > ρ tal que I onde Q Q := B R W ) {re; < r < R}. Demonstração: Primeiro, mostraremos o item a). Seja H ) = W X, onde W = [φ,..., φ k ] e X = W estão definidos na proposição.. Buscamos encontrar constantes ρ, β >, tais que se u X com u H = ρ, então Iu) β. Seja u X. Assim, utilizando a estimativa ii) da proposição., mais o fato de termos a imersão compacta H) L p ), obtemos: Iu) = u H λ u L u u t ) p p dx λ ) u H λ k p u p L p λ ) u H C u p, λ k H onde C é uma constante positiva. Como p > e λ < λ k, então definimos ρ := u X e u H = ρ, então: Iu) λ = λ [ = 4 C p λ k λ k ) u H ) [ λ 4C λ λ k C u p H λ k )] p p. [ λ )] p 4C λ k )] p C [ 4C λ )] p p λ k >. Logo, se Portanto, definindo β := [ λ )] p p >, temos que, I β. C p 4 λ k Bρ X ) λ Agora, mostremos o item b). Seja < ϵ <. Então pelo lemma.3. λ k existe e ϵ X com e ϵ H = ϵ, tal que o conjunto {x ; vx) e ϵ x) > } tem medida positiva, para todo v W com v H. Seja Q = B R W ) {re ϵ ; < r < R}, onde

23 6 B R é a bola fechada em H) e a constante R > ρ será escolhida posteriormente. Seja 3 Q := Γ i, onde: i= ) Γ = W B R, ) Γ = {u H; u = v re ϵ, v W, v H = R, r R}, 3) Γ 3 = {u H; u = v Re ϵ, v W, v H R}. Analisaremos o valor do funcional I sobre cada caminho Γ i da fronteira de Q definido acima. ) Sobre Γ. Seja u Γ, e portanto, u W. Utilizando a estimativa i) da proposição., temos que, Iu) u H λ u L λ k λ) u L, pois λ k < λ. ) Sobre Γ. Seja u Γ, então u = v re ϵ com v W, v H = R e r R. Usando a estimativa i) da proposição. e a proposição.5, temos que, Iv re ϵ ) v re ϵ ) dx λ v re ϵ dx = v dx r e ϵ dx λ v dx λr e ϵ dx v H r e ϵ H R R ϵ R λ λ k λ v L = R λλk ϵ ). ) λ Como < ϵ <, então λ ϵ <, e portanto, Iu) <. λ k λ k 3) Sobre Γ 3. Seja u Γ 3, logo u = v Re ϵ com v W e v H R. Novamente, pela estimativa i) da proposição. e pela proposição.5, temos que, Iv Re ϵ ) = v Re ϵ ) dx λ v Re ϵ dx v Re ϵ u t ) p p dx = v H R e ϵ H λ v L λr e ϵ L v Re ϵ u t ) p ) p dx λλk R ϵ Rp p v H R ϵ p v R e ϵ u ) p t dx. R v Re ϵ u t ) p dx

24 7 Como u t é contínua em, então tomemos R >, tal que, u t em. Portanto, R v v temos que, R e ϵ ) R e ϵ u ) t. Assim, temos que: R Rp v p R e ϵ u ) p t dx Rp v p R p R e ϵ ) dx. Como v W e v H R, então v R W e v. Logo, pela proposição.4, existe R H uma constante η := ηe ϵ ) >, tal que, Logo, temos que, Rp p v p R e ϵ ) dx η. v R e ϵ ) p dx Rp η p. Portanto, como p > e ϵ > já escolhido, temos que, para R > suficientemente grande, Iv Re ϵ ) R ϵ Rp η p. Prova do item ii), Teorema.: Demonstração: Como os lemas.3 e.4 satisfazem o teorema de Enlace, então I possui um valor crítico c β caracterizado por c = inf max Ihu)), onde Γ = h Γ u Q { h CQ, E); h = Id em Q }. Isto é, existe u c H) solução fraca de.9), tal que, < β c = Iu c ). Logo, u c é não nulo, pois I) =. Além disso, u c não é uma solução negativa de.9). De fato, suponhamos o contrário, isto é, u c <, assim por.9), temos que u c = λu c em u c = sobre..) Como λ λ i i IN, temos que u c =, o que é uma contradição. Portanto u t e u c u t são duas soluções fracas e distintas para o problema.).

25 Capítulo 3 Soluções para um problema envolvendo o expoente crítico via o Teorema de Enlace sem a condição de Palais-Smale Neste capítulo estudaremos um resultado de existência de soluções para o seguinte problema elíptico superlinear com a condição de fronteira de Dirichlet: u = λu u fx) em u = sobre, onde u = max{u, }, = N é o expoente crítico de Sobolev, λ IR e f é dada, de N modo que f L s ) com s > N. Este problema foi estudado em 999 por Djairo G. De Figueiredo e Yang Jianfu ver[]). Assim como no capítulo anterior, o problema acima pode ser escrito da seguinte forma: u = λu u tφ h em u = sobre, 3.) onde f = tφ h, h L s ), s > N e φ a primeira autofunção normalizada e positiva associada ao primeiro autovalor λ. O teorema principal deste capítulo é o seguinte resultado: Teorema 3.. Seja λ k < λ < λ k para k. Então:

26 9 i) Existe uma constante t, tal que, para t > t o problema 3.) possui uma solução negativa u t. ii) Se N > 6, existe uma segunda solução para o problema 3.). Observamos que a prova do item i) é idêntica à que fizemos no teorema. i), devido ao fato de que a existência da solução negativa não depende da potência da não-linearidade da equação diferencial acima. Portanto, para t suficientemente grande, existe uma solução negativa u t para o problema 3.). Como feito no capítulo, observamos que u = vu t será uma solução para o problema 3.), se existir uma alguma função v H ) satisfazendo o problema: v = λv v u t ) em v = sobre. 3.) Utilizando-se dos métodos variacionais, observamos que encontrar uma solução para o problema 3.), equivale a encontrarmos uma solução fraca para a seguinte equação: v φdx λ vφdx v u t ) φdx =, φ H). 3.3) Seja I um funcional em H) definido por: Iv) = v λ v ) dx v u t ) dx. Observemos que, encontrar uma função v H ) que satisfaça a equação 3.3), equivale a encontrarmos um ponto crítico para o funcional I. Utilizaremos o teorema de Enlace sem a condição P.S.) Ver apêndice, Teorema C.8), para garantirmos a existência de um ponto crítico não nulo para o funcional I. Faremos a prova do teorema 3. usando uma sequência de resultados. Os lemas 3.7 e 3.8 garantem que o funcional I satisfaz a geometria do Passo da Montanha Generalizado Enlace). Usando uma aplicação do Princípio Variacional de Ekeland Teorema 4.3 em [4]), existe uma sequência v n ) H ), tal que, Iv n ) c e I v n ), onde c satisfaz pelo lema 3.9) < c < N S N, onde S é a melhor constante de Sobolev da imersão H ) L ), dada em 3.7). O lema 3. mostra que o limite fraco v da sequência v n ) é uma solução do problema

27 3.). Finalmente usamos o fato que o nível mini-max c é menor que N S N para mostrar que a solução é não nula. Continuaremos a utilizar as notações da proposição., isto é, W = [φ,..., φ k ], X = W, λ k < λ < λ k para algum k IN, H = W X e as estimativas: u H λ k u L, u W e u H λ k u L, u X. Nossa meta é obtermos S ρ = B ρ X, e Q = [, Re] B r W ), de maneira que: I α > ; ρ < R, Sρ 3.4) I < α, Q 3.5) max I < Q N S N, 3.6) onde S é denominada constante ótima de Sobolev, definida por: e assumida pelas funções S := inf { } u u : u, u H IR N ) 3.7) Seja ξ C c ψ ϵ x) = IR N ) uma função tal que ϵ ) N NN ) ϵ x, ϵ >. 3.8), em B ) ξx) =, em IR N \ B ) ξx), em IR N. Suponha B ) e defina ϕ ϵ x) = ξx)ψ ϵ x). 3.9) Os lemas que enunciaremos abaixo, são resultados conhecidos na literatura, portanto não iremos demonstrá-los, mas serão utilizados na prova do teorema principal. Lema 3.. ver [6], p.84) ϕ ϵ = S N Oϵ N ), 3.)

28 ϕ ϵ = S N Oϵ N ), 3.) ϕ ϵ = K ϵ Oϵ N ), se N 5, K ϵ log ϵ Oϵ ), se N = 4, 3.) ϕ ϵ K ϵ N, 3.3) e ϕ ϵ K 3ϵ N, 3.4) onde K >, K > e K 3 > são constantes. Denotamos por P X a projeção ortogonal de H ) sobre X e por P W H ) sobre W. a projeção de Lema 3.3. ver[6], p.86) [ ] P X ϕ ϵ ) ϕ ϵ dx CϵN, 3.5) ϕϵ P X ϕ ϵ ) ) dx CϵN, 3.6) P X ϕ ϵ N Cϵ, 3.7) e P X ϕ ϵ Cϵ N, 3.8) Defina para cada K > fixo), o conjunto Por 3.8) e 3.9), temos que P W ϕ ϵ Cϵ N. 3.9) ϵ,k = {x : P X ϕ ϵ x) > K}. P X ϕ ϵ ) = ϕ ϵ ) P W ϕ ϵ ) Cϵ N P W ϕ ϵ Cϵ N Cϵ N, e consequentemente, P X ϕ ϵ ) quando ϵ.

29 Lema 3.4. ver[6], p.88) e P X ϕ ϵ dx = ϵ,k P X ϕ ϵ dx = ϵ,k ϕ ϵ dx Oϵ N ), 3.) ϕ ϵ dx Oϵ N ), 3.) P X ϕ ϵ dx = ϕ ϵ dx Oϵ N ). 3.) ϵ,k Antes de mostrarmos a geometria do teorema de Enlace, necessitamos dos seguintes lemas técnicos: Lema 3.5. Sejam u, v L p ) com p. Se ω e u v > em ω, então: ω u v) p dx onde C depende somente de p. Demonstração: ω u p dx ω v p dx C Seja F : [, ] IR, tal que F t) = v tu p tu p ) dx. Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que F ) F ) = u v > em ω obtemos a) u v) p u p v p ) dx = p ω ω ω ω u p v u v p ) dx, F t)dt, e como v tu p v tu) tu p tu ) udxdt. Definindo Gx) := x p x temos pelo Teorema do Valor Médio, que existe < θv) < tal que Gv tu) Gtu) = G tu θv)). Logo, v b) v tu p v tu) tu p tu = p ) tu vθ p v. Substituindo b) em a), segue que u v) p u p v p ) dx = pp ) ω Como t, θ, ), então podemos estimar ω tu vθ p uvdxdt. tu vθ p uv tu vθ ) p u v C tu p vθ p ) u v C u p v v p u ).

30 3 Portanto, das informações acima obtemos u v) p u p v p ) dx C ω ω u p v v p u ) dx, onde C depende somente de p. Lema 3.6. Sejam A, B, C, α números positivos. Considere a função Então, s ϵ = A B ϵ α C Escrevendo s ϵ = t ϵ )s, onde s = Φ ϵ s) = s A s B s ϵ α C; s >. ) é um ponto onde Φϵ atinge seu máximo. ) A é o ponto em que Φ atinge seu valor B ) A N Oϵ α ). máximo, então t ϵ = Oϵ α ) e Φ ϵ s) Φ ϵ s ϵ ) = N B N Demonstração: Temos que Φ ϵs) = s [ A ϵ α C B) s ] = implica em s = ) A ou s =. Utilizando técnicas básicas do cálculo é fácil verificar que B ϵ α C ) A s ϵ = é o ponto em que Φϵ atinge seu máximo. Observa-se que s B ϵ α ϵ C satisfaz Φ ϵs ϵ ) =, isto é, De 3.3), obtemos s ϵ 3.3), obtemos s ϵ A s ϵ B Cϵ α s ϵ =. 3.3) ) A = s, o que implica s ϵ = t ϵ )s. Novamente por B A B t ϵ) A B C B ϵα t ϵ ) A B =. Fazendo ϵ sobre a igualdade acima obtemos A B t ϵ) A, o que implica B t ϵ ). Logo, t ϵ quando ϵ. Como s ϵ = t ϵ )s, temos que s ϵ s, quando ϵ. Usando 3.3) e s ϵ = t ϵ )s, obtemos A B Expandindo t ϵ obtemos ) [ tϵ ) t ϵ ) ] Cϵ α t ϵ ) s =. 3.4) t ϵ ) t ϵ ) = 4 N t ϵ ot ϵ ).

31 4 Substituindo a igualdade acima em 3.4) obtemos A B ) [ ] 4 N t ϵ ot ϵ ) = Cϵ α t ϵ ) s. Assim, t ϵ = kϵ α t ϵ ) ot ϵ ) com k >, e portanto, t ϵ = Oϵ α ). ) N A 4 Escrevendo s ϵ = t ϵ )s = t ϵ ), temos que B Φ ϵ s ϵ ) = s ϵa s ϵ B s ϵ ϵ α C = A t ϵ) A B = t ϵ) A N = N B N ϵ α C t ϵ ) N N ) A N B N ) N B t ϵ) N N t ϵ) N N A B ) N A N B N Oϵ α ), quando t ϵ. ) N A ϵ α C t ϵ ) N N B N t ϵ) N N A N B N ) N A B Agora estamos prontos para mostrar que o funcional I satisfaz a geometria do Teorema de Enlace. A prova será dividida em dois lemas 3.7 e 3.8). Lema 3.7. Existem ρ > e uma função positiva α : [, ρ ] IR, tal que, Iv) αρ) para todo v S ρ = B ρ X. Explicitamente, temos que ρ = { S N N λ )} N 4, λ k e o valor máximo de αρ) é assumido em αρ) = λ ) ρ λ k S N N ρ α = N S N ρ = λ ) N λ k λ ) N 4 S N 4. λ k Demonstração: Seja v S ρ, logo v H = ρ e v X. Usando o item ii) da proposição., a definição da constante ótima de Sobolev e u t <, obtemos

32 5 Iv) = v H λ v L λ ) ρ λ k λ ) ρ λ k λ ) λ k Usando A = λ λ k, B = S N N v u t ) dx v dx v dx ρ S N N ρ := αρ). e C = nós obtemos pelo lema 3.6, ρ e α. Nosso objetivo agora é escolher Q e ρ, tais que, 3.4), 3.5) e 3.6) sejam satisfeitas. Portanto, escolhemos e como uma função de ϵ, de modo que, e ϵ = P X ϕ ϵ X. Lema 3.8. Existem r >, R > e ϵ >, tais que, para r r, R R e < ϵ ϵ temos I < α, onde α > é determinado no lema 3.7. Q 3 Demonstração: Denotamos a fronteira de Q por Q = Γ i, onde Γ = B r W, { Γ = v H) : v = w se ϵ, w W, w H i= } = r, s R, e Γ 3 = {v H) : v = w Re ϵ, w W B r )}. Mostraremos que para cada Γ i, temos I < α, i =,, 3. Γi ) Seja v Γ W. Utilizando a estimativa i) da proposição., e o fato de λ k < λ, temos que, Iv) = v H λ v L λ k λ) v L < α. v ut ) dx ) Sobre Γ dividiremos em dois casos. Defina δ = sup e ϵ dx. <ϵ α Primeiro caso: Se s s :=. Utilizando a proposição.5 e a primeira δ estimativa da proposição., temos que,

33 6 Iv) = w H w se ϵ ) dx λ s w se ϵ dx λ w L λs e ϵ L e ϵ H ) λλk w H s e ϵ H λs e ϵ L s e ϵ H s δ α. w seϵ u t ) dx α Segundo caso: Se s s = denotamos δ { w u t K = sup s : s s R, w H L } = r, w W. Observemos que K > independe de R. Como P X ϕ ϵ é contínua e como P X ϕ ϵ ), quando ϵ, existe ϵ > tal que, para todo ϵ, < ϵ < ϵ e s s, temos que ϵ = {x : e ϵ x) > K} =. Portanto, pelo lema 3.5, temos que, e ϵ w u ) t dx s ϵ e ϵ dx w u t dx ϵ ϵ s C e ϵ w u t ϵ s e ϵ w u t s e ϵ dx w u t dx C ϵ s ϵ e ϵ w u ) t dx s ) dx e ϵ L ϵ) e ϵ L ϵ) ). 3.5) Pelos lemas 3. e 3.3 temos que Iv) ) λλk r s e ϵ dx s e ϵ w u ) t s ) λλk r s S N s OϵN ) s CϵN s dx e ϵ w u t s Aplicando a estimativa 3.5) sobre a desigualdade acima, obtemos Iv) ) λλk r s S N s OϵN ) s [ CϵN s e ϵ dx w u t ) ] dx C e ϵ L ϵ s ϵ ) e ϵ L ϵ ) ϵ ) dx.

34 7 Utilizando os lemas 3. e 3.4 sobre a desigualdade acima, temos que Iv) ) λλk r s S N s OϵN ) s CϵN [ )] s S N Oϵ N ) Oϵ N ) C k 3 ϵ N Oϵ N ) k ϵ N Oϵ N ) ) λλk r s S N s S N Cs ϵ N := ) λλk r Φ ϵ s). Aplicando o lema 3.6 para Φ ϵ s), obtemos que Como λλk ) r Iv) λλk ) r N S N Oϵ N ). 3.6) quando r, podemos escolher r > suficientemente grande, tal que Iv) <. Isto determina r. 3) Se v Γ 3, temos que v = w Re ϵ com w W B r ) e Iv) ) λλk w H R e ϵ H R e ϵ w u ) t dx. R Pelas limitações de w e u t, existe K > tal que, w u t L ) K. Como e ϵ ) = P X ϕ ϵ ) quando ϵ, então existe ϵ >, tal que, e ϵ ) > K se < ϵ < ϵ. Pela continuidade de e ϵ = P X ϕ ϵ existem R = R ϵ), η = ηϵ), tais que a medida { med x ; e ϵ x) w u t)x) R }) > η >, R > R. Portanto, achamos ϵ, R >, tais que para < ϵ < ϵ e R > R temos que Iv) para todo v Γ 3. De fato, seja R = max {R, R }, onde R é tal que, αr R < com α = N ) η e ϵ dx. Logo, se < ϵ < ϵ e R > R, N Iv) ) λλk w H R e ϵ dx R e ϵ w u ) t dx, D R { onde D = x ; e ϵ x) w u } t)x) > é tal que medd η >. Assim, R Iv) ) λλk w H R ) λλk w H R e ϵ dx R D dx e ϵ dx R η.

35 8 Lema 3.9. Suponha que a dimensão N > 6 e λ k < λ < λ k, então max I < Q N S N 3.7) Demonstração: Dividimos a prova deste lema em dois casos: α Primeiro caso: Se < s s =. δ Seja ϵ < ϵ fixo, de modo que, a geometria do teorema de Enlace ocorra e seja wse ϵ Q. Usando a estimativa i) da proposição., obtemos: Iw se ϵ ) = w λw ) dx s eϵ ) λe ϵ dx w se ϵ u t ) dx ) λλk w H s e ϵ H s e ϵ H. Com as mesmas notações e argumentos utilizados na prova do lema 3.8, temos que Iw se ϵ ) < s e ϵ H s δ α = N S N λ ) N < λ k N S N. α Segundo caso: Se s s =. δ Usando 3.5) e o lema 3.3, temos que Iw se ϵ ) s eϵ λ e ϵ ) dx s s C s s Aplicando o lema 3.6 à Φ ϵ, temos que Iwse ϵ ) Φ ϵ s) Φ ϵ s ϵ ) = N e ϵ w u ) t dx s eϵ λ e ϵ ) dx ϵ s e ϵ dx ) e ϵ L L e ϵ ϵ) L ϵ ) eϵ λ e ϵ ) dx ϵ s e ϵ dx Cs ϵ N := Φ ϵ s). Usando as estimativas dos lemas 3., 3.3 e 3.4 sobre e ϵ, obtemos [ eϵ λ e ϵ ) ] N ) N ) dx e ϵ dx Oϵ N ). ϵ Como N Iw se ϵ ) N S N λoϵ ) Oϵ N ). >, para ϵ suficientemente pequeno, temos que λoϵ ) Oϵ N ) <.

36 9 Assim, Iw se ϵ ) < N S N para todo w se ϵ Q. Portanto, max < Q N S N. Voltemos agora para a demonstração do teorema 3., isto é, iremos provar a existência de uma segunda solução não nula para o problema 3.). Observamos que os lemas 3.7 e 3.8 satisfazem a geometria do funcional I exigido pelo Teorema de Enlace sem a condição P.S.) Ver apêndice, Teorema C.8). Portanto, existe uma sequência v n ) H ), tal que, e Iv n ) = < I v n ), ϕ >= vn λ v n ) dx v n ϕ λv n ϕ) dx v n u t ) dx = c o) 3.8) v n u t ) ϕdx = o) ϕ H 3.9) para todo ϕ H ), onde c é o nível minimax do Teorema de Enlace com e ϵ = P X ϕ ϵ e ϵ < ϵ suficientemente pequeno, de modo que garanta a validade dos lemas 3.8 e 3.9, e do conjunto Q. Primeiro, mostraremos através do lema 3., que a sequência v n ) é limitada em H ). Lema 3.. Suponhamos N > 6, λ < λ k e v n ) uma sequência P.S.) c, então v n ) é limitada em H ). Demonstração: Fazendo Iv n ) < I v n ), v n >, obtemos v n u t ) dx v n u t ) v n dx c ε n v n H o), 3.3) onde ε n quando n. Por outro lado, de maneira análoga ao que fizemos em.3), obtemos: v n u t ) v n dx = v n u t ) dx v n u t ) u t dx. 3.3) Substituindo 3.3) em 3.3), encontramos v n u t ) N dx v n u t ) u t dx c ε n v n H o). Como u t <, obtemos da desigualdade acima que ) N v n u t ) dx N k εn v n N N. 3.3) H

37 3 Escrevendo v n = x n w n com x n X e w n W, por 3.9) temos que [ x n w n ) x n λx n w n )x n ] dx = v n u t ) x n dxo) x n H. 3.33) Utilizando a proposição.5 e a estimativa ii) da proposição. em 3.33), obtemos λ ) x n H λ k = xn λ x n ) dx v n u t ) x n dx ε n x n H. 3.34) Aplicando as desigualdades de Holder e Young com ε em 3.34) e utilizando 3.3), obtemos λ ) x n H λ k ε ε ) v n u t ) dx x n dx x n dx ) C ε ) C ε ε n v n N ) x n dx ε n x n H ) N v n u t ) dx N εn x n H N H x n H ). Como H ) L ) ver apêndice, Teorema C.5), então x n L M x n H. Portanto, reescrevemos a desigualdade acima da seguinte forma, [ λ λ k Fixando ε >, tal que, ) ] Mε x n H ) λ λ k x n H ) C ε ε n v n N N x H n H. 3.35) Mε >, temos por 3.35) que, Usando um argumento análogo para w n W, obtemos w n H Somando 3.36) e 3.37), obtemos: ) C ε n v n N N x H n H. 3.36) ) C ε n v n N N w H n H. 3.37) x n H w n H C C v n N N H C ) x n H w n H 3.38) Por outro lado, ) x n H w n H x n H w n H C C ) x n H w n H ) N N C x n H w n H ).

38 3 Como N > 6 implica N N <, temos que a sequência α n) := x n H w n H é limitada. Como, v n H = x n w n H x n H w n H, temos que a sequência v n ) é limitada em H. Como v n ) é uma sequência limitada em H ), temos que: v n v em H ), v n v em L q ), q <, v n v q.t.p em. 3.39) Pelas convergências em 3.39) e por I v n ) no dual de H ), segue que v satisfaz a equação v φdx λ vφdx v u t ) φdx =, φ H). e portanto, v é uma solução fraca para o problema 3.). Tomando φ = v H ), temos: v λ v ) dx De maneira semelhante ao que foi feito em.3), temos que v u t ) vdx =. 3.4) v u t ) vdx = v u t ) dx v u t ) u t dx. 3.4) Substituindo 3.4) em 3.4), obtemos que v λ v ) dx v u t ) dx v u t ) u t dx =. 3.4) Lema 3.. A solução v obtida como o limite fraco da sequência P.S.) é não nula. Demonstração: Pelo lema de Brézis-Lieb Ver apêndice, Lema C.9), temos que v n u t ) dx = Primeiro mostraremos que Iv n ) = Iv) v n v) dx v n v) dx v u t ) dx o). 3.43) v n v) dx o). 3.44)

39 3 De fato, usando 3.8) e 3.43), temos que Iv n ) = vn λ v n ) dx v n v) dx v u t ) dx o) = vn λ v n ) dx v λ v ) dx Iv) v n v) dx o) = vn v ) dx λ vn v ) dx Iv) v n v) dx o). Como v n v em L ), então temos que vn v ) dx. Logo, pela igualdade acima, Iv n ) = Por outro lado, v n v) dx = Como v n v em H), então temos que vn v ) dx Iv) v n dx v n vdx vn v ) dx = Portanto, de 3.45) e 3.46) obtemos 3.44). De modo análogo, obtemos: < I v n ), v n >= v n v) dx Afirmamos que v n v) dx o) 3.45) v n vdx v dx. v dx. Logo, pela igualdade acima, v n v) dx o). 3.46) v n v) dx v n v) u t dxo). 3.47) v n v) u t dx, quando n. 3.48) De fato, como N > 6, então = N <. Logo, pelo teorema C.4, temos que N L ) L ). Como u t é limitada e L L, então v n v) u t dx v n v) u t dx M v n v) dx M vn v) L pois v n v em L ),

40 33 e portanto, 3.48) é satisfeito. Agora, usando 3.47) e 3.48) mais o fato de I v n ), temos que Observemos que v n v) dx = v n v) dx o). 3.49) v n v) dx é limitado, pois v n v H ) L ) ver apêndice, Teorema C.5), e portanto, como v n ) é limitada em H ) temos que v n v L d v n v H onde u n := v n v. d. Assim por 3.49), temos que lim u n ) dx = k, 3.5) n Se k =, então v n v em H ), e por 3.44) e 3.49) temos que < α c = Iv), o que implica que v é não nulo, pois I) =. Se k >, usando a definição da constante ótima de Sobolev definida em 3.7) e a equação 3.49), temos que u n H ) ) S u n dx S u n ) dx [ ] = S u n dx o). Fazendo n em 3.5), temos por 3.5) que, k Sk N N. Como k >, então 3.5) k S N. 3.5) Suponhamos por absurdo v. Então por 3.44) e 3.49), temos que Iv n ) = v n ) dx o). N 3.53) Por outro lado, como v =, por 3.49) e 3.5) temos que, v n ) dx k quando n. Como Iv n ) c, então por 3.5) e 3.53), temos que c = k N N S N, 3.54) o que é um absurdo, pois contraria o lema 3.9. Portanto v é uma solução fraca não nula para o problema 3.).

41 34 Analogamente, como fizemos no capítulo anterior, a solução v não pode ser negativa, e portanto v e v u t são duas soluções fracas e distintas para o problema 3.). Observação 3.. Observe que a condição P.S.) c é satisfeita pelo funcional I para todo c < N S N. De fato, pelas equações 3.44) e 3.39) temos que Iv n ) = Iv) N v n v H o). Assim, utilizando 3.8 e Iv) α >, obtemos Portanto, N v n v H = Iv n ) Iv) o) Iv n ) o) = c < N S N. S N N vn v H <. 3.55) Por outro lado, por 3.49) e 3.55), e pela definição da constante ótima de Sobolev temos: ) v n v H S N N vn v H = v n v H S N N vn v H v n v H v n v dx v n v) dx v n v) dx = o), o que implica em v n v em H ) quando n.

42 Apêndice A Resultados sobre a Teoria do Grau Neste apêndice iremos mencionar e enunciar os principais resultados sobre o grau topológico de Brouwer num espaço de dimensão finita e o grau topológico de Leray & Schauder. Teorema A.. Teorema de Sard) Seja A um aberto do IR N, f uma função de classe C A, IR N ) e S = {x A; J f x) = }. Então fs) tem medida nula. Definição A. Definição para o caso regular). Considere IR N um aberto e limitado e C k, IR N ) o espaço das funções k- vezes continuamente diferenciáveis em. Para o espaço C k, IR N ) iremos considerar a seguinte norma: φ k = max sup j k x D j) φx) Sejam φ C, IR N ) e S = {x ; J φ x) = }, onde J φ x) = det φ x) representa o Jacobiano de φ no ponto x, e x será chamado ponto crítico de φ se J φ x) =. Além disso, diremos que y IR N é um valor regular para φ se f y) S = e um valor singular caso contrário. Seja b IR N com b / φ ) φs). Se x φ b ) temos que J φ x), então pelo Teorema da Aplicação Inversa φ é um difeomorfismo de uma vizinhança U de x sobre uma vizinhança V de b, ou seja, φ U : U φu) = V é um difeomorfismo. Definição A.3. Sejam φ C, IR N ) e b / φ ) φs). Definimos o grau topológico da aplicação φ em relação a no ponto b como sendo o número inteiro: dφ,, b) = sgnj φ x)) x φ {b})

43 36 onde a função sgn é a função sinal definida por:, se t > sgnt) =, se t <. Teorema A.4. Sejam φ C, IR N ) e b / φ ) φs). Se dφ,, b), então existe um x tal que φx ) = b. Lema A.5. Sejam φ C, IR N ) e b / φ ) φs). Então existe uma vizinhança U de φ pela topologia de C, IR N ) tal que ψ U temos que:. b / ψ ).. Se x ψ b), então J ψ x). 3. dψ,, b) = dφ,, b). Lema A.6. Sejam φ C, IR N ) e b, b pontos de IR N \ φ ) φs)). Se b e b estão na mesma componente conexa de IR N \ φ ) φs)), temos que d φ,, b ) = d φ,, b ). Lema A.7. Sejam φ C, IR N ) e b, b pontos de IR N \ φ ) φs)). Se b e b estão na mesma componente conexa de IR N \φ ), temos que d φ,, b ) = d φ,, b ). Definição A.8. Sejam φ C, IR N ) e b um ponto pertencente a IR N tal que b / φ ) e b φs). Considere C b a componente conexa de IR N \ φ ) que contém b. Como C b é um aberto não vazio de IR N \ φ ) e φs) tem medida nula pelo Teorema de Sard), então C b contém pontos que não estão em φ ) φs). Portanto, definimos o grau de Brouwer de φ em no ponto b, sendo dφ,, b) = dφ,, x) x C b ; x / φs). Lema A.9. Para φ C, IR N ) e b / φ ) existe uma vizinhança U de φ na topologia C, IR N ) tal que, para toda ψ U temos:. b / ψ ),

44 37. dφ,, b) = dψ,, b). Lema A.. Invariância por Homotopia de Classe C ) Seja Hx,t) C [, ], IR N ), com b / H [, ]). Então, dh, t),, b) constante, t [, ]. Definição A.. O grau de uma função contínua) sendo onde, Definimos O Grau Topológico de Brouwer para φ C, IR N ), com b / ), como U = dφ,, b) = dψ,, b), ψ U { ψ C, IR N ); ψ φ < r } e r = ρ {b, φ )} = inf { b φx) ; x } >. A.. Propriedades Principais do Grau Topológico de Brouwer P) Continuidade Sejam φ C, IR N ) e b / φ ). Existe uma vizinha V de φ na topologia C, IR N ), tal que para toda ψ V temos que:. b / ψ ),. dψ,, b) = dφ,, b). P) Invariância do Grau por Homotopia Sejam H C [, ], IR N ) e b / H [, ]). Então, dh, t),, b) constante, t [, ]. P3) O Grau é Constante em Componentes Conexas de IR N \ φ ) Se b e b estão na mesma componente conexa de IR N \ φ ), tem-se que dφ,, b ) = dφ,, b ).

45 38 P4) Aditividade Seja = com, limitados e abertos de IR N. Se b / φ ) φ ) temos que dφ,, b) = dφ,, b) dφ,, b). A.3. Consequências das Propriedades Principais do Grau de Brouwer C) Normalização Seja I a projeção canônica de em IR N, isto é, Ix) = x, então, se b di,, b) =, se b /. C) Existência de Solução Se dφ,, b) então existe um ponto x tal que φx ) = b. C3) Excisão Sejam K um fechado de IR N e b / φk) φ ). Então, C4) Dependência da Fronteira dφ,, b) = dφ, \ K, b). Suponha que φ = ψ em e que φ, ψ C, IR N ). Então para todo b / φ ) tem-se dφ,, b) = dψ,, b). A.4. O Grau Topológico de Brouwer num Espaço de Dimensão Finita Sejam V um espaço de dimensão finita, V limitado e aberto de V, φ C, V ) e b um ponto de V tal que b / φ ). Então o Grau Topológico de Brouwer sobre o espaço V pode ser definido de maneira análoga ao definido sobre o R N. A.5. O Grau Topológico de Leray & Schauder No que se segue, iremos denotar por E um espaço de Banach real, e E um subconjunto limitado e aberto de E. Seja T C, E) uma aplicação tal que T ) está contido em um subespaço de dimensão finita de E. A aplicação Φ = I T é chamada de Perturbação de Dimensão Finita da Identidade.

46 39 Definição A.6. O Grau de uma Perturbação de Dimensão Finita da Identidade) Seja b E com b / Φ ). Se F é um subespaço de dimensão finita de E que contém T ) e b, então definimos o Grau de Leray & Schauder de Φ com relação a aplicado no ponto b como DΦ,, b) = dφ F, F, b). Observação A.7. A definição acima independe da escolha do espaço de dimensão finita que contém T ) e o ponto b, isto é, se F, F são subespaços de dimensão finita que contém T ) {b} então dφ F, F, b) = dφ F, F, b). Definição A.8. Diremos que uma aplicação T : E é compacta se T é contínua e se T ) é um conjunto compacto de E. No que segue-se denotaremos por Q, E) como o espaço de Banach dos operadores compactos T : E munido da norma da convergência uniforme, isto é, T = sup T x), onde é uma norma em E. x Definição A.9. O Grau de uma Perturbação Compacta da Identidade) Seja Φ uma Pertubação Compacta da Identidade, isto é, Φ = I T onde T Q, E). Se b / Φ ), então definimos o grau de Leray & Schauder de Φ com relação a aplicado em b, como sendo DΦ,, b) = DΦ r,, b), onde Φ r é uma perturbação de dimensão finita da identidade satisfazendo Φ r x) Φx) < r, x e r = ρ {b, Φ )} = inf { b Φx) ; x } >. Observação A.. A definição acima independe da escolha do Φ r, isto é, se Φ e Φ são perturbações de dimensão finita da identidade satisfazendo Φ i x) Φx) < r, x, i =,

47 4 então DΦ,, b) = DΦ,, b). A.. Propriedades Fundamentais do Grau de Leray & Schauder P) Continuidade com relação ao operador T Seja Φ = I T com T Q, E). Se b / Φ ) então existe uma vizinhança U de T em Q, E), tal que S U temos que. b / I S) ),. DI S,, b) = DΦ,, b). P) Invariância do Grau por Homotopia Seja H uma aplicação tal que H C [, ], E), definida por Hx, t) = x Sx, t), onde S Q [, ], E). Se b / H [, ]) então DH, t),, b) constante em [, ]. P3) O Grau é Constante em Componentes Conexas de E \ Φ ) Seja Φ = I T com T Q, E). Se b e b estão na mesma componente conexa de E \ Φ ), então DΦ,, b ) = DΦ,, b ). P4) Aditividade Sejam Φ = I T com T Q, E), e = onde, são limitados, disjuntos e abertos em E. Se b / Φ ) Φ ), então DΦ,, b) = DΦ,, b) DΦ,, b). A.. Consequências das Propriedades Fundamentais do Grau de Leray & Schauder C) Normalização Seja I a projeção canônica de em E, isto é, Ix) = x, então, se b DI,, b) =, se b /.

48 4 C) Existência de Solução Sejam Φ = I T com T Q, E) e b / Φ ). Se DΦ,, b), então existe um ponto x tal que Φx ) = b. C3) Excisão Sejam K um fechado de E e b / φk) Φ ). Então, DΦ,, b) = DΦ, \ K, b). C4) Dependência da Fronteira Sejam Φ = I T e Ψ = I S, com T, S Q, E). Se Ψ = Φ em e b / Φ ) então, DΦ,, b) = DΨ,, b).

49 Apêndice B Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz e o Teorema de Enlace Neste apêndice iremos demonstrar o Teorema do passo da Montanha de Ambrosetti- Rabinowitz e o Teorema de Enlace. Definição B.. Sejam X um espaço de Banach e Φ C X, IR). Dizemos que c IR é um valor crítico de Φ se existe u X com Φ u) = e Φu) = c. Denotaremos por Φ c o conjunto de todos os pontos em níveis menores ou iguais a c, isto é, Φ c = {u X; Φu) c}. Definição B.. Condição Palais-Smale-PS)) Sejam X um espaço de Banach e Φ C X, IR). O funcional Φ satisfaz a condição PS) se qualquer sequência u n ) X tal que Φu n ) constante e Φ u n ) em X possui uma subsequência convergente. Lema B.3. Lema de Deformação) Suponha que Φ C X, IR) satisfaz a condição Palais-Smale. Se c IR não é um valor crítico de Φ então, para todo ϵ > suficientemente pequeno, existe η C[, ] X, X) tal que para qualquer u X e t [, ] tem-se:

50 43. ηt, u) = u se u / Φ [c ϵ, c ϵ]) ;. η, Φ cϵ ) Φ c ϵ. Observação B.4. O Lema de Deformação garante que, para funcionais satisfazendo P S), se c não é um valor crítico de um funcional, para ϵ suficientemente pequeno, o conjunto Φ cϵ pode ser deformado continuamente, através do nível c para dentro do nível Φ c ϵ. Assim, conjuntos de nível suficientemente próximos do conjunto de nível correspondente a c podem ser deformados continuamente através do conjunto correspondente a c até ficarem completamente abaixo do nível c. Figura B.: Lema de Deformação Teorema B.5. Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz) Sejam X um espaço de Banach real e Φ C X, IR) satisfazendo a condição Palais- Smale. Suponha que Φ) = e que. existem constantes ρ, α > tais que Φ > α, e Bρ. existe um e X \ B ρ tal que Φe) <. Então, Φ possui um valor crítico c α, com c = inf max g Γ u g[,]) Φu),

51 44 onde Γ = {g C[, ] X); g) = e g) = e}. Demonstração: Observe que podemos reescrever inf max g Γ u g[,]) Φu) como inf max Φgt)). g Γ t [,] B.) Primeiro vamos mostrar que B. está bem definido. Para isto iremos provar as seguintes afirmações: Afirmação B.6. Para cada g Γ existe max t [,] Φgt)). De fato, para cada g Γ temos que Φ g C[, ], IR) pois Φ C X, IR) e g C[, ], X). Como Φ g é uma aplicação contínua no compacto [, ], então Φ g possui máximo em [, ]. Afirmação B.7. max Φgt)) > α para toda g Γ. t [,] De fato, dado g Γ definamos h : [, ] IR, tal que ht) = gt). Além disso, sendo e X \ B ρ temos h) = g) = e > ρ e, h) = g) = = < ρ. Como h C [, ), IR) e h) < ρ < h) então pelo Teorema do Valor Intermediário existe t, ) tal que ht ) = gt ) = ρ, ou seja, gt ) B ρ. Segue da hipótese do teorema que Φgt )) > α, portanto max Φgt)) > α para toda g Γ. { t [,] } Observe que o conjunto H = max Φgt)); g Γ t [,] é limitado inferiormente por α, portanto B. está bem definido. Denotando c = inf Φgt)), segue da definição de ínfimo que c α. max g Γ t [,] Agora só falta mostrar que c é uma valor crítico para Φ. Suponha por absurdo que c não seja um valor crítico de Φ. Então, pelo lema de deformação dado < ϵ < c α ), existe η C[, ] X, X) tal que: i) ηt, u) = u, se u / Φ [c ϵ, c ϵ]), ii) η, Φ cϵ ) Φ c ϵ. Como c = inf H, então existe uma g Γ tal que max t [,] Φgt)) < c ϵ. Portanto, gt) Φ cϵ t [, ].

52 45 Defina a aplicação contínua h t) = η, gt)). Pela hipótese, e pela escolha de ϵ, temos que Φe) e Φ) não pertencem a [c ϵ, c ϵ], ou seja, e e não pertencem a Φ [c ϵ, c ϵ]. Logo, por i) temos que h ) = e h ) = e, portanto h Γ. Por ii), temos h t) = η, gt)) Φ c ϵ t [, ], isto é, max Φh t)) c ϵ. Sendo [,] c = inf H, então c c ϵ, o que é um absurdo. Portanto c é um valor crítico para Φ. Figura B.: Geometria do Passo da Montanha Teorema B.8. Teorema de Enlace) Seja X um espaço de Banach real com X = X X, onde X é um espaço de dimensão finita. Suponha que Φ C X, IR) satisfaz PS) e. existem constantes ρ, α > tais que Φ α e Bρ X. existem e B X e R > ρ tais que Φ, onde Q Q = B R X ) {re; < r < R}. Então, Φ possui um valor crítico c α caracterizado por c = inf γ Γ max u Q Φγu)),

53 46 onde Γ = { γ CQ, X); γ = I d em Q }. Demonstração: Primeiro iremos admitir que seja verdade c = inf que c é um valor crítico de Φ. max γ Γ u Q Φγu)) α, e vamos provar Suponha por absurdo que c não seja valor crítico de Φ. Logo, pelo lema de deformação dado < ϵ < c α ), existe η C[, X, X) tal que para todo t [, ] e todo u X temos i) ηt, u) = u, se u / Φ [c ϵ, c ϵ]), e ii) η, Φ cϵ ) Φ c ϵ. { } Denote H = max Φγu)); γ Γ. Como c = inf H então existe γ Γ tal que u Q max Φγu)) < c ϵ, ou seja, γu) u Q Φcϵ u Q. Defina a aplicação contínua h : Q X, tal que hu) = η, γu)). Dado u Q, temos hu) = η, u) e Φu). Pela escolha de ϵ temos que u / Φ [c ϵ, c ϵ]). Então, por i) temos hu) = η, u) = u, e portanto, h Γ. Por ii) temos que hu) = η, γu)) Φ c ϵ u Q, ou seja, max Φhu)) c ϵ. u Q Portanto, c max Φhu)) c ϵ, o que é uma contradição. Logo c é um valor crítico u Q de Φ. Para cada γ Γ temos que Φ γ possui máximo, pois Φ γ CQ, IR) e Q é compacto em X. Agora vamos provar que c = inf max γ Γ u Q Antes, iremos provar as seguintes afirmações: Φγu)) está bem definido e que c α. Afirmação B.9. Dado γ Γ, e denotando por P a projeção de X para X, existe u Q tal que P γu) =, I d P )γu) = ρ. B.) Para cada u Q escrevemos u = v re, onde v B R X e r R. Defina a homotopia H : [, R] B R X ) IR X dada por Hr, v) = I d P )γv re), P γv re)).

54 47 Como γ = I d então, quando u Q nós temos Q Hr, v) = re, v) = r, v) isto é, H I d em Q. Em particular, Hr, v) ρ, ) para todo u Q, pois por hipótese ρ pertence ao aberto, R), o que ocasiona ρ, ) Q. Identificando R X com IR n para algum n IN, nós temos que grau de Brouwer dh, Q, ρ, )) está bem definido. Então, pela propriedade da invariância do grau de Brouwer por Homotopia, dh, Q, ρ, )) = di d, Q, ρ, )) =. Logo, existe u Q tal que, Hu) = ρ, ), isto é, existe u Q satisfazendo o sistema acima. Afirmação B.. Para cada γ Γ, temos γq) B ρ X. De fato, pela afirmação anterior, existe u Q tal que P γu) =, e I d P )γu) = ρ. Fazendo w = γu), temos que w γq). Portanto, falta mostrar que w B ρ X. Observe que w = I d P )γu) = ρ, ou seja, w B ρ. Como X = X X, então existem w, w pertencentes respectivamente a X e X, tais que w = w w. Assim, w = P w) =, o que implica w = w X. Como w γq) B ρ X, nós temos por. que max Φγu)) Φw) α, u Q o qual, uma vez combinado com a definição de c, implica c α.