Resumo. u (t) + G (u(t)) = f(t). O segundo é referente ao sistema Hamiltoniano. u (t) = J H(t, u(t)).

Transcrição

1 Resumo Neste trabalho usamos métodos variacionais para mostrar a existência de solução fraca para dois tipos de problema. O primeiro trata-se de uma Equação Diferencial Ordinária do tipo u t) + G ut)) = ft). O segundo é referente ao sistema Hamiltoniano u t) = J Ht, ut)).

2 Abstract In this work we use variational methods to show the existence of weak solutions for two types problems. The first, is related with a following Ordinary Differential Equations of the form u t) + G ut)) = ft). The second is relating at the Hamiltonian Systems u t) = J Ht, ut)).

3 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Teconologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Teoria dos Pontos Críticos e Sistemas Hamiltonianos por Leopoldo Maurício Tavares Barbosa sob orientação do Prof. Dr. José de Arimatéia Fernandes Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Campina Grande - PB Outubro de 27 O autor contou com apoio financeiro da Capes

4 Teoria dos Pontos Críticos e Sistemas Hamiltonianos por Leopoldo Maurício Tavares Barbosa Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Análise Aprovada por: Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo - UFPA Prof. Dr. Angelo Roncalli Furtado de Holanda - UFCG Prof. Dr. José de Arimatéia Fernandes - UFCG Orientador Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves - UFCG Orientador Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Outubro de 27 ii

5 Agradecimentos -Primeiramente, agradeço a Deus por todas as bençãos e as graças alcançadas. -Aos Professores José de Arimatéia e Claudianor Oliveira pela atenção e paciência durante a realização deste trabalho. -Ao Professor Marco Aurélio pela atenção e auxilio dado durante todo o curso. -Aos Professores Giovany e Angelo por terem aceitado me avaliar, fazendo parte da banca examinadora. -A todos que fazem parte da minha família, em especial a meu irmão Renato Maurício pelo apoio e confiança depositada em mim. -Aos professores da Pós-Graduação: Daniel Cordeiro, Jaime, Marco Aurélio e Arimatéia pelas disciplinas lecionadas e que contribuiram para a formação do meu conhecimento. -Aos professores: Vânio e Braulio pela confiança a mim atribuida. -A todos os que fazem parte do Departamento de Matemática e Estatística da UFCG. -Aos colegas de curso pelo companherismo, motivação e que diretamente contribuíram para a elaboração deste trabalho. -A Capes pelo apoio financeiro. -Aos projetos Casadinho/CNPQ e Instituto do Milênio. iii

6 Dedicatória A minha família em especial a meu irmão Renato Maurício. iv

7 Notações 1).,.) produto interno. 2) Se f : Ω R N R N é uma função, usamos ao longo da dissertação as seguintes notações: i) v é referente a norma usual de v no R N. ii) x é o valor absoluto de x, se n = 1. 3) Se f : X Y é uma função com X e Y espaços de Banach, usamos as mesmas notações do item 2). 4) [.] referência bibliográfica. 5) D derivada no sentido das distribuições. 6) X espaço dual de X. 7) convergência fraca. 8) q.t.p quase todo ponto. 9) φ c = {u X : φu) c}. 1) K c = {u X : φu) = c e φ u) = }. 11) A δ = {u X : distu, A) δ}. 12) C k Espaço dos vetores com k coordenadas complexas. 13) distu, A) = inf{ u v ; v A} distância do ponto u ao conjunto A. ) 1 14) v W 1,p [,T ]) = vt) p dt + v t) p p dt norma no Espaço W 1,p [, T ]).

8 Conteúdo Notações Introdução Princípios de Minimax Pseudo - gradiente Lema de Deformação Condições de Compacidade Soluções Periódicas da Equação do Pêndulo Forçado A Desigualdade de Wirtinger Existência de Solução A Transformada de Legendre Introdução Funções Convexas Função de Legendre Inequações Dual Hamiltoniano Soluções Periódicas para o Sistema Hamiltoniano Convexo Subharmônicas Oscilações Livres com Período Minimal Prescrito Oscilações Livres com Energia Prescrita Pontos Críticos de Funcionais Invariantes S 1 -índice

9 ii 4.2 O Lema de Deformação Teorema da Multiplicidade Multiplicidade de Órbitas Hamiltonianas Periódicas em uma Superfície Convexa A Séries de Fourier 144 B Funcionais Diferenciáveis 147 C Resultados Gerais 153 Bibliografia 157

10 Introdução Nesta dissertação nos baseamos principalmente em [12] que corresponde ao curso de Métodos de Minimax em Teoria de Pontos Críticos que foi ministrado na Universidade de Brasília em Janeiro e Fevereiro de Estamos interessados em usar métodos variacionais para determinar soluções fracas para os seguintes problemas. O primeiro trata-se de uma Equação Diferencial Ordinária do tipo u t) + G ut)) = ft). 1) Em particular, se considerarmos Gu) = cosu, obtemos a equação do pêndulo forçado u t) + senut)) = ft). A existência de solução T -periódica para a equação 1) é devido a Ambrosetti-Rabinowitz e consiste em determinar os pontos críticos do funcional energia definido por [ ] T u 2 φu) = Gu) + fu dt. 2 O segundo problema trata-se de encontrar soluções periódicas para o sistema Hamiltoniano forçado e para o sistema Hamiltoniano livre onde J : R 2N R 2N é tal que u t) = J Ht, ut)) u t) = J Hut)) Jx, y) = y, x)

11 e denota o gradiente com respeito a u. No caso forçado é natural assumir que H é T -periódica com respeito a t e observar soluções T -periódicas ou soluções kt -periódicas para algum k 2, o qual chamaremos posteriormente de soluções subharmônicas. No caso livre é natural observar soluções periódicas não-constantes com período prescrito ou energia prescrita. No Capítulo 1 fizemos um breve estudo sobre Pseudo-gradiente, o qual é uma ferramenta importante para o desenvolvimento do Lema de Deformação que foi abordado neste capítulo. Além disso, definimos algumas condições de compacidade que são de grande importância para o desenvolvimento e o entendimento dos Lemas e os Teoremas abstratos que serão vistos no decorrer desta dissertação. No Capítulo 2 primeiramente mostramos algumas desigualdades, dentre as quais, a desigualdade de Wirtinger, as quais são muito importantes no estudo de soluções periódicas. Mostramos também que o espaço vetorial { H = u : R R; u é absolutamente contínua, T-periódica e é um espaço de Hilbert com relação ao produto interno definido por u, v) = u v + uv)dt, 7 } u t) 2 dt <, e o funcional energia φ associado a equação 1) satisfaz a condição Fraca de Palais- Smale W P S) definida no Capítulo 1. Além disso, verificamos a existência de solução T -periódica para a equação u t) + G ut)) = ft), onde G C 1 R, R) é uma função 2π-periódica e f CR, R) é uma função T -periódica. No Capítulo 3 fizemos um breve estudo sobre função de Legendre e transformada de Legendre, os quais serão muito utilizados na procura de soluções periódicas para o sistema Hamiltoniano convexo. No primeiro momento nos preocupamos em encontrar soluções periódicas para o sistema Hamiltoniano forçado u t) = J Ht, ut)). Num segundo momento encontramos soluções periódicas para o sistema Hamiltoniano livre u t) = J Hut))

12 8 com período minimal prescrito e com energia prescrita. No Capítulo 4 fizemos um breve estudo sobre funcionais invariantes, subconjuntos invariantes e aplicações invariantes, que serão de muita importância para mostrarmos e entendermos uma forma mais geral do Lema de Deformação e o Teorema da Multiplicidade de pontos críticos que abordaremos neste capítulo. Além disso, vamos fazer um breve estudo sobre o número de órbitas Hamiltonianas periódicas em uma superfície convexa. No Apêndice A fizemos uma breve revisão sobre as séries de Fourier. No Apêndice B definimos a derivada de Fréchet e mostramos que os funcionais utilizados na dissertação são de classe C 1. Finalmente no Apêndice C enunciamos alguns resultados da Análise funcional, Teoria da medida e Espaços de Sobolev que foram usados na dissertação.

13 Capítulo 1 Princípios de Minimax Neste capítulo nosso objetivo é demonstrar o Lema de Deformação e alguns Teoremas abstratos, os quais serão de grande importância no desenvolvimento dos próximos capítulos, para tanto, usaremos o conceito de pseudo-gradiente e algumas condições de compacidade. 1.1 Pseudo - gradiente Definição 1.1 Seja X um espaço de Banach, φ C 1 X, R) e Y = {u X : φ u) }. Um campo vetorial pseudo-gradiente para φ em Y é uma aplicação contínua localmente Lipschitziana V : Y X tal que, para cada u Y, V u) 2 φ u), 1.1) φ u), V u) φ u) ) Lema 1.1 Sob as hipóteses da Definição 1.1, existe um campo vetorial pseudo-gradiente para φ em Y. Demonstração: Dado u Y, temos φ u) e φ u) = sup { φ u), w : w = 1}. Segue da definição de supremo que dado ɛ = φ u) 3 >, existe w u X com w u = 1 e φ u), w u > φ u) ɛ

14 1 implicando φ u), w u > 2 3 φ u). Considerando a função v : Y X dada por vu) = 3 2 φ u) w u e denotando v = vu), temos v = 3 2 φ u) < 2 φ u). 1.3) Por outro lado, de onde segue, logo, φ u), v = 3 2 φ u) φ u), w u φ u), v > 3 2 φ u) 2 3 φ u) φ u), v > φ u) ) Visto que φ é contínua, existe uma vizinhança aberta N u de u em Y tal que v < 2 φ w), w N u 1.5) e φ w), v > φ w) 2, w N u. 1.6) Desde que a família {N u, u Y } é uma cobertura aberta de Y, existe um refinamento localmente finito N ui de Y Ver[1]). No que segue, consideramos ρ i u) = distu, N ui ) c ), u Y e onde V u) = ρ i u) i ρ j u) v i, u Y 1.7) j v i = 3 2 φ u i ) w ui.

15 11 Sendo N ui localmente finita, cada u Y só pertence apenas a um número finito de N ui Ver[1]). Logo as somas definidas em 1.7) são finitas, pois ρ i se anula fora de N ui. Assim V u) é uma combinação convexa dos v is, que verificam v i < 2 φ u), u N ui e φ u), v i > φ u) 2, u N ui. Logo, dado u Y V u) = n i=1 ρ i u) v n i = ρ j u) j=1 ρ 1u) v n 1 + ρ j u) j=1 ρ 2u) v n ρ j u) j=1 ρ nu) n ρ j u) j=1 v n implicando que, V u) e portanto, ρ 1u) v n 1 + ρ 2u) v n ρ nu) v n n ρ j u) ρ j u) ρ j u) j=1 j=1 j=1 n V u) i=1 ρ i u) 1 v n i = n ρ j u) ρ j u) j=1 j=1 Sendo as somas acima finitas para cada u, segue que V u) 2 φ u) n ρ i u) v i. i=1 e φ u), V u) φ u) 2. Para mostrar que V é localmente lipschitiziana, basta mostrar que cada parcela ρ i u) v n i ρ j u) j=1 é localmente lipschitziana.observando que para cada i, v i é constante, vamos mostrar que no caso de duas parcelas a função gu) = ρ 1 u) ρ 1 u) + ρ 2 u)

16 é localmente lipschitziana. temos, donde segue, gu) gv) = Para tanto considerando z arbitrário tal que u, v V z ρ 1 u) ρ 1 u) + ρ 2 u) ρ 1 v) ρ 1 v) + ρ 2 v) gu) gv) = ρ 1u) ρ 1 v) + ρ 1 u) ρ 2 v) ρ 1 u) ρ 1 v) ρ 1 v) ρ 2 u) [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] 12 o que implica, Assim, gu) gv) = ρ 1u) ρ 2 v) ρ 1 v) ρ 2 u) [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)]. de onde segue que, gu) gv) = ρ 1u) ρ 2 v) ρ 1 v) ρ 2 v) + ρ 1 v) ρ 2 v) ρ 1 v) ρ 2 u) [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] gu) gv) = e consequentemente, ρ 2 v) [ρ 1 u) ρ 1 v)] [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] + ρ 1 v) [ρ 2 v) ρ 2 u)] [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] ρ 2 v) gu) gv) [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] ρ 1u) ρ 1 v) + ρ 1 v) + [ρ 1 u) + ρ 2 u)] [ρ 1 v) + ρ 2 v)] ρ 2v) ρ 2 u). Sendo ρ 1 e ρ 2 funções lipschitzianas, existem K 1 e K 2 tais que ρ 1 u) ρ 1 v) K 1 u v e ρ 2 v) ρ 2 u) K 2 u v, logo gu) gv) 1 [ρ 1 u) + ρ 2 u)] 1 + [ρ 1 u) + ρ 2 u)] ρ 2 v) [ρ 1 v) + ρ 2 v)] K 1 u v + ρ 1 v) [ρ 1 v) + ρ 2 v)] K 2 u v. Desde que ρ 1 u) + ρ 2 u) >, existe a > tal que ρ 1 u) + ρ 2 u) > a > e como ρ 1 e ρ 2 são funções contínuas, existe uma vizinhança V z de u tal que ρ 1 v) + ρ 2 v) > a, v V z. Portanto, gu) gv) 1 a K 1 u v + 1 a K 2 u v

17 13 pois, ρ 1 v) ρ 1 v) + ρ 2 v) 1, ρ 2 v) ρ 1 v) + ρ 2 v) 1. Logo, gu) gv) 1 a K 1 + K 2 ) u v, u, v V z mostrando que g é localmente lipschitziana. Concluíndo assim que V é um campo vetorial pseudo-gradiente para φ em Y. 1.2 Lema de Deformação Nesta subseção iremos demonstrar alguns lemas de deformação, o primeiro deles é o lema de deformação de Clark. Considerando X um Espaço de Banach, para S X e α > definamos S α = {u X : distu, S) α}. Lema 1.2 Sejam φ C 1 X, R), S X, c R e ɛ,δ u φ 1 [ c 2 ɛ, c + 2 ɛ ]) S 2δ, > tais que, para todo Então, existe η C [, 1 ] X, X) tal que i) η, u) = u, u X φ u) 4ɛ δ. 1.8) ii) ηt, u) = u, u φ 1 [ c 2 ɛ, c + 2 ɛ ]) S 2δ ) c, t [, 1] iii) η1, φ c+ɛ S) φ c ɛ S δ iv) ηt,.) é um homeomorfismo para todo t [, 1]. Demonstração: No que segue denotamos por A, B X os seguintes conjuntos A = φ 1 [ c 2 ɛ, c + 2 ɛ ]) S 2δ e B = φ 1 [ c ɛ, c + ɛ ]) S δ.

18 Pelo Lema 1.1, existe um campo vetorial pseudo-gradiente V para φ em Y = {u X : φ u) }. A Y. De fato, por 1.8) logo φ u), mostrando que A Y. Sendo A = φ 1 [ c 2 ɛ, c + 2 ɛ ]) S 2δ, segue que φ u) 4ɛ δ >, u A Considerando a função ψ : X R localmente lipschitziana dada por ψu) = ρ 1 u) ρ 1 u) + ρ 2 u) 14 onde e tem-se, ρ 1 u) = distu, A c ) ρ 2 u) = distu, B) ψu) = 1 em B ψu) = em A c ψu) 1 em X. 1.9) Se f : X X é o campo vetorial definido por ψu) V u) em A fu) = V u) em A c note que f é localmente lipschitziana, pois fu) fv) = ψv) V v) V v) ψu) V u) V u) daí, assim, fu) fv) = ψv) V u) V v) ψu) V v) V u) V u) V v) fu) fv) = 1 [ψv) V u) V v) ψu) V u) V v)+ V u) V v) +ψu) V u) V v) ψu) V v) V v) + ψu) V v) V v) ψu) V v) V u)]

19 15 consequentemente, logo, fu) fv) = 1 { V u) V v) ψv) ψu))+ V u) V v) +ψu) V v) V v) V u)) + ψu) V v) V u) V v) )} fu) fv) ψv) ψu) + ψu) V v) V u) + ψu) V u) V v). V u) V u) Sendo ψ e V localmente lipschitzianos, existem K 1, K 2 u, v V z satisfazendo > e z arbitrário tal que ψv) ψu) K 1 v u, u, v V z e V v) V u) K 2 v u, u, v V z mostrando que, fu) fv) K 1 v u + ψu) V u) K 2 v u + ψu) V u) K 2 v u logo, fu) fv) K ψu) ) V u) K 2 v u. Usando a continuidade das funções ψ e V, podemos concluir que f é localmente lipschitziana. Usando o fato que a função f é limitada e localmente lipschitziana, para cada u X, o problema de Cauchy, que denotaremos por P C), P C) dw t) = fwt)) dt w) = u possui uma única solução, a qual denotaremos por wt, u), sendo definida para todo t. No que segue, consideramos η : [, 1] X X o campo vetorial dado por ηt, u) = wδt, u).

20 16 Assim, isto é, η, u) = w, u) = u η, u) = u mostrando i). Seja u A c e defina w 1 t) = u. Observe que w 1t) = = fw 1 t)) pois, se u A c, tem-se fu) =. Desse modo w 1t) = fw 1 t)) w 1 ) = u. Logo, pela unicidade de solução de P C), devemos ter w 1 t) = wt, u) = u, u A c e t [, 1], e consequentemente ηt, u) = u, u A c e t [, 1] o que mostra ii). assim, Agora, observe que para t, o que implica, Usando 1.9) wt, u) w, u) = wt, u) w, u) = wt, u) u t t t d wτ, u))dτ dτ t fwτ, u))dτ fwτ, u)) dτ ψwτ, u)) V wτ, u)) wt, u) u t V wτ, u)) dτ. 1 dτ = t 1.1) o que mostra que se u S, então wt, u) S t. De acordo com a igualdade d dt φwt, u)) = φ wt, u)), w t, u)

21 17 temos, consequentemente, d dt φwt, u)) = φ wt, u)), fwt, u)) logo, d dt φwt, u)) = ψwt, u)) φ wt, u)), V wt, u)) d dt V wt, u)) φwt, u)) = ψwt, u)) V wt, u)) φ wt, u)), V wt, u)). Sendo V um campo vetorial pseudo-gradiente para φ, temos d dt φwt, u)) ψwt, u)) V wt, u)) φ wt, u)) 2. Portanto, a aplicação t φw., u)) é não-crescente. Se u φ c+ɛ S, iremos considerar dois casos: 1) Para algum t [, δ], temos φwt, u)) c ɛ. Assim, como φw., u)) é não-crescente, φwδ, u)) φwt, u)) c ɛ donde segue, Por outro lado, de 1.1), wδ, u) φ c ɛ. wδ, u) u δ assim, wδ, u) S δ implicando que wδ, u) φ c ɛ S δ. Segue da definição de η, que η1, u) φ c ɛ S δ

22 18 e portanto, η1, φ c+ɛ S) φ c ɛ S δ. 2) Para todo t [, δ], temos φwt, u)) c ɛ. Visto que φw., u)) é não-crescente, φwt, u)) φw, u)) = φu) c + ɛ. Por 1.1), wt, u) u δ assim, wt, u) S δ, portanto, wt, u) B = φ 1 [ c ɛ, c + ɛ ]) S δ. Uma vez que, temos, por P C) φwδ, u)) = φu) + δ d dt φwt, u)) dt isto é, φwδ, u)) = φu) + φwδ, u)) = φu) δ δ φ wt, u)), fwt, u)) dt ψwt, u)) V wt, u)) φ wt, u)), V wt, u)) dt. Usando o fato que V é um campo vetorial pseudo-gradiente para φ, φwδ, u)) φu) δ ψwt, u)) V wt, u)) φ wt, u)) 2 dt ou ainda φwδ, u)) φu) Sendo u φ c+ɛ S e wt, u) B, δ ψwt, u)) 2 φ wt, u)) dt. φwδ, u)) c + ɛ δ 1 2 φ wt, u)) dt e por 1.8), φwδ, u)) c + ɛ 1 2 δ 4ɛ δ dt

23 19 logo, portanto, Pela definição de η, φwδ, u)) c + ɛ 2ɛ = c ɛ wδ, u) φ c ɛ S δ. η1, u) φ c ɛ S δ. Assim, em qualquer dos casos 1) ou 2), encontramos η1, φ c+ɛ S) φ c ɛ S δ, O que prova iii). Finalmente, para mostrarmos iv), consideramos as funções h : X X u hu) = wδt, u) e g : X X u gu) = w δt, u). Observe que h g)u) = wδt, gu)) o que implica, h g)u) = wδt, w δt, u)). Consequentemente, h g)u) = wδt δt, u)) = w, u) = u isto é, h g)u) = u.

24 2 Analogamente, g h)u) = u mostrando assim que η é inversível. Visto que, wδt, u) é contínua pela dependência contínua com relação aos dados iniciais, temos de modo análogo que w δt, u) é contínua, assím concluímos que η é um homeomorfismo, para todo t [, 1]. Mostrando iv). Corolário 1.2 Sejam φ C 1 X, R) limitada inferiormente, v X e ɛ > tal que φv) infφ + ɛ. Então, para todo δ > existe u X tal que u v 2δ, φu) infφ + 2ɛ e φ u) < 4ɛ δ. Demonstração: Sendo φ limitado inferiormente, considere c = infφ, S = {v} e observe que v φ 1 [ infφ ɛ, infφ + ɛ ]) S. 1.11) Agora, suponha por contradição que existe δ >, tal que para todo u X verificando u v 2 δ e φu) c + 2 ɛ ou seja, u φ 1 [c 2ɛ, c + 2ɛ]) S 2δ 1.12) tem-se, φ u) 4ɛ δ. Usando o item iii) do Lema 1.2, η1, v) φ c ɛ S δ, o que é um absurdo, pois φ c ɛ =.

25 1.3 Condições de Compacidade 21 O Corolário 1.2 ainda não implica na existência de um ponto crítico para φ. A fim de provar a existência de pontos críticos, veremos algumas condições de compacidade para φ. Definição 1.3 Sejam φ C 1 X, R) e c R. O funcional φ satisfaz a condição de Palais-Smale P S), se toda sequência {u n } X tal que φu n )) é limitada e φ u n ) tem uma subsequência convergente. O funcional φ satisfaz a condição de Palais-Smale fraca W P S) se toda sequência limitada {u n } X tal que φu n )) é limitada e φ u n ) tem uma subsequência convergente. O funcional φ satisfaz a condição P S) c se, quando {u n } X é tal que φu n ) c e φ u n ), então c é um valor crítico de φ. Lema 1.3 A condição P S) implica ao mesmo tempo em W P S) e P S) c para todo c R. Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar que a condição P S) implica na condição W P S) De fato, seja u n ) uma sequência limitada em X tal que φu n )) é limitada e φ u n ), logo φu n ) é limitada e φ u n ), como por hipótese u n ) satisfaz P S) segue que u n ) tem uma subsequência convergente. Portanto, P S) W P S). Agora, mostraremos que a condição P S) implica na condição P S) c. Com efeito, considere uma sequência {u n } X tal que φu n ) c e φ u n ). Visto que por hipótese φ satisfaz P S), segue que existe uma subsequência u nj ) de u n ) tal que u nj u X. Sendo φ C 1 em X, temos φ u) = φ lim u nj ) = lim φ u nj ) = e logo, φu) = φlim u nj ) = lim φu nj ) = c φu) = c e φ u) = ou seja, c é um valor crítico de φ. Portanto, P S) P S) c.

26 22 Lema 1.4 Sejam φ C 1 X, R) e d R. Se φ satisfaz P S) d e se d não é valor crítico de φ, então para todo ɛ > suficientemente pequeno existe η C [, 1 ] X, X) tal que: i) η, u) = u, u X ii) ηt, u) = u, u φ 1 [ d 2ɛ, d + 2ɛ ])) c, t [, 1] iii) η1, φ d+ɛ ) φ d ɛ iv) ηt,.) é homeomorfismo para todo t [, 1]. Demonstração: Uma vez que por hipótese d não é valor crítico de φ, existem α, β > tais que, se u φ 1 [d 2α, d + 2α]) então φ u) β. Com efeito, pois caso contrário existiria uma sequência u n ) verificando [ u n φ 1 d 1 n, d + 1 ]) e φ u n ) < 1 n n isto é, φu n ) [ d 1 n, d + 1 ]) n e φ u n ) ou ainda, φu n ) d e φ u n ). Como por hipótese φ satisfaz P S) d, d seria um valor crítico de φ, o que é um absurdo. Portanto existem α, β > tais que, se u φ 1 [d 2α, d+2α]) então φ u) β. Considerando ɛ, α], S = X e δ = 4ɛ β para cada, u φ 1 [d 2ɛ, d + 2ɛ]) S 2δ temos, φ u) 4ɛ δ logo, pelo Lema 1.2, existe η C [, 1 ] X, X) sastifazendo i), ii), iii) e iv). Teorema 1.4 Seja φ C 1 X, R) limitada inferiormente e seja c = inf φ. Se φ satisfaz a condição P S) c, então c é um valor crítico e o mínimo) de φ.

27 23 Demonstração: Suponhamos por contradição que c não é um valor crítico de φ, então pelo Lema 1.4, existem ɛ > e η C [, 1 ] X, X) tais que η1, φ c+ɛ ) φ c ɛ o que é um absurdo, pois c = inf φ. Teorema 1.5 Sejam φ C 1 X, R), u v X, c = inf Γ= {g C [, 1 ], X) : g) = u e g1) = v }. Se g Γ max φgt)) e t 1 i) φ satisfaz a condição P S) c ii) Existem < R < u v e b R tais que se w u = R, então φw) b > a = max{φu), φv)}. Então c b e c é valor crítico de φ. Demonstração: Usando a condição ii), para cada g Γ, pelo Teorema do Valor Intermediário Ver [9]), existe t [, 1] tal que de onde encontramos, e consequentemente, mostrando que, gt ) u = R φgt )) b > a = max{φu), φv)} max φgt)) b t 1 c = inf max φgt)) b. g Γ t 1 Suponhamos por contradição que c não é valor crítico de φ e fixemos ɛ, c a ), 2 então pelo Lema 1.4, existe η C [, 1 ] X, X) satisfazendo i), ii), iii) e iv). Segue da definição de ínfimo que existe g Γ verificando max φgt)) c + ɛ. 1.13) t 1 Definindo, ht) = η1, gt))

28 24 temos, ht) C[, 1], X), e como a = max{φu), φv)} devemos ter φu) < c 2ɛ e φv) < c 2ɛ ou seja, v, u φ 1 [c 2ɛ, c + 2ɛ])) c pelo item ii) do Lema 1.4, obtemos h) = η1, g)) = η1, u) = u e h1) = η1, g1)) = η1, v) = v isto é, h) = u e h1) = v portanto, h Γ. Por iii) do Lema 1.4, η1, φ c+ɛ ) φ c ɛ juntamente com 1.13), temos gt) φ c+ɛ assim, η1, gt)) φ c ɛ donde concluímos, φη1, gt))) c ɛ portanto, φht)) c ɛ, t [, 1] mostrando que, o que é um absurdo, pois max φht)) c ɛ t 1 c = inf g Γ max φgt)). t 1

29 Teorema 1.6 Sejam φ C 1 X, R), u v X, c = inf Γ= {g C [, 1 ], X) : g) = u e g1) = v }. Se i) φ satisfaz as condições P S) c e W P S) g Γ 25 max φgt)) e ii) Existem < r < R < u v tais que se r w v R, então φw) a = max{φu), φv)}. Então, c a é valor crítico de φ. Além disso, se c = a, existe um ponto crítico w tal que φw) = a e w u = R + r. 2 Demonstração: Observe que, se c > a é suficiente usar a prova do Teorema 1.5. Agora, consideremos c = a e n N tal que Segue da definição de c, que existe g Γ tal que t 1 1 R r. 1.14) n 2 max t 1 φgt)) a + 1 n o que implica, φgt)) a + 1 n, t [, 1] e consequentemente, gt) φ a+ 1 n, t [, 1]. Afirmação: Para cada g Γ, existe t n [, 1] tal que gt n ) u = R + r. 2 De fato, considere a função f : [, 1] R tal que ft) = gt) u, g Γ. Note que f C[, 1], R) e f) = g) u =. Além disso, sendo < r < R, temos r 2 < r < R + r 2 < R. Assim, f1) = g1) u = v u > R > R + r 2

30 e f) < R + r 2 < f1). Sendo f contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário ver[9]), existe t n [, 1] tal que e portanto, Escrevendo, ft n ) = R + r 2 gt n ) u = R + r. 2 u n = gt n ) 26 temos, a φu n ) a + 1 n 1.15) e Considere, u n u = R + r. 2 S = {u n }, c = a, ɛ = 1 n, δ = 1 n 1.16) e suponhamos que, para todo [ u φ 1 c 2 n, c + 2 ]) n S 2 n temos φ u) 4 n. Então, pelo Lema 1.2, existe η C [, 1 ] X, X) tal que η1, φ c+ɛ S) φ c ɛ S δ. Por 1.15) e 1.16), e Assim, u n φ c+ɛ S v n = η1, u n ) φ a 1 n S 1 n. φv n ) a 1 n < a 1.17)

31 27 e implicando, Usando 1.14), isto é, Por outro lado, assim, e por 1.14), logo, v n u v n u n + u n u v n u 1 + R + r. n 2 v n u R r 2 + R + r 2 v n u R. = R u n u v n u + v n u n v n u u n u v n u n R + r 2 v n u R + r 2 R r 2 r v n u R = r 1 n implicando por ii) que φv n ) a, o que é um absurdo com 1.17). Portanto, existe w n φ 1 [ c 2ɛ, c + 2ɛ]) S 2δ 1.18) tal que, e w n u n 2 n φ w n ) < 4 n. 1.19) Note que, w n u w n u n + u n u 2 n + R + r 2 R r + R + r 2 logo, w n u 3R r 2

32 28 assim, ou seja, w n u 3R r 2 w n 3R r 2 isto é, a sequência w n ) é limitada. Uma vez que 1.18) e 1.19) implicam que + u n N φw n ) c e φ w n ). Segue da hipótese que φ satisfaz a condição W P S), que existe uma subsequência w nj ) tal que w nj w em X. Como φ C 1 X, R), segue φw) = φlim w nj ) = lim φw nj ) = c e φ w) = φ lim w nj ) = lim φ w nj ) = mostrando que c é um valor crítico de φ. Por outro lado, u nj w 2 nj + w nj w de onde concluímos que ou seja, u nj w u nj w. Desde que, u nj u = R + r 2 passando ao limite quando n, obtemos w u = R + r. 2

33 Capítulo 2 Soluções Periódicas da Equação do Pêndulo Forçado Neste capítulo nosso objetivo é usar métodos variacionais para mostrar a existência de soluções T -periódicas para a equação u t) + G ut)) = ft). Em particular, considerando Gut)) = cosut)), obtemos a equação do pêndulo forçado u t) + senut)) = ft). A garantia de solução T -periódica para u + G u) = ft) é devido a Ambrosetti- Rabinowitz Ver [1]) e consiste em determinar os pontos críticos do funcional energia dado por φu) = [ u 2 2 ] Gu) + fu dt. 2.1) Começamos nosso estudo neste capítulo verificando algumas desigualdades elementares que são ferramentas básicas na teoria de soluções periódicas.

34 2.1 A Desigualdade de Wirtinger 3 Proposição 2.1 Seja u : R R N uma função T -periódica absolutamente contínua tal que u t) 2 dt <. Se ut)dt =, então e ut) 2 dt T 2 u 2 4π 2 u t) 2 dt ) T u t) 2 dt 12 Desigualdade de Wirtinger) Desigualdade de Sobolev) Demonstração: Considere o seguinte resultado, se u contínua, com u L 2 [, T ]) e u T -periódica, então a série de Fourier gerada por u converge uniformemente a u. Além disso, vale a identidade de Parseval c k 2 2 = k c k 2 = 1 T ut) 2 dt = 1 T u 2 2. Se u = k c k e i2kπ T t é a série de Fourier gerada por u, Ver [Apêndice A]), a série de Fourier da sua derivada, u, é dada por Pela identidade de Parseval, e ou seja, Donde segue, u = k c k 2 = 1 T k i2kπ T c ke i2kπ T t. 4π 2 k 2 c T 2 k 2 = 1 T k 4π 2 k 2 c T 2 k 2 = 1 T k k ut) 2 dt u t) 2 dt u t) 2 dt. k 2 c k 2 = T 2 1 T u t) 2 dt 4π 2 T

35 31 desde que, obtemos logo, Além disso, note que 1 T k k 2 c k 2 k c k 2 ut) 2 dt T 2 1 T u t) 2 dt 4π 2 T ut) 2 dt T 2 4π 2 u t) 2 dt. 2 ut) 2 c k ), t [, T ] k implicando ut) 2 k T 1 2 2πk.2πk T 1 2 c k ) 2, t [, T ]. Observando que ) T 1 2 2πk k Z l 2 e 2πk T 1 2 ) c k l 2 k Z tem-se pela desigualdade de Cauchy-Schwarz ) ) ut) 2 T 4π 2 k 2 4π 2 k 2 T c k 2. Desde que, ficamos com e consequentemente k k k 1 k = k = π2 2 3 k=1 ut) 2 T 4π 2 k 2 12 T c k 2 = T 12 k u 2 ) T u t) 2 dt. 12 u t) 2 dt Corolário 2.2 Seja f : R N R N uma função contínua l - lipschitziana. Se u é uma solução não - constante T -periódica de u = fu), então T 2π l.

36 32 Demonstração: Sendo u solução não - constante T -periódica de u t) = fut)), devemos ter u C 1 R, R N ). Desse modo u t) tem derivada q.t.p em R. Por definição u t + h) u t) h = fut + h)) fut)) h Usando o fato que a função f é l-lipschitziana tem-se u t + h) u t) h ut + h) ut) l h passando ao limite quando h, obtemos u t) l u t) q.t.p em R. Desde que, pela Proposição 2.1, temos donde segue, u t) 2 dt T 2 u t) 2 dt l 2 u t) 2 dt < 4π 2 Por hipótese, u é não constante, logo u t) 2 dt T 2 l 2 u t) 2 dt T 2 4π 2 4π 2 u t) 2 dt. l 2 u t) 2 dt u t) 2 e u t) 2 dt < desse modo, portanto, 1 T 2 l 2 4π 2 T 2π l. Proposição 2.3 Seja u : R R N uma função T -periódica absolutamente contínua tal que u t) p dt < com p > 1. Se ut) p dt C ut)dt =, então u t) p dt.

37 33 Demonstração: Considere { M = u H 1,p T [, T ]); ut) p dt = 1 e } ut)dt = onde H 1,p T [, T ]) = { u W 1,p [, T ]); u) = ut ) } e S : M R dada por Su) = u t) p dt. Sendo S limitado inferiormente, denotamos por C o ínfimo de S, isto é, inf u M Su) = C. Afirmação 1: O ínfimo C é atingido. De fato, seja {u n } M uma sequência tal que u nt) p dt C, u n t) p dt = 1 e u n t)dt =. Usando o fato de que, u n t) p dt = 1, segue que u n L p [,T ]) é limitada, daí {u n } H 1,p T [, T ]) é limitada. Visto que H 1,p T [, T ]) é reflexivo, existe uma subsequência, que denotaremos por u n) e u H 1,p T [, T ]) tal que u n u em H 1,p T [, T ]). Por imersões de Sobolev, u n u em L p [, T ]) assim, Sendo e ut) p dt = lim u n t) p dt. u n t) p dt = 1 u n t) dt =

38 34 pelas imersões compactas de Sobolev e mostrando que u M. Visto que u M, devemos ter Por outro lado, da convergência fraca daí, Donde segue, ou seja, o ínfimo C é atingido. Portanto, Afirmação 2: C >. ut) p dt = 1 ut) dt = u t) p dt C. u t) p dt lim u t) p dt C. u t) p dt = C min Su) = C u M u nt) p dt. Com efeito, suponhamos, por contradição, que C =, então o que implicaria ou ainda u t) p dt = u t) p = q.t.p em R u t) = q.t.p em R, implicando que u é constante. Uma vez que u M, a condição enquanto a condição portanto C >. ut)dt = implica u = q.t.p em R, ut) p dt = 1 implica que u, chegando a um absurdo,

39 35 Sendo, segue que, Agora, dado u H 1,p [, T ])\{} com T min u t) p dt = C. u M u t) p dt C, u M. ut) dt = definamos Observe que w M, pois w = u. u L p [,T ]) wt) p dt = 1 u p L p [,T ]) ut) p dt = 1. Portanto, o que implica, ou seja, w t) p dt C u t) p dt ut) p dt ut) p dt C C u t) p dt. 2.2 Existência de Solução Sejam G C 1 R, R) uma função 2π-periódica e f CR, R) uma função T - periódica. Consideremos a existência de soluções T -periódicas da equação u + G u) = ft). 2.2) Se u é solução da equação 2.2), então para todo k Z, u + 2πk tambem é solução de 2.2).

40 Denotemos, no que segue, H como sendo o seguinte espaço vetorial { } H = u : R R; u é absolutamente contínua, T-periódica e u t) 2 dt <, com o produto interno e o funcional energia φu) = u, v) = [ u 2 2 u v + uv)dt, ] Gu) + fu dt, u H o qual está bem definido sendo de classe C 1 H, R) Ver [Apêndice B]). Além disso, os pontos críticos de φ são soluções fracas de 2.2), com φ u), h = 36 [ ] u h G u)h + fh dt, h H. 2.3) Lema 2.1 O espaço H é Hilbert com relação ao produto interno dado por Demonstração: u, v) = u v + uv)dt. Seja {u n } H uma sequência de Cauchy, assim dado ɛ > existe n tal que u n u m H < ɛ para m, n n. Observe que onde u n 2 H = û n 2 HT 1 [,T ]) û n = u n [,T ] e H 1 T [, T ]) = { u W 1,2 T [, T ]); u) = ut )}. Usando fato que HT 1[, T ]) é Hilbert, existe û H1 T [, T ]) tal que û n û H 1 T [, T ]). Considere ut) = ût); t [, T ] e defina ut) = ût kt ) se t [kt, k + 1)T ]; k Z.

41 37 Das imersões contínuas de Sobolev, H 1 T [, T ]) C[, T ]) assim, e u n ) = û n ) û) u n T ) = û n T ) ût ). Segue do fato que a sequência {u n } H é T -periódica e da unicidade do limite que û) = ût ). Portanto, para cada k Z temos ut + T ) = ût + T kt ) = ut) ou seja, ut + T ) = ut). mostrando que u é T -periódica. Afirmação 1: u : R R é absolutamente contínua, isto é, dado ɛ >, existe δ > tal que para toda sequência finita de intervalos disjuntos a i, b i ) de [, T ] temos: Considere, n b j a j < δ = j=1 n ub j ) ua j ) < ɛ. j=1 B = a 1, b 1 ) a 2, b 2 )... a n, b n ) em [, T ] tal que b j a j < δ, j = 1,..., n. n Usando o fato que a união é disjunta, segue µb) = µa 1, b 1 )) + µa 2, b 2 )) µa n, b n )), onde µb) := medida de Lebesgue. Portanto, µb) = b 1 a 1 + b 2 a b n a n = n b j a j < δ. j=1 Segue de C.9) Ver [Apêndice C]) e C.1) Ver [Apêndice C]) n n bj ub j ) ua j ) = u n bj t)dt u t) dt j=1 j=1 a j j=1 a j

42 38 o que implica, n ub j ) ua j ) j=1 n j=1 a j,b j ) u t) dt = B u t) dt < ɛ. Segue deste argumento acima e do fato que u é T -periódica que u é absolutamente contínua. Sendo ut) = ût), t [, T ] uma função T -periódica e absolutamente contínua com u n u em H 1 [, T ]), então isto é, u n u 2 H = û n û 2 = û n û 2 HT 1 [,T ]) u n u em H. Lema 2.2 O funcional φ satisfaz a condição W P S). Demonstração: Seja J : H H tal que, Ju), h = e considere N : H H tal que, portanto, isto é, Nu), h = uh dt + u h dt + G u)h dt uh dt, u, h H φ u), h = Ju), h Nu), h, h H φ u) = Ju) Nu), u H. Afirmação 1: Se u k u em H, então Nu k ) Nu) em H. fh dt, h H Com efeito, seja {u k } H uma sequência limitada tal que φu k ) é limitada e φ u k ). Note que, Nu k ) Nu), h = ) [u k h + G u k )h fh] [uh + G u)h fh] dt

43 39 assim, donde segue, Nu k ) Nu), h = Nu k ) Nu), h Pela desigualdade de Hölder, ) u k u)h + G u k ) G u))h dt ) u k u h + G u k ) G u) h dt. Nu k ) Nu), h u k u L 2 [,T ]) h L 2 [,T ]) + G u k ) G u) L 2 [,T ]) h L 2 [,T ]). e pelas imersões contínuas de Sobolev 2.4) Nu k ) Nu), h C u k u L 2 [,T ]) h H + C G u k ) G u)) L 2 [,T ]) h H. 2.5) Portanto, usando a norma em H, ficamos com Nu k ) Nu) H = sup h 1 Nu k ) Nu), h Nu k ) Nu) H C u k u L 2 [,T ]) + C G u k ) G u)) L 2 [,T ]). Usando as hipóteses sobre a sequência u k ), existe uma subseqüência u kj ) tal que u kj u em L 2 [, T ]) 2.6) e u kj u q.t.p em [, T ]. Por outro lado, sendo G C 1 R, R), segue G u kj ) G u) q.t.p em [, T ] logo, portanto, Desde que, G u kj ) G u) q.t.p em [, T ], G u kj ) G u) 2 q.t.p em [, T ]. G t) K, t R,

44 4 obtemos, G u kj ) G u) 2 4K 2 L 1 [, T ]). Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue ver [2]), segue lim G u kj ) G u) 2 dt = j lim G u kj ) G u) 2 dt =, j ou seja, G u kj ) G u) em L 2 [, T ]). 2.7) Usando 2.6) e 2.7), Nu kj ) Nu) H ou equivalentemente Nu kj ) Nu) em H mostrando a Afirmação. Por outro lado, φ u kj ) = Ju kj ) Nu kj ), e desde que, φ u kj ) e Nu kj ) Nu), segue, Ju kj ) Nu) quando j. Por outro lado, Ju kj ), h = u k j h dt + u kj hdt, u, h H, ou seja, Ju kj ), h H = u kj, h ) H. Logo pelo Teorema de Riesz-Fréchet Ver[3]), Ju kj ) H = u kj H. Segue da definição de N e do Teorema de Riesz-Fréchet Ver[3]) que existe w H tal que Nu), h H = w, h) H

45 41 e Nu) H = w H. Assim, Ju kj ) Nu), h H = u kj w, h ) H usando novamente o Teorema de Riesz-Fréchet, Ju kj ) Nu) H = u kj w H. Usando o fato que, segue, Portanto, Ju kj ) Nu) H u kj w H. u kj w em H, mostrando desse modo, que φ satisfaz a condição W P S). Teorema 2.4 Se não diferem por multiplicidade 2π. Demonstração: Para cada u H, sejam ft)dt =, a equação 2.2) tem duas soluções T -periódicas que e assim, e Desde que, vt) = ut) 1 T φu) = w = 1 T ut)dt ut)dt ut) = vt) + w 2.8) u t) = v t). 2.9) [ u 2 2 ] Gu) + fu dt

46 42 obtemos, de 2.8) e 2.9) Sendo, segue que, φu) = φu) = [ v 2 2 ] Gv + w) + f.v + w) dt. [ v Afirmação 1: φ é limitado inferiormente. De fato, seja α = max Gu), logo u R 2 2 ft)dt = ] Gv + w) + fv dt. Gu) α, u R. Segue da Desigualdade de Cauchy-Schwarz Ver[3]) φu) v 2 ) 1 dt αt f 2 2 T ) 1 dt v e pela Proposição 2.1, φu) v 2 dt αt T ) 1 f 2 2 T ) 1 dt v π logo, φu) 1 2 v 2 L 2 [,T ]) k 1 v L 2 [,T ]) k 2, 2.1) isto é, φ é limitada inferiormente. Afirmação 2: φ é 2π-periódica, isto é, φu + 2π) = φu). Com efeito, usando 2.1), 2.8) e 2.9) φu + 2π) = v 2 dt Gv + w + 2π) dt + fv + w + 2π) dt 2 assim, Desde que, φu + 2π) = v 2 dt Gv + w + 2π) dt + fv dt. 2 Gv + w + 2π) = Gv + w) temos φu + 2π) = v 2 dt Gv + w) dt + fv dt = φu) 2

47 43 ou seja, φu + 2π) = φu) mostrando a Afirmação 2. Afirmação 3: φ satisfaz a condição P S) c para todo c R. De fato, seja {u k } H uma sequência tal que φu k ) c e φ u k ). Por 2.1) tem-se φu k ) 1 2 v k 2 L 2 [,T ]) k 1 v k L 2 [,T ]) k 2 Por outro lado, sendo φu k ) convergente, segue que φu k ) é limitada, assim existe k 3 > tal que φu k ) k 3 o que implica ou seja, v k ) é limitada em L2 [, T ]). Por outro lado, temos 1 2 v k 2 L 2 [,T ]) k 1 v k L 2 [,T ]) k 3 + k 2 v k 2 dt T 2 4π 2 v k 2 dt, ou ainda, v k 2 L 2 [,T ]) k 4 v k 2 L 2 [,T ]). Portanto, sendo v k ) limitada em L2 [, T ]), segue que existe k 5 > verificando v k 2 L 2 [,T ]) k 5, k N isto é, v k ) é limitada em L 2 [, T ]). Por 2.8), u k = v k + w k, pela periodicidade de φ, deve existir ŵ k [, 2π] verificando φu k ) = φv k + ŵ k ). Fazendo û k = v k + ŵ k, segue φû k ) c e φ û k ).

48 44 Visto que, ŵ k [, 2π], temos ŵ k 2 L 2 [,T ]) 4π2 T mostrando que ŵ k ) é limitada em L 2 [, T ]). Portanto sendo v k ) e ŵ k ) limitadas, segue que û k ) é limitada em H. Pelo Lema 2.2, existe û kj ) tal que û kj u em H. Sendo φ C 1, segue pela unicidade do limite, φû kj ) φu) e φ û kj ) φ u), φu) = c e φ u) =. Logo, c é um valor crítico de φ. Portanto φ satisfaz a condição P S) c. Mostrando, desta forma, a Afirmação 3. Pelas Afirmações 1, 3 e pelo Teorema 1.4, segue que φ tem mínimo em algum ponto u H, ou seja, φu) = min φ. Da Afirmação 2, φu + 2π) = φu) = min φ. H Considere, v = u + 2π, assim u v 2 L 2 [,T ]) = u v 2 dt = 4π 2 T H ou seja, u v L 2 [,T ]) = 2π T. Considere, < r < R < 2π T = u v e w X tal que r w u R. Sendo φv) = φu) = min φ H segue que, φw) a = max{φu), φv)}

49 45 logo, pelo Teorema 1.6, segue que c a, onde c é o nivel Minimax dado no Teorema 1.6, é valor crítico de φ. Observe que i) Se c > a e u 1 um ponto crítico com φu 1 ) = c e sendo φu) = a, segue φu 1 ) > φu) logo, u 1 u + 2kπ, de fato, caso contrário, teríamos em vista da periodicidade de φ que φu 1 ) = φu), o que é absurdo. ii) Se c = a, pelo Teorema 1.6, existe um ponto crítico u 1 tal que Considere u 1 = u + 2kπ com k Z\{}. Assim φu 1 ) = a com u 1 u = R + r. 2.11) 2 u 1 u 2 = e usando o fato de que u 1 = u, segue u 1 u 2 dt + 2kπ) 2 dt u 1 u 2 = 4k 2 π 2 T donde segue, Sendo, segue, u 1 u = 2 k π T. < r < R < 2π T 2 k π T R + r 2 < 2 k π T = u 1 u o que é um absurdo, por 2.11). Logo, u 1 u + 2kπ, para todo k Z\{}, mostrando que a equação 2.2) possui duas soluções que não diferem por multiplicidade 2π.

50 Capítulo 3 A Transformada de Legendre Nosso objetivo neste capítulo é usar métodos variacionais para mostrar a existência de soluções periódicas para o sistema Hamiltoniano forçado u t) = J Ht, ut)) e para o sistema Hamiltoniano livre u t) = J Hut)). Para tanto, faremos um breve estudo sobre função de Legendre e transformada de Legendre, as quais serão muito utilizadas na procura de soluções periódicas para um sistema Hamiltoniano convexo. 3.1 Introdução Definição 3.1 A transformada de Legendre F de uma função F C 1 R N, R) é dada pela fórmula implícita F v)= v, u) F u) v= F u), quando F é invertível.

51 Funções Convexas Uma função F : R N R diz-se convexa se, para quaisquer u, v R N e λ, 1), tem-se F 1 λ)u + λv) 1 λ)f u) + λf v). No caso em que acima vale a desigualdade estrita sempre que u v, a função diz-se estritamente convexa. Proposição 3.2 Se F C 1 R N, R) as seguintes afirmações são equivalentes: i) F é convexa ii) F w) F u) + F u), w u), u, w R N. Demonstração: i) = ii) Supondo F convexa, para u, w R N temos F 1 λ)u + λw) 1 λ)f u) + λf w) assim, F 1 λ)u + λw) F u) λf u) + λf w) logo para λ >, F u + λw u)) F u) λ F w) F u). Passando ao limite quando λ + na última desigualdade, obtemos F u), w u) F w) F u) o que implica, F w) F u) + F u), w u). 3.1) ii) = i) Sendo ii) válida para quaisquer u, w R N, podemos escrever F u) F w) + F w), u w) 3.2) e F v) F w) + F w), v w). 3.3)

52 48 Considerando w = 1 λ)u + λv, segue de 3.2) e 3.3), F u) F 1 λ)u + λv) + F 1 λ)u + λv), λu v)) e consequentemente F v) F 1 λ)u + λv) + F 1 λ)u + λv), 1 λ)v u)) F u) F 1 λ)u + λv) + λ F 1 λ)u + λv), u v) 3.4) e F v) F 1 λ)u + λv) 1 λ) F 1 λ)u + λv), u v). 3.5) Multiplicando 3.4) por 1 λ) e 3.5) por λ e adicionando membro a membro as duas desigualdades, ficamos com F 1 λ)u + λv) 1 λ)f u) + λf v). Lema 3.1 A função F C 1 R N, R) é convexa se, e somente se, o gradiente de F, F : R N R N é uma aplicação monotônica, isto é, F u) F v), u v), u, v R N. 3.6) Demonstração: Segue da Proposição 3.2 F u), v u) F v) F u). 3.7) Analogamente, F v), u v) F u) F v) logo, F v), v u) F u) F v). 3.8) Somando 3.7) e 3.8) membro a membro, segue F u), v u) F v), v u)

53 49 e portanto, F u) F v), u v). Reciprocamente, segue do Teorema do Valor Médio aplicado a função gt) = F u + tw u)) que existe θ, 1) tal que F u + w u)) = F u) + F u + θw u)), w u). 3.9) Por outro lado, usando 3.6), obtemos F u + θw u)) F u), θw u)) assim, θ F u + θw u)) F u), w u)) sendo θ >, temos F u + θw u)), w u)) F u), w u)). 3.1) Substituindo 3.1) em 3.9), encontramos F w) F u) + F u), w u), u, w R N. Portanto pela Proposição??, segue que F é convexa. Observação 3.1 Pelo estudo feito acima, observa-se que a função F é estritamente convexa se, e somente se, o gradiente de F, F : R N R N é uma aplicação estritamente monotônica, isto é, F u) F v), u v) >, u, v R N ; u v. 3.3 Função de Legendre Definição 3.3 Uma função F : R N R é uma função de Legendre, se F satisfaz às seguintes condições: i) F C 1 R N, R) ii) F é estritamente convexa iii) F u) quando u. u

54 Proposição 3.4 Se F é uma função de Legendre, então F é um homeomorfismo do R N. 5 Demonstração: Iremos dividir a nossa demonstração em alguns passos. Passo 1: F é injetivo. De fato, por hipótese F é estritamente convexa, logo pela Observação 3.1 F u) F v), u v) >, u, v R N, u v. 3.11) De 3.11), segue que mostrando que F é injetivo. Passo 2: F é sobrejetivo. u v F u) F v) Com efeito, dado v R N e supondo u, temos ) F u) F u) v, u) F u) v u = u u v. Usando iii) da Definição 3.3, temos F u) v, u) quando u. 3.12) Definamos a função g : R N R por gu) = F u) v, u). Por 3.12), segue gu) quando u assim, para todo M 1 >, existe C > tal que gu) > M 1 quando u > C isto é, se u > C então g é limitada inferiormente por M 1. Agora consideremos u C. Sendo g contínua, segue que g atinge um mínimo M 2 em B C ), ou seja M 2 = min gu). u c

55 51 Considere K = min{m 1, M 2 } = M 2. Desse modo, gu) K, u R N mostrando que g é limitada inferiormente. Considere e {u n } R N tal que lim n g = inf u R N gu) gu n ) = g <. Note que a sequência u n ) é limitada, portanto existe u nj ) e u R N tal que u nj u em R N. Sendo g contínua, gu nj ) gu ), logo pela unicidade do limite, gu ) = g, ou seja, g atinge seu mínimo no ponto u R N e portanto gu ) = Por outro lado, gu ) = F u ) v logo F u ) = v mostrando que F é sobrejetivo. Passo 3: F) 1 é contínua. De fato, primeiramente note que F é coercivo, pois sendo F convexa, F w) F u) + F u), w u), u, w R N. Assim, F ) F u) + F u), u) = F u) F u), u) o que implica, F u), u) F u) F ).

56 52 Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos F u) F u) F ). u Sendo F uma função de Legendre, temos que o lado direito da última desigualdade tende a infinito quando u, logo F u) quando u, ou seja, F é coercivo. Para mostrar que F ) 1 é contínua, basta verificar que x n x quando F x n ) F x). Supondo F x n ) F x), sendo F coercivo, x n ) é uma sequência limitada. Seja x nj ) uma subsequência qualquer de x n ), assim x nj ) é uma sequência limitada. Logo existe x njk ) x nj ) tal que x njk x 1 em R N. Usando a continuidade de F, segue F x njk ) F x 1 ). Por outro lado, F x njk ) F x) logo pela unicidade do limite, F x) = F x 1 ). Usando o Passo 1, concluimos que x = x 1. Portanto, para toda x nj ) x n ), existe x njk ) x nj ) tal que x njk x em R N. Suponhamos que, x n x assim existe ɛ > e x nj ) x n ), tal que x nj x ɛ n j N. 3.13)

57 53 Por outro lado, existe x njk ) x nj ) tal que x njk x. 3.14) Usando 3.13) e 3.14), x njk x ɛ e x njk x o que é um absurdo. Logo, x n x em R N portanto, F ) 1 é contínua, mostrando o Passo 3. Lema 3.2 Se F 1 e F 2 são funções de Legendre tais que F 1 F 2, então F 1 F 2. Demonstração: Sendo pela Proposição??, temos F v)= v, u) F u) v= F u) F w) F u) + F u), w u), u, w R N assim, F w) F u) + v, w) v, u) u, v, w R N implicando que F v) v, w) F w), v, w R N. Em particular, F v) = sup v, w) F w)), v R N. w R N Assim, sendo F 1 F 2, devemos ter F 1 w) v, w) F 2 w) v, w) o que implica, v, w) F 1 w) v, w) F 2 w)

58 54 logo, portanto, ou seja, F 1 F 2. v, w) F 2 w) sup w R N v, w) F 1 w)) F 2 = sup w R N v, w) F 2 w)) sup w R N v, w) F 1 w)) = F 1 No que segue vamos demonstrar o seguinte Lema que será importante no decorrer deste trabalho. Lema 3.3 Se F é uma função de Legendre, então F é Fréchet diferenciável. Demonstração: Sejam u = F ) 1 v) e u t = F ) 1 v + th). Sendo, F v) = v, u) F u) e F v + th) = v + th, u t ) F u t ) para todo t >, tem-se que F v + th) F v) t = v + th, u t) F u t ) v, u) + F u) t donde segue, F v + th) F v) t = v, u t) + t h, u t ) F u t ) v, u) + F u). t Assim, e desde que, F v + th) F v) t = h, u t ) + v, u t u) F u t ) + F u) t F u t ) F u) + F u), u t u), segue, v, u t u) F u t ) + F u) e portanto Por outro lado, usando o Lema 3.2 F v + th) F v) t h, u t ). 3.15) F v + th) v + th, u) F u)

59 55 consequentemente F v + th) F v) t v + th, u) F u) v, u) + F u) t ou ainda Portanto por 3.15) e 3.16), F v + th) F v) t h, u). 3.16) h, u) F v + th) F v) t h, u t ). Passando ao limite quando t +, obtemos lim t + F v + th) F v) t = h, u). Por outro lado, note que F v + h) F v) h, u), pois e assim, F v + h) F v) h, u) = F v + h) [v, u) F u)] h, u) F v + h) F v) h, u) = F v + h) [v + h, u) F u)] pela definição de F v + h) tem-se F v + h) [v + h, u) F u)] logo, Além disso, F v + h) F v) h, u). F v + h) F v) h, u) h, u h u)). Com efeito, temos F v + h) F v) h, u) = v + h, u h ) F u h ) h, u) F v) o que implica, F v + h) F v) h, u) = [v, u h ) F u h )] F v) + h, u h u))

60 56 usando a definição de F v), obtemos [v, u h ) F u h )] F v) portanto, F v + h) F v) h, u) h, u h u)). Assim, F v + h) F v) h, u) h = F v + h) F v) h, u) h h, u h u)) h usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, F v + h) F v) h, u) h u h u. Por outro lado, u h = F ) 1 v + th) F ) 1 v) = u quando h isto é, u h u quando h e consequentemente F v + h) F v) h, u) h quando h Mostrando que F é Fréchet diferenciável. Proposição 3.5 Se F é uma função de Legendre, então F v) v quando v. Demonstração: Devemos mostrar que dado C > existe A > tal que v > A = F v) v > C ou equivalentemente, F v) v C = v A.

61 57 Para cada C >, considere v R N satisfazendo F v) v C, ou Definindo desde que pelo Lema 3.2, F v) C v. M = max F w) w =2C F v) = sup w R N v, w) F w)) fazendo w = 2C v, obtemos v 2C v = v, 2C ) ) 2C v v F v) + F v v M + C v logo, portanto, Assim, dado C >, considere A = m C F v) v C v M v M C. que teremos C = v A. Portanto, F v) v quando v. Teorema 3.6 Se F é uma função de Legendre, temos i) F = F ) 1 ii) F C 1 R N, R). Demonstração: Pelo Lema 3.3, F é Fréchet diferenciável e F v), h) = h, u).

62 58 Assim, F v) u, h) =, h R N o que implica, F v) = u. Desde que pelo Lema 3.3, u = F ) 1 v), segue F v) = F ) 1 v) o que mostra i). Desde que F ) 1 é contínua e F = F ) 1, temos F C 1 R N, R), mostrando ii). Corolário 3.7 Se F é uma função de Legendre, a função F é estritamente convexa. Demonstração: Sendo F uma função de Legendre, por definição F é estritamente convexa e usando a Observação 3.1 podemos concluir que F ) 1 é estritamente monótono. Pelo Teorema 3.6, F = F ) 1 sendo F ) 1 estritamente monótono, segue que F é estritamente monótono, novamente usando a Observação 3.1, segue que F é estritamente convexa. Observação 3.2 Sendo F uma função de Legendre, segue dos resultados demonstrados que F é uma função de Legendre. Além disso, F v)= v, u) F u) e v= F u), u = F v) F ) = F. De fato, observe que F ) w)= w, v) F v) w= F v)

63 59 e F v)= v, u) F u) v= F u). Usando a Proposição 3.4 temos u = F ) 1 v) e pelo Teorema 3.6 podemos concluir que u = w. Logo, F ) u) = u, v) F v) = u, v) v, u) + F u) ou seja, F ) = F. 3.4 Inequações Nesta subseção, demonstraremos algumas desigualdades que são fundamentais no estudo de sistemas Hamiltonianos convexos. Lema 3.4 Sejam G : R N R dada por Gu) = γ u q + α, com γ >, q > 1 e α R. Se temos que Demonstração: disso, G v) = 1 p + 1 q = ) ) p 1 q γq v p α. 3.18) p Sendo Gu) = γ u q + α, é fácil verificar que G é uma função de Legendre. Além Gu) = γq u q 2 u e G) =. 3.19) Considerando v = Gu), segue do Teorema 3.6 que G) 1 v) = u. Observe que v = γq u q 1 o que implica, e por 3.17) u = u = ) 1 v q 1 γq ) p v q. γq

64 6 Desse modo, ou Logo, por definição donde segue, Usando 3.17), mostrando que ou seja, G) 1 v) = ) p v q γq v v G) 1 v) = v p q 1 v. γq) p q ) G v) = v p q 1 v 2 v p q 1 G v γq) p q γq) p q G v) = v p q 1 v 2 v p q 1 γ v γq) p q γq) p q G v) = v p γq) p q G v) = G v) = Usando novamente 3.17), temos ) v p γ γq) p α q α. ) p 1 q v p 1 γ 1 ) α γq γq ) p 1 q v p 1 1 ) α. γq q G v) = ) p 1 q γq v p p α. Proposição 3.8 Seja F uma função de Legendre tal que n F u) γ u q + α 3.2) para algum γ >, q > 1, α, n R. Se 1 p + 1 q = 1, tem-se ) p 1 q γq F u) p p F u), u) + α n. Demonstração: Fixando v = F u), segue do Lema 3.4 e de 3.2) que F v) ) p 1 q γq v p α p

65 61 ou equivalentemente Desde que F v) ) p 1 q γq F u) p α. 3.21) p F v) = v, u) F u) 3.22) por 3.21) e 3.22), ) p 1 q γq F u) p p α F u), u) F u) F u), u) n ou seja, ) p 1 q γq F u) p p F u), u) + α n. Lema 3.5 Supondo as hipóteses da Proposição 3.8, existem constantes C 2, C 3 > tais que F u) C 2 u q 1 + C 3. Demonstração: Com efeito, pela Proposição 3.8, temos ) p 1 q γq F u) p p F u), u) + α n. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, ) p 1 q γq F u) p p F u) u + α n. 3.23) Pela desigualdade de Young, existem ɛ > e C ɛ > tais que F u) u ɛ F u) p + C ɛ u q. 3.24) Substituindo 3.24) em 3.23), obtemos Fixando < ɛ < 1 p ) p 1 q γq ) p 1 q γq F u) p p e C = 1 p ɛ F u) p + C ɛ u q + α n. ) p 1 q γq ɛ >, ficamos com C F u) p C ɛ u q + C 1, onde C 1 = α n.

66 62 Assim, logo, F u) Cɛ C u q + C ) 1 p 1 C onde C 2 = ) 1 Cɛ C p e C3 = C1 C F u) C 2 u q p + C3 ) 1 p. Usando 3.17), ficamos com F u) C 2 u q 1 + C 3. O Lema anterior nos diz que F pode crescer no máximo até a potência q 1. No que segue, vamos definir e verificar algumas propriedades de um funcional que será de grande importância na procura de soluções periódicas para um sistema Hamiltoniano convexo. Lema 3.6 Considere a função J : R N R N R N R N, dada por Jx, y) = y, x). Então para u, v R 2N temos: i) Ju, u) = ii) u, Jv) = Ju, v) iii) J 2 u = u iv) Ju = u Demonstração: Sejam u = x, y), v = x 1, y 1 ) R 2N. Por definição Jx, y), x, y)) = y, x), x, y)) = y, x) + x, y) = o que mostra i). Com relação a ii), considere u = x, y) e v = x 1, y 1 ). Então, x, y), Jx 1, y 1 )) = x, y), y 1, x 1 )) = x, y 1 ) + y, x 1 ) = [x, y 1 ) y, x 1 )] portanto, mostrando ii). Note que u, Jv)) = [ y, x), x 1, y 1 )] = Ju), v), Jx, y) = y, x) J 2 x, y) = J y, x)

67 63 o que implica, mostrando a igualdade J 2 x, y) = x, y) = x, y) J 2 u) = u mostrando iii). Finalmente, Ju) 2 = Ju), Ju)) = J 2 u), u ) = u, u) = u 2 logo, Ju) = u mostrando o item iv). Proposição 3.9 Sejam q > 1 e { X = u : [, T ] R 2N ; u é absolutamente contínua, com norma u X = u L q [,T ]) + u L q [,T ]). } u t) q dt < e u) = ut ) Então { min u X ) Ju t), ut) dt ; } u t) q dt = T = T 2 2π. Demonstração: e Primeiramente, consideremos os seguintes conjuntos { } M = u X; u t) q dt = T N = { ) } u X; u t), Jut) dt = 1. Desse modo vamos dividir nossa demonstração em algumas etapas: T ) Etapa 1: O funcional u u t), Jut) dt é limitado superiormente no conjunto M. De fato, note que ) u t), Jut) dt = ) Ju t), ut) dt.