Elifaleth Rego Sabino

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Elifaleth Rego Sabino Problemas elípticos com não linearidade descontínua envolvendo o expoente crítico de Sobolev BELÉM 2010

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Elifaleth Rego Sabino Problemas elípticos com não linearidade descontínua envolvendo o expoente crítico de Sobolev Dissertação apresentada ao colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística - PPGME da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do título de mestre em Matemática. ORIENTADORA: Prof a. Dr a. Rúbia Gonçalves Nascimento BELÉM 2010

3 Sabino, Elifaleth Rego Problemas elípticos com não linearidade descontínua envolvendo o expoente crítico de Sobolev / (Elifaleth Rego Sabino); orientadora, Rúbia Gonçalves Nascimento f. il. 28cm Dessertação (Mestrado)- Universidade Federal do Pará. Instituto de Ciências Exatas e Naturais. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística. Belém, Equações Diferenciais Elípticas.I.Nascimento, Rúbia Gonçalves, orient. II.Universidade Federal do Pará, Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística. III. Título CDD 22. ed

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Elifaleth Rego Sabino Problemas elípticos com não linearidade descontínua envolvendo o expoente crítico de Sobolev Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do título de mestre em Matemática. Data da defesa: 24 de fevereiro de Conceito: Banca Examinadora Prof a. Dr a. Rúbia Gonçalves Nascimento (Orientadora) PPGME - UFPA Prof o. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo PPGME - UFPA Prof o. Dr. Rodrigo da Silva Rodrigues DM-UFSCar Prof o. Dr. Valcir João da Cunha Farias PPGME - UFPA

5 Dedicatória Á minha família. iv

6 Agradecimentos À Deus, pela saúde e força. À minha família em especial a minha irmã, Elizabeth Sabino, por todo o apoio e carinho. À professora Rúbia Gonçalves Nacimento, por todo apoio, orientação e compreensão dado durante o mestrado. Ao Professor Giovany de Jesus Malcher Figueiredo, pelo apoio, e sugestão e compreensão dado durante o período da Pós-Graduação, e disposição nesta tarefa de me avaliar fazendo parte da banca examinadora. Aos colegas da pós-graduação (UFPa). Aos funcionários do ICEN/ UFPa. Aos amigos, que estiveram comigo nas horas difíceis. A Capes, pelo apoio financeiro. v

7 Resumo Nesta dissertação estudaremos a existência, multiplicidade e regularidade de soluções, para a seguinte classe de problemas elípticos. (P ) u = λh(x)h(u a)u q + u 2 1 u D 1,2 ( ) onde λ, a > 0 são parâmetros reais, h : R + e H são funções satisfazendo certas condições a serem apresentadas ao longo deste estudo e 2 = 2N N 2 é o expoente crítico de Sobolev com N 3 e 0 q < 2 1. Utilizaremos métodos variacionais aplicados a funcionais localmente lipschitziano, usaremos Análise Convexa, Cálculo Subdiferencial, Teorema do Passo da Montanha para funcionais localmente lipschitziano e o Princípio Variacional de Ekeland. vi

8 Abstract In this paper we study the existence, multiplicity and regularity of solutions, we use variational methods applied to locally lipschitziano functionals, for the following class of elliptic problems u = λh(x)h(u a)u q + u 2 1 (P ) u D 1,2 ( ) where λ, a > 0 are parameters, h : R + and H is the function Heaviside, 2 = 2N N 2 critical Sobolev exponent with N 3 and 0 q < 2 1. is the vii

9 Conteúdo Introdução 1 1 Resultados Abstratos 6 2 Sobre um problema elíptico com não linearidade descontínua Lema Lema Lema Lema Resultado Principal 85 A Resultados Importantes 103 B Funcionais Diferenciáveis 107 Bibliografia 115 viii

10 Introdução Neste trabalho vamos considerar a seguinte classe de problemas elípticos u = λh(x)h(u a)u q + u 2 1 (P ) u D 1,2 ( ) onde λ, a > 0, a R são parâmetros, h é uma função não negativa e integrável em, H é a função Heaviside, isto é, 0 se x 0 H(x) = 1 se x > 0, 2 = 2N é o expoente de Sobolev com N 3 e 0 q < N e é o operador Laplaciano N 2 u dado por u =. x 2 i=1 i O espaço que vamos trabalhar será o espaço D 1,2 ( ), o qual é definido por D 1,2 ( ) = {u L 2 ( ); u L 2 ( )} que é o fecho de C 0 ( ) em relação a norma ( u = u 2 dx O espaço D 1,2 ( ) é um espaço de Hilbert munido do produto interno dado por ) 1 2 u, v = u. vdx. Essa classe de problemas, denominado problemas com não linearidade descontínua vem, ao longo dos últimos anos, sendo estudado por vários autores e várias técnicas foram aplicadas. 1

11 para estudar os mesmos, tais como: técnicas variacionais para funcionais não diferenciáveis, sub e super solução, bifurcação global etc. Particularmente, o problema (P) apresenta algumas combinações que, ao menos para o nosso conhecimento, parece ser relevantes. De fato, no problema (P) temos a presença do operador laplaciano que aparece em várias áreas da ciência como Astronomia, Glaciologia e Engenharia do Ambiente. Além disso, problemas envolvendo não linearidade descontínua aparecem em alguns ramos relacionados a física-matemática como por exemplo: são modelos para a condutividade do calor em meios elétricos, modelos de soluções estacionárias para fenômenos químicos e biológicos e é bem conhecido que problemas com não linearidade descontínua aparecem em situações relevantes da Física do Plasma. Ver em [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9] e suas referências. O estudo do problema (P ), foi baseado no artigo de Alves, Bertone e Gonçalves [2], onde os autores usaram técnicas variacionais para funcionais não diferenciáveis afim de estudar sobre existência, multiplicidade e regularidade de soluções. As soluções do problema (P ) serão obtidas através do estudo do funcional energia I λ,a : D 1,2 ( ) R, associado a ele, o qual é dado por I λ,a (u) = 1 u 2 dx λ h(x)f (u)dx 1 (u + ) 2 dx 2 R 2 N u onde F (u) = f(t)dt, f(t) = H(t a)(t + ) q é uma função não decrescente e u + = max{0, u}. 0 Observamos que esse funcional não é diferenciável, pois a parcela h(x)f (u)dx não é diferenciável, uma vez que o problema (P) envolve a função Heaviside, o qual é descontínua. Dessa forma, foi desenvolvida por Chang [14] a teoria dos pontos críticos para funcionais não diferenciáveis, mais especificamente Chang desenvolveu a teoria dos pontos críticos para funcionais localmente lipschitzianos e essa teoria foi baseada na Análise Convexa e no Cálculo Subdiferencial devido a Clarke [15]. Para uma melhor compreensão, esta dissertação está assim desenvolvida: No capítulo 1 apresentamos alguns resultados da teoria dos pontos críticos para funcionais localmente lipschitzianos devido a Chang [14], onde seguindo a dissertação de [23] e a tese de [10] abordaremos algumas definições, observações e propriedades importantes, que serão úteis para a demonstração dos teoremas e lemas apresentados em capítulos posteriores. 2

12 No capítulo 2 iniciaremos apresentando algumas preliminares onde enunciaremos e demonstraremos lemas que serão muito úteis na demonstração do resultado principal. Os principais resultados deste capítulo são: Lema 2.1 Seja h satisfazendo a hipótese (H). Então I λ,a Lip loc (D 1,2 ( ), R) para cada λ, a > 0. Além disso, I λ,a satisfaz a geometria do passo da montanha nas seguintes condições: ii) 0 q 1, a > 0 e λ (0, λ 0 ) para algum λ 0 > 0 ii) 1 < q < 2 1, a > 0 e λ > 0. Lema 2.2 Seja h satisfazendo a hipótese (H), 0 q < 2 1. Se u D 1,2 ( ) e w Φ(u) então w(x) [ h(x)f(u), h(x)f(u) ] q.t.p em R onde f(u) = lim f(t + δ), δ 0 + f(u) = lim f(t δ) e f(t) = H(t a)(t+ ) q. δ 0 + Lema 2.3 Seja h satisfazendo a hipótese (H) e 0 q 2 1. Então I λ,a satisfaz a condição (P S) c desde que satisfaça as condições abaixo : i) 0 q 1 e 0 < c < 1 S N 2 + M N λ ii) 1 < q < 2 1 e 0 < c < 1 S N 2. N Lema 2.4 Seja h satisfazendo (H) e 0 q < 2 1. Se, além disso, ρ > 0 é a constante da geometria do passo da montanha dado pelo Teorema 1.1 e no Lema 2.1, então o nível c do Passo da Montanha satisfaz: i) ρ c < 1 N S 1 N + Mλ para 0 q 1, λ (0, λ 1 ) e a (0, a 1 ) para algum λ 1 > 0 e a 1 > 0 ii) ρ c < 1 N S 1 N para 1 < q < 2 1, λ, a > 0. No capítulo 3 mostraremos a existência de três soluções para o problema (P ) usando o Teorema do Passo da Montanha para funcionais localmente lipschitzianos ( uma versão devido a Chang) e o Princípio Variacional de Ekeland. O resultado principal deste capítulo e da dissertação é dado pelo seguinte resultado: 3

13 Teorema 3.3 Seja h satisfazendo (H) e assuma 0 q < 2 1, λ a > 0. Então, i) Se 0 q 1 existem λ > 0 e a > 0, tal que para λ (0, λ ) e a (0, a ) existe uma função positiva u i = u i (λ, a) D 1,2 ( ) W 2,2 loc (RN ), i = 1, 2 satisfazendo (i) 1 u i = λh(x)h(u i a)u q i + u2 1 i q.t.p em (i) 2 med({u i > a}) > 0 (i) 3 I λ,a (u 2 ) < 0 < I λ,a (u 1 ) ii) Se 1 < q < 2 1, então existe uma função positiva u 0 = u 0 (λ, a) D 1,2 ( ) W 2,2 loc (RN ) tal que (ii) 1 u 0 = λh(x)h(u 0 a)u q 0 + u q.t.p em (ii) 2 med({u 0 > a}) > 0 (ii) 3 I λ,a (u 0 ) > 0. Para completar este estudo colocamos nos apêndices alguns resultados e demonstrações que serão usados no corpo desta dissertação. No apêndice A colocamos alguns resultados que envolvem a teoria de análise funcional, medida e integração e sobre espaços de Sobolev utilizados em nosso estudo. No apêndice B enunciaremos alguns resultados básicos que estão sendo usados na dissertação. Para uma maior clareza deste trabalho repetiremos o problema e os enunciados dos principais resultados nos seus respectivos capítulos. 4

14 Notações:. =. D 1,2 ( ). 2 =. L 2 ( ). =. (D 1,2 ( )). α =. L α ( ) Lip loc (X, R) : denota o espaço dos funcionais localmente lipschitzianos med(a) : é a medida de Lebesgue do conjunto A : convergência fraca..,. : par de dualidade. u = u(x). v = v(x). (u > a): o conjunto {x ; u(x) > a} 5

15 Capítulo 1 Resultados Abstratos Neste capítulo apresentaremos algumas propriedades envolvendo funcionais localmente lipschitziano e Gradiente Generalizado da teoria dos pontos críticos desenvolvida por Clarke [15] e Chang [14], colocaremos algumas definições e propriedades importantes que serão muito úteis no desenvolvimento desta dissertação. Definição 1.1 Seja X um espaço de Banach e I : X R. Dizemos que I é um funcional localmente lipschitziano (I Lip loc (X, R)) se dado u X, existir uma vizinhança V = V u X de u e uma constante k = k V > 0 tal que I(v 2 ) I(v 1 ) k v 2 v 1, v i V, i = 1, 2. (1.1) Definição 1.2 A Derivada Direcional Generalizada de um funcional I : X R, em um ponto u X na direção de v X, denotado por I 0 (u; v) é definida por I 0 (u; v) = lim sup h 0 λ 0 I(u + h + λv) I(u + h), v X. λ Definição 1.3 O Gradiente Generalizado de I Lip loc (X, R) no ponto u X é o conjunto I(u) X, onde X é o dual topológico de X, definido por I(u) = {µ X ; I 0 (u; v) µ, v X X, v X} onde, é o par de dualidade entre X e X. Desde que I 0 (u; 0) = 0, segue-se que I(u) = I 0 (u; 0). 6

16 Uma propriedade importante do gradiente generalizado é a seguinte: Se u X então I(u) é um conjunto convexo, não vazio e fraco -compacto. Defininos m(u) = min{ w ; w I(u)}. Em particular, como I(u) é o conjunto convexo, não vazio e fraco -compacto existe w I(u) X tal que m(u) = min{ w ; w I(u)}. Note que I(u) = {I (u)} quando I C 1 (X; R). Definição 1.4 Uma sequência (u n ) X é uma sequência Palais-Smale no nível c ((P S) c ) se onde m(u n ) = min{ ω n ; ω I(u n )} R. Definição 1.5 Um funcional I Lip loc (X, R) satisfaz a condição (P S) c, se toda sequência (P S) c possui uma subsequência fortemente convergente. A seguir iremos mostrar algumas propridades da Derivada Direcional Generalizada, as quais podem também ser encontradas em [23] (A 1 ) I 0 (u;.) : X R é subaditiva e homôgenea positiva, isto é, para todo u X temos (a) I 0 (u; v 1 + v 2 ) I 0 (u; v 1 ) + I 0 (u; v 2 ), v 1, v 2 X (b) I 0 (u; kv) = ki 0 (u; v), v X, k 0 (A 2 ) I 0 (u; v) k v, onde k satisfaz (1.1) e depende do conjunto aberto V = V u, para cada u X. (A 3 ) I 0 (u; v) + I 0 (u; t) k v t, para todo v, t X, isto é, I 0 (u;.) : X R é uma função Lip loc (X, R), com constante k. (A 4 ) I 0 (u : v) k v, onde k satisfaz (1.1) e depende do conjunto aberto V u, para cada u X. 7

17 Demonstração: Vamos mostrar a propriedade (A 3 ). As A 1, A 2 e A 4 estam demonstradas em [23]: Observe que de (A 1 ) I 0 (u; v) = I 0 (u; v t + t) I 0 (u; v t) + I 0 (u; t) e I 0 (u; t) = I 0 (u; t v + v) I 0 (u; t v) + I 0 (u; v). Assim, I 0 (u; v) I 0 (u; t) I 0 (u; v t) I 0 (u; v t) e por (A 2 ) I 0 (u; v) I 0 (u; t) k v t. (1.2) Por outro lado, I 0 (u; v) I 0 (u; t) I 0 (u; t v) I 0 (u; t v) donde segue de (A 2 ) I 0 (u; t) I 0 (u; v) k t v = v t. (1.3) De (1.2) e (1.3) I 0 (u; v) I 0 (u; t) k v t. Lema 1.1 Dados u, v X, tem-se I 0 (u; v) = max{ µ, v ; µ I(u)}. 8

18 Demonstração: De fato, dados u, v X, defina o seguinte funcional: γ u : v R w = tv γ u, w = ti 0 (u; v). Afirmamos que γ u é um funcional linear, pois dado w 1, w 2 v, com w 1 = t 1 v e w 2 = t 2 v e c R, temos w 1 + cw 2 = (t 1 + ct 2 )v, ou seja, γ u, (w 1 + cw 2 ) = (t 1 + ct 2 )I 0 (u; v), isto é, γ u, (w 1 + cw 2 ) = t 1 I 0 (u; v) + ct 2 I 0 (u; v) = γ u, w 1 + c t 2, w 2. Por um raciocínio análogo usado no Lema A.3 (apêndice A) mostra-se que γ u, w I 0 (u; w), w v. Donde segue-se, pelo Teorema de Hahn-Banach (apêndice A) e de (A 1 ), que existe um funcional linear γ u definido em X tal que γ u, w I 0 (u; w), w X (1.4) e γ u, w = ti 0 (u; v), tv v, assim γ u, v = I 0 (u; v). (1.5) De (1.5) e (1.4) γ u, w k w, w X, 9

19 mostrando que γu é um funcional linear contínuo, isto é, γu X. Sendo assim, segue de (1.4), que γu I(u). De (1.5) γu, v γ, v, γ I(u). Logo, γu, v é uma cota superior do conjunto { γ, v ; γ I(u)} e γu, v { γ, v ; γ I(u)}, pois γu X e satisfaz a desigualdade (1.4). Sendo assim, podemos concluir que I 0 (u; v) = γ u, v = max{ γ, v ; γ I(u)}, v X, demonstrando o Lema. Lema 1.2 Para cada u X, existe ξ 0 I(X) tal que ξ 0 = min{ ξ ; ξ I(u)}. Demonstração: Para mostrar este lema, basta mostrar que o ínfimo do conjunto A = { ξ ; ξ I(u)} R é atingido. Primeiramente, observe que o conjunto A é limitado inferiormente, pois ξ 0, ξ I(u). Definamos c I (u) inf{ ξ ; ξ I(u)}. Logo, c I (u) é ponto aderente do conjunto A, e assim existe uma sequência (ξ n ) I(u) tal que ξ c I (u). (1.6) 10

20 Note que (ξ n ) I(u) B k(u) (0) X, onde B k(u) (0) compacto na topologia fraca. Segue, pelo fato de (ξ n ) B k(u) (0), que existe uma subsequência (ξ nj ) de (ξ n ) e ξ 0 X tal que ξ nj c I (u). (1.7) Sendo I(u) fechado fraca, concluímos que ξ 0 I(u). Defina agora a seguinte função De (1.7) ϕ : X R ξ ϕ(ξ) = ξ. para todo sequência (ξ n ) X tal que lim inf ϕ(ξ n) ϕ(ξ), (1.8) n + ξ n ξ em X. De (1.6), (1.7) em (1.8), temos c I (u) = lim inf n j + ξ n j ξ 0. Donde segue-se, pelo fato de c I (u) = inf A, que c I (u) = ξ 0, pois ξ 0 I(u), mostrando que o ínfimo do conjunto A é atingido. Como foi dito na introdução, na demonstração do resultado principal desta dissertação usaremos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para funcionais localmente lipschitziano, o qual foi demonstrado po Chang [14], usando uma variante apropriada do Lema de Deformação, tal resultado pode ser encontrado também em [18]. A seguir enunciaremos tal resultado: 11

21 Teorema 1.1 (Teorema do Passo da Montanha ) (ver [2]) Seja X um espaço de Banach e I : X R um funcional Lip loc (X, R) tal que I(0) = 0 e suponhamos que (i) Existem constantes α, ρ > 0 tais que I(u) ρ se u = α. (ii) Existe e D 1,2 ( ), e > α tal que I(e) 0. Seja c = inf γ Γ max t [0,1] I((γ(t)), onde Γ = {γ C([0, 1], X); γ(0) = 0 e γ(1) = e}. Então, c ρ e existe alguma sequência (u n ) X tal que I(u n ) c e m(u n ) 0. 12

22 Capítulo Sobre um problema elíptico com não linearidade descontínua 2 Neste capítulo, enunciaremos e demonstraremos alguns lemas, nos quais usaremos técnicas variacionais associadas a funcionais localmente lipschitzianos, afim de obter existência, multiplicidade e regularidade de soluções para o seguinte problema: u = λh(x)h(u a)u q + u 2 1 (P ) u D 1,2 ( ) onde λ, a > 0 são parâmetros reais, h : R + é uma função não negativa e integrável em, satisfazendo a seguinte condição h L α ( ) L 1 ( ) onde α = H é a função Heaviside, a qual recordamos que é dada por 0 se x 0 H(x) = 1 se x > 0, 2 2 (q + 1), (H) e 2 = 2N N 2 é o expoente crítico de Sobolev para N 3 e 0 q < 2 1. Para obtermos existência, multiplicidade e regularidade de soluções para o problema (P), vamos fazer a distinção de dois casos para o expoente q, a saber: 0 q 1 e 1 < q < 2 1. Como foi dito na introdução, vamos trabalhar com o espaço de Hilbert 13

23 D 1,2 ( ) = {u L 2 ( ); u L 2 ( )} e o funcional energia I λ,a : D 1,2 ( ) R, associado ao problema (P ), o qual é definido por onde Q, Φ e Ψ são funcionais dados por I λ,a (u) = Q(u) λφ(u) Ψ(u), (2.1) Q(u) = 1 u 2 dx, Φ(u) = h(x)f (u)dx e 2 Ψ(u) = 1 (u + ) 2 dx, 2 e F (u) = u 0 f(t)dt, com f(t) = H(t a)(t + ) q sendo função não decrescente e u + max{u, 0}. Desde que estamos trabalhando com o espaço D 1,2 ( ) recordemos que a única imersão que temos é a seguinte imersão contínua D 1,2 ( ) L 2 ( ) e a melhor constante desta imersão é denotada por S e definida por { } u 2 dx S = inf ; u D 1,2 ( ), u 0. u 2 2 Para 0 q 1, vamos considerar g : [0, ) R uma função definida por Fazendo M λ = min g(t) notemos que t [0, ) g(t) = S ( 1 N t2 + λ 2 1 ) h α t q+1. q + 1 M λ = Mλ 2 1 q se 0 q < 0 0 se q = 1 onde M é uma constante positiva dependente de q, h α e N, M λ 0 quando λ 0. 14

24 2.1 Lema 2.1 Nesta seção vamos mostrar que o funcional I λ,a Lip loc (D 1,2 ( ), R) e satisfaz a geometria do passo do montanha para funcionais Lip loc (D 1,2 ( ), R). Lema 2.1 Seja h satisfazendo a hipótese (H). Então I λ,a Lip loc (D 1,2 ( ), R) para cada λ, a > 0. Além disso, I λ,a satisfaz a geometria do passo da montanha nas seguintes condições: (i) 0 q 1, a > 0 e λ (0, λ 0 ) para algum λ 0 > 0 (ii) 1 < q < 2 1, a > 0 e λ > 0. Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar que I λ,a Lip loc (D 1,2 ( ), R) para cada λ, a > 0. De fato, recordemos que I λ,a (u) = Q(u) λφ(u) Ψ(u) onde Q(u) = 1 u 2 dx, Φ(u) = h(x)f (u)dx e 2 Ψ(u) = 1 (u + ) 2 dx. 2 Consideremos V = V u u, v V temos Φ(u) Φ(v) = = = = D 1,2 ( ) uma vizinhança de u D 1,2 ( ). Assim, para todo h(x)f (u)dx h(x)f (v)dx R N ( u ) ( v ) h(x) f(t)dt dx h(x) f(t)dt dx 0 0 ( u ) ( v ) h(x) H(t a)(t + ) q dt dx h(x) H(t a)(t + ) q dt dx 0 0 ( u v ) h(x) H(t a)(t + ) q dt H(t a)(t + ) q dt dx 0 0, 15

25 ou seja, Φ(u) Φ(v) = = ( ( 0 h(x) H(t a)(t + ) q dt + u ( v ) h(x) H(t a)(t + ) q dt dx u v h(x) H(t a)(t + ) q dt R dx. N u v 0 )) H(t a)(t + ) q dt dx Sendo H(t a) 1 obtemos, Φ(u) Φ(v) = = v h(x) (t + ) q dtdx u RN v h(x) t q+1 dx q + 1 u RN h(x) v q+1 u q+1 dx. (2.2) q + 1 Considere f : [u(x), v(x)] R contínua e derivável em (u(x), v(x)) então pelo Teorema do Valor Médio (apêndice (B)) existe ξ (u(x), v(x)) tal que f (ξ) = f(v(x)) f(u(x)). (2.3) v(x) u(x) Tomando f(t) = t q+1, de (2.3) temos que (q + 1). ξ q = v(x) q+1 u(x) q+1. v(x) u(x) Assim, (v(x) u(x)). ξ q = v(x) q+1 u(x) q+1. q

26 Substituindo em (2.2) teremos Φ(u) Φ(v) h(x)(v(x) u(x)). ξ q dx h(x) v(x) u(x) ξ q dx. Tomando ξ(x) q max{ u(x) q v(x) q } = w(x) q obtemos, Φ(u) Φ(v) h(x) w(x) q v(x) u(x) dx. Desde que h L α ( ), w L 2 q ( ) e (v u) L 2 ( ) com α 2 q 2 e 1 = q = 1 = 1, e h.w.(v u) L 1 ( ) pela desigualdade de Hölder (apêndice A) temos que α 2 2 Φ(u) Φ(v) h(x) w(x) q v(x) u(x) dx h α w q 2 v u 2. Usando a imersão contínua D 1,2 ( ) L 2 ( ) para N 3 segue-se, v u 2 k v u. Assim, existe uma vizinhança limitada, V = V u D 1,2 ( ) de u tal que onde K = k h α sup w V ( w(x) q 2 ). Φ(u) Φ(v) k h α sup( w(x) q 2 ) v u K v u, w V Assim, Φ Lip loc (D 1,2 ( ), R) e desde que Q, Ψ C 1 (D 1,2 ( ), R) (apêndice A) segue que I λ,a Lip loc (D 1,2 ( ), R) para cada λ, a > 0. Mostraremos agora que I λ,a satisfaz a geometria do passo da montanha. De fato, temos que I λ,a (u) = 1 u 2 dx λ h(x)f (u)dx 1 (u + ) 2 dx 2 R 2 N = 1 u 2 u 2 λ h(x) H(t a)(t + ) q dtdx u 2 2. (2.4) 17

27 Como H 1, temos Desde que u q+1 λ h(x) u 0 H(t a)(t + ) q dtdx λ h(x) u q+1 dx. q + 1 L 2 q+1 ( ) e h L α ( ) L 1 ( ) com 1 α 2 q+1 < então, h.u q+1 L 1 ( ), logo usando a desiguadade de Hölder obtemos Assim, λ h(x) u 0 λ h(x) u q+1 dx q + 1 H(t a)(t + ) q dtdx Substituindo (2.5) em (2.4) segue-se que λ q + 1 h α u q+1 2. λ h(x) u q+1 dx q + 1 λ q + 1 h α u q+1 2. (2.5) temos I λ,a (u) 1 2 u 2 λ q + 1 h α u q u 2 2. (2.6) Agora, desde que S é a melhor constante de Sobolev na imersão D 1,2 ( ) L 2 ( ), S u 2 u 2 2 assim, daí, u 2 S 1 2 u u q+1 q+1 2 S 2 u q+1 (2.7) e u 2 2 (2 ) S 2 u 2. (2.8) 18

28 De (2.7) e (2.8) em (2.6) resulta que I λ,a (u) 1 2 u 2 λ q + 1 h αs (q+1) 2 u q S (2 ) 2 u 2 = 1 2 u 2 λ q + 1 h αs (q+1) 2 u q 1 u S (2 ) 2 u 2 2 u 2 u 2 ( 1 2 λ q + 1 h αs (q+1) 2 u q S (2 ) 2 u 2 2 ). Fazendo δ = S (q+1) 2 q + 1 h α e β = S (2 ) 2. 2 temos ( ) 1 I λ,a (u) u 2 2 λδ u q 1 β u 2 2. Agora vamos fazer a distinção entre os dois casos abaixo: Caso (i) 0 q 1 e λ (0, λ 0 ) para algum λ 0 > 0. Considere p(s) = 1 2 βs2 2 e observe que p(s) > 1 4 se s r ( 1 4β ) N 2 4. De fato, note que βs2 > s2 > β 4 β 2 = 1 4β 2 s2 < 1 4β s <( 1 4β ) Desde que 2 = Assim, 2N N 2 obtemos s < ( ) N β p(s) λδs q 1 > 1 8 se λ λ 0 = 1 8δr q 1. Observe que p(s) λδs q 1 > 1 (( ) N 2 ) 1 4 λδ 4 q 1 = 1 ( ) N 2 1 4β 4 λδ 4 (q 1) 4β 19

29 note que, (( λδ 4β Logo, u = r temos ) (N 2) ) 4 q 1 > 1 (( 1 8 λδ 4β λδr q 1 > 1 8 λ > 1 8δr q 1 λ < 1 8δr q 1 = λ 0. ( ) 1 I λ,a (u) r 2 2 λδrq 1 βr 2 2 ( 1 r ) 8δr q 1 δrq 1 βr 2 2 ( 1 r ) 8 2 βr2 ( r 2 p(s) 1 ) 8 ( 1 r ) 8 ) (N 2) ) 4 q 1 > 1 8 r2 8. tomando ρ = r2 8 temos que I λ,a (u) ρ quando u = r para λ (0, λ 0 ). Agora seja ϕ D 1,2 ( ) fixado com ϕ > 0. Considere γ > 0 e faça u = γϕ em (2.4). Assim, I λ,a (γϕ) = γ2 2 ϕ 2 dx λ h(x) γϕ 0 H(t a)(t + ) q dtdx γ2 2 (ϕ + ) 2 dx. 20

30 Desde que H 0 ( H 0) então I λ,a (γϕ) γ2 2 RN ϕ 2 dx γ2 2 (ϕ + ) 2 dx e como 1 < 2 < 2 teremos I λ,a (γϕ) quando γ +. Logo, existe e = γ 0 ϕ tal que I λ,a (e) < 0 com e > r. Portanto, para 0 q 1 existe λ 0 > 0 tal que para λ (0, λ 0 ), o funcional I λ,a satisfaz a geometria do passo da montanha. Caso(ii) 1 < q < 2 1, a > 0 e λ > 0. Considere p(s) = λδs q 1 + βs 2 2, segue que p(s) 0 quando s 0 assim, existe r > 0 tal que p(r) < 1 4. Daí, 1 2 p(r) > 1 4 para u = r assim, 1 2 p( u ) > 1 4. Dessa maneira, ( ) ( ) 1 I λ,a (u) r 2 2 λδrq 1 βr = r 2 p(r) > r

31 Assim, I λ,a (u) > r2 4, fazendo ρ = r2 4 > 0 então, I λ,a (u) > ρ, u = r. Agora seja, ϕ D 1,2 ( ), ϕ > 0 fixado e considere γ > 0. Fazendo u = γϕ em (2.4), desde que H 0 ( H 0), segue-se que I λ,a (γϕ) γ2 2 RN ϕ 2 dx γ2 2 (ϕ + ) 2 dx. Como 2 < 2 = 2N, para N 3 temos N 2 I λ,a (γϕ) quando γ +. Portanto existe e = γ 0 ϕ tal que I λ,a (e) 0 com e > r para algum e D 1,2 ( ), γ 0 > 0. Dessa forma I λ,a satisfaz a geometria do passo da montanha para 1 < q < 2 e a, λ > Lema 2.2 Nesta seção iremos enunciar e demonstrar o seguinte lema técnico, o qual é de grande importância para as seções posteriores. Lema 2.2 Seja h satisfazendo a hipótese (H), 0 q < 2 1. Se u D 1,2 ( ) e w Φ(u) então w(x) [ h(x)f(u), h(x)f(u) ] q.t.p em onde f(u) = lim f(t + δ), δ 0 + f(u) = lim f(t δ) e f(t) = H(t a)(t+ ) q. δ

32 Demonstração: Seja v C 0 ( ), µ n 0 em D 1,2 ( ) e δ n 0 + tal que ou seja, Φ 0 (u, v) = Φ 0 (u, v) = lim sup n + Por definição de Φ temos Φ(u + µ n + δ n v) Φ(u + µ n ) lim sup v C0 ( ), (2.9) µ n 0 δ n 0 + δ n Φ(u + µ n + δ n v) Φ(u + µ n ) δ n, v C 0 ( ). Φ(u + µ n + δ n v) = h(x)f (u + µ n + δ n v)dx (2.10) e Φ(u + µ n ) = h(x)f (u + µ n )dx. (2.11) Substituindo (2.10) e (2.11) em (2.9) obtemos Φ 0 (u, v) = lim sup n h(x)f (u + µ n + δ n v)dx h(x)f (u + µ n )dx δ n, v C 0 ( ) logo, Φ 0 (u, v) = lim sup n h(x) ( F (u + µ n + δ n v) F (u + µ n ) ) dx δ n, v C 0 ( ). Podemos escrever lim sup h(x) ( F (u + µ n + δ n v) F (u + µ n ) ) dx n da seguinte maneira [ ] Φ 0 (u, v) = lim sup h(x)g n (v(x))dx + h(x)g n (v(x))dx n {v>0} {v<0} v C 0 ( ) (2.12) 23

33 onde G n (v(x)) = 1 δ n ( F (u + µn + δ n v) F (u + µ n ) ). Desde que µ n 0 em D 1,2 ( ), da imersão contínua D 1,2 ( ) L 2 ( ), obtemos a menos de subsequência que µ n 0 em L 2 ( ). Além disso, µ n (x) 0 q.t.p em. Assim, para cada x tal que v(x) > 0 obtemos pelo Teorema do Valor Médio que existe θ(x) (u(x) + µ n (x), u(x) + µ n (x) + δ n (x)v(x)) tal que F (θ(x)) = F (u(x) + µ n(x) + δ n v(x)) F (u(x) + µ n (x)). δ (n) v(x) Logo, ou seja, Desde que f(θ(x))v(x) = F (u(x) + µ n(x) + δ n (x)v(x)) F (u(x) + µ n (x)), δ n v(x) G n (v(x)) = f(θ(x))v(x). u(x) + µ n (x) < θ(x) < u(x) + µ n (x) + δ n v(x) passando ao limite de n + e como v C 0 ( ) segue-se que θ(x) = u(x) q.t.p em. Assim, G n (v(x)) = f(u(x))v(x) e sendo f não decrescente, temos G n (v(x)) = f(u(x))v(x) f(u(x) + δ n )v(x). 24

34 Então, Observemos que lim sup h(x)g n (v(x)) h(x)f(u(x))v(x) q.t.p em. n h(x) h(x)g n (v(x)) = [F (u(x) + µ n (x) + δ n v(x)) F (u(x) + µ n (x))] δ n h(x) u(x)+µn(x)+δnv(x) = H(t a)(t + ) q dt h(x) δ n 0 δ n 0 = h(x) u(x)+µn(x)+δ nv(x) H(t a)(t + ) q dt δ n. Como H 1 obtém-se u(x)+µ n(x) u(x)+µn(x)+δ nv(x) u(x)+µn(x) H(t a)(t + ) q dt h(x)g n (v(x)) h(x) t q dt δ n u(x)+µ n(x) h(x) [ u(x) + µn (x) + δ n v(x) q+1 u(x) + µ n (x) q+1 ]. (2.13) (q + 1) δ n Seja g : [0, 1] R definida por g(t) = h(x) u(x) + µ n (x) + tδ n v(x) q+1. Como g é contínua em [0, 1] e diferenciável em (0, 1) então pelo Teorema do Valor Médio dado 0 < δ n < 1, existe θ n (0, 1) tal que g(1) g(0) = g (θ n )(1 0). Observe que (a) g(1) = h(x) u(x) + µ n (x) + δ n v(x) q+1 (b) g(0) = h(x) (u(x)) + µ n (x) q+1 (c) g (θ n ) = (q + 1)h(x) u(x) + µ n (x) + θ n δ n v(x) q δ n v(x). 25

35 Considerando por um momento a seguinte notação µ n (x) = µ n e u(x) = u e v(x) = v então, ) h(x) ( u + µ n + δ n v q+1 u + µ n q+1 (q + 1). δ n = h(x) u + µ n + θ n δ n v q v. (2.14) Substituindo (2.14) em (2.13) obtemos h(x)g n (v(x)) h(x) u(x) + µ n (x) + θ n δ n v(x) q v(x). Assim, u(x) + µ n (x) + θ n δ n v(x) q (3 max{u(x), µ n (x), θ n δ n v(x)}) q 3 q max{u(x) q, µ n (x) q, (θ n δ n v(x)) q } 3 q u(x) q + 3 q µ n (x) q + 3 q (θ n δ n v(x)) q 3 q ( u(x) q + µ n (x) q + θ n δ n v(x) q ) = 3 q ( u(x) q + µ n (x) q + θ n q δ n q v(x) q ). Como θ n (0, 1) e 0 < δ n < 1 então θ n δ n < 1, implicando que θ n q δ n q < 1. Logo, h(x)g n (v(x)) 3 q h(x)( u(x) q + µ n (x) q + v(x) q ) v(x) = 3 q h(x)( u(x) q v(x) + µ n (x) q v(x) + v(x) q+1 ). Portanto, h(x)g n (v(x)) C(h(x) u(x) q v(x) + h(x) µ n (x) q v(x) + h(x) v(x) q+1 ). Desde que µ n 0 em D 1,2 ( ), então a menos de subsequência µ n 0 em L 2 ( ), µ n 0 q.t.p. e existe τ L 2 ( ) tal que µ n (x) τ(x) q.t.p em, assim, h(x)g n (v(x)) C(h(x) u(x) q v(x) + h(x) τ(x) q v(x) + h(x) v(x) q+1 ). 26

36 Como h L α ( ), u q L 2 q ( ), v L 2 ( ) e τ q L 2 q ( ) com 2 (q+1) 2 + q = 1. Pela desigualdade de Hölder h. u q. v L 1 ( ) e v.h. µ q L 1 ( ). Além disso, como v q+1 L 2 q+1 ( ), h L α ( ) e q (q+1) 2 = 1 usando novamente a desigualdade de Hölder v q+1.h L 1 ( ). Portanto, h u q v + h µ q v + h v q+1 L 1 ( ). Desde que segue do Lema de Fatou (apêndice A) lim sup h(x)g n (v(x)) f(u(x))v(x), n lim sup h(x)g n (v(x))dx n {v>0} {v>0} {v>0} lim sup h(x)g n (v(x))dx n f(u(x))v(x)dx, ou seja, lim sup h(x)g n (v(x))dx n {v>0} {v>0} f(u(x))v(x)dx. (2.15) Usando um raciocínio análogo feito anteriormente temos lim sup h(x)g n (v(x))dx n {v<0} Portanto de (2.15) e (2.16) segue de (2.12) {v<0} f(u(x))v(x)dx. (2.16) Φ 0 (u, v) f(u(x))v(x)dx + f(u(x))v(x)dx, v C0 ( ). {v>0} {v<0} 27

37 Desde que v D 1,2 ( ) = C 0 ( ), para todo v D 1,2 ( ) existe (v n ) C 0 ( ) tal que v n v D 1,2 ( ). Note que Φ 0 (u, v n ) Φ 0 (u, v), v D 1,2 ( ). De fato, sabemos que Φ 0 (u;.) : D 1,2 ( ) R é uma função Lipschitziana com constante k. Daí, Φ 0 (u; v n ) Φ 0 (u; v) k v n v 0 quando n +. Assim, por densidade obtemos Φ 0 (u, v) h(x)f(u(x))v(x)dx + h(x)f(u(x))v(x)dx v D 1,2 ( ).(2.17) {v>0} {v<0} Considere ω I(u) (L 2N N 2 ( )) e suponhamos, por contradição que existe A com med(a) > 0 tal que Então, ω(x) < h(x)f(u(x)) em A. A ω(x)dx < A h(x)f(u(x))dx. (2.18) Assim, existe B A tal que 0 < med(b) < + ou seja, B ω(x)dx < B h(x)f(u(x))dx. Note que ω(x)( χ B )dx = B ω(x)dx (2.19) 28

38 onde χ B é a função característica de B e χ B L 2 ( ). Desde que ω (L 2 ( )), pelo Teorema da Representação de Riesz (apêndice A) existe um único u L 2 ( ) tal que < ω, v > = u.vdx, v L 2 ( ). Em particular fazendo v = χ B e como ω Φ(u) então < ω, χ B >= u.( χ B )dx. Por identificação obtemos < ω, χ B > = ω.( χ B )dx (2.20) Da definição de Φ(u) temos < ω, χ B > Φ 0 (u, χ B ). (2.21) De (2.17),(2.19),(2.20) e (2.21) obtemos ω(x)dx B = ω(x)( χ B )dx = < ω, χ B > Então, Φ 0 (u, χ B ) h(x)f(u(x))( χ B )dx + { χ B <0} { χ B >0} h(x)f(u(x))( χ B )dx. ω(x)dx B { χ B <0} h(x)f(u(x))( χ B )dx, (2.22) 29

39 ou seja, isto é, Logo, ω(x)dx B { χ B <0} h(x)f(u(x))( χ B )dx = h(x)f(u(x))dx. { χ B <0} ω(x)dx h(x)f(u(x))dx, B B O que é uma contradição. Logo, h(x)f(u(x))dx B B ω(x)dx. ω(x) h(x)f(u(x))dx q.t.p. em. Usando um raciocínio análogo feito anteriormente temos ω(x) h(x)f(u(x))dx q.t.p. em. Portanto u D 1,2 ( ) e ω Φ(u) de onde concluimos que ω(x) [h(x)f(u), h(x)f(u)] q.t.p em. 2.3 Lema 2.3 Nesta seção demonstraremos que o funcional I λ,a satisfaz a condição (P S) c sob certas condições e para tal usaremos os Lema 2.1 e

40 Lema 2.3 Seja h satisfazendo a hipótese (H) e 0 q 2 1. Então I λ,a satisfaz a condição (P S) c desde que satisfaça as condições abaixo : (i) 0 q 1 e 0 < c < 1 N S N 2 + M λ (ii) 1 < q < 2 1 e 0 < c < 1 N S N 2 onde M λ = min t [0, ) g(t), g(t) = S N t2 λ( q+1 ) h αt q+1. Demonstração: Seja (u n ) D 1,2 ( ) satisfazendo I λ,a (u n ) c, m(u n ) 0. Recorde que I λ,a (u) = Q(u) λφ(u) Ψ(u), onde Q(u) = 1 u 2 dx, Φ(u) = h(x)f (u)dx, 2 Ψ(u) = 1 (u + ) 2 dx. 2 Observe que Q (u)ϕ = u ϕdx e Ψ (u)ϕ = u 2 1 ϕdx. Considere (w n ) I λ,a (u n ) (D 1,2 ( )) tal que m(u n ) = w n, existe (ρ n ) Φ(u n ) (D 1,2 ( )) satisfazendo w n = Q (u n ) λρ n Ψ (u n ), (2.23) o que implica w n, ϕ = Q (u n )ϕ λ ϕ n, ϕ ψ (u n )ϕ, ϕ D 1,2 ( ). 31

41 Mostraremos agora que (u n ) é limitada em D 1,2 ( ). Em primeiro lugar, de (2.17) temos Φ 0 (u n, ϕ) h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx + h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx, {ϕ<0} {ϕ>0} para todo ϕ D 1,2 ( ). Daí, como (ρ n ) Φ(u n ), por definição de Φ(u n ) temos ρ n, ϕ Φ 0 (u n ; ϕ) h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx + h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx {ϕ<0} {ϕ>0} Vamos considerar que ϕ 0 então, h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx = 0 {ϕ>0} Logo, e desde que ρ n, ϕ Φ 0 (u n ; ϕ) h(x)f(u n (x))ϕ(x)dx {ϕ<0} e H 1 temos f(u n )ϕ = lim δ 0 + f(u n δ)ϕ = lim δ 0 + H(u n δ a)(u + n ) q.ϕ = H(u n a)(u + n ) q, f(u n )ϕ (u + n ) q ϕ, desde que, (u + n ) q 0 e ϕ 0. Então, f(u n )ϕ (u + n ) q ϕ 0 Logo, ρ n, ϕ Φ 0 (u n, ϕ) h(x)f(u n )ϕdx 0. {ϕ<0} 32

42 Portanto, ρ n, ϕ Φ 0 (u n, ϕ) 0 para ϕ 0. De (2.23) temos wn, u n = Q (u n ).u n λρ n, u n Ψ (u n ).u n = u n. u n dx + λ ρ n, u n (u + n ) 2 1 u n dx. Iremos fazer os cálculos das parcelas. Pela ortogonalidade das sequências de funções u + n e u n, a integral (u + n ) 2 1 u n dx = 0. Além disso, u n = u + n u n assim, u n. u n dx = (u + n u n ). u n dx = u + n. u n dx u n. u n dx R N = u n 2 dx = u n 2. Observe que λ ρ n, u n λφ 0 (u n, u n ) 0 para u n 0. Logo, wn, u n u n 2 + λφ 0 (u n, u n ) u n 2. Daí, wn, u n u n 2. 33

43 Além disso, u n 2 w n, u n = ( wn, u n ) wn, u n wn. u n. Assim, u n 2 w n. u n. Recorde que w n = m(u n ) 0, então existe C 2 > 0 tal que w n C 2. Portanto, u n C 2. Suponhamos por contradição que u n L > 0 e 0 < ɛ < L tal que w n < ɛ para n suficiemente grande. Desde que u n 2 w n. u n então, u n 2 w n. u n 0, ou seja, u n 2 ɛ. u n u n 2 w n. u n 0. Agora passando ao limite de n + encontramos lim n ( u n 2 ɛ. u n ) = lim u n 2 lim ɛ u n = L 2 Lɛ 0 n n Logo, L ɛ. O que é uma contradição. 34

44 Portanto, u n 0. De (2.23) obtemos w n + λρ n = Q (u n ) Ψ (u n ). Assim, w n + λρ n, u n = Q (u n ).u n Ψ (u n ).u n = u n. u n dx (u + n ) 2 1 u n dx = u n 2 dx (u + n ) 2 1 u n dx. Logo, I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n = 1 u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx 2 1 u 2 2 n dx 1 u R 2 n 2 dx N (u + n ) 2 1 u n dx. (2.24) Recorde que u n = u + n u n. Logo, I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n = 1 u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx 2 1 u 2 2 n dx 1 u R 2 n 2 dx N (u + n ) 2 1 (u + n u n )dx. Pela ortogonalidade das funções u + n, u n a integral 1 (u + 2 n ) 2 u n dx = 0. 35

45 Assim, I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n = 1 u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx 2 1 u 2 2 n dx 1 u R 2 n 2 dx + 1 u 2 2 N n dx R ( N 1 = 2 1 2) u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx. Como Temos, = 1 2 N 2 2N = 1 N e Φ(u n) = h(x)f (u n )dx. I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n = 1 N u n 2 dx λφ(u n ). Desde que (u n ) é uma sequência (P S) c, existe C 3 > 0 tal que I λ,a (u n ) C 3 n N. Note que I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n = I λ,a (u n ) [ w n + λρ n, u n ] C [ w n + λρ n, u n ] C w n, u n λρ n, u n C 3 + C 4 u n + λ 2 ρ n, u n. Como (ρ n ) Φ(u n ), conclui-se ρ n, v Φ 0 (u n ; v), v D 1,2 ( ). 36

46 Assim, da desigualdade (2.17) do Lema 2.2 como (u n ) D 1,2 ( ) e fazendo v = u n obtemos Φ 0 (u n ; u n ) h(x)f(u n )u n dx + h(x)f(u n )u n dx. {u n<0} {u n>0} Lembrando que h(x)f(u n ) h(x)f(u n ) h(x)(u + n ) q, temos, Φ 0 (u n ; u n ) h(x)(u + n ) q u n dx + h(x)(u + n ) q u n dx. {u n<0} {u n>0} Recorde que v n = u n u, logo Φ 0 (u n ; u n ) h(x)(u + n ) q (u + n u n )dx + h(x)(u + n ) q (u + n u n )dx. {u n<0} {u n>0} Como a primeira integral está definida para {u n < 0} então, h(x)(u + n ) q (u + n u n )dx = 0. Assim, {u n<0} Φ 0 (u n ; u n ) Consequentemente, Φ 0 (u n ; u n ) Portanto, h(x)(u + n ) q+1 dx h(x)(u + n )u n dx. {u n>0} {u n>0} h(x)(u + n ) q+1 dx h(x) u n q+1 dx. {u n>0} ρ n, u n Φ 0 (u n ; u n ) h(x) u n q+1 dx h(x) u n R R q+1 dx. N N 37

47 Como h L α ( ) L 1 ( ), (u q+1 n ) L 2 q+1 ( ) e 1 + q+1 = 1 então da desegualdade de α 2 Hölder (h.u q+1 n ) L 1 ( ) e e daí, h(x). u n q+1 dx h α u n q+1 2. Assim, das imersões contínuas temos u n q+1 q+1 2 S 2 u n q+1. Logo, Portanto, ρ n, u n h(x). u n q+1 h α u n q+1 2 h αs q+1 2 un q+1 λ 2 ρ n, u n λ 2 h αs q+1 2 un q+1. I λ,a (u n ) 1 2 w n + ρ n, u n C 3 + C 4 u n + λ q+1 S 2 h α u 2 n q+1, onde 1 N u n 2 λφ(u n ) = I λ,a (u n ) 1 2 w n + λρ n, u n. Recordemos que no Lema 2.1, Daí, Assim, λ h(x) u 0 H(t a)(t + ) q dtdx λ q+1 q + 1 S 2 h α u n q+1 λφ(u n ) λ q+1 q + 1 S 2 h α u n q+1. 1 N u n 2 λ q+1 q + 1 S 2 h α u n q+1 1 N u n 2 λφ(u n ) = I λ,a (u n ) 1 2 w n ρ n, u n. 38

48 Daí, 1 N u n 2 λ q+1 q + 1 S 2 h α u n q+1 C 3 + C 4 u n + λ q+1 S 2 h α u 2 n q+1. Logo, ) 1 (λs N u n 2 q+1 q+1 2 q + 1 h α + λs 2 h 2 α u n q+1 C 3 + C 4 u n. Fazendo q+1 C 5 = λs 2 q+1 2 q + 1 h α + λs h 2 α = ( 1 q ) ( ) λs q h α, obtemos 1 N u n 2 C 5 u n q+1 C 3 + C 4 u n. (2.25) casos, Mostraremos agora que a sequência (u n ) D 1,2 ( ) é limitada dividindo nos seguintes Caso 0 q < 1 Suponhamos, por contradição, que a sequência (u n ) D 1,2 ( ) não seja limitada, assim existe uma subsequência que ainda denotaremos por (u n ) tal que u n quando n. Logo de (2.25) temos: 1 N C 5 u n (q+1) u n 2 + C 3 u n 2 + C 4 u n = C 5 u n 2 (q+1) + C 3 u n 2 + C 4 u n. Agora passando ao limite com n na desigualdade acima obtemos: 1 N 0, 39

49 o que é uma contradição, logo (u n ) é uma sequência limitada em D 1,2 ( ) e portanto existe C 6 > 0 tal que u n C 6, n N. Caso q = 1 isto é, Temos, Assim, Logo, Temos 1 N u n 2 λ q+1 q + 1 S 2 h α u n q+1 C 3 + C 4 u n + λ q+1 S 2 h α u 2 n q+1. 1 N u n 2 λ 2 S 1 h α u n 2 C 3 + C 4 u n + λ 2 S 1 h α u n 2, ( 1 λ N u n 2 2 S 1 h α + λ ) 2 S 1 h α u n 2 C 3 + C 4 u n. ( 1 N λ 2 S 1 h α + λ ) 2 S 1 h α u n 2 C 3 + C 4 u n. 1 N λ 2 S 1 h α λ 2 S 1 h α = 1 ( 1 N ) (λs 1 h 2 α ) = 1 ( ) N 1 N (λs 1 h α ). N Note que 1 N ( N 1 N ) (λs 1 h α ) > 0 1 ( ) N 1 N > (λs 1 h α ) N N N(N 1) > λs 1 h α S (N 1) h α > λ. 40

50 Escolhendo λ 2 = S 2(N 1) h α temos para cada λ (0, λ 2 ), que ( 1 N λ 2 S 1 h α + λ ) 2 S 1 h α > 0. e portanto fazendo C 5 = 1 N λ 2 S 1 h α λ 2 S 1 h α obtemos C 5 u n 2 C 3 + C 4 u n. Vamos supor, por contradição que a sequência (u n ) D 1,2 ( ) não seja limitada, então a menos de supsequência u n quando n. Assim C 5 C 3 u n 2 + C 4 u n. Passando ao limite de n + temos C 5 0, o que é um absurdo, pois C 5 > 0. Portanto, (u n ) é limitada em D 1,2 ( ). Caso 1 < q < 2 1 Observe que I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n = 1 u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx 1 (u + 2 R 2 N n ) 2 dx 1 u n 2 dx + 1 (u + n ) 2 dx. q + 1 q + 1 Daí, 41

51 I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n = ( ) u n 2 dx λ h(x)f (u n )dx q + 1 R ( N 1 + q ) (u + 2 n ) 2 dx. (2.26) Note que un λ h(x)f (u n )dx = λ h(x) H(t a)(t + ) q dtdx. 0 Além disso, desde que podemos escrever = {u n > a} {u n a} temos λ h(x)f (u n )dx = λ +λ {u n a} {u n>a} un h(x) h(x) 0 un 0 H(t a)(t + ) q dtdx H(t a)(t + ) q dtdx. então, Como un 0 H(t a)(t + ) q dt = 0, t a, [ a un ] λ h(x)f (u n )dx = λ h(x) H(t a)(t + ) q dt + H(t a)(t + ) q dt dx {u n>a} 0 a e pelo fato de H(t a) = 1 t > a, obtemos λ h(x)f (u n )dx = λ = λ q + 1 {u n>a} h(x) {u n>a} un a (t + ) q dtdx h(x)((u + n ) q+1 a q+1 )dx. (2.27) 42

52 Veja que, desde que 1 < q < < q + 1 < > 1 q + 1 > 1 2 temos, ( 1 q ) (u + 2 n ) 2 dx ( ) (u + 2 n ) 2 dx = 0. (2.28) Portanto, de (2.27) e (2.28) e de (2.26) obtemos I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n q 1 u n 2 dx 2(q + 1) λ h(x)(u + n ) q+1 a q+1 )dx. (2.29) q + 1 Por outro lado, {u n>a} I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n = I λ,a (u n ) + 1 q + 1 [ w n, u n ] 1 q + 1 λρ n, u n. Sendo (u n ) uma sequência (P S) c temos que I λ,a (u n ) C 3 e assim obtemos I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n C q + 1 [ w n, u n ] 1 q + 1 λρ n, u n Pela desiqualdade de Cauchy-Schwarz temos C q + 1 w n, u n 1 q + 1 λρ n, u n. I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n C q + 1 w n u n 1 q + 1 λρ n, u n. Lembrando que m(u n ) = w n 0, segue que w n é limitada e daí, w n 1 q + 1 w n C 4 então, Ĉ. Logo, I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n C 3 + C 4 u n 1 q + 1 λρ n, u n. (2.30) Usando novamente u n = u + n u n, temos λ q + 1 ρ n, u n = λ ρn, u + λ n + ρn, u λ n ρn, u + n. q + 1 q + 1 q

53 Como (ρ n ) Φ(u n ) pela Lema 2.2 obtemos h(x)f(u n ) ρ n (x) h(x)f(u n ) q.t.p em Então, Recordando que h(x)f(u n )u + n dx ρ n, u + n h(x)f(u n )u + n dx. h(x)f(u n )(u + n )dx = h(x)u + n lim H(u n δ a)(u + δ 0 + n ) q dx. Para u n a e tomando δ 0 + tal que u n δ a. Então, lim δ 0 + H(u n δ a) = H(u n δ a) = 0. Agora para u n > a com δ 0 + tal que u n δ > a. Logo, Portanto, lim δ 0 + H(u n δ a) = H(u n a) = 1. h(x)f(u n )(u + n ) q dx = h(x)u + n (u + n ) q dx = h(x)(u + n ) q+1 dx ρ n, u + n. {u n>a} {u n>a} Daí, λ q + 1 {u n>a} h(x)(u + n ) q+1 dx λ ρn, u + n. q

54 Assim de (2.30) I λ,a (u n ) 1 q + 1 w n + λρ n, u n C 3 + C 4 u n λ h(x)(u + n ) q+1 dx q + 1 {u n>a} C 3 + C 4 u n λ h(x)((u + n ) q+1 a q+1 )dx. (2.31) q + 1 De (2.29) e (2.31) temos {u n>a} (q 1) 2(q + 1) u n 2 λ h(x)((u + n ) q+1 a q+1 )dx C 3 + C 4 u n q + 1 {u n>a} λ q + 1 implicando que (q 1) 2(q + 1) u n 2 C 3 + C 4 u n. {u n>a} h(x)((u + n ) q+1 a q+1 )dx Suponha por contradição que a sequência (u n ) D 1,2 ( ) não seja limitada então, a menos de subsequência, daí, u n quando n, (q 1) 2(q + 1) C 3 u n 2 + C 4 u n. Passando ao limite de n + encontramos (q 1) 2(q + 1) 0, (q 1) o que é um absurdo, pois 2(q + 1) 0. Portanto, (u n ) é limitada em D 1,2 ( ) para 0 q <

55 Note que podemos assumir que u n 0. De fato, sendo u n = u + n u n e u n 0 temos que lim I λ,a(u n ) = n + lim I λ,a(u + n u n ) = n + lim I λ,a(u + n ) n + e w n, u n = u n 2 λ ρ n, u n (u + n ) 2 dx = u + n u n 2 λ ρ n, u + n u n RN (u + n ) 2 dx = u + n u n, u + n u n λ ρn, u + n λ ρn, u n = u + n 2 + u n 2 λ ρ n, u + n λ ρn, u n = u + n 2 λ ρ n, u + n = w n, u + n + on (1), RN (u + n ) 2 dx RN (u + n ) 2 dx RN (u + n ) 2 dx + u n 2 λ ρ n, u n isto é, w n, u n = w n, u + n + on (1). Dessa forma (u + n ) é uma sequência (P S) c e assim podemos considerar u n 0. Assim, desde que D 1,2 ( ) é um espaço de Hilbert e reflexivo, (u n ) é uma sequência limitada em D 1,2 ( ) a menos de uma subsequência existe u D 1,2 ( ), tal que u n u em D 1,2 ( ), e u n (x) u(x) q.t.p. em. Afirmação 2.1 (ρ n ) é limitada em (D 1,2 ( )) L ( ) 46

56 De fato, como (ρ n ) Φ(u n ) e ρ n (x) [0, h(x)u q n(x)] q.t.p. em. ρ n (x) h(x)u q n(x), então, ρ n (x) h(x)u q n (x) (2.32) De onde segue ρ n (x) L Observe que h ( ) = ρ n 1 dx L desigualdade de Hölder temos (q+1) ( ) e u 1 2 = 2 q 2 1 n ( h(x)u q n(x) ( 2 2 h 1 (x)un L 2 2 q 2 (q+1) q 2 1 ( ), (q+1) ) dx ) (x) dx q 2 1 = 1, pela h (x)u 2 q 2 1 n (x) dx h 2 = = 2 1 α 2 L /2 1 ( ). u 2 q 2 1 n 2 2 L q/2 1 ( ) ( ) 2 /2 1 ( h 2 2 α α 1 2 /2 1 dx u 2 ( [ ] ) 2 ( 1 2 h α α 1 [ ] 1 dx u n 2 dx = h α u n 2 q 2 1 2, q 2 1 n ) 2 q/ q/2 1 dx ) 2 q onde α = 2. Logo, teremos 2 (q+1) ρ n (x) L ( ) ( h 2 2 q 2 1 (x)u 2 1 n ) 2 1 ( 2 (x) dx h α u n 2 q ) = h α u n q 2. 47

57 Pela imersão contínua D 1,2 ( ) L 2 ( ) existe c > 0 tal que ρ n (x) L ( ) h α u n q 2 c h α u n q K onde 0 < K = c h α, é uma constante a qual existe pois u n é limitada em D 1,2 ( ). Assim, (ρ n ) é limitada em L ( ). Como D 1,2 ( ) = (D 1,2 ( )) L ( ) então (ρ n ) é limitada em D 1,2 ( ). Mostrando a afirmação. Como (ρ n ) e limitada em L ( ) então a menos de subsequência ρ n ρ 0 em L ( ) ou seja, ρ n ϕdx ρ 0 ϕdx, ϕ (L ( )). Como w n = Q (u n ) λρ n Ψ (u n ), segue-se que ω n, v = Q (u n ), v n λ ρ n, v Ψ (u n ), v v D 1,2 ( ) L 2 ( ). Note que, desde que (ρ n ) (L 2 ( )) pelo teorema da Representação de Riesz (apêndice A) existe (ρ n ) L 2 ( ) tal que ρ n, v = ρ n vdx, v L 2 ( ). Por identificação, ρ n, v = ρ n vdx, v L 2 ( ), 48

58 portanto, ω n, v = u n v n dx λ ρ n vdx u 2 1 n vdx, v D 1,2 ( ). Então, 0 = u vdx λ ρ 0 vdx u 2 1 vdx, v D 1,2 ( ). Afirmação 2.2 ρ 0 (x) [h(x)f(u), h(x)f(u)] q.t.p em. De fato, desde que (ρ n ) é limitada em D 1,2 ( ) segue-se ρ n ρ 0 em D 1,2 ( ) e ρ n (x) ρ 0 (x) q.t.p em. Observe que (ρ n ) Φ(u n ) então ρ n (x) [h(x)f(u n ), h(x)f(u n )] q.t.p em. Note que f(t) = lim δ 0 + H(t δ a)(t+ ) q. Para t > a, tomando δ 0 + tal que t δ > a temos H(t δ a) = 1 = H(t a) f(t a) = (t + ) q. Para t < a, tomando δ 0 + tal que t δ < a obtemos H(t δ a) = 0 = H(t a) f(t a) = 0. 49

59 Para t = a, tomando δ 0 + tal que t δ = a temos H(t δ a) = H( δ) = 0 = H(t a) f(t a) = 0. Conclusão h(x)f(t) = h(x)(t + ) q se a < t 0 se a = t 0 se a > t Assim com um raciocínio análogo h(x)f(t) = h(x)(t + ) q se a < t h(x)(t + ) q se a = t 0 se a > t Dessa forma [h(x)f(u n ), h(x)f(u n )] = h(x)(u + n ) q se a < u n [0, h(x)(u + n ) q ] se a = u n 0 se a > u n Portanto, ρ n (x) [h(x)f(u n ), h(x)f(u n )] = ρ n (x) = h(x)(u + n ) q se a < u n ρ n (x) [0, h(x)(u + n ) q ] se a = u n ρ n (x) = 0 se a > u n Logo, se ρ n (x) ρ 0 (x) q.t.p em, desde que u n (x) u(x) q.t.p em temos: 50

60 Para u(x) > a, temos que u n (x) > a quando n +, daí ρ 0 = h(x)u q (x) se u(x) > a. Para u(x) < a temos que u n (x) < a quando n +, assim temos que ρ 0 = 0 se u(x) < a. Agora para u(x) = a, temos que 0 ρ n (x) h(x)u n (x) q quando n +. Assim 0 ρ 0 (x) h(x)u(x) q. Então, ρ 0 (x) = h(x)(u + ) q se a < u ρ 0 (x) [0, h(x)(u + ) q ] se a = u ρ 0 (x) = 0 se a > u Como ρ 0 (x) [h(x)f(u), h(x)f(u)] = h(x)(u + ) q se a < u [0, h(x)(u + ) q ] se a = u 0 se a > u (2.33) Segue-se que ρ 0 (x) [h(x)f(u), h(x)f(u)] q.t.p em. A seguir mostraremos que u n u em D 1,2 ( ). De fato, considere v n = u n u e assuma que v n 2 l > 0. 51

61 Temos w n, v n = u n v n dx λ ρ n, v n u 2 1 n v n dx. (2.34) Lembrando que 0 h(x)f(u n ) h(x)f(u n ) h(x)(u + n ) q e ρ n (x) [ h(x)f(u n ), h(x)f(u n ) ] q.t.p. em, temos ρ n [0, h(x)(u + n ) q ] q.t.p. em. Isto é, 0 ρ n h(x)(u + n ) q q.t.p. em. (2.35) Desde que ρ n Φ(u n ) (D 1,2 ( )), então existe ρ n D 1,2 ( ) tal que pelo Teorema da Representação de Riesz ρ n, v n = ρ n (x)v n (x)dx, ρ n D 1,2 ( ). Por identificação ρ n, v n = ρ n (x)v n (x)dx, ρ n D 1,2 (R) N. Logo, por (2.35) ρ n (x)v n (x)dx h(x)u + n (x) q v n (x)dx. Sendo assim ρ n, v n h(x)u + n (x) q v n (x)dx. 52

62 Como v n = u n u = (u + n u n ) u, então h(x)(u + n ) q v n dx = = = h(x)(u + n ) q (u + n u n u)dx h(x)(u + n ) q u + n dx h(x)(u + n ) q u n dx h(x)(u + n ) q udx h(x)(u + n ) q u + n dx h(x)(u + n ) q udx. Portanto, ρ n, v n h(x)(u + n ) q v + n dx, pois v + n = u + n u. Assim, λ ρ n, v n λ h(x)(u + n ) q v n + dx. (2.36) Usando um raciocínio análogo para (u+ n ) 2 1 v n dx temos (u + n ) 2 1 v n dx = (u + n ) 2 1 v + n dx. (2.37) Substituindo (2.36) e (2.37) em (2.34) obtemos, w n, v n u n v n dx λ h(x)(u + n ) q v n + dx u 2 1 n v + n dx. Como v n = u n u, tem-se que u n = v n + u, então, w n, v n (v n + u) v n dx λ h(x)(u + n ) q v n + dx u 2 1 n v + n dx, isto é, w n, v n v n 2 dx + u v n dx λ h(x)(u + n ) q v n + dx u 2 1 n v + n dx. 53

63 Observe que u v n dx = u (u n u)dx = u u n dx u udx Desde que u n u temos u n ϕdx u ϕdx ϕ D 1,2 ( ). Fazendo ϕ = u Assim, Além disso, u n udx u udx. u v n dx = o n (1). w n, v n = w n, v n w n v n, então, lim sup n pois w n 0 e v n é limitada. Logo, w n, u n lim sup w n v n = 0 n w n, v n = o n (1). Portanto, desde que v n 2 dx + v n udx w n, v n λ h(x)(u + n ) q v n + dx + segue-se que u 2 1 n v + n dx, l + o n (1) λ h(x)(u + n ) q v n + dx + (u 2 1 n )v n + dx. (2.38) 54

64 Note que h(x)(u + n ) q v + n dx = h(x)(u + n ) q (u + n u)dx + h(x)(u + n ) q (u + n u)dx. {u n>u} {u n u} Como u n u, temos que u + n u, logo u + n u 0 e sendo h 0 e (u + n ) q 0 temos h(x)(u + n ) q.(u + n u) 0. Assim, Logo, {u n u} h(x)u q n(u + n u)dx 0. λ h(x)(u + n ) q v n + dx λ h(x)(u + n ) q (u + n u)dx. (2.39) {u n>u} Usando um raciocínio análogo segue que u 2 1 n v n + dx {u n>u} (u + n ) 2 1 (u + n u)dx. (2.40) Substituindo (2.39) e (2.40) em (2.38) obtemos l + o n (1) λ λ Lembrando que {u n>u} {u n>u} {u n>u} h(x)(u + n ) q v n dx + h(x)(u + n ) q+1 dx λ {u n>u} {u n>u} (u + n ) 2 1 (u + n u)dx h(x)(u + n ) q udx + {u n>u} (u + n ) 2 dx (u + n ) 2 1 udx. (2.41) λ h(x)u q n(u + n u)dx λ h(x)u q n(u + n u)dx = λ h(x)u q n(u + n u)dx, {u n>u} {u n u} 55

65 temos λ h(x)u q n(u + n u)dx = λ {u n>u} De maneira análoga λ h(x)u q+1 n R N {u n u} dx λ h(x)u q+1 n dx + λ h(x)u q nudx h(x)u q nudx. (2.42) {u n u} {u n>u} u 2 1 n (u + n u)dx = u 2 + n dx {u n u} u 2 1 n udx {u n u} u 2 n dx u 2 1 n udx. (2.43) Substituindo (2.43) e (2.42) em (2.41) resulta que Afirmação 2.3 l + o n (1) λ h(x)u q+1 n R N dx λ {u n u} +λ h(x)u q nudx + {u n u} u 2 1 n udx + {u n u} h(x)u q+1 n De fato, note que (u q+1 n ) L 2 q+1 ( ) pois, h(x)u q+1 n dx λ h(x)u q nudx R N u 2 n dx {u n u} u 2 n dx u 2 1 n udx. (2.44) dx h(x)u q+1 dx quando n +. u q+1 n 2 q+1 dx = u n 2 dx c 2 u n 2. Pela imersão contínua D 1,2 ( ) L 2 ( ) existe uma constante C 2 > 0 tal que, u n 2 C 2 u n (2.45) 56

66 assim, u q+1 n L 2 /q+1 ( ) = ( u q+1 ) q+1 ( n 2 2 q+1 dx = u n 2 dx = u n q+1 2 Cq+1 u n q+1 C 1. ) q+1 2 = [ ( ) ] 1 q+1 2 u n 2 dx Logo, (u q+1 n ) é uma sequência limitada em L 2 q+1 ( ) e desde que L 2 q+1 ( ) é um espaço de Banach reflexivo temos a menos de subsequência, que n u q+1 em L 2 q+1 ( ) u q+1 e u q+1 n (x) u q+1 (x) q.t.p em. Pelo Lema de Brézis e Lieb (apêndice A) h(x)u q+1 n dx h(x)u q+1 dx h L α ( ) com 1 α q+1 = 1 mostrando a Afirmação 2.3 De maneira análoga mostramos que Afirmação 2.4 h(x)u q nudx {u n u} h(x)u q+1 dx quando n +. (2.46) h(x)u q+1 n dx h(x)u q+1 dx quando n +. {u n u} De fato, observe que a sequência (u q+1 n ) L 2 q+1 ({un u}) pois, u q+1 n 2 {u n u} q+1 dx = {u n u} u n 2 dx c 2 u n 2. 57

67 De (2.45) u q+1 n L 2 /q+1 ( ) = = = ( ( [ ( n 2 u q+1 {u n u} u n 2 dx {u n u} u n 2 dx {u n u} ) q+1 2 q+1 dx ) q+1 2 ) 1 2 ] q+1 = u n q+1 2 Cq+1 2 u n q+1 K. Logo, (u q+1 n ) é limitada em L 2 q+1 ({un u}) segue-se que n u q+1 em L 2 q+1 ({un u}) u q+1 e u q+1 n (x) u q+1 (x) q.t.p em {u n u}. Pelo Lema de Brézis e Lieb {u n u} h(x)u q+1 n dx {u n u} h(x)u q+1 dx h L α ( ) com 1 α q+1 = 1 provando da Afirmação 2.4 De modo análogo prova-se que Afirmação 2.5 {u n u} {u n u} h(x)u q nudx {u n u} u 2 n dx u 2 dx quando n +. {u n u} De fato, como a sequência (u n ) é limitada em D 1,2 ( ), então h(x)u q+1 dx quando n +. (2.47) u n u em D 1,2 ( ) 58

68 e u n (x) u(x) q.t.p em ({u n u}). Logo, u 2 n (x) u 2 (x) q.t.p em ({u n u}). Como Logo, u n (x) u(x) q.t.p. em ({u n u}). u 2 n (x) u 2 (x) q.t.p. em ({u n u}). e u 2 L 1 ({u n u}). Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lesbegue ( apêndice A) {u n u} u 2 n (x)dx {u n u} u 2 (x)dx provando a Afirmação 2.5. Afirmação 2.6 u 2 1 n udx {u n u} {u n u} u 2 dx quando n +. De fato, observe que a sequência (u 2 1 n ) L ({un u}) pois, Segue de (2.45) u 2 1 n 2 {u n u} 2 1 dx = {u n u} u n 2 dx c 2 u n 2. u 2 1 n 2 L 2 1 ({u n u}) = ( u 2 1 n {u n u} C 2 1 u n 2 1 K. ) 2 1 ( 2 [ ] ) = u n 2 {u n u} 59

69 Logo, (u 2 1 n ) é limitada em L ({un u}), então n u 2 1 em L ({un u}) u 2 1 e u 2 1 n (x) u 2 1 (x) q.t.p em {u n u}. Pelo Lema de Brézis e Lieb {u n u} u 2 1 n udx {u n u} u 2 dx u L 2 ({u n u}) com = 1. Mostrando a Afirmação 2.6 Usando um raciocínio análogo podemos mostrar que Afirmação 2.7 Note que u 2 1 n u 2 n dx u 2 n dx udx u 2 1 n u 2 dx quando n +. (2.48) udx = v n 2 L 2 ( ) + o n(1). u 2 1 n udx = u n 2 2 Usando o Teorema de Brézis e Lieb ( apêndice A.1) temos u 2 1 n udx. (2.49) u n 2 2 u 2 2 = u n u o n(1). Daí, u n 2 2 = u n u u o n(1). (2.50) Substituindo (2.50) em (2.49) obtemos u 2 n dx u 2 1 n udx = u n u u o n(1) ( = u n u u 2 1 n u 2 1 n udx ) udx u o n (1)