Problemas de minimização com singularidades

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Problemas de minimização com singularidades Leonel Giacomini Delatorre Belo Horizonte 013

2

3 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Problemas de minimização com singularidades Leonel Giacomini Delatorre Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção de título de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Ronaldo B. Assunção Belo Horizonte 013

4 Delatorre, Leonel Giacomini Problemas de minimização com singularidades xii + 7 páginas. Dissertação (Mestrado Universidade Federal de Minas Gerais, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática 1. Operador laplaciano com singularidades.. Problemas de minimização em esferas. 3. Desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. I. Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Matemática.

5

6

7 Aos meus pais Maximino e Marivete e à minha irmã Luana

8

9 Agradecimentos Agradeço primeiramente à Deus por ter permitido concluir esta etapa. Aos meus pais Maximino e Marivete por estarem sempre presentes, apesar da distância, confiando em minhas decisões, sempre acreditando em minha capacidade, quando eu mesmo duvidava. Agradeço a vocês pelo amor, carinho e compreensão. À minha irmã Luana, que desde pequenina, teve que aceitar, assim como meus pais, minha ausência em momentos importantes. Amo muito vocês! Aos meu familiares, tios, primos, avós, padrinhos, que sempre torceram por mim, agradeço pelas orações e pelo apoio. Aos meus grandes amigos Alexandre, Daniela, Katiéle, Leticia, Marline e Thanise, que estiveram sempre ao meu lado. Agradeço por compreenderem minha ausência e por serem amigos verdadeiros. Em particular, a amiga e professora Alice Kozakevicius, por estar sempre presente, com dicas, comentários e, claro, uma palavra amiga. Ao orientador, professor Ronaldo Brasileiro Assunção, agradeço pela oportunidade e pela dedicação e paciência com que transmitiu seus conhecimentos. Aos membros da comissão examinadora, professores Marcos Montenegro e Ezequiel Rodrigues Barbosa, agradeço por compartilharem sua experiência, bem como pelas sugestões e contribuições, sempre pertinentes. Aos professores e funcionários da UFMG agradeço pela dedicação, apoio e prontidão. Em particular, agradeço ao Professor Paulo César Carrião, pelas dicas e sugestões, e à Professora Ana Cristina Vieira, pelo voto de confiança. Aos meus amigos e colegas de mestrado Luciana, Natália, Sílvia, Willian, Amanda, Guilherme, Charles, Luiza, Flávia, entre outros, agradeço pela companhia, pelas risadas, pela força. Vocês foram fundamentais nesta etapa! Em particular, agradeço a Daiane, amiga e colega de graduação e de mestrado, por todo o apoio nos momentos de dificuldades que tivemos, e não foram poucos. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, pelo auxílio financeiro. Muito obrigado!

10

11 Resumo Esta dissertação trata de resultados de existência de soluções de energia mínima para as seguintes classes de equações elípticas semilineares degeneradas definidas em R N : ( div x a u = x bp u p u, x R N, (P1 e ( div x a u + λ x (1+a u = x bp u p u, x R N ; λ R. (P Consideramos N 3, os parâmetros 0 a (N /, a b a + 1, λ R e envolvendo N o expoente crítico de Hardy-Sobolev p = p(a, b :=. Procuramos soluções para os N +(b a problemas (P1 e (P no espaço de Sobolev D 1, a (R N e demonstramos versões do lema de concentração e compacidade para obtermos resultados de existência de soluções. Palavras-chave Operador laplaciano com singularidades; problemas de minimização em esferas; desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg. Abstract This work is concerned with existence results of ground state solutions for the following class of degenerate semilinear elliptic equations defined on R N : ( div x a u = x bp u p u, x R N, (P1 e ( div x a u + λ x (1+a u = x bp u p u, x R N ; λ R. (P We consider the case N 3, the parameters 0 a (N /, a b a + 1, λ R N and involving the critical exponent of Hardy-Sobolev p = p(a, b :=. We look for N +(b a solutions of the problems (P1 and (P in the Sobolev space D 1, a (R N and we prove versions of a Concentration-Compactness Lemma to obtain existence results. Key-words Laplacian operator with singularities; minimization problems on spheres; Caffarelli- Kohn-Nirenberg inequality. ix

12 x

13 Notações := igualdade por definição R + x = (x 1,..., x N conjunto dos números reais positivos elemento de R N x = ( N i=1 x i 1/ norma do elemento x R N B ρ (x ω N Nω N p := p p 1 N p(a, b := N +(b a ( u(x u(x :=,..., u(x x 1 x N div(u 1 (x,..., u N (x := u 1(x + + u N(x x 1 x N u(x := div [ u(x ] = X N i=1 u(x x i bola aberta de raio ρ e centro em x R N volume da bola B ρ (x em R N área da superfície esférica B ρ (x em R N expoente conjugado de p expoente crítico de Hardy-Sobolev gradiente da função u divergente do campo (u 1 (x,..., u N (x operador laplaciano espaço dual do espaço X L p (R N 1/p espaço de Lebesgue u p := u(x p dx R N norma no espaço de Lebesgue L p (R N D(R N espaço das funções teste D 1, (R N { } := u L (R N ; u x i L (R N, i = 1,..., N espaço de Sobolev D 1, a (R N completamento do espaço D(R N com relação ao produto interno ( (u v := R x a u v dx produto interno no espaço D 1, N a (R N 1/ u := R x a u dx norma no espaço de Sobolev D 1, N a (R N H 1 (Ω { } := u L (Ω; u x i L (Ω, i = 1,..., N espaço de Hilbert H0 1(Ω espaço de Hilbert com traço nulo, definido como o fecho de C 0 (Ω em H1 (Ω D r := { u D 1, (R N : u é radial} espaço das funções radiais S(a, b inf u D 1, a (R N x a u x b u p =1 S(a, b, λ inf u D 1, a (R N x b u p =1 xi x a u x + λ (1+a u

14 u n u u n u u n u q.t.p. em X C 0 (Ω C k (Ω C 0 (RN Γ(z := 0 B(y, z = Γ(yΓ(z Γ(y+z t z 1 e t dt convergência forte (em norma convergência fraca convergência em quase todo ponto de X espaço das funções reais contínuas espaço das funções reais k-vezes continuamente diferenciáveis espaço das funções infinitamente diferenciáveis e de suporte compacto em R N função gama função beta xii

15 Sumário Resumo Abstract Notações ix ix xi 1 Métodos variacionais em equações elípticas Soluções fracas e pontos críticos de funcionais Técnicas de minimização para problemas com compacidade Técnicas de minimização para problemas sem compacidade A identidade de Pohozaev e o resultado de Brézis e Nirenberg Resultados principais Sequências minimizantes para S(a, b 19.1 Invariância de sequências minimizantes por dilatações Lemas técnicos Lema de concentração e compacidade para S(a, b Demonstração do Teorema Sequências minimizantes para S(a, b, λ Invariância de sequências minimizantes por dilatações Lema de concentração e compacidade para S(a, b, λ Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema A Apêndice 63 A.1 Espaços de Funções A. Funções gama e beta A.3 Resultados auxiliares A.4 Desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg A.5 Definições e resultados de Análise Funcional Bibliografia 69 xiii

16 Índice Remissivo 70 xiv

17 -1- Métodos variacionais em equações elípticas 1.1 Soluções fracas e pontos críticos de funcionais O objetivo principal desta dissertação é demonstrar resultados de existência de soluções para uma classe de equações diferenciais elípticas semilineares definidas em todo o espaço, envolvendo singularidadestanto no operador quanto na não linearidade e expoentes críticos de Hardy-Sobolev. Nas seções iniciais deste capítulo, baseadas no livro de Badiale e Serra [3], apresentamos alguns resultados básicos sobre minimização de funcionais visando contextualizar e descrever as maiores dificuldades para demonstrar os teoremas principais enunciados na última seção, baseados no artigo de Wang e Willem [19]. Começamos apresentando uma breve introdução ao estudo de problemas elípticos semilineares através da aplicação de métodos variacionais. Equações elípticas semilineares são equações em que a não linearidade envolve a função incógnita mas não suas derivadas. Essa classe de equações é a primeira generalização não linear de equações elípticas lineares e surge em uma grande variedade de contextos em geometria, física e engenharia. Alguns exemplos de equações semilineares incluem u = f (x, u, que representam estados estacionários da equação não linear do calor u t u = f (x, u ou da equação não linear da onda u tt u = f (x, u. Nesses casos, u denota a função incógnita, f representa a não linearidade dada e u é o operador laplaciano. Os métodos variacionais constituem um ramo do Cálculo das Variações que visam o desenvolvimento de resultados e técnicas de minimização de funcionais e têm se mostrado bastante apropriados para estudar equações elípticas semilineares em geral. A abordagem variacional para o estudo de equações elípticas semilineares é baseada na noção de solução fraca. No lugar de apresentar uma discussão geral desse conceito, nesta dissertação fazemos uma descrição dessa noção apenas para algumas classes de problemas semilineares. Começamos com um problema que também servirá de exemplo para diversos casos, lembrando que as definições dos espaços de funções envolvidos estão no Apêndice. Seja Ω R N um conjunto aberto e limitado, em que N 3, seja q : Ω R uma função tal que q L (Ω e seja f : R R uma função contínua verificando a condição de crescimento f (t a + b t p 1, t R (1.1 em que a, b R + são constantes, p (, ] é um parâmetro e = N/(N denota o expoente crítico de Sobolev. Suponhamos que devemos determinar uma função u : Ω R tal que u + q(xu = f (u, x Ω, (1. u(x = 0, x Ω. 1

18 1. Métodos variacionais em equações elípticas Esse problema consiste de uma equação elíptica semilinear e uma condição de fronteira que especifica os valores da função incógnita na fronteira do domínio e é chamado de problema homogêneo de Dirichlet. Uma solução clássicado problema (1. é uma função u C (Ω que verifica as equações em (1. para todo x Ω. Outra noção de solução pode ser obtida da seguinte forma: multiplicamos a equação diferencial em (1. por uma função v C 1 0 (Ω e integramos sobre o domínio Ω. Usando a fórmula de Green (A.9 e o fato de que a integral na fronteira se anula, pois v tem suporte compacto, resulta que se u é uma solução clássica do problema (1., então u v dx + q(xuv dx = f (uv dx, v C 1 0(Ω. (1.3 Ω Ω Ω Observamos que a fórmula (1.3 faz sentido mesmo quando u não é de classe C ( Ω; é suficiente que u C 1 ( Ω. Observamos também que as hipóteses sobre as funções u e v podem ser enfraquecidas: para que as integrais sejam finitas, é suficiente que u, v L (Ω e que u/ x i, v/ x i L (Ω para 1 i N. A partir disso, também não é necessário que a função q seja contínua; basta que q L (Ω. Isso motiva a seguinte definição. Definição 1.1. Sejam q L (Ω e f C(Ω. Uma solução fraca do problema (1. é uma função u H0 1 (Ω tal que u v dx + q(xuv dx = f (uv dx, Ω Ω v H0(Ω. 1 (1.4 Ω Observamos que se u é uma solução clássica do problema (1., então u C ( Ω; logo, u H 1 (Ω. Como u é contínua em Ω e u(x = 0 para x Ω, então u H0 1 (Ω. Além disso, como vale a equação (1.3 e já que o espaço C 1 0 (Ω é denso em H1 0 (Ω, fixada uma função v H0 1(Ω podemos escolher uma sequência (v n n N C0 1(Ω tal que v n v fortemente em H0 1(Ω. Fazendo n, obtemos que vale a igualdade (1.3 para toda v H1 0 (Ω, que é a equação (1.4. Portanto, uma solução clássica é solução fraca. Suponhamos agora que temos uma solução fraca u do problema (1. e que u C ( Ω. Se q C(Ω, então u é uma solução clássica. De fato, u H 1 0 (Ω C ( Ω implica que u(x = 0 se x Ω no sentido clássico. Usando uma função v C 1 0 (Ω na fórmula (1.4, segue-se que vale a igualdade (1.3. Usando novamente a fórmula de Green (A.9 para reagrupar os termos, obtemos Ω ( u + q(xu f (uv dx = 0, v C 1 0(Ω. Como o espaço C 1 0 (Ω é denso em L (Ω, vemos que u + q(xu = f (u q.t.p. em Ω e u(x = 0 em Ω. E como por hipótese u C (Ω, essas relações valem em todos os pontos do domínio e u é uma solução clássica. Uma das vantagens da abordagem de solução fraca para o problema (1. é que a condição homogênea de fronteira já está englobada na escolha do espaço de funções pois, se u H 1 0 (Ω,

19 1.. Técnicas de minimização para problemas com compacidade 3 então u(x = 0 para todo x Ω. Outra vantagem, mais fundamental ainda, é que a demonstração da existência de solução é completamente separada da questão da regularidade. Assim, podemos nos concentrar inicialmente em demonstrar um resultado de existência, que é o assunto principal desta dissertação, e apenas posteriormente considerar a questão da classe de diferenciabilidade da solução. Essa segunda parte é conhecida como questão da regularidade e, embora extremamente importante no estudo de equações elípticas, não será considerada neste trabalho; para mais detalhes, citamos os livros de Brézis [6, Caps. 8 e 9] e de Evans [11, Cap. 6]. Agora mostramos que as soluções fracasestão relacionadas com pontos críticos de funcionais associados ao problema (1.. Seja F : R R uma função definida por F(t = t f (s ds. 0 Definimos o funcional J : H0 1 (Ω R por J(u := 1 Ω u dx + 1 Ω q(xu dx F(u dx, Ω usualmente denominado funcional de energia associado ao problema (1.. Usando os resultados de cálculo em espaços de Banach é possível mostrar que o funcional J é diferenciável em H 1 0 (Ω e que a aplicação J : H 1 0 (Ω (H1 0 (Ω é tal que J (uv = Ω u v dx + q(xuv dx f (uv dx, v H0(Ω. 1 (1.5 Ω Ω A partir dessa equação, vemos a conexão entre soluções fracas e pontos críticos: a função u é solução fraca para o problema (1. se, e somente se, u é ponto crítico do funcional J. Outra maneira de expressar esse fato é a seguinte: a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional J é a equação diferencial do problema (1.. Encerramos esses comentários mencionando que a condição de crescimento (1.1 é essencial para que o funcional de energia J esteja bem definido em H0 1 (Ω. De fato, se f (t tem um crescimento superior a t 1, então F(t tem crescimento superior a t ; e como H0 1 (Ω não está imerso em L p (Ω quando p >, a integral de F(u que aparece em uma das parcelas do funcional J pode divergir para algumas funções u H 1 0 (Ω. 1. Técnicas de minimização para problemas com compacidade Nesta seção, apresentamos os fundamentos de técnicas de minimização, já que é fato bem conhecido que a forma mais simples de se obter um ponto crítico de um funcional é procurar um extremo global, que em muitos casos é um mínimo global. Entretanto, para funcionais indefinidos, isto é, funcionais não limitados inferiormente, embora um ponto de mínimo global possa não existir, as técnicas de minimização ainda podem ser convenientemente usadas através da restrição do funcional a um conjunto no qual o funcional é limitado inferiormente. Um exemplo típico desse tipo de conjunto são as esferas. O aspecto que unifica os problemas apresentados nesta seção é o fato de que todos apresentam propriedades de compacidade a priori, o que simplifica os argumentos de convergência.

20 4 1. Métodos variacionais em equações elípticas Um conceito útil na determinação de mínimos globais de funcionais é o de convexidade. Um funcional J : H0 1(Ω R é convexo se para todo u, v H1 0 (Ω e para todo t [0, 1], vale a desigualdade J(tu + (1 tv tj(u + (1 tj(v. Dizemos que o funcional J é estritamente convexo se a desigualdade anterior é estrita. Um resultado clássico em Análise garante que se J : H0 1 (Ω R é um funcional contínuo e convexo, então J é fracamente semicontínuo inferiormente. Em particular, para toda sequência (u k k N H0 1(Ω e convergente fracamente para u H1 0 (Ω, vale a desigualdade J(u lim inf k J(u k. Um funcional contínuo e convexo não possui necessariamente um mínimo, mesmo que seja limitado inferiormente. Um exemplo clássico é a função g : R R definida por g(x := exp(x que é contínua, convexa, limitada inferiormente mas que não atinge o ínfimo. Uma hipótese adicional normalmente usada para garantir a existência de mínimo global é a de coercividade. Um funcional J : H0 1(Ω R é coercivo se para toda sequência (u k k N H0 1 (Ω, a condição u k implica que J(u k. Com essas hipóteses, consideramos um funcional I : X R definido em um espaço de Banach reflexivo X e definimos m = inf u X I(u. Seja (u k k N X uma sequência minimizante, isto é, uma sequência tal que I(u k m quando k. A coercividade do funcional I garante que a sequência (u k k N X é limitada. Como X é um espaço reflexivo, o Teorema A.6 de Banach-Alaoglu garante a existência de uma subsequência, ainda denotada da mesma forma, tal que u k u fracamente em X. Pela semicontinuidade inferior fraca de I, obtemos I(u lim inf k I(u k = m. Portanto, I(u = m e u é um mínimo global do funcional I. Isso demonstra o seguinte resultado. Proposição 1.. Seja X um espaço de Banach reflexivo e seja I : X R um funcional contínuo, convexo e coercivo. Então I possui um ponto de mínimo global. Uma aplicação desse resultado para demonstrar a existência de solução de um problema elíptico semilinear é apresentada a seguir. Proposição 1.3. Seja Ω R N com N 3 um domínio aberto e limitado. Suponhamos que q L (Ω verifica a condição q(x 0 q.t.p. em Ω e seja f : R R uma função contínua tal que vale a desigualdade (1.1. Se f (tt 0 e ( f (t f (s(t s 0 para todo t, s R, então para todo h L (Ω o problema possui uma única solução. u + q(xu = f (u + h(x, x Ω, u(x = 0, x Ω A demonstração consiste em verificar que o funcional J : H0 1 (Ω R definido por J(u := 1 u dx + 1 q(xu dx F(u dx h(xu dx Ω Ω Ω Ω (1.6

21 1.. Técnicas de minimização para problemas com compacidade 5 é contínuo, convexo e coercivo. Como H0 1 (Ω é um espaço de Banach reflexivo, podemos aplicar a Proposição 1. ao funcional J. Para mais detalhes, consulte o livro de Badiale e Serra [3, Theorem 1.6.6]. Como exemplos de funções f verificando as hipóteses da Proposição 1.3, temos f (t = t p t com p (1, ] ou f (t = arctan(t. A hipótese f (tt 0 previne a existência de soluções não triviais no caso em que h(x = 0. De fato, nesse caso qualquer solução u da equação diferencial é tal que u = f (uu dx 0, Ω ou seja, u(x := 0. A hipótese ( f (t f (s(t s é usada para se mostrar a convexidade do funcional J. Observamos que a hipótese de convexidade na Proposição 1. é usada apenas para deduzir a semicontinuidade inferior fraca a partir da continuidade do funcional J. Um resultado mais geral é a seguinte versão do Teorema de Weierstrass, cuja demonstração segue as mesmas linhas da argumentação apresentada anteriormente. Proposição 1.4. Seja X um espaço de Banach reflexivo e seja I : X R um funcional fracamente semicontínuo inferiormente e coercivo. Então I possui um ponto de mínimo global. Esse resultado é um dos pontos de partida do método direto do cálculo das variações. Observamos que retirando a hipótese sobre a monotonicidade de f perdemos a convexidade do funcional de energia; porém ainda é possível mostrar a semicontinuidade inferior fraca do funcional e aplicar a Proposição 1.4. Nesse caso, obtemos um resultado de existência mas não de unicidade de soluções. Para mais detalhes, consulte [3, Theorem.1.11]. Consideramos agora um exemplo de problema cujo funcional de energia associado não é limitado inferiormente, o que impossibilita o uso da Proposição 1. ou da versão do Teorema de Weierstrass. Seja p R tal que < p < e procuramos uma função u solução do problema u + q(xu = u p u, x Ω, (1.7 u(x = 0, x Ω. Claramente o problema (1.7 admite a solução trivial u(x := 0, o que causa uma dificuldade extra. Uma forma de demonstrar a existência de soluções não triviais é o uso de minimização em esferas. Um resultado relacionado com esse problema é o seguinte. Proposição 1.5. Seja Ω R N um domínio aberto e limitado, seja p (, e seja q L (Ω tal que q(x 0 q.t.p. em Ω. Então o problema (1.7 possui pelo menos uma solução não trivial e não negativa. Como é usual nesses tipos de problemas, munimos o espaço de Hilbert H0 1 (Ω com o produto escalar (u v := Ω u v dx + q(xuv dx (1.8 Ω e denotamos por u = (u u 1/ a norma induzida por esse produto interno, que é equivalente à norma padrão de H0 1 (Ω em vista da hipótese sobre a função q.

22 6 1. Métodos variacionais em equações elípticas O funcional de energia associado a esse problema, cuja equação de Euler-Lagrange associada é a equação diferencial do problema (1.7, é J : H0 1 (Ω R, definido por J(u := 1 Ω u dx + 1 = 1 u 1 p u p p. Ω q(xu dx 1 p Ω u p dx Esse funcional é diferenciável e observamos que J não é limitado inferiormente, pois fixada uma função u = 0, temos que J(tu = (t / u (t p /p u p p quando t, já que p >. Uma forma de tentar aplicar as ideias anteriores para resolver esse problema é usar a homogeneidade das duas parcelas que definem o funcional J. Uma delas tem grau e a outra tem grau p; essa diferença dos graus de homogeneidade desempenha um papel central na técnica conhecida como minimização em esferas. O primeiro passo consiste em eliminar a não limitação do funcional J estabelecendo um vínculo adequado no qual o funcional é limitado. Uma escolha conveniente é uma esfera no espaço L p (Ω. Fixado β > 0, definimos o conjunto E β := { u H0(Ω 1 : u p dx = β }. Ω Dessa forma, o funcional J restrito à esfera E β tem a forma J(u = (1/ u (β/p, de modo que fica limitado inferiormente. Para verificar que o funcional J assim restrito tem ponto crítico, devemos garantir que existe uma função u E β tal que m β := inf v Eβ v = u. Em seguida, escolhendo um múltiplo conveniente dessa função u, obtemos uma solução fraca do problema (1.7. Os detalhes da demonstração encontram-se em [3, Subseção.3.1]. A hipótese principal usada na argumentação precedente é sobre o crescimento subcrítico da não linearidade. Para p <, a imersão H0 1(Ω Lp (Ω é compacta e isso permite garantir que a sequência minimizante para o funcional possui uma subsequência que converge em L p (Ω. Isso finalmente permite concluir que existe uma função que minimiza o funcional J restrito à esfera E β. No caso de problemas em que a não linearidade tem crescimento crítico, isto é, quando p =, a compacidade da imersão falha e o argumento não se aplica. Mais ainda, existem problemas que não possuem solução não trivial. Esse caso é tratado com mais detalhes na seção seguinte e é um dos pontos centrais da dissertação. 1.3 Técnicas de minimização para problemas sem compacidade Nesta seção apresentamos alguns resultados de existência de soluções para problemas elípticos semilineares nos quais as equações são definidas em todo o espaço e também nos casos em que o crescimento da não linearidade atinge o valor crítico. Esses problemas são denominados de

23 1.3. Técnicas de minimização para problemas sem compacidade 7 problemas sem compacidade. A dificuldade principal para resolver esses problemas se apresenta através da possibilidade de existirem sequências minimizantes para o funcional de energia que podem ser limitadas mas que não possuem subsequências convergentes nos espaços de funções naturalmente associados aos problemas. Esses problemas são bem mais difíceis de resolver do que os problemas da seção anterior. Para exemplificar um caso típico de problema sem compacidade, consideramos a não linearidade homogênea f (t = t p t com p (,, isto é, com crescimento ainda subcrítico mas com domínio Ω = R N ; em outro exemplo também tratamos da não linearidade homogênea crítica f (t = t t através do método de minimização em esferas. Consideramos inicialmente o problema u + q(xu = u p u, x R N, (1.9 u H 1 (R N em que p (, e N 3. A condição u H 1 (R N é uma forma típica de substituir as condição de fronteira homogênea dos problemas anteriores. De fato, podemos interpretá-la como uma forma de expressar uma condição do tipo u(x 0 quando x +, que é naturalmente associada à equação. Vale ressaltar que u H 1 (R 1 não implica que u se anula no infinito. Frequentemente a condição u H 1 (R 1 juntamente com o fato de que u resolve a equação diferencial implicam que u(x 0 no infinito, mas isso deve ser demonstrado em cada caso. O fato de que o domínio do problema é todo o espaço R N sugere que devemos ter ausência de compacidade. Sem entrar nos detalhes agora, que serão tratados nos capítulos seguintes, suponhamos que o problema (1.9 tem uma solução u = 0 que minimiza algum funcional. Como o problema é invariante por translações, para todo y R N a sequência (u k k N H 1 (R N definida por u k (x = u(x + ky é uma sequência minimizante limitada que não possui subsequência convergente em L p (R N para nenhum valor de p. Assim, o problema possui uma sequência minimizante limitada que não converge. A razão para isso é a invariância de R N por translações, o que torna a imersão H 1 (R N L p (R N não compacta para qualquer p. Hipóteses usuais sobre a função contínua q : R N R que permitem resolver o problema são inf x R N q(x > 0 e lim x q(x = +. Por outro lado, com essas hipóteses, se u H 1 (R N então uma integral da forma q(xu R dx pode divergir. Isso significa que não podemos trabalhar diretamente com o espaço de funções H 1 (R N. Assim, consideramos o seguinte N subespaço X H 1 (R N, definido por X := { u H 1 (R N : q(xu dx < + }. R N O subespaço X é um espaço de Hilbert quando munido do produto escalar definido pela fórmula (1.8 e com a correspondente norma induzida pelo produto escalar. Uma solução fraca

24 8 1. Métodos variacionais em equações elípticas do problema (1.9 é uma função u X tal que u v dx + q(xuv dx = u p uv dx, v X. (1.10 R N R N R N Usando as hipóteses sobre a função q podemos verificar que X está imerso continuamente em H 1 (R N e, portanto, também em L p (R N para todo p [, ]. Mais ainda, é possível verificar que a imersão X L p (R N é compacta para todo p [,. Dessa forma, os argumentos de compacidade descritos no final da seção 1. podem ser aplicados e obtemos um resultado de existência de solução fraca e não negativa u X para o problema (1.9. Essa solução verifica a condição (1.10. A etapa final da demonstração do resultado de existência consiste em verificar que essa condição continua válida para toda função teste v H 1 (R N. Dessa maneira, obtemos o seguinte resultado de existência, cuja demonstração encontra-se no livro de Badiale e Serra [3, Sec. 3.]. Proposição 1.6. Seja q C 0 (R N uma função tal que inf x R N q(x > 0 e lim x q(x = + e seja p (,. Então o problema (1.9 possui uma solução fraca u 0. Observamos que a dificuldade principal desse tipo de problema, o ponto em que a ausência de compacidade se apresenta, é mostrar que uma sequência minimizante converge em um sentido suficientemente forte para que seja possível fazer a passagem ao limite no termo não linear. No caso exemplificado, a compacidade pode ser restaurada pela escolha adequada do espaço X. Em outras situações, por exemplo usando hipóteses distintas sobre a função q, isso não pode ser feito e é o que torna os problemas mais difíceis. A estratégia então é analisar cuidadosamente as sequências minimizantes, de forma a tentar classificar os possíveis comportamentos dessas sequências. Em seguida, tentamos eliminar todas essas possibilidades com a excessão de uma delas, exatamente aquela que permite recuperar a compacidade e concluir a demonstração de existência de soluções fracas para os problemas. Esse tipo de argumentação é um exemplo de uma teoria bastante refinada que visa a classificação de todos os possíveis comportamentos de sequências de soluções aproximadas, tais como as sequências minimizantes. A teoria foi desenvolvida por Lions [14, 15] e um dos principais resultados é o lema de concentração e compacidade, ferramenta crucial usada nesta dissertação. A seguir apresentamos um exemplo da aplicação desse princípio em um problema envolvendo uma não linearidade com crescimento crítico. Consideramos o problema u = u u, x R N, (1.11 u D 1, (R N, em que N 3. Formalmente, soluções do problema (1.11 são pontos críticos do funcional J : D 1, (R N R definido por J(u := 1 u dx 1 R N u dx. (1.1 R N

25 1.3. Técnicas de minimização para problemas sem compacidade 9 A escolha do espaço D 1, (R N se deve ao fato de que não é conveniente considerar o funcional J como definido em H 1 (R N, já que nesse espaço a primeira parcela da integral de J não é o quadrado de uma norma, o que impõe sérias dificuldades. Sabemos que a imersão D 1, (R N L (R N é contínua mas não é compacta, nem mesmo em um sentido local, como veremos a seguir. Claramente, como estamos considerando todo o espaço R N, existe a ausência de compacidade devido à invariância por translações. Entretanto, no caso do problema (1.11 existe uma dificuldade ainda mais séria, que surge da invariância do problema por dilatações, como descrito a seguir. Seja v C0 (RN uma função fixada; então v D 1, (R N. Para t R +, definimos a dilatação v t (x := t (N / v(tx. Então a função v t verifica as seguintes propriedades: v t dx = v dx, t R + R N R N e v t dx = v dx, t R +. R N R N Da primeira propriedade concluímos que v t 0 fracamente em D 1, (R N se t 0 ou se t + ; combinando essas convergências fracas para a função nula com a segunda propriedade, concluímos que a sequência (v t t N L (R N não possui subsequência convergente. Isso acontece exatamente pela presença do expoente crítico de Sobolev = N/(N. Em relação a essa discussão informal, reconhecemos agora que a ausência de compacidade não se deve simplesmente em decorrência da invariância das sequências minimizantes por translações no espaço R N, mas também devido à invariância por dilatações. De fato, supondo que v(0 = 0, vemos que se t 0 as funções v t C0 (RN tendem a zero uniformemente, enquanto que a integral v R N t dx mantém-se constante. Dizemos que nesse caso há perda de compacidade por anulamento. Por outro lado, vemos que se t + as funções v t C0 (RN tendem a zero fora da origem e v t (0 +, enquanto que a integral v R N t dx novamente mantém-se constante. Dizemos que nesse caso há perda de compacidade por concentração. Em outros termos, podemos dizer que se t 0 a massa devida à integral envolvendo v t espalha-se por todo o espaço e se t a massa concentra-se na origem. Consequentemente, em ambos os casos há perda de massa na passagem ao limite e não há convergência forte no espaço L (R N. Esses fenômenos acontecem em todos os problemas envolvendo crescimento crítico, até mesmo em domínios limitados. A principal dificuldade nas demonstrações de resultados de existência de soluções para o problema (1.11 é a análise cuidadosa das sequências minimizantes para compreender as consequências do anulamento e da concentração. Uma das primeiras etapas da solução desse problema é trabalhar no subespaço das funções radiais, o que impede o fenômeno de perda

26 10 1. Métodos variacionais em equações elípticas de compacidade pela invariância do problema por translações. Dessa forma, trabalhamos no subespaço D r := { u D 1, (R N : u é radial }. Proposição 1.7. O problema (1.11 possui uma solução não negativa e não trivial u D r. Apresentamos apenas as linhas gerais da demonstração. Para mais detalhes, referimos aos capítulos seguintes da monografia, onde generalizações do problema (1.11 são estudadas mais cuidadosamente. Para garantir a existência de solução para o problema (1.11 procuramos minimizar o funcional J na esfera unitária de L (R N. Para isso, devemos garantir que o ínfimo S := inf u D 1, (R N u =1 u (1.13 é atingido por uma função u D 1, (R N. O valor S é denominado melhor constante de Sobolev e é a maior constante positiva tal que / S u dx u dx, u D 1, (R N. R N R N Devido à desigualdade de Sobolev, que é um caso particular da desigualdade (A.7 de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, sabemos que S > 0. Para analisar as sequências minimizantes, a ideia inicial é verificar que existe uma sequência minimizante que seja radial, isto é, uma sequência (v k k N D r tal que v k 0, v k = 1 e v k S. Em seguida usamos a invariância do problema por dilatações e obtemos uma nova sequência minimizante (u k k N D r para S formada por funções não negativas e uma função u D r também não negativa e tais que x <1 u k dx = 1/, x 1 u k dx = 1/, e com as convergências fracas u k u em D 1, (R N e em L (R N e com a convergência u k (x u(x q.t.p. em R N. A próxima etapa consiste em definir quantidades que registram as possíveis perdas de massa tanto na origem quanto no infinito. Esta é a parte principal da argumentação e está relacionada com o lema de concentração e compacidade. De fato, constitui o esforço para se obter informação sobre o anulamento ou a concentração da sequência minimizante (u k k N D 1, (R N obtida na etapa anterior. Para isso definimos os valores ( ν 0 := lim R 0 + ( µ 0 := lim R 0 + lim sup k N lim sup k N x <R x <R u k dx, ν := lim R + u k dx, µ := lim R + ( ( lim sup k N lim sup k N x R x R u k dx, u k dx. Esses valores são tais que ν 0, ν [0, 1/] e, além disso, quando k a massa original de u k é igual à soma das contribuições do limite fraco, da parte que se concentra na origem e da

27 1.4. A identidade de Pohozaev e o resultado de Brézis e Nirenberg 11 parte que se concentra no infinito, isto é, 1 = R N u dx + ν 0 + ν. Também vale um resultado similar para o quadrado da norma de D 1, (R N, isto é, S = R N u dx + µ 0 + µ. Por fim, temos as desigualdades fundamentais para a argumentação Sν / 0 µ 0 e Sν / µ. A etapa seguinte consiste em verificar que R N u dx = 1 e que ν 0 = ν = 0. Dessa forma, mostramos que existe uma função minimizante para a melhor constante de Sobolev S. Mas pela semicontinuidade fraca da norma, temos que Pela definição de S, resulta que u u lim inf k N u k = S. = S. Logo, o ínfimo S é atingido e u é uma função minimizante. Finalmente, usando um múltiplo conveniente da função u obtemos uma solução para o problema (1.11. Encerramos esta seção mencionando que é fato bem conhecido que as soluções do problema (1.11 são conhecidas explicitamente e podem ser escritas como múltiplos de U(x := que verifica a equação diferencial c (1 + x (N /, c := (N(N (N /4, U(x = SU 1 (x, x R N. De forma geral, todas as soluções dessa equação diferencial formam a família de funções U t,y (x := t (N / U(t(x y, em que y R N e t R +. Notamos que essa família de funções é obtida a partir da função U através de translações e dilatações. Além disso, temos que U t,y L (R N, U t,y L (R N e U t,y = U t,y = SN/. 1.4 A identidade de Pohozaev e o resultado de Brézis e Nirenberg Se tentamos resolver um problema semelhante ao problema (1.11 em um domínio limitado Ω R N, a saber, se consideremos o problema u = u u, x Ω, (1.14 u = 0 x Ω, então o método usado anteriormente não mais se aplica. De fato, no caso particular em que Ω é uma bola o problema (1.14 não possui solução. Em outras palavras, quando não linearidades do tipo potência são consideradas, o valor crítico representa um limiar no qual a existência de soluções não triviais pode falhar. Nesta seção consideramos apenas a um resultado de não existência de solução positiva. Para enunciá-lo, necessitamos de uma definição. Dizemos que

28 1 1. Métodos variacionais em equações elípticas um domínio Ω R N com fronteira Ω diferenciável é um conjunto estrelado em relação à origem se ν(x x > 0 para todo x Ω, em que ν(x denota o vetor normal unitário exterior a Ω em x. Proposição 1.8. Suponhamos que Ω R N é um conjunto aberto, limitado, com fronteira Ω diferenciável e estrelado em relação à origem, em que N 3. Então o problema não tem solução em H 1 0 (Ω. u = u u, x Ω, u > 0 x Ω, u = 0 x Ω, (1.15 A demonstração desse resultado é baseada em um resultado de regularidade, que afirma que qualquer solução fraca u H 1 0 (Ω do problema (1.15 é de classe C (Ω e de uma identidade integral, devida a Pohozaev, que enunciamos a seguir. Proposição 1.9. Seja f : R R uma função contínua e seja F(t = t f (s ds. Suponhamos que 0 Ω R N é um conjunto aberto e limitado, em que N 3. Se u C (Ω é uma solução do problema então vale a identidade N Ω u = f (u, x Ω, u = 0 x Ω, u dx N F(u dx = 1 Ω Ω (1.16 ( u ν(x x dσ. (1.17 ν A igualdade (1.17 é conhecida como identidade de Pohozaev. Para a demonstração desse resultado, consulte o livro de Badiale e Serra [3, Theorem 3.4.6, pag. 137] ou o livro de Ambrosetti e Malchiodi [1, Theorem 8.30, pág. 136]. Como consequência direta da Proposição 1.9 vemos que se Ω R N é estrelado em relação à origem, então toda solução do problema (1.16 verifica a desigualdade N F(u dx N u f (u dx > 0. Ω Ω Em particular, se f (u = u p u, então devemos ter ( N p N u p dx > 0, Ω e, se u > 0, então p < N/(N =. Esses comentários implicam que o expoente é crítico não apenas do ponto de vista das imersões de Sobolev como também do ponto de vista de existência de soluções não triviais para o problema (1.16.

29 1.5. Resultados principais 13 Em contraste com a Proposição 1.8, que é um resultado de não existência de solução, Brézis e Nirenberg demonstraram em [7] que adicionando uma perturbação de ordem inferior ao problema (1.15 podemos recuperar a existência de solução positiva no caso de qualquer domínio limitado Ω R N para perturbações convenientemente escolhidas. Mais precisamente, consideramos o problema u(x λu(x = u 1 (x x Ω, u(x > 0 x Ω, (1.18 u H0 1(Ω em que N 3, Ω R N é um conjunto aberto e limitado com fronteira Ω e o espaço H 1 0 (Ω é equipado com a norma u := Ω u dx 1/. As soluções fracas do problema (1.18 são pontos críticos do funcional J : H0 1 (Ω R definido por J(u := 1 u dx λ u dx 1 Ω Ω Ω u dx. Apresentamos agora alguns comentários sobre o intervalo de variação para o parâmetro λ da perturbação linear. Para isso, denotamos por λ 1 o primeiro autovalor do operador laplaciano L[u] := u(x em H0 1 (Ω, isto é, É fato conhecido que λ 1 u(x = λ 1 u(x. λ 1 := inf u H 1 0 (Ω u(x 0 Ω u dx. (1.19 u dx Ω > 0 e que λ 1 é atingido, isto é, existe solução para o problema Usando novamente a Proposição 1.9, se Ω for um domínio estrelado em relação à origem, então o problema (1.18 não possui solução se λ 0. Dessa forma, para obtermos resultados de existência de soluções para o problema (1.18 devemos considerar valores positivos para λ. Proposição Se N 4, então o problema (1.18 tem uma solução para todo λ (0, λ 1, em que λ 1 é o primeiro autovalor definido em (1.19. Se N = 3, então existe λ 0 = λ 0 (Ω com λ 0 [0, λ 1 e tal que o problema (1.18 tem solução se, e somente se, λ (λ 0, λ 1. Em particular, no caso em que Ω é a bola unitária, temos λ 0 = λ 1 /4 e o problema (1.18 tem solução se, e somente se, λ (λ 1 /4, λ 1. Para a demonstração, consulte o artigo original de Brézis e Nirenberg [7] ou o livro de Ambrosetti e Malchiodi [1, Theorem 11.6, pág. 180]. 1.5 Resultados principais Nesta seção, enunciamos os teoremas principais da dissertação, a saber, resultados de existência de soluções para problemas elípticos semilineares definidos em todo o espaço, envolvendo

30 14 1. Métodos variacionais em equações elípticas singularidades tanto no operador quanto na não linearidade e expoentes críticos de Hardy- Sobolev. A referência básica é o trabalho de Wang e Willem [19]. Mais especificamente, estudamos resultados de existência de soluções de energia mínima, conhecidas na literatura como soluções ground state, para equações elípticas degeneradas definidas em R N da forma geral div (A (x u = f (x, u, (x R N, (1.0 em que A : R N R é uma função não negativa que pode ser ilimitada ou se anular em alguns pontos. Essa classe de equações generaliza alguns exemplos apresentados nas seções anteriores e surgem no estudo de ondas estacionárias em equações anisotrópicas de Schrödinger. Como protótipos para estes tipos de problemas, consideramos as equações ( div x a u = x bp u p u, (x R N (1.1 e ( div x a u + λ x (1+a u = x bp u p u, (x R N, λ R. (1. Seguindo algumas das ideias desenvolvidas previamente, procuramos soluções para os problemas (1.1 e (1. no espaço reflexivo D 1, a (R N, definido como o completamento do espaço das funções teste D(R N com relação ao produto interno (, : D 1, a (R N D 1, a (R N R definido por (u, v := x a u v dx R N e com a correspondente norma definida por u := (u, u 1/ = x a u dx R N Consideramos N 3, os parâmetros a e b tais que e o expoente crítico de Hardy-Sobolev 1/. 0 a (N /, a b a + 1 (1.3 p = p(a, b := N N + (b a. (1.4 Utilizando a desigualdade (A.7 estabelecida por Caffarelli, Kohn e Nirenberg, esses problemas permitem formulações variacionais para os parâmetros nos intervalos especificados e, principalmente, podemos formular os seguintes problemas de minimização com restrições. Consideramos S(a, b := inf u D 1, a (R N x b u p =1 x a u (1.5

31 1.5. Resultados principais 15 para o problema (1.1 e S(a, b, λ := inf u D 1, a (R N x b u p =1 x a u x + λ (1+a u (1.6 para o problema (1.. Conforme vimos anteriormente, demonstrar existência de soluções para os problemas (1.1 e (1. é equivalente a demonstrar que os valores S(a, b e S(a, b, λ são atingidos. A desigualdade (A.7 de Caffarelli, Kohn e Nirenberg (Teorema A.3 garante que para os parâmetros especificados em (1.3 e (1.4, existe uma constante positiva C R + independente de u tal que /p x bp u p dx C x a u dx, u D 1, R N R N a (R N. (1.7 Assim, a constante S(a, b é positiva. Como podemos antecipar, a principal dificuldade no estudo dos problemas (1.1 e (1. é a ausência a priori de compacidade das sequências minimizantes, já que ambos os problemas estão definidos em todo o espaço R N e envolvem o expoente crítico p(a, b. Portanto, as sequências minimizantes são invariantes por translações e por dilatações. Para um breve histórico do problema (1.1, mencionamos que Lieb [13] demonstrou a existência de funções minimizantes, isto é, de funções que realizam o ínfimo S(a, b no caso a = 0 e 0 < b < 1. Além disso, Chou e Chu [10] demonstraram o mesmo resultado quando a b < a + 1. Ambos mostraram também que S(a, a + 1 nunca é atingido. Em particular, o valor S(0, 1 que corresponde à desigualdade de Hardy nunca é atingido. O caso a = 0 e 0 < b < 1 também foi estudado por Lions [15] em domínios não limitados. O primeiro resultado, relativo ao problema (1.1, é enunciado a seguir. Teorema Sejam N 3, 0 a < (N /, a + b > 0, a b < 1 + a e p = p(a, b. Seja (u n n N D 1, a (R N uma sequência minimizante para S(a, b verificando x b u n p = 1, x a u n S(a, b. Então existe uma sequência (t n n N ]0, [ tal que a sequência de dilatações ((u n tn n N D 1, a (R N definidas por (u n tn (x := t (N (1+a/ n u n (t n x possui uma subsequência convergente. Em particular, existe uma função minimizante para S(a, b. Para demonstrar o Teorema 1.11 devemos descrever o comportamento de sequências minimizantes para S(a, b. Mais especificamente, determinamos como essas sequências deixam de possuir subsequências convergentes. Assim, resolvemos completamente o problema de compacidade de sequências minimizantes para S(a, b, mostrando que essas sequências são relativamente compactas, a menos de dilatações, quando a b < a + 1 e a + b > 0. O caso

32 16 1. Métodos variacionais em equações elípticas a = b depende de uma estimativa diferente, pois p(a, a = = N/(N e existe uma dilatação duplamente invariante. O método utilizado por Wang e Willem [19] é diferente daquele utilizado por Lions [15], pois avalia quantitativamente a não compacidade de sequências minimizantes. A seguir, enunciamos dois resultados relativos ao problema (1.. Teorema 1.1. Sejam N 3, 0 a < (N /, a b < 1 + a, p = p(a, b e S(a, a + 1 < λ < 0. Seja (u n n N D 1, a (R N uma sequência minimizante para S(a, b, λ satisfazendo x b u n p = 1, x a x u n + λ (1+a u n S(a, b, λ. Então existe uma sequência (t n n N ]0, [ tal que a sequência de dilatações ((u n tn n N D 1, a (R N definidas por (u n tn (x := t (N (1+a/ n u n (t n x possui uma subsequência convergente. Em particular, existe uma função minimizante para S(a, b, λ. Teorema Sejam N 3, 0 a < (N / e p = p(a, b. Seja (u n n N D 1, a (R N uma sequência minimizante para S(a, b, λ satisfazendo x b u n p = 1, Suponhamos que vale um dos grupos de hipóteses a seguir: 1. a < b < a + 1 e 0 < λ, ou. 0 < a = b e 0 < λ 1. x a x u n + λ (1+a u n S(a, b, λ. Então existe uma sequência (t n n N ]0, [ tal que a sequência de dilatações ((u n tn n N D 1, a (R N definidas por (u n tn (x := t (N (1+a/ n u n (t n x possui uma subsequência convergente. Em particular, existe uma função minimizante para S(a, b, λ. Para demonstrar o Teorema 1.1 verificamos que as sequências minimizantes para S(a, b, λ são relativamente compactas a menos de dilatações quando a b < a + 1 e S(a, a + 1 < λ < 0. O caso a = b = 0 e S(0, 1 < λ < 0 foi resolvido por Lions ([14]. Para demonstrar o Teorema 1.13, em que consideramos o caso λ > 0, novamente tratamos de forma diferente os casos a < b < a + 1 e a = b. Ao contrário do valor S(a, b, para S(a, b, λ com λ = 0 não se sabe se existem soluções explícitas para o problema (1.. O método aqui utilizado apresenta uma abordagem uniforme para ambos os problemas. Vale mencionar que Chou e Chu demonstraram em [10] que a solução do problema (P1 é radialmente simétrica. Além disso, Catrina e Wang estudaram em [9] o problema (P1 para o parâmetro a definido no intervalo < a < (N / e demonstraram, entre outros resultados, o caso em que ocorre a quebra de simetria [9, Theorem 1.3]. Esse resultado afirma que existe a 0 0 e uma função h(a definida para a a 0, satisfazendo h(a 0 = a 0, a < h(a < a + 1 para a < a 0, e a + 1 h(a 0 quando a, de forma que para qualquer (a, b, satisfazendo a < a 0 e a < b < h(a, a função que atinge S(a, b é não radial. Mais ainda,

33 1.5. Resultados principais 17 afirma que existe um conjunto aberto H dentro da região a-negativa que contém o conjunto {(a, a R : a < 0} de forma que, para qualquer (a, b H com a < b, a função que atinge S(a, b é não radial. Finalmente, observamos que um melhor entendimento das soluções de energia mínima definidas em todo o espaço R N parece útil para demonstrar resultados de existência de soluções positivas para as equações correspondentes definidas em domínios limitados ou em domínios ilimitados propriamente contidos em R N. O restante desta dissertação está dividido em mais dois capítulos e um apêndice. No capítulo, demonstramos diversos resultados auxiliares, entre os quais destacamos um lema de convergência local e o lema de concentração e compacidade. Em seguida, demonstramos o Teorema No capítulo 3, demonstramos uma nova versão do lema de concentração e compacidade e concluímos com as demonstrações dos Teoremas 1.1 e No Apêndice, definimos os espaços de funções usados na dissertação, enunciamos algumas desigualdades, incluindo a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, bem como alguns resultados de Análise e de Análise Funcional frequentemente utilizados.

34 18 1. Métodos variacionais em equações elípticas

35 -- Sequências minimizantes para S(a, b Nosso objetivo principal neste capítulo é demonstrar o Teorema Para isso, devemos mostrar que S(a, b é atingida. Assim, seja uma sequência minimizante (u n n N D 1, a (R N tal que x b u n p = 1, x a u n S(a, b (n. (.1 Passando, se necessário, a uma subsequência (sempre denotada da mesma forma, podemos supor que u n u fracamente em D 1, a (R N quando n. Isto se justifica devido à convergência de x a u n para S(a, b, o que torna a sequência (u n n N D 1, a (R N limitada. Como toda sequência limitada em um espaço de Banach reflexivo possui sequência fracamente convergente, garantimos a existência da função u D 1, a (R N e da subsequência fracamente convergente. Além disso, como a norma é fracamente semicontínua inferiormente, também temos que x a u lim inf n x a u n = S(a, b. A função u D 1, a (R N é uma função minimizante para S(a, b desde que x b u = 1; p porém, no momento temos apenas a desigualdade x b u 1. Nosso objetivo a partir de p agora é demonstrar que vale a igualdade x b u = 1. p Para isso necessitamos de diversos resultados auxiliares, enunciados nas próximas seções..1 Invariância de sequências minimizantes por dilatações O resultado a seguir estabelece a invariância do problema (1.1 por dilatações. Lema.1. Sejam v D 1, a (R N e t R +. Definimos a dilatação por Então são válidas as seguintes igualdades: 1. x a v t = x a v,. x b p v t = x b v. p v t (x := t (N a / v(tx (. Demonstração. Para verificar a igualdade 1, começamos calculando as derivadas parciais de v t em relação a x i e obtemos v t (x x i = (t(n a / v(tx x i (N a / v(tx = t. x i 19

36 0. Sequências minimizantes para S(a, b Usando a mudança de variáveis y = tx com dy = t N dx segue-se, pela regra da cadeia, que (N a / v(tx (N a / v(y t = t x i y i (N a / v(y = t t y i (N a/ v(y = t. y i para 1 i N. Assim, x v t (x = t (N a/ y v(y e, portanto, e a primeira igualdade fica demonstrada. y i x i x a v t = x a x v t dx R N y = a t (N a y v(y t N dy R N t = y a y v(y dy R N = y a v Para demonstrar a igualdade, utilizamos a mesma mudança de variáveis e obtemos x b p v t = x bp v t (x p dx p R N = x bp t p (N a v(tx p dx R N y = bp t p (N a v(y p t N dy R N t = y bp t p (N a +b N v(y p dy. R N Pela definição de p dada em (1.4, temos que p (N a + b N = 0; assim, y bp t p (N a +b N v(y p dy = y bp v(y p dy = y b v p, R N R N p e a segunda igualdade fica demonstrada. Isso conclui a demonstração do lema.. Lemas técnicos As propriedades demonstradas no Lema.1 garantem que o problema de encontrar funções minimizantes para S(a, b é invariante por dilatações. Agora devemos mostrar que a sequência minimizante (u n n N D 1, a (R N é relativamente compacta a menos de dilatações. Para tanto, necessitamos de alguns resultados técnicos. Começamos considerando a função u(x := (1 + x N. Aubin [] e Talenti [17] demonstraram que essa função realiza a me-