Soluções radiais e não radiais para a Equação de Hénon na bola unitária

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1 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Soluções radiais e não radiais para a Equação de Hénon na bola unitária por Jackson Jonas Silva Costa sob orientação do Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES

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3 Resumo Neste trabalho demonstraremos a existência de solução radial para o seguinte problema de Dirichlet relativo a equação de Hénon u = x α u p 1, em ; u >, em ; (1) u =, na, onde é a bola unitária do R N e < p < + α. Também demonstraremos N existência de solução não-radial para o problema (1) quando < p < e α é suficientemente grande. Palavras-chave: Equação de Hénon, solução radial, solução não-radial, expoente crítico.

4 Abstract In this work we are going to prove the existence of radial solution to the following Dirichlet problem concerning the Hénon equation u = x α u p 1, in ; u >, in ; () u =, on, where is the unitary ball in R N and < p < + α. We will also prove the N existence of non radial solution to problem () when < p < and α is big enough. Keywords: Hénon equation, radial solution, non radial solution, critical exponent.

5 Agradecimentos - A Deus, que me fortaleceu e me deu coragem para recomeçar quando a razão me dizia que estava tudo perdido. - Aos meus pais, José Jonas e Josilda Barbosa, por terem investido em minha vida desde o meu nascimento até hoje, sempre serei grato pelo amor e dedicação sempre presente. Aos meus irmãos César, Geyssy e Géssika, pela amizade lealdade, companheirismo e fraternidade, amo muito vocês! A minha avó Mariza, que é para mim um exemplo de honestidade, caráter e perseverança, pela atenção que sempre demonstrou nos momentos em que eu ia a sua casa depois de um dia de trabalho duro. Te amo vovó! - A minha namorada (em breve esposa) Aurélia, pelo amor, paciência nos momentos em que estive distante e orações. Aurélia, tu és para mim o mais belo e precioso dos presentes que eu poderia receber. EU TE AMO! - Ao Meu orientador Daniel Cordeiro de Morais Filho, por ter acreditado em mim, pelos conselhos, dedicação, incentivo e amizade durante todo o período em que me orientou. Agradeço também pela paciência que demonstrou em vários momentos e pelo rigor quando se tratava da boa escrita de textos matemáticos. Por fim, agradeço pelo excelente trabalho de orientação, e pela contribuição para o meu desenvolvimento intelectual e social. - Aos Professores Giovany Malcher Figueiredo e Claudianor Oliveira Alves, por terem aceitado o convite para participarem da banca examinadora da minha dissertação. - Aos professores de graduação, em especial ao professor Aldo Trajano Louredo, 5

6 6 que foi aquele que mais me incentivou e me fez acreditar que o sonho de fazer um mestrado era possível de ser realizado. Agradeço também aos professores, Aldo Bezerra Maciel e Osmundo Alves Lima, que me deram a oportunidade de trabalhar em um projeto de iniciação científica. - Aos professores de Pós-Graduação, em particular ao professor Marco Aurélio, que muito me incentivou nos estudos. Ao professor Claudianor, que além de ser um exemplo de professor, foi fundamental na conclusão deste trabalho. Ao professor Henrique que me fez ver a beleza da Geometria Diferencial. Ao professor Brandão, pelos conselhos, reflexões e pelo exemplo de humildade. - Aos colegas de mestrado da UFPB, Antônio, Diogo, Gerson, Jairo, Marco Aurélio e Robson, pelo apoio e amizade em todos os momentos. Desejo toda felicidade do mundo para cada um de vocês! - Aos colegas de mestrado da UFCG. Em especial, ao Luciano e à Sheila, que estiveram mais próximos e tornaram-se amigos para vida toda. Também agradeço aos colegas de turma Eder, Geizane, Natan, Marcelo, Paulo, Désio, Josiluiz, Jéssyca, Leidmar e Sabrina. Que Deus presenteie cada um de vocês com felicidade e sucesso em todas as áreas! - Aos funcionários do PPGMAT, em especial a D. Severina (Du), pela amizade, cuidado e gentileza prestada durante todo o período do mestrado. A D. Salete, que sempre esteve pronta a ajudar na secretaria, a D. Argentina, que sempre foi muito atenciosa na biblioteca, e a Shirlei que contribuiu para manter o ambiente de trabalho sempre limpo e agradável. Que Deus Abençoe vocês com toda sorte de Bênçãos! - A todos aqueles que, de forma direta ou indireta, contribuíram para a realização deste trabalho e que infelizmente não me recordo neste momento. - À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo apoio financeiro e à Coordenação da Pós-Graduação em Matemática da UFCG.

7 Dedicatória Aos meus pais José Jonas e Josilda Barbosa. 7

8 Conteúdo Introdução Lista de Notações 1 1 Preliminares Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais Ação de um Grupo Topológico O Espaço H,rad 1 () Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais Identidade de Pohozaev com Peso Aplicação Operador de Nemytskii O Problema de Dirichlet para Equação de Hénon 3.1 Introdução Lema Radial Lema de Compacidade Existência de Solução Radial para Equação de Hénon Regularidade da solução Solução Não-Radial para a Equação de Hénon Introdução Existência de Ground States para Equação de Hénon Uma Condição Necessária para Ground State Radial Solução não-radial para Equação de Hénon

9 ii 4 Existência de Solução para um Problema Generalizado Comentários Sobre o Problema Algumas Estimativas Existência de Solução Radial para um Problema Generalizado A Demonstrações Alternativas 79 B Diferenciabilidade do Funcional Energia 83 C Resultados Utilizados em Demonstrações 88 Bibliografia 13

10 Introdução Ao longo desta dissertação, salvo mensão em contrário, denotará a bola unitária do R N com N 3. Em um trabalho publicado em 1973, M. Hénon [1] introduziu a equação elíptica u = x α u p 1 em (3) onde α > e p >, no contexto do grupo estelar de simetria esférica. A equação (3) é de grande interesse matemático, especialmente no domínio da análise não-linear e métodos variacionais. Nessa dissertação, estudaremos questões relacionadas a existência de solução radial e existência de solução não-radial para o seguinte problema de Dirichlet relativo a equação de Hénon u = x α u p 1, em ; u >, em ; u =, na. (4) Julgamos conveniente dividir esta dissertação da seguinte maneira: No Capítulo 1, achamos interessante introduzirmos algumas definições e teoremas que facilitarão, para o leitor não familiarizado, a leitura dos capítulos subsequentes. Dentre as definições ressaltamos a definição de Ação de um Grupo Topológico que usaremos para introduzir o espaço H,rad 1 (), e para enunciarmos o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais, a saber o Teorema.1 Suponha que a ação de um grupo topológico G sobre um espaço de Hilbert H seja isométrica. Se I C 1 (H, R) é invariante, e u é um ponto crítico de I restrito ao F ix ρ (G), então u é ponto crítico de I em H.

11 Este teorema será útil no Capítulo 3, para mostrarmos que uma determinada função minimizante constitui-se, a menos de um múltiplo escalar, em uma solução para o problema (4). Além disso, apresentaremos um teorema muito utilizado no estudo de não-existência de solução para problemas elípticos o qual é denominado Identidade de Pohozaev com Peso, que é o Teorema. Sejam um domínio limitado com fronteira suave e g : R R uma função contínua. Se u C () satisfaz: { u(x) = g(x, u(x)), para todo x ; y R N u(x) =, para todo x, é um vetor fixado e η(x) denota o vetor normal unitário exterior a no ponto x, então u satisfaz a seguinte identidade u(x) [(x y) η(x)] dx = N G(x, u)dx (N ) onde, G(x, s) = s g(x, t)dt. + N i=1 g(x, u)u dx + 7 (5) (x i y i )G xi (x, u) dx, (6) Em geral, não é difícil encontrar a Identidade de Pohozaev na literatura sem a presença de um peso multiplicando a não-linearidade. Porém, como estamos trabalhando com um problema com peso multiplicando a não-linearidade, baseado em um trabalho publicado em 198 por Figueiredo, Lions e Nussbaum [8], apresentaremos tal identidade com a possibilidade de um peso multiplicando a não-linearidade. Aplicaremos a Identidade de Pohozaev a fim de garantir não-existência de solução para o problema (4) no caso em que p N + N + α N Dedicamos o Capítulo para, baseados em um trabalho publicado em 198, por Wei-Ming Ni [18], mostrarmos existência de solução radial para o problema (4), no caso em que < p < + α N, onde = N é o expoente crítico da imersão N de Sobolev. O ponto mais relevante neste estudo consiste no fato de que o peso x α, que multiplica a não-linearidade u p 1, permite encontrarmos solução radial, (isto é, solução em H,rad 1 ()) para o problema (1) com p maior do que ou igual ao expoente crítico. A demonstração da existência de solução para o problema (1) consiste em aplicar o Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti e Rabinowitz (1973),

12 ao funcional energia associado ao problema (1) definido sobre o espaço H 1,rad (). A demonstração foi dividida em três etapas. Na primeira etapa estudamos um lema radial devido a Wei-Ming Ni (198). Na segunda etapa estudamos um lema de compacidade também devido a Wei-Ming Ni (198). Finalmente, na terceira etapa usamos o lema de compacidade para demonstrar que o funcional energia satisfaz as hipóteses do Teorema do Passo da Montanha, e a condição de Palais-Smale. No Capítulo 3, nos deteremos ao estudo de questões relacionadas a existência de soluções de energia mínima (Ground States) não-radial para o problema (4) no caso em que < p <. Uma função u H 1 () é denominada Ground State para equação de Hénon se realiza o seguinte ínfimo S α,p := inf u H 1 () u u dx ( x α u p dx ) p Na Seção 3. mostraremos a existência de Ground States para equação (3), em seguida aplicaremos o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (ver Teorema C., apêndice C) para mostrarmos que uma Ground State, a menos de um múltiplo escalar, é uma solução do problema (4). Ainda na mesma seção, mostraremos que S rad α,p uma função de H,rad 1 (), onde S rad α,p := inf u H 1,rad () u u dx ( x α u p dx ), p 8 é atingido por e usaremos o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais (ver Teorema 1.1, capítulo 1) para concluirmos que tal função também é uma solução do problema (.1). Com isto, surge a seguinte questão: Existe solução Ground States não-radial para a equação de Hénon? A fim de responder esta questão, provaremos, na Seção 3.3, uma condição necessária para que uma Ground State seja radial. Na seção 3.4 provaremos o principal resultado deste capítulo, a saber o Teorema.3 Se N 3 e < p <, então existe α > tal que não existe Ground State radial para equação de Hénon quando α > α. O qual garante existência de solução (Ground States) não-radial para para equação de Hénon quando α é suficientemente grande.

13 No Capítulo 4, ainda baseados em Ni [18], faremos uma generalização do Problema (4), isto é, mostraremos existência de solução radial positiva para o problema u = b( x )f(u) em ; (7) u = em, onde as funções b : R R e f : R R satisfazem as seguintes hipóteses: (b 1 ) b(r) é localmente Hölder contínua, não negativa, b() = e b em ; (b ) b(r) = O(r α ) quando r, para algum α > ; (f 1 ) f é uma função localmente Hölder contínua, (f 1.1 ) f(z), z >, (f 1. ) f(z) = o(z) quando z, (f ) Existe M 1 > tal que f(z) C(1 + z ) p, para todo z M 1, onde p < N + N + α N ; (f 3 ) Existem constantes θ (, 1/) e M > tais que F (z) θ.z.f(z) para z M, onde F (z) = z f(t) dt. O problema (7) foi estudado inicialmente por Ambrosetti e Rabinowitz (1973) em [1] com uma não-linearidade g(x, u) mais geral, definida em um domínio arbitrário com fronteira suave. Entretanto, a não-linearidade g(x, u) apresentava crescimento subcrítico em u. Ou seja, Ambrosetti e Rabinowitz haviam tratado o caso em que o crescimento de g em u é menor do que u p, com p < N +. O que torna o problema N (7) interessante é o fato de que f pode apresentar crescimento crítico e até mesmo supercrítico. No Apêndice A, apresentaremos algumas demonstrações alternativas para resultados vistos no Capítulo. dados por No Apêndice B mostraremos que os funcionais energia I, J : H 1,rad () R J(u) = 1 u 1 b( x ) F (u) dx, I(u) = 1 u 1 1 x α u τ u dx, τ + 1 onde F (z) = z f(t) dt, são de classe C 1 (H 1,rad (), R). E, além disso I (u).v = u v dx x l u τ v dx, e 9

14 J (u).v = u vdx b( x )f(u).v dx, 1 para todo v H,rad 1 (). Já no Apêndice C, provaremos algumas proposições que, se fossem provadas no decorrer das demonstrações as tornariam muito cansativas. Por isso julgamos conveniente deixa-las para o apêndice. Também, enunciaremos os principais resultados utilizados ao longo de demonstrações, e forneceremos referencias onde poderão ser encontradas as respectivas demonstrações.

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16 1 Lista de Notações Notações Gerais indica final de demonstração. B(x, δ) bola aberta de centro x e raio δ, E espaço vetorial real, F ix(g) espaço dos pontos ρ-invariantes (ver p. 18), X espaço de Banach real, X dual topológico de X, q.t.p quase toda parte, u A restrição da função u ao conjunto A, f denota a derivada de Gâteaux e derivada de Fréchet da função f, suppf suporte da função f, A, B, C, M, K, A i, B i, C i, M i, K i, i = 1,,... denotam constantes positivas,

17 13 D α u u = ( u x 1, u x,..., u x N ) α-derivada fraca de u L 1 (), onde α = (α 1,..., α n ) é um multiíndice de ordem α = α α n = k, gradiente de u, N u u = x i=1 i u ν = νu = ν u laplaciano de u, derivada normal exterior,, denota produto interno e aplicação dualidade, R N domínio no espaço R N, fecho do conjunto, fronteira de, lim sup f n limite superior da função f quando n, lim inf n f limite inferior da função f quando n, p expoente crítico de Sobolev definido por Np se 1 p < N; p = N p + se p N p = p/(p 1) conjugado hölderiano de p,

18 14 f = o(g) quando x x f = O(g) quando x x se lim x x f(x) g(x) = se lim x x f(x) g(x) M < + x n = o n (1) se lim n + x n = R + = [, + ) semi-eixo real não negativo, S α,p := inf u H 1 () u ( S rad α,p := inf u H 1,rad () u u dx x α u p dx ) p ( u dx x α u p dx ) p ω N = B(,1) dx Espaços de Funções C () funções contínuas que se anulam na fronteira de, C() funções contínuas sobre, C k () funções k vezes continuamente diferenciáveis sobre, k N, C () = k C k () C k () = C k () C () C () = C () C ()

19 15 L p () funções mensuráveis u sobre tais que u p dx <, 1 p <, L () funções mensuráveis u sobre tais que existe C satisfazendo u(x) C q. t. p. sobre, W 1,p () funções u L p () tais que existem g 1, g,..., g N L p () satisfazendo u ϕ dx = g i ϕdx, x i ϕ C c (), i = 1,..., n com 1 p W 1, () = H 1 () W m,p () funções u L p () tais que α > com α m, g α L p () satisfazendo ud α ϕ dx = = ( 1) α g α ϕdx ϕ Cc () com 1 p, W m, () = H m () W 1,p () o completamento de C 1 c (), na norma de W 1,p (), 1 p <, H 1 () = W 1, () H 1,rad () espaços das funções radiais de H1 () (ver p. 19), W 1,p () dual topológico do espaço W 1,p ()

20 Normas ( 1/p u L p () = u dx) p norma do espaço de Lebesgue L p () 16 u,p, = u L p () u W 1,p () = ( u p p + N ) p p u x i norma do espaço de Sobolev W 1,p () i=1 p u 1,p, = u W 1,p () ( ) 1/p u L p () = u p dx norma do espaço W 1,p (), equivalente a u W 1,p () u = u L p () norma do espaço H 1 (), equivalente a u H 1 ()

21 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados e definições que serão utilizados em capítulos posteriores. Mais precisamente, definiremos o espaço H,rad 1 (), enunciaremos e demonstraremos o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais, o qual será utilizado no Capítulo 3, e a Identidade de Pohozaev com Peso que será utilizada no Capítulo. As principais referências utilizadas neste capítulo foram o livro do Willem [] e um trabalho publicado por Figueiredo, Lions e Nussbaum [8]. 1.1 Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais Iniciaremos esta seção com algumas definições que serão importantes para enunciarmos o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais Ação de um Grupo Topológico Definição 1.1 Um grupo topológico é um espaço topológico (G, τ, +), munido de uma operação "+"que torna G um grupo ( "τ"denota a topologia de G), tal que: i) A aplicação + : G G G definida por +(g, h) = g + h é contínua; ii) A função I 1 : G G definida por I 1 (g) = g 1 é contínua. Exemplo 1.1 Denotaremos o conjunto dos operadores lineares A : R N R N que preservam produto interno por: O(N) = {A L(R N, R N ); Ax, Ay = x, y }.

22 18 É possível verificar que O(N) munido com a operação produto de matrizes é um grupo topológico, o qual é designado na literatura por grupo de rotações em R N. Segue da Proposição C.11 (ver apêndice C) que, se A O(N) então det A = ±1. Com isto, o conjunto: SO(N) = {A L(R N, R N ); Ax, Ay = x, y e det A = 1} é um subgrupo topológico de O(N). Definição 1. Uma ação de um grupo topológico G sobre um espaço vetorial E é uma aplicação contínua ρ : G E E (g, u) ρ(g, u) = g u que satisfaz: i) 1 u = u para todo u E; ii) (g + h) u = g (h u) para todos g, h G e u E; iii) u g u é linear, para todo g G. Exemplo 1. A aplicação ρ : SO(N) H() 1 H() 1 (g, u) ρ(g, u) = g u : R x g u(x) = u(g(x)) é uma ação. De agora em diante, quando falarmos em ação de SO(N) sobre o H(), 1 estaremos nos referindo a ação ρ. Estabeleceremos a seguir algumas definições: O espaço dos pontos ρ-invariantes é o seguinte subconjunto de E F ix(g) = {u E; g u = upara todo g G}. W E é um conjunto ρ-invariante se g u = u, para todo par (g, u) G W. Dizemos que ϕ : E R é um funcional ρ-invariante se ϕ(g u) = ϕ(u), para todo par (g, u) G E.

23 19 Denominaremos ρ de ação isométrica se ρ u = u, para todo par (g, u) G E. (1.1) A seguir exemplificaremos alguns dos conceitos anteriores, apresentaremos um subespaço de H 1 () o qual será de fundamental importância nos capítulos subsequentes O Espaço H 1,rad () Denotaremos por H,rad 1 () ao seguinte conjunto H 1,rad() = F ix(so(n)) = { u H 1 () ; u(x) = u(g(x)), g SO(N) e x }. Chamaremos as funções de H,rad 1 () de funções radiais. A seguir, demonstraremos uma proposição que será de grande utilidade nos próximos capítulos desta dissertação. Proposição 1.1 u H,rad 1 () se, e somente se, u(x) = u( x ), para todo x. Demonstração. Suponha, inicialmente, que u(x) = u( x ) para todo x. (1.) Seja g SO(N), então g(x) = g(x), g(x) = x, x = x. O que implica em, g(x) = x, para todo x. (1.3) As igualdades (1.) e (1.3) acarretam em u(x) = u( x ) = u( g(x) ) = u(g(x)), para todo x. Reciprocamente, se u(g(x)) = u(x), para todo g SO(N) e para todo x, (1.4)

24 mostraremos que é possível definir uma função ũ de modo que, ũ(r) = u(x) para todo x com x = r. Com efeito, seja x S[, r], com < r < 1, então dado y S[, r], considere uma rotação g y SO(N) tal que g y (y) = x. (1.5) Usando as igualdades (1.4) e (1.5), obtemos u(y) = u(g y (y)) = u(x ). O que implica em, u(y) = u(x ) para todo y S[, r]. Ou seja, u é constante em cada esfera de raio r (, 1). Portanto, podemos definir u(r) := u(x), onde r = x. Com isto a afirmação está provada. Observação 1.1 O espaço F ix(g) dos pontos invariantes de G é um subespaço fechado. De fato, sejam u, v F ix(g), e λ R. Dado g G, então usando o item iii) da Definição 1. deduzimos g (u + λv) = g u + g λv = u + λv. (1.6) De onde concluímos que F ix(g) é um subespaço de G. Agora, mostremos que F ix(g) é fechado. Para tanto, considere uma sequência {u n } F ix(g) e u E, tais que u n u em E. Então, fixado g G, temos (g, u n ) (g, u) em G E. Visto que, por definição, a ação é contínua, então u n = g u n g u para todo g G. Daí, pela unicidade do limite, segue que g u = u para todo g G, e portanto u F ix(g). Logo, F ix(g) é um subespaço fechado de G. Segue da Observação 1.1, que H 1,rad () é um subespaço fechado de H1 () Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais Nesta seção demonstraremos um resultado que será utilizado posteriormente no Capítulo 3. Teorema 1.1 Suponha que a ação de um grupo topológico G sobre um espaço de Hilbert H seja isométrica. Se I C 1 (H, R) é invariante, e u é um ponto crítico de I restrito ao F ix(g), então u é ponto crítico de I em H.

25 1 Demonstração. Desde que, I C 1 (H, R), para cada g G e u H, tem-se I I(g u + tv) I(g u) (g u) v = lim. (1.7) t t Sendo I um funcional invariante, então I(g u + tv) = I(g 1 (g u + tv)) = I(u + tg 1 v), (1.8) e I(g u) = I(u). (1.9) Das igualdades (1.7), (1.8) e (1.9), resulta I (g u) v = I(u + tg 1 v) I(u) lim t t = I (u) (g 1 v). De onde segue que I(g u), v = I(u), g 1 v, para todo v H. (1.1) Afirmação 1.1 I(g u) = g I(u) para todo g G. De fato, desde que a ação é uma isometria, ou seja, g u H u g u é linear, então = u H, e a aplicação u, v = 1 ( u + v u v ) = 1 ( g (u + v) g u g v ) = 1 ( g u + g v g u g v ) = g u, g v (1.11) Usando as igualdades (1.1) e (1.11), obtemos I(g u), v = I(u), g 1 v = g I(g u), g (g 1 v) = g I(u), v, v H.

26 O implica em I(g u) = g I(u), u H. E assim, a afirmação está provada. Por outro lado, como u F ix(g), então g u = u, para todo g G. (1.1) Pela Afirmação 1.1, juntamente com a igualdade (1.1), deduzimos I(u) = I(g u) = g I(u), g G. Com isto, I(u) F ix(g). (1.13) Como, por hipótese, u é ponto crítico de I restrito ao F ix(g), seque que I(u), v = I (u) v =, para todo v F ix(g). Logo, I(u) F ix(g). (1.14) Visto que, F ix(g) é um subespaço fechado de H, (ver Observação 1.1), então F ix(g) F ix(g) = {}. Assim, das expressões (1.13) e (1.14), concluímos: I(u) F ix(g) F ix(g) = {}. Com isto, I(u) =. Consequentemente, I (u) v = I(u), v =, para todo v H. Portanto, u é ponto crítico de I.

27 1. Identidade de Pohozaev com Peso 3 Nesta seção apresentaremos uma identidade muito utilizada no estudo de nãoexistência de soluções positivas para problemas elípticos. E que, conforme veremos na próxima seção, será aplicada a fim de garantir não-existência de solução para o problema de Dirichlet relativo a equação de Hénon. Em geral, não é difícil encontrar a identidade de Pohozaev na literatura sem a presença de um peso multiplicando a nãolinearidade. Porém, baseado em um trabalho publicado em 198 por Figueiredo, Lions e Nussbaum [8], apresentaremos tal identidade com a presença de um peso multiplicando a não-linearidade. Teorema 1. Sejam um domínio limitado com fronteira suave e g : R R uma função contínua. Se u C () satisfaz: { u(x) = g(x, u(x)), para todo x ; y R N u(x) =, para todo x, (1.15) é um vetor fixado e η(x) denota o vetor normal unitário exterior a no ponto x, então u satisfaz a seguinte identidade u(x) [(x y) η(x)] dx = N G(x, u) dx (N ) onde, G(x, s) = s g(x, t)dt. + N i=1 g(x, u)u dx + (x i y i )G xi (x, u) dx, (1.16) Demonstração. Sendo u uma solução do problema (1.15), deduzimos u[(x y) u]dx = g(x, u(x))[(x y) u]dx [ ] N = g(x, u(x)) (x i y i ) u dx x i=1 i N [ = (x i y i )g(x, u(x)) u ] dx. (1.17) x i Observe que: G x i (x, u(x)) = i=1 ( N ) G xj (x, u(x)) j=1 = g(x, u(x)) u x i + + G xj+1 (x, u(x)) u x i N G xj (x, u(x)). (1.18) j=1

28 E, do Corolário C. (ver Apêndice C), segue que i=1 (x i y i ) G (x, u(x)) dx = x i 4 G(x, u(x)) dx (1.19) As igualdades (1.17), (1.18) e (1.19) acarretam em N [ ] G N u[(x y) u]dx = (x i y i ) (x, u(x)) G xj (x, u(x)) dx i=1 x i j=1 [ N = (x i y i ) G ] N (x, u(x)) (x i y i ) G xj (x, u(x)) dx i=1 x i j=1 N N N = G(x, u(x)) dx (x i y i ) G xj (x, u(x)) dx = N G(x, u(x)) dx i=1 N i=1 (x i y i ) j=1 N G xj (x, u(x)) dx. (1.) Agora, calculemos o divergente do campo [(x y) u] u. ( div[(x y) u] u = div [(x y) u] u,..., [(x y) u] u ) x 1 x N = ( [(x y) u] u ) ( [(x y) u] u ) x 1 x 1 x N x N [ = [(x y) u] u ] + [(x y) u] u +... x 1 x 1 x 1 [... + [(x y) u] u ] + [(x y) u] u x N x N x N [ = [(x y) u] u [(x y) u] u ] + x 1 x 1 x N x N ( ) u +[(x y) u] u x 1 x N ( = u N ) ( (x i y i ) u u N ) (x i y i ) u x 1 x 1 x i x N x N x i i=1 j=1 +[(x y) u] u [ N ( N )] u = (x i y i ) u + [(x y) u] u x k x k x k=1 i=1 i ( ) N u u N u = + (x i y i ) + [(x y) u] u x k x k x k=1 i=1 k x i N ( ) [ u N N ] u u = [(x y) u] u + + (x i y i ) x k x k x k x i k=1 k=1 i=1 i=1

29 = [(x y) u] u + u + = [(x y) u] u + u + = [(x y) u] u + u + 1 N (x i y i ) u u x k x k x i N (x i y i ) 1 ( u x i x k i,k=1 i,k=1 N i=1 ) 5 (x i y i ) x i u. (1.1) Usando o Teorema do Divergente (ver Teorema C.19) juntamente com a igualdade (1.1), concluímos que [(x y) u] u η(x)dx = + 1 u[(x y) u]dx + N i=1 Agora, calculemos o divergente do campo 1 u (x y). [ ] 1 div u(x) (x y) = ( 1 u + x 1 y 1 N = N u + 1 i=1 ( x1 y 1 = div u,..., x N y N ( x1 y 1 = x 1 u ) u dx + (x i y i ) x i u dx. (1.) x N u ) ) ( 1 u x 1 u + x N y N ( ) xn y N u ) u x N (x i y i ) x i u. (1.3) Usando o Teorema do divergente juntamente com a identidade (1.3), acarreta N u dx + 1 N i=1 (x i y i ) x i u dx = 1 u (x y) η(x) dx. (1.4) Das igualdades dadas em (1.) e (1.4), segue y) u] u η(x) dx = [(x 1 u (x y) η(x)dx N u dx + + u[(x y) u]dx + u dx. O que implica em y) u][ u η(x)]dx = [(x 1 + u (x y) η(x)dx + N u dx + u[(x y) u] dx. (1.5)

30 Por outro lado, visto que u(x) é paralelo a η(x) para todo x, existe λ R tal que: u = λ η(x) = u η(x) = λ.η(x) η(x) = u η(x) = λ. η(x) = u η(x) = λ.1 = λ = u η(x) = u = ( u η(x)) η(x) (1.6) = u = ( u η(x)) η(x) = u = ( u η(x)). (1.7) Das expressões (1.6) e (1.7), resulta: [(x y) u]( u η(x)) = (x y) [( u η(x)) η(x)]( u η(x)) = [(x y) η(x)]( u η(x)) 6 = [(x y) η(x)] u. (1.8) Fazendo uso das igualdades (1.5) e (1.8), segue que y) η(x)] u [(x dx = 1 u [(x y) η(x)] dx + N u dx + + u[(x y) u] dx, (1.9) ou equivalentemente, [(x y) η(x)] u dx = Tendo em vista as sentenças (1.) e (1.3), concluímos [(x y) η(x)] u dx = N u[(x y) u] dx + ( N) u dx. (1.3) (N ) G(x, u(x)) dx + N i=1 (x i y i ) N G xj (x, u(x)) dx j=1 u dx. (1.31) Por outro lado, da Fórmula de Integração por Partes (ver Corolário C.), deduzimos (x i y i )G xj (x, u(x)) dx = para todo i j. De onde segue que N i=1 (x i y i ) N G xj (x, u(x)) dx = j=1 N E desde que u é solução do problema (1.15), então u dx = g(x, u)u dx. i=1 (x i y i )G xj (x, u(x)) dx. (1.3)

31 A identidade anterior, juntamente com as identidades (1.31) e (1.3), acarretam em u(x) [(x y) η(x)] dx = N + N i=1 G(x, u)dx (N ) (x i y i )G xi (x, u) dx. g(x, u)u dx + 7 Portanto, o Teorema 1. está demonstrado Aplicação Nesta seção aplicaremos o Teorema 1. para provar um resultado de não-existência de solução para o problema de Dirichlet relativo a equação de Hénon, a saber u = x α u p 1, em ; u >, em ; u =, na, (1.33) onde é a bola unitária do espaço euclidiano R N, com N >, α e p >. Teorema 1.3 O problema (1.33) não tem solução u C () para p + α N. Demonstração. Suponha que u C () é solução do problema (1.33). Então, pelo Teorema 1., temos a seguinte identidade: u(x) [x η(x)] dx = N onde, g(x, s) = x α s p 1 e G(x, s) = Afirmação 1. + s N i=1 G(x, u) dx (N ) g(x, u)u dx + x i G xi (x, u) dx, (1.34) g(x, t) dt = x α s p. p u(x) [x η(x)] dx >. De fato, para cada x, temos η(x) = x, assim x η(x) = x = 1, para todo x,

32 8 o que implica em Suponha, por absurdo, que u(x) [x η(x)] dx = u(x) [x η(x)] dx =. u(x) dx. A igualdade anterior aliada ao fato de que o u é contínuo, acarreta em u na. Assim, usando o Teorema do Divergente e a hipótese de que u uma solução do problema (1.33), obtemos = u(x) η(x) dx = u dx = x α u p 1 dx. o que é um absurdo, visto que u > em. Portanto a afirmação está provada. Agora, note que G xi (x, u) = 1 p x α x i u p. (1.35) Por outro lado, sendo u uma solução do Problema 1.33, então u v dx = Em particular, fazendo v = u, temos x α u p 1 v dx, u dx = para todo v H 1 (). x α u p dx. A igualdade anterior juntamente com as expressões (1.34), (1.35) e a Afirmação 1., acarretam em < N x α u p dx (N ) x α u p dx + α N x α x i u p dx p p i=1 ( ) N = (N ) x α u p dx + α x α x u p dx p p ( ) N + α = (N ) x α u p dx. p De onde segue que N + α p (N ) >,

33 9 ou equivalentemente, p < N + α N = + α N Portanto, o teorema está demonstrado. Na próxima seção estudaremos uma importante classe de operadores. Tal estudo será útil para garantir a continuidade de alguns operadores que surgirão no Capítulo 1 e no Capítulo. 1.3 Operador de Nemytskii Denotemos o conjunto das funções mensuráveis por M. Seja um subconjunto aberto do espaço euclidiano R N, onde N 1. Uma função f : R R é denominada função de Carathéodory quando goza das propriedades: i) para cada s R fixado, a função x f(x, s) é (Lebesgue) mensurável em ; ii) para quase todo x R, a função s f(x, s) é contínua em R. Proposição 1. Se f : R R é uma função de Carathéodory e u : R é (Lebesgue) mensurável, então a função x f(x, u(x)) é (Lebesgue) mensurável. Demonstração. Seja u uma função mensurável, então pelo Teorema C.16 existe uma sequência {u n } de funções simples tal que u n (x) u(x), q.t.p em. (1.36) Como cada função u n é simples, podemos escrever K N f(x, u n (x)) = f(x, a j ) χ Aj (x), (1.37) j=1 onde A j = {x ; u n (x) = a j }. Desde que f é uma função de Carathéodory, então f(, a j ) é mensurável para cada j {1,... K N }, e visto que as funções χ Aj são ménsuráveis, então f(, a j ) χ Aj é mensurável. Logo, da igualdade (1.37), segue que f(x, u n (x)) é mensurável. Por outro lado, usando o item ii) juntamente com a convergência dada em (1.36), obtemos f(x, u n (x)) f(x, u(x)), q.t.p em.

34 3 Desde que limite de funções mesuráveis ainda é uma função mensurável, concluímos que f é mensurável. Deste modo, para cada função de Carathéodory f, a Proposição 1. nos permite definir o operador N f : M M u N f u : R x (N f u)(x) = f(x, u(x)), o qual denominamos de Operador de Nemytskii. Teorema 1.4 Suponha que existam c, r >, e uma função b L q (), com 1 q +, tais que f(x, s) c s r + b(x), para todo par (x, s) R. (1.38) Então vale as seguintes assertivas: i) o operador N f : L qr () L q () está bem definido; ii) N f é contínuo e leva conjunto limitado em conjunto limitado. Demonstração. Usando a estimativa (1.38), obtemos f(x, u(x)) q dx c u(x) r + b(x) q dx (c) q u(x) rq dx + q b(x) q dx < +. (1.39) Deste modo concluímos que N f u L q () para todo u L rq (), com isto o item i) está demonstrado. Agora demonstraremos que N f é contínuo. Para tanto, consideremos {u n } L rq () e u L rq () tais que u n u em L rq (). Considere uma subsequência {u nj } {u n }. Pelo Teorema C.17, existe uma subsequência {u njk } {u nj } e h L rq () tais que u njk (x) u(x) q.t.p em, quando k + ; (1.4) u njk (x) h(x) q.t.p em, para todo k. (1.41)

35 31 Usando as estimativas (1.38) e (1.41), resulta em f(x, u njk (x)) c h(x) r + b(x). (1.4) Desde que h L rq () e b L q (), então c h(x) r + b(x) L q (). Por outro lado, como, por hipótese, f é uma função de Carathéodory, segue da convergência (1.4) que f(x, u njk (x)) f(x, u(x)) q.t.p em, quando k +. (1.43) O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, juntamente com a estimativa (1.4) e a convergência (1.43) acarretam em lim f(x, u njk (x)) q dx = f(x, u(x)) q dx. k + Da Proposição C.6 (ver apêndice C), concluímos que ou equivalentemente, lim f(x, u n (x)) q dx = f(x, u(x)) q dx, n + N f (u n ) N f (u). Portanto, o operador de Nemytskii N f é contínuo. Além disso, se u L rq () M, então pela estimativa (1.38), obtemos N f (u) q L q () = f(x, u(x)) q dx (c) q u(x) rq dx + q b(x) q dx (c) q M rq + q b(x) q dx = M. Com isto, N f leva conjunto limitado em conjunto limitado. Com isto, o teorema está demonstrado.

36 Capítulo O Problema de Dirichlet para Equação de Hénon.1 Introdução Neste capítulo, baseados em um trabalho publicado em 198, por Wei-Ming Ni [18], demonstraremos a existência de solução radial para o problema de Dirichlet relativo a Equação de Hénon, a saber u = x α u p 1, em ; u >, em ; u =, na, (.1) onde é a bola unitária do espaço euclidiando R N, com N >, α >, < p < + α N, e = N é o expoente crítico de Sobolev. O ponto mais relevante N neste estudo consiste no fato de que o peso x α, que multiplica a não-linearidade u p 1, permite encontrarmos solução radial (isto é, solução no espaço H,rad 1 () ) para o problema (.1) com p maior do que ou igual ao expoente crítico de Sobolev. Quando consideramos α = a identidade de Pohozaev nos permite concluir que não há solução em H 1 () para o Problema (.1) se p. Além disso, como podemos ver no Teorema 1.3, o problema (.1) não possui solução para p + α. A demonstração da existência de solução para o problema (.1) consiste em N aplicar o Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti e Rabinowitz (1973)

37 33 ao funcional energia associado ao problema (.1), definido sobre o espaço H,rad 1 (). Dividimos a demonstração em três etapas. Na primeira etapa estudamos um lema radial devido a Wei-Ming Ni (198). Na segunda etapa estudamos um lema de compacidade também devido a Wei-Ming Ni (198). Finalmente, na terceira etapa usamos o lema de compacidade para demonstrar que o funcional energia associado ao problema (.1) satisfaz as hipóteses do Teorema do Passo da Montanha e a condição de Palais-Smale.. Lema Radial Nesta seção demonstraremos um lema que será útil no decorrer de algumas demonstrações tanto neste capítulo, como no Capítulo 4. Lema.1 Seja u H,rad 1 () com u(1) =. Então u(x) 1 ωn (N ). u L (), x N onde ω N é a área da superfície da bola unitária em R N, N 3. Demonstração. Desde que u é radial, segue que u(x) = u( x ), para todo x. Como, para cada x S N 1, temos x = 1, então u(x) = u(1) =, para todo x S N 1. Assim, dado x, com x = r, temos u(x) = u( x ) = u(1) u(r) = 1 r u (t)dt, isto, juntamente com a desigualdade de Hölder (ver Teorema C.6, apêndice C), implica em u(x) 1 r u (t) dt = 1 r u (t) t N 1 t 1 N dt ( 1 ) 1 ( u (t) t N 1 1 dt r ( 1 r ) 1 t 1 N dt ) 1 ( u (t) t N 1 1 dt N + r N N ) 1

38 ( 1 34 ) 1 ( ) u (t) t N 1 r N 1 dt. (.) N Por outro lado, pela Proposição C. (ver apêndice C), temos: u L () = ω N 1 u (t) t N 1 dt. (.3) Relacionando a desigualdade (.) com a igualdade (.3), obtemos u(x) = ( ) 1 ( 1 u r N L ω () N N 1 ωn (N ) u L () x N ) 1.3 Lema de Compacidade Nesta seção provaremos um lema que será útil para justificar a compacidade de um operador Υ, a ser definido na próxima seção, com o propósito de mostrar que o funcional energia associado ao problema (.1) satisfaz a condição (P.S). Lema. O operador T : H 1,rad () Lp () definido por T (u) = x m u é compacto, desde que p [1, m ) com N m N, se m < = N m ; +, caso contrário. Demonstração. Pelo Lema.1, temos ( x m u p dx x mp 1 ωn (N ) u ) p L () dx = = u p L () ( ω N (N )) p u p 1 L () (ω N ( ω N (N )) p ω N u p L () ( ω N (N )) p Por hipótese, vale um dos itens seguintes: i) m < N N, e 1 p < N m ; 1 x N N (m x )p dx ) N (m r )p.r N 1 dx N (m r )p+n 1 dx. (.4)

39 ii) m N e 1 p <. Note que, em qualquer um dos casos referidos anteriormente, após uma manipulação algébrica, verifica-se que (m N )p + N 1 > 1. Deste modo, a desigualdade (.4), acarreta em T (u) p L p () = x m u p dx ω N u p L () ( ω N (N )) p ( 1 (m N )p + N ) 35 = c 1 u p L (). (.5) ( ωn ) p ω N (N ) onde c 1 = (m N )p + N De onde Segue que T (u) Lp () e T (u) L p () c p 1 u. Portanto, T é um operador contínuo. Agora mostraremos que T é compacto. Para tanto, considere a (, 1). Usando a desigualdade de Hölder, deduzimos x m u p dx x mp u p a u a dx ( ) a ( ) 1 a u dx x mp p a 1 a u 1 a dx. (.6) De agora em diante dividiremos a demonstração em dois caso. Primeiro Caso: m < N e 1 p < N N m Inicialmente provemos a seguinte afirmação: Afirmação.1 Existe a (, 1) tal que, p = p a 1 a < N N m, onde m = mp/(p a) < N. De fato, note que lim a Assim, existe < δ < 1 tal que Suponha, por absurdo, que mp p a = m < N. mp p a < N, para todo a (, δ). (.7) p a 1 a N N mp p a

40 36 para todo a (, δ). Então, fazendo a, obtemos p N N m, o que é um absurdo. Logo, existe a (, δ) tal que onde m = p a 1 a < N N m, mp p a < N. Portanto, a afirmação está provada. Isto é, Usando a afirmação anterior juntamente com a estimativa (.5), obtemos x m u p dx c 1 u p L (). (.8) x mp p a 1 a u 1 a dx c1 u p a 1 a L (). (.9) Relacionando as desigualdades (.6) e (.9), concluímos ( ) a ( T (u) p L p () = x m u p dx u dx ( ) a ( ) 1 a x mp p a 1 a u 1 a dx ) 1 a u dx c 1 u p a 1 a L () = c u a L 1 () u p a, (.1) onde c = c 1 a 1. Usando o Teorema de Rellich-Kondrachov (ver Teorema C.13, apêndice C), temos a imersão compacta H 1,rad() L 1 (). (.11) Assim, se (u n ) uma sequência limitada em H,rad 1 (). Pelo Teorema C.17 existem uma subsequência (u nj ) (u n ) e u H,rad 1 (), tal que u nj u, em L 1 () quando j +. (.1) Usando a desigualdade (.1) e convergência (.1), deduzimos T u nj T u L p () = T (u nj u) L p () c 1 p u nj u a p L 1 () u n j u p a p c 1 p ( unj + u ) p a p u nj u a p L 1 () c 1 p (M + u ) p a p u nj u a p L 1 (), (.13)

41 onde M é uma constante positiva que limita a sequência (u n ) em H,rad 1 (). Portanto, T é um operador compacto. 37 Segundo Caso: m N e 1 p < +. Considere p a = p a 1 a, e m a = mp, onde a (, 1). Observe que, p a m a = mp p a > mp p = m N = m a > N ; e p a = p a 1 a 1. Como m a > N o que implica em e p a 1, então usando a desigualdade (.5), acarreta: x ma u pa dx c 1 u p a L (), x m a p a 1 a u 1 a dx c1 u p a 1 a L (). (.14) Das desigualdades (.6) e (.14), resulta ( ) a ( T (u) p L p () = x m u p dx u dx c 1 u p a 1 a L () = c 1 a u a L 1 () u p a. ) 1 a Usando a imersão compacta dada em (.11) e procedendo de modo análogo ao primeiro caso, concluímos que o operador T é compacto. Portanto o lema está demonstrado..4 Existência de Solução Radial para Equação de Hénon O objetivo desta seção é provar a existência de solução para o problema (.1). Para tanto, inicialmente mostraremos que o problema u = x α u p 1, em ; u =, na, (.15) onde α > e < p < N N + α N possui uma solução u no espaço H1,rad (). Usaremos a teoria de regularização (conforme veremos na Seção.5) para garantirmos

42 que u C (), em seguida aplicaremos o Princípio do Máximo Clássico a fim de concluir que u é positiva em. Com isto, teremos provado que u é uma solução para o problema (.1). Teorema.1 O problema (.1), possui solução no espaço H 1,rad (). Demonstração. Inicialmente, a fim de facilitar as contas, consideremos τ = p 1. A demonstração deste teorema consiste em aplicar o Teorema do Passo da Montanha (ver Teorema C.1, Apêndice C) ao funcional I : H,rad 1 () R u I(u) = 1 u 1 x α u τ u dx. τ (.16) Este funcional está bem definido em virtude do Lema.1 com I C 1 (H,rad 1 (), R) (ver Proposição B.1, apêndice B) e I (u).v = u v dx para todo v H 1,rad (). x α u τ v dx, (.17) Inicialmente, mostremos que I tem a Geometria do Passo da Montanha. Isto é, I satisfaz as hipóteses i) e ii) do Teorema C.1 (ver apêndice C). Com efeito, usando o Lema.1 (ver estimava (B.1), apêndice B), deduzimos x α u τ u dx c u τ+1, ou equivalentemente, x α u τ u dx u c u τ 1. De onde segue que lim u x α u τ u dx u =. Assim, pela definição de limite, existe δ >, tal que x α u τ u dx u < τ + 1 4, u B(, δ)\{} H1,rad(). O que implica em x α u τ u dx u > τ + 1 4, u B(, δ)\{} H1,rad().

43 Multiplicando a desigualdade anterior por u τ + 1 e em seguida somando 1 u, obtemos 1 u 1 x α u τ u dx > 1 τ + 1 u 1 4 u, para todo u B(, δ)\{} H,rad 1 (). O que é equivalente a I(u) > 1 4 u, u B(, δ)\{} H 1,rad(). (.18) 39 Considere ρ = δ > e β = ρ 16 >. Então pela sentença (.18), temos I(u) > β >, para todo u H 1,rad() com u = ρ. (.19) Agora, fixe uma função positiva u H,rad 1 (). Seja r >, então I(ru ) = r u rτ+1 x α u τ+1 dx τ + 1 = Ar Br τ+1, (.) onde A = 1 u e B = 1 x α u τ+1 dx. Desde que τ + 1 >, segue, da τ + 1 igualdade (.), que I(ru ) quando r +, assim, existe r > tal que, fazendo e = ru, tem-se I(e) < e e > ρ. (.1) Das sentenças (.19) e (.1), concluímos que o funcional I tem a Geometria do Passo da Montanha. Agora, mostraremos que I satisfaz a condição de Palais-Smale, (ver Definição C.1, Apêndice C). Para isto, seja {u n } H,rad 1 () tal que i) I(u n ) M para algum M > ; ii)i (u n ) quando n. Pelo item ii), existe n N tal que I (u n ).u n u n sup H 1,rad () v I (u n ).v v = I (u n ) < 1, n n. o que implica em u n x α u n τ u n dx < u n, n n. (.)

44 4 Por outro lado, pelo item i), temos 1 u n 1 x α u n τ u n dx τ + 1 M para todo n N. Donde segue que ( 1 u n = u n 1 τ + 1 M + τ + 1 As estimativas (.) e (.3) acarretam em ) x α u n τ u n dx + x α u n τ u n dx τ + 1 x α u n τ u n dx. (.3) u n M + τ + 1 ( u n + u n ), ou equivalentemente, ( 1 ) u n M + τ + 1 τ + 1 u n. (.4) Portanto, visto que τ > 1, segue que 1 τ + 1 >, daí {u n} é limitada, pois caso contrário existiria uma subsequência {u nj } {u n } tal que u nj, o que contradiria a estimativa (.4). Agora, mostraremos que {u n } possui uma subsequência convergente em H 1,rad (). Seja H 1 () o espaço dual de H,rad 1 () e considere o operador onde w, v = ( ) 1 : H 1 () H 1,rad () ϕ ( ) 1 (ϕ) = w, w v dx = ϕ(v) para todo v H,rad 1 (). O operador ( ) 1 está bem definido em virtude do Teorema de Lax-Milgran, (ver Teorema C.9, apêndice C), aplicado à forma bilinear a : H,rad 1 () H1,rad () R dada por a(u, v) = u, v. Observe que, se ( ) 1 (ϕ) = w, então ϕ = sup v H 1,rad v ϕ(v) v ϕ(w) w = w, w w = w = ( ) 1 (ϕ), de onde segue que ( ) 1 (ϕ) H 1,rad () ϕ H 1 ().

45 Assim, ( ) 1 é um operador contínuo. Agora, para cada u H,rad 1 (), seja ϕ u : H,rad 1 () R definido por ϕ u (v) = x α u τ v dx. ϕ é claramente linear, além disso, pelo Lema.1, deduzimos ϕ u (v) x α u τ v dx ( ) τ ( x α 1 u 1 ωn (N ) x N ωn (N ) C u τ v ( τ+1 ( 1 N onde C =. Desde que α ωn (N )) 1 N α ( x )(τ+1) dx = De (.5) e (.6), obtemos v x N ) dx 41 N α ( x )(τ+1) dx, (.5) ) (τ + 1) + N 1 > 1, segue que N α ( r )(τ+1) r N 1 dx <. (.6) ϕ u (v) C u τ v, para todo v H 1,rad(). Daí, ϕ u H 1 (). Definamos o operador Com isto, Υ : H 1,rad () H1,rad () u Υ(u) = ( ) 1 (ϕ u ). Υ(u), v = ( ) 1 (ϕ u ), v = ϕ u (v) = x α u τ v dx, para todo v H,rad(). 1 (.7) Usando as igualdades (.17) e (.7), obtemos I (u n ).v = u n, v x α u n τ v dx = u n, v Υ(u n ), v = u n Υ(u n ), v para todo v H 1,rad () e para todo n N. Em particular, para v = u n Υ(u n ), temos u n Υ(u n ), u n Υ(u n ) = I (u n ) (u n Υ(u n )).

46 4 O que acarreta u n Υ(u n ) I (u n ) u n Υ(u n ). (.8) Visto que, pelo item ii) anterior, temos que I (u n ) quando n, segue, da estimativa (.8), que: u n Υ(u n ), se n. (.9) Afirmação. Υ é um operador compacto. De fato, podemos decompor Υ 1 da seguinte forma: Υ : H 1,rad T 1 L Nτ N+ T L Nτ N+ T 3 L N N+ T 4 H 1 () T 5 H 1,rad u x α τ u x α τ u ( x α τ u ) τ ϕ u ( ) 1 (ϕ u ). Assim, temos Υ = T 5 T 4 T 3 T T 1. Deste modo, a fim de provar que Υ é compacto, provaremos que T 1 é compacto e que T,T 3, T 4 e T 5 são contínuos. Então vejamos: T 1 é compacto De fato, temos que T 1 α τ N do Lema.. Por outro lado, se α τ < N então : H,rad 1 Nτ () L N+ () é definido por T1 (v) = x α τ v. Se, desde que Nτ N + > 1, então a compacidade de T 1 segue imediatamente, como, por hipótese, 1 < τ < N + + α, N (N )τ < N + + α = N < N + + α τ τ = N α τ < N + τ 1 = N α > τ Nτ = N + N + < N N α τ τ assim, aplicando o Lema. obtemos a compacidade do operador T 1. T é contínuo De fato, temos que T : L Nτ N+ () L Nτ N+ () é definido por T (v) = v. Daí, Portanto, T é contínuo. T 3 é contínuo T (v) L Nτ N+ = v L Nτ N+. Note que o operador T 3 : L Nτ N+ () L N N+ () definido por T (v) = v τ, (.3)

47 é um operador de Nemytskii (ver Capítulo 1, Seção 1.3), cuja continuidade segue imediatamente do Teorema 1.4 quando fazemos r = τ. T 4 é contínuo De fato, o operador T 4 : L N N+ () H 1 () é definido por T 4 (ω), v = 43 ω v dx. Sejam ω L N N+ (), e v H 1,rad (). Pela desigualdade de Hölder, com expoentes N conjugados N + e N N, e pela imersão contínua H 1 () L (), deduzimos T 4 (ω), v ω v dx ( ) N+ ( ) N ω N N N+ dx v N N N dx = ω N v L N+ L () () C ω L N N+ () v. O que implica em De onde segue que T 4 (ω), v v C ω L N N+ (). T (ω) H 1 () C ω L N N+ () para todo ω L N N+ (),. Portanto, o operador T 4 é contínuo. T 5 é contínuo A continuidade do operador T 5 : H 1 () H,rad 1 () definido por T 5 (ϕ) = ( ) 1 (ϕ), segue imediatamente da continuidade do operador ( ) 1 a qual foi provada na p. 41. Portanto, a afirmação está demonstrada. Desde que {u n } é uma sequência limitada e, pela Afirmação., Υ é um operador compacto, existe uma subsequência {u nj } {u n } e w H,rad 1 () tal que Υ(u nj ) w em H 1,rad() quando j. (.31) Assim, as convergências dadas em (.9) e (.31), acarretam em u nj w u nj Υ(u nj ) + Υ(u nj ) w, quando j.

48 44 Portanto, o funcional I satisfaz a condição de Palais-Smale. Com isto, o funcional I satisfaz as hipóteses do Teorema do Passo da Montanha. Logo, existe uma função u H,rad 1 () que é ponto crítico não trivial de I. Assim, u é uma solução para o problema (.3). Usando a teoria de regularização, ( ver Teorema.1 da próxima seção), concluímos que u C (). Assim, pelo Princípio do Máximo Clássico ( ver Teorema C.3, apêndice C), concluímos que u > em. Portanto, u é uma solução para o problema (.1)..5 Regularidade da solução Nesta seção mostraremos que as soluções do problema (.1) obtidas na última seção são de classe C (). Este será o conteúdo do teorema a seguir. Teorema.1 Se u H,rad 1 () é solução do problema { u = x α u p 1, em ; u =, na, (.3) onde é a bola unitária do R N, N 3, α > e 1 < p 1 < N + N + u C (). α N então Demonstração. Seja τ = p 1. Definamos a função g : R R, por g(x, s) = x α u τ. Então, g é uma função de Carathéodory e, além disso, g(x, u) = x α u τ = x α N+ N+ τ u N u N onde A(x) = x α N+ τ u N. Usando o Lema.1, deduzimos = A(x) u N+ N, (.33) A(x) = x α N+ τ u N x α C N+ N α [τ ]( N ). x u τ N+ N N+ N [τ ]( N ) = C 1 x Como, por hipótese, 1 < τ < N + N + α [ N então α τ N + ] ( ) N >, N N+ N α [τ ]( daí x N ) L () e portanto existe M > tal que A(x) M q.t.p em

49 45. Com isto, a desigualdade (.33) implica em onde a(x) = M u(x) 4 N a N dx = g(x, u) M u N N+ = M u 4 N u = a(x) u, (.34) para todo. Mostremos que a L N, com efeito, (M u(x) 4 N N ) As estimativas (.34) e (.35) acarretam em N dx = M u(x) N N dx = M N N u N < +. (.35) L g(x, u) a(x)(1 + u(x)), com a L N (). Usando o Teorema C.1 (ver apêndice C), obtemos u L r () para todo 1 r < +, Portanto, segue do argumento bootstrap que u C ().

50 Capítulo 3 Solução Não-Radial para a Equação de Hénon 3.1 Introdução Considere o problema de Dirichlet relativo a equação de Hénon, a seguir u = x α u p 1, em ; u >, em ; u =, na, (3.1) onde α >, < p < = N N e é a bola unitária do RN com N 3. No Capítulo, mostramos que o problema (3.1) possui solução radial. modo, surge a seguinte indagação: Será que existe solução não-radial para o problema (3.1)? Deste Baseados em um trabalho de Smets, Su & Willem publicado em [19], mostraremos que, apesar do domínio ser radial, existe Solução não-radial para o problema (3.1) quando α é suficientemente grande. Uma função u H 1 () é denominada Ground State para equação de Hénon se realiza o seguinte ínfimo S α,p := inf u H 1 () u u dx ( x α u p dx ) (3.) p

51 Nesse capítulo estudaremos questões relacionadas a existência de solução de energia mínima (Ground states) radial para equação (3.1). Na Seção 3. mostraremos a existência de Ground States para equação (3.1), em seguida aplicaremos o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (ver Teorema C., apêndice C) para mostrarmos que uma Ground State, a menos de um múltiplo escalar, é uma solução do problema (.1). Ainda na mesma seção, mostraremos que S rad α,p S rad α,p := inf u H 1,rad () u 47 é atingido por uma função de H,rad 1 (), onde u dx ( x α u p dx ), (3.3) p e usaremos o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais (ver Teorema 1.1, capítulo 1) para concluirmos que tal função também é uma solução do problema (.1). Com isto, surge a seguinte questão: Existem Ground States não-radiais para a equação de Hénon? Nesta dissertação daremos a seguinte resposta à questão anterior: Existe α > tal que para todo α α as soluções Ground States para problema (3.1) são não-radiais. Para tanto, provaremos, na Seção 3.3, uma condição necessária para que uma Ground State seja radial. Na seção 3.4 provaremos o principal resultado deste capítulo, o qual garante existêcia de solução (Ground State) não-radial para para o problema (3.1) quando α é suficientemente grande. 3. Existência de Ground States para Equação de Hénon Nesta seção mostraremos a existência Ground States para equação de Hénon e que as mesmas constituem-se, a menos de um múltiplo escalar, em soluções para o problema (3.1). Além disso, provaremos que S rad α,p é atingido por uma função radial, a qual também será, a menos de um múltiplo escalar, uma solução para o problema (3.1). Proposição 3.1 S α,p é atingido para todos α e < p <. Demonstração. Sejam J : H 1 () R u J(u) = u

52 e M = {u H() 1 ; x α u p dx = 1}. Desde que J em H 1 (), em particular, J em M. Assim, pelo Postulado de Dedekind da análise real na reta, existe I R, tal que I = inf u M J(u). Pela definição de ínfimo, existe {u n } M tal que A convergência anterior acarreta J(u n ) I quando n +. (3.4) u n I quando n +. (3.5) De onde segue que {u n } é limitada em H 1 (). Desde que H 1 () é um espaço reflexivo, então, pelo Teorema de Kakutani (ver Teorema C.15), existem {u nj } {u n } e u H 1 (), tal que Além disso, Das expressões (3.3) e (3.7), obtemos Logo, J(u ) = I. Afirmação 3.1 I >. u nj u em H 1 (). (3.6) 48 lim inf n j u n j u. (3.7) I J(u ) = u lim inf n j u n j = I. De fato, suponha, por absurdo, I =. De (3.4), temos O que implica em J(u n ) quando n +. u n em H 1 ().

53 49 Usando a convergência anterior, juntamente com a imersão contínua (ver Teorema C.13) H() 1 L p (), 1 p, (3.8) obtemos, u n em L p (). Daí, x α u n p dx u n p dx = x α u n p dx, para todo α e < p <. Com isto, existe n N, tal que x α u n p dx < 1. Todavia, a desigualdade anterior contradiz o fato de u n pertencer a M. Deste modo, concluímos que I >. Portanto, visto que I > e J(u ) = I, segue que u. Afirmação 3. u M. De fato, tendo em vista a convergência dada em (3.6) e usando a imersão compacta dada pelo item i) do Teorema de Rellich-Kondrachov (ver Teorema C.13, apêndice C), concluímos que u nj u em L p (), para todo < p <. Com isto, o Teorema C.17 nos fornece uma subsequência {u njk } {u nj } e uma função h L p () tal que i) x α u njk (x) x α u (x) q.t.p. em ; ii) x α u njk (x) x α h(x) q.t.p. em, onde x α h L p (). Assim, pelo Teorema da convergência Dominada de Lebesgue (ver Teorema C.18, apêndice C), lim x α u njk p dx = x α u p dx. k +