Gelson Conceição Gonçalves dos Santos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Gelson Conceição Gonçalves dos Santos Um estudo sobre uma classe de problemas locais e uma classe de problemas não-locais. BELÉM 21

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Gelson Conceição Gonçalves dos Santos Um estudo sobre uma classe de problemas locais e uma classe de problemas não-locais. Dissertação apresentada ao colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística - PPGME - da Universidade Federal do Pará, como um pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática. ORIENTADORA: Prof a. Dra. Rúbia Gonçalves Nascimento BELÉM 21

3 Santos, Gelson Conceição Gonçalves dos Um estudo sobre uma classe de problemas locais e uma classe de problemas não-locais/ (Gelson Conceição Gonçalves dos Santos); orientadora, Rúbia Gonçalves Nascimento f. ; 28cm Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Pará, Instituto de Ciências Exatas e Naturais. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística. Belém, Equações Diferenciais Elípticas. I Nascimento, Rúbia Gonçalves, orient. II. Universidade Federal do Pará, Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística. III. Título CDD 22. ed

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Gelson Conceição Gonçalves dos Santos Um estudo sobre uma classe de problemas locais e uma classe de problemas não-locais. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Data da defesa: 21 de Maio de 21. Conceito: Banca Examinadora Prof. Dr a. Rúbia Gonçalves Nascimento (Orientadora) Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo Faculdade de Matemática - UFPA Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho Faculdade de Matemática - DME-UFPB

5 Dedicatória À minha família. iv

6 Agradecimentos Meus sinceros agradecimentos... Acima de tudo a Deus, por estar sempre ao meu lado. A minha mãe pelo amor, carinho, compreensão e incentivo. E sobre tudo a minha esposa Francy pelo incentivo, compreensão e carinho. A minha estimada orientadora, doutora Rúbia Gonçalves Nascimento pela excelente orientação, pelo incentivo, disponibilidade, amizade e compreensão. Ao professor doutor Giovany de Jesus Malcher Figueiredo, também pelo incentivo, disponibilidade e amizade, além disso, por ser fundamental para a elaboração e conclusão dessa dissertação. Aos meus grandes colegas e amigos do curso de mestrado: Amanda, Elifaleth e Marcos pela eterna amizade e companheirismo, e também aos demais colegas Cláudia, Rafael e João. Novamente agradeço ao professor Giovany de Jesus Malcher Figueiredo e ao professor doutor Daniel Cordeiro de Morais Filho por terem aceitado fazer parte da banca examinadora de minha dissertação. Ao CNPq, pelo auxílio financeiro. v

7 Resumo Neste trabalho estudaremos duas classes de problemas elípticos, uma classe de problemas locais e outra de problemas não-locais. Na classe de problemas locais, estudaremos o problema h 2 u + b(x)u = f(x, u), x, u W 1,2 ( ). Na classe de problemas não-locais estudaremos os problemas p u = u α(x) q(x) em u = sobre e p1 u = v α 1(x) q 1 (x) p2 v = u α 2(x) q 2 (x) em em u = v = sobre. vi

8 Abstract In this work we will study two classes of problems. In the class of the local problems, we study the problem h 2 u + b(x)u = f(x, u), x, u W 1,2 ( ). In this class of the nonlocal problems, we will study the problems p u = u α(x) q(x) em u = sobre and p1 u = v α 1(x) q 1 (x) p2 v = u α 2(x) q 2 (x) em em u = v = sobre. vii

9 Conteúdo Introdução 1 1 Sobre uma Classe de Equações de Schrödinger O problema (P h ) com h = Alguns Resultados Qualitativos Outros Resultados de Existência O Problema (P h ) Preliminares sobre o p-laplaciano e os espaços generalizados L p(x) () de Lebesgue e W 1,p(x) () de Sobolev Formulação Fraca do p-laplaciano Problema de Dirichlet Problema de Autovalor Os espaços generalizados L p(x) () de Lebesgue e W 1,p(x) () de Sobolev O Caso Escalar 68 4 O Sistema (p 1, p 2 ) Laplaciano 85 A Funcional Diferenciável 11 B Resultados Básicos 117 Bibliografia 125 viii

10 Introdução Nesta dissertação estudaremos duas classes de problemas do tipo elíptico. Primeiramente estudaremos a seguinte classe de equações de Schrödinger h 2 u + b(x)u = f(x, u), x, u W 1,2 ( ), (1) onde h é um parâmetro real e N 3. As hipóteses sobre as funções b e f serão enunciadas posteriormente. A equação em (1) surge naturalmente no estudo de existência de ondas estacionárias para a equação de Schrödinger do tipo ih ψ t = h2 ψ + V (x)ψ ψ p 1 ψ, (2) onde i é a unidade imaginária, h é a constante de Planck e p > 2 se N = 1, 2 ou 2 < p 2 se N 3. Uma onda estacionária para o problema (2) é uma função da forma ψ(x, t) = exp( iet/h)v(x), v : IR. (3) Assim, substituindo (3) em (2), temos h 2 v + (V (x) E)v = v p 1 v, x. (4) As hipótese sobre a função f nos permitirá concluir que (4) é um caso particular de (1), pois a função f(z) = z p 1 z satisfará as hipóteses sobre f. Note que fazendo a mudança de variável y = h 1 x e depois retornando a variável x, a equação (4) torma-se u + (V (hx) E)u = u p 1 u, x, (5) 1

11 onde u(x) = v(hx). Este estudo é baseado no artigo de P.H Rabinowitz [35]. Tal artigo é possivelmente o primeiro trabalho que trata esse problema do ponto de vista variacional. Agora vamos tratar da segunda classe de problemas estudados neste trabalho. Desde o aparecimento no trabalho de Kirchhoff [24] em 1883, que estudou o problema hiperbólico ( P ρu tt h + E u ) 2 dx u xx =, (6) 2L x chamado de equação de Kirchhoff, que estende a equação clássica da corda proposta por D Alembert, considerando os efeitos da mudança de comprimento da corda durante a vibração, o interesse dos matemáticos no chamado problema não-local tem crescido bastante, porque ele representa um variante de uma situação da física e da engenharia e requer aparatos não-triviais para resolvê-los. De fato, o problema (6) é uma caso particular da equação u tt M( u 2 ) u = f(x, u) (7) que tem sido muito estudada nos recentes anos. Contudo, a versão estacionária de (7) com a condição de fronteira de Dirichlet, M( u 2 ) u = f(x, u) em u = sobre, onde M : IR + IRe f : IR IR são funções dadas, u = ( u 2 ) 1 2 é a norma usual no Espaço de Sobolev W 1,2 () e é um domínio limitado com fronteira suave, somente nos últimos anos tem sido estudada mais cuidadosamente. Veja, por exemplo, Alves-Corrêa [3], Alves-Corrêa-Ma [4], Corrêa-Figueiredo [9], Corrêa-Figueiredo [1], Corrêa-Menezes [14], Ma [28], Perera-Zhang [31] e Zang-Perera [34]. Atualmente, o problema (8) é um exemplo da grande classe das chamadas equações não-locais porque o termo M( u 2 ) u não é calculado pontualmente. Vamos continuar comentando alguns aspectos dos problemas não-locais, para mostrar a importância dessa classe de problemas. Em [17], Deng-Lie-Xie consideraram a seguinte equação parabólica degenerada com (8) 2

12 uma fonte não-local u t = f(u)( u + a u) em (, ) u(x, t) = em (, ) u(x, ) = u (x) sobre, onde a > e f é uma função positiva e regular satisfazendo certas condições. O problema (9) conduz ao seguinte problema u = a u em u = sobre, cuja generalização foi estudada por Corrêa-Menezes [15]. u = a(x, u) u p q em u = sobre, Um sistema associado ao problema (11) foi estudado, por exemplo, por Deng-Lie- Xie [18] que investigou a existência global e não-existência de solução não-negativa do sistema parabólico degenerado não-local u t = u m + a v α p em (, T ) v t = v n + b u β q em (, T ) u(x, t) = v(x, t) = sobre (, T ) u(x, ) = u (x), v(x, ) = v (x) em, onde m, n > 1, p, q 1, α, β, a, b > e u, v são funções limitadas não-negativas. Uma questão central em Deng-Lie-Xie [18] é a ocorrência de blow-up da solução. A versão estacionária de (12) foi estudada por Corrêa-Lopes [13]. u m = a v α p v n = b u β q u = v = em em sobre Inspirados, principalmente neste último trabalho, Corrêa-Figueiredo-Lopes, publicaram no ano de 28, na revista Differential and Integral Equations, veja [11], o estudo feito sobre os seguintes problemas não-locais e com expoentes variáveis p u = u α(x) q(x) em u = sobre 3 (9) (1) (11) (12) (13) (14)

13 e p1 u = v α 1(x) q 1 (x) p2 v = u α 2(x) q 2 (x) em em (15) u = v = sobre. O estudo de problemas não-locais e com expoentes variáveis, têm várias motivações na física, biologia e engenharia. Com relação ao estudo de problemas não-locais, podemos citar as seguintes motivações: (i) Representam modelos de ignição de gases reagentes comprimidos. (ii) Descrevem fenômenos físicos onde a reação é dirigida pela temperatura em um único ponto. (iii) Modelam problemas de fluxo de fluidos e de populações dinâmicas. Relacionado com estes fenômenos, podemos citar os trabalhos de Deng-Duan-Xie [16], Souplet [32] e suas referências. Com relação os problemas com expoentes variáveis, podemos citar as seguintes motivações: (i) Processamento de imagens, veja Chambolle-Lions [8]. (ii) Fluidos eletroreológico, veja Acerbi-Mingione [1]. (iii) Lei Darcy em meios porosos (dinâmica de fluidos e hidrologia), veja Antontsev- Shmarev [5]. De certo modo, podemos dizer que estes problemas desfrutam de dois aspectos básicos da investigação matemática: (i) Eles são a interpretação matemática de importantes fenômenos da física e da engenharia; (ii) Estes estudos requerem relevante tópicos de Análise Funcional Não-Linear. Descrevemos a estrutura deste trabalho assim: No capítulo 1, estudaremos o problema (1). As hipóteses sobre as funções b e f serão definidas oportunamente em cada seção deste capítulo. Como h não influência nos resultados obtidos das seções deste capítulo, com excessão da última, estudaremos o problema (1) para h = 1. O principal resultado deste capítulo é o teorema que segue abaixo devido a Rabinowitz [35]. 4

14 Teorema.1 Suponha que (b 1 ), (b 3 ), (b 6 ) e (f 1 ) (f 5 ) são satisfeitas com f independente de x. Então, existe uma constante h >, tal que, h (, h ), o problema (1) tem uma solução clássica não-trivial. No capítulo 2, definiremos o operador p-laplaciano e estudaremos a existência de solução para um problema linear de Dirichlet, usando métodos variacionais. No capítulo 3, definiremos os espaços generalizados de Lebesgue L p(x) () e o de Sobolev W 1,p(x) (). Apesar de definirmos o espaço W 1,p(x) (), gostariamos de ressaltar que as soluções dos problemas (14) e (15) são obtidas em W 1,p(x) () para p(x) = p constante. Nos capítulos 4 e 5, estudaremos um artigo de Corrêa, Figueiredo e Lopes [11]. Mais expecificamente, no capítulos 4, estudaremos o problema (14). Neste capítulo mostraremos o seguinte resultado. Teorema.2 Se 1 < p < N, α C () com < α(x) < p 1 para todo x e q(x) C + (); 1 q(x) < Np N p = p. Então, o problema (14) possui uma solução positiva. Demonstramos este teorema usando o método de sub e supersolução. No capítulo 5, estudaremos a existência de solução para o problema (15), usando o seguinte problema auxiliar onde < ɛ < 1. p1 u = v α 1(x) q 1 (x) + ɛ p2 v = u α 2(x) q 2 (x) em em u = v = sobre, Para estudar o problema auxiliar, usaremos um resultado de Rabinowitz (veja o Teorema B.14 no Apêndice B), para obtermos o seguinte resultado: (16) Teorema.3 Suponha que 1 < p 1, p 2 < N, α 1, α 2, q 1, q 2 C (), 1 q 1 (x) < Np 2 = p N p 2, 1 q 2 (x) < Np 1 = p 1 e < α 1 (x).α 2 (x) < (p 1 1)(p 2 1) x. 2 N p 1 Então, o problema (16) possui uma solução positiva. 5

15 Com o auxílio deste teorema, obteremos o seguinte resultado para o problema (15). Teorema.4 Com as mesmas hipótese do Teorema anterior, o problema (15) possui uma solução positiva. Para facilitar a leitura, enunciaremos os teoremas e as hipóteses citadas nesta introdução nos capítulos subsequentes. 6

16 No corpo desta dissertação usaremos as seguintes notações: B r (x) : bola aberta de centro x e raio r, : convergência forte, : convergência fraca, A : medida de Lebesgue de um conjunto A, f : denota f(x)dx, f(x, u) : denota f(x, u)dx, ( ) 1 f s = f L s () = f s s dx, 1 s <, ( ) 1 f s(br(x)) = f L s (B r(x)) = f s s dx, 1 s <, B r(x) 7

17 Capítulo 1 Sobre uma Classe de Equações de Schrödinger Neste capítulo, estudaremos os resultados obtidos por Rabinowitz [35] sobre a existência de solução para a seguinte classe de equações de Schrödinger h 2 v + b(x)v = f(x, v), x, v W 1,2 ( ) e por uma mudança de variável este problema é equivalente a u + b(hx)u = f(x, u), x, (P h ) u W 1,2 ( ), onde u(x) = v(hx), N 3, h > é um parâmetro real e as hipóteses sobre o potencial b e a não linearidade f serão definidas oportunamente. Em todas as seções deste capítulo, com excessão da última, nos estudaremos o problema (P h ) para o caso em que h = O problema (P h ) com h = 1. Nesta seção estudaremos a existência de solução para o problema (P h ) com h = 1. Assim, estudaremos o seguinte problema u + b(x)u = f(x, u), x, (P ) u W 1,2 ( ), onde N 3, o potencial b e a não linearidade f satisfazem as seguintes condições: (b 1 ) b C 1 (, IR) e existe uma constante b >, tal que, b b(x), x. 8

18 (b 2 ) b é coercivo, ou seja, b(x) quando x. (f 1 ) f C 2 ( IR, IR). (f 2 ) f z (x, ) = = f(x, ). ( (f 3 ) Existem constantes a 1, a 2 > e s (f 4 ) Existe uma constante µ > 2, tal que, 1, N + 2 N 2 f z (x, z) a 1 + a 2 z s 1. ), tal que, para todo x e z IR, z < µf (x, z) µ f(x, t)dt zf(x, z), x e z IR\{}. Denotaremos por E o espaço de Hilbert com a norma usual dada por W 1,2 ( ) = {u L 2 ( ) : u L 2 ( )}, ( ) 1 u E = ( u 2 + u 2 2 ), e por Ẽ o subespaço de E dado por { } Ẽ = u E : ( u 2 + b(x)u 2 ) < e a norma em Ẽ é dada por ( ) 1 u = u Ẽ = ( u 2 + b(x)u 2 2 ), que provém do seguinte produto interno u, v Ẽ = ( u v + b(x)uv ). Para todo N 3, temos Ẽ E L p ( ), 2 p 2N N 2, continuamente e para N = 1, 2 as imersões são contínuas para todo p [2, ). O funcional energia associado a (P ) é definido por I : Ẽ IR, I(u) = 1 2 u 2 F (x, u), 9

19 onde u 2 = ( u 2 + b(x)u 2 ). Por (f 1 ) e (f 3 ), I está bem definido. Mostraremos que o funcional I verifica as condições do Teorema do Passo da Montanha, exceto possivelmente a condição Palais- Smale. Teorema 1.1 Suponha que as hipóteses (b 1 ) (b 2 ) e (f 1 ) (f 4 ) são satisfeitas, então, o problema (P ) possui uma solução clássica não-trival u W 1,2 ( ). Demonstração: De fato, primeiro enunciaremos e demonstraremos uma afirmação que será usada para mostrarmos a primeira geometria do Teorema do Passo da Montanha. Afirmação 1.1 Dado ɛ > existe uma constante positiva A dependendo de ɛ e s, tal que, f z (x, z) ɛ + A z s 1, x e z IR. (1.1) Com efeito, como f C 2 ( IR, IR) e f z (x, ) =, então, dado ɛ >, existe δ ɛ = δ(ɛ) >, tal que, f z (x, z) ɛ, x e z IR, com z < δ ɛ. (1.2) como que, Por (f 3 ), note que lim z com isso, f z (x, z) z s 1 a 1 z s 1 + a 2, a 1 z s 1 =, existe uma constante N ɛ = N(ɛ) > suficientemente grande, tal a 1 z s 1 ɛ, x IRN e z IR, com z > N ɛ, f z (x, z) z s 1 ɛ + a 2, x e z IR, com z > N ɛ, f z (x, z) C ɛ z s 1, x e z IR, com z > N ɛ. (1.3) tal que, Agora, para z IR, com δ ɛ z N ɛ, como f C 2, existe uma constante M >, f z (x, z) M, δ ɛ z N ɛ, 1

20 observe que f z (x, z) = f z(x, z) z s 1 z s 1 M δɛ s 1 z s 1, f z (x, z) C ɛ,s z s 1, x e z IR, com δ ɛ z N ɛ. (1.4) Por (1.2), (1.3) e (1.4) existe uma constante A = A(ɛ, s) >, tal que, f z (x, z) ɛ + A z s 1, x e z IR, o que prova a afirmação. Assim, por (1.1), temos f(x, z) ɛ z + A s z s, x e z IR, (1.5) em consequência, F (x, u) ɛ 2 u 2 + A s(s + 1) u s+1, F (x, u) ɛ 2 u 2 L 2 ( ) + C ɛ u s+1 L s+1 ( ), pela imersão contínua de Ẽ em Lp ( ), para 2 p 2 = C >, tal que, com isso, F (x, u) ɛ 2 C u 2 + C ɛ C u s+1, 2N, existe uma constante N 2 I(u) = 1 2 u 2 F (x, u) 1 2 u 2 ɛ 2 C u 2 C ɛ C u s+1, I(u) ( 1 2 ɛc ) 2 C ɛc u s 1 u 2. (1.6) Assim, para ρ >, tal que, u = ρ, temos I(u) ( 1 ɛc 2 C ɛ Cρ s 1 )ρ 2. Podemos fixar ρ > de forma que ( 1 ɛc 2 C ɛ Cρ s 1 )ρ 2 >. 11

21 Com efeito, observe que ( 1 ɛc 2 ) C ɛ Cρ s 1 ρ 2 > 1 ɛc 2 > C ɛ Cρ s 1 < ρ < ( ) 1 1 ɛc s 1. 2C ɛ C Assim, para ρ = 1 2 ( ) 1 1 ɛc s 1, fazendo 2C ɛ C α = ( 1 ɛc 2 C ɛ Cρ s 1 )ρ 2, temos que I(u) α >, u Ẽ com u = ρ. Agora enunciaremos e mostraremos outra afirmação para verificarmos a segunda geometria do Teorema do Passo da Montanha. Afirmação 1.2 Existe uma constante a 3 >, tal que, F (x, z) a 3 z µ, para z suficientemente grande e µ > 2. Com efeito, (i) Para z 1, segue de (f 4 ) que de onde segue que assim, z 1 µ z f(x, z) F (x, z), µ z s ds 1 f(x, s) F (x, s) ds, µ ln z ln F (x, z) ln F (x, 1), ln z µ ln Como a função ln é crescente, então, z µ F (x, z) F (x, 1). F (x, z) F (x, 1), com isso, F (x, z) z µ F (x, 1), 12

22 por (f 4 ), existe uma constante a 1 >, tal que, F (x, z) a 1 z µ, z > 1. (ii) Para z < 1, segue de (f 4 ) que µ z f(x, z) F (x, z), com isso, 1 z µ 1 z ds f(x, z) z F (x, z) ds, µ ln 1 µ ln z ln F (x, 1) ln F (x, z), assim, ln F (x, z) F (x, 1) ln z µ, usando novamente o fato da função ln ser crescente, temos F (x, z) F (x, 1) z µ, por (f 4 ) existe uma constante a 2 >, tal que, F (x, z) a 2 z µ, z < 1, por (i) e (ii) existe uma constante a 3 >, tal que, F (x, z) a 3 z µ, z IR, com z > 1, com z suficientemente grande. Fixada uma função ϕ > em C ( ), segue da Afirmação (1.2) que para t suficientemente grande I(tϕ) = t2 2 ϕ 2 F (x, tϕ) t2 2 ϕ 2 a 3 tϕ µ = t2 2 ϕ 2 a 3 t µ suppϕ ϕ µ, como µ > 2, temos I(tϕ) quando t. Assim, para um t > suficientemente grande, fazendo e = t ϕ, temos I(e) < e e > ρ. 13

23 1 Como I() = e I C (Ẽ, IR) (veja o Apêndice A), segue do Teorema do Passo da Montanha (veja o Teorema B.2 no Apêndice B), que existe c = inf max I(γ(t)), (1.7) γ Γ t [,1] onde além disso, Γ = { γ C ( } [, 1], Ẽ) : γ() = e I(γ(1)) <, (1.8) c α > e existe uma sequência (u n ) Ẽ, tal que, I(u n ) c em IR e I (u n ) em Ẽ. (1.9) Agora mostraremos que (u n ) é limitada em Ẽ e que uma subsequência de (u n) converge fraco para um ponto crítico não-trivial de I. Com efeito, como I(u n ) = 1 2 u n 2 F (x, u n) e temos I(u n ) 1 µ I (u n )u n = 1 µ I (u n )u n = 1 µ u n 2 1 µ f(x, u n)u n, ( ) [ ] 1 u n 2 + µ µ f(x, u n)u n F (x, u n ). (1.1) Agora, note que I(u n ) 1 µ I (u n )u n I(u n ) + 1 µ I (u n )u n I(u n ) + I (u n ) u n. Por (1.9) existe uma constante C >, tal que, I(u n ) C e I (u n ) C, n IN, I(u n ) 1 µ I (u n )u n C + C u n, n IN. 14

24 Assim, por (1.1) ( ) [ ] 1 u n 2 + µ µ f(x, u n)u n F (x, u n ) C + C u n, n IN. É imediato de (f 4 ) que ( ) u n 2 C + C u n, n IN. µ De onde segue que (u n ) é limitada em Ẽ. Logo, existe uma constante M >, tal que, u n M, n IN. Como Ẽ é um espaço de Hilbert reflexivo, a menos subsequência, u n u em Ẽ. Desde que, Ẽ L p loc (IRN ), 2 p < 2 = 2N N 2, compactamente, temos que, a menos de subsequência, u n u em L p loc (IRN ), 2 p < 2. (1.11) A seguir, mostraremos que I (u n )ϕ I (u)ϕ, ϕ C ( ). Com efeito, observe que C ( ) Ẽ e que I (u n )ϕ = u n, ϕ Ẽ f(x, u n)ϕ, ϕ C ( ) e I (u)ϕ = u, ϕ Ẽ IR f(x, u)ϕ, ϕ C N ( ). Como u n u em Ẽ, então, un, ϕ Ẽ u, ϕ Ẽ, ϕ C ( ). (1.12) Por (1.11) onde s é o expoente presente em (f 3 ). u n u em L s+1 loc (IRN ), 15

25 Pelo Teorema B.21 (veja o Apêndice B), existe uma função h L s+1 loc (IRN ), tal que, a menos de subsequência, u n (x) u(x) q.t.p em K e u n (x) h(x), n IN q.t.p em K, onde K é um compacto qualquer do. Por (f 3 ), para cada ϕ C ( ), f(x, u n (x))ϕ(x) C 1 u n (x) ϕ(x) + C 2 u n (x) s ϕ(x) C 1 h(x) ϕ(x) + C 2 h s (x) ϕ(x), n IN, q.t.p em K, como ϕ L s+1 loc (IRN ), L s+1 s loc (IRN ), segue da desigualdade de Hölder que h ϕ, h s ϕ L 1 loc( ). Pela continuidade de f, f(x, u n (x))ϕ(x) f(x, u(x))ϕ(x) q.t.p em K. Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue suppϕ f(x, u n )ϕ suppϕ f(x, u)ϕ, ϕ C ( ), n)ϕ ( ). (1.13) Por (1.12) e (1.13) un, ϕ IRN f(x, u n)ϕ u, ϕ Ẽ Ẽ ( ), ou seja, I (u n )ϕ I (u)ϕ, ϕ C ( ). (1.14) Desde que, I (u n ) em Ẽ, temos I (u n )ϕ, ϕ C ( ). (1.15) 16

26 Por (1.14), (1.15) e unicidade de limite I (u)ϕ =, ϕ C ( ). Seja ϕ Ẽ, como C ( ) é denso em Ẽ, existe uma sequência (ϕ n) C ( ), tal que, ϕ n ϕ em Ẽ, por continuidade I (u)ϕ n I (u)ϕ, mas I (u)ϕ n =, pois ϕ n C ( ), ou seja, Portanto, u é ponto crítico de I e I (u)ϕ =, ϕ Ẽ. u, ϕ Ẽ = ( u ϕ + b(x)uϕ ) = f(x, u)ϕ, ϕ Ẽ, f(x, u)ϕ, ϕ Ẽ. Assim, u é solução fraca de (P ), usando regularidade elíptica, mostra-se que u é uma solução clássica de (P ). Note que, por (f 2 ), a função nula é solução de (P ). Mostraremos que u é uma solução não-trivial de (P ). e temos Com efeito, como I(u n ) = 1 2 u n 2 F (x, u n) 1 2 I (u n )u n = 1 2 u n f(x, u n)u n, I(u n ) 1 2 I (u n )u n = como por (f 4 ), F (x, z), x e z IR, [ 1 2 f(x, u n)u n F (x, u n ) ], I(u n ) I (u n )u n 2 f(x, u n)u n. (1.16) Desde que I(u n ) c em IR, I (u n ) em Ẽ e u n M, n IN. Segue que para todo < ɛ c M + 2, existe um natural N, tal que, c ɛ < I(u n ) < c + ɛ e I (u n ) u n ɛm, n N, 17

27 I(u n ) 1 2 I (u n )u n c ɛ 1 2 ɛm = c 2 + M ) c ɛ( c 2 M + 2 usando (1.16), temos c f(x, u n)u n, ( 2 + M 2 ) = c 2, por (1.5) 1 2 f(x, u n)u n ( 1 2 ɛu2 n + A 2s u n s+1), c 2 ɛ 2 u n 2 L 2 ( ) + A 2s u n s+1 L s+1 ( ). Pela desigualdade de Gagliardo-Niremberg (veja [2]), para toda w E, Assim, w L s+1 ( ) a 5 w θ L 2 ( ) w 1 θ, onde θ = N ( 1 L 2 ( ) 2 1 ). s + 1 c 2 ɛ 2 u n 2 L 2 ( ) + a 6 u n θ(s+1) L 2 ( ) u n (s+1)(1 θ) L 2 ( ), usando a imersão contínua de Ẽ em L2 ( ) e observando que u n L 2 ( ) u, existe uma constante C >, tal que, c 2 ɛc 2 u n 2 + a 6 u n θ(s+1) u n (s+1)(1 θ) L 2 ( ). Desde que u n M n IN, temos Escolhendo < ɛ min c 2 ɛ 2 M 1 + a 6 M θ(s+1) u n (s+1)(1 θ). L 2 ( ) { c M + 2, c 2M 1 ɛ 2 M 1 c 4, }, temos ɛ c 2M 1, logo com isso, assim, c 2 c 4 + a 6M θ(s+1) u n (s+1)(1 θ) L 2 ( ), c 4 a 6M θ(s+1) u n (s+1)(1 θ) L 2 ( ). 18

28 Observe que (s + 1)(1 θ) >, pois (s+1)(1 θ) = (s+1) [ 1 N ( ) ] [ = (s+1) s ] [ N(s 1) 2s + 2 Ns + N = (s+1) 2(s + 1) 2(s + 1) ] = s(2 N) + N > s(2 N) + N + 2 > N + 2 > s(n 2) N + 2 N 2 > s. Note que a última desigualdade ocorre por (f 3 ). Assim, ( c 4) 1 (s+1)(1 θ) a 7 u n L 2 ( ). Façamos c 1 = ( c 4) 1 (s+1)(1 θ), então, c 1 a 7 u n L 2 ( ), n IN, (1.17) onde a 7 é uma constante que depende de M, a 6, s e θ. Suponha, por contradição, que u. Por (1.11), u n em L 2 loc( ), dado r > existe um natural n r = n(r), tal que, Por (1.17) e (1.18), temos a 7 u n L 2 (B r) c 1 2, n n r. (1.18) c 1 2 a 7 u n L 2 ( \B r), n n r. (1.19) Com efeito, pois caso contrário, existiria um n IN, tal que, a 7 u n L 2 (B r) + a 7 u n L 2 ( \B r) < c 1, para algum n n r, com isso, assim, ( un L 2 (B r) + u n L 2 ( \B r) ) 2< ( c1 a 7 ( ) u n 2 L 2 (B r) + u n 2 L 2 ( \B < c1 2 r) a 7 ) 2 a 7 u n L 2 ( ) < c 1, para algum n n r, mas, isso contradiz (1.17). 19

29 assim, É claro que para todo r >, ( ) inf b(x) u 2 n b(x)u 2 n, x, com x r, x r ( \B r) u n L 2 ( \B r) pois u n M, n N. Logo, Desde que, b é coercivo u 2 n 1 inf x r b(x) inf b(x) b(x)u 2 n, ( \B r) x r ( a 7 u n L 2 ( \B r) b(x)u 2 ( n \B r) a 7M inf x r b(x) 1 2 ) 1 2 M. inf x r b(x) 1 2, a 7 M inf x r b(x) 1 2 quando r. Assim, para r > suficientemente grande, temos a 7 u n L 2 ( \B r) a 7M inf x r b(x) 1 2 < c 1 2, o que contradiz (1.19). Portanto, u. Logo, u é uma solução clássica não-trivial de (P ). Corolário 1.1 Assumindo as hipóteses do Teorema (1.1), existem funções u 1, u 2 que são soluções de (P ) com u 1 > e u 2 < em. Demonstração: Usaremos um argumento bem conhecido para mostrar que o problema (P ) possui uma solução positiva u 1. Considere a função f(x, z), se z f + (x, z) =, se z, então, f + satisfaz (f 1 ) (f 3 ) e também (f 4 ) para z >. 2

30 Assim, está bem definido o funcional onde F + (x, u) = u I + : Ẽ IR, I + (u) = 1 2 u 2 F + (x, u), f + (x, t)dt. O funcional I + tem as mesmas propriedades do funcional I da demonstração do teorema anterior. Logo, usando os mesmos argumentos feitos para o funcional I, mostra-se que I + tem um ponto crítico u 1, que é uma solução clássica de { (P + ) u + b(x)u = f + (x, u), x. Assim, 1 ϕ + b(x)u 1 ϕ = (x, u 1 )ϕ, ϕ Ẽ, tomando ϕ = u 1 como função teste, temos 1 ( u 1 ) + b(x)u 1 ( u 1 ) = (x, u 1 )( u 1 ), lembrando que u 1 = u + 1 u 1 e usando a definição de f +, temos que u 1 2 =, assim, u 1 q.t.p em. Como u 1 é contínua, pois u 1 é uma solução clássica de (P + ), temos u 1 em. Suponha que exista um ponto x, tal que, u 1 (x ) =, como u 1 + b(x)u 1 em, pelo Princípio do Máximo Forte (veja o Teorema B.16 no Apêndice B), segue que u 1, 21

31 o que é uma contradição. Portanto, u 1 > em. De modo aná considerando a função, se z f (x, z) = f(x, z), se z, e o funcional onde F (x, u) = u f (x, t)dt. I (u) = 1 2 u 2 F (x, u), Mostra-se que o funcional I tem um ponto crítico u 2 <, que é uma solução clássica de (P ). 1.2 Alguns Resultados Qualitativos Nesta seção o principal resultado é que o nível minimax c definido em (1.7) depende continuamente do potencial b. Outro importante resultado desta seção é uma caracterização de c que será útil na demonstração deste resultado e de outros presentes ao longo deste capítulo. Na seção anterior conseguimos um ponto crítico u Ẽ do funcional I(u) = 1 2 u 2 F (x, u), u Ẽ que corresponde a uma solução clássica não-trivial de u + b(x)u = f(x, u), x, (P ) u W 1,2 ( ). Observe que a condição (b 2 ), isto é, a coercividade de b, não influenciou quando obtivemos a solução u de (P ). Mas ela foi fundamental para mostrarmos que a solução obtida era não-trivial, isto é, u. Nesta e nas outras seções retiraremos a hipótese (b 2 ). Vamos supor que f continua satisfazendo as condições (f 1 ) (f 4 ) e acrescentamos a seguinte hipótese: (f 5 ) t 1 zf(x, tz) é uma função crescente para todo t >, x e z IR\ {}. 22

32 Nas outras seções mostraremos que com as condições (f 1 ) (f 5 ) e outras sobre o potencial b, que serão definidas oportunamente, que o problema (P ) e também (P h ) possuem solução não-trivial. Note que uma condição necessária para que u Ẽ seja um ponto crítico de I é que I (u)u =. Esta condição define a variedade de Nehari associada ao funcional I que corresponde ao seguinte conjunto ou seja, N = { u Ẽ \ {}: I (u)u = } N = {u Ẽ \ {}: ( u 2 + b(x)u 2 ) = f(x, u)u. Observe que se u é uma solução não-trivial de (P ), então, u é ponto crítico de I, u N, assim, toda solução de (P ) está na variedade de Nehari N. Para garantirmos que a solução obtida é não-trivial iremos trabalhar na variedade de Nehari. capítulo. Agora enunciaremos e demonstraremos um lema que será usado no restante deste Lema 1.1 Assumindo as hipóteses (f 1 ) (f 5 ), para cada u Ẽ \ {}, existe um único t u = t(u) >, tal que, t u u N. O máximo de I(tu), para t é atingido em t u. Demonstração: De fato, para cada u Ẽ \ {} defina a função ψ : IR + IR, }, ou seja, Por (1.6) observe que I(tu) ψ(t) = I(tu), ψ(t) = t2 2 u 2 F (x, tu). ( 1 2 ɛc ) 2 C ɛct s 1 u s 1 t 2 u 2, ( ) 1 2 ɛc 2 C ɛct s 1 u s 1 t 2 u 2 > 1 ( ) 1 1 ɛc 2 ɛc 2 > C ɛct s 1 u s 1 s 1 < t <, 2C ɛ C u s 1 ψ(t) > para t > pequeno. 23

33 Por outro lado, pela Afirmação 1.2, temos I(tu) t2 2 u 2 a 3 t µ u µ, como µ > 2, I(tu) quando t. Logo, ψ(t) < para t > suficientemente grande. Assim, temos ψ(t) >, para t > pequeno ψ() = e ψ(t) <, para t > suficientemente grande. Portanto, existe t u = t(u) >, tal que, ψ(t u ) = max ψ(t) = max I(tu) = I(t uu). t t Observe que ψ (t) = t u 2 f(x, tu)u, (1.2) assim, ψ (t) = tu N u 2 = f(x, tu)u. (1.21) t Se existissem t 1 t 2, tal que, ψ (t 1 ) = e ψ (t 2 ) =, teríamos por (1.21) que [ f(x, t1 u)u f(x, t ] 2u)u =, t 1 t 2 o que não pode ocorrer por (f 5 ). Logo, para cada u Ẽ \ {}, existe um único t u >, tal que, t u u N. Proposição 1.1 Está bem definido e é contínuo o operador T : Ẽ \ {} IR+, T (u) = t u onde t u é o máximo de ψ(t) = I(tu), t, ou ainda, t u u N. Demonstração: De fato, como para cada u Ẽ \ {} t u é único, o operador T está bem definido. Seja u n u em Ẽ \ {}, mostraremos que T (u n ) = t un t u = T (u) em IR +. 24

34 Com efeito, pela difinição de t u segue de (1.21) que t 2 u n u n 2 = f(x, t u n u n )t un u n. (1.22) Afirmamos que a sequência (t un ) IR + é limitada. De fato, para cada n IN, < t un 1 ou t un > 1. Suponha que exista n IN, tal que, t un > 1, n n, pois caso contrário, (t un ) será limitada. Observe que por (f 4 ) u n u n )t un u n µ u n u n ). (1.23) Para cada u Ẽ \ {}, defina a função h(t) = F (x, tu) t µ, t >, h está bem definida e é derivável, com h (t) = 1 [tuf(x, tu) µf (x, tu)], t >, t µ+1 por (f 4 ) temos h (t) >, t >. Logo, h é crescente e assim, para todo t 1, h(t) h(1), ou seja, Usando (1.23) e (1.24), temos F (x, tu) t µ F (x, u), t 1, F (x, tu) t µ F (x, u), t 1. (1.24) f(x, t u n u n )t un u n µ tµ u n F (x, u n ), usando (1.22), obtemos t 2 u n u n 2 µt µ u n F (x, u n), u n 2 µ F (x, u n) t µ 2 u n, 25

35 Desde que u n u em Ẽ \ {}, e como o funcional 1 é de classe C (Ẽ, IR) (veja o Apêndice A), u n 2 u 2, G(u) = F (x, u), u Ẽ G(u n ) = F (x, u n) G(u) = F (x, u). Como consequência, das duas últimas convergências, a sequência ( u n 2 ) µ F (x, u n) é limitada. Assim, observe que existe uma constante K >, tal que, t µ 2 u n u n 2 K, n IN. µ F (x, u n) Portanto, a sequência (t un ) IR + é limitada. Logo, a menos de subsequência, t un t em IR +. Suponha que t =. Dividindo a equação (1.22) por t un, temos u n 2 = f(x, t un u n )u n t un, como u n 2 u 2, então, f(x, t un u n )u n t un u 2. (1.25) Além disso, observe que f(x, t un u n )u n t un. (1.26) Com efeito, desde que por (f 2 ) f z (x, ) = = f(x, ), então, f(x, h) lim h h 26 = (1.27)

36 pois, = f z (x, ) = lim h f(x, h + ) f(x, ) h f(x, h) = lim. h h Como u n u em Ẽ \ {} e Ẽ Lp ( ), 2 p 2 continuamente, então, u n u em L p ( ), 2 p 2, u n u em L 2 ( ) e u n u em L s+1 ( ). Assim, a menos de subsequência, u n (x) u(x) q.t.p em, e existem funções h L 2 ( ) e g L s+1 ( ), tais que, u n (x) h(x) q.t.p em, n IN. e u n (x) g(x) q.t.p em, n IN. Como t un em IR + t un u n (x) q.t.p em. Assim, por (1.27) f(x, t un u n (x)) t un u n (x) q.t.p em. (1.28) Note que f(x, t u n u n (x))u n (x) = f(x, t un u n (x)) u 2 t un u n (x) n(x) f(x, t un u n (x)) h 2 (x) q.t.p em, t un u n (x) t un por (1.28), além disso, por (f 3 ) f(x, t un u n (x))u n (x) t un q.t.p em, f(x, t u n u n (x))u n (x) 1 ( a1 t un u n (x) + a 2 t un s t u n u n (x) s) u n (x) t un a 1 u n (x) 2 + a 3 t s 1 u n u n (x) s+1, como (t un ) converge, existe uma constante K >, tal que, 27

37 f(x, t u n u n (x))u n (x) a 1 h 2 (x) + a 3 Kg(x) s+1 L 1 ( ). t un Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue o que prova (1.26). Por (1.25), (1.26) e unicidade de limite f(x, t un u n )u n t un, u =, mas isso contradiz o fato de u Ẽ \ {}. Portanto, t >. Passando o limite em (1.22) e fazendo n, temos t 2 u 2 = f(x, tu)tu, o que implica que tu N. Pelo Lema 1.1, t u é o único real positivo t, tal que, tu N. Logo, por unicidade Assim, a menos de subsequência, t = t u. T (u n ) = t un t u = T (u), pelo Teorema B.1 (veja o Apêndice B), o operador T é contínuo. estudos. A seguir, faremos uma caracterização do nível minimax c que será útil nos nossos Proposição 1.2 Seja c o nível minimax do Teorema do Passo da Montanha associado ao funcional I, definido em (1.7). Definindo c = inf u Ẽ\{} max I(tu), t temos que c = c = inf N I. 28

38 Demonstração: De fato, observe que I é limitado inferiormente sobre N, pois para cada u N, I (u)u =. Como I(u) = I(u) 1 2 I (u)u = [ 1 2 f(x, u)u F (x, u)], por (f 4 ), temos I(u) >, u N, I é limitado inferiormente sobre N. Assim, existe inf N I. Pelo Lema 1.1, para cada u Ẽ \ {}, existe um t u = t(u) >, tal que, t u u N, logo assim, inf N I I(t uu) = max I(tu), u Ẽ \ {}, t Por outro lado, para cada u N, temos que, Assim, inf N I c. (1.29) I(u) = max t I(tu) c. inf N I c. (1.3) Por (1.29) e (1.3), temos Agora, mostraremos que c = inf N I. c = c. Afirmamos que existe um t [, 1], tal que, Com efeito, como γ(t ) N. I (γ(t))γ(t) = γ(t) 2 f(x, γ(t))γ(t), usando a Afirmação 1.1, a imersão contínua de Ẽ em L2 ( ) e em L s+1 ( ), temos I (γ(t))γ(t) γ(t) 2 ɛc γ(t) 2 C ɛ C γ(t) s+1 = (1 ɛc C ɛ C γ(t) s 1 ) γ(t) 2 > 29

39 1 ɛc > C ɛ C γ(t) s 1 < γ(t) < ( 1 ɛc ) 1 s 1. C ɛ C Fazendo r = ( 1 ɛc ) 1 s 1, temos que C ɛ C t (, 1], tal que, γ(t) < r I (γ(t))γ(t) >. (1.31) Como I(γ(1)) <, temos γ(1) 2 2 F (x, γ(1)) <, Mas IRN IRN γ(1) 2 < 2F (x, γ(1)) < µf (x, γ(1)) f(x, γ(1))γ(1). I (γ(1))γ(1) = γ(1) 2 f(x, γ(1))γ(1), I (γ(1))γ(1) <. Seja t (, 1), tal que, γ(t) < r, então, por (1.31), temos I (γ(t))γ(t) >. Note que a aplicação I (γ(t))γ(t) é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um t (t, 1) tal que, I (γ(t ))γ(t ) =, o que mostra que γ(t ) N. com isso, Assim, max I(γ(t)) I(γ(t )) inf I, t [,1] N c c. (1.32) Por outro lado, desde que I(tu) quando t, 3

40 existe um t u > suficientemente grande, tal que, I(t u u) <. Defina a curva γ u : [, 1] Ẽ, então, γ u () =, definido em (1.8). γ u (θ) = (t u u)θ, I(γ u (1)) < e γ u C([, 1], Ẽ). Logo, γ u Γ, onde Γ é o conjunto Observe que pela definição de γ u, max I(tu) max I(γ u(θ)), u Ẽ \ {}, t θ [,1] c c. (1.33) Por (1.32) e (1.33) c = c. Observação 1.1 Desde que c = inf I e cada ponto crítico de I pertence a N, então, se N c é um valor crítico de I, ele é o de menor energia. A seguir demonstraremos um lema que compara níveis minimax. Este lema será útil para mostrarmos que o nível minimax c depende continuamente do potencial b. Lema 1.2 Suponha que f satisfaz (f 1 ) (f 5 ) e b, b satisfaçam (b 1 ). Sejam os funcionais I e Ĩ, associados aos potenciais b e b, ou seja, e I(u) = Ĩ(u) = [ 1 2 ( u 2 + b(x)u 2 ) F (x, u) ] [ 1 2 ( u 2 + b(x)u 2 ) F (x, u) ] e sejam ainda c e c os seus valores minimax dados por (1.7), ou seja, c = inf max I(γ(θ)) e c = inf γ Γ θ [,1] max Ĩ(γ(θ)), γ Γ θ [,1] 31

41 onde e Γ = Γ = { γ C ( } [, 1], Ẽ) : γ() = e I(γ(1)) < {γ C ( [, 1], Ẽ) : γ() = e Ĩ(γ(1)) < }. Então, supondo que b b, temos que c c. Demonstração: Desde que b b, é claro que I(u) Ĩ(u), u Ẽ, (1.34) I(tu) Ĩ(tu), t e u Ẽ, com isso, max t I(tu) max Ĩ(tu), u Ẽ, t pela caracterização de c e c dadas pela proposição1.2, temos que c c. Note que o valor minimax c faz sentido se o potencial b for contínuo ou simplesmente mensurável. Pelo Lema 1.2 o nível minimax c depende de b, mostraremos que c depende contínuamente do potencial b. Para indicar a dependência de c por b, escreveremos c = c(b), no próximo teorema. Teorema 1.2 Suponha que f satisfaça (f 1 ) (f 5 ) e b, (b n ) satisfaçam (b 1 ), n IN. Suponha ainda que b n b em L ( ) quando n, então, c(b n ) c(b), isto é, o nível minimax c depende continuamente do potencial b. 32

42 Demonstração: Seja ɛ >, então, para todo n, suficientemente grande b + ɛ b + b n b b b b n b b ɛ. (1.35) Assim, por (1.35) e pelo Lema 1.2, para a prova do Teorema 1.2, basta provar um resultado mais simples, ou seja, que c ɛ c(b + ɛ) c(b) c quando ɛ, (1.36) onde c ɛ c(b + ɛ) é o nível minimax do Teorema do Passo da Montanha associado ao funcional I ɛ (u) = [ 1( u 2 + (b + ɛ)u 2) F (x, u) ], u Ẽ, (1.37) 2 Primeiro mostraremos o resultado para ɛ <. Com efeito, para todo ɛ <, b + ɛ < b, pelo Lema 1.2 c ɛ c, Suponha que lim ɛ c ɛ = c c. c < c. Seja c ɛk o nível minimax para o funcional I ɛk. E sejam sequências ɛ k quando k e δ n + quando n. Pela Proposição 1.2, existe uma sequência (u kn ) Ẽ, tal que, max t I ɛ k (tu kn ) c ɛk + δ n, (1.38) sem perda da generalidade, podemos supor que u kn = 1. Assim como na demonstração da Proposição 1.2, para cada função u kn associar a curva γ kn : [, 1] Ẽ, podemos γ kn (θ) = (t kn u kn )θ, com t kn suficientemente grande e concluir que γ kn Γ k, onde Γ k = { γ C ( [, 1], Ẽ) : γ() = e I ɛk (γ(1)) < }, 33

43 além disso, concluimos que max I ɛ k (γ kn (θ)) max I ɛ θ [,1] t k (tu kn ). (1.39) Seja K = {, 1}, observe que γ kn (K ) = {, γ kn (1)}, c 1 max γ kn (K ) I ɛ k =, observe ainda que Por (1.38) e (1.39) Fazendo inf γ Γ k max I ɛ k (γ(θ)) = c ɛk > = c 1. θ [,1] max I ɛ k (γ(θ)) c ɛk + δ n. θ [,1] X = Ẽ, K = [, 1], K = {, 1}, M = Γ e ϕ = γ kn, segue do Teorema B.19 (veja o Apêndice B), a existência de sequências (w kn ) Ẽ e (θ kn ) [, 1], tais que w kn γ kn (θ kn ) δ 1 2 n, (1.4) I ɛk (w kn ) (c ɛk δ n, c ɛk + δ n ) (1.41) e I ɛ k (w kn ) δ 1 2 n. (1.42) por (1.38) Por (1.37) I ɛk (u) = I(u) + ɛ k 2 Fazendo n = k acima e considerando u k u kk u2, u Ẽ. e w k w kk, temos que c max I(tu k) = I(t uk u k ) = I ɛk (t uk u k ) ɛ k t 2 t2 u u2 k k max I ɛ t k (tu k ) ɛ k 2 t2 u u2 k k, c c ɛk + δ k ɛ k 2 t2 u u2 k k, 34

44 c c + δ k ɛ k 2 t2 u u2 k k. Desde que u k = 1, pela imersão contínua de Ẽ em L2 ( ), existe uma constante M 1 >, tal que, u k 2 L 2 ( ) M 1. Assim, c c + δ k ɛ k 2 t2 u k M 1. (1.43) Afirmação 1.3 Existe uma subsequência de (t uk ), que ainda denotaremos por (t uk ), limitada, ou seja, t uk C, k IN. Assumindo, por enquanto, essa afirmação, por (1.43) c c + δ k ɛ k 2 C 1. (1.44) Por outro lado, como ɛ k, δ k + e estamos supondo que c < c. Podemos escolher ɛ k e δ k suficientemente pequenos, de forma que c > c + δ k ɛ k 2 C 1. Com efeito, podemos tomar δ k suficientemente pequeno, de forma que c + δ k < c, assim, (c + δ k ) c < 2 C 1 [ (c + δk ) c ] <. Tomando ɛ k, tal que, 2 C 1 [ (c + δk ) c ] < ɛk <, temos com isso, o que contradiz (1.44). Portanto (c + δ k ) c < ɛ k 2 C 1, c > c + δ k ɛ k 2 C 1, c = c. (1.45) 35

45 E assim, c ɛ c quando ɛ. Agora, mostraremos a Afirmação 1.3. Demonstração da Afirmação 1.3. Observe que t uk >, k IN. Logo, se a menos de subsequência, < t uk 1, k n, não há nada a mostrar. Assim, suponha que t uk > 1, k n, pela definição de t uk por (f 4 ) usando (1.24) temos e a normalização de (u k ), segue de (1.21) que t 2 u k = t u k u k f(x, t uk u k ), t 2 u k µ F (x, t u k u k ), t 2 u k µt µ u k F (x, u k), assim, (t uk ). t µ 2 u k 1. (1.46) µ F (x, u k) Afirmamos que existe uma constante α >, tal que, a menos de subsequência, F (x, u k) α. (1.47) Observe que de (1.46) e (1.47), obtemos, a menos de subsequência, a limitação de Assim, para concluirmos a prova de (1.36) para o caso em que ɛ <, resta-nos mostrar a relação (1.47). Suponha que (1.47) não ocorra. Então, Usaremos (1.4) para provar que (1.48) é impossível. F (x, u k). (1.48) 36

46 Com efeito, desde que γ kn (θ) = (t kn u kn )θ, então, para n = k e γ k γ kk, temos γ k (θ k ) γ kk (θ kk ) = (t kk u kk )θ kk = (t kk θ kk )u kk ξ k u k, por (1.4) ξ k u k w k δ 1 2 k, (1.49) assim, ξ k u k w k δ 1 2 k, como u k = 1, temos Desde que c ɛ c quando ɛ, por (1.41), temos ξ k δ 1 2 k + w k. (1.5) I ɛk (w k ) c em IR. Além disso, por (1.42) I ɛ k (w k ) em Ẽ. Utilizando as duas últimas convergências e seguindo a idéia contida na demonstração do Teorema 1.1, a partir de (1.9) mostra-se que (w k ) é limitada em Ẽ. Portanto, por (1.5) ξ k M 2, (1.51) assim, u 2 k 1 M 2 ξ k u 2 k, para todo r > e y, B r(y) u 2 k 1 M 2 B r(y) ξ k u 2 k, com isso, u k L 2 (B r(y)) C ξ k u k L 2 (B r(y)) = C ξ k u k w k + w k L 2 (B r(y)) C ( w k L 2 (B r(y)) w k ξ k u k L 2 (B r(y))), usando (1.49) e a imersão contínua de Ẽ em L2 ( ), temos u k L 2 (B r(y)) C ( w k L 2 (B r(y)) M 3 δ 1 ) 2 k. (1.52) 37

47 que, Afirmamos que existem uma sequência (y k ), constantes β > e R >, tais lim inf k B R (y k ) w 2 k β. (1.53) Com efeito, pois caso contrário, teríamos lim inf k sup wk 2 =, R >. y B R (y) Como consequência, pelo Lema de Lions (veja o Lema B.2 no Apêndice B), teríamos Mas, recorde que e que (w k ) é limitada em Ẽ, w k em L q ( ) com q ( 2, 2 = Por outro lado, note que assim, por (f 4 ) I ɛk (w k ) c em IR e I ɛ k (w k ) em Ẽ, 2N ). (1.54) N 2 I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k c >. (1.55) I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k = [1 2 f(x, w k)w k F (x, w k )], I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k 1 2 f(x, w k)w k, pela Afirmação 1.1, para todo ɛ > existe uma constante C ɛ >, tal que, I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k ɛ 2 w k 2 + C ɛ w k s+1, por (1.54) de onde segue que I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k ɛ 2 w k 2 + o 1 (k), I ɛk (w k ) 1 2 I ɛ k (w k )w k, o que contradiz (1.55). Assim, existem (y k ), β e R que satisfazem (1.53). Fazendo y = y k e r = R em (1.52), temos que u k L 2 (B R(yk )) C ( w k L 2 (B R(yk )) M 3 δ 1 2 k ). 38

48 tal que, Por (1.53), segue do Corolário B.1 (veja o Apêndice B), que existe um natural k, B R(yk ) u k L 2 (B R(yk )) C w k 2 β, k k, [β 12 M3 δ 12k ], k k. Como δ k +, existe k 1 IN suficientemente grande, tal que, u k L 2 (B R(yk )) C ( β ) 1 2, k k 1. (1.56) 2 Para provarmos que (1.48) é impossível basta mostrarmos que existe uma constante β 1 >, tal que, B R (y k ) F (x, u k ) β 1. (1.57) Recorde que pela Afirmação 1.2, F (x, z) a 3 z µ para z 1 com a 3 independente de x. Portanto, para todo δ >, existe uma constante A δ > tal que, Consequentemente, z 2 δ + A δ F (x, z), x e z IR. B R (y k ) assim se (1.57) não ocorresse, teríamos o que contradiz (1.56). u k 2 δ +A δ F (x, u k ), B R (y k ) B R (y k ) B R(yk ) u k 2, Portanto, a prova do teorema está concluída para o caso em que ɛ <. Usaremos um argumento similar para provar (1.36) para ɛ >. Para cada ɛ >, tem-se b < b + ɛ, pelo Lema 1.2, c(b) c c ɛ c(b + ɛ), Suponha que c c = lim ɛ + c ɛ. c < c. (1.58) 39

49 Seja a sequência δ k como no caso em que ɛ <. Pela Proposição 1.2, existe uma sequência (u k ) Ẽ, tal que, u k = 1 e max t I(tu k) c + δ k. (1.59) Como no caso anterior existem sequências (w k ) Ẽ e (θ k) [, 1], tal que, w k γ k (θ k ) δ 1 2 k, I(w k ) (c δ k, c + δ k ) e I (w k ) δ 1 2 k. Para cada ɛ > e u Ẽ \ {}, seja t ɛ(u) o máximo de ψ ɛ (t) = I ɛ (tu), obtido pelo Lema 1.1. Note que c c ɛ max I ɛ(tu k ) = I ɛ (t ɛ (u k )u k ) = I(t ɛ (u k )u k ) + ɛ t 2 t ɛ(u k ) 2 u2 k, usando (1.59), temos c c + δ k + ɛ 2 t ɛ(u k ) 2 u2 k. Como u k = 1, se (t ɛ (u k )) possui uma subsequência limitada, teremos a menos de subsequência que tal que, c c + δ k + ɛ M. (1.6) 2 Por outro lado, como δ k + e c < c, podemos tomar k suficientemente grande c + δ k + ɛ 2 M < c, o que contradiz (1.6). Assim, com isso, c = c, c ɛ c quando ɛ +. Portanto, (1.36) ocorre. Assim, o Teorema 1.2 estará provado. Logo, resta-nos mostrar que a sequência (t ɛ (u k )) possui uma subsequência limitada. Com efeito, como t ɛ (u k ) >, se ao longo de uma subsequência t ɛ (u k ) 1 não há nada a provar. Assim, suponha que exista um natural k, tal que, t ɛ (u k ) > 1, k k. 4

50 Pela definição de t ɛ (u k ), segue do Lema 1.1 que t ɛ (u k )u k N ɛ, onde N ɛ = { u Ẽ \ {}: I ɛ(u)u = }, t ɛ (u k ) IR 2 u k 2 + (b + ɛ)u 2 N k = t ɛ(u k )u k f(x, t ɛ (u k )u k ), usando novamente (f 4 ) e (1.24), concluimos que que, t ɛ (u k ) µ 2 1 µ F (x, u k) ( ) uk 2 + (b + ɛ)u 2 k, Como u k = 1 e Ẽ L2 ( ) continuamente, existe uma constante C >, tal t ɛ (u k ) µ 2 C. µ F (x, u k) Argumentando como no caso anterior a partir de (1.46), mostra-se que existe uma constante α >, tal que, a menos de subsequência, F (x, u k) α, com isso, a sequência (t ɛ (u k )) possui uma subsequência limitada, o que conclui a demonstração do teorema. 1.3 Outros Resultados de Existência Nesta seção vamos apresentar outros resultados sobre a existência de solução, obtidos por Rabinowitz [35], para o problema u + b(x)u = f(x, u), x, (P ) u W 1,2 ( ), que são baseados em parte, em argumentos de comparação. Para o próximo resultado faremos a seguinte hipótese sobre o potencial b: (b 3 ) Suponha que exista uma constante b, tal que, lim inf x b(x) b. 41

51 Note que como b é uma constante, o funcional Î(u) = [ 1 2 ( u 2 + bu 2 ) F (x, u) ], (1.61) está bem definido para toda u E = W 1,2 ( ), além disso, como (f 1 ) (f 4 ) são satisfeitas, Î C1 (E, IR) (veja o Apêndice A). E seguindo os mesmos argumentos feitos para o funcional I(u) = [ 1 2 ( u 2 + b(x)u 2 ) F (x, u) ], u Ẽ, contido na demonstração do Teorema 1.1, mostra-se que o funcional geometrias do Teorema do Passo da Montanha. Portanto, existe o nível minimax Î, satisfaz as onde Γ = ĉ = inf max Î(γ(θ)), (1.62) γ Γ θ [,1] {γ C ( [, 1], E ) : γ() = e Î(γ(1)) < }. Mostraremos resultados sobre a existência de solução para o problema (P ), utilizando argumentos de comparação entre níveis minimax. Teorema 1.3 Suponha que as hipóteses (b 1 ), (b 3 ) e (f 1 ) (f 5 ) são satisfeitas, então, c é um valor crítico de I ou c ĉ. Demonstração: Primeiro, suponha que lim inf x b(x) > b. (1.63) A demonstração deste resultado segue parte da demonstração do teorema anterior. De fato, pela caracterização de c dada pela Proposição 1.2, para cada ɛ n >, existe u n Ẽ, com u n = 1, tal que, c max t I(tu n) c + ɛ n, max t I(tu n) c. (1.64) Assim, como na demonstração da Proposição 1.2, a cada função u n associamos uma curva γ n Γ, com max I(γ n(θ)) max I(tu n), θ [,1] t 42

52 com isso, max I(γ n(θ)) c + ɛ n. θ [,1] Como na demonstração do teorema anterior fazendo X = Ẽ, K = [, 1] K = {, 1} M = Γ, ϕ = γ n c 1 = max γ n(k ) I = < c, segue do Teorema B.19 (veja o Apêndice B), que existem sequências (w n ) (θ n ) [, 1], tais que Ẽ e w n γ n (θ n ) ɛ 1 2 n, (1.65) I(w n ) (c ɛ n, c + ɛ n ) (1.66) e I (w n ) ɛ 1 2 n. Desde que I(w n ) c em IR e I (w n ) em Ẽ, (1.67) mostra-se como na demonstração do Teorema 1.1, que a sequência (w n ) é limitada em Ẽ. Além disso, a menos de subsequência, temos que w n w em Ẽ e w n w em L p loc (IRN ), 1 p < 2 1, onde w é solução de (P ). Também como no teorema anterior existem uma sequência (y n ) e constantes β > e R >, tais que lim inf n B R (y n) w 2 n > β. (1.68) Suponha que existe uma subsequência de (y n ), que ainda denotaremos por (y n ), limitada. Então, existe r >, tal que, B R (y n ) B r (), n IN, assim, B r() wn 2 B R (y n) w 2 n, n IN. 43

53 Pelas imersões compactas de Sobolev, B r() de onde segue que w. Desde que w 2 = lim inf n B r() I(w n ) 1 2 I (w n )w n = segue de (f 4 ) que para cada ρ > I(w n ) 1 2 I (w n )w n w 2 n lim inf n B ρ() B R (y n) w 2 n β >, [ 1 2 f(x, w n)w n F (x, w n ) ], [ 1 2 f(x, w n)w n F (x, w n ) ]. (1.69) Como w n w em L p loc (IRN ), 1 p < 2 1, a menos de subsequência, w n (x) w(x) q.t.p na B ρ () e existem funções h L 2 (B ρ ()) e g L s+1 (B ρ ()), tais que w n (x) h(x) q.t.p na B ρ () e w n (x) g(x) q.t.p na B ρ (). Assim, observe que f(x, w n (x))w n (x) a 1 w n (x) 2 + a 3 w n (x) s+1 a 1 h(x) 2 + a 3 g(x) s+1 L 1 (B ρ ()) e f(x, w n (x))w n (x) f(x, w(x))w(x) q.t.p na B ρ (). Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue Além disso, por (f 4 ) B ρ() f(x, w n )w n B ρ() f(x, w)w. (1.7) F (x, w n (x)) 1 µ f(x, w n(x))w n (x) a 1 µ h(x)2 + a 3 µ g(x)s+1 L 1 (B ρ ()) e F (x, w n (x)) F (x, w(x)) q.t.p na B ρ (). 44

54 Novamente, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue B ρ() F (x, w n ) B ρ() F (x, w), (1.71) Passando o limite em (1.69), usando (1.67), (1.7), (1.71) e o fato de ρ ser arbitrário concluimos que c [ 1 2 f(x, w)w F (x, w)]. (1.72) Como w Ẽ é uma solução de (P ), então, I (w)w =. Desde que, I(w) = I(w) 1 2 I (w)w = [ 1 2 f(x, w)w F (x, w)], temos I(w) c. Mas como w N e pela Proposição 1.2 o nível minimax concluimos que I(w) = c. c = inf N I, Portanto, para o caso em que (y n ) é limitada, o nível minimax c é um valor crítico do funcional I. Agora, suponha que (y n ) seja uma sequência ilimitada. Como I(u) = Î(u) + para cada α > e ρ >, temos 1 2 (b b) u 2, u Ẽ, max I(tu n) I(αu n ) = Î(αu 1 n) + t 2 (b b) αu n 2, max I(tu n) Î(αu 1 n) + t B ρ() 2 (b b) αu n \B ρ() 2 (b b) αu n 2. Por (1.63) podemos escolher ρ, tal que, b(x) b, x com x ρ. Assim, max I(tu n) Î(αu 1 n) + t B ρ() 2 (b b) αu n 2, escolhendo α = t un, onde t un é o máximo de ψ n (t) = Î(tu n), dado pelo Lema 1.1, temos Î( t un u n ) = max Î(tu n ), t max I(tu n) max Î(tu n ) + t t B ρ() 1 2 (b b) t un u n 2. 45

55 Pela Proposição 1.2, para o funcional Î, max Î(tu n ) ĉ, t assim, max I(tu n) ĉ + t 2 un (b b) u n 2. (1.73) t 2 B ρ() Com os argumentos da demonstração do teorema anterior, mostra-se que a sequência ( t un ) é limitada. Suponha que exista uma constante λ 1 >, tal que, u n L 2 (B ρ()) λ 1. (1.74) (1.65) Assim, como na demonstração do teorema anterior façamos γ n (θ n ) = ξ n u n usando ξ n u n w n ɛ 1 2 n. (1.75) Portanto, w n L 2 (B ρ()) = w n ξ n u n + ξ n u n L 2 (B ρ()) ξ n u n L 2 (B ρ()) w n ξ n u n L 2 (B ρ()), usando (1.74), (1.75) e imersão contínua, temos w n L 2 (B ρ()) ξ n λ 1 Mɛ 1 2 n. Se a menos de subsequência, ξ n, como (u n ) Ẽ é limitada, pois u n = 1, temos que ξ n u n em Ẽ. Por (1.75), w n em Ẽ, por continuidade I(w n), o que é uma contradição, pois por (1.66), I(w n ) c >,. Logo, (ξ n ) tem uma limitação inferior positiva. Assim, existe uma constante λ 2 >, tal que, w n L 2 (B ρ()) λ 2. (1.76) Como w n w em L p loc (IRN ), 1 p < 2 1, segue de (1.76) que w. Com os mesmos argumentos usados para o caso em que (y n ) é limitada, concluimos que w é uma solução de (P ) com I(w) = c. Assim, concluimos novamente que o nível minimax c é um valor crítico do funcional I. 46

56 Suponha que (1.74) não ocorra, então, a menos de subsequência, u n L 2 (B ρ()). (1.77) Passando o limite em (1.73), usando (1.64), (1.77) e a limitação de ( t un ), concluimos que c ĉ. Portanto, a demonstração do teorema esta concluida para o caso em que Finalmente, suponha que então, para cada ɛ >, lim inf x lim inf x b(x) > b. b(x) = b, lim inf x b(x) > b ɛ. Pelos resultados já provados uma das situações ocorre: (i)ou c é um valor crítico de I, (ii)ou c ĉ ɛ, onde ĉ ɛ é o nível minimax obtido pelo Teorema do Passo da Montanha para o funcional Î ɛ (u) = [ 1( u 2 + ( b ɛ)u 2) F (x, u) ]. 2 Suponha que a situação (i) não seja válida. Teorema 1.2, temos que c ĉ. Concluimos assim a demonstração do teorema. Então, fazendo ɛ e usando o A seguir, mostraremos um resultado para o problema (P ), usando o Teorema 1.3. Antes vamos enunciar e demonstrar o seguinte teorema. Teorema 1.4 Suponha que b > e que f satisfaça a (f 1 ) (f 5 ) com f independente de x. Então, ĉ é um valor crítico de Î com uma correspondente solução clássica û de { (P b) u + bu = f(u), x. 47

57 Demonstração: Note que a Proposição 1.2 é válida para o funcional Î. Logo, como na demonstração do Teorema 1.2, aplicando esta proposição e em seguida o Teorema B.19, obtemos uma sequência (w n ) E, tal que, Î(w n ) ĉ e Î (w n ). Como vimos anteriormente (w n ) é limitada em E e existem uma sequência (y n ), constantes β > e R > tais que, lim inf n B R (y n) w 2 n > β. Defina u n (x) = w n (x + y n ), da invariância do por translação, temos que (u n ) é limitada em E. Com efeito, u n 2 E = ( u n(x) 2 + u n (x) 2 )dx = ( w n(x + y n ) 2 + w n (x + y n ) 2 )dx, fazendo a mudança de variável z = x + y n, temos u n 2 E = ( w n(z) 2 + w n (z) 2 )dz = w n 2 E C, n IN, assim, a sequência (u n ) é limitada em E. Portanto, da reflexividade deste espaço, a menos de subsequência, u n û em E. Além disso, observe que B R () u n (x) 2 dx = B R () pelas imersões compactas de Sobolev, temos B R () û(x) 2 dx = lim inf n consequentemente û. Note que B R () w n (x + y n ) 2 dx = u n (x) 2 dx = lim inf n B R (y n) B R (y n) w n (z) 2 dz, w n (z) 2 dz > β >, F (u n(x))dx = F (w n(x + y n ))dx = F (w n(z))dz, Î(u n ) = Î(w n), note também que ϕ E com ϕ E 1, temos Î (u n (x))ϕ(x) = Î (w n (x+y n ))ϕ(x) = Î (w n (z))ϕ(z y n ) Î (w n ) E ϕ E Î (w n ) E, 48