Julio Roberto Soares da Silva. Problemas elípticos não-locais com expoente crítico

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA Julio Roberto Soares da Silva Problemas elípticos não-locais com expoente crítico BELÉM 204

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA Julio Roberto Soares da Silva Problemas elípticos não-locais com expoente crítico Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, com o prérequisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Prof a. Dr a.rúbia Gonçalves Nascimento. BELÉM 204

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4 Dedicatória A minha mãe, Maria de Fátima Soares da Silva, o pilar de minha família e a minha esposa, Adenilza Nunes do Espiríto Santos, meu amor, por tudo o que representam na minha vida.

5 Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes" Marthin Luther King.

6 Agradecimentos Primeiramente a Deus por estar presente em minha vida em todos os momentos, por ter-me dado capacidade e coragem para enfrentar os desaos com esperança e fé, e pela proteção nos momentos dicíeis. À minha mãe, Maria de Fátima Soares da Silva, pela boa criação e educação que sempre me deu, por ter sido incasável em apoiar-me em tudo que precisei, e por proporcionarme consciência e bom senso para fazer as escolhas corretas. A meu amor, esposa, amiga, companheira, Adenilza Nunes do Espírito Santo, que nas horas mais dicíeis desta caminhada sempre deu o seu melhor para que os obstáculos fossem superados. A meus irmãos, que sempre se dispuseram a me ajudar em tudo. À professora Rúbia Gonçalves Nascimento pela ótima orientação, pela compreensão, paciência, dedicação e pela boa convivência e amizade que tornaram possível este trabalho. A meus amigos, mestres e professores, João Pablo Pinheiro da Silva e Sebastião Martins Siqueira Cordeiro, que através de seus ensinamentos contribuiram em minha formação. Aos profesores da Faculdade de Matemática, do PPGME e do PDM, pelas conversas acadêmicas, disciplinas ministradas e momentos compartilhados. A meus amigos, que de uma forma especial zeram parte de minha jornada, Andréia, Bruno, Claudionei, Elany, Ítalo, Jesiel, João, Jorsy, Marly, Mirelson, Marcos, Raimundo, Ryan e Willian. À Carmen, pela imensa ajuda durante o curso e pela grande amizade. Agradeço ao professor Rodrigo da Silva Rodrigues por sua contribuição a este trabalho. Aos professores, Giovany de Jesus Malcher Figueiredo e Michele Oliveira Alves, por aceitarem avaliar este trabalho e contribuir para a melhoria do mesmo. À Capes pelo auxílio nanceiro.

7 Resumo Neste trabalho estudaremos a existência de soluções positivas para a seguinte classe de problemas elípticos não-locais com crescimento crítico e não linearidade descontínua: [ ( )] M u 2 dx u = λg(x, u) + u 5, u(x) > 0 em, u = 0 em, onde R 3 é um domínio limitado suave e λ > 0 é um parâmetro positivo, M : R + R + uma função contínua dada e g : R R é uma função satisfazendo certas condições. Palavras-chaves: Problema não-local, equação de Kirchho, crescimento crítico, Localmente Lipschitz

8 Abstract In this work, we will study existence of positive solutions for the following class of nonlocal problems with critical growth and discontinuous non-linearity: [ ( )] M u 2 dx u = λg(x, u) + u 5, u(x) > 0 em, u = 0 em, where, R 3 is a bounded smooth domain and λ > 0 is parameter, M is continuous function and g : R R is a function satisfying some conditions. Key-words: Non-local, Kirchho equation, critical growth, locally lipschitz.

9 Conteúdo Introdução 6 Uma classe de problemas elípticos não-locais com crescimento crítico 8. Introdução Resultados preliminares Prova do Resultado Principal Resultados abstratos 3 2. Gradiente generalizado Uma classe de problemas elípticos não locais com crescimento crítico e não linearidade descontínua Introdução Resultados preliminares Prova do Resultado Principal A Funcionais diferenciáveis 65 B Resultados importantes 77 Bibliograa 79

10 Introdução Neste trabalho vamos considerar a seguinte classe de problemas elípticos não-locais do tipo Kirchho com crescimento crítico [ ( )] M u 2 dx u = λg(x, u) + u 5, em u(x) > 0, em, u = 0, em, onde R N, para N =, 2 e 3, é um domínio limitado, λ é um parâmetro positivo, M : R + R + uma função contínua dada e g : R R uma função satisfazendo certas condições. No que segue, trataremos o problema acima para N = 3, pois os casos N = e 2 seguem de adaptações naturais. ( ) O problema () é chamado não-local, devido à presença do termo M u 2 dx implicando que a equação em (), não é uma identidade pontual. O interesse por tais problemas deve-se ao fato de apresentarem uma variedade relevante de situações físicas ( o que provoca ) algumas diculdades matemáticas interessantes. De fato, o operador M u 2 dx que aparece na equação de Kirchho surge em vibrações não lineares, a saber [ ( )] u tt M u dx u = f(x, u), em (0, T ) u = 0, em (0, T ) u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u (x). Tal equação hiperbólica é uma generalização da equação de Kirchho. ( ρ 2 u t ρ0 2 h + E L L 0 () u ) 2 u x 2 = 0. (2) x2

11 a qual apareceu pela primeira vez no trabalho de Kirchho [25] em 883. Esta equação estende a clássica equação da onda de D'Alembert que considera os efeitos da mudança no comprimento da corda durante as vibrações. Os parâmetros na equação da (2) têm os seguintes signicados: L é o comprimento da corda, h é a área de sua seção transversal, E é o módulo de Young do material do qual ela é feita, ρ é a densidade da massa e ρ 0 é tensão inicial. Vale ressaltar que a equação (2) começou a receber maior atenção de vários pesquisadores, principalmente após o trabalho do matemático francês J. L. Lions [24], apresentado em um simpósio internacional que ocorreu no Rio de Janeiro em 977. Nesse trabalho de Lions, foram utilizados argumentos de análise não-linear para trabalhar com problemas não-locais do tipo Kirchho. Salientamos que os problemas não-locais aparecem também em outras áreas como por exemplo, em biologia (sistemas biológicos, onde u descreve um processo que depende da média, por exemplo, a densidade da população), na física e engenharia. O objetivo central deste trabalho é mostrar a existência de soluções do problema () para algumas classes de funções g. Para isso, usaremos técnicas de Análise Funcional não-linear e no que segue, enunciaremos os resultados principais obtidos. No capítulo, denominado uma classe de problemas elípticos não-locais com crescimento crítico, estudaremos o seguinte problema [ ( )] M u 2 dx u = λf(x, u) + u 5, em, u(x) > 0 em, u = 0 em, onde R 3 é um domínio limitado suave, λ > 0 um parâmetro real, M : R + R + e f : R R funções contínuas. As hipóteses sobre a função M : R + R + são as seguintes: (M ) Existe m 0 > 0 tal que M(t) m 0, t R +. (3) (M 2 ) Existe θ > 0 que a função 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 é não-negativa em [0, + ), isto é, 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 0 t 0 2

12 e (M 3 ) [ t 2 M(t 2 ) ] θ M(t2 )t 2 + quando t + ; com 2( H(b)) + 4H(b) < θ < 6 onde H(t) = se t > 0 e H(t) = 0 se t 0 e M(t) = t 0 M(s)ds. (M 4 ) Existe b 0 tal que M(t) t b quando t +. Note que da hipótese (M 3 ), quando b = 0 obtemos e para o caso de b > 0 temos 2( H(b)) + 4H(b) = 2 2( H(b)) + 4H(b) = 4. Além disso, por (M 4 ), para todo t 0 existe K > 0 tal que M(t) K(m 0 + bt). Um exemplo tipíco de uma função que satisfaz as condições (M ) (M 4 ) é dada por com b 0 e para todo t 0. (f ) M(t) = m 0 + bt As hipóteses sobre a função f : R são: f(x, t) lim t 0 t = 0, x uniformemente em x. (f 2 ) Existe q (2( H(b)) + 4H(b), 6) vericando f(x, t) lim = 0, x, t 0 t q e a bem conhecida condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ) 0 < θf (x, t) = θ onde θ é dado em (M 3 ). t O principal resultado deste capítulo é: 0 f(x, s)ds tf(x, t), x e t > 0, 3

13 Teorema 0. Suponhamos que a função M satisfaça as condições (M ) (M 4 ) e f satisfaça (f ) (f 3 ). Então existe λ > 0, tal que o problema (3) possui uma solução fraca positiva para todo λ λ. O estudo feito no capítulo foi baseado no trabalho de Alves, Corrêa e Figueiredo [2] onde autores mostraram a existência de solução para o problema (3) usando o Teorema do Passo da Montanha, o Príncipio de Concentração e Compacidade de Lions [23], e a força de λ para contornar a diculdade dada pelo crescimento crítico. Em 2006 Corrêa e Figueiredo [8] consideraram uma classe de problemas não-locais com crescimento supercrítico e mostraram a existência de soluções usando métodos variacionais combinados com o método de interação de Moser, para λ sucientemente pequeno, porém, com λ multiplicando o termo com crescimento subcrítico o que difere do trabalho de outros autores em [2]. Além disso os autores em [2] consideraram classes de funções M que não são tratadas em Corrêa e Figueiredo [8]. No capítulo 2 apresentaremos alguns resultados básicos da teoria dos pontos críticos para funcionais localmente lipschitzianos, desenvolvido por Chang [6], baseado na Análise Convexa e no cálculo subdiferencial de Clarcke [7] que serão úteis para demonstrar os resultados do capítulo seguinte. Tal capítulo foi baseado no livro de Grossinho e Tersian [9] com auxílio da dissertação de Santos [29]. No capítulo 3, denominado uma classe de problemas elípticos não-locais com crescimento crítico e não-linearidade descontínua, estudaremos questões de existência de soluções positivas para a seguinte classe de problemas [ ( )] M u 2 dx u = λh(u a)u q + u 5, em u(x) > 0, em, u = 0, em, onde R 3 é um domínio suave q < 5, λ e a são parâmetros positivos, e M : R + R + é uma função contínua satisfazendo as hipóteses (M ) (M 4 ) e H é a função de Heaviside, isto é, 0 se t 0 H(t) = se t > 0. Essa classe de problemas, denominada problemas com não linearidade descontínua vem, ao longo dos últimos anos, sendo estudada por vários autores, e, várias técnicas 4 (4)

14 foram aplicadas para estudar as mesmas, tais como: técnicas variacionais para funcionais não diferenciáveis, sub e super solução, bifurcação global etc. Além disso, problemas envolvendo não linearidade descontínua aparecem em alguns ramos relacionados a física-matemática como por exemplo: são modelos para a condutividade do calor em meios elétricos, modelos de soluções estacionárias para fenômenos químicos e biológicos e é bem conhecido que problemas com não linearidade descontínua aparecem em situacões relevantes da Física do Plasma, ver em [3], [4], [5], [6], [8], [0], [], [2], [3] e suas referências. O principal resultado desse capítulo é o seguinte Teorema 0.2 Suponhamos que M satisfaça as condições (M ) (M 4 ). Então, existe λ > 0 e tais que, para λ (0, λ ) e a > 0, o problema (4) possui solução fraca positiva. O estudo do problema (4), foi motivado pelo artigo de Alves, Corrêa e Figueiredo [2], no qual os autores usaram técnicas variacionais a m de estudar sobre existência de soluções. A existência de soluções do problema (4) será obtida atavés do estudo do funcional energia I λ,a : H 0() R, associado ao problema, dado por t onde, M = M(s)ds e F (t) = 0 decrescente e t + = max{0, t}. Note que pois, para t a, F (t) = I λ,a (u) = 2 M( u 2 ) λ F (u)dx (u + ) 6 dx, t 0 u H(s a)s q ds = 0 f(s)ds, f(t) = H(t a)(t + ) q 0, se t a, t q+ q + aq+, se t > a, q + é uma função não H(t a) = 0, e para t > a, F (t) = t 0 H(s a)s q ds = = a 0 t a H(s a)s q ds + s q ds = sq+ q + t a t a H(s a)s q ds = tq+ q + aq+ q +. 5

15 O resultado central deste capítulo completa os estudos em Alves, Corrêa e Figueiredo [2], devido a não-linearidade ser descontínua, apresentando assim algumas diculdades pelo fato do funcional associado ao problema não ser diferenciável. No Apêndice A, apresentaremos alguns resultados sobre diferenciabilidade e no Apêndice B, resultados básicos da Teoria da Medida e Integração e Análise Funcional para melhor compreensão dos resultados obtidos. Para melhor clareza na leitura deste trabalho, repetiremos os problemas, bem como os enunciados dos resultados nos seus respectivos capítulos. 6

16 Notações.,. := par de dualidade. := medida de Lebesgue do conjunto. Lip loc (H 0()) : denota o espaço dos funcionais localmente lipschitzianos. suppu := suporte de uma função u. u + := max{u, 0}. u := min{u, 0}. := m da demonstração de um teorema, proposição, lema ou corolário. u s := norma de u em L s (). := convergência fraca.. :=. H 0 (). fdx = f(x)dx. u = u(x). q.t.p. = quase em toda parte 7

17 Capítulo Uma classe de problemas elípticos não-locais com crescimento crítico. Introdução Neste capítulo vamos estudar as questões de existência de soluções positivas para a seguinte classe de problemas não-locais do tipo Kirchho [ ( )] M u 2 dx u = λf(x, u) + u 5 em (P λ ) u(x) > 0, em u = 0, em onde R 3, é um domínio suave limitado, λ é um parâmetro positivo e M : R + R +, f : R R são funções contínuas, satisfazendo as seguintes condições: (M ) Existe m 0 > 0 tal que M(t) m 0, t R +. (M 2 ) Existe θ > 0 que a função 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 é não-negativa em [0, + ), isto é, 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 0 t 0 e (M 3 ) [ ] t 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 + quando t + ; 8

18 com 2( H(b)) + 4H(b) < θ < 6 onde H(t) = se t > 0 e H(t) = 0 se t 0 e M(t) = t 0 M(s)ds. (M 4 ) Existe b 0 tal que M(t) t b quando t +. Uma vez que, a intenção de encontrar soluções positivas, em todo este trabalho vamos supor que f(x, t) = 0, x e t 0. (f ) As hipóteses sobre a função f : R R são as seguintes: f(x, t) lim t 0 t Existe q (2( H(b)) + 4H(b), 6) vericando (f 2 ) = 0, uniformemente em x. f(x, t) lim = 0, x, t + t q e a conhecida condição superlinear de Ambrosetti-Rabinowitz que é (f 3 ) 0 < θf (x, t) = θ t e t > 0 onde θ é dada na hipótese (M 3 ). 0 f(x, s)ds < tf(x, t) x Na demonstração do resultado principal deste capítulo usaremos o seguinte teorema, devido a Ambrosetti-Rabinowitz ver [32] Teorema. Seja X um espaço de Banach e I C (X, R) vericando a condição (P S) com I(0) = 0. Suponhamos que: (i) Existem α, r > 0 tais que I(u) α > 0 para todo u X tal que u = r. (ii) Existe e X tal que e > r e I(e) < 0. Para Γ = {γ C([0, ], X) : γ(0) = 0, γ() = e} 9

19 dena Então c α e c é valor crítico de I. 0 < c = inf γ Γ max 0 t I(γ(t)). No que segue, denotamos por S a melhor constante de Sobolev na imersão dada por H 0() L 6 () { S := inf u 2 dx : u H0()e O nosso principal resultado deste capítulo é: } u 6 dx =. Teorema.2 Assumindo que as condições (M ) (M 4 ) e (f ) (f 3 ) são verdadeiras, então, existe λ > 0, tal que o problema (P λ ) tem uma solução fraca positiva em H 0(), para todo λ λ. seguir. Para demonstrarmos o Teorema.2, precisaremos de alguns resultados que veremos a.2 Resultados preliminares O espaço que vamos trabalhar é o espaço H 0(), o qual é denido por H 0() = {u H (); u = 0 sobre }, que é o fecho de C0 () em relação a norma ( ) u = u 2 dx, além disso é um espaço de Hilbert munido com produto interno dado por u, v = u vdx. Denição. Dizemos que u H 0() é solução fraca do problema (P λ ) se para cada φ H 0() onde u 2 = M( u 2 ) u 2 dx. u φdx λ f(x, u)φdx u 5 +φdx = 0 0

20 Por usarmos o método variacional, obteremos soluções fracas de (P λ ) encontrando pontos críticos do funcional I λ : H 0() R dado por I λ (u) = 2 M( u 2 ) λ F (x, u)dx (u + ) 6 dx. (.) 6 Note que I λ é de classe C (H 0(), R) e sua derivada é dada por para todo φ H 0(). I λ(u)φ = M( u 2 ) u φdx λ f(x, u)φdx u 5 +φdx, (.2) Portanto, os pontos críticos de I λ são soluções fracas para o problema (P λ ). Além disso, se o ponto crítico não é trivial pelo Príncipio do Máximo (ver Apêndice B, Teorema B.0), concluímos que a solução do problema (P λ ) é positiva. A seguir mostraremos que a geometria do Passo da Montanha é satisfeita. Lema. Assumindo que as condições (M ), (f ) e (f 2 ) são verdadeiras, existem números positivos ρ e α tal que I λ (u) α > 0, u H 0(), com u = ρ. Demonstração: Por (f ) temos que, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 temos f(x, t) ɛ t, se t < δ. Por (f 2 ), segue que, dado ɛ > 0, existe R > 0 tal que f(x, t) ɛ t q, se t R. Mostraremos que, f(x, t) M 2 t q para δ t R. Com efeito, desde que f é contínua, existe K > 0 tal que f(x, t) K. Note que, K = K δ q δq K δ q t q = M 2 t q.

21 Logo f(x, t) M 2 t q. Assim, combinando (f ) e (f 2 ) com a armação vericada acima temos que Portanto, Implicando que f(x, t) ɛ t + M 2 t q, t R para algum M 2 > 0. (.3) F (x, u) = u 0 f(x, t)dt = ɛ 2 u 2 + M 2 q u q. u F (x, u) ɛ 2 u 2 + M 2 q u q, 0 ɛ t + M 2 t q dt logo, e assim, λ F (x, u)dx ɛ 2 F (x, u)dx λɛ 2 λɛ u 2 dx + M 2 q u 2 dx + λm 2 q u 2 dx + λm 2 u q dx, u q dx u q dx. Portanto, I λ (u) = 2 M ( u 2) λ F (x, u)dx u 6 dx 6 u 2 M(s)ds λɛ u 2 dx λm 2 u q dx 2 2 q 6 Usando (M ) vem que I λ (u) 2 m 0 u 2 λɛ 2 Das imersões de Sobolev temos 0 u 2 dx λm 2 q u q dx 6 (u + ) 6 dx. I λ (u) 2 m 0 u 2 λɛc u 2 λm 2 C 2 u q C 3 u 6 ( ) = 2 m 0 λɛc u 2 λm 2 C 2 u q C 3 u 6. 2 (u + ) 6 dx.

22 Escolhendo 0 < ɛ tal que m 0 2 > λɛc temos onde C 4 = ( 2 m 0 λɛc ) e K2 = M 2 C 2. I λ (u) C 4 u 2 λk 2 u q C 3 u 6, Seja ρ > 0 a ser xado posteriormente. Para u H 0() com u = ρ temos Para que I λ (u) 0 temos que ter, ou seja, I λ (u) C 4 ρ 2 λk 2 ρ q C 3 ρ 6. C 4 ρ 2 λk 2 ρ q C 3 ρ 6 > 0, ( ρ 2 C 4 λk ) 2 ρ C 3ρ 4 > 0. 2 q Sabemos que ρ 2 > 0, então devemos ter por outro lado, temos logo, então, Note que para 0 < ρ < Assim, C 4 λk 2 ρ q 2 C 3 ρ 4 > 0, C 4 (λk 2 + C 3 ρ 6 q )ρ q 2 > 0. λk 2 + C 3 ρ 6 q < λk 2 + C 3, C 4 ( λk 2 + C 3 ρ 6 q) ρ q 2 > C 4 (λk 2 + C 3 ) ρ q 2. C 4 > (λk 2 + C 3 ) ρ q 2, ( ) C q 2 4 ρ <. λk 2 + C 3 C Tomando ρ 0 = min{, ( 4 λk 2 +C 3 )} > 0, temos I λ (u) α > 0, u = ρ, u H0(). Assim, desde que 2( H(b)) + 4H(b) < q < 6 segue o resultado para ρ > 0 sucientemente pequeno. 3

23 Lema.2 Considere as condições (M 3 ) e (f 3 ). Para todo λ > 0 existe e H0() com I λ (e) < 0 e e > ρ. Demonstração: Seja 0 < θf (x, t) = θ Assim, t 0 f(x, s)ds tf(x, t), t > 0 onde θ > 2. (.4) 0 < θ t f(x, t) F (x, t). Considerando F (x, t) 0 e t 0, vamos analisar o caso t >, temos assim que Logo, 0 < t θ t s ds f(x, s) F (x, s) ds. θ ln t θ ln() ln F (x, t) ln F (x, ). Ou seja, Daí, isto é, ln t θ ln F (x, t) F (x, ) tθ 0 < t θ F (x, t) F (x, ), F (x, t) F (x, ). 0 < t θ F (x, ) F (x, t), para t, x. Assim, xando min F (x, ) = C > 0, observamos que C está bem denido, visto que x F (., ) é contínua e é compacto. Portanto F (x, t) C t θ, para t e x. Considerando v 0 C 0 \ {0} com v 0 0 em e v 0 =, para t > 0 sucientemente grande com tv 0 R, e usando I λ (u) = 2 M ( u 2) λ F (x, u)dx (u + ) 6 dx, 6 4

24 segue-se I λ (tv 0 ) = 2 M ( tv 0 2) λ F (x, tv 0 )dx 6 (tv 0 ) 6 dx. que Desde que M(t) = t 0 M(s)ds, usando a hipótese (M 4 ) temos que existe K > 0 tal M(t) K(m 0 + bt). Assim, I λ (tv 0 ) 2 v 2 0 t 2 0 Km 0t 2 2 Portanto, desde que 2 < θ < 6 obtemos K(m 0 + bs)ds λ C tv 0 θ dx 6 + Kbt4 λt θ C v θ 4 0dx t6 (v 0 ) 6 dx. 6 (tv 0 ) 6 dx I λ (v 0 t) quando t e este limite implica que, existe t > 0 tal que e = t v 0 H0() com e > ρ e I λ (e) < 0, provando assim o lema. Usando o Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti-Rabinowitz ver [32], existe uma sequência (u n ) H0() satisfazendo, I λ (u n ) c e I λ(u n ) 0. onde c é o nível do passo da montanha. Lema.3 Assumindo as condições (M ) (M 4 ) e (f ) (f 3 ), então existe λ > 0 tal que ( ) c pertence ao intervalo 0, ( )(m θ 6 0S) 3 2 para todo λ λ. Demonstração: Seja v 0 é a função dada pelo Lema.2, segue-se que existe t λ > 0 vericando Assim, I λ (t λ v 0 ) = max t 0 I λ(tv 0 ). I λ(t λ v 0 )(t λ v 0 ) = 0. 5

25 logo, Portanto, M( t λ v 0 2 ) Daí temos, t 2 λm(t 2 λ v 0 2 ) Logo, (t λ v 0 ) (t λ v 0 )dx = λ f(x, t λ v 0 )t λ v 0 dx + (t λ v 0 ) 5 t λ v 0 dx. (v 0 ) 2 dx = λ f(x, t λ v 0 )t λ v 0 dx + t 6 λ v0dx. 6 (.5) t 2 λm(t 2 λ v 0 2 ) v 0 2 t 6 λ Da hipótese (M 4 ) tem-se que existe K > 0 tal que Assim, M(t) K(m 0 + bt), t 0. M(t 2 λ v 0 2 ) K(m 0 + Kbt 2 λ v 0 2 ) = Km 0 + Kbt 2 λ v 0 2, De (.6) e (.7) segue que ou seja, v 6 0dx. (.6) t 2 λm(t 2 λ v 0 2 ) v 0 2 t 2 λkm 0 v Kbt 4 λ v 0 4. (.7) t 2 λkm 0 v Kbt 4 λ v 0 4 t 6 λ Km 0 v Kbt 2 λ v 0 4 t 4 λ v 6 0dx, v 6 0dx, implicando que t λ é limitado. Assim existe uma sequência λ n e t 0 0, tal que Armação. t 0 = 0. t λn t 0, quando n +. (.8) De fato, suponhamos, por contradição que t 0 > 0. De (.8) segue que t 2 λ n km 0 v kbt 4 λ n v 0 4 é uma sequência convergente assim, existe uma constante D > 0 tal que t 2 λ n km 0 v kbt 4 λ n v 0 4 D, n N. 6

26 Usando (.7) teremos então que e de (.5) segue que λ n e Note que, de (.5) t 2 λ n M(t 2 λ n v 0 2 ) v 0 2 D, n N, f(x, t λn v 0 )t λn v 0 dx + t 6 λ n lim n lim n λ n (λ n f(x, t λn v 0 )t λn v 0 dx + t 6 λ n [ lim n v 6 0dx D, n N. (.9) ) v0dx 6 = f(x, t λn v 0 )t λn v 0 dx + lim t 6 λ n n v0dx 6 Usando (.8) e a condição de crescimento de f vem que f(x, v 0 t λn )t λn v 0 f(x, v 0 t 0 ) q.t.p. em. f(x, v 0 t λn ) ɛ v 0 t λn v 0 t λn + M v 0 t λn q v 0 t λn. Sendo (t λn ) convergente, existe C > 0, tal que e desde que v 0 C 0 () segue-se t λn C, n N, f(x, v 0 t λn ) ɛc v MC v 0 q L (). Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) concluímos Assim, Desde que lim f(x, v 0 t λn )v 0 t λn dx = f(x, v 0 t 0 )v 0 t 0 dx. n lim λ n n lim f(x, t λ n v 0 )t λn v 0 dx + lim n lim λ n f(x, t 0 v 0 )t 0 v 0 dx + t 6 0 n lim λ n =, n 7 n t 6 λ n ]. v 6 0dx = v 6 0dx.

27 se t 0 > 0, então por (.9) + D, o que é absurdo, portanto t 0 = 0. Provando assim, a armação. Dena, agora o seguinte caminho com γ (0) = 0 e I(γ ()) = I(e) < 0, onde Daí temos γ : [0, ] H 0() t γ (t) = te, 0 < c = inf γ Γ max t [0,] I(γ(t)). 0 < c max I(γ (t)) = I(t λ v 0 ). t [0,] Desde que λ F (x, t λ v 0 )dx 0 e t6 λ 6 v0dx 6 0, segue-se I(t λ v 0 ) = 2 M ( t λ v 0 2) λ F (x, t λ v 0 )dx t6 λ v 6 6 0dx 2 M( t λ v 0 2 ). Assim, Note que Assim, 0 < c max t [0,] I(γ (t)) = I(t λ v 0 ) 2 M(t 2 λ v 0 2 ). 2 M(t 2 λ n v 0 2 ) = t 2 λn v t 2 λn v M(s)ds (Km 0 + Kbs)ds = 2 km 0t 2 λ n v K 4 m 0bt 4 λ n v 0 4. Portanto, lim n 2 M(t 2 λ n v 0 2 ) lim n 2 km 0t 2 λ n v K 4 m 0bt 4 λ n v 0 4 = 0. 2 M(t λ v 0 2 ) < K, K > 0. Considerando K = ( θ 6) (m0 S) 3 2, temos que para λ sucientemente grande ( 0 < c < θ ) (m 0 S) Provando assim o resultado. 8

28 .3 Prova do Resultado Principal A seguir mostraremos o principal resultado deste capítulo. Teorema.3 Assuma que as condições (M ) (M 4 ), (f ) (f 3 ) são verdadeiras. Então, existe λ > 0, tal que o problema tem uma solução fraca positiva em H 0(), para todo λ λ. Demonstração: Dos Lemas.,.2 e.3 existe (u n ) H 0() uma sequência Palais- Smale para I λ, isto é, I λ (u n ) c e I λ(u n ) 0 ( ( com c 0, θ ) ) (m 0 s) 3/2, para todo λ λ. 6 Mostraremos que (u n ) é limitada. Desde que, I λ (u n ) c, segue-se (I λ (u n )) é uma sequência limitada em R, isto é, existe C > 0 tal que I λ (u n ) I λ (u n ) C, n N. Sendo I λ (u n)u n 0, então dado ɛ > 0 e θ > 2 existe n 0 N tal que Observe que θ I λ(u n ) (H 0 ()) ɛ, n > n 0. θ I λ(u n )(u n ) θ I λ(u n )(u n ) θ I λ(u n ) (H 0 ()) (u n), deste modo θ I λ(u n )(u n ) (u n ), n > n 0. Logo C + u n I λ (u n ) θ I λ(u n )(u n ). Daí, C + u n 2 M( u n 2 ) λ F (x, u n )dx 6 [ M( u n 2 ) u n 2 λ f(x, u n )(u n )dx θ u n 6 dx ] u n 6 dx, 9

29 assim da hipótese (f 3 ) obtemos, C + u n 2 M( u n 2 ) θ M( u n 2 ) u n 2, n N. (.0) Assumindo por contradição que (u n ) não é limitada em H 0(), então existe uma subsequência ainda denotada por (u n ), tal que Multiplicando (.0) por u n Da condição (M 3 ) u n +. para n sucientemente grande, temos ]. C u n + [ u n 2 M( u n 2 ) θ M( u n 2 ) u n 2 C u n + u n [ 2 M( u n 2 ) ] θ M( u n 2 ) u n 2 + o que é um absurdo. Portanto (u n ) é limitada em H 0() e, a menos de subsequência, existe t 0 0 tal que Sendo M contínua, obtemos u n t 0. (.) M( u n 2 ) M(t 2 0). (.2) Sendo (u n ) é limitada, H 0() reexivo, usando as imersões de Sobolev e o Teorema de Vainberg (ver Apêndice B, Teorema B.7), a menos de subsequência, temos que u n u, em H 0() (.3) u n u, em L r () (.4) u n (x) u(x), q.t.p. (.5) u n (x) h(x), q.t.p. em, h L 2 (). (.6) Por outro lado, do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions (ver [23]), temos que existem duas famílias (µ i ) i Λ e (ν i ) i Λ de números reais não-negativos e uma família (x i ) i Λ de pontos do R 3, onde Λ é um conjunto de índices no máximo enumerável, tais que u n 2 µ u 2 + µ (.7) (u n ) 6 + ν = (u + ) 6 + ν, (.8) 20

30 onde, ν = i Λ ν i δ xi, µ i Λ µ i δ xi e Sν /3 i µ i (.9) para todo i Λ, onde δ xi é a medida de Dirac de massa em x i. Fixemos i Λ e consideremos a aplicação φ C 0 () tal que 0 φ(x), para todo x R 3, φ 2 e se x B (0) φ(x) = 0 se x R 3 \B 2 (0). Para cada ρ > 0 denamos ( ) (x xi ) ψ ρ = φ. ρ Assim ψ ρ C0 (), 0 ψ ρ para todo x R 3 e ψ 2, se x B ρ (x i ) ψ ρ (x) = 0 se x \B 2ρ (x i ). Observe que a sequência (ψ ρ u n ) é limitada. De fato, pois ψ ρ u n 2 = (ψ ρ u n ) 2 dx = ψ ρ u n + u n ψ ρ 2 dx 4 ψ ρ u n 2 dx + u n ψ ρ 2 dx 4 u n ψ ρ 2 u n 2 dx. Da Desigualdade de Hölder (ver Apêndice B, Teorema B.3) temos [ ψ ρ u n 2 4 u n ψ ρ 3 ] 2 3 u n 2 6. Da imersão contínua de Sobolev existe K > 0 tal que u n 2 L 6 () K u n 2. Note que o suporte de ψ ρ está contido em B ρ (x i ), logo, teremos [ ψ ρ 3 ] 2 3 [ = B ρ(x i ) ψ ρ 3 ]

31 Pela Regra da Cadeia, temos y = x x i, ρ ρy = x x i e dx = ρ 3 dy e ψ ρ x i (x) = φ( x xi ρ ) x i = φ(y) y i ( ρ ), daí, ψ ρ (x) = ρ φ(y) = ρ φ(y) assim, logo, B ρ(x i ) ψ ρ 3 dx = [ B (0) ( ) ] 2 φ 3 ρ 3 dy 3 φ 3 ρ B 3 (0), ψ ρ u n 2 4 u n 2 + 4K u n 2 φ 3 B (0) u n 2 (4 + 4KK ) assim, tomando C= 4 + 4KK então, ψ ρ u n 2 C u n 2. Desde que a sequência (u n ) é limitada em H 0(), segue-se que (u n ψ ρ ) é limitada em H 0(), sendo (u n ) uma sequência Palais-Smale, segue-se ou seja, M( u n 2 ) Logo, I λ(u n )(u n ψ ρ ) 0, u n (u n ψ ρ )dx λ f(x, u n )u n ψ ρ dx (u + n ) 5 u n ψ ρ dx = o n (). M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx = λ f(x, u n )u n ψ ρ dx + (u + n ) 5 ψ ρ dx M( u n 2 ) u n 2 ψ ρ dx + o n (). (.20) Da continuidade da função f, e como ψ ρ tem suporte compacto temos f(x, u n (x))u n (x)ψ ρ (x) f(x, u(x))u(x)ψ ρ q.t.p. em, 22

32 e f(x, u n (x))u(x)ψ ρ f(x, u(x))u(x)ψ ρ (x) q.t.p. em. Além disso, da condição de crescimento e de (.6) f(x, u n (x))u n (x)ψ ρ (x) C u n (x) (u n (x))ψ ρ + C 2 u n (x) q (u n (x))ψ ρ C u n (x) 2 ψ ρ + C 2 u n (x) q ψ ρ C h(x) 2 ψ ρ + C 2 h(x) q ψ ρ L (). Do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) f(x, u n (x))u n (x)ψ ρ dx f(x, u(x))u(x)ψ ρ (x)dx. Do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions (ver [23]), segue-se que M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx λ f(x, u n )u n ψ ρ dx + (u + ) 6 ψ ρ dx + ν i δ xi (ψ ρ ) i Λ M(t 2 0) u 2 ψ ρ dx M(t 2 0) µ i δ xi (ψ ρ ) + o n (), i Λ isto é, M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx λ f(x, u n )u n ψ ρ dx + (u + ) 6 ψ ρ dx + ν i ψ ρ (x i ) i Λ M(t 2 0) u 2 ψ ρ dx M(t 2 0) µ i ψ ρ (x i ) + o n (). i Λ Passando ao limite superior de n, teremos lim M( u n 2 ) u n ψ ρ (u n )dx λ f(x, u)uψ ρ dx + n (u + ) 6 ψ ρ dx + ν i ψ ρ (x i ) i Λ M(t 2 0) u 2 ψ ρ dx M(t 2 0) µ i ψ ρ (x i ). i Λ Vejamos agora que (u + ) 6 ψ ρ dx = o ρ (), Para isso basta notar que, quando ρ 0 f(x, u)uψ ρ dx = o ρ () e M(t 2 0) u 2 ψ ρ dx = o ρ (). (.2) u(x) 6 ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) 0, q.t.p. em, M(t 2 0) u(x) 2 ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) 0, q.t.p. em, f(x, u(x))u(x)ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) 0, q.t.p. em. 23

33 e u(x) 6 ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) u(x) 6, q.t.p. em, M(t 2 0) u(x) 2 ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) M(t 2 0) u(x) 2, q.t.p. em, f(x, u(x))u(x)ψ ρ (x)χ B(xi,ρ)(x) C u(x) 2 + C 2 u(x) q, q.t.p. em. Assim, do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) concluímos as convergências em (.2). Portanto, [ ] [ lim lim M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx lim ν i ψ ρ (x i ) M(t 2 ρ 0 n ρ 0 0) ] µ i ψ ρ (x i ). (.22) i Λ Armação.2 Armamos que [ lim ρ 0 lim M( u n 2 ) n i Λ ] u n ψ ρ u n dx = 0. De fato, uma vez que para cada n N, u n L 2 () e ψ ρ u n L 2 (), segue-se pela Desigualdade de Hölder que M( u n 2 ) u n ψ ρ u n M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx ( ) M( u n 2 ) u n 2 2 ( ) u n 2 ψ ρ 2 2 ( ) = M( u n 2 ) u n u n 2 ψ ρ 2 2. Sendo (u n ) uma sequência limitada, da continuidade de M e do fato que [supp(ψ ρ ) B(x i, 2ρ)], existe C 5 > 0 tal que ( ) M( u n 2 ) u n ψ ρ u n C 5 u n 2 ψ ρ 2 2. (.23) B(x i,2ρ) Pondo g n (x) = u n (x) 2 ψ ρ (x) 2, segue-se de (.5) e (.6) que g n (x) g(x), e g n (x) h 2 (x) ψ ρ 2 L (), q.t.p. em B(x i, 2ρ), onde g(x) = u(x) 2 ψ ρ (x) 2. Assim do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) u n 2 ψ ρ 2 dx = lim n B(x i,2ρ) 24 B(x i,2ρ) u 2 ψ ρ 2. (.24)

34 Logo, de (.23) e (.24) concluímos que ( ) lim M( u n 2 ) u n ψ ρ (u n ) C 5 u 2 ψ ρ 2 2. n B(x i,2ρ) Uma vez que, u 2 L 3 () e ψ ρ 2 L 3 2 (), teremos novamente da Desigualdade de Hölder (ver Apêndice B, Teorema B.3) que ( ) ( ) 2 lim M( u n 2 ) u n ψ ρ u n C 5 u 6 3 ψ ρ 3 3. (.25) n B(x i,2ρ) B(xi,2ρ) Usando novamente a Regra da cadeia ψ ρ (x) x j = ψ ρ x j ( x xi ρ ). Considerando a mudança de variável y = x x i, obtemos ρy = x x i e dx = ρ 3 dy ρ ψ ρ x i = φ( x xi ρ ) x i = φ(y) x i ( ρ ), daí, ψ ρ (x) = ρ φ(y) = ρ φ(y) assim, B(x i,2ρ) ψ ρ 3 dx = [ B(0,2) ( φ 3 ) dy] 2 3 φ 3 B(0, 2). (.26) Substituindo (.26) em (.25), obtemos ( ) ( ) 2 lim M( u n 2 ) u n ψ ρ u n C 5 (u + ) 6 3 φ ρ 3 3 dy n B(x i,2ρ) B(0,2) ( ) C 5 (u + ) 6 3 φ 3 B(0, 2), assim, xando C = C 5 φ 3 B(0, 2) teremos B(x i,2ρ) ( ) lim M( u n 2 ) u n ψ ρ u n C (u + ) 6 3. n B(x i,2ρ) Finalmente denindo g ρ (x) = (u + (x)) 6 χ B(xi,2ρ)(x), segue-se que g ρ (x) 0 q.t.p. em R 3, quando ρ 0 25

35 logo, g ρ (x) u + (x) 6 L (). Portanto, do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) e consequentemente ( ) lim (u + ) 6 3 dx = 0 ρ 0 B(xi,2ρ) [ ] lim lim M( u n 2 ) u n ψ ρ u n dx = 0. ρ 0 n Daí, de (.22), obtemos ( 0 lim ν i ψ ρ (x i ) M(t 2 ρ 0 0) ) µ i ψ ρ (x i ), i Λ ou seja, onde Agora veremos que ψ ρ dν = B(x i,2ρ) i Λ ( ) 0 lim ψ ρ dν M(t 2 ρ 0 0) ψ ρ dµ. B(x i,2ρ) B(x i,2ρ) {x i } Com efeito, temos que, ψ ρ dν = ψ ρ χ B(xi,2ρ) dν e B(x i,2ρ) quando ρ 0 e dν e M(t 2 0) ψ ρ dµ = M(t 2 0) B(x i,2ρ) {x i } B(x i,2ρ) ψ ρ dµ = ψ ρ (x)χ B(xi,2ρ)(x) χ {xi }(x), q.t.p. em, ψ ρ (x) χ B(xi,2ρ)(x), q.t.p. em. dµ. ψ ρ χ B(xi,2ρ) dµ, Desde que as medidas de Radon são nitas, concluímos que L (ν) e L (µ), logo do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2), resulta que, ψ ρ χ B(xi,2ρ) dν = χ {xi } dν + oρ() e ψ ρ χ B(xi,2ρ) dµ = χ {xi } dµ + o ρ (). 26

36 Isto é, ψ ρ dν = B(x i,2ρ) {x i } dν + o ρ () e M(t 2 0) ψ ρ dµ = M(t 2 0) B(x i,2ρ) {x i } dµ + o ρ (). Sendo assim, obtemos 0 {x i } dν M(t 2 0) {x i } dµ. Logo, M(t 2 0) {x i } dµ {x i } dν, e portanto, vale M(t 2 0)µ(x i ) ν(x i ). (.27) Por outro lado temos ν(x i ) = i Λ ν i δ xi (x i ) = ν i e µ(x i ) = i Λ µ i δ xi (x i ) = µ i. Do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions segue-se que µ i Sν 3 i, i Λ. (.28) Assim comparando as desigualdades (.27) e (.28) e por (M ) Logo ν i M(t 2 0)µ(x i ) Sν 3 i m 0. ν i M(t 2 0)µ(x i ) m 0 µ i, e portanto, supondo que ν(x i ) = ν i > 0, de (.9) obtemos pois ( θ 6) <. ν i (m 0 S) 3 2 ( θ 6 27 ) (m 0 S) 3 2, (.29)

37 Logo a desigualdade em (.29) ocorre para todo índice i Λ tal que ν i e µ i são positivos. Argumentamos agora com intuito de mostrar que o conjunto Λ é vázio, isto é, os números ν i e µ i são todos nulos, ou seja, a desigualdade (.29) não pode ocorrer. De fato, suponhamos por contradição que para algum i Λ para os quais ν i e µ i sejam positivos. Assim, de (.29) a sequência (ν i ) não convergirá para zero e portanto a série i Λ ν 3 i divergirá, contradizendo o Princípio de concentração e Compacidade de Lions (ver [23]), desta forma, concluímos que Λ é vázio ou nito. Uma vez que (u n ) é uma sequência Palais-Smale, temos que logo, c = I(u n ) θ I (u n )(u n ) + o n () c = 2 M( u n 2 ) λ F (x, u n )dx (u + n ) 6 dx 6 [ ] M( u n 2 ) u n 2 λ f(x, u n )u n dx (u + n ) 6 dx + o n (), θ Assim, por (f 3 ) temos λ Por (M 2 ) obtemos, assim, como 0 ψ ρ ( c θ ) 6 c = 2 M( u n 2 ) θ M( u n 2 ) u n 2 [ ] + λ θ f(x, u n)(u n )dx F (x, u n )dx ( + θ ) (u + n ) 6 dx + o n (). 6 [ ] θ f(x, u n)(u n )dx F (x, u n )dx > 0. 2 M( u n 2 ) θ M( u n 2 ) u n 2 0 n N (u + n ) 6 dx + o n () Fazendo n, obtemos, ( c θ ) ψ ρ (x i )ν i = 6 i Λ ( θ ) ψ ρ (u + n ) 6 dx + o n (). 6 ( θ ) ( ν i 6 θ ) (m 0 S) i Λ 28

38 o que contradiz nossa hipótese inicial. Portanto ν i = 0, i Λ, isto é, Λ é vazio. Sendo assim, do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions (ver [23]), concluímos que e portanto (u + n ) 5 ϕdx (u + ) 5 ϕdx, ϕ C0 (), (u + n ) 6 dx (u + ) 6 dx. Desde que (u n ) é uma sequência Palais-Smale limitada, u n u em L 6 () e u n u em L q () temos lim M( u n 2 ) u n 2 = λ f(x, u)udx + (u + ) 6 dx. n Por outro lado, como u n u e u n t 0 teremos M(t 2 0) u vdx = λ f(x, u)vdx + (u + ) 5 vdx, v H0(), portanto M(t 2 0) u 2 = λ f(x, u)udx + (u + ) 6 dx. De onde segue que M( u n 2 ) u n 2 M(t 2 0) u 2. Desde que M( u n 2 ) M(t 2 0), obtemos que u n 2 u 2. Uma vez u n u e H 0() é uniformemente convexo, segue-se u n u em H 0(). Assim, concluímos que I λ verica a condição Palais-Smale. Além disso, usando o fato de que o funcional I λ é de classe C, obtemos I λ (u n ) I λ (u) e I λ(u n ) I λ(u), e assim pela unicidade do limite I λ (u) = c > 0 e I λ(u) = 0, 29

39 portanto u é solução fraca do Problema (P λ ), se u = 0 teremos I λ (0) = 0 e como I λ (u) = c > 0, concluímos que u é não trivial. Agora mostraremos que u é não-negativa. Desde que I λ(u)(u ) = M( u 2 ) u u dx λ f(x, u)u dx (u + ) 5 u dx + o n () = M( u 2 ) u + u dx + u u dx ( ) λ f(x, u + )u dx + f(x, u )u dx (u + ) 5 u dx {x ;u(x)>0} {x ;u(x) 0} = M( u 2 ) u 2, se u é ponto crítico de I λ temos I λ (u)(u ) = 0, então, Desde que M( u 2 ) u 2 = 0. M( u 2 ) > 0 u 2 = 0, mostrando que u = 0 q.t.p. em. Portanto u 0 q.t.p. em. Por resultados de regularidades do tipo bootstrap a solução fraca u é uma solução clássica, como e λf(x, u) + u 5 0 M( u 2 ) 0, daí, u 0 em u = 0 em. Desde que min u(x) = min u(x) = 0, daí suponhamos que exista x 0 tal que u(x 0 ) = inf u(x), teríamos u(x) = 0, absurdo. x Pois u 0, portanto pelos Príncipios do Máximo u(x) > 0, x. 30

40 Capítulo 2 Resultados abstratos Neste capítulo, apresentaremos algumas propriedades envolvendo funcionais localmente lipschitziano e gradiente generalizado da teoria dos pontos críticos desenvolvida por Clarke e Chang. Algumas denicões e propriedades importantes que serão muito úteis no desenvolvimento deste trabalho. Nos limitaremos em apresentar a demonstração de alguns resultados, pois os demais, podem ser encontrados em detalhes no trabalho [29]. No decorrer deste capítulo, X denotará um espaco de Banach separável e reexivo,. denotará uma norma em X e X e.,. o par de dualidade entre X e X. 2. Gradiente generalizado Denição 2. Seja X um espaço de Banach e I : X R. Dizemos que I é um funcional localmente lipschitziano (Lip loc (X, R)) se dado u X, existir uma vizinhança V = V u X de u e uma constante K = K v 0 tal que I(v ) I(v 2 ) v v 2, v, v 2 V. (2.) Denição 2.2 A Derivada Direcional Generalizada de um funcional I : X R, em um ponto u X na direção de v X, denotado por I (u, v) é denida por I (u, v) = lim h 0 sup λ 0 Consideremos as seguintes propriedades: I(u + h + λv) I(u + h), v X. λ (i) A função I (u,.) : X R é sub-aditiva e homogênea positiva,isto é, I (u, v + v 2 ) I (u, v ) + I (u, v 2 ), v, v 2 X, 3

41 e I (u, λv) = λi (u, v), v X e λ 0. (ii) I (u, v) é um funcional convexo. (iii) I (u, v) K(u) v, onde K(u) 0 satisfaz (2.) e depende do conjunto aberto V = V u, para cada u X. (iv) I (u, v) é uma função semi-contínua superiormente, isto é, onde (u j, v j ) X X. lim sup I (u j, v j ) I (u, v), (u j,v j ) (u,v) (v) I (u, v) I (u, t) K v t, u, v, e t X, isto é, I (u;.) : X R é uma função lipschitz, com constante K. (vi) (I + H) (u, v) I (u, v) + H (u, v) e I (u, v) = ( I) (u, v) u, v X. Agora, deniremos o Gradiente generalizado de um funcional localmente Lipschitz. Denição 2.3 Seja I Lip loc (X, R). Denimos o Gradiente generalizado de I no ponto u X, e denotamos por I(u), o subconjunto de X dado por I(u) = { } f X ; f, v I (u, v), v X. Desde que I (u, 0) = 0, segue-se que I(u) = I (u, 0). Exemplo Seja I : R R dada por I(x) = x. Temos que I Lip loc (X, R) e o gradiente generalizado de I é I(u) = {-}, se u < 0 [-,], se u = 0 {}, se u > 0. Lema 2. (ver[29]) O Gradiente generalizado de um funcional (I Lip loc (X, R)) é sempre não vazio, isto é, I(u). Lema 2.2 (ver[29]) Dados u, v X tem-se, I (u, v) = max{ f, v ; f I(u)}. Algumas propriedades ligadas ao Gradiente Generalizado. (P) Para todo x X o conjunto f(x) X é convexo e compacto na topologia fraca. 32

42 Além disso, para ξ f(x) temos ξ X K(x). (P2) Para cada f, g Lip loc (H 0(), R) e λ R tem-se que e (P3) A função (f + g)(x) f(x) + g(x) (λf)(x) = λ f(x). f P(X ) x f(x). é semi-contínua superiormente, isto é, para cada x 0 X e ɛ > 0 dados, existe δ = δ(x 0, ɛ) > 0, tal que se x x 0 < δ e ξ f(x), existe ξ 0 f(x 0 ) vericando ou equivalentemente (P4) Seja ξ ξ 0 X < ɛ, ξ ξ 0, v X < ɛ, v X, com v. f P(X ) x f(x). A função f é fechada fraco, isto é, se (x j, ξ j ) j N X X é uma sequência tal que ξ f(x), lim x j = x X e lim ξ j ξ 0, v = 0, v X, então ξ 0 f(x). j j (P5) O funcional x f(x) é semi-contínua inferiormente, isto é, lim inf f(x) f(x 0 ). x x 0 (P6) Sejam φ C ([0, ], X) e f Lip Loc (X, R). Então, a função h = f φ : [0, ] R é diferenciável q.t.p. em [0, ] e h (t) max{ ξ, φ ; ξ f(φ(t))}, q.t.p. em [0, ]. (P7) Se f é continuamente diferenciável a Fréchet numa vizinhança aberta de x X, temos f(x) = {f (x)}. 33

43 (P8) Se f C (X, R) e g Lip loc (X, R), então (f + g)(x) = f(x) + g(x). Lema 2.3 Para cada u X existe w I(u) tal que m(u) = min{ w X, w I(u)} Denição 2.4 Uma sequência (u n ) X é uma sequência Palais-Smale no nível c (P.S) c. I(u n ) c m(u n ) 0. Denição 2.5 Um funcional I Lip loc (X, R) satisfaz a condição Palais-Smale no nível c, se toda sequência (P.S) c possui uma subsequência fortemente convergente. 34

44 Capítulo 3 Uma classe de problemas elípticos não locais com crescimento crítico e não linearidade descontínua Neste capítulo, vamos estudar questões de existência de soluções para a seguinte classe de problemas: (P λ,a ) [ ( )] M u 2 dx u = λh(u a)u q + u 5, em u(x) > 0 em, u = 0 em, (3.) onde é um domínio limitado do R 3, λ > 0 e a > 0 parâmetros reais. M : R + R uma função e q < Introdução Nesta seção faremos algumas denições, enunciaremos e demonstraremos alguns resultados importantes para a demonstração do resultado principal. No que segue, H denota a função Heaviside, isto é, 0 se x 0 H(x) = se x > 0 e M é uma função contínua, satisfazendo as seguintes condições: (M ) Existe m 0 > 0 tal que M(t) m 0, t R +. 35

45 (M 2 ) Existe θ > 0 tal que a função 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 é não negativa em [0, + ), isto é, 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 0 t 0. (M 3 ) [ ] t 2 M(t 2 ) θ M(t2 )t 2 + quando t +, com 2( H(b)) + 4H(b) < θ < 6, e M(t) = (M 4 ) Existe b 0 tal que M(t) t t 0 M(s)ds. b quando t +. Note que da condição (M 3 ), quando b = 0 obtemos 2( H(b)) + 4H(b) = 2 e no caso b > 0, temos 2( H(b)) + 4H(b) = 4. Além disso, por (M 4 ), t 0, existe K > 0 tal que M(t) K(m 0 + bt). Para mostrarmos a existência de solução para o problema (P λ,a ) usaremos técnicas variacionais aplicadas ao funcional não-diferenciável I λ,a (u) = 2 M( u 2 ) λ F (u)dx 6 onde, F (t) = t 0 H(s a)(s + ) q ds = com H(t a)(t + ) q não-decrescente, t + = max{0, t}. (u + ) 6 dx, 0 se t a t q+ q + aq+ q + se t > a (3.2) Denição 3. Uma solução do problema (P λ,a ) é uma função u H 0() vericando [M( u )] u u 5 λ[f(u(x)), f(u(x))] q.t.p. em, com f(t) = lim f(t δ) e f(t) = lim f(t + δ) e f(t) = H(t a)(t+ ) q. δ 0 + δ

46 Na demonstração do resultado principal deste capítulo usaremos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para funcionais Lip loc, a qual foi demonstrada por Chang em [6], usando uma variante apropriada do Lema de Deformação,o qual enunciaremos a seguir. Teorema 3. Seja I lip loc (X, R), tal que I(0) = 0 e suponhamos que: (i) Existem constantes η > 0 e ρ > 0, tais que I(u) > η, para u = ρ, u X; (ii) Existe e X, com e > ρ, tal que I(e) < 0. Se, além disso, I satiszer a condição de Palais-Smale no nível c com c = inf max I(γ(t)) onde γ Γ t [0,] Γ = {γ C([0, ], X), γ(0) = 0 e γ() = e} então c > 0 é um valor crítico de I. Observamos que um ponto u 0 X é um ponto crítico de I se 0 I(u 0 ) e c é valor crítico se I(u 0 ) = c. Observamos que a seguinte imersão contínua que temos é H0() L 2 (), e a melhor constante desta imersão é denotada por S é denida por u 2 S = inf ; u H u 0(), u O espaço que vamos trabalhar é o espaço H 0(), o qual é denido por H 0() = { u H (); u = 0 sobre } que é o fecho de C 0 () em relação a norma Consideremos a seguinte armação: ( ) u = u 2 2. Armação 3. Para 0 < θ < q + 0 < θf (t) f(t)t, t R, 37

47 Demonstração Note que, para δ > 0 pequeno temos Logo f(t) = lim = f(t δ) δ 0 + = lim H(t δ a)(t δ)q δ 0 + = t q lim H(t δ a). δ 0 + Por outro lado, para t > a F (t) = t 0 f(s)ds = t 0 tf(t) = t q+ lim H(t δ a). δ 0 + H(s a)(s + ) q ds = Note que, para θ > 0 tal que 2 < θ < q + θf (t) = t a (s + ) q ds = ] [t q+ a q+. q + θ q + [tq+ a q+ ] < [t q+ a q+ ] < t q+, pois, a > 0. Assim, para δ sucientemente pequeno e desde que que t > a, segue-se que H(t δ a) = e portanto θf (t) t q+ lim H(t δ a) = tf(t). δ 0 + Para o caso t a é imediato a armação, pois neste caso F (t) = f(t) = 0. O resultado mais importante para este capítulo é o seguinte: Teorema 3.2 Assuma que as condições (M ) (M 4 ) são verdadeiras. Então, existe λ > 0, tal que o problema (P λ,a ) tem uma solução fraca positiva em H0(), para todo λ λ e a > 0. Para demonstrarmos o Teorema, precisaremos de alguns lemas que veremos a seguir. 3.2 Resultados preliminares Lema 3. Sejam u H 0() e σ = σ+ σ ρ L σ () tal que w, v = M( u 2 ) e com σ (0, 5). Se w I λ,a (u), então existe u v λ ρvdx (u + ) 5 v v H0() ρ [f(u(x)), f(u(x))] q.t.p. em. 38

48 Demonstração: Seja I λ,a = M( u 2 ) λ F (u)dx 2 6 (u+ ) 6 dx. Dena Ψ : H0() L σ+ () R u Ψ(u) = F (u)dx = H(u a)(u + ) q dx, Φ : H 0() R u Φ(u) = 6 (u+ ) 6 dx, e Υ : H 0() R u Υ(u) = 2 M( u 2 ). Desde que Υ e Φ C (H 0(), R) e Ψ Lip loc (H 0(), R), pela propriedade (P 8) (ver [29]) tem-se I λ,a (u) = {Υ (u)} {Φ (u)} λ Ψ(u). Logo, se w I λ,a (u), existe ρ Ψ(u) (L 6 ()) tal que w, v = Υ (u)v Φ (u) λ ρ, v, v H 0(). Pelo Teorema da Representação de Riesz (ver Apêndice B, Teorema B.5) existe ρ (L 6 ()) tal que ρ, v = ρvdx, v H0(). Assim, w, v = M( u 2 ) u v λ ρvdx (u + ) 5 v v H0(), onde pelo Teorema 2.3 ver [29] teremos ρ(x) [f(u(x)), f(u(x))], q.t.p. em. Lema 3.2 O funcional I λ,a é um funcional Localmente Lipschitz. 39

49 Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar que I λ,a Lip loc (H0(), R) para cada λ, a > 0. Consideremos I λ,a (u) : H0() R da seguinte forma. I λ,a (u) = Υ(u) λψ(u) Φ(u) onde, Υ(u) = 2 M( u 2 ), Ψ(u) = λ F (u)dx e Φ(u) = (u + ) 6 dx. 6 Seja V = V u = B R (u) uma vizinhança de u H0(), v, v 2 V. Ψ(v ) Ψ(v 2 ) = F (v ) F (v 2 ) ( u ) ( v ) = f(t)dt dx f(t)dt dx 0 0 ( u ) ( v ) = H(t a)(t + ) q dt dx H(t a)(t + ) q dt dx 0 0 ( u 0 ) = H(t a)(t + ) q dt + H(t a)(t + ) q dt dx 0 v ( u ) = H(t a)(t + ) q dt dx v ( u H(t a)(t + ) dt) q dx. v Considerando θ(x) = max{u(x), v(x)} e η(x) = min{u(x), v(x)} e H(t a) obtemos, Ψ(v ) Ψ(v 2 ) Observe agora para q >, a função θ(x) η(x) θ(x) η(x) (t + ) q dt dx t + q dtdx (3.3) é diferenciável e G : R R s G(s) = s s q q + G (s) = s q, s R, 40

50 Usando a ultima igualdade em (3.3) Ψ(v ) Ψ(v 2 ) θ(x) (t + ) q dt η(x) dx θ(x) G (t)dtdx, η(x) implicando que Ψ(v ) Ψ(v 2 ) (G(θ(x)) G(η(x))) dx. Sabendo que a função G é diferenciável, segue pelo Teorema do Valor Médio existe γ (θ(x), η(x)) tal que (γ(x)) q = G (γ) = G(θ(x)) G(η(x)) θ(x) η(x) Agora tomando γ(x) q max{ u(x) q v(x) q } = Y (x) q. (3.4) e note que Ψ(v ) Ψ(v 2 ) Temos por (3.4) e (3.5) Ψ(v ) Ψ(v 2 ) u(x) v(x) = θ(x) η(x) (3.5) (γ(x)) q ((θ(x)) (η(x))) dx. u(x) v(x) Y (x) q dx. Desde que Y q L q+ q () e u v L q+ (), de fato pois, q+ q e q + são expoentes conjugados, aplicando a Desigualdade de Hölder (ver Apêndice B, Teorema B.3), teremos Ψ(v ) Ψ(v 2 ) u(x) v(x) Y (x) q dx = Y q q+ q ( u(x) v(x) q+ ) ( q+ u(x) v(x) q+. ( Y (x) q ) q+ q ) q q+ dx Das imersões de Sobolev temos H 0() L q+ (), logo existe uma constante C > 0, tal que u(x) v(x) q+ C u v, 4

51 logo, Ψ(v ) Ψ(v 2 ) C u v Y q q+. Assim, existe uma vizinhança limitada V = V u = B R (u) H 0() ( onde K = C sup Y q q+). Y V ( Ψ(v ) Ψ(v 2 ) C u v sup Y q q+) K u v, Y V Portanto Ψ Lip loc (H0(), R). Desde que Υ(u) = 2 M( u n 2 ) e Φ(u) = 6 são de classe C, então Υ(u) e Φ(u) são localmente Lipschitz. Concluímos que o funcional dado por I λ,a (u) = Υ(u) λψ(u) Φ(u) (u + ) 6 dx é localmente lipschitziano para cada λ, a > 0. Lema 3.3 Assumindo a condição (M ), então existem números positivos ρ e α tais que I λ,a (u) α > 0, u H 0() com u = ρ. Demonstração: Consideremos u H 0() segue da condição (M ) que Logo, 2 M( u 2 ) = u 2 M(s)ds u 2 m 0 ds I λ,a (u) 2 u 2 Desde que H(t) e u + u temos u λ H(t a)t q +dtdx Assim temos, 0 I λ,a (u) 2 u 2 m 0 0 m 0 ds λ F (u) (u + ) 6 dx. 6 λ u q+ dx. q + λ u q+ dx u 6 dx. q + 6 Logo das imersões de Sobolev, existem K, K 2 > 0 tais que assim, u 6 K u, u q+ K 2 u. 42

52 Portanto, Usando u = ρ temos I λ,a (u) 2 u 2 m 0 λk 2 u q+ 6 K u 6. I λ,a (u) 2 m 0ρ 2 λk 2 ρ q+ K ρ 6. e Queremos que, isto é, ρ 2 ( m0 2 λk 2ρ q K ρ 4 ). m 0 2 λk 2ρ q K ρ 4 > 0, m 0 2 ( λk 2 + K ρ 5 q) ρ q > 0. Note que para 0 < ρ < λk 2 + K ρ 5 q < λk 2 + K, então, m 0 2 ( λk 2 + K ρ 5 q) ρ q > m 0 2 (λk 2 + K ) ρ q, logo, m 0 2 > (λk 2 + K ) ρ q > 0. Am de que tomemos m 0 ( 2 (λk 2 + K ) ) q > ρ > 0, { ( ρ 0 = min, m 0 2 (λk 2 + K ) ) } q. Portanto, I λ,a (u) α > 0, u = ρ, u H0(). Assim, desde que 2( H(b)) + 4H(b) < q < 6 segue o resultado para ρ > 0 sucientemente pequeno. 43

53 Lema 3.4 Considerando a condição (M 4 ). Para todo λ > 0 e ρ > 0, existe e H 0() tal que I λ,a (e) < 0 e e > ρ. Demonstração: Considerando v 0 C 0 () \ {0} com v 0 0 em e v 0 =, para t sucientemente grande tal que tv 0 > R temos, Por (M 4 ) temos, Daí segue-se I λ,a (u) = 2 M( u 2 ) λψ(u) 6 M( v 0 2 ) = v0 2 0 M(t)dt I λ,a (u) Km 0 v 0 t 2 + Kb v 0t 4 Desde que λ > 0, H(t) 0 e q < 5 temos I λ,a (u) Km 0 t 2 v Kbt 4 v 0 4 λ 2 Logo, Portanto, 2 = v0 2 0 (u + ) 6 dx. K (m 0 + bs) ds [Km 0 s + Kb s2 2 ] v0 2 = Km 0 v Kb v λ F (tv 0 )dx (v 0 t) 6 dx. 6 tv0 I λ,a (u) Km 0 t 2 v Kbt 4 v t6 I λ,a (u) quando t H(t a)(t + ) q dtdx 6 0 (v 0 ) 6 dx. Assim, existe t > 0 tal que e = t v 0 H 0() com e > ρ e I λ,a (e) < 0. (tv 0 ) 6 dx. Dos Lemas 3.2, 3.3, 3.4 e do Teorema do Passo da Montanha para funcionais Lip loc, existe uma sequência (u n ), tal que I λ,a (u n ) c λ,a m(u n ) 0, onde c λ,a é nível do passo da montanha associado ao funcional I λ,a. A seguir veremos um resultado envolvendo o nível do passo da montanha. 44

54 Lema 3.5 Se as condições (M ) (M 4 ) são verdadeiras então existe λ > 0 tal que c λ,a pertence ao intervalo (0, ( θ 6 )S 3 2 ) para todo λ λ. Demonstração: Se v 0 é a função dada pelo Lema 3.4, segue-se que existe t λ > 0 vericando I λ,a (t λ v 0 ) = max t 0 I λ,a(tv 0 ). (3.6) Pela teoria dos pontos críticos para funcionais Lip loc 0 I λ,a (t λ v 0 ) Desde que I λ,a (u) = Υ(u) λψ(u) Φ(u), com Υ(u) = 2 M( u 2 ), Ψ(u) = F (u)dx, e Φ(u) = 6 (u + ) 6 dx. Pela propriedade (P 8) do capítulo 2, segue-se que I λ,a (t λ v 0 ) = Υ(t λ v 0 ) λ Ψ(t λ v 0 ) Φ(t λ v 0 ). Uma vez que Υ, Φ C (H 0(); R), segue da propriedade (P 7) que I λ,a (t λ v 0 ) = {Υ (t λ v 0 )} λ Ψ(t λ v 0 ) {Φ (t λ v 0 )}. Assim, 0, t λ v 0 = Υ (t λ v 0 )t λ v 0 λ ρ, t λ v 0 Φ (t λ v 0 )t λ v 0, ou seja, 0 = M( t λ v 0 2 ) t λ v 0 2 t 6 λ v 6 0dx λ ρ, t λ v 0. com ρ Ψ(t λ v 0 ) (H0()) Pelo Teorema da Representação de Riesz, ver (ver Apêndice B, Teorema B.5), existe um único ρ H0(), tal que ρ, v = ρvdx, v H0(). 45

55 Logo, Portanto, Logo, 0 = M( t λ v 0 2 ) t λ v 0 2 t 6 λ v0dx 6 λ ρt λ v 0 dx. t 2 λm( t λ v 0 2 ) v 0 2 = λ ρt λ v 0 dx + t 6 λ v0dx. 6 (3.7) t 2 λm(t 2 λ v 0 2 ) v 0 2 t 6 λ v 6 0dx. (3.8) Da hipótese (M 4 ) tem-se que existe K > 0 tal que M(t) K(m 0 + bt), t 0. Assim, M(t 2 λ v 0 2 ) K(m 0 + Kbt 2 λ v 0 2 ) = Km 0 + Kbt 2 λ v 0 2, logo, t 2 λm(t 2 λ v 0 2 ) v 0 2 t 2 λkm 0 v Kbt 4 λ v 0 4. (3.9) De (3.8) e (3.9) segue que t 2 λkm 0 v Kbt 4 λ v 0 4 t 6 λ v 6 0dx, ou seja, Km 0 v Kbt 2 λ v 0 4 t 4 λ v 6 0dx, implicando que t λ é limitado. Assim existe uma sequência λ n e t 0 0, tal que t λn t 0, quando n +. (3.0) Armação 3.2 t 0 = 0. De fato, suponhamos, por contradição que t 0 > 0. Note que a sequência t 2 λ n km 0 v kbt 4 λ n v 0 4, 46

56 é limitada. Assim existe uma constante D > 0 tal que t 2 λ n km 0 v kbt 4 λ n v 0 4 D, n N. Logo de (M 4 ) e (3.7) segue que λ n ρt λn v 0 dx + t 6 λ n v0dx 6 D, n N. (3.) Observe que lim (λ n n [ lim n λ n lim n ) ρt λn v 0 dx + t 6 λ n v0dx 6 = ] ρt λn v 0 dx + lim t 6 λ n n v0dx 6. Assim, desde que t λn t 0, existe C > 0 tal que t λn C, n N. Além disso, ρt λn v 0 ρt 0 v 0 q.t.p. em. Desde que ρ H 0() L () e v 0 C 0 (), segue-se ρt λn v 0 ρ v 0 C L (), n N. Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (ver Apêndice B, Teorema B.2) Portanto lim ρv 0 t λn dx = ρv 0 t 0 dx. n t λn 0, quando n +. Desde que c λ,a max I λ,a (tv 0 ) = I λ,a (t λ v 0 ), seque que c λn,a max I λn,a(tv 0 ) = I λn,a(t λn v 0 ). 47

57 Logo I λn,a(t λn v 0 ) 0 quando λ n +, ou ainda, c λn,a 0 quando λ n +. Portanto c λ,a 0 quando λ +. para todo a > 0. Implicando em 0 < c λ,a < ( θ 6 )S 3 2, a > 0. O que demonstra o lema Lema 3.6 Se (u n ) H 0() é uma sequência (P S) Cλ,a em H 0(). para I λ,a, então (u n ) é limitada Demonstração: De fato, sendo (u n ) é uma sequência Palais-Smale I λ,a (u n ) c λ,a, (3.2) e m(u n ) 0. (3.3) Considere I λ,a (u) = Υ(u) λψ(u) Φ(u), onde, Υ(u) = 2 M( u 2 ), Ψ(u) = λ F (u), Φ(u) = (u + ) 6 dx. 6 Seja w n I λ,a (u n ) tal que m(u n ) = w n (H 0 ()) 48