de Operadores Lineares

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1 Universidade Federal de Itajubá Programa de PósGraduação em Matemática Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Raquel Maria Nogueira Wood Noronha Orientador: Prof. Dr a. Márcia Sayuri Kashimoto Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio nanceiro da CAPES Itajubá, 24 de fevereiro de 2017

2 Universidade Federal de Itajubá Programa de PósGraduação em Matemática Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Raquel Maria Nogueira Wood Noronha Orientador: Prof. Dr a. Márcia Sayuri Kashimoto Dissertação submetida ao Programa de PósGraduação em Matemática como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Ciências em Matemática Área de Concentração: Análise

3 i À minha gêmea, Priscila.

4 Agradecimentos Narra o evangelho de Lucas, em seu capítulo 17 que Jesus, a destino de Jerusalém, curou dez homens leprosos, que clamavam por sua misericórdia. Contudo, apenas um deles retornou gloricando a Deus em alta voz, rendendo aos seus pés, dando-lhe graças. Aproveito desse espaço para fazer registro imutável da minha gratidão ao Mestre dos mestres, meu soberano Criador, pela sabedoria, pelo sustento infálivel, pelo amor inigualável e pela misericórdia innita. E, nalmente agradeço também, desejando as bençãos de Deus: Meus amados pais, Tarcísio e Ester, minha eterna gratidão por tudo e meu eterno amor por vocês. Meu irmão Davi, pela companhia e preciosos ensinamentos. Minha irmã Anaci, pela companhia, fazendo os momentos mais divertidos. Minha irmã Priscila. "O elo que há entre nós revela a dádiva da criação e o poder de Deus. Obrigada pela nobreza e perfeição da sua existência em minha vida." Meus queridos amigos, Evandro, Guilherme, Karina e Karine. A amizade é um bem que desconhece prescrição e decadência. Em especial a que nos une. Obrigada pelo cuidado, pelo carinho e pela companhia. Meu amado mestre, José Augusto Baêta Segundo. Minha orientadora Márcia Kashimoto, pelo trabalho realizado. Meus professores, Claudemir Oliveira, Luis Fernando Mello, Mariza Simsen e Jacson Simsen pela paciência, dedicação, incentivo e conança. Obrigada por tudo. À CAPES, pelo apoio nanceiro. ii

5 iii Reconhecia Leibniz que a linguagem matemática poderia nos comunicar muitos dos segredos da natureza, e não foram poucas as vezes que se repetiu, na losoa, que a matemática é a linguagem de Deus. Mário Ferreira dos Santos

6 Resumo O objetivo desta dissertação é denir e relacionar os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração para operadores lineares. Apresentamos resultados para operadores limitados e não-limitados atuando em espaços de Banach. Além disso, abordamos algumas aplicações na teoria de frames e operadores quociente. Palavraschave: Operadores lineares, Majoração, Inclusão de Imagem, Fatoração. iv

7 Abstract The aim of this dissertation is to dene and relate the concepts of majorization, range inclusion and factorization for linear operators. We present results for bounded and unbounded operators acting on Banach spaces. Furthermore, we discuss some applications in frames and quotient operators theory. Keywords: Linear operators, Majorization, Range Inclusion, Factorization. v

8 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract Índice Introdução ii iv v vi viii 1 Preliminares 1 2 Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Limitados Majoração Propriedades do Dual Operadores Quasinilpotentes e Operadores de Riesz Fatoração Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares não Limitados Inversas Generalizadas Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores não limitados em espaços de Banach vi

9 vii 4 Frames para Operadores Sistemas atômicos e K-frames Famílias de átomos locais Operadores Quociente Operador Quociente Limitado Operador Quociente Compacto e de Fredholm Bibliograa 73

10 Introdução Em 1966, Douglas [9] deniu os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração e apresentou o seguinte resultado, o qual chamaremos de Teorema de Douglas, relacionando-os no contexto de espaços de Hilbert: Dados T, S operadores lineares limitados denidos em um espaço de Hilbert H e com valores em H, tais que R(S) e R(T ) denotam o conjunto imagem de S e T, as seguintes armações são equivalentes: (i) R(S) R(T ); (ii) S x M T x, para algum M > 0 e para todo x H, isto é, o adjunto de T majora o adjunto de S; (iii) S = T U, para algum operador limitado U denido em H a valores em H. A questão natural que surge, diz respeito sobre a validade deste teorema em espaços de Banach arbitrários. Em 1973, Embry [11] estendeu parcialmente o teorema. Inspirado por estes trabalhos em 2004, Bruce Barnes [3] apresentou um conjunto de resultados relacionando os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração de operadores lineares limitados entre espaços de Banach distintos. Ainda em [9], Douglas expôs uma versão do Teorema para operadores não limitados em espaços de Hilbert. Motivado por este teorema, M. Forough [12] apresentou uma generalização para operadores lineares não limitados em espaços de Banach, e outros relevantes resultados conectando os referidos conceitos. O objetivo desta dissertação é denir e relacionar os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração para operadores lineares. Iniciaremos, apresentando no Capítulo 1 algumas denições e teoremas clássicos da viii

11 ix Análise Funcional envolvendo operadores lineares, espaços de Banach e espaços de Hilbert. Usaremos do mesmo espaço para expor outros resultados que serão utilizados ao longo do texto e estabelecer algumas notações. No Capítulo 2, apresentaremos os resultados envolvendo majoração, inclusão de imagens e fatoração de operadores lineares limitados entre espaços de Banach distintos tendo como referência o artigo do Barnes [3]. No Capítulo 3, começaremos estudando a noção essencial de inversa generalizada e em seguida, os resultados estabelecidos por Forough [12]. Finalmente, apresentaremos duas aplicações. A primeira, no Capítulo 4, refere-se a frames para operadores em espaços de Hilbert e é baseada no artigo de Laura Gravuta [13]. A segunda aplicação, que abordaremos no Capítulo 5, refere-se ao estudo de operadores quociente limitados, compactos e de Fredholm. Conduzidos por [2] e [1] veremos por exemplo, a caracterização do operador quociente T/S limitado utilizando o Teorema de Douglas.

12 Capítulo 1 Preliminares O intuito dessa dissertação é denir e relacionar os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração de operadores lineares entre espaços de Banach. Temos assim, os operadores lineares e os espaços de Banach como protagonistas dessa tarefa. Desse modo, convém iniciarmos apresentando formalmente as denições de espaço de Banach e de operador linear e também os teoremas clássicos que os envolvem. Beneciaremos do mesmo capítulo para apresentar outros resultados que serão utilizados ao longo do texto, bem como algumas notações. Denição Um espaço normado (X,. ) é dito ser um espaço de Banach quando é completo com respeito a métrica induzida pela norma d(x, y) = x y, x, y X. Denição Para cada número real p 1, denimos l p = { {a j } j a j K, j N e j=1 } a j p <. Proposição O espaço das sequências l p, p 1 munido da norma é um espaço de Banach. ( ) 1 {a j } j p = a j p p j=1 1

13 2 Demonstração. Veja [16] - Página 61. Denição Para p =, denimos { } l = {a j } j a j K, j N e sup a j < j N. Proposição O espaço das sequências l munido da norma {a j } j = sup{ a j j N} é um espaço de Banach. Demonstração. Veja [4] - Página 15. Proposição (Desigualdade de Hölder) Sejam n N, a 1,.., a n, b 1,..., b n escalares e p, q > 1 tais que 1 p + 1 q = 1. Então j=1 j=1 Demonstração. Veja [4] - Proposição n ( n ) 1 ( a j b j a j p p n ) 1 b j q q. Denotamos o fecho de um subconjunto V de um espaço normado X por V. Proposição Seja X um espaço de Banach. Um subsespaço vetorial Y X é completo se, e somente se, Y é fechado em X. Demonstração. Veja [16] - Teorema Denição Um operador linear T é um operador tal que (i) o domínio de T, denotado por D(T ), é um espaço vetorial e a imagem de T, denotada por R(T ), está contida em um espaço vetorial sobre o mesmo corpo; (ii) para todo x, y D(T ) e escalar λ, j=1 T (x + y) = T x + T y T (λx) = λt x.

14 3 Sejam X e Y espaços vetoriais sobre o corpo K tais que D(T ) X e R(T ) Y. Escrevese T : D(T ) Y. Sendo T um operador linear, o núcleo de T, denotado por N (T ), é o subespaço de D(T ) denido por N (T ) = {x D(T ) T x = 0}. O gráco de T, denotado por G(T ), é o subespaço de X Y denido por G(T ) = {(x, y) X Y x D(T ), y = T x}. Denição Sejam X e Y espaços normados e T : D(T ) X Y um operador linear. Diremos que T é limitado se existe um número real K > 0 tal que T x K x, para todo x D(T ). Proposição Sejam X e Y espaços normados e T : D(T ) X Y um operador linear. Então as seguintes armações são equivalentes: (1) T é contínuo; (2) T é contínuo na origem; (3) sup{ T x : x D(T ), x 1} < ; (4) Existe uma constante K > 0 tal que T x K x, para todo x D(T ). Demonstração. Veja [16] - Teorema Proposição Sejam X e Y espaços normados e T : D(T ) X Y um operador linear limitado. Então, Demonstração. Veja [16] - Página 92. T := sup{ T x x D(T ), x = 1} { } T x = sup x D(T ), x 0 x = sup{ T x x D(T ), x 1}. Denotamos por B(X, Y ) o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados entre espaços normados X e Y. Quando X = Y, escreveremos B(X).

15 4 Proposição Sejam X e Y espaços normados e T B(X, Y ). (1) A expressão T = sup{ T x x D(T ), x 1} dene uma norma no espaço B(X, Y ). (2) T x T x, para todos T B(X, Y ) e x D(T ). (3) Se Y for Banach, então B(X, Y ) também será Banach. Demonstração. Veja [4] - Proposição Proposição Sejam X e Y espaços normados, T : D(T ) X Y um operador linear limitado e {x n } n uma sequência em D(T ). Então, (1) lim n x n = x implica lim n T x n = T x. (2) O núcleo de T, N (T ), é um subespaço fechado de X. Demonstração. Veja [16] - Corolário Teorema Sejam X um espaço normado, Y um espaço de Banach e T : D(T ) Y um operador linear limitado. Então T tem uma única extensão, T : D(T ) Y, tal que T é um operador linear limitado de norma T = T. Demonstração. Veja [16] - Teorema Proposição Sejam X e Y espaços de Banach e T B(X, Y ). Então existe uma constante C > 0 tal que T x C x, x X se, e somente se, N (T ) = {0} e R(T ) é fechado em Y. Demonstração. Veja [7] - Proposição 6.4, página 208. Denição Um funcional linear limitado ϕ é um operador linear limitado com domínio D(ϕ) em um espaço normado X e imagem no corpo de escalares K. Assim ϕ : D(ϕ) K, onde K = R se X é real e K = C se X é complexo, é limitado se existe um número real K > 0 tal que

16 5 ϕ(x) K x, para todo x D(ϕ). O conjunto de todos os funcionais lineares limitados denidos em um espaço vetorial X é denotado por X e denominado espaço dual. O espaço dual de X, o chamado bidual de X, é denotado por X. Denição Sejam X um espaço normado e J X : X X x J X (x) = g x : X K ϕ g x (ϕ) = ϕ(x), a aplicação canônica de X em X. Diremos que X é reexivo se R(J X ) = X. Denição Seja X um espaço vetorial e M um subespaço vetorial de X. O espaço quociente de X por M, é o espaço vetorial X/M, formado pelas classes de equivalência x + M = {x + m m M}, x X munido de duas operações, dadas por: (x + M) + (y + M) = (x + y) + M; λ(x + M) = (λx) + M. Proposição Seja X um espaço normado e M um subespaço de X. Então a função denida em X/M por x + M = inf{ x + m m M} é uma semi-norma. Se M for um subespaço fechado, então. é uma norma. Demonstração. Veja [7] - Página 70. Proposição Sejam X um espaço de Banach e M um subespaço fechado de X. Então X/M é um espaço de Banach. Demonstração. Veja [7] - Teorema 4.2, página 70. Teorema Sejam X um espaço normado e M um subespaço fechado de X. aplicação quociente π : X X/M A

17 6 x π(x) = x + M tem as seguintes propriedades: (1) π é linear e contínua; (2) π leva a bola unitária de X em X/M; (3) π é uma aplicação aberta; (4) N (π) = M. Demonstração. Veja [7] - Teorema 4.2, página 70. Teorema Sejam X e Y espaços normados e T : X Y linear. Suponha que M seja um subespaço fechado de X contido em N (T ). Então existe uma única função S : X/M Y tal que T = S π, onde π : X X/M, π(x) = x + M. Tal função S é linear e R(S) = R(T ). Se M = N (T ), então S será injetora. S é contínua se, e somente se, T é contínua. Nesse caso, S = T. Demonstração. Veja [7] - Página 370. Proposição (Desigualdade de Schwarz) Seja X um espaço vetorial munido de um produto interno <.,. >. Então < x, y > x. y, para quaisquer x, y X. Demonstração. Veja [16] - Lema Denição Sejam X um espaço vetorial com produto interno e S X. Denominamos o subconjunto S = {y X < x, y >= 0, x S} de complemento ortogonal de S. Denição Seja X um espaço vetorial com produto interno. Um conjunto S X é dito ortonormal se para todos x, y S, 0, se x y, < x, y >= 1, se x = y.

18 7 Um conjunto ortonormal S tal que S = {0} é chamado de sistema ortonormal completo. Nesse caso diremos que S é uma base ortonormal. Teorema Sejam H um espaço de Hilbert e S = {x i i I} um conjunto ortonormal em H. As seguintes armações são equivalentes: (1) Para cada x H, x = i I < x, x i > x i ; (2) S é um sistema ortonormal completo; (3) [S] = H; (4) Para cada x H, x 2 = i I < x, x i > 2 ; (Identidade de Parseval) (5) Para todos x, y H, < x, y >= i I < x, x i > < y, x i >. Demonstração. Veja [4] - Teorema Teorema Um espaço de Hilbert H de dimensão innita é separável se, e somente se, existe em H um sistema ortonormal completo enumerável. Demonstração. Veja [4] - Teorema Teorema (Critério da Compacidade) Sejam X e Y espaços normados e T : X Y um operador linear. Então T é compacto se, e somente se, dada uma sequência limitada {x n } n em X, a sequência {T x n } n em Y possuir subsequência convergente. Demonstração. Veja [16] - Teorema Teorema Seja {T n } n uma sequência de operadores lineares compactos denidos em um espaço normado X a valores em um espaço de Banach Y. Se {T n } n converge uniformemente, digamos lim n T n T = 0, então o operador T é compacto. Demonstração. Veja [16] - Teorema Teorema Seja X um espaço normado. Se T : X X é um operador linear compacto e S : X X um operador linear limitado, então T S e ST são compactos. Demonstração. Veja [16] - Página 422.

19 8 Teorema (Teorema de Schauder) Sejam X e Y espaços normados e T : X Y um operador linear limitado. Então T é compacto se, e somente se, o operador adjunto de T, T : Y X, é compacto. Demonstração. Veja [4] - Teorema Denição Sejam X e Y espaços de Banach. Então, T B(X, Y ) é dito ser um operador de Fredholm se valem as seguintes condições: (i) R(T ) é fechado; (ii) dimn (T ) < ; (iii) dimy/r(t ) <. O conjunto de todos os operadores de Fredholm de X em Y é denotado por F red(x, Y ). Quando X = Y, escreve-se F red(x). Concluíremos o capítulo enunciando alguns relevantes teoremas da Análise Funcional, dos quais faremos uso no decorrer do texto. Teorema (Princípio da Limitação Uniforme) Seja {T n } n uma sequência de operadores lineares limitados T n : X Y de um espaço de Banach X em um espaço normado Y, tal que { T n x } n é limitada para todo x X, digamos, T n x C x, n = 1, 2,... onde C x > 0. Então a sequência de normas { T n } n é limitada, isto é, existe C > 0 tal que T n C, n = 1, 2,... Demonstração. Veja [16] - Teorema Teorema Se X é um espaço de Banach, Y um espaço normado e T n : X Y uma sequência de operadores lineares contínuos que converge pontualmente para uma aplicação T, isto é, T : X Y, então T é um operador linear e contínuo. Demonstração. Veja [4] - Corolário T x = lim n T n x,

20 9 Teorema (Teorema do Gráco Fechado) Sejam X e Y espaços de Banach e T : X Y um operador linear. Então, T é contínuo se, e somente se, o gráco de T é fechado. Demonstração. Veja [18] - Teorema 9.9. Teorema (Teorema de Hahn-Banach - Espaços Normados) Sejam Y um subespaço de um espaço normado X sobre K = R ou K = C e ϕ : Y K um funcional linear contínuo. Então, existe um funcional linear contínuo ϕ : X K cuja restrição a Y coincide com ϕ e ϕ = ϕ. Demonstração. Veja [4] - Página 60. O próximo resultado é uma aplicação do Teorema de Hahn-Banach. Teorema Seja X um espaço normado não trivial. (1) Se ϕ(x) = ϕ(y) para todo ϕ X, então x = y. (2) Se 0 x X, então existe f X tal que f(x) = x e f = 1. Demonstração. Veja [18] - Página 66. Teorema (Teorema da Representação de Riesz) Sejam H um espaço de Hilbert e ϕ um funcional linear limitado em H. Então ϕ pode ser representado em termos de produto interno, ϕ(x) = < x, z >, x H, onde z é unicamente determinado por ϕ e tem norma z = ϕ. Demonstração. Veja [16] - Teorema

21 Capítulo 2 Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Limitados Deniremos neste capítulo os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração no contexto dos operadores lineares limitados em espaços de Banach. Apresentaremos os relevantes resultados obtidos por Barnes [3] relacionando esses conceitos. No que segue, salvo menção contrária, X, Y, Z e W serão espaços de Banach, B(X, Y ) o espaço dos operadores lineares limitados denidos em X com valores em Y. Sendo T B(X, Y ), denotaremos por D(T ), R(T ) e N (T ) o domínio, a imagem e o núcleo de T, respectivamente. Antes de iniciarmos, é conveniente registrar o teorema que Barnes buscou generalizar e que desse modo o inspirou na realização de [3]. R. Douglas [9] estabeleceu o seguinte resultado: Teorema. (Douglas ) Sejam S e T operadores lineares limitados denidos em um espaço de Hilbert H e a valores em H. Então as seguintes armações são equivalentes: (i) R(S) R(T ); (ii) S x M T x, para algum M > 0 e para todo x H, isto é, T majora S ; (iii) S = T U, para algum operador U B(H). 10

22 11 Observação Se H 1, H 2 e H são espaços de Hilbert e T : H 1 H e S : H 2 H operadores lineares limitados, o Teorema de Douglas continua válido considerando U B(H 2, H 1 ). 2.1 Majoração Nesta seção, apresentaremos algumas consequências da propriedade T majora S. Denição Sejam T B(X, Y ) e S B(X, Z). Diremos que T majora S, se existe M > 0 tal que Sx M T x, para todo x X. Observação i) Seja T B(X, Y ). Suponhamos que V B(Y, Z) e S = V T. Então, T majora S: Sx V T x, para todo x X. ii) Sejam T B(X, Y ) e S B(Z, Y ). Note que, quando U B(Z, X) com S = T U, então R(S) R(T ). De fato, R(S) = {Sz z Z} = {(T U)z z Z} {T (Uz) Uz X} {T x x X} = R(T ). iii) Seja T B(X, Y ). Se S 1, S 2 B(X, Z) e T majora S 1 e S 2, então T majora S 1 +S 2. De fato, como T majora S 1, existe M 1 > 0 tal que Sx M 1 T x, para todo x X. Analogamente, existe M 2 > 0 tal que Sx M 2 T x, para todo x X. Então, (S 1 + S 2 )x = S 1 x + S 2 x S 1 x + S 2 x M 1 T x + M 2 T x = (M 1 + M 2 ) T x. Logo, T majora S 1 + S 2. iv) Se S B(X, Z), R B(Z, W ) e T majora S, então T majora RS.

23 12 De fato, como T majora S, existe M 1 > 0 tal que Sx M 1 T x, para todo x X. Segue que RSx R Sx R M 1 T x, x X. Portanto, T majora RS. Proposição Sejam T B(X, Y ) e S B(X, Z). As seguintes armações são equivalentes: (1) T majora S; (2) Existe V B(R(T ), Z) tal que S = V T ; (3) Se {x n } n é uma sequência em X com lim n T x n = 0, então lim n Sx n = 0. Demonstração. (1) (3) Suponhamos que T majora S. Então, existe M > 0 tal que Sx M T x, para todo x X. Seja {x n } n uma sequência em X, tal que lim n T x n = 0. Como Sx n M T x n para todo n N, então temos que lim n Sx n = 0. (1) (2) Suponhamos que T majora S. Então, existe M > 0 tal que Sx M T x, para todo x X. Dena V 0 : R(T ) Z T x V 0 (T x) = Sx, e notemos que dados T x, T y R(T ) com T x = T y, então x y N (T ). Por hipótese, x y N (S), e assim Sx = Sy. Portanto, V 0 (T x) = V 0 (T y) mostrando que V 0 está bem denido. Além disso, V 0 é um operador linear limitado, pois se α é um escalar, então V 0 (αt x+t y) = V 0 (T (αx+y)) = S(αx+y) = S(αx)+Sy = αsx+sy = αv 0 (T x)+v 0 (T y), e V 0 é limitado, pois V 0 (T x) = Sx M T x, para todo x X.

24 13 Sendo R(T ) um espaço normado e Z um espaço de Banach, pelo Teorema 1.0.1, existe uma única extensão linear e limitada de V 0, satisfazendo S = V T. V : R(T ) Z, (2) (1) Seja V B(R(T ), Z) tal que S = V T. Então, Logo, T majora S. Sx = V T x V T x, para todo x X. (2) (3) Sejam V B(R(T ), Z) tal que S = V T e {x n } n em X com lim n T x n = 0. Assim, Logo, lim n Sx n = 0. Sx n = V T x n V T x n 0. (3) (2) Suponhamos válida a armação (3), e notemos que isso implica N (T ) N (S). Dena V 0 : R(T ) Z por V 0 (T x) = Sx e seja {T x n } n uma sequência em R(T ) tal que lim n T x n = 0. Como, por hipótese, lim n Sx n = 0 e V 0 (T x n ) = Sx n, obtemos que lim V 0(T x n ) = 0. n Isso mostra que V 0 é um operador limitado. Sendo assim, V 0 possui uma extensão também contínua, e tal que S = V T. V : R(T ) Z Proposição Seja T B(X, Y ) e suponha R(T ) fechado. Se S B(X, Z) é tal que N (T ) N (S), então T majora S. Demonstração. Dena e S : X/N (T ) Z (x + N (T )) S(x + N (T )) = Sx

25 14 T : X/N (T ) Y (x + N (T )) T (x + N (T )) = T x. T e S estão bem denidos. Mostraremos a armação para S, e de forma análoga mostra-se para T. Sejam x 1 +N (T ), x 2 + N (T ) X/N (T ) tais que x 1 + N (T ) = x 2 + N (T ). Devemos mostrar que S(x 1 + N (T )) = S(x 2 + N (T )). Como x 1 + N (T ) = x 2 + N (T ) e N (T ) N (S), vem que x 1 x 2 N (S). Da linearidade de S, segue que Sx 1 = Sx 2. S é limitado. Devemos exibir uma constante real C > 0 tal que S(x + N (T )) C x + N (T ) = C inf{ x + η η N (T )}, para todo x + N (T ) X/N (T ). Se S = 0, não há o que provar. Supondo S 0, então temos S(x + N (T )) = Sx = S(x + η) S x + η, η N (T ) N (S). Daí, S(x + N (T )) S x + η. Segue que, S(x + N (T )) S é cota inferior do conjunto { x + η η N (T )}, e S(x + N (T )) S inf{ x + η η N (T )}. Portanto, S(x + N (T )) S inf{ x + η η N (T )}. T 1 : R(T ) X/N (T ) é um operador linear fechado. Mostraremos que o conjunto G = {(u, T 1 u) u R(T )}

26 15 é fechado. Seja (a, b) G. Então existe uma sequência {u n } n em R(T ), u n = T x n, com lim n u n = a e lim n to T 1 u n = b = x + N (T ). Devemos mostrar que T 1 a = b. Temos que T 1 u n = T 1 (T x n ) = x n + N (T ) b = x + N (T ). Por outro lado, T (x n + N (T )) = T x n = u n a. Como T é limitado, lim T (x n + N (T )) = T b. n Logo, T b = a, o que implica que T 1 a = b. Temos que X/N (T ) é um espaço de Banach e como R(T ) Y é fechado, R(T ) também é Banach. Portanto, pelo Teorema do Gráco Fechado T 1 é limitado em R(T ). Agora, seja {x n } n uma sequência em X, com lim n T x n = 0. Temos que mostrar que lim n Sx n = 0, e assim, pela Proposição concluir que T majora S. Notemos que Sx n = S(x n + N (T )) e x n + N (T ) = T 1 (T x n ) 0, pois lim n T x n = 0 e T 1 é contínuo. Logo, como S é contínuo, temos que e portanto lim n Sx n = 0. lim S(x n + N (T )) = 0, n Lema Sejam L B(X, Y ) e Q L : X X/N (L) dada por Q L (x) = x + N (L). Então R(L) é fechado se, e somente se, existe M > 0 tal que M Q L (x) Lx, para todo x X. Demonstração. Como L B(X, Y ), pela demonstração da proposição anterior temos que L 1 : R(L) X/N (L)

27 16 é um operador fechado. Se R(L) é fechado, temos que R(L) é um espaço de Banach, e portanto, pelo Teorema do Gráco Fechado, L 1 é limitado, isto é, existe uma constante C > 0 tal que L 1 y C y, y R(L). Como para cada y R(L) existe x X tal que y = Lx, vem que L 1 (Lx) C Lx x + N (L) C Lx 1 C Q L(x) Lx M Q L (x) Lx, x X, M = 1 C. Reciprocamente, suponhamos que existe M > 0 tal que M Q L (x) Lx, x X. Queremos mostrar que R(L) é fechado, isto é, R(L) = R(L). Seja z R(L). Logo, existe {z n } n = {Lx n } n em R(L), com {x n } n em X e tal que lim n z n = z. Segue da hipótese que Q L (x n ) 1 M z n, n N. Notemos que {z n } n é uma sequência de Cauchy, ou seja, dado ε > 0 existe N 0 N tal que z m z n < Mε, m, n N 0. Segue que Q L (x m ) Q L (x n ) < 1 M Mε = ε, m, n N 0, ou seja, {Q L (x n )} n é uma sequência de Cauchy no espaço de Banach X/N (L). Logo, existe u + N (L) X/N (L) tal que lim Q L(x n ) = x n + N (L) = u + N (L). n Em virtude da linearidade e continuidade de L, o operador

28 17 também é linear e contínuo. Assim, P : X/N (L) Y (x + N (L)) P (x + N (L)) = Lx. lim P (x n + N (L)) = P (u + N (L)). n Pela unicidade do limite, z = L(u), isto é, z R(L). Portanto, R(L) = R(L). Para T B(X), denotemos por r(t ) o raio espectral de T. Sabemos que r(t ) = lim n T n 1 n. Recordemos que T é quasinilpotente se, e somente se, r(t ) = 0. Proposição Sejam T B(X, Y ), S B(X, Z) e suponhamos que T majora S. (1) Se R(S) é fechado e N (T ) = N (S), então R(T ) é fechado. (2) Se T, S B(X) e ST = T S, então T n majora S n para n 1. Também r(s) Mr(T ), onde M é uma constante positiva. Assim, se T é quasinilpotente, então S é quasinilpotente. Demonstração. (1) Seja U B(X, Y ) e dena Q U : X X/N (U) x Q U (x) = x + N (U). Suponhamos que R(S) é fechado e que N (T ) = N (S). Denindo, Q S : X X/N (S) x Q S (x) = x + N (S), temos, pelo Lema 2.1.1, que S majora Q S. Como N (T ) = N (S), vem que Q S = Q T.

29 18 Além disso, concluímos que T majora Q T. Usando novamente o lema anterior, R(T ) é fechado. (2) Mostraremos que para todo n 1, S n x M n T n x, x X. Faremos a prova por indução. Se n = 1, então a desigualdade Sx M T x é válida por hipótese. Hipótese de Indução Suponhamos que S m x M m T m x é verdadeira para todo x X. Vamos mostrar que também é verdadeira para m + 1. De fato, S m+1 x = S m (Sx) M m T m (Sx) = M m S(T m x) M m M T (T m x) = M m+1 T m+1 x. Logo, T n majora S n, n 1. Além disso, S n 1 n M T n 1 n, para todo n N. Portanto, r(s) Mr(T ). Proposição Sejam T B(X, Y ), S B(X, Z) e suponhamos que T majora S. Se T é compacto, então S é compacto. Demonstração. Suponhamos que T é compacto e que T majora S. Segue da Proposição que existe V B(R(T ), Z) tal que S = V T. Pelo Teorema 1.0.8, o operador S é compacto. 2.2 Propriedades do Dual Sejam T B(X, Y ) e T B(Y, X ) o adjunto de T. Nesta seção apresentaremos dois resultados que envolvem os conceitos de majoração e inclusão de imagens no contexto de espaço dual.

30 19 Teorema (1) Sejam T B(X, Y ) e S B(X, Z). Se T majora S, então R(S ) R(T ). (2) Sejam T B(X, Y ) e S B(X, Z). Se R(S ) R(T ), então T majora S. (3) Sejam T B(X, Y ) e S B(Z, Y ). Se R(S) R(T ), então T majora S. (4) Sejam T B(X, Y ), S B(Z, Y ) e suponhamos X reexivo. Se T majora S, então R(S) R(T ). Demonstração. (1) Suponhamos que T majora S. Então, pela Proposição 2.1.1, existe um operador V : R(T ) Z linear e limitado tal que S = V T. Seja α Z, e consideremos S α. Assim, para todo x X (S α)(x) = α(sx) = α(v T x) = V α(t x), onde V : Z R(T ) α V α : R(T ) K é um funcional linear contínuo em R(T ). Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe uma extensão linear e contínua, β Y, β : Y K, de V α. Então, para todo x X (S α)(x) = (V α)(t x) = β(t x) = (T β)(x). Assim, dado S α R(S ), resulta que S α R(T ), já que S α = T β. Portanto, R(S ) R(T ). (2) Suponhamos que R(S ) = {S α α Z } R(T ) = {T β β Y }. (2.1) Notemos que N (T ) N (S). De fato, seja x N (T ). Então, para qualquer β Y tem-se que 0 = β(t x) = (T β)(x).

31 20 Por outro lado, α(sx) = (S α)x, para todo α Z. Por (2.1) temos que S α = T β para β Y, o que resulta α(sx) = (S α)(x) = (T β)(x) = β(t x) = 0, para todo α Z. Logo, segue do Teorema , que Sx = 0. Portanto, N (T ) N (S). Sendo assim, a aplicação linear W : R(T ) Z T x W(T x) = Sx, x X está bem denida. Observe ainda que S = WT, e suponhamos W ilimitado. Então existe uma sequência {x n } n em X com T x n = 1, para todo n N e lim n Sx n =. Seja α Z arbitrário e escolha β Y tal que S α = T β. (Lembrando que tal β Y existe pois R(S ) R(T )). Então, α(sx n ) = S α(x n ) = T β(x n ) = β(t x n ) T x n β = β. Logo, α(sx n ) β, n 1. Para cada n N, seja ϕ n : Z K α ϕ n (α) = α(sx n ). Então temos que para cada α Z, ϕ n (α) = α(sx n ) β, para todo n N. Pelo Princípio da Limitação Uniforme, existe C > 0 tal que ϕ n C, para todo n 1. Do Teorema de Hahn-Banach resulta que existe ψ Z, com ψ = 1, tal que { ϕn (α) ϕ n = sup α = ϕ n(ψ) ψ } α Z, α 0 Sx n = ψ(sx n) ψ { ϕn (α) sup α } α Z, α 0 = ϕ n. = Logo, ϕ n = Sx n, n 1, e segue que Sx n C, para todo n 1. Obtemos assim,

32 21 que Sx n é limitada, o que é uma contradição. Assim, W B(R(T ), Z), S = WT e existe uma extensão V B(R(T ), Z) tal que S = V T. Portanto, pela Proposição 2.1.1, T majora S. (3) Suponhamos R(S) R(T ) e notemos que N (T ) N (S ). De fato, seja f N (T ). Segue que T f = 0 (T f)(x) = f(t x) = 0, x X. Como R(S) R(T ), para todo z Z existe u z X, tal que f(sz) = f(t u z ). Assim, (S f)(z) = f(sz) = f(t u z ) = 0 (S f)(z) = 0, z Z (S f) = 0. Logo, f N (S ). Segue disso que o operador U : R(T ) Z T α U(T α) = S α, α Y está bem denido. Se U é ilimitado, então existe {α n } n Y tal que T α n = 1, para todo n, e lim n U(T α n ) =. Logo, lim n S α n =. Como R(S) R(T ), dado z Z arbitrário, podemos tomar x X, tal que T x = Sz. Então (S α n )(z) = α n (Sz) = α n (T x) = T α n (x) x T α n = x. Logo, S α n (z) x, n 1. Para cada n 1, seja ϕ n : Z K Então temos que para cada z Z z ϕ n (z) = α n (Sz). ϕ n (z) = α n (Sz) = S α n (z) x, para todo n 1. Pelo Princípio da Limitação Uniforme, existe C > 0 tal que ϕ n C, para todo n 1. Além disso, ϕ n = S α n. Logo, S α n é limitada, contradizendo o que supomos.

33 22 Assim, U : R(T ) Z é linear e limitado e S = UT. Pelo Teorema 1.0.1, existe uma extensão linear e limitada de U, V : R(T ) Z, tal que U = V e S = V T. Portanto, pela Proposição 2.1.1, T majora S. (4) Como T majora S, pela Proposição 2.1.1, S = V T, onde V : R(T ) Z é um operador linear limitado. Então, para cada z Z xado, o operador adjunto de V, V, é dado por V : Z R(T ) X. Considere a aplicação canônica J Z : Z Z z g z, g z : Z K f g z (f) = f(z). Para cada z Z, V (g z ) R(T ). Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe β : X K, uma extensão linear e limitada de V (g z ). Como X é reexivo, a aplicação canônica J X : X X x g x é tal que R(J X ) = X. Logo, existe y X tal que J X (y) = β e assim ψ(y) = β(ψ) para todo ψ X. Então, para todo α Y, α(sz) = (S α)(z) = ((V T )(α))(z) = g z ((V T )(α)) = g z (V (T α)) = (V (g z ))(T α) = β(t α) = (T α)(y) = α(t y). Logo, pelo Teorema , Sz = T y, o que implica em R(S) R(T ). Proposição Sejam T B(X, Y ) e S B(Z, Y ). Se R(S) R(T ) e T é compacto, então S é compacto. Demonstração. Como R(S) R(T ), temos pelo teorema anterior que T majora S. Como T é compacto, pelo Teorema de Schauder T também é compacto. Segue da Proposição que S é compacto, e novamente o Teorema de Schauder garante a compacidade de S.

34 2.3 Operadores Quasinilpotentes e Operadores de Riesz Nesta seção apresentaremos teoremas que envolvem os conceitos de majoração e inclusão de imagens para a classe dos operadores quasinilpotentes e operadores de Riesz. Faremos uso de um resultado sobre operadores de Riesz (Proposição 2.3.2) cuja demonstração, bem como mais detalhes sobre tais operadores, podem ser encontrados em [5]. Teorema Sejam T, S B(X). Suponhamos que T S = ST e T quasinilpotente. (1) Se T majora S, então S é quasinilpotente. (2) Se R(S) R(T ), então S é quasinilpotente. Demonstração. (1) Segue imediatamente da Proposição (2) Suponhamos que R(S) R(T ). Então pelo Teorema 2.2.1, T majora S. Além disso, i) T S = S T, já que T S = (ST ) = (T S) = S T. ii) T = T. iii) (T n ) = (T ) n, para todo n 2. De fato, usando indução temos que para n = 2, (T 2 ) = (T T ) = T T = (T ) Suponhamos que a amação é válida também para n = j, isto é, (T j ) = (T ) j. Então, (T j+1 ) = (T j T ) = T (T j ) = T (T ) j = (T ) j+1. iv) Resulta que T é quasinilpotente, pois T é quasinilpotente e T n 1 n = (T n ) 1 n = (T ) n 1 n. Com isso, usando o item (1) temos que S é quasinilpotente. Pelo mesmo argumento acima, S é quasinilpotente.

35 24 Sejam T B(X) e l (X) o espaço de todas as sequências limitadas {x n } n em X munido da norma do supremo, {x n } n = sup{ x n n 1}. Denindo T : l (X) l (X) resulta que: T é linear, pois T é linear. T está bem denido, ou seja, {T x n } n l (X). {x n } n T ({x n } n ) = {T x n } n, De fato, T x n T x n T C, n N, onde C > 0 é constante. Logo, {T x n } n l (X). T é limitado. De fato, T ({x n } n ) = {T x n } n = sup{ T x n n 1} T sup{ x n n 1} = T {x n } n. Observação O subespaço M de l (X), formado pelas sequências {x n } n tal que toda subsequência de {x n } n tem subsequência convergente, é fechado. De fato, sejam {y n } n M e ε > 0. Então existe {x n } n em M tal que {x n } n {y n } n < ε 2. Como {x n } n M, toda subsequência {x nk } k de {x n } n tem subsequência {x nkj } j convergente, digamos lim n x n kj = L. Ou seja, existe J N tal que para todo j J, Seja {y nk } k x nkj L < ε 2. uma subsequência arbitrária de {y n } n. (Note que tal subsequência tem os mesmos índices de {x nk } k ). Devemos provar que {y n } n M. Para isso, vamos mostrar que {y nkj } j é uma subsequência de {y nk } k que converge para L. Temos que x n y n sup{ x n y n n 1} < ε 2.

36 25 Assim, y nkj L y nkj x nkj + x nkj L < ε, para todo j J. Logo, lim n y nkj = L e M é fechado. Notemos que para todo T B(X), tem-se que T (M) M, e denotemos por X o espaço quociente l (X)/M. Como M é fechado e l (X) é Banach, X é Banach. Dena T : X X ({x n } n + M) T ({x n } n + M) = {T x n } n + M. Tome {x n } n + M, {y n } n + M X, tais que {x n } n + M = {y n } n + M, isto é {x n } n {y n } n M. Seja z n = x n y n. Então, T z n = T (x n y n ) T x n = T z n + T y n. Assim, como {T z n } n M, temos que T ({x n } n + M) = {T x n } n + M = {T z n } n + {T y n } n + M = {T y n } n + M = T ({y n } n + M), o que mostra que T está bem denido. Além disso, T é limitado, pois T (x n + M) = {T x n } n + M = inf{ {T x n } n + {m n } n {m n } n M, n 1} {T x n } n + {T m n } n = {T x n + T m n } n = {T (x n + m n )} n = sup{ T (x n + m n ) n 1} T sup{ x n + m n n 1} = T {x n + m n } n. Logo, T (x n + M) T inf{ {x n + m n } n n 1} = T inf{ {x n } n + {m n } n n 1}. Em vista disso, para cada T B(X) podemos associar T B( X), de modo que ca bem denida a aplicação linear

37 26 ϕ : B(X) B( X) T ϕ(t ) = T. Seja K(X) o espaço dos operadores lineares compactos em X. Mostremos que N (ϕ) = K(X). i) N (ϕ) K(X). Sejam T N (ϕ) e {x n } n l (X). Então, ϕ(t ) = 0 T = 0 {T x n } n + M = M {T x n } n M Toda subsequência de {T x n } n tem subsequência convergente {T x n } n tem subsequência convergente T é compacto. Logo, T K(X). ii) K(X) N (ϕ). Sejam T K(X), {x n } n l (X) e {T x nk } k uma subsequência de {T x n } n. Como {x nk } k é limitada e T é compacto, {T x nk } k tem subsequência convergente. Logo, {T x n } n M e assim, T N (ϕ). Proposição Sejam T, S B(X) com R(S) R(T ). Então, R(Ŝ) R( T ). Demonstração. Consideremos os operadores Ŝ: X X {x n } + M Ŝ({x n} + M) = {Sx n } + M = S (x n ) + M e T : X X {x n } + M T ({x n } + M) = {T x n } + M = T (x n ) + M. É suciente mostrar que R(S ) R(T ). Seja T : X/N (T ) X (x + N (T )) T (x + N (T )) = T x.

38 27 Então, T 1 : R(T ) X/N (T ) T x n x n + N (T ) é um operador linear fechado. Como T é linear, temos que T 1 é linear. Para mostrar que T 1 é fechado, vericaremos que o gráco de T 1 é fechado, isto é, mostraremos que o conjunto G = {(u, T 1 u) u R(T )} é fechado. Seja (a, b) G. Então existe uma sequência {u n } n em R(T ), u n = T x n, com lim n u n = a e lim n T 1 u n = b = x + N (T ). Devemos mostrar que T 1 a = b. Temos que T 1 u n = T 1 (T x n ) = x n + N (T ) b = x + N (T ). Por outro lado, T (x n + N (T )) = T x n = u n a. Como T é limitado, Logo, T b = a, o que implica que T 1 a = b. lim T (x n + N (T )) = T b. n O operador T 1 S : X X/N (T ) é fechado. De fato, seja {z n } n uma sequência em X tal que z n z 0 X e T 1 S(z n ) x 0 + N (T ) X/N (T ). Como S B(X) e R(S) R(T ), temos que lim n S(z n ) = S(z 0 ) em R(T ). Como T 1 é fechado, obtemos que x 0 + N (T ) = T 1 S(z 0 ). Logo, T 1 S é fechado, e pelo Teorema do Gráco Fechado, T 1 S é limitado. Seja {z n } n uma sequência em X com z n C, para todo n, onde C > 0 é constante. Então T 1 S(z n ) = y n + N (T ), para todo n e y n + N (T ) = T 1 S(z n ) T 1 S z n T 1 S C. Tomando T 1 S = A, vem que y n + N (T ) AC. Ou seja, inf{ y n + m m N (T )} AC, n.

39 28 Pela denição de ínmo, para cada n N, existe w n N (T ) tal que y n +w n < AC +1. Então, T (y n + w n ) = T (y n + w n + N (T )). Como T 1 S(z n ) = y n + N (T ) e w n N (T ), vem que T (y n + w n ) = T ( T 1 S(z n )) = S(z n ), para todo n. Isso mostra que R(S ) R(T ). Recordemos que um operador T B(X) é um operador de Riesz se para todo λ C, λ 0, λi T F red(x). Proposição Seja T B(X). (1) T é um operador de Riesz se, e somente se, T é quasinilpotente. (2) T é um operador de Riesz se, e somente se, T é um operador de Riesz. Demonstração. Veja [5]. Teorema Sejam T, S B(X) tais que T é um operador de Riesz e T S ST é compacto. (1) Se R(S) R(T ), então S é um operador de Riesz. (2) Se T majora S, então S é um operador de Riesz. Demonstração. (1) Como R(S) R(T ), pela Proposição temos que R(Ŝ) R( T ). Segue da compacidade de T S ST que T Ŝ = Ŝ T. Além disso, como T é um operador de Riesz, vem que T é quasinilpotente. Assim, usando o Teorema obtemos que Ŝ é quasinilpotente e portanto, S é um operador de Riesz. (2) Suponhamos que T majora S. Então, pelo Teorema R(S ) R(T ). Como T S ST é compacto, segue que T S S T é um operador compacto. Já pela Proposição T é um operador de Riesz. Aplicando o item (1) obtemos que S é um operador de Riesz e portanto, S é um operador de Riesz. 2.4 Fatoração Sejam T B(X, Y ), S B(X, Z). Diremos que S é múltiplo a esquerda de T se existe V B(Y, Z) tal que S = V T. Similarmente, escreveremos S = T U quando S é um múltiplo a direita de T. Em ambos os casos diremos que S fatora com respeito a

40 29 T. Mostraremos nesta seção (Teorema 2.4.1) sob quais condições podemos armar que S fatora com respeito a T. Tais condições envolvem os conceitos de majoração, inclusão de imagens e de subespaço complementado. Recordemos que um subespaço fechado E de X é complementado se existe um subespaço fechado F de X tal que X = E F. Por m, apresentaremos uma aplicação deste resultado em B(X). Teorema Seja T B(X, Y ). Então: (1) Se S B(X, Z) é majorado por T e R(T ) é complementado, então existe V B(Y, Z) tal que S = V T. (2) Se S B(Z, Y ) com R(S) R(T ) e N (T ) é complementado, então existe U B(Z, X) tal que S = T U. (3) Se S B(X, Z) com R(S ) R(T ) e R(T ) é complementado, então existe V B(Y, Z) tal que S = V T. (4) Suponhamos X reexivo. Se S B(Z, Y ), T majora S e N (T ) é complementado, então existe U B(Z, X) tal que S = T U. Demonstração. (1) Sejam T B(X, Y ), S B(X, Z) e suponha que T majora S. Pela Proposição 2.1.1, existe V 1 B(R(T ), Z) tal que S = V 1 T. Como R(T ) é complementado, existe um subespaço fechado N de Y tal que Y = R(T ) N. Então, basta tomar V : Y Z, V B(Y, Z) a extensão de V 1 tal que V N = 0. (2) Assuma as hipóteses de (2). Como N (T ) é complementado, existe um subespaço fechado W de X tal que X = N (T ) W. Assim, dado x X arbitrário existem únicos u N (T ) e w W tais que x = w + u. Logo, T x = T w + T u = T w, e portanto Seja T W : W Y. Resulta que é uma aplicação linear fechada. T (W ) = R(T ). T 1 W : R(T ) W T x T 1 W (T x) = x

41 30 De fato, sejam G = {(u, T 1 W u) u R(T )} e (a, b) G. Então, existe uma sequência {u n } n em R(T ), u n = T x n = T w n tal que u n = T x n = T w n a, e {T 1 W u n} n converge para b W. Devemos mostrar que T 1 W a = b. Temos que Como T W é limitado, tem-se que T 1 W u n = T 1 W (T w n) = T 1 W (T W w n ) = w n b. lim T W (w n ) = T W (b). n Por outro lado, T W (w n ) = T w n = u n a. Logo, T W b = a e T 1 W a = b. Seja T 1 W S : Z W z T 1 W S(z) e mostremos que T 1 W S é um operador linear fechado. Com efeito, sejam G(T 1 W 1 S) = {(z, T Sz) z Z} W e (u, v) G(T 1 W S). Logo, existe uma sequência {z n} n em Z tal que e lim z n = u n lim T 1 n W Sz n = v. Como S é limitado e R(S) R(T ), vem que T v n = Sz n Su = T x 0, com {v n } n D(T ) e x 0 D(T ). Assim, T 1 W (T v n) = T 1 W (Sz n) v e segue que (T v n, T 1 W (T v n)) G(T 1 W )

42 31 e (T x 0, v) G(T 1 1 W ) = G(TW ), já que T 1 W Fechado, T 1 W é fechado. Portanto, v = T 1 W (T x 0) = T 1 W Su. 1 S é limitado. Tomando U = T S, temos que U B(Z, X) e W S = T T 1 W S = T U, Pelo Teorema do Gráco pois como R(S) R(T ), então para todo z Z existe x X tal que Sz = T x e T T 1 1 W Sz = T TW T x = T T 1 W T w = T T 1 W T W w = T w = T x = Sz, z Z, w W. (3) Pelo Teorema (2), temos que T majora S. Usando a armação (1) obtemos o resultado. (4) Pelo Teorema (4), temos que R(S) R(T ). Usando a armação (2) o resultado segue imediatamente. Estudaremos agora, uma aplicação de fatoração em B(X). Sejam X m = X X... X }{{}, x X m. Então, x é da forma m cópias de X x = x 1 x 2... x m, e é fácil ver que a aplicação é uma norma. Seja V B(X m, X), dado por. : X m K x x = x 1... x m = m k=1 x k onde V k B(X), k. V : X m X x V (x) = V (x 1... x m ) = m k=1 V k(x k ),

43 32 Proposição Sejam S B(X) e T k B(X), 1 k m. Suponhamos que R(T k ) é complementado para todo k e que uma das condições (1) ou (2), dadas abaixo, vale: (1) Existe M > 0 tal que Sx M m k=1 T kx, para todo x X. (2) R(S ) m k=1 R(T k ). Então, existe V k B(X), 1 k m, tal que S = V 1 T 1 + V 2 T V m T m. Demonstração. Dena T B(X, X m ) por T (x) = T 1 (x) T 2 (x)... T m (x), x X. Note que, como R(T k ) é complementado para todo k, então R(T ) é complementado. Suponhamos que (1) vale. Então, existe M > 0 tal que Agora, notemos que T x Xm Sx M m k=1 T kx, para todo x X. = T 1 x... T m x = m k=1 T kx. Logo, T majora S. Assim, aplicando o Teorema (1), existe V B(X m, X) tal que S = V T. Pelo que vimos, V tem a seguinte forma V : X m X x V (x) = m k=1 V k(x k ), onde V k B(X), para todo k = 1,..., m. Além disso, para todo x X Sx = (V T )x = V (T x) = V (T 1 x... T m x) = m k=1 V k(t k x) = V 1 T 1 x V m T m x. Supondo (2) válida, segue que R(S ) m k=1 R(T k ). Além disso, sendo T B(X m, X ), R(T ) = {T ϕ ϕ X m} = { m k=1 T k (ϕ k) ϕ k X } = m k=1 {T k (ϕ k) ϕ k X } = m k=1 R(T k ). Portanto, R(S ) R(T ). Aplicando o Teorema (3), existe V B(X m, X) tal que S = V T. Analogamente ao caso anterior, existe V k B(X), k = 1,..., m tal que para

44 33 x X, Sx = V T x = V (T 1 x... T m x) = V 1 T 1 x V m T m x, ou seja, S = V 1 T V m T m. Denição Seja T k B(X), 1 k m. Então o conjunto {T 1,..., T m } é dito ser mutuamente limitado inferiormente se existe M > 0 tal que x M m k=1 T kx, para todo x X. Corolário Suponha que T k B(X), para 1 k m, e que R(T k ) é complementado para todo k. Se {T 1,..., T m } é mutuamente limitado inferiormente, então existe V k B(X), 1 k m, tal que I = V 1 T V m T m. Demonstração. Basta tomar S = I na proposição anterior.

45 Capítulo 3 Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares não Limitados Em [9] tem-se uma versão do Teorema de Douglas no contexto de operadores não limitados em espaços de Hilbert. Com essa motivação, Forough apresenta em [12] uma generalização para espaços de Banach. Assim como Barnes, Forough expõe resultados que relacionam os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração. Em detrimento da hipótese da limitação dos operadores assumiremos que eles são fechados e densamente denidos. Iniciaremos o capítulo denindo tais operadores e apresentando outros conceitos que serão úteis ao longo do capítulo, como por exemplo, o conceito de operador fechável e fecho de operador. Denição Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) X Y é densamente denido se D(T ) é denso em X, isto é, D(T ) = X. A norma do espaço vetorial X Y é denida por (x, y) = x 2 + y 2. Denição Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) X Y é fechado se o gráco de T, G(T ), é um subespaço fechado de X Y. 34

46 35 Ou seja, T é fechado quando dada qualquer sequência {x n } n em D(T ) com lim n x n = x X e lim n T (x n ) = y Y tem-se que x D(T ) e y = T x. Evidentemente, todo operador contínuo é fechado, quando o seu domínio é fechado. Teorema Sejam X e Y espaços normados e T : X Y uma transformação linear. Então o gráco de T é fechado se, e somente se, para qualquer sequência {x n } n em D(T ) com lim n x n = 0 e lim n T x n = y, tem-se que y = 0. Demonstração. Veja [7] - Proposição 12.7, página 92. Denição Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) X Y é fechável quando dada uma sequência {x n } n em D(T ) com lim n x n = 0 e {T x n } n convergente em Y, tem-se que lim n T x n = 0. Denição Sejam X e Y espaços normados. Seja T : D(T ) X Y um operador linear fechável. O operador fecho de T é a aplicação T com domínio D(T ) = {x X {x n } n D(T ), x n x, T x n y Y } e denido como T x = lim n T x n. 3.1 Inversas Generalizadas O conceito de inversa generalizada será essencial no cenário de operadores não limitados. Em vista disso, reservamos esta primeira seção, a qual será baseada em [17] para denir este conceito e apresentar alguns resultados relevantes ao desenvolvimento do capítulo. Denição Seja X um espaço de Banach. Sejam T e T operadores fechados densamente denidos em X a valores em X. Então T é uma inversa generalizada de T se R(T ) D(T ), R(T ) D(T ), T u = T T T u, para todo u D(T ),

47 36 T v = T T T v, para todo v D(T ) e será denotada por T (inv)t. Observação A relação acima denida é simétrica, isto é, T (inv)t T (inv)t. Denição Seja X um espaço de Banach. Uma projeção P em X é um operador linear P : D(P ) X X tal que P 2 = P, isto é, P x D(P ) e P 2 x = P x para todo x D(P ). Se P é uma projeção em X, então R(P ) = {P x x D(P )} = {x D(P ) P x = x} e N (P ) = {x D(P ) P x = 0} são subespaços de X tais que R(P ) N (P ) = {0}. Proposição Sejam T e T operadores fechados densamente denidos em um espaço de Banach X a valores em X com T (inv)t. Então, (1) T T é uma projeção de D(T ) sobre R(T ) de núcleo N (T ). (2) T T é uma projeção de D(T ) sobre R(T ) de núcleo N (T ). Demonstração. Se v D(T ) = D(T T ), então (T T ) 2 v = T T (T T v) = (T T T )T v = T T v. Além disso, R(T T ) R(T ) e N (T ) N (T T ). Se v R(T ), então existe u D(T ) tal que v = T u = (T T T )u = T T (T u) R(T T ). Portanto, R(T T ) = R(T ). Se v N (T T ), então (T T )v = 0, T v = (T T T )v = T (T T v) = 0 e assim, N (T T ) = N (T ). T (inv)t. A prova do item (2) é análoga já que se T (inv)t então

48 37 Observação Sejam T e T operadores fechados densamente denidos em um espaço de Banach X a valores em X com T (inv)t. Então, D(T ) = N (T ) R(T ) e D(T ) = N (T ) R(T ). Proposição Sejam X um espaço de Banach e T, T operadores fechados densamente denidos em X a valores em X com T (inv)t. Se T é limitado, então D(T ) = X. Demonstração. Pela Observação temos que D(T ) = N (T ) R(T ). Já sabemos que D(T ) = X e assim resta mostrar que D(T ) D(T ). Seja u D(T ). Então existe {u n } n em D(T ) tal que lim n u n = u. Como T é limitado, temos que {T u n } n é uma sequência de Cauchy. De fato, dado ε > 0, como {u n } n é sequência de Cauchy existe N 0 N tal que T u n T u m T u n u m < ε, m, n N 0. Como X é Banach, {T u n } n é convergente, digamos v = lim n T u n. Assim, e resulta que lim n (u n, T u n ) = (u, v) G(T ) = G(T ), (u, v) = (z, T z), z D(T ). Logo, u = z D(T ) e X = D(T ). Proposição Sejam T e T operadores fechados densamente denidos em um espaço de Banach X a valores em X com T (inv)t. Então, T T : D(T T ) X é fechado se, e somente se, R(T ) N (T ) = {0}. Neste caso, temos D(T T ) = R(T ) N (T ), R(T T ) = R(T ), N (T T ) = N (T ) e T T é uma projeção de D(T T ) em R(T T ) de núcleo N (T ).

49 38 Demonstração. Suponhamos que T T : D(T T ) X é fechado. Pela Proposição 3.1.1, T T é uma projeção de D(T ) sobre R(T ), de núcleo N (T ). Seja v R(T ) N (T ). Então existe uma sequência {u n } n em D(T ) tal que lim n T u n = v. Seja w n = T u n v. Como v N (T ) D(T ) e R(T ) D(T ), vem que w n D(T ) e (T T )w n = T T (T u n v) = (T T T )u n T T v = T u n. Logo, lim n w n = 0 e lim n T T (w n ) = v. Ou ainda, lim n (w n, T T (w n )) = (0, v). Como T T é fechado, temos que (0, v) G(T T ), isto é, T T 0 = v e, portanto, v = 0. Logo, R(T ) N (T ) = {0}. Reciprocamente, suponhamos que R(T ) N (T ) = {0} e seja {v n } n uma sequência em D(T T ) = D(T ) tal que lim n v n = 0 e lim n (T T )v n = w. Segue que w R(T ). Consideremos a sequência {u n } n dada por u n = (I T T )v n. Então, u n N (T ) e lim n u n = w. Além disso, sendo G(T ) o gráco de T, temos que lim (u n, T u n ) = ( w, 0) G(T ) = G(T ), n isto é, ( w, 0) = (u, T u) para algum u D(T ). Logo, u = w e T u = 0. Segue também que T (w) = T ( ( w)) = T (u) = 0, ou seja, w N (T ). Portanto, w R(T ) N (T ) e assim w = 0. Isso prova que T T é fechado. Suponhamos agora que T T é fechado e seja u R(T ) N (T ). Então, u = v + w com v R(T ) e w N (T ); e existe uma sequência {x n } n D(T ) tal que lim n T x n = v. Consideremos a sequência {u n } n dada por u n = T x n + w. Então, {u n } n D(T ) e

50 39 T T (u n ) = T T (T x n + w) = T T T x n + T T w = T x n. Logo, lim n T T (u n ) = v e lim n u n = v + w = u. Assim, u D(T T ) e T T u = v, e portanto R(T ) + N (T ) D(T T ). Como v = T T u, v R(T T ) temos R(T ) R(T T ). Finalmente, como w N (T ) e a sequência {u n T x n } n em D(T ) = D(T T ) converge para w e T T (u n T x n ) = T T u n T T T x n = T x n T x n = 0, temos que T T w = lim n T T (u n T x n ) = 0. Logo, w N (T T ) e assim N (T ) N (T T ). Para mostrar as desigualdades opostas, sejam u D(T T ) e v = T T u. Então v R(T T ) e existe uma sequência {u n } n D(T ) tal que lim n u n = u e lim n (T T )u n = v. Portanto, v R(T ) e R(T T ) R(T ). Como u n = (I T T )u n + T T u n u, então (I T T )u n w = u v, com u v N (T ) pois, como T T é fechado e assim v = T T u. Resulta que (u n, T T u n ) (u, v) G(T T ) = G(T T ), T v = T T T u = T u T u T v = 0 T (u v) = 0 u v N (T ). Logo, D(T T ) R(T ) N (T ). Agora seja z N (T T ). Então existe uma sequência {z n } n em D(T T ) = D(T ) tal que lim n z n = z e lim n T T z n = 0. Logo, (z, 0) G(T T ) = G(T T ), ou seja, T T z = 0. Daí, segue que, T T T z = T 0. Como T (inv)t, temos T z = 0. Logo, z N (T ). Portanto, N (T T ) N (T ). É imediato vericar que (T T ) 2 = T T. Corolário Sejam T e T operadores fechados densamente denidos em um espaço de Banach X a valores em X com T (inv)t. Então, T T é fechado se, e somente se, R(T ) é fechado.